专题06一元一次不等式 期末复习讲义 -2025-2026学年苏科版数学七年级下册

专题06一元一次不等式期末复习讲义 期末复习◆重点 基础概念：识别五种不等号，读懂至少、至多等文字不等关系；区分不等式单个解与解集，掌握数轴画解集规则，空心不含、实心包含。 不等式性质：牢记三条变形规则，加减、乘正数不等号方向不变，乘除负数必须改变不等号方向，是解题核心易错点。 一元一次不等式：掌握一元一次不等式判定条件，按去分母、去括号、移项、合并、系数化 1 五步求解；能根据解集找出正整数、非负整数等特殊解。 一元一次不等式组：分别解每个不等式，取解集公共部分；利用同大取大、同小取小等四句口诀快速判断解集，会判断不等式组无解的情况。 含参数题型：借助数轴分析边界，根据不等式（组）有解、无解、限定整数解数量，确定参数取值范围，重点区分边界能否取等号。 实际应用题：提取题干不等关系，设未知数列不等式或不等式组，求解后结合人数、物品为正整数的现实条件取舍，解决分配、方案选择、最值类大题。 核心题型◆归纳 题型1.不等式的定义 题型2.不等式的解集 题型3.不等式的性质 题型4.一元一次不等式的定义 题型5.求一元一次不等式的解集 题型6.求一元一次不等式的整数解 题型7.在数轴上表示不等式的解集 题型8.求一元一次不等式解的最值 题型9.一元一次不等式组的定义 题型10.求不等式组的解集 题型11.求一元一次不等式组的整数解 题型12.由一元一次不等式组的解集求参数 题型13.由不等式组解集的情况求参数 题型14.不等式组和方程组结合的问题 题型15.列一元一次不等式组 题型16.不等式组的行程问题 题型17.不等式组的经济问题 题型18.不等式组的分配问题 题型19.不等式组的方案选择问题 题型20.一元一次不等式组的其他应用 题型21.列一元一次不等式 题型22.用一元一次不等式解决实际问题 题型23.用一元一次不等式解决几何问题 重点知识◆梳理 【知识点一、不等式】 1.核心定义：用不等号>、<、≥、≤、≠表示不等关系的式子，叫做不等式。 2.常见不等号 3. 不等式的解与解集 （1）使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 （2）一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合，叫做这个不等式的解集。 （3）求不等式解集的过程，称为解不等式。 4.不等式的基本性质 （1)不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。 如果a>b,则a± c > b± c （2)不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 如果a>b，c>0,则ac>bc , >(c>0) (3)不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。 如果a>b,c<0, 则ac<bc, <(c<0) 易错提醒：乘除负数时，必须改变不等号方向，否则变形错误。 【知识点二、一元一次不等式】 1.定义：只含一个未知数、未知数次数为1、左右均为整式的不等式，叫做一元一次不等式。标准形式：ax+b<0或ax+b>0（a≠0）： 关键词：一个未知数、次数1、整式（分母不含未知数）。 2.一元一次不等式的解 （1）一元一次不等式的解法：根据不等式的性质，将不等式逐步化为x>a，x≥a,x<a,x≤a的形式，； （2）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1. 3.一元一次不等式的解集：使不等式成立的未知数所有值的集合。 核心：一个不等式有无数个解，解集是所有解的集合。 4.解集表示 （1）一元一次不等式的解集由文字、符号、数轴三种表示方法，核心是通过数轴直观呈现解集的范围， (2)利用数轴表示不等式的解集通常有以下四种情况： 【知识点三、一元一次不等式组】 1.定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 2.关键提醒：必须满足“同一个未知数”“每个不等式均为一元一次不等式”两个条件，缺一不可。 3.一元一次不等式组的解集 一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集； 无公共部分则无解。 4.一元一次不等式组的解法步骤 （1）解：分别解不等式组中的每个一元一次不等式，求出每个不等式的解集（注意乘除负数变号）； （2）画：在同一数轴上表示所有解集（数轴三要素：原点、正方向、单位长度）；（3）找：取多个解集的公共部分为不等式组解集；无公共部分则无解 （4）表：用式子、文字或数轴规范写出最终解集。 ★解集四种类型（设a < b，）： 【知识点四、一元一次不等式组的应用】 ★核心：结合题意找出两个及以上不等关系，列出一元一次不等式组，求解后结合实际意义筛选符合条件的解集。 ★关键要点：聚焦取值范围类问题，不等关系源于题干中“至少”“最多”“不超过”“不低于”等关键词，求解后需结合实际意义（如正整数、非负数）检验。 规范解题步骤： （1）审题：找出题干中的不等关系，圈画关键限定词 （2）设元：设出关键未知数； （3）列组：根据不等关系列出一元一次不等式组； （4）求解：解不等式组，得出解集； （5）检验：结合实际意义筛选符合条件的解。 题型解析◆精准备考 题型1.不等式的定义 1．小林在水果摊上买了苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的”如果设苹果的实际质量为，用不等式把意思表示出来是（ ） A． B． C． D． 2．“x减去y的差的2倍不大于x的一半减去6”列不等式：___________． 3．（为定值）是关一元一次不等式，求关于的方程的解． 题型2.不等式的解集 1．已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（     ） A．是这个不等式的解 B．1不是这个不等式的解 C．大于的数都是这个不等式的解 D．大于的数都是这个不等式的解 2．已知是关于x，y的二元一次方程，则________（填“是”或“不是”）不等式的解． 3．若关于x的不等式有且只有一个正整数解，求a的取值范围． 题型3.不等式的性质 1．下列判断不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知关于的不等式，两边同时除以，得，则的取值范围为__________． 3．问题呈现：已知实数、满足：，，求的取值范围． 解：由两边同乘以得， 的取值范围为：． 类比学习： (1)若实数、满足：，，求的取值范围； (2)若实数、满足：，，求的最大值． 题型4.一元一次不等式的定义 1．下列各式中属于一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 2．已知是关于的一元一次不等式，则的值是____． 3．若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值． 题型5.求一元一次不等式的解集 1．已知实数，满足， ，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知是方程的解，那么不等式的解集是______． 3．解不等式：． 题型6.求一元一次不等式的整数解 1．不等式的所有正整数解的和是（     ） A．10 B．15 C．6 D．3 2．若不等式的最小整数解是关于的方程的解，则式子的值为____________． 3．已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)当a为何整数时，不等式的解集为？ 题型7.在数轴上表示不等式的解集 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 2．请写出一个解集在数轴上表示如图所示的一元一次不等式：______． 3．在数学活动课上，老师展示了如下问题，请同学们进行思考求解．如图，已知点A，B，C在数轴上的对应值分别为，，． (1)由图可知，点A在点B左侧，据此可列出怎样的不等式？ (2)由图可知，点C在点B右侧，据此可列出怎样的不等式？ (3)请分别求出（1），（2）所列的两个不等式的解集； (4)综合（1），（2）中两个不等式的解集，x的取值范围是什么？并在数轴上表示该取值范围． 题型8.求一元一次不等式解的最值 1．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．当_________时，有最小值，最小值是_________； 3．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 题型9.一元一次不等式组的定义 1．下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ） （） ()()() A．() B．() C．()、() D．()、() 2．我们规定任意两点M、N之间的距离记作，已知点A在数轴上，对应的数是，点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足，请用不等式表示出所有符合条件的点Q所对应数x的范围______． 3．规定：{x}表示不小于x的最小整数，如{4}=4，{}=，{}=．在此规定下任意数x都能写出如下形式：，其中. (1)直接写出的大小关系： ； (2)根据（1）中的关系式解决下列问题： ①满足的x的取值范围是 ； ②求适合的x的值． 题型10.求不等式组的解集 1．如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集（     ） A． B． C． D． 2．不等式组的解集是___________． 3．解不等式组，并把解集表示在数轴上． 题型11.求一元一次不等式组的整数解 1．不等式组的整数解个数为（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（1）不等式的最小整数解是_______． （2）不等式组的所有整数解的和为_______． 3．已知：佳佳同学解一元一次不等式的过程（如下），请完成任务并解答新问题： 佳佳的解答过程： 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 解答下列问题： (1)请指出佳佳解答过程中从第几步开始出现错误； (2)写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示； (3)解不等式组：并求出该不等式组的整数解，再将解集表示在数轴上． 题型12.由一元一次不等式组的解集求参数 1．关于的不等式组的解集是，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．如果不等式组无解，的取值可以是_____（写一个符合要求的即可）． 3．已知不等式组的解集是，则的值等于多少？ 题型13.由不等式组解集的情况求参数 1．不等式组的解集是，则a的取值范围是(     ) A． B． C． D． 2．关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是_____． 3．当时，若关于的不等式组的解集为，则称为该不等式组的“解集长度”，如不等式组的解集为，则其“解集长度”为． (1)不等式组的“解集长度”是________； (2)已知关于的不等式组的“解集长度”为2，则________； (3)已知关于的不等式组的“解集长度”小于3，求的取值范围． 题型14.不等式组和方程组结合的问题 1．已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．已知关于x、y的方程组．①当时，方程组的解是；②无论m为何值，方程组的解都是关于x，y的二元一次方程的解；③方程组的解x与y可以同为负数．其中正确的是___________．（填写序号） 3．感知：解不等式 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或 解不等式组得，解不等式组得 原不等式的解集为或 问题解决： (1)应用：不等式的解集为 ； (2)变式：求不等式的解集； (3)综合：已知关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 题型15.列一元一次不等式组 1．野生兰草适宜生长在温度为的山区．已知海拔每升高，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为．设野生兰草在海拔高度为的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为__________． 3．班级组织研学，现有甲、乙两种客车：甲车载客30人，乙车载客20人．全班共120人，计划租车总数不超过5辆，全部坐满无空位． (1)设租甲车x辆，列出符合题意的不等式组； (2)求出所有可行租车方案． 题型16.不等式组的行程问题 1．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 2．在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．某模拟线路上依次设有，，三个路口，相邻路口间距为，．假设，，各路口红绿灯均按“绿灯30 s、红灯30 s”交替循环，路口绿灯亮起后20 s，路口绿灯亮起；路口绿灯亮起后40 s，路口绿灯亮起．绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．一辆汽车从路口出发时路口绿灯刚好开始亮起，全程绿灯匀速通过，，三个路口的“绿波速度”的最大值是__________． 3．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 题型17.不等式组的经济问题 1．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 2．学校计划购买办公椅和会议桌共件，以改善教师办公环境．计划中，办公椅每把元，会议桌每张元，总预算元．实际采购时，商家给予优惠：办公椅打九折，会议桌降价出售且降价幅度不超过原价的．最终，办公椅的购买量增加，会议桌数量不变，实际支出比计划多元．则学校实际购买了办公椅___________把． 3．广州市海心沙亚运公园经常有一些小商贩向游客售卖“小蛮腰”纪念品，纪念品有大小两种类型，（分别记为A型、B型）． (1)年国庆当天，明明与妹妹慧慧也在海心沙售卖“小蛮腰”纪念品，兄妹俩一天卖出两种型号的“小蛮腰”共个，售价A型每个元，B型每个元，销售额正好元，求A、B两种型号各卖出多少个？ (2)两种类型的“小蛮腰”纪念品批发价分别为元/个、元/个．国庆假最后一天，明明和慧慧拿元去进货，在售价与（1）相同的情况下，若要使当天利润不低于元，A型最多进多少个？ 题型18.不等式组的分配问题 1．某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 2．振兴中学初一年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们，如果每人送本，则还余本；如果每人送本，则最后一人能得到课外读物但不足本．设初一年级有名学生获奖．则列不等式组为___________． 3．为了筹备初三学生的心理赋能活动，学校准备采购心愿卡和明信片用于本次活动．心愿卡每件12元，明信片每件9元．计划一共采购100件，总费用不超过1100元，且心愿卡的数量不少于明信片数量的一半．则至少需要采购心愿卡多少件？ 题型19.不等式组的方案选择问题 1．为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目．学校计划拿出1200元钱全部用于购买排球和足球（两种都买），已知排球每个80元，足球每个60元，则购买方案有（     ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 2．三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该校从商店购买了A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买A种品牌的足球不超过43个，则有哪几种购买方案？ 题型20.一元一次不等式组的其他应用 1．如图是小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而响起“嘀嘀”警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯承载的重量超过450公斤时响起警示音，小丽、小欧的体重分别为55公斤、70公斤．设小丽进入电梯前电梯已承载的重量为公斤，则的取值范围是（     ） A．B．C． D． 2．学校给七年级男生安排宿舍，如果安排人一间，还有人安排不下；如果安排人一间，则只有一间宿舍未住满，且该间宿舍也有人住，那么，学校给七年级男生分配的宿舍有______间． 3．班级组织研学活动，统一安排小车前往目的地，若每辆车坐4人，则有15名学生没有车坐，若每辆车坐6人，最后一辆车人数超过3人，但不足6人. (1)设有辆车，用含的式子表示学生人数 . (2)求此次研学安排了多少辆小车？ 题型21.列一元一次不等式 1．某商店购进一批服装，每件进价100元，标价130元，打折销售后利润率不低于，设打x折，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．某服装店购进了一批服装，这批服装每件的进价为200元，每件的售价为300元，现在该服装店准备将这批服装降价处理，打折出售，若使得每件衣服的利润不低于10元，则根据题意可列不等式为________． 3．用甲、乙两种原料调制成某种饮料，这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格见下表： 原料 甲 乙 维生素C的含量（单位） 600 100 原料价格（元） 8 4 (1)如果要求这种饮料中至少含有4200单位的维生素C，那么所需甲种原料的质量x（单位：）应满足怎样的不等式？ (2)如果要求调制这种饮料的原料费用不超过72元，那么所需甲种原料的质量x（单位：）又满足怎样的不等式？ 题型22.用一元一次不等式解决实际问题 1．为响应乡村振兴号召，某村合作社计划种植甲、乙两种经济作物．已知相关信息如下：购买2亩甲作物幼苗和3亩乙作物幼苗共需4300元；购买3亩甲作物幼苗和1亩乙作物幼苗共需3300元．种植1亩甲作物，预计可获纯利润1200元；种植1亩乙作物，预计可获纯利润1500元．合作社现有资金5万元，计划种植总面积不超过40亩，且两种作物都至少种植5亩．下列结论正确的有（     ） 结论①：甲作物幼苗每亩800元，乙作物幼苗每亩900元； 结论②：若种植甲作物10亩、乙作物25亩，总利润可达到49500元； 结论③：在资金和种植面积限制下，总利润的最大值为57000元； 结论④：满足所有条件的种植方案中，种植乙作物的亩数最多比种植甲作物的亩数多20亩． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．某种商品的进价为250元，出售时标价为500元，后由于商品滞销，但要保持利润率不低于，则至多可在标价的基础上打_____________折． 3．某商店欲购进，两种商品，若购进种商品件和种商品件需元；购进种商品件和种商品件需元． (1)求，两种商品每件的进价分别为多少元； (2)若该商品店每销售件种商品可获利元，每销售件种商品可获利元，该商品店准备购进，两种商品共件，且这两种商品全部售出后利润不少于元，则至少购进多少件种商品？ 题型23.用一元一次不等式解决几何问题 1．数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 2．长方形的周长小于，长与宽都是质数，且长与宽的和是奇数，则该长方形的面积是________． 3．如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是． (1)______（用含m的代数式表示）； (2)求当与的差不小时，m的最小整数值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06一元一次不等式期末复习讲义 期末复习◆重点 基础概念：识别五种不等号，读懂至少、至多等文字不等关系；区分不等式单个解与解集，掌握数轴画解集规则，空心不含、实心包含。 不等式性质：牢记三条变形规则，加减、乘正数不等号方向不变，乘除负数必须改变不等号方向，是解题核心易错点。 一元一次不等式：掌握一元一次不等式判定条件，按去分母、去括号、移项、合并、系数化 1 五步求解；能根据解集找出正整数、非负整数等特殊解。 一元一次不等式组：分别解每个不等式，取解集公共部分；利用同大取大、同小取小等四句口诀快速判断解集，会判断不等式组无解的情况。 含参数题型：借助数轴分析边界，根据不等式（组）有解、无解、限定整数解数量，确定参数取值范围，重点区分边界能否取等号。 实际应用题：提取题干不等关系，设未知数列不等式或不等式组，求解后结合人数、物品为正整数的现实条件取舍，解决分配、方案选择、最值类大题。 核心题型◆归纳 题型1.不等式的定义 题型2.不等式的解集 题型3.不等式的性质 题型4.一元一次不等式的定义 题型5.求一元一次不等式的解集 题型6.求一元一次不等式的整数解 题型7.在数轴上表示不等式的解集 题型8.求一元一次不等式解的最值 题型9.一元一次不等式组的定义 题型10.求不等式组的解集 题型11.求一元一次不等式组的整数解 题型12.由一元一次不等式组的解集求参数 题型13.由不等式组解集的情况求参数 题型14.不等式组和方程组结合的问题 题型15.列一元一次不等式组 题型16.不等式组的行程问题 题型17.不等式组的经济问题 题型18.不等式组的分配问题 题型19.不等式组的方案选择问题 题型20.一元一次不等式组的其他应用 题型21.列一元一次不等式 题型22.用一元一次不等式解决实际问题 题型23.用一元一次不等式解决几何问题 重点知识◆梳理 【知识点一、不等式】 1.核心定义：用不等号>、<、≥、≤、≠表示不等关系的式子，叫做不等式。 2.常见不等号 3. 不等式的解与解集 （1）使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 （2）一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合，叫做这个不等式的解集。 （3）求不等式解集的过程，称为解不等式。 4.不等式的基本性质 （1)不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。 如果a>b,则a± c > b± c （2)不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 如果a>b，c>0,则ac>bc , >(c>0) (3)不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。 如果a>b,c<0, 则ac<bc, <(c<0) 易错提醒：乘除负数时，必须改变不等号方向，否则变形错误。 【知识点二、一元一次不等式】 1.定义：只含一个未知数、未知数次数为1、左右均为整式的不等式，叫做一元一次不等式。标准形式：ax+b<0或ax+b>0（a≠0）： 关键词：一个未知数、次数1、整式（分母不含未知数）。 2.一元一次不等式的解 （1）一元一次不等式的解法：根据不等式的性质，将不等式逐步化为x>a，x≥a,x<a,x≤a的形式，； （2）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1. 3.一元一次不等式的解集：使不等式成立的未知数所有值的集合。 核心：一个不等式有无数个解，解集是所有解的集合。 4.解集表示 （1）一元一次不等式的解集由文字、符号、数轴三种表示方法，核心是通过数轴直观呈现解集的范围， (2)利用数轴表示不等式的解集通常有以下四种情况： 【知识点三、一元一次不等式组】 1.定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 2.关键提醒：必须满足“同一个未知数”“每个不等式均为一元一次不等式”两个条件，缺一不可。 3.一元一次不等式组的解集 一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集； 无公共部分则无解。 4.一元一次不等式组的解法步骤 （1）解：分别解不等式组中的每个一元一次不等式，求出每个不等式的解集（注意乘除负数变号）； （2）画：在同一数轴上表示所有解集（数轴三要素：原点、正方向、单位长度）；（3）找：取多个解集的公共部分为不等式组解集；无公共部分则无解 （4）表：用式子、文字或数轴规范写出最终解集。 ★解集四种类型（设a < b，）： 【知识点四、一元一次不等式组的应用】 ★核心：结合题意找出两个及以上不等关系，列出一元一次不等式组，求解后结合实际意义筛选符合条件的解集。 ★关键要点：聚焦取值范围类问题，不等关系源于题干中“至少”“最多”“不超过”“不低于”等关键词，求解后需结合实际意义（如正整数、非负数）检验。 规范解题步骤： （1）审题：找出题干中的不等关系，圈画关键限定词 （2）设元：设出关键未知数； （3）列组：根据不等关系列出一元一次不等式组； （4）求解：解不等式组，得出解集； （5）检验：结合实际意义筛选符合条件的解。 题型解析◆精准备考 题型1.不等式的定义 1．小林在水果摊上买了苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的”如果设苹果的实际质量为，用不等式把意思表示出来是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的知识和生活常识，根据生活常识，“秤高高的”通常指称量时显示的数值超过目标值，即实际质量大于显示的数值，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据不等式的知识和生活常识，进行作答，即可求解； 【详解】由题意可知，摊主称量苹果时显示为，并称“秤高高的”，这表示实际质量超过显示的，因此，用不等式表示为，对应选项C， 故选：C； 2．“x减去y的差的2倍不大于x的一半减去6”列不等式：___________． 【答案】 【分析】先将题目中的文字语言转化为数学语言，分别表示出对应代数式，再根据“不大于”的含义确定不等号，即可列出不等式． 【详解】解：∵减去的差为， ∴减去的差的倍为， 又∵x的一半减去6为， 因此列出不等式为． 3．（为定值）是关一元一次不等式，求关于的方程的解． 【答案】方程的解为或． 【分析】先根据一元一次不等式的定义得到，求得，则可得到，由此求解即可． 【详解】解：∵（为定值）是关一元一次不等式， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义，解绝对值方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 题型2.不等式的解集 1．已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（     ） A．是这个不等式的解 B．1不是这个不等式的解 C．大于的数都是这个不等式的解 D．大于的数都是这个不等式的解 【答案】D 【分析】已知不等式解集为，根据不等式解的定义，判断每个选项是否符合解集条件即可得到结论． 【详解】解：对于A选项，， ∴ -3不是这个不等式的解，A错误； 对于B选项，， ∴ 1是这个不等式的解，B错误； 对于C选项，例如，但，不是不等式的解， ∴ C错误； 对于D选项，所有大于的数都满足， ∴ 大于的数都是这个不等式的解，D正确． 2．已知是关于x，y的二元一次方程，则________（填“是”或“不是”）不等式的解． 【答案】不是 【分析】先根据二元一次方程的定义求出k值，从而得k+1的值，再把k+1代入不等式检验，即可求解． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴，解得：k=-5， ∴k+1=-5+1=-4， 把x=k+1=-4代入不等式左边得-4+2=-2, 把x=k+1=-4代入不等式右边得2×(-4)-1=-9, ∵-2>-9， ∴k+1不是不等式的解， 故答案为：不是． 【点睛】本题考查二元一次方程的定义，判定一个数是否是不等式的解，求出k值是解题的关键． 3．若关于x的不等式有且只有一个正整数解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】解题思路是先根据题意确定唯一的正整数解，再结合不等式的性质分析端点的取值，从而得到的取值范围，正确判断端点能否取到是解题关键． 【详解】解： 关于的不等式有且只有一个正整数解， 则唯一的正整数解为， 若，不等式没有正整数解，不符合要求， 若，不等式至少包含两个正整数解，不符合要求， 因此的取值范围为． 题型3.不等式的性质 1．下列判断不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】注意不等式两边乘除同一个数时，该数的符号会影响不等号的方向，符号不确定时无法确定变形结果． 【详解】解：根据不等式的基本性质逐一判断： A选项，∵ ，不等式两边同乘，不等号方向改变， ∴ ，A判断正确； B选项，∵ ，不等式两边同加，不等号方向不变， ∴ ，B判断正确； C选项，∵ ，当时可得，当时可得，当时， 故的符号不确定，无法推出，C判断不正确； D选项，∵ ， ∴ ， ∵ ，不等式两边同乘正数，不等号方向不变， ∴ ，D判断正确． 2．已知关于的不等式，两边同时除以，得，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，当不等式两边同时除以一个负数时，不等号的方向会发生改变．不等式两边除以后，不等号方向由“”变为“”，说明除数是负数，由此可列出关于的不等式求解． 【详解】解：已知不等式，两边同时除以后不等号方向改变，得：． 根据不等式的性质，这说明除数 解这个不等式：： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是记住“不等式两边除以负数时，不等号方向改变”这一性质，从而判断出的符号，进而求出的取值范围． 3．问题呈现：已知实数、满足：，，求的取值范围． 解：由两边同乘以得， 的取值范围为：． 类比学习： (1)若实数、满足：，，求的取值范围； (2)若实数、满足：，，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据已知的取值范围，不等式两边同乘得到的取值范围，再将的范围与的范围对应相加，即可得到的取值范围； （2）同（1）求出的取值范围，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：由两边同乘以得，， ， 的取值范围为：； （2）解：由两边同乘以得，， ， ， 的取值范围为： ， 的最大值为． 题型4.一元一次不等式的定义 1．下列各式中属于一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次不等式需满足：只含一个未知数，未知数次数为1，左右两边为整式，是单个不等式； 【详解】解：式子含有两个未知数，不是一元一次不等式，∴A不符合要求； 式子只含1个未知数，未知数次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，∴B符合要求； 式子中，是分式，不是整式，不是一元一次不等式，∴C不符合要求； 选项D是由两个一元一次不等式组成的不等式组，不是一元一次不等式，∴D不符合要求． 2．已知是关于的一元一次不等式，则的值是____． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，可得未知数的次数为，且的系数不为，据此列关系式求解即可. 【详解】解：是关于的一元一次不等式， 且， ∵， ∴， 或， ∵， ∴， ， 故答案为 ：. 3．若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值． 【答案】m=0， n≠3． 【分析】根据一元一次不等式的定义知道二次项系数为零，一次项系数不为零，即可求出m、n的取值. 【详解】解∵不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式， ∴二次项系数为零，一次项系数不为零， 又∵3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3化简为: mx2+(n-3)x≥0 ∴解得：m=0，n﹣3≠0． 故m=0，n≠3． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义（只有一个未知数，且未知数的次数为1，系数为零，左右两边为整式），熟记一元一次不等式的定义是解题的关键. 题型5.求一元一次不等式的解集 1．已知实数，满足， ，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知等式得到与的等量关系，代入不等式求出的取值范围，再得到的范围，最后分别化简各选项的表达式，结合不等式性质判断正误即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 整理得，两边同时减，得， ，两边同时除以，得 ，故A错误； ∵，， ∴，故B错误； 对于C，， ∵， ∴， ∴， 即，故C错误； 对于D，， ∵， ∴， 即，故D正确． 2．已知是方程的解，那么不等式的解集是______． 【答案】 【分析】先将方程的解代入已知方程求出的值，再将代入不等式，根据不等式的基本性质求解不等式即可得到解集． 【详解】解：把代入方程得 ， 解得， 将代入不等式得， 化简得， ∴． 3．解不等式：． 【答案】 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，结合不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 题型6.求一元一次不等式的整数解 1．不等式的所有正整数解的和是（     ） A．10 B．15 C．6 D．3 【答案】A 【详解】解：去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为，得 ， 不等式的正整数解为 ， 正整数解的和为 ． 2．若不等式的最小整数解是关于的方程的解，则式子的值为____________． 【答案】2025 【分析】先解不等式，求出它的最小整数解；再将这个最小整数解代入方程，求出的值；最后把的值代入代数式计算出最终结果． 【详解】解：①解不等式： ． ∴该不等式的最小整数解为． ②代入方程求： 将代入方程 ． ③计算代数式的值： 将代入 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法、一元一次方程的解法以及代数式求值，解题关键是按“解不等式→求最小整数解→代入方程求→代入代数式求值”的步骤有序计算，确保每一步的准确性． 3．已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)当a为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）两个方程相加可得出，根据列出关于的不等式组，解之可得答案； （2）根据不等式的解集为、为整数和（1）中的取值范围，可以求得的值； 【详解】（1）解：两个方程相加可得， 则， ∵ ∴， 解得； （2）解：由不等式，得， ∵不等式的解集为， ∴， 解得，     又∵且a为整数， ， 或或0， 即a的值是或或0． 题型7.在数轴上表示不等式的解集 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 即不等式的解集为，在数轴上表示为 2．请写出一个解集在数轴上表示如图所示的一元一次不等式：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先由数轴判断不等式的解集，再根据解集写出一元一次不等式即可． 【详解】解：由数轴可知解集为， ∴解集是的一元一次不等式为． 3．在数学活动课上，老师展示了如下问题，请同学们进行思考求解．如图，已知点A，B，C在数轴上的对应值分别为，，． (1)由图可知，点A在点B左侧，据此可列出怎样的不等式？ (2)由图可知，点C在点B右侧，据此可列出怎样的不等式？ (3)请分别求出（1），（2）所列的两个不等式的解集； (4)综合（1），（2）中两个不等式的解集，x的取值范围是什么？并在数轴上表示该取值范围． 【答案】(1) (2) (3)， (4)， 【分析】（1）根据数轴左边的数小于右边的数列不等式； （2）根据数轴左边的数小于右边的数列不等式； （3）根据解不等式的方法求解； （4）由（3）写出x的取值范围，然后在数轴表示即可． 【详解】（1）解：由图可知，点A在点B左侧， ∴； （2）解：由图可知，点C在点B右侧， ∴； （3）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （4）解：∵且 ∴x的取值范围是； 数轴表示略． 题型8.求一元一次不等式解的最值 1．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，用x表示z得到，则，所以，再利用，得到，解不等式得到，所以，然后解不等式得到t的最大值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为1． 2．当_________时，有最小值，最小值是_________； 【答案】 7 【分析】根据题意以及绝对值的非负性，再利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】当x>3时， 当时， =7； 当x<-4时， 当时，有最小值7． 故答案为：；7． 【点睛】本题考查了绝对值相关最值的求解，涉及不等式运算，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用分类讨论的数学思想解答． 3．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义建立方程，解一元一次方程即可得； （2）根据新运算的定义建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， 解得． （2）解：由题意得：， ， ∵， ∴， 解得， 所以不等式的最大整数解为． 题型9.一元一次不等式组的定义 1．下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ） （） ()()() A．() B．() C．()、() D．()、() 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义进行判断即可，正确理解一元一次不等式组的定义是解题的关键． 【详解】解：根据一元一次不等式组的概念，可知（）、（）、（）是一元一次不等式组，（）中含有两个未知数，且最高次数为，故不是一元一次不等式组， 故选：． 2．我们规定任意两点M、N之间的距离记作，已知点A在数轴上，对应的数是，点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足，请用不等式表示出所有符合条件的点Q所对应数x的范围______． 【答案】 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，有理数的减法等知识，分“当点Q在A点的左边，即时，当点Q在线段上，当点Q在B点的右边”三种情况讨论即可得解，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键． 【详解】解：当点Q在A点的左边，即时，； 当点Q在线段上，即时，； 当点Q在B点的右边，即时，； 故答案为： 3．规定：{x}表示不小于x的最小整数，如{4}=4，{}=，{}=．在此规定下任意数x都能写出如下形式：，其中. (1)直接写出的大小关系： ； (2)根据（1）中的关系式解决下列问题： ①满足的x的取值范围是 ； ②求适合的x的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，利用已知得出不等式组是解题关键. （1）利用，其中得出，进而得出答案； （2）①利用（1）中所求得出，进而得出即可； ②利用（1）中所求得出，进而得出即可. 【详解】（1）解：由题意可得：； 故答案为：； （2）①， ∴， 解得，， 故答案为； ②∵， 由（1）得：，且为整数， ， 解得： 整数是2或3， 当时，得， 当时，得， 适合的的值是或. 题型10.求不等式组的解集 1．如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上表示不等式解集的方法：空心圆圈表示不包含该点，实心圆点表示包含该点，折线向右表示大于，向左表示小于，据此写出不等式组即可． 【详解】解：由数轴可知，处为空心圆圈且折线向右，表示；处为实心圆点且折线向左，表示． 该不等式组的解集为，即． 2．不等式组的解集是___________． 【答案】 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为． 3．解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】； 【详解】解：解得：， 解得：， ∴不等式组的解集为． 图略 题型11.求一元一次不等式组的整数解 1．不等式组的整数解个数为（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再找出解集中的所有整数，统计个数即可得到结果． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为：，共个． 2．（1）不等式的最小整数解是_______． （2）不等式组的所有整数解的和为_______． 【答案】 【分析】（1）根据“去括号、移项、合并同类项”可得不等式的解集，在解集范围内确定最小整数解即可； （2）根据不等式的性质求出解集，再根据要求找出对应整数解，计算得到最终结果． 【详解】解：（1） 去括号得， 移项得， 合并同类项得 ， 因此该不等式的最小整数解为； （2） 不等式各项同时加得， 不等式各项同时乘得， 因此该不等式的所有整数解为， 所有整数解的和为． 3．已知：佳佳同学解一元一次不等式的过程（如下），请完成任务并解答新问题： 佳佳的解答过程： 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 解答下列问题： (1)请指出佳佳解答过程中从第几步开始出现错误； (2)写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示； (3)解不等式组：并求出该不等式组的整数解，再将解集表示在数轴上． 【答案】(1)一 (2)解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 不等式的解集在数轴上表示为： (3) 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． ∴不等式组的整数解有，，，，，． 不等式组的解集在数轴上表示为： 【详解】（1）解：解不等式的第一步不等式两边同乘，左边这一项没乘，因此从第一步开始出现错误； （2）略 （3）略 题型12.由一元一次不等式组的解集求参数 1．关于的不等式组的解集是，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再根据一元一次不等式组“同小取小”的解集原则，结合已知解集得到关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集是，根据“同小取小”的原则，可得， 不等式两边同时加，得． 2．如果不等式组无解，的取值可以是_____（写一个符合要求的即可）． 【答案】1（不唯一，不大于3即可） 【详解】解：由，得， ∵不等式组无解， ∴， ∴的取值可以是1． 3．已知不等式组的解集是，则的值等于多少？ 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集，进而可得的值，再代入计算即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组有解， ∴这个不等式的解集是， 又∵这个不等式组的解集是， ∴，， 解得， ∴． 题型13.由不等式组解集的情况求参数 1．不等式组的解集是，则a的取值范围是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再根据不等式组的已知解集，利用“同小取小”的解集确定规则得到关于a的方程，解方程即可得到a的值． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组的解集是， ∴，解得． 2．关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是_____． 【答案】或 【分析】先求出不等式组的解集，再根据解集情况即可求出的取值范围． 【详解】解：解得， ∴， ∵所有整数解的和是，，， ∴当整数解为时，可得；当整数解为时，可得． 故的取值范围是或． 3．当时，若关于的不等式组的解集为，则称为该不等式组的“解集长度”，如不等式组的解集为，则其“解集长度”为． (1)不等式组的“解集长度”是________； (2)已知关于的不等式组的“解集长度”为2，则________； (3)已知关于的不等式组的“解集长度”小于3，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）求出不等式解集，利用题目所给定义求出“解集长度”； （2）求出不等式解集，表示出其“解集长度”，结合题目条件即可求出的值； （3）求出不等式解集，表示出其“解集长度”，结合题目条件即可求的取值范围，这里注意这个条件． 【详解】（1）解：， ①移项得，解得， ②移项得，解得， 故原不等式组的解集为， 故其“解集长度”为； （2）解：， 解①得， ②移项得， 解得， 故原不等式组的解集为， 其“解集长度”为2， ， 解得； （3）解：， ①化简得，移项得，解得， 解②得， 故原不等式组的解集为， 其“解集长度”小于3， ， ①化简得，解得， ②化简得，解得， ． 题型14.不等式组和方程组结合的问题 1．已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式组的解集，先利用加减消元法推出，再由推出，据此可得答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴整数k值为2024， 故选：C． 2．已知关于x、y的方程组．①当时，方程组的解是；②无论m为何值，方程组的解都是关于x，y的二元一次方程的解；③方程组的解x与y可以同为负数．其中正确的是___________．（填写序号） 【答案】①② 【分析】先解方程组，用含m的式子表示，即．①把代入即可；②把方程组的解代入方程，成立则为方程的解，否则不是方程的解；③解不等式组，根据不等式组的解集进行判断． 【详解】解方程组得， ①当时，方程组的解是，故①正确； ②把代入方程，得： 左边右边， ∴是方程的解， 即方程组的解都是关于x，y的二元一次方程的解， 故②正确； ③若x与y可以同为负数，则， 该不等式组无解， ∴方程组的解x与y不能同为负数， 故③错误． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查方程组的解，一元一次不等式组，正确理解方程组的解是解题的关键． 3．感知：解不等式 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或 解不等式组得，解不等式组得 原不等式的解集为或 问题解决： (1)应用：不等式的解集为 ； (2)变式：求不等式的解集； (3)综合：已知关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）按照例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）按照例题的解题思路进行计算，即可解答； （3）先求解出二元一次方程组的解用含的参数表示出来，再根据，按照例题的思路进行求解即可 【详解】（1）解：根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为或， 解不等式组得：且，故不等式组无解， 解不等式组得， 原不等式的解集为； （2）解：根据两数相除，异号得负，原不等式可以转化为或， 解不等式组得：且，故不等式组无解， 解不等式组得， ∴原不等式的解集为； （3）解：解方程组得：， ∵ ， ∴或， 解不等式组得， 解不等式组得且，故不等式组无解， ∴的取值范围为． 题型15.列一元一次不等式组 1．野生兰草适宜生长在温度为的山区．已知海拔每升高，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为．设野生兰草在海拔高度为的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算目标海拔相对已知海拔的升高量，再根据气温变化规律得到目标海拔处的气温，最后结合适宜温度范围列出不等式组即可． 【详解】解：∵野生兰草适宜温度为，已知海拔处气温为，目标海拔为， ∴目标海拔相对已知海拔的升高量为， ∵海拔每升高，气温下降， ∴总下降气温为，因此处的气温为， 根据适宜温度范围可得不等式． 2．把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为__________． 【答案】 【分析】设有a个学生，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：，根据最后一个同学最多分得3个，即大于0个小于等于3个，列出一元一次不等式组即可求解． 【详解】由已知条件可得，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为： 最后一个同学最多分得3个， 则，即． 故答案为． 【点睛】本题考查了列不等式组，根据题意找到不等关系列出不等式是解题的关键． 3．班级组织研学，现有甲、乙两种客车：甲车载客30人，乙车载客20人．全班共120人，计划租车总数不超过5辆，全部坐满无空位． (1)设租甲车x辆，列出符合题意的不等式组； (2)求出所有可行租车方案． 【答案】(1) (2)租甲车2辆，乙车3辆或租甲车4辆，乙车0辆 【分析】（1）由甲车数量为非负数，乙车数量为非负数，租车总数不超过5辆，三个不等关系列出不等式组； （2）解出不等式组，并由为非负整数，写出所有情况． 【详解】（1）略 （2） 不等式组的解集为 x为非负整数，，3，4 方案1：甲2辆，乙3辆 方案2：甲3辆，乙1.5辆(舍去，车辆整数) 方案3：甲4辆，乙0辆 可行方案∶租甲车2辆，乙车3辆或租甲车4辆，乙车0辆． 题型16.不等式组的行程问题 1．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 2．在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．某模拟线路上依次设有，，三个路口，相邻路口间距为，．假设，，各路口红绿灯均按“绿灯30 s、红灯30 s”交替循环，路口绿灯亮起后20 s，路口绿灯亮起；路口绿灯亮起后40 s，路口绿灯亮起．绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．一辆汽车从路口出发时路口绿灯刚好开始亮起，全程绿灯匀速通过，，三个路口的“绿波速度”的最大值是__________． 【答案】17.5 【分析】首先设汽车的速度，根据题意分别表示汽车绿灯通过B，C两个路口应满足的时间范围，进而确定出速度的取值范围． 【详解】设汽车的绿波速度为v m/s，设车辆从A路口出发的时刻为0，则到达B路口的时间为 s，到达C路口的时间为 s． 红绿灯的循环周期为． 根据各路口绿灯亮起的时间规律，则有 B路口的绿灯时间段满足，其中k为非负整数， C路口的绿灯时间段满足，其中n为非负整数． 要求v的最大值，由于v越大，tB，tC越小，因此从最小的非负整数开始讨论： 当时，解不等式得， 当时，不等式得． 所以“绿波速度”的取值范围为10 ≤ v ≤ 17.5， 所以的最大值是17.5 m/s． 3．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 题型17.不等式组的经济问题 1．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，设购买篮球个，则购买足球个，根据购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．列不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买足球个， 根据题意：， 故选：C． 2．学校计划购买办公椅和会议桌共件，以改善教师办公环境．计划中，办公椅每把元，会议桌每张元，总预算元．实际采购时，商家给予优惠：办公椅打九折，会议桌降价出售且降价幅度不超过原价的．最终，办公椅的购买量增加，会议桌数量不变，实际支出比计划多元．则学校实际购买了办公椅___________把． 【答案】或或或或 【分析】先列方程求出原计划办公椅和会议桌的购买数量，再设实际购买办公椅把，会议桌每张实际价格为元，根据题意列出等式，变形得，由题意可知，从而得到关于的不等式，求解并判断其中的整数解即可． 【详解】解：设原计划购买办公椅把，则计划购买会议桌张， 根据题意，可列方程：， 解得， ∴会议桌购买数量为（张）， 设实际购买办公椅把，会议桌每张实际价格为元， 根据题意可得：， ∴， ∵会议桌降价幅度不超过原价的， ∴，即， ∴， 解得， ∵是整数， ∴， ∴，，，，， ∴学校实际购买了办公椅为或或或或把． 3．广州市海心沙亚运公园经常有一些小商贩向游客售卖“小蛮腰”纪念品，纪念品有大小两种类型，（分别记为A型、B型）． (1)年国庆当天，明明与妹妹慧慧也在海心沙售卖“小蛮腰”纪念品，兄妹俩一天卖出两种型号的“小蛮腰”共个，售价A型每个元，B型每个元，销售额正好元，求A、B两种型号各卖出多少个？ (2)两种类型的“小蛮腰”纪念品批发价分别为元/个、元/个．国庆假最后一天，明明和慧慧拿元去进货，在售价与（1）相同的情况下，若要使当天利润不低于元，A型最多进多少个？ 【答案】(1)A型卖出90个，B型卖出80个． (2)A型最多进30个． 【分析】（1）根据两种纪念品的总数量和总销售额两个等量关系，列二元一次方程组求解即可； （2）根据进货总资金不超过1000元，利润不低于800元列出不等式，求解得到A型进货数量的最大值． 【详解】（1）解：设A型卖出个，B型卖出个， 根据题意可得， 解得， 答：A型卖出90个，B型卖出80个； （2）解：设A型进个，B型进个， 根据题意，A型每个利润为（元），B型每个利润为（元）， 可得不等式组， 由第一个不等式整理得， 由第二个不等式整理得， 因此， 解得， 答：A型最多进30个． 题型18.不等式组的分配问题 1．某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据“购买这批仪器需花62元，但经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．列方程组可得，再由，得到关于x的不等式组，即可求解． 【详解】解：设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据题意得： ， 由得：， 解得：， 根据题意得：， ∴， 解得：， ∵x为整数， ∴x最大取5， 答：A种仪器最多可买5件． 故选：D 2．振兴中学初一年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们，如果每人送本，则还余本；如果每人送本，则最后一人能得到课外读物但不足本．设初一年级有名学生获奖．则列不等式组为___________． 【答案】 【分析】先根据题意表示出课外读物的总本数，再根据“最后一人能得到课外读物但不足本”提取不等关系，列出不等式组即可. 【详解】解：设初一年级有名学生获奖 列不等式组得：． 3．为了筹备初三学生的心理赋能活动，学校准备采购心愿卡和明信片用于本次活动．心愿卡每件12元，明信片每件9元．计划一共采购100件，总费用不超过1100元，且心愿卡的数量不少于明信片数量的一半．则至少需要采购心愿卡多少件？ 【答案】则至少需要采购心愿卡34件 【分析】本题为一元一次不等式组的实际应用题，解题思路是设采购心愿卡的数量为未知数，根据总费用限制和数量的不等关系列出不等式组，求解后结合件数为正整数的实际要求，得到最小采购数量． 【详解】解：设需要采购心愿卡x件，则采购明信片件，x为正整数， 根据题意可知：， 解不等式组得：， ∵x为正整数， ∴x的最小值为34， 答：则至少需要采购心愿卡34件． 题型19.不等式组的方案选择问题 1．为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目．学校计划拿出1200元钱全部用于购买排球和足球（两种都买），已知排球每个80元，足球每个60元，则购买方案有（     ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】B 【分析】根据总费用列出方程后，结合购买数量为正整数且两种球都购买的要求，找出所有符合条件的解，即可得到方案数量． 【详解】解：设购买排球个，购买足球个， 由题意可知，，均为正整数， 根据总费用可得方程：， 整理得，， 变形得，． ∵是正整数，且， ∴是整数，且两种球都买，即， 是3的倍数，且， 的取值为，，，，对应的取值为，，，，均符合要求， 因此，共有4种购买方案． 2．三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算确定取值范围． 设购买元、元和元图书的数量分别为a、b、c本，根据总本数和总金额列出方程组，通过代入消元得到a与c的关系，再根据非负整数条件确定a的取值范围，从而得到方案数． 【详解】解：设购买三种图书的数量分别为a、b、c本， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、c为非负整数， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为0到的整数，共种可能的取值，（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，）， 对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c， ∴不同的购书方案共有种． 故选：B． 3．为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该校从商店购买了A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买A种品牌的足球不超过43个，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元 (2)共有2种购买方案，分别为：方案一：购买42个A种品牌足球，8个B种品牌足球；方案二：购买43个A种品牌足球，7个B种品牌足球 【分析】（1）根据总花费和单价差的条件列二元一次方程组，求解即可得到单价； （2）设购买A种足球的数量，根据总费用限制和A数量的限制列不等式组，结合数量为正整数，即可得到所有购买方案． 【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价是元，B种品牌足球的单价是元， 根据题意得： 解得： 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元. （2）设购买A种品牌足球个，则购买B种品牌足球个，为正整数， 根据题意得： 解得， ∵为正整数， ∴的取值为42，43， 当时，； 当时，； 因此共有2种购买方案，分别是：方案一：购买42个A种品牌足球，8个B种品牌足球；方案二：购买43个A种品牌足球，7个B种品牌足球． 题型20.一元一次不等式组的其他应用 1．如图是小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而响起“嘀嘀”警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯承载的重量超过450公斤时响起警示音，小丽、小欧的体重分别为55公斤、70公斤．设小丽进入电梯前电梯已承载的重量为公斤，则的取值范围是（     ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据“小丽进入电梯后不超重，小欧进入电梯后超重”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 2．学校给七年级男生安排宿舍，如果安排人一间，还有人安排不下；如果安排人一间，则只有一间宿舍未住满，且该间宿舍也有人住，那么，学校给七年级男生分配的宿舍有______间． 【答案】或 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，设学校给七年级男生分配的宿舍有间，可得到男生总人数为人，根据“只有一间宿舍未住满，且该间宿舍也有人住”的条件列出不等式组，求解后取正整数即可得到结果． 【详解】解：设学校给七年级男生分配的宿舍有间，则七年级男生共有人， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴或， 学校给七年级男生分配的宿舍有或间． 3．班级组织研学活动，统一安排小车前往目的地，若每辆车坐4人，则有15名学生没有车坐，若每辆车坐6人，最后一辆车人数超过3人，但不足6人. (1)设有辆车，用含的式子表示学生人数 . (2)求此次研学安排了多少辆小车？ 【答案】(1) (2)此次研学安排了8辆小车． 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据第二种安排方式：前面辆车每辆坐6人，最后一辆车人数超过3且不足6人，可列不等式组，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵每辆车坐4人，则有15名学生没有车坐，设有辆车， ∴用含的式子表示学生人数为； （2）解：根据题意得：， 整理得， 解得， ∵为车辆数，必须是正整数， ∴， 答：此次研学安排了8辆小车． 题型21.列一元一次不等式 1．某商店购进一批服装，每件进价100元，标价130元，打折销售后利润率不低于，设打x折，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据利润、进价、利润率的关系，列出不等式即可． 【详解】解：设商品打折销售，则服装打折后的售价为元，根据题意得： ． 2．某服装店购进了一批服装，这批服装每件的进价为200元，每件的售价为300元，现在该服装店准备将这批服装降价处理，打折出售，若使得每件衣服的利润不低于10元，则根据题意可列不等式为________． 【答案】 【分析】先确定打折后的实际售价，再根据“利润实际售价进价”，结合利润不低于10元的条件列出不等式即可． 【详解】解：由题意得，打折后每件服装的实际售价为元， 每件服装的利润为实际售价减去进价，进价为元， 因此利润可表示为 ，因为利润不低于元，即利润大于等于元， 因此可列不等式为 ． 3．用甲、乙两种原料调制成某种饮料，这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格见下表： 原料 甲 乙 维生素C的含量（单位） 600 100 原料价格（元） 8 4 (1)如果要求这种饮料中至少含有4200单位的维生素C，那么所需甲种原料的质量x（单位：）应满足怎样的不等式？ (2)如果要求调制这种饮料的原料费用不超过72元，那么所需甲种原料的质量x（单位：）又满足怎样的不等式？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得这种饮料有甲原料，乙原料，用甲原料的质量乘以维生素C的含量加上乙原料的质量乘以维生素C的含量大于等于4200，即可列出不等式； （2）由题意可得这种饮料有甲原料，乙原料，用甲原料的质量乘以单价加上乙原料的质量乘以单价小于等于72，即可列出不等式． 【详解】（1）解：由题意可得这种饮料有甲原料，乙原料， 根据题意，得； （2）解：由题意可得这种饮料有甲原料，乙原料， 根据题意，得． 题型22.用一元一次不等式解决实际问题 1．为响应乡村振兴号召，某村合作社计划种植甲、乙两种经济作物．已知相关信息如下：购买2亩甲作物幼苗和3亩乙作物幼苗共需4300元；购买3亩甲作物幼苗和1亩乙作物幼苗共需3300元．种植1亩甲作物，预计可获纯利润1200元；种植1亩乙作物，预计可获纯利润1500元．合作社现有资金5万元，计划种植总面积不超过40亩，且两种作物都至少种植5亩．下列结论正确的有（     ） 结论①：甲作物幼苗每亩800元，乙作物幼苗每亩900元； 结论②：若种植甲作物10亩、乙作物25亩，总利润可达到49500元； 结论③：在资金和种植面积限制下，总利润的最大值为57000元； 结论④：满足所有条件的种植方案中，种植乙作物的亩数最多比种植甲作物的亩数多20亩． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题先通过二元一次方程组求解甲乙幼苗单价，验证结论①，再根据给定种植面积计算总利润并验证约束条件，验证结论②，再利用乙利润更高的性质，结合约束条件求最大总利润验证结论③，最后求乙与甲亩数差的最大值验证结论④，统计正确结论个数得到答案． 【详解】解：设甲作物幼苗每亩元，乙作物幼苗每亩元， 根据题意列方程组 解得，因此结论①正确； 对于结论②，种植甲10亩，乙25亩，总利润为元， 总面积，总费用， 两种作物种植面积都不小于5亩，符合所有条件，因此结论②正确； 对于结论③，乙的每亩纯利润高于甲，因此要总利润最大，需尽可能多种植乙， 根据题意，甲种植面积最小为5亩，此时总面积限制下，乙最大种植亩， 总利润为元，不等于57000元，因此结论③错误； 对于结论④，要使乙的亩数比甲多最多，取甲最小种植面积5亩，乙最大种植35亩，此时乙比甲多亩，大于20亩，因此结论④错误； 综上，正确的结论共有2个． 2．某种商品的进价为250元，出售时标价为500元，后由于商品滞销，但要保持利润率不低于，则至多可在标价的基础上打_____________折． 【答案】七/ 【分析】设可打折，根据利润率不低于，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设可打折，由题意得： 化简得， 移项得， 系数化为得， 故至多可打折． 3．某商店欲购进，两种商品，若购进种商品件和种商品件需元；购进种商品件和种商品件需元． (1)求，两种商品每件的进价分别为多少元； (2)若该商品店每销售件种商品可获利元，每销售件种商品可获利元，该商品店准备购进，两种商品共件，且这两种商品全部售出后利润不少于元，则至少购进多少件种商品？ 【答案】(1)种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元 (2)至少购进件种商品 【分析】（1）根据两种商品的购买情况列二元一次方程组求解即可； （2）设出种商品的购进数量，然后表示出种商品的购进数量，根据“这两种商品全部售出后利润不少于元”列一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元． 由题意得：，解得， 答：种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元； （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件． 由题意得：， 解得． 答：至少购进件种商品． 题型23.用一元一次不等式解决几何问题 1．数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，解一元一次不等式，由题意可得，解一元一次不等式即可，根据数轴得出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：∵数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧， ∴， 解得：， ∴x的值可以是， 故选：A． 2．长方形的周长小于，长与宽都是质数，且长与宽的和是奇数，则该长方形的面积是________． 【答案】6或10 【分析】设长方形的长为，宽为，则，先求出，再根据奇数和质数的性质求出，进而可得或，利用长方形的面积公式计算即可得． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则， 由题意得：，即， ∵长与宽的和是奇数， ∴中一定有一个是奇数，一个是偶数， 又∵长与宽都是质数，且， ∴（理由：质数中只有是偶数）， ∴， 解得， 又∵是质数， ∴或， 当时，该长方形的面积是； 当时，该长方形的面积是； 综上，该长方形的面积是或． 3．如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是． (1)______（用含m的代数式表示）； (2)求当与的差不小时，m的最小整数值． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解． （2）利用，建立方程求得，求解即可． 【详解】（1）． （2）∵与的差不小于， ∴， ∵，， ∴， ∴，m的最小整数值为7． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $