精品解析：上海市闵行区2025-2026学年高二下学期期末联考数学试题

2025-2026学年上海市闵行区高二下学期数学期末联考 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分） 1. 直线的倾斜角是______． 2. 二项式的展开式中，的系数为________． 3. 双曲线 的渐近线方程为________ 4. 设 为正整数，若，则_____． 5. 已知圆的面积为，则实数 __________. 6. 已知，则______． 7. 函数在上的最大值为______. 8. 已知直线，若，则与的距离为_______. 9. 已知，、，则的情况有________种． 10. 已知抛物线的焦点为， 为抛物线上一点．若，则点 到轴的距离为______． 11. 已知，函数在处取得极大值，则的取值范围是________． 12. 能够使得命题“曲线上存在四个点P，Q，R，S满足四边形PQRS是正方形”为真命题的实数a的取值范围是___________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第题每题4分，第题每题5分） 13. 若 为正整数，则等于（ ） A. B. C. D. 14. 函数，正确的命题是 A. 值域为 B. 在 是增函数 C. 有两个不同的零点 D. 过点的切线有两条 15. 从4位男老师和4位女老师中选出3名教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3名班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）种 A. 48 B. 288 C. 312 D. 336 16. 已知点、，动点在曲线：上，则的面积（ ） A. 有最大值，没有最小值 B. 没有最大值，有最小值 C. 有最大值，也有最小值 D. 没有最大值，也没有最小值 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）. 17. 在的二项展开式中． （1）求常数项； （2）若第二项不小于第三项，求实数x的取值范围． 18. 已知 ， ． （1）当 时，求函数的单调区间和极值； （2）若 恒成立，求的取值范围． 19. 如图，正方形区域边长为， 距 、 的距离都为 ， 距 、 的距离都为 ，有一个圆形跑道经过 、 两点． （1）建立适当的坐标系，求圆形跑道圆心所在的直线方程； （2）若直线与该圆形跑道有且只有一个交点，求圆形跑道的周长（结果保留两位小数）． 20. 已知椭圆 ： ，点 是椭圆的右顶点． （1）求椭圆离心率； （2）已知点， ，若椭圆 上存在一点 ，满足，求 的值； （3）若直线 与 交于 、 两点，且 为直角，求证：直线 恒过定点． 21. 已知函数，若存在点 是函数的图象的两条互相垂直的切线的交点，则称点 是函数的“优点”． （1）判断函数与是否存在“优点”（无须说明理由）； （2）已知，求证：函数的所有“优点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； （3）已知，若函数图象上存在“优点”，求实数 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市闵行区高二下学期数学期末联考 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分） 1. 直线的倾斜角是______． 【答案】 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，，可得，解得即可得出． 【详解】设直线的倾斜角为，． 则，解得． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了直线斜率与倾斜角之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题，着重考查了． 2. 二项式的展开式中，的系数为________． 【答案】10 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项，计算系数即可． 【详解】二项式的通项为， 当时，对应的项为，故的系数为10． 3. 双曲线 的渐近线方程为________ 【答案】 【解析】 【分析】令双曲线 右边为 ，再求解关于与的关系式，从而得到渐近线方程. 【详解】 故答案为：. 4. 设为正整数，若，则_____． 【答案】或 【解析】 【详解】因为，则或， 解得或，又，得到，经检验，或均合题意， 所以或. 5. 已知圆的面积为，则实数 __________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆的面积得到圆的半径，由圆的一般方程得到圆的标准方程，从而解出的值. 【详解】因为圆的面积为，所以 由得，即， 所以，解得 . 故答案为：. 6. 已知，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】直接求导，再根据导数含义即可得到答案. 【详解】,，则 . 故答案为：1. 7. 函数在上的最大值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】先对函数求导，研究其在给定区间的单调性，求出极值，从而可得出最值. 【详解】因为，所以， 由得或；由得； 又 即函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，函数有极大值； 当时，函数有极小值； 又当 时，；当时，， 因此函数在上的最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查由导数的方法求函数的最值，属于基础题型. 8. 已知直线，若，则与的距离为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由求得 的值，再根据两平行线间的距离计算即可. 【详解】解：直线， 当时，，解得 ； 当时，与重合，不满足题意； 当时，，此时； 所以，与的距离为 故答案为：. 9. 已知， 、，则的情况有________种． 【答案】 8 【解析】 【分析】按的不同取值分类讨论即可. 【详解】当（即）时：需要满足，集合中符合条件的有，共种， 因此这类情况有种； 当（即或）时：需要满足， 集合中符合条件的有，共种，因此这类情况有种； 当（即或 ）时：集合中不存在的元素，因此这类情况有0种， 将所有情况相加，总共有种. 10. 已知抛物线的焦点为， 为抛物线上一点．若，则点 到轴的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线定义求出点A的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标的绝对值，即为点 到轴的距离. 【详解】对于抛物线，由标准形式得，即 ，其准线方程为，焦点. 设点 的坐标为，由抛物线的定义得，解得. 将代入抛物线方程，得，故. 因此点 到轴的距离为. 11. 已知，函数在处取得极大值，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出导数，然后分，和三种情况讨论，利用导数得到函数的单调性，再根据极值点的定义进行判断，即可得解. 【详解】函数的定义域为，对求导可得 . 令，解得或. ①当，即时， 当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意； ②当，即时，恒成立， 所以在上单调递增，无极值，不符合题意； ③当，即时， 当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，不符合题意， 综上，的取值范围是. 12. 能够使得命题“曲线上存在四个点P，Q，R，S满足四边形PQRS是正方形”为真命题的实数a的取值范围是___________. 【答案】或. 【解析】 【分析】设四点的坐标依次为，根据方程有解可求实数 的取值范围. 【详解】曲线上存在四个点P，Q，R，S满足四边形PQRS是正方形， 可设，则， 所以，解得， 故，所以或. 故答案为：或. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第题每题4分，第题每题5分） 13. 若为正整数，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为. 所以C选项正确. 14. 函数，正确的命题是 A. 值域为 B. 在 是增函数 C. 有两个不同的零点 D. 过点的切线有两条 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线. 【详解】因为，所以， 因此当时 在上是增函数，即在上是增函数； 当时在上是减函数，因此；值域不为R; 当时,当时只有一个零点，即只有一个零点； 设切点为，则，所以过点的切线只有一条； 综上选B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线，考查基本分析求解能力，属中档题. 15. 从4位男老师和4位女老师中选出3名教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3名班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）种 A. 48 B. 288 C. 312 D. 336 【答案】B 【解析】 【分析】方法一，根据分步计数原理，分一男两女、两男一女两种情况分别计算出选派方案数后，再根据分类加法计数原理求和即可；方法二，用总选派方案数减去全男、全女不符合要求的方案数即可. 【详解】方法一：直接法． 男女教师都有的情况分为两种： 第一种，选派1名男教师，2名女教师，有种选法，再将3人分配到3个班的排列数为， 该种选派方案数为； 第二种，选派2名男教师，1名女教师，有种选法，再将3人分配到3个班的排列数为， 该种选派方案数为； 根据分类加法计数原理，总选派方案数共有种； 方法二：间接法. 从8名教师中任选3名教师分配到3个班的总选派方案数为种， 其中全是男教师或全是女教师的情况不符合要求， 两类不符合的选派方案数均为种， 故符合要求的选派方案数为种. 16. 已知点、，动点在曲线：上，则的面积（ ） A. 有最大值，没有最小值 B. 没有最大值，有最小值 C. 有最大值，也有最小值 D. 没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可求得和直线的方程，结合双曲线的渐近线分析点到直线的距离的取值范围，进而可得的面积的取值范围. 【详解】因为，， 则，直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 双曲线 的渐近线方程为 ， 则直线与渐近线平行，两平行线间距离， 曲线：过点， 过点与直线平行的直线方程为， 两平行线间距离， 结合图形可知点到直线的距离， 则的面积， 所以的面积有最大值，但没有最小值. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）. 17. 在的二项展开式中． （1）求常数项； （2）若第二项不小于第三项，求实数x的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二项式通项，当x的指数为0时，得到常数项； （2）根据通项列出不等式，即可计算实数x的取值范围． 【小问1详解】 二项式的通项为， 当 时，可得常数项为 ； 【小问2详解】 根据通项可得第二项为 ； 第三项为； 因为第二项不小于第三项，故，即 ， 解得，故实数x的取值范围为． 18. 已知 ， ． （1）当 时，求函数的单调区间和极值； （2）若 恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值； （2） 【解析】 【分析】（1）代入 后对函数求导，根据导数正负判断单调区间，进而求解极值； （2）先对函数求导，再结合导数对 的取值分类讨论，求函数最小值，令最小值非负即可求得 的取值范围. 【小问1详解】 当 时， ，得 . 令 ，解得. 当 时， ，单调递减；当 时， ，单调递增. 故函数在处取极小值， ，无极大值. 因此，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值； 【小问2详解】 对，函数定义域为 ，得，分情况讨论： ① 若 ，因为 ，所以 恒成立，函数在R上单调递增， 且当 时 ，不满足 ，舍去； ② 若 ， 恒成立，符合要求； ③ 若 ，令 得 ，且 在 R上单调递增. 当 时， ，函数单调递减， 时， ，函数单调递增， 所以函数在 处取得极小值也是最小值，最小值为. 令 ，结合 ，解得 ，即 综上所述， 的取值范围是. 19. 如图，正方形区域边长为， 距 、 的距离都为 ， 距 、 的距离都为 ，有一个圆形跑道经过 、 两点． （1）建立适当的坐标系，求圆形跑道圆心所在的直线方程； （2）若直线与该圆形跑道有且只有一个交点，求圆形跑道的周长（结果保留两位小数）． 【答案】（1）以 为原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系， （2） 或 【解析】 【分析】（1）利用圆心到 、 两点距离相等可得圆心在线段 的垂直平分线上. （2）利用圆与 相切，圆心到点 的距离为半径以及圆心在（1）所求直线上可求解半径 的值，进而求得圆的周长. 【小问1详解】 如图以 为原点， 为 轴， 为轴建立平面直角坐标系. 则 ， ， ， ， . ∵圆形跑道经过 、 两点， ∴圆心在线段 的垂直平分线上. ∵ ， ∴线段 的垂直平分线的斜率为 . ∵ 中点坐标为 ， ∴线段 的垂直平分线的方程为 ，即 . ∴圆形跑道圆心所在的直线方程为 . 【小问2详解】 ∵直线 与该圆形跑道有且只有一个交点， ∴直线 与该圆相切，即圆心到轴距离为半径 . 设圆心为 ，则. ∴，即 . 解得，则. ∴圆形跑道的周长为 或 . 20. 已知椭圆 ： ，点 是椭圆的右顶点． （1）求椭圆离心率； （2）已知点， ，若椭圆 上存在一点 ，满足，求 的值； （3）若直线 与 交于 、 两点，且 为直角，求证：直线 恒过定点． 【答案】（1）； （2）； （3）设，， 当直线斜率不存在时，设直线方程为 ，则，， 由 为直角，可得 ， 也即 ，解得或 （舍去）． 当斜率存在时，设直线 方程为 ，联立， 整理得 ，可得 且 为直角，可得 ， 所以 ，即 ， 整理得 ， 将式代入上式得： ， 化简得 整理得 ，可得 或 ， 当 时，直线方程为，此时直线过定点，不符合题意，舍去， 当 时，直线方程为，此时直线过定点，符合题意． 综上，直线 恒过定点． 【解析】 【分析】（1）结合椭圆方程列方程，解方程求得 的值，由此求得椭圆的离心率； （2）设出点 ，则可利用坐标表示出两向量，从而用 表示点 坐标，再将该点坐标代入方程计算即可得； （3）设，，根据题意得到 ，分为斜率不存在和斜率存在两种情况分别讨论，求出直线的方程判断过定点即可. 【小问1详解】 由已知 ，则 ，又，. 得 ， ， 故椭圆的离心率为； 【小问2详解】 由椭圆的标准方程为 ， 则，设，则，， 由，则，解得， 则有 ，解得 ，又 ，故； 【小问3详解】 略 21. 已知函数，若存在点 是函数的图象的两条互相垂直的切线的交点，则称点 是函数的“优点”． （1）判断函数与是否存在“优点”（无须说明理由）； （2）已知，求证：函数的所有“优点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； （3）已知，若函数图象上存在“优点”，求实数 的取值范围． 【答案】（1）函数不存在“优点”，存在“优点”； （2）因为，所以 ， 设两切点横坐标为，斜率， 由垂直条件得到 ，解得， 两个切点分别为， 过的切线方程为，即， 过的切线方程为 ，即， 联立， 两式相减：， 因为，所以， 将代入得到， 由，故，因此所有“优点”都在直线上. 故函数的所有“优点”在一条定直线上，且这条直线的方程为. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，由两直线垂直得到不存在判断无“优点”，利用点求出切线方程，两条切线方程联立方程组求解，即为“优点”. （2）利用导数的几何意义求出斜率，利用两条直线垂直条件得到的值， 利用点斜式求出两条切线的方程，这两个切线方程通过联立方程组，求出，将其代入得到的值，由的值得到，从而得到所有“优点”所在的直线方程. （3）利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程，令交点为，通过联立两切线方程得到，变为 ，由得到要存在“优点”，即存在实数 满足上述方程，将其视为关于的二次方程 ，则有 ，通过讨论得到实数 的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以 ， 设两条互相垂直的切线的切点横坐标为， 则它们的斜率分别为 ， 由两直线垂直得不成立，所以不存在“优点”； 因为，所以， 设两条互相垂直的切线的切点横坐标为， 取， 则它们的斜率分别为 ， 则切点处的切线方程：， 切点处的切线方程： ， 联立方程：，解得，即“优点”为 ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以 ， 设两切点横坐标为，则斜率， 两个切点分别为，， 则过的切线方程为 ， 过的切线方程为 ， 联立两切线方程，令交点为，两式相减， 得到， 左边因式分解： ， 右边因式分解： ， 因为，所以 ， 令，则上式变为 ， 且满足 ， 由得到 ， 得到 ， 即 ， 要存在“优点”，即存在实数 满足上述方程， 将其视为关于的二次方程 ， 则有 ， 即 ，即 ，即 ， 这说明存在实数 使得 ， 即 或 有解， 当时， 可取任意实数，故只要，总能找到 满足不等式； 当时，， ，两条切线斜率均非负， 无法满足乘积为，故不成立， 故实数 的取值范围是：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $