精品解析：上海市闵行区五校联考2024-2025学年高二下学期6月学业质量调研数学试卷

2024学年第二学期高二年级学业质量调研 数学学科 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果． 1. 双曲线的两条渐近线的夹角大小为___________． 2. 正方体中，________．（用、、表示） 3. 抛物线的准线方程为__________． 4. 已知，若，则________． 5. 的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答） 6. 从5名同学中选2名分别去A、B两个不同地点做志愿者，不同的安排方案种数为________． 7. 双曲线Γ：的左、右焦点分别为、，点P在Γ上，且，，则Γ的离心率为________． 8. 已知，，随机选取m、n，则直线不经过第二象限的概率是________． 9. 已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为________． 10. 、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则________． 11. 如图，小明同学听到外面有小狗的叫声，于是放下作业跑到窗台PQ：（）寻找小狗．已知矩形EFGH与曲边图形STB为视线遮挡物，其中线段EF：（），曲线SB：（）．小狗沿线段CB：（）以每秒1米的速度从C跑到B，则小明能看到小狗的最长时间为________秒．（精确到0.01） 12. 已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 函数（）的驻点为（ ） A. （1，0） B. （1，2） C. 1 D. 2 14. 抛物线的焦点为，点P是抛物线上任意一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 15. 北京的小王和深圳的小李是好朋友，两人恰好都计划于2025年国庆节的7天假期中，到上海连续游玩三日，他们约定至少有一天同时出现在上海，则他们不同的出游安排方案共有（ ） A. 12种 B. 13种 C. 19种 D. 21种 16. 公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus）为了解决倍立方问题而发现了圆锥曲线．他用垂直于母线的平面去截取顶角（圆锥底面圆的一条直径的两个端点与顶点连线所形成的等腰三角形的顶角）分别是锐角、直角、钝角的三种圆锥，得到三种曲线，梅内克缪斯分别称之为锐角、直角和钝角圆锥曲线，今称椭圆、抛物线和双曲线．如图，四面体中，AP、AB、AC两两垂直，，，点O为底面ABC内的一个动点． （1）若，则点O的轨迹是椭圆的一部分； （2）若，则点O的轨迹是双曲线的一部分； （3）若，则点O的轨迹是抛物线的一部分． 以上几个命题中，真命题的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知函数，（），其导函数为． （1）若，求的值； （2）若的图像过点与，求原点到直线的距离． 18. 设正方体的棱长为2，，的中点分别为，. （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求点到面的距离. 19. 已知（），其中i为虚数单位．将组合数、、、…、作为元素构成集合，将展开式的项的系数、、、···、作为元素构成集合． （1）求的值； （2）在中随机选取三个数，求最大数与最小数至少有一个被选中的选取方案的种数； （3）设、，求的概率． 20. 在直角坐标系中，已知椭圆（）的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． （1）求的标准方程； （2）若的斜率为，且，求的值； （3）是否存在，使恒为定值？若存在，请求出与的值，若不存在，请说明理由． 21. 已知函数的定义域为D．若存在非空集合和，使得对任意的，，都有，且成立，则称函数具有“AX”性质． （1）若，，．试判断是否具有“AX”性质； （2）若，，．求证：具有“AX”性质； （3）若，，A中元素的最小值为．求所有使具有“AX”性质的集合A的并集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期高二年级学业质量调研 数学学科 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果． 1. 双曲线的两条渐近线的夹角大小为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线方程写出渐近线方程，即可判断夹角大小. 【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为，显然渐近线斜率乘积为， 所以两条渐近线垂直，即两条渐近线的夹角大小为. 故答案为： 2. 正方体中，________．（用、、表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的运算转化求解即可. 【详解】在正方体中， . 故答案为：. 3. 抛物线的准线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线的准线方程为，由此得到题目所求准线方程. 【详解】抛物线的准线方程是. 【点睛】本小题主要考查抛物线的准线方程，抛物线的准线方程为，直接利用公式可得到结果.属于基础题. 4. 已知，若，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据组合数的知识求得的范围，然后结合组合数的性质求得正确答案. 【详解】依题意，，解得， 由于，所以或， 解得或. 故答案为：或 5. 的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为. 故答案为： 6. 从5名同学中选2名分别去A、B两个不同地点做志愿者，不同的安排方案种数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据排列的知识求得正确答案. 【详解】从5名同学中选2名分别去A、B两个不同地点做志愿者， 不同的安排方案种数为. 故答案为：. 7. 双曲线Γ：的左、右焦点分别为、，点P在Γ上，且，，则Γ的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件以及双曲线的定义列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】由于，， 所以，设， 则， 所以. 故答案为： 8. 已知，，随机选取m、n，则直线不经过第二象限的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法，结合直线的知识确定正确答案. 【详解】依题意，所有可能的直线为 ，即，过一、二、四象限. ，即，过一、三、四象限. ，即，过一、二象限. ， 即，过三、四象限. ， 即，过一、二、三象限. ， 即，过二、三、四象限. 其中不经过第二象限的为、， 所以直线不经过第二象限的概率是. 故答案为： 9. 已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得半径，然后根据点斜式求得切线方程. 【详解】由于点在圆上， 所以，所以圆， 所以圆心，， 所以过点M的圆C的切线的斜率为， 所以过点M的圆C的切线方程为， 化简得. 故答案为： 10. 、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，即可求解. 【详解】因为，与、的夹角都是，且，，， 则，，， 则， 所以， 故答案为：. 11. 如图，小明同学听到外面有小狗的叫声，于是放下作业跑到窗台PQ：（）寻找小狗．已知矩形EFGH与曲边图形STB为视线遮挡物，其中线段EF：（），曲线SB：（）．小狗沿线段CB：（）以每秒1米的速度从C跑到B，则小明能看到小狗的最长时间为________秒．（精确到0.01） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分别作直线,切线，求出的值即可得解. 【详解】如图，连接并延长交于点，过作于抛物线相切交于点， 由题意，， 则由可得，， 设直线， 则由可得， 则，解得或 即直线或， 当时，由可得切点纵坐标为，符合题意， 当时，由可得切点纵坐标，不符合题意， 故所求切线方程为，令，可得， 故， 所以（秒）. 故答案为： 12. 已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，即可得，再利用转化法可得向量数量积. 【详解】 如图所示，设中心为，则平面， 则， 即，即， 所以点在以为球心，为半径的球上， 由已知正四面体的棱长为， 则，， 则 ， 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 函数（）的驻点为（ ） A. （1，0） B. （1，2） C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据驻点的知识求得正确答案. 【详解】令，解得（负根舍去）， 所以驻点为. 故选：C 14. 抛物线的焦点为，点P是抛物线上任意一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以的最小值也即是到准线的距离的最小值， 当与原点重合时，到准线的距离最小为， 也即是的最小值为. 故选：A 15. 北京的小王和深圳的小李是好朋友，两人恰好都计划于2025年国庆节的7天假期中，到上海连续游玩三日，他们约定至少有一天同时出现在上海，则他们不同的出游安排方案共有（ ） A. 12种 B. 13种 C. 19种 D. 21种 【答案】C 【解析】 【分析】利用对立事件的方法求得正确答案. 【详解】记出行日期为， 则两人的出行日期为，各有种方法， 所以两人出行的总的方案数有种， 其中，两人没有同一天的为： 小王，小李； 小王，小李； 小王，小李； 小王，小李； 共种，则至少有一天同时出现在上海的有种. 故选：C 16. 公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus）为了解决倍立方问题而发现了圆锥曲线．他用垂直于母线的平面去截取顶角（圆锥底面圆的一条直径的两个端点与顶点连线所形成的等腰三角形的顶角）分别是锐角、直角、钝角的三种圆锥，得到三种曲线，梅内克缪斯分别称之为锐角、直角和钝角圆锥曲线，今称椭圆、抛物线和双曲线．如图，四面体中，AP、AB、AC两两垂直，，，点O为底面ABC内的一个动点． （1）若，则点O的轨迹是椭圆的一部分； （2）若，则点O的轨迹是双曲线的一部分； （3）若，则点O的轨迹是抛物线的一部分． 以上几个命题中，真命题的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据梅内克缪斯理论，求出圆锥顶角为锐角，直角还是钝角，进而判断轨迹类型即可. 【详解】对于（1），两两垂直，，平面， 平面， ，点在以为轴的圆锥面上， ，，， 设圆锥顶角为，则， 所以顶角为锐角，即点O的轨迹是椭圆的一部分，故（1）正确； 对于（2），当时，点在以为轴的圆锥面上， ，，故， 此时圆锥顶角为直角， 所以O的轨迹是抛物线的一部分，故（2）错误； 对于（3），当时，点在以为轴的圆锥面上， ，， ∴，， 所以顶角为钝角，即点O的轨迹是双曲线的一部分，故（3）错误； 综上，真命题的个数1. 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知函数，（），其导函数为． （1）若，求的值； （2）若的图像过点与，求原点到直线的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，据此可得答案； （2）由题目条件得到，可将直线化简为：，然后由点到直线距离公式可得答案. 【小问1详解】 ， 则； 【小问2详解】 因的图像过点与， 由（1），. 由题可得直线存在，则，则， 则原点到直线的距离为. 18. 设正方体的棱长为2，，的中点分别为，. （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求点到面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，根据异面直线夹角的向量求法即可求解； （2）求出平面的一个法向量，利用点到面的距离向量求法即可求解. 【小问1详解】 在正方体中，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则由题可得：，，，， ∴，， ∴， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 由（1）知.设平面的一个法向量为， 则，即. 令，则，∴平面的一个法向量为. ∵，∴点到面的距离为. 19. 已知（），其中i为虚数单位．将组合数、、、…、作为元素构成集合，将展开式的项的系数、、、···、作为元素构成集合． （1）求的值； （2）在中随机选取三个数，求最大数与最小数至少有一个被选中的选取方案的种数； （3）设、，求的概率． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用赋值法，令即可求； （2）由题设共有6个元素，最大数有1个、最小数有1个，再应用组合数及间接法求选取方案数； （3）问题化为求的概率，结合组合数、二项式定理及复数的乘方性质有、且，进而有或且均为奇数，最后确定有序数对个数并应用古典概型的概率求法求概率. 【小问1详解】 令，则； 【小问2详解】 由题设含、、、、、， 所以，共有6个元素， 若随机选取三个数均不是最大、小数有种，而从中任选三个数有种， 所以最大数与最小数至少有一个被选中的选取方案种； 【小问3详解】 由，即， 由题设，由组合数且构成，共21个元素， 对于，由展开式通项的系数且构成，共31个元素， 所以选取的样本空间容量为， 由于，即，则，故， 所以，只需为奇数时， 所以，即或，显然均为奇数， 对于，共有10个对应的有序数对， 对于（），共有10个对应的有序数对， 综上，共有20个数对，故的概率. 20. 在直角坐标系中，已知椭圆（）的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． （1）求的标准方程； （2）若的斜率为，且，求的值； （3）是否存在，使恒为定值？若存在，请求出与的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的长轴与离心率直接可得解； （2）联立直线与椭圆方程，结合根与系数关系表示向量数量积，即可得解； （3）设直线方程，联立直线与椭圆，结合根与系数关系表示，化简即可得解. 【小问1详解】 由已知椭圆的长轴长为，即， 又椭圆的离心率，则， 所以， 故椭圆方程为； 【小问2详解】 由已知直线的斜率为，且过点，则直线的方程为， 设，， 联立直线与椭圆，得， 则，即， 且，， 则， 则， 解得； 【小问3详解】 当直线斜率存在时，设直线，即， 联立直线与椭圆，得， 则， 且，， 则，， 则， 又恒为定值， 则，解得，即， 且； 当直线斜率不存在时，直线， 则，则，， 此时， 则， 易知当时，. 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 21. 已知函数的定义域为D．若存在非空集合和，使得对任意的，，都有，且成立，则称函数具有“AX”性质． （1）若，，．试判断是否具有“AX”性质； （2）若，，．求证：具有“AX”性质； （3）若，，A中元素的最小值为．求所有使具有“AX”性质的集合A的并集． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，分别计算与，再比较大小，可得答案； （2）由题意，利用作差法并分解因式，再构造函数，根据其单调性以及二次函数性质，可得答案； （3）根据三角函数的性质，分段分析证明不等式成立，利用三角函数恒等式，可得答案. 【小问1详解】 已知对于任意，则， 由，且，则， 不满足成立，所以不具有“”性质. 【小问2详解】 已知，函数定义域. 对于任意，则. 由 ， 因为，所以， 令在上单调递增，则. 由，即. 所以，即成立，所以具有“”性质. 【小问3详解】 已知中元素最小值为，函数定义域. 设，对于任意，且成立. 当时，，此时，满足. 当时，，，显然满足. 当时，. 当时，，因为，所以. 下证当时，对成立： 令 根据和差化积公式， 则， 因为，所以,, ，则， 在上单调递增，，即. 当时，，则，整理得， ，而当，则，不符合题意， 所以满足条件的是，其并集就是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $