专题05 一元一次不等式16大题型（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材苏科版

专题05 一元一次不等式（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 不等式的定义与解 题型02 不等式的性质 题型03 一元一次不等式的定义与解 题型04 解一元一次不等式 题型05 求一元一次不等式的整数解 题型06 在数轴上表示不等式的解集 题型07 求一元一次不等式解的最值 题型08 一元一次不等式组的定义 题型09 求不等式组的解集 题型10 求一元一次不等式组的整数解 题型11 由不等式组解集的情况求参数 题型12 由不等式组的整数解情况求参数 题型13 不等式组和方程组结合的问题 题型14 列一元一次不等式组 题型15 一元一次不等式组的实际应用 题型16 一元一次不等式组的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的性质 掌握不等式的基本性质，会变形化简，能运用性质解简单不等式。 基础必考点，难度不大，2分左右 解一元一次不等式 熟记解法步骤，熟练解一元一次不等式，会在数轴表示解集。 核心考点，计算题型，3分左右 一元一次不等式的整数解 会解一元一次不等式，借助解集筛选整数解，掌握含参整数解题型思路。 常考点，注意整数解情况，2分左右 一元一次不等式的实际应用 找准不等关系，列一元一次不等式，求解并结合实际取舍答案。 常考点，简单应用，3分左右 解不等式组 分别求解两个不等式，取公共解集，会数轴表示并求整数解。 核心考点，计算题型，3分左右 不等式组的整数解 求解不等式组解集，结合范围筛选整数解，熟练对应含参考题。 常考点，注意整数解情况，2分左右 由一元一次不等式组解集的情况求参数 依托不等式组解集反向定参数，巧用数轴分界，注意等号取舍。 核心考点，含参问题，有难度，3分左右 不等式组与方程组结合的问题 先解方程组用参数表解，再代入不等式，求参数取值范围。 核心考点，有难度，3分左右 一元一次不等式组的实际应用 提炼双重不等关系列不等式组，求解后结合实际选取合理整数解。 重要考点，应用题型，5分左右 知识点01 不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 知识点02 不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 知识点03 不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 知识点04 一元一次不等式 1.一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 2.一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 3.解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 知识点05 一元一次不等式组 1.一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 3.解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 知识点06 一元一次不等式（组）的实际应用 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1、列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2、对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3、在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 题型一 不等式的定义与解 1．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知当时x的最小值为a，当时x的最大值为b，则__． 4．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 题型二 不等式的性质 解｜题｜技｜巧 解题先分清系数正负，同乘除负数务必反转不等号；移项遵循变号规则，勿漏常数项。遇参数分类讨论正负，借助取值验证端点。化简优先去分母括号，细心排查漏乘、错变号，结合数轴直观判定范围。 5．（2026·江苏无锡·二模）设，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知线段a，b，c．从中任取两条作为一个梯形的上底与下底，第三条作为该梯形的高，这三种选取方式如下：①上底为a，下底为b，高为c；②上底为a，下底为c，高为b；③上底为b，下底为c，高为a．这三种选取方式对应的梯形面积分别记作，若则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知正数m、n、p满足，，．则m、n、p的大小关系为________________．（用“＜”连接） 8．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”． (1)写出一个30到50之间的“正巧数” (2)设两个连续正奇数为和（其中是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由，如果不能，请举例说明． 题型三 一元一次不等式的定义与解 9．（25-26八年级下·陕西西安·期末）若是关于x的一元一次不等式，则a的值为（   ） A．2 B．－1 C．0 D．0或2 10．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）若是关于 x的一元一次不等式，则 m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 11．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为_______． 12．（25-26七年级下·江苏南通·期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_____． 题型四 解一元一次不等式 解｜题｜技｜巧 解题按去分母、去括号、移项、合并、化系数为 1 五步运算。去分母谨防漏乘常数，括号前负号逐项变号。系数化为 1 时，负数要翻转不等号。算出解集后按需在数轴标注，实际题型结合条件筛选整数解。 13．（2025·江苏·一模）解不等式：． 14．（2025·浙江金华·一模）解不等式：． 15．（25-26七年级下·四川泸州·期末）解不等式： 16．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）下面是小年同学解不等式的过程，请认真阅读并帮助小年完成相应任务． 解不等式． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 第五步 任务一： 以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的； 该题第______步出现错误，错误的原因是______； 任务二：请你根据平时的学习经验，就解不等式给其他同学提一条建议． 题型五 求一元一次不等式的整数解 17．（2024·江苏苏州·二模）不等式的负整数解的个数有（   ） A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 18．（2026七年级下·江苏·期末）已知关于的不等式的最小整数解为2，则整数的值可以是（　　） A．2 B．3 C．6 D．9 19．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）已知关于x的方程的解是不等式的负整数解，则a的值为________． 20．（2025七年级上·江苏苏州·期末）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 题型六 在数轴上表示不等式的解集 21．（2026·陕西咸阳·二模）解不等式：，并将解集表示在如图所示的数轴上． 22．（25-26七年级下·四川绵阳·期末）按要求完成下列各题： (1)解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (2)解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 23．（2025七年级上·江苏苏州·期末）解下列关于x的不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)． 24．（2025·江苏·一模）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来； 题型七 求一元一次不等式解的最值 25．（25-26八年级下·江苏南通·期中）已知实数x，y满足，并且，则的最小值是（   ） A．-1 B． C． D． 26．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 27．（25-26七年级下·广西贺州·期末）已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 28．（2025·河北保定·一模）李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． (1)若被手遮挡的数是，求这个算式的值； (2)若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 题型八 一元一次不等式组的定义 29．（2026七年级下·江苏·期末）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 30．（25-26八年级下·江苏·期末）下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 31．（25-26七年级下·江苏·期末）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 32．（24-25七年级下·江苏·期末）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是________（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 题型九 求不等式组的解集 解｜题｜技｜巧 分别求解各个不等式，借助 “同大取大、同小取小” 口诀定解集。可用数轴标注各解集找公共部分，无重合则无解。涉及参数时抓临界端点，仔细判断等号能否成立，最后按需从中选取符合条件的整数解。 33．（2026·江苏连云港·三模）解不等式组：． 34．（2026·江苏南京·一模）解不等式组： 35．（2026·江苏南京·一模）解不等式组． 36．（25-26七年级下·上海·期末）解不等式组： 题型十 求一元一次不等式组的整数解 37．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组的负整数解是（　　） A．，0， B． C．， D．不能确定 38．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如果关于的二元一次方程组的解是正整数，则整数的值是_____． 39．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知不等式组只有两个整数解，求的取值范围_______． 40．（2026·江苏扬州·二模）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 题型十一 由不等式组解集的情况求参数 解｜题｜技｜巧 先化简不等式，结合解集画数轴锁定参数临界值，依据解集口诀初步定范围。重点检验端点等号，可取则包含、不可取则排除。不确定时分类讨论参数正负，最后代入验证，避免漏等、多取边界。 41．（2026七年级下·江苏·期末）若关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 42．（24-25七年级下·重庆万州·期中）若不等式组 的解集为，则的值等于 （    ） A．1 B． C．2 D． 43．（25-26七年级下·江苏南通·期末）不等式组的解集是，实数a满足的条件是_______． 44．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）已知不等式组 (1)分别求出当，时不等式组的解集； (2)当满足什么条件时，不等式组的解集是？ 题型十二 由不等式组的整数解情况求参数 解｜题｜技｜巧 先解不等式组得出解集，根据限定整数在数轴标出，反向锁定参数临界点。左右边界分开研判，逐个验证等号能否成立，严控临界取值。容易出错在端点取舍，可代入边界数值检验，精准确定参数范围。 45．（25-26七年级下·广东江门·期末）已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 46．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 47．（24-25七年级下·江苏南通·期末）若关于的不等式组，的所有整数解的和为，则的取值范围是______． 48．（2025七年级下·江苏·期末）已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围． 题型十三 不等式组和方程组结合的问题 解｜题｜技｜巧 先解方程组，用含参数代数式表示 x、y；再把代数式代入不等关系式，列出不等式。解不等式得到参数范围，留意系数为负变号。遇整数限制，在解集里筛选取值，端点取值务必代入验算。 49．（25-26八年级上·陕西延安·期末）若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 50．（25-26八年级上·江苏·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是_____________． 51．（25-26八年级下·河南郑州·期末）已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 52．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值． (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 题型十四 列一元一次不等式组 53．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）本学期学校打算以知识竞赛的方式评选 “鹿鸣之星”．本次竞赛共有50道题，规定每答对一题得3分，答错或不答均扣2分．若得分不低于120分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对x道题，则有（     ） A． B． C． D． 54．（2024·江苏盐城·三模）为了减少碳的排放和更高的利用新能源，国家提倡绿牌电动车出行，绿牌电动车的国家标准如图所示，如果电动自行车的车速是，电池电压是，可载一名未成年人的年龄是周岁，可列出不等式正确的是（    ） 执行标准 GB17761-2018 最高车速 电池电压 不超过48V 能否载人 可载一名16周岁以下未成年人 车辆属性 非机动车 是否需要驾驶证 不需要 A． B． C． D． 55．（25-26八年级下·江苏·期末）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 56．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十五 一元一次不等式组的实际应用 57．（25-26七年级上·江苏·期中）盐城市某中学组织学生参观科技馆，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元． (1)求参观的学生人数和原计划租用45座客车的辆数； (2)若租两种客车，怎样租用最省钱？最低租金是多少元？ 58．（25-26八年级上·浙江温州·期中）新BA城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，下表是10月11日，温州队所在的组比赛积分表的部分信息： A组积分 排名 队伍 胜负 积分 2 温州队 7胜0负 4 金华队 6胜2负 14分 5 余姚队 5胜3负 13分 6 台州队 4胜4负 12分 (1)求温州队的积分． (2)温州队所在的组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得组第一至少还要胜几场？ 59．（25-26七年级下·江苏南通·期末）在防控新型冠状病毒期间，甲、乙两个服装厂都接到了制作同一种型号的医用防护服任务，已知甲、乙两个服装厂每天共制作这种防护服140套，甲服装厂4天制作的防护服与乙服装厂3天制作的防护服套数相同． (1)求甲、乙两个服装厂每天各制作多少套这种防护服； (2)现有1600套这种防护服的制作任务，要求不超过10天完成，若乙服装厂每天多做5套，那么甲服装厂每天至少多做多少套？ 60．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）2025年6月14日是江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）扬州VS泰州赛，扬州作为主场，为运动员们提供了营养早餐．其中400克早餐食品中，蛋白质总含量为，包括一份粮谷类食品，一份牛奶和一个鸡蛋（一个鸡蛋的质量约为50克，蛋白质含量占；粮谷类食品和牛奶的部分营养成分如表所示）． 每100克粮谷类食品营养成分表 能量 2132千焦 脂肪 克 蛋白质 克 碳水化合物 克 钠 320毫克 每100克牛奶营养成分表 能量 256千焦 脂肪 克 蛋白质 克 碳水化合物 克 钙 116毫克 (1)设该份早餐中粮谷类食品为150克，牛奶为200克，请写出粮谷类食品中所含的蛋白质为 克，牛奶中所含的蛋白质为 克； (2)请求出该营养早餐中，粮谷类食品和牛奶的质量分别为多少克？ (3)为了更好的备战，我市举办了为期一周的赛前集训，主办方提供了A，B两套午餐： 套餐 主食（克） 肉类（克） 水果（克） 其它（克） A 210 95 120 125 B 220 70 140 90 为了膳食平衡，要求运动员在一周内A，B两种套餐均要选择．如果在一周里，午餐主食摄入总量不超过1500克，那么运动员在一周里可以选择A，B套餐各几天？写出所有的方案．（说明：一周按7天计算） 题型十六 一元一次不等式组的新定义问题 61．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 62．（25-26八年级上·陕西西安·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 63．（25-26七年级下·江苏南京·期末）对于有理数a、b，定义的含义为： 当时，；当时，． 例如：，． (1)________． (2)求． (3)已知，求k的取值范围． (4)已知，直接写出m、n的值． 64．（25-26七年级下·江苏·期末）阅读下面的材料： 对于有理数，我们定义符号的意义如下：当时，；当时，．例如：，．根据上面的材料回答下列问题： (1)_______； (2)当时，求的取值范围． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（2026·江苏无锡·二模）如果，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）已知是不等式的一个解，则m的值可以是（     ） A． B． C． D．0 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）不等式的最大整数解是（     ） A．0 B．1 C． D．2 4．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）下列式子中：①，②，③，④，不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）已知二元一次方程．当时，的取值范围是_____． 7．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）已知 是关于的一元一次不等式，则的值为_____． 8．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是______． 9．（25-26七年级下·江苏南通·期末）若关于x的不等式可化为，则a的取值范围是_______． 10．（25-26八年级上·浙江台州·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是_____． 11．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）解下列不等式（或不等式组）． (1)； (2)． 12．（2026·江苏苏州·一模）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 13．（2026·江苏泰州·一模）甲、乙两队进行了场足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分． (1)若甲队负了场，则甲队的得分能否为分？请说明理由； (2)若乙队保持不败，得分超过分，求乙队至少胜了多少场？ 14．（2026·江苏连云港·一模）国家非常重视学校体育工作，坚持“健康第一”的教育理念，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展．某校响应号召，计划举行阳光体育活动，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元． (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？ (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是48，且购买的总费用不能超过240元；则最多可以购买多少根跳绳？ 15．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）利用我们学过的完全平方公式知识能解决等式或代数式的问题，请阅读下列材料： 阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求______，______； (2)若，，其中，试比较A与B的大小关系，并说明理由． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 16．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 17．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，且，则的最小整数值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 18．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于29”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如果不等式只有个正整数解，则的取值范围是________． 22．（25-26七年级下·江苏南通·期中）关于的不等式组的整数解共有个，求的取值范围是________． 23．（25-26七年级下·江苏南通·期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_____． 24．（25-26七年级下·江苏南通·期末）已知，都是关于x的一元一次不等式组的解，则m的取值范围是_______． 25．（25-26七年级下·重庆·期末）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数a的和为________． 26．（25-26七年级下·江苏南京·期末）解不等式组：． 27．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）某运输公司现有180吨物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均要使用且满载），已知A、B两种货车近期的两次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 5 4 160 (1)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ (2)请你通过计算说明现在运输180吨物资所有可行的运输方案． 28．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）五一假期，某旅行团32人在条子泥景区游玩，他们由成人和儿童组成．已知成人比儿童多12人． (1)求该旅行团中成人与儿童分别是多少人？ (2)因时间充裕，该团准备让部分成人带领全部儿童去荷兰花海景区游玩．荷兰花海景区的门票价格40元/张，成人全票，儿童5折，一名成人可以免费携带一名儿童．并且为安全起见，一个成人最多监护两个儿童． ①若由成人8人带队，则所需门票的总费用是多少元？ ②若剩余经费只有330元可用于购票，在不超额的前提下，可以安排多少成人带队？ 29．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）若不等式（组）①的解都是不等式（组）②的解，则称不等式（组）②是不等式（组）①的“覆盖不等式”，特别地，若一个不等式（组）无解，则其他任意不等式（组）都是它的“覆盖不等式”．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的“覆盖不等式”；不等式组无解，则其他任意不等式（组）都是它的“覆盖不等式”．根据以上信息，解决下列问题： (1)_______的“覆盖不等式”（填“是”或“不是”）； (2)若是关于x的不等式的“覆盖不等式”，试求m的取值范围； (3)若是关于x的不等式组的“覆盖不等式”，请直接写出a的取值范围． 30．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）定义：关于x，y的二元一次方程（其中），若将常数项与未知数系数a，b之一互换，得到的新方程称为原方程的“交换系数方程”；若将常数项与未知数的系数互换，得到的新方程称为原方程的“镜像方程”．例如，的“交换系数方程”为或，“镜像方程”为． (1)求方程与它的“镜像方程”组成的方程组的解； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数m，n，t满足条件，并且是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 31．（25-26八年级下·山东青岛·期中）若不等式组无解，则m（    ） A．最大值是4 B．最小值是4 C．最大值是 D．最小值是 32．（2026七年级下·江苏·期末）已知关于x的不等式组，甲、乙两位同学分别得出以下结论： 甲：若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是； 乙：若它无解，则． 其中下列判断正确的是（　　） A．甲、乙都对 B．甲对，乙错 C．甲错，乙对 D．甲、乙都错 33．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组 的解满足，则满足条件的整数a有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 34．（25-26九年级上·江苏苏州·期末）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，…，，．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为，，，，．张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数最大．如表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 ， ， ， ， ， 两数的和 则这五张卡片中上面数字最大的一张卡片是（   ） A．卡片 B．卡片 C．卡片 D．卡片 35．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若方程组中未知数满足，关于的不等式组有且只有个整数解，则所有满足条件的整数的和为（    ） A． B． C． D． 36．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围为_________． 37．（25-26八年级上·四川成都·期末）关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 38．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为__________． 39．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）对于数，规定 表示不大于的最大整数，例如 ． 若 ，则 的取值范围是_____． 40．（25-26七年级下·江苏南通·期末）不等式组的解集是，实数a满足的条件是_______． 41．（2026·江苏·一模）求不等式组的整数解． 42．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）学校举办文创市集，手工社团拟售卖两种文创产品： 定制书签：每枚定价5元 手绘明信片：每张定价2元 社团规定：每笔订单必须同时购买两种产品，且总金额为固定值a元． 已知小宇购买了4枚书签和10张明信片，刚好符合该金额标准． (1)求总金额a的值； (2)请求出除了可以购买4枚书签和10张明信片之外，所有书签和明信片的购买数量组合． 43．（25-26八年级下·河南郑州·期末）已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 44．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）已知关于x的方程． (1)求x的值（用含a的式子表示）； (2)若关于x的方程的解不小于，求a的取值范围； (3)请直接写出满足（2）的条件的所有a的正整数值． 45．（25-26七年级下·江苏南京·期末）阅读材料：我们把多元方程（组）的正整数解叫作这个方程（组）的“友谊解”．例如：就是方程的一组“友谊解”；是方程组的一组“友谊解”． (1)请直接写出方程的所有“友谊解”； (2)关于x，y，k的方程组有“友谊解”吗？若有，请求出对应的“友谊解”；若没有，请说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次不等式（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 不等式的定义与解 题型02 不等式的性质 题型03 一元一次不等式的定义与解 题型04 解一元一次不等式 题型05 求一元一次不等式的整数解 题型06 在数轴上表示不等式的解集 题型07 求一元一次不等式解的最值 题型08 一元一次不等式组的定义 题型09 求不等式组的解集 题型10 求一元一次不等式组的整数解 题型11 由不等式组解集的情况求参数 题型12 由不等式组的整数解情况求参数 题型13 不等式组和方程组结合的问题 题型14 列一元一次不等式组 题型15 一元一次不等式组的实际应用 题型16 一元一次不等式组的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的性质 掌握不等式的基本性质，会变形化简，能运用性质解简单不等式。 基础必考点，难度不大，2分左右 解一元一次不等式 熟记解法步骤，熟练解一元一次不等式，会在数轴表示解集。 核心考点，计算题型，3分左右 一元一次不等式的整数解 会解一元一次不等式，借助解集筛选整数解，掌握含参整数解题型思路。 常考点，注意整数解情况，2分左右 一元一次不等式的实际应用 找准不等关系，列一元一次不等式，求解并结合实际取舍答案。 常考点，简单应用，3分左右 解不等式组 分别求解两个不等式，取公共解集，会数轴表示并求整数解。 核心考点，计算题型，3分左右 不等式组的整数解 求解不等式组解集，结合范围筛选整数解，熟练对应含参考题。 常考点，注意整数解情况，2分左右 由一元一次不等式组解集的情况求参数 依托不等式组解集反向定参数，巧用数轴分界，注意等号取舍。 核心考点，含参问题，有难度，3分左右 不等式组与方程组结合的问题 先解方程组用参数表解，再代入不等式，求参数取值范围。 核心考点，有难度，3分左右 一元一次不等式组的实际应用 提炼双重不等关系列不等式组，求解后结合实际选取合理整数解。 重要考点，应用题型，5分左右 知识点01 不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 知识点02 不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 知识点03 不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 知识点04 一元一次不等式 1.一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 2.一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 3.解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 知识点05 一元一次不等式组 1.一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 3.解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 知识点06 一元一次不等式（组）的实际应用 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1、列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2、对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3、在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 题型一 不等式的定义与解 1．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， 是代数式，不含不等号，不是不等式． B、，是用不等号连接的式子，符合不等式的定义． C、，是用等号连接的式子，是等式，不是不等式． D、，是用等号连接的式子，是等式，不是不等式． 故选B． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查的是不等式的定义，即用不等号（，，，，）表示不等关系的式子叫做不等式，理解不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：∵不等式需含有不等号， ∴①；②；④；⑥，是用不等号连接的式子，故是不等式． 而③是等式；⑤；⑦，是代数式，这三个都不是不等式． ∴共有个不等式. 故选：B． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知当时x的最小值为a，当时x的最大值为b，则__． 【答案】 【分析】本题考查不等式，代数式求值．先求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵当时x的最小值为a，当时x的最大值为b， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 【答案】(1)a=1； (2)a≥1． 【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可； （2）根据不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求出a的范围即可． 【详解】（1）解：由x+1<7−2x得：x＜2， 由−1+x<a得：x＜a+1， 由两个不等式的解集相同，得到a+1=2， 解得：a=1； （2）解：由不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解， 得到2≤a+1， 解得：a≥1． 【点睛】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解． 题型二 不等式的性质 解｜题｜技｜巧 解题先分清系数正负，同乘除负数务必反转不等号；移项遵循变号规则，勿漏常数项。遇参数分类讨论正负，借助取值验证端点。化简优先去分母括号，细心排查漏乘、错变号，结合数轴直观判定范围。 5．（2026·江苏无锡·二模）设，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ，选项错误； ，选项错误； 不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ，选项错误； 不等式两边同除以正数，不等号方向不变， ，选项正确． 6．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知线段a，b，c．从中任取两条作为一个梯形的上底与下底，第三条作为该梯形的高，这三种选取方式如下：①上底为a，下底为b，高为c；②上底为a，下底为c，高为b；③上底为b，下底为c，高为a．这三种选取方式对应的梯形面积分别记作，若则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先表示出，然后通过作差法结合不等式的性质求解即可． 【详解】解：由题意得， 由得，，则 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，即； 由得，，则， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，即， ∴． 7．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知正数m、n、p满足，，．则m、n、p的大小关系为________________．（用“＜”连接） 【答案】 【分析】此题考查的是解不等式，掌握不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质将三个不等式都变为的取值范围，从而得出的大小关系和的大小关系，从而得出结论． 【详解】解： 得 ， 得 ， 得 ， 由④，⑤得 ∴ 同理，由④，⑥得， ∴． 故答案为： 8．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”． (1)写出一个30到50之间的“正巧数” (2)设两个连续正奇数为和（其中是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由，如果不能，请举例说明． 【答案】(1)32（或40或48） (2)能被8整除 【分析】（1）根据范围列不等式求出符合要求的“正巧数”即可； （2）利用平方差公式化简后判断是否能被8整除即可． 【详解】（1）解：设两个连续正奇数为和，为正整数． 根据“正巧数”的定义，可得“正巧数”为 ， 由题意得， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴或5或6， ∴或40或48； （2）解：能被8整除，理由如下： ， 是正整数， 能被8整除， 即由和构成的“正巧数”能被8整除． 题型三 一元一次不等式的定义与解 9．（25-26八年级下·陕西西安·期末）若是关于x的一元一次不等式，则a的值为（   ） A．2 B．－1 C．0 D．0或2 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，正确掌握定义是解决此题的关键．由一元一次不等式未知数x的次数为1且系数不为0，求出的值即可． 【详解】一元一次不等式未知数x的次数为1， ， 解得：或， 一元一次不等式未知数x的系数不为0， ， 解得：， 综上，a的值为0． 故选：C． 10．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）若是关于 x的一元一次不等式，则 m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值． 【详解】解：依题意得：且， 解得． 故选：B． 11．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为_______． 【答案】0 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：由题意，得且， 解，得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 12．（25-26七年级下·江苏南通·期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】先根据已知不等式的解集确定的符号，得到与的数量关系，再代入待求不等式，根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：， 移项，得， ∵解集是， ∴，且，即， 将代入不等式，得，， 合并同类项，得， ∵， ∴两边同除以，得． 题型四 解一元一次不等式 解｜题｜技｜巧 解题按去分母、去括号、移项、合并、化系数为 1 五步运算。去分母谨防漏乘常数，括号前负号逐项变号。系数化为 1 时，负数要翻转不等号。算出解集后按需在数轴标注，实际题型结合条件筛选整数解。 13．（2025·江苏·一模）解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；根据一元一次不等式的解法可进行求解． 【详解】解：∵， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得． 14．（2025·浙江金华·一模）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，去括号，移项，合并同类项，系数化1进行求解即可，熟练掌握解不等式的步骤，是解题的关键． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，． 15．（25-26七年级下·四川泸州·期末）解不等式： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求解，熟练掌握解不等式的方法及步骤是解题的关键． 【详解】解： ， ∴ ∴． 16．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）下面是小年同学解不等式的过程，请认真阅读并帮助小年完成相应任务． 解不等式． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 第五步 任务一： 以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的； 该题第______步出现错误，错误的原因是______； 任务二：请你根据平时的学习经验，就解不等式给其他同学提一条建议． 【答案】任务一：①不等式的基本性质；② 五 ，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没改变；任务二：不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号（答案不唯一） 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 任务一：根据不等式的基本性质求解即可； 任务二：答案不唯一，合理即可． 【详解】解：任务一：以上解题过程中，第一步是依据不等式的基本性质进行变形的； 该题第五步出现错误，错误的原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没改变， 故答案为：不等式的基本性质；五，不等式两边同时除以一个负数，不等号没变号； 任务二：解一元一次不等式时严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 题型五 求一元一次不等式的整数解 17．（2024·江苏苏州·二模）不等式的负整数解的个数有（   ） A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 【答案】C 【分析】根据解一元一次不等式的方法，可以求得不等式的解集，然后即可写出它的负整数解． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴负整数解为，共有4个． 18．（2026七年级下·江苏·期末）已知关于的不等式的最小整数解为2，则整数的值可以是（　　） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据解一元一次不等式的步骤，结合题意得出的取值范围即可解决问题． 【详解】解：由得，， ∵该不等式的最小整数解为2， ∴， 解得， 选项中只有C符合题意． 19．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）已知关于x的方程的解是不等式的负整数解，则a的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的负整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先解不等式得到解集，再找出负整数解，代入方程求解a． 【详解】解：解不等式 ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴负整数解为， 将代入方程， 得，即， 解得． 故答案为：． 20．（2025七年级上·江苏苏州·期末）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程和解一元一次不等式，掌握好方程和不等式的解法是关键． （1）先求出方程的解，由，求出a的取值范围； （2）先解不等式，取范围内最小的整数解，代入方程求出a的值． 【详解】（1）解：， 解得，， ∵， ∴， 解得，； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得，，范围内的最小整数解为， 将，代入方程，得： ， 解得，． 题型六 在数轴上表示不等式的解集 21．（2026·陕西咸阳·二模）解不等式：，并将解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】；数轴见解析 【分析】根据解不等式的步骤得到不等式的解集，在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 不等式两边同乘6得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 在数轴上表示为： ． 22．（25-26七年级下·四川绵阳·期末）按要求完成下列各题： (1)解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (2)解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 【答案】(1)；数轴见详解 (2)；数轴见详解 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为解不等式，并把解集表示在数轴上． （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项解不等式，并把解集表示在数轴上． 【详解】（1）解： 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为：． 数轴表示如图： （2）解： 去分母： 去括号：， 移项：， 合并同类项：． 数轴表示如图： 23．（2025七年级上·江苏苏州·期末）解下列关于x的不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 (3)，数轴见解析 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，涉及去分母、去括号、移项、合并同类项和化系数为1等步骤，再把解集在数轴上表示，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号得 合并得 移项得 合并得 数轴表示： （2）解： 去分母，两边乘15得 去括号得 合并得 移项得 合并得 化系数为1得 数轴表示： （3）解： 去分母，两边乘12得 去括号得 合并得 移项得 合并得 化系数为1得 数轴表示： 24．（2025·江苏·一模）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来； 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键． 按照解一元一次不等式的步骤，进行计算得出不等式的解集为，再把在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 化系数为1得：； 数轴上表示如图： 题型七 求一元一次不等式解的最值 25．（25-26八年级下·江苏南通·期中）已知实数x，y满足，并且，则的最小值是（   ） A．-1 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意可得，易知，结合可得的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵, ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴的最小值是． 26．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式正整数解的应用，理解正整数解的个数与不等式中参数取值范围的关系是关键．先确定满足“正整数解恰有两个”时正整数解的具体值，再据此分析实数的取值范围，从而求出的最大值． 【详解】解：∵正整数解恰有两个，而最小的正整数是， ∴这两个正整数解为和， 要使正整数解是和，那么要大于（如果，则的正整数解只有 ）； 同时不能大于（如果，则的正整数解会有，可能还有，不满足恰有两个正整数解）， ∴， ∴的最大值为． 故选：D． 27．（25-26七年级下·广西贺州·期末）已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴的最小整数值为， 故选：A． 28．（2025·河北保定·一模）李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． (1)若被手遮挡的数是，求这个算式的值； (2)若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 【答案】(1)这个算式的值为 (2)被遮挡的数的最小值为 【分析】本题主要考查了有理数的加减乘除运算，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题关键． （1）将直接代入算式即可求解； （2）设被遮挡的数为，根据题意得，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：若被手遮挡的数是，则， 这个算式的值为． （2）解：设被遮挡的数为， 由题意得：， 解得：， 被遮挡的数的最小值为． 题型八 一元一次不等式组的定义 29．（2026七年级下·江苏·期末）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据一元一次不等式组的定义，即由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，对每个不等式组逐一判断即可． 【详解】解：只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ②只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ③含有两个未知数x和y，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ④只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ⑤未知数x的最高次数为2和3，不是1次，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ∴符合条件的有①②④，共3个， 故选：B． 30．（25-26八年级下·江苏·期末）下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式组的辨别能力，根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1， ∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组； 而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，它们都是一元一次不等式组， 故选：B． 31．（25-26七年级下·江苏·期末）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 32．（24-25七年级下·江苏·期末）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是________（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，主要考查学生的理解能力和判断能力．一元一次不等式组中只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：① 该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ②该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；    ③该不等式组是一元一次不等式组； ④该不等式组是一元一次不等式组； ⑤该不等式组是一元一次不等式组； ⑥该不等式组中第2个不等式左边不是整式，不是一元一次不等式组； 则是一元一次不等式组的是③④⑤， 故选答案为：③④⑤． 题型九 求不等式组的解集 解｜题｜技｜巧 分别求解各个不等式，借助 “同大取大、同小取小” 口诀定解集。可用数轴标注各解集找公共部分，无重合则无解。涉及参数时抓临界端点，仔细判断等号能否成立，最后按需从中选取符合条件的整数解。 33．（2026·江苏连云港·三模）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 34．（2026·江苏南京·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】先分别解一元一次不等式，再由不等式组解集求法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”求解即可． 【详解】解：， 解不等式①，移项合并得：， 系数化为，得： 解不等式②去分母，得：， 移项合并同类项得：， 系数化为，得：， ∴原不等式组的解集为. 35．（2026·江苏南京·一模）解不等式组． 【答案】 【详解】解： 解①得， ， 解②得 综上所述，． 36．（25-26七年级下·上海·期末）解不等式组： 【答案】 【分析】先求解两个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可解答． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴不等式组的解集为． 题型十 求一元一次不等式组的整数解 37．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组的负整数解是（　　） A．，0， B． C．， D．不能确定 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，再找出解集中符合要求的负整数． 【详解】解：不等式组的解集为：， ∴该不等式组的负整数解是，． 38．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如果关于的二元一次方程组的解是正整数，则整数的值是_____． 【答案】7或9 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的求解，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组和一元一次不等式组的解法是解题的关键．先利用消元法求解二元一次方程组，得到用p表示的x与y，根据解为正整数确定p的取值范围，结合p为整数以及x，y为正整数，验证得到p的值． 【详解】解：解方程组， 将②两边同乘，得， 用，得，解得， 将代入，得， 因此方程组的解为， ∵方程组的解是正整数， ∴， 解不等式组得，即， ∵为整数， ∴的可能取值为， ∵均为正整数， ∴和均为正整数， 代入验证得：时，，符合要求；时，，符合要求；和不符合要求， 则的值为或． 39．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知不等式组只有两个整数解，求的取值范围_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出两个不等式的解集，再根据不等式组只有两个整数解进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组只有两个整数解， ∴不等式组的解为，其两个整数解为：和， ∴， 故答案为：． 40．（2026·江苏扬州·二模）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 【答案】，和为 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，再找出符合条件的整数解求和即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解有、、、，和为． 题型十一 由不等式组解集的情况求参数 解｜题｜技｜巧 先化简不等式，结合解集画数轴锁定参数临界值，依据解集口诀初步定范围。重点检验端点等号，可取则包含、不可取则排除。不确定时分类讨论参数正负，最后代入验证，避免漏等、多取边界。 41．（2026七年级下·江苏·期末）若关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解不等式组中第二个不等式，再根据一元一次不等式组的解集确定的取值范围． 【详解】解：解不等式， 移项得：， 化简得：， 又∵不等式组的解集为：， ∴． 42．（24-25七年级下·重庆万州·期中）若不等式组 的解集为，则的值等于 （    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组），解一元一次方程等知识点，解此题的关键是求出关于a和b的方程． 根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据不等式组的解集得出，，求解并代入计算即可得出答案． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组 的解集为， 不等式组 的解集为 -1 < x < 1， ，， 解得：，， ， 故选D． 43．（25-26七年级下·江苏南通·期末）不等式组的解集是，实数a满足的条件是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的解集，解一元一次不等式组． 根据不等式组的解集与给定解集相等，通过比较边界条件得到关于的不等式组，即可确定实数的取值范围． 【详解】解：不等式组的解集是， ∴ 解①得， 解②得， 解③得， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 44．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）已知不等式组 (1)分别求出当，时不等式组的解集； (2)当满足什么条件时，不等式组的解集是？ 【答案】(1)；； (2) 【分析】题目主要考查求不等式组的解集，熟练掌握求解方法是解题关键． （1）分别将和代入不等式组，确定不等式组的解集即可； （2）根据题意得出，求解即可． 【详解】（1）解：当时，原不等式组为， 此时解集为； 当时，原不等式组为， 此时解集为； （2）若不等式组的解集是， 则； 解之得． 题型十二 由不等式组的整数解情况求参数 解｜题｜技｜巧 先解不等式组得出解集，根据限定整数在数轴标出，反向锁定参数临界点。左右边界分开研判，逐个验证等号能否成立，严控临界取值。容易出错在端点取舍，可代入边界数值检验，精准确定参数范围。 45．（25-26七年级下·广东江门·期末）已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组是解题的关键．解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出，解之可得． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组有4个整数解，则整数解为， ， 解得：． 故选：A． 46．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再根据不等式组有个整数解即可求出的取值范围，正确求出一元一次不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 解得，， 解得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有个整数解， ∴， 故选：C． 47．（24-25七年级下·江苏南通·期末）若关于的不等式组，的所有整数解的和为，则的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于的不等式组是解此题的关键. 先求出不等式组的解集，再根据已知得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 关于的不等式组的所有整数解的和为， 不等式组的解集为， 当时，这两个整数解一定是和，此时， ， ， 当时，有， ， ， 的取值范围是或． 故答案为：或． 48．（2025七年级下·江苏·期末）已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解：已知解集（整数解）求字母的取值．解题思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解不等式即可得到答案． 【详解】解； 去分母：， 去括号：， 合并同类项：， ∴， 去括号：， 合并同类项：， ∵不等式组有5个整数解， ∴不等式组的解集为，且5个整数解为：2，1，0，，， ∴， ∴． 题型十三 不等式组和方程组结合的问题 解｜题｜技｜巧 先解方程组，用含参数代数式表示 x、y；再把代数式代入不等关系式，列出不等式。解不等式得到参数范围，留意系数为负变号。遇整数限制，在解集里筛选取值，端点取值务必代入验算。 49．（25-26八年级上·陕西延安·期末）若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，不等式组的求解，解题的关键是掌握相关的计算法则和步骤． 先求出方程组的解，然后列出不等式组进行求解即可． 【详解】解： 解方程组得， 根据题意得， 解得， ∴整数的最小值为1， 故选：C． 50．（25-26八年级上·江苏·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 51．（25-26八年级下·河南郑州·期末）已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】（1）由加减消元法解二元一次方程组得出，然后代入计算即可得解； （2）由（1）得，结合题意得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， 得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∵该方程组的解满足为正数，为负数， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为0． 52．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值． (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式和一元一次方程，熟练掌握利用含参数的二元一次方程组的解法，按题中条件列式求解是解决问题的关键． （1）由化简得到，代入解方程即可得到答案； （2）得，代入解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：， 得 ∴ 方程组的解满足， ∴， 解得； （2）解： 由得，方程组的解满足， ∴， 解得． 题型十四 列一元一次不等式组 53．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）本学期学校打算以知识竞赛的方式评选 “鹿鸣之星”．本次竞赛共有50道题，规定每答对一题得3分，答错或不答均扣2分．若得分不低于120分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对x道题，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别表示出答对得分和扣分数，再结合获奖的得分要求列出不等式即可． 【详解】解：设答对道题，则答错或不答的题数为道，根据题意得： ． 54．（2024·江苏盐城·三模）为了减少碳的排放和更高的利用新能源，国家提倡绿牌电动车出行，绿牌电动车的国家标准如图所示，如果电动自行车的车速是，电池电压是，可载一名未成年人的年龄是周岁，可列出不等式正确的是（    ） 执行标准 GB17761-2018 最高车速 电池电压 不超过48V 能否载人 可载一名16周岁以下未成年人 车辆属性 非机动车 是否需要驾驶证 不需要 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列不等式，根据题意，结合“不超过48V”，“16周岁以下”， “最高车速”等含义列不等式即可作答． 【详解】∵最高车速为， ∴， ∵电池电压不超过48V， ∴， ∵可载一名16周岁以下未成年人， ∴， 故选：D． 55．（25-26八年级下·江苏·期末）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组． 【详解】解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 56．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意，总棵数在两种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不等式组即可． 【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为：． 故选：B． 题型十五 一元一次不等式组的实际应用 57．（25-26七年级上·江苏·期中）盐城市某中学组织学生参观科技馆，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元． (1)求参观的学生人数和原计划租用45座客车的辆数； (2)若租两种客车，怎样租用最省钱？最低租金是多少元？ 【答案】(1)学生240人，原计划租5辆 (2)最省为租4辆45座和1辆60座，最低租金1180元 【分析】本题考查了一元一次方程与不等式的应用，涉及到了方案选择，解题关键是理解题意，列出一元一次方程与不等式求解． （1）根据总人数不变列出方程即可求解； （2）分别计算不同方案的总价，比较后即可求解． 【详解】（1）解：设原计划租 45 座客车 x 辆， ． 学生人数（人） 答：学生有 240 人，原计划租 45 座车 5 辆． （2）设租45座a辆，60座b辆， ，且（因两种车都要租用）， ∴， 当时，总费用为（元）， 当时，总费用为（元）， 当时，总费用为（元）， 当时，总费用为（元）， ∵1180元费用最低， ∴最省钱为租4辆45座和1辆60座，租金1180元． 58．（25-26八年级上·浙江温州·期中）新BA城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，下表是10月11日，温州队所在的组比赛积分表的部分信息： A组积分 排名 队伍 胜负 积分 2 温州队 7胜0负 4 金华队 6胜2负 14分 5 余姚队 5胜3负 13分 6 台州队 4胜4负 12分 (1)求温州队的积分． (2)温州队所在的组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得组第一至少还要胜几场？ 【答案】(1)温州队的积分为14分 (2)温州队要获得小组第一，至少还要胜10场 【分析】本题考查了二元一次方程的应用和一元一次不等式应用，根据表格中的数据求出胜负平的得分，读懂题意正确列出方程和不等式是解题关键． （1）设胜1场加分，负1场加分，根据题意列方程即可解答； （2）设胜场，负场，根据题意列不等式即可解答． 【详解】（1）解：设胜1场加分，负1场加分 由题，得 解得， 所以（分） 答：温州队的积分为14分． （2）解：由题，得温州队一共要进行场比赛 设胜场，负场 由题，得 解得， ， 答：温州队要获得小组第一，至少还要胜10场． 59．（25-26七年级下·江苏南通·期末）在防控新型冠状病毒期间，甲、乙两个服装厂都接到了制作同一种型号的医用防护服任务，已知甲、乙两个服装厂每天共制作这种防护服140套，甲服装厂4天制作的防护服与乙服装厂3天制作的防护服套数相同． (1)求甲、乙两个服装厂每天各制作多少套这种防护服； (2)现有1600套这种防护服的制作任务，要求不超过10天完成，若乙服装厂每天多做5套，那么甲服装厂每天至少多做多少套？ 【答案】(1)甲服装厂每天制作60套，乙服装厂每天制作80套 (2)甲服装厂每天至少多做15套 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲服装厂每天制作x套，则乙服装厂每天制作套，根据“甲服装厂4天制作的防护服与乙服装厂3天制作的防护服套数相同”建立方程求解； （2）设甲服装厂每天多做m套，则乙服装厂每天制作（套），甲服装厂每天制作套，则两厂每天共制作（套），那么每天至少需要制作（套），再根据题意列出不等式求解． 【详解】（1）解：设甲服装厂每天制作x套，则乙服装厂每天制作套， ∵甲服装厂4天制作的防护服与乙服装厂3天制作的防护服套数相同， ∴ 解得 则 ∴甲服装厂每天制作60套，乙服装厂每天制作80套， 答：甲服装厂每天制作60套，乙服装厂每天制作80套； （2）解：设甲服装厂每天多做m套，则甲服装厂每天制作套， 由题意乙服装厂每天制作（套）， 两厂每天共制作（套） 由已知得每天至少需要制作（套） ∴ 解得 ∴甲服装厂每天至少多做15套 答：甲服装厂每天至少多做15套． 60．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）2025年6月14日是江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）扬州VS泰州赛，扬州作为主场，为运动员们提供了营养早餐．其中400克早餐食品中，蛋白质总含量为，包括一份粮谷类食品，一份牛奶和一个鸡蛋（一个鸡蛋的质量约为50克，蛋白质含量占；粮谷类食品和牛奶的部分营养成分如表所示）． 每100克粮谷类食品营养成分表 能量 2132千焦 脂肪 克 蛋白质 克 碳水化合物 克 钠 320毫克 每100克牛奶营养成分表 能量 256千焦 脂肪 克 蛋白质 克 碳水化合物 克 钙 116毫克 (1)设该份早餐中粮谷类食品为150克，牛奶为200克，请写出粮谷类食品中所含的蛋白质为 克，牛奶中所含的蛋白质为 克； (2)请求出该营养早餐中，粮谷类食品和牛奶的质量分别为多少克？ (3)为了更好的备战，我市举办了为期一周的赛前集训，主办方提供了A，B两套午餐： 套餐 主食（克） 肉类（克） 水果（克） 其它（克） A 210 95 120 125 B 220 70 140 90 为了膳食平衡，要求运动员在一周内A，B两种套餐均要选择．如果在一周里，午餐主食摄入总量不超过1500克，那么运动员在一周里可以选择A，B套餐各几天？写出所有的方案．（说明：一周按7天计算） 【答案】(1)，6 (2)该营养早餐中，粮谷类食品的质量为250克，牛奶的质量为100克 (3)共有3种选择方案，方案1：选择套餐4天，B套餐3天；方案2：选择套餐5天，B套餐2天；方案3：选择套餐6天，B套餐1天． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）根据每100克粮谷类及牛奶中蛋白质的含量，结合该份早餐中粮谷类食品及牛奶的质量，即可求出粮谷类食品及牛奶中所含的蛋白质的质量； （2）设该营养早餐中，粮谷类食品的质量为x克，则牛奶的质量为克，根据“400克早餐食品中，蛋白质总含量为”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设运动员在一周里可以选择A套餐y天，则选择B套餐天，根据“在一周里，午餐主食摄入总量不超过1500克”，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，结合y，均为正整数，即可得出各选择方案． 【详解】（1）解：根据题意得：粮谷类食品中所含的蛋白质为（克）； 牛奶中所含的蛋白质为（克）． 故答案为：，6； （2）解：设该营养早餐中，粮谷类食品的质量为x克，则牛奶的质量为克， 根据题意得：， 解得：， ∴（克）． 答：该营养早餐中，粮谷类食品的质量为250克，牛奶的质量为100克； （3）解：设运动员在一周里可以选择A套餐y天，则选择B套餐天， 根据题意得：， 解得：， 又∵y，均为正整数， ∴y可以为4，5，6， ∴共有3种选择方案， 方案1：选择套餐4天，B套餐3天； 方案2：选择套餐5天，B套餐2天； 方案3：选择套餐6天，B套餐1天． 题型十六 一元一次不等式组的新定义问题 61．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）依据题意，由不等式组的解集是，不等式组的解集是，进而可以判断得解； （2）依据题意，由关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，则或，进而计算可以得解； （3）依据题意，由是的“相容不等式组”，则，可得，又和的整数解相同，可得，进而可得，最后即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相斥不等式组”． 故答案为：． （2）由题意，关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， 或． 或． （3）由题意，是的“相容不等式组”， ． ． 的整数解为，且和的整数解相同， ． ． ． 综上所述：． 62．（25-26八年级上·陕西西安·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用． （1）由等式右边运算形式确定，解不等式； （2）分和两种情况，分别用对应公式列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得， 故答案为：； （2）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是． 63．（25-26七年级下·江苏南京·期末）对于有理数a、b，定义的含义为： 当时，；当时，． 例如：，． (1)________． (2)求． (3)已知，求k的取值范围． (4)已知，直接写出m、n的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】本题主要考查新定义，解一元一次不等式，完全平方公式，准确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义即可得到答案； （2）根据平方得知，即可得到，根据新定义即可得到答案； （3）根据，得到，解一元一次不等式即可得到答案； （4）根据题意得到，化简得，即可得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， 解得； （4）解：， ， ， ， ， ， 解得，． 64．（25-26七年级下·江苏·期末）阅读下面的材料： 对于有理数，我们定义符号的意义如下：当时，；当时，．例如：，．根据上面的材料回答下列问题： (1)_______； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）根据新定义可得答案； （2）根据新定义得出，再解之即可得出答案． 【详解】（1）解：∵ ， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ∴的取值范围． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（2026·江苏无锡·二模）如果，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：由于不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，则，故A正确； 选项B：由于不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，则，故B错误； 选项C：由于不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，则，故C错误； 选项D：由于，移项得，故D错误． 2．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）已知是不等式的一个解，则m的值可以是（     ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据不等式的解的定义，将已知解代入原不等式，求出m的取值范围，再对比选项得出正确结果． 【详解】解：∵是不等式的一个解． ∴将代入不等式得 ， 解得：． 四个选项中只有，符合要求． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）不等式的最大整数解是（     ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】先解一元一次不等式得到解集，再在解集中找出满足条件的最大整数即可． 【详解】解：移项可得， 合并同类项得， 系数化为得， ∵小于等于的最大整数是 ∴不等式的最大整数解是．期末 4．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将原不等式右边变形，可得： . ∵原不等式的解集为，不等号方向没有改变， ∴. 解得． 5．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）下列式子中：①，②，③，④，不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据不等式的定义判断各个式子是否为不等式，统计个数即可得到答案． 【详解】解：①使用不等号连接，是不等式． ②使用等号连接，是等式，不是不等式． ③使用不等号连接，是不等式． ④是多项式，没有不等号连接，不是不等式． 不等式共有个． 6．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）已知二元一次方程．当时，的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据的取值范围，将用含的代数式代入，得到关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：，且， ， 两边同乘得：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为，改变不等号方向得：． 7．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）已知 是关于的一元一次不等式，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数为，且未知数的系数不为，据此列等式求解即可． 【详解】解：根据一元一次不等式的定义可得，的次数满足，且的系数为 解方程，得． 8．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】两式相减可得到，然后解不等式即可． 【详解】解：， 得：， ， ， ， 解得． 9．（25-26七年级下·江苏南通·期末）若关于x的不等式可化为，则a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据已知解集得到为负数，即可确定出的范围． 【详解】解：不等式可化为， ， 解得：． 10．（25-26八年级上·浙江台州·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用， 先根据程序图的操作过程得出不等式组，再求出不等式组的解集． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得． 故答案为：． 11．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）解下列不等式（或不等式组）． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解得 ∴不等式的解集为； （2）解： 由①得，； 由②得， ∴原不等式组的解集为． 12．（2026·江苏苏州·一模）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【详解】解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示为： 13．（2026·江苏泰州·一模）甲、乙两队进行了场足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分． (1)若甲队负了场，则甲队的得分能否为分？请说明理由； (2)若乙队保持不败，得分超过分，求乙队至少胜了多少场？ 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)场 【分析】（1）设甲胜场，则平场，根据得分列方程求出，根据为非负整数，即可得出答案； （2）设乙胜了场，根据乙队保持不败，得分超过分，列不等式，求出，即可得答案． 【详解】（1）解：设甲队胜了场， ∵甲队负了场， ∴平的场次为场， ∵胜一场得分，平一场得分，负一场得分， ∴， 解得：， ∵为非负整数， ∴甲队的得分不能为分． （2）解：设乙胜了场， ∵乙队保持不败， ∴平的场次为场， ∴， 解得：． ∴至少胜5场． 14．（2026·江苏连云港·一模）国家非常重视学校体育工作，坚持“健康第一”的教育理念，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展．某校响应号召，计划举行阳光体育活动，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元． (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？ (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是48，且购买的总费用不能超过240元；则最多可以购买多少根跳绳？ 【答案】(1)购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元 (2)最多可以购买24根跳绳 【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，然后根据“购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元”列出二元一次方程组，即可解答； （2）设购买m根跳绳，则购买个毽子，然后根据（1）中所求的结果和“购买的总费用不能超过240元”列出一元一次不等式，即可解答． 【详解】（1）解：设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元， 依题意得：，解得． 答：购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元． （2）解：设购买m根跳绳，则购买个毽子， 依题意得：， 解得． 所以最多可以购买24根跳绳． 15．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）利用我们学过的完全平方公式知识能解决等式或代数式的问题，请阅读下列材料： 阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求______，______； (2)若，，其中，试比较A与B的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）将，变形为，根据非负性求解即可； （2）计算，配方求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ， 解得； （2）解：，， ， ， ， ， ， 故． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 16．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项即可得到答案 【详解】解：对于选项A，根据不等式的基本性质，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∵ ， ∴ ，A错误； 对于选项B，举反例，当 ， 时，满足 ，但 ，，，B错误； 对于选项C，若 ，当 时，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，可得 ，C错误； 对于选项D，∵ ，平方数非负，因此得 ， 不等式两边同时除以正数，不等号方向不变， ∴ ，D正确 17．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，且，则的最小整数值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将代入化简得，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小整数值为2． 18．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于29”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据程序运算规则，第1次、第2次运算结果不大于29，第3次运算结果大于29，据此列出一元一次不等式组求解即可.． 【详解】解：由题意可知，程序运算进行了3次才停止，说明前两次运算结果均不大于29，第三次运算结果大于29， 则第一次运算结果为：， 第二次运算结果为：， 第三次运算结果为：， 根据题意列出不等式组为： 解得， 此时，符合题意， 故选：A． 19．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到不等式组的解集，再根据整数解个数确定具体的整数解，最后结合边界确定a的范围，注意端点值的取舍． 【详解】解∵不等式组恰有3个整数解， ∴不等式组的解集为，这3个整数解为2，1，0， ∴． 20．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定，先解出第二个不等式的解集，再根据“同小取小”的解集法则确定参数m的取值范围即可． 【详解】解：解不等式 移项得 合并同类项得 系数化为得 不等式组的解集是 ． 21．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如果不等式只有个正整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先解不等式得到的取值范围，再确定个正整数解的具体值，据此得到的取值范围． 【详解】解：， 移项，得， ∵该不等式只有个正整数解， ∴正整数解为，，， ∴的取值范围为． 22．（25-26七年级下·江苏南通·期中）关于的不等式组的整数解共有个，求的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集，从而确定个整数解，再求出的取值范围． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组共有个整数解， ∴整数解为，，， ∴． 23．（25-26七年级下·江苏南通·期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】先根据已知不等式的解集确定的符号，得到与的数量关系，再代入待求不等式，根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：， 移项，得， ∵解集是， ∴，且，即， 将代入不等式，得，， 合并同类项，得， ∵， ∴两边同除以，得． 24．（25-26七年级下·江苏南通·期末）已知，都是关于x的一元一次不等式组的解，则m的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集为，再结合题意建立不等式求解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， ∵，都是关于x的一元一次不等式组的解， ∴且， 解得：． 25．（25-26七年级下·重庆·期末）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数a的和为________． 【答案】 【分析】先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据有且只有4个整数解，确定参数的范围，进而求出所有满足条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式，得，即， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有4个整数解，整数解为， 故需满足，即 ∴整数为和，和为． 26．（25-26七年级下·江苏南京·期末）解不等式组：． 【答案】． 【分析】分别求出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据同大取大的法则确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 27．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）某运输公司现有180吨物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均要使用且满载），已知A、B两种货车近期的两次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 5 4 160 (1)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ (2)请你通过计算说明现在运输180吨物资所有可行的运输方案． 【答案】(1)A：20吨/次，B：15吨/次； (2)方案一：安排A种货车3辆，B种货车8辆，可将全部货物一次运完；方案二：安排A种货车6辆，B种货车4辆，可将全部货物一次运完 【分析】（1）设A种货车每辆每次可以运送物资x吨， B种货车每辆每次可以运送物资y吨，依题意，得到二元一次方程组并求解即可； （2）设安排A种货车a辆，B种货车b辆，可将全部货物一次运完，依题意，得到，得到，推导出a为3的倍数，且，得到或6，再分类计算求解即可． 【详解】（1）解：设A种货车每辆每次可以运送物资x吨， B种货车每辆每次可以运送物资y吨，依题意，得 ，解得， 答：A种货车每辆每次可以运送物资20吨， B种货车每辆每次可以运送物资15吨． （2）解：设安排A种货车a辆，B种货车b辆，可将全部货物一次运完，依题意，得 ， 则， ∴， ∵，且a，b都是正整数， ∴必须是正整数，且， ∴a为3的倍数，且， ∴或6， 当时，， 当时，， 答：方案一：安排A种货车3辆，B种货车8辆，可将全部货物一次运完；方案二：安排A种货车6辆，B种货车4辆，可将全部货物一次运完． 28．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）五一假期，某旅行团32人在条子泥景区游玩，他们由成人和儿童组成．已知成人比儿童多12人． (1)求该旅行团中成人与儿童分别是多少人？ (2)因时间充裕，该团准备让部分成人带领全部儿童去荷兰花海景区游玩．荷兰花海景区的门票价格40元/张，成人全票，儿童5折，一名成人可以免费携带一名儿童．并且为安全起见，一个成人最多监护两个儿童． ①若由成人8人带队，则所需门票的总费用是多少元？ ②若剩余经费只有330元可用于购票，在不超额的前提下，可以安排多少成人带队？ 【答案】(1)成人22人，儿童10人 (2)元；可以安排或名成人带队 【分析】（1）已知总人数32人，成人比儿童多12人，可设儿童人数为未知数，利用人数和、人数差列一元一次方程求解； （2）①8名成人每人免费携带1名儿童，共免费8名儿童；剩余儿童需要购买儿童票，总费用成人票总价剩余儿童票总价； ②设安排名成人带队，先确定需要购票的儿童数量：名成人免费带走名儿童，剩余名儿童买儿童票；同时约束条件：成人最多监护名儿童，即；总费用成人票费用剩余儿童票费用，联立不等式求解的最大整数． 【详解】（1）解：设儿童有人，则成人有人， 根据总人数为32，列方程： ， 解得：， 成人人数：（人）， 故成人22人，儿童10人． （2）解：①成人票费用：元， 免费儿童数量：8名， 需要购票的儿童数量：名， 儿童票单价：元， 儿童票费用：元， 总费用：元； ②设安排名成人带队， 每名成人最多监护名儿童，总儿童人， ， 解得：， 成人票总价：元， 免费儿童：人，需购票儿童：人， 儿童票总价：元， 总费用不等式：， 解得：， 结合监护约束，且为成人人数（正整数）， 则可取、， 可以安排或名成人带队． 29．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）若不等式（组）①的解都是不等式（组）②的解，则称不等式（组）②是不等式（组）①的“覆盖不等式”，特别地，若一个不等式（组）无解，则其他任意不等式（组）都是它的“覆盖不等式”．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的“覆盖不等式”；不等式组无解，则其他任意不等式（组）都是它的“覆盖不等式”．根据以上信息，解决下列问题： (1)_______的“覆盖不等式”（填“是”或“不是”）； (2)若是关于x的不等式的“覆盖不等式”，试求m的取值范围； (3)若是关于x的不等式组的“覆盖不等式”，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)是 (2) (3)或 【分析】（1）根据“覆盖不等式”定义判断即可； （2）先解含参数的不等式,得到它的解集；根据题意：是该不等式的覆盖不等式，即不等式的所有解都满足，转化为解集的包含关系列不等式求解范围； （3）先分别求解不等式组里两个一元一次不等式，写出不等式组的解集；根据题意是该不等式组的覆盖不等式，即不等式组的全部解都包含在这个区间内，分两种情况：不等式组无解、不等式组有解联立不等式求出范围． 【详解】（1）解：，它的每一个解都在范围内， 所以是的“覆盖不等式”． （2）解：解不等式， 移项：， 系数化为1（除以负数，不等号反向）：， 根据覆盖不等式定义：是的覆盖不等式，说明不等式的全部解都属于的解集， 要满足该子集关系，只需区间右端点满足： ， ， 综上，的取值范围为． （3）解：解： ， ； 解： ， ， 因此不等式组的解集为：， 根据覆盖不等式定义:是该不等式组的覆盖不等式，分两类讨论： 情况一：不等式组无解，则， ， ， 得：； 情况二：不等式组有解，此时，且不等式组的全部解都落在内， 有， ； ； ， 得， 综上，的取值范围是或． 30．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）定义：关于x，y的二元一次方程（其中），若将常数项与未知数系数a，b之一互换，得到的新方程称为原方程的“交换系数方程”；若将常数项与未知数的系数互换，得到的新方程称为原方程的“镜像方程”．例如，的“交换系数方程”为或，“镜像方程”为． (1)求方程与它的“镜像方程”组成的方程组的解； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数m，n，t满足条件，并且是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 【答案】(1) (2)2026 (3)2 【分析】（1）根据“镜像方程”的定义建立方程组，利用加减消元法解方程组即可得； （2）根据“交换系数方程”的定义建立方程组，解方程组求出的值，再代入方程可得，，据此计算即可得； （3）根据“交换系数方程”的定义求出方程的交换系数方程，再分两种情况讨论，对比方程的各系数，解方程组求出，然后根据为整数求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：方程的“镜像方程”为， 则组成的方程组为， 解得； （2）解：方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为①或②， 则方程组①的解为， ∵ ∴ ∴ ∴方程组①的解为； 方程组②的解为， 同理可得，方程组②的解为， 由题意可知，恰好是关于的二元一次方程的一个解， 将代入得：， ∴，， ∴ ； （3）解：方程的“交换系数方程”为或， ①当方程的“交换系数方程”为时， ∵是关于的二元一次方程的“交换系数方程”， ∴各系数与各系数相等， ∴， 解得， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵为整数， ∴，即， ∴； ②当方程的“交换系数方程”为时， ∵是关于的二元一次方程的“交换系数方程”， ∴各系数与各系数相等， ∴， 解得，不是整数，不符合题意，舍去； 综上，的值为2． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 31．（25-26八年级下·山东青岛·期中）若不等式组无解，则m（    ） A．最大值是4 B．最小值是4 C．最大值是 D．最小值是 【答案】A 【分析】先求解第一个不等式得到x的范围，再根据一元一次不等式组无解的条件列出关于m的不等式，求解得到m的取值范围，即可得到结论． 【详解】解：解第一个不等式得， 原不等式组化为 ∵不等式组无解， ∴ 解得 ∴ m的最大值是4． 32．（2026七年级下·江苏·期末）已知关于x的不等式组，甲、乙两位同学分别得出以下结论： 甲：若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是； 乙：若它无解，则． 其中下列判断正确的是（　　） A．甲、乙都对 B．甲对，乙错 C．甲错，乙对 D．甲、乙都错 【答案】A 【分析】根据不等式组解的情况，对a进行讨论求解． 【详解】解：根据题意，得不等式组的解集为， 由它的整数解仅有3个，且为2，3，4， 则， 解得：， 故甲正确； 若它无解，则， 解得：， 故乙正确． 33．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组 的解满足，则满足条件的整数a有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据方程和方程组的解的情况求参数，解一元一次不等式，求不等式组的整数解，先解一元一次方程得到，根据方程的解为非负数列出不等式可求出a的取值范围；把方程组中的两个方程相加推出，则可得到，解不等式可确定a的取值范围，据此可得答案． 【详解】解： 去括号得， 解得， ∵关于x的方程的解为非负数， ∴， ∴； 得， ∴， ∵关于x，y的二元一次方程组 的解满足， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数a有，共5个， 故选：B． 34．（25-26九年级上·江苏苏州·期末）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，…，，．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为，，，，．张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数最大．如表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 ， ， ， ， ， 两数的和 则这五张卡片中上面数字最大的一张卡片是（   ） A．卡片 B．卡片 C．卡片 D．卡片 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的应用，由题意得到关于的方程，然后作差利用不等式的性质，最后根据题意得结论，熟练掌握等式的性质和不等式的应用是解答本题的关键． 【详解】解：由题意得到关于的方程，然后作差利用不等式的性质可得： 设，，，，卡片上对应的数分别为，，，，， 则，，，，， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， 所以且， 所以卡片上的数最大， 故选：D． 35．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若方程组中未知数满足，关于的不等式组有且只有个整数解，则所有满足条件的整数的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，由一元一次不等式组的解的情况求参数，有理数的加法运算，先由方程组得，进而得到，即得，再解不等式组得到，由不等式组的解的情况可得，即得，再把所有满足条件的整数的值相加即可求解，一元一次不等式组的解的情况求出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：， ①②，得， ∵， ∴， 解得， 解不等式组，得， ∵不等式组有且只有个整数解， ∴， 解得， ∴， ∴所有满足条件的整数的值为，，，， ∴所有满足条件的整数的和为， 故选：． 36．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的加减消元法与一元一次不等式的求解，关键是运用整体思想简化计算，无需分别求解和的具体表达式．将方程组的两个方程左右两边相加，提取公因式后得到关于的代数式，再根据已知条件建立一元一次不等式，最后解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：， ①+②得：， 整理化简，得； ， ，解得； 故答案为：． 37．（25-26八年级上·四川成都·期末）关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，由题意得不等式组无解需满足两个不等式的解集无交集，即，根据解集的情况正确的列出关于参数的不等式是解题的关键． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 38．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为__________． 【答案】28 【分析】本题主要考查解二元一次方程和解不等式组，利用参数表示方程的解和不等式的解集是解题的关键． 首先解方程得到，由解为整数可知为奇数，再解不等式组，得到解集为，再由有且仅有3个整数解确定a的取值范围，结合为奇数，得到或，最后求和即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵解为整数， ∴为偶数，即a为奇数， 解不等式组，得：， ∵关于的不等式组有且仅有3个整数解， ∴， ∴，解得：， ∵a为整数，且a为奇数， ∴或， ∴满足条件的整数a和为， 故答案为：28． 39．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）对于数，规定 表示不大于的最大整数，例如 ． 若 ，则 的取值范围是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了新定义型运算问题和一元一次不等式组的解法，根据定义列出不等式组是解答本题的关键．根据的定义可知，，然后求解关于x的不等式组即可． 【详解】解：根据定义可知：， ∴， ∴ 解得：． 故答案为：． 40．（25-26七年级下·江苏南通·期末）不等式组的解集是，实数a满足的条件是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的解集，解一元一次不等式组． 根据不等式组的解集与给定解集相等，通过比较边界条件得到关于的不等式组，即可确定实数的取值范围． 【详解】解：不等式组的解集是， ∴ 解①得， 解②得， 解③得， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 41．（2026·江苏·一模）求不等式组的整数解． 【答案】所有大于等于0的整数 【分析】分别解两个不等式，然后取得这两个不等式解的公共部分即可得出答案，最后求其整数解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为所有大于等于0的整数． 42．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）学校举办文创市集，手工社团拟售卖两种文创产品： 定制书签：每枚定价5元 手绘明信片：每张定价2元 社团规定：每笔订单必须同时购买两种产品，且总金额为固定值a元． 已知小宇购买了4枚书签和10张明信片，刚好符合该金额标准． (1)求总金额a的值； (2)请求出除了可以购买4枚书签和10张明信片之外，所有书签和明信片的购买数量组合． 【答案】(1)40 (2)购买2枚书签、15张明信片，或6枚书签、5张明信片 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）设购买书签x枚，明信片y张，依题意得到，即，求出，得到x的正偶数取值为2，4，6，分类求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得 （元）． 答：a的值为40． （2）解：设购买书签x枚，明信片y张，依题意 ， 即， ∵且y为正整数， ∴必须是整数，即x为偶数， ， 解得， ∴，且x为偶数， ∴x的正偶数取值为2，4，6． ①当时，， ​②当时，（题目已给出，舍去） ​③当时，， 答：购买2枚书签、15张明信片，或6枚书签、5张明信片． 43．（25-26八年级下·河南郑州·期末）已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】（1）由加减消元法解二元一次方程组得出，然后代入计算即可得解； （2）由（1）得，结合题意得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， 得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∵该方程组的解满足为正数，为负数， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为0． 44．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）已知关于x的方程． (1)求x的值（用含a的式子表示）； (2)若关于x的方程的解不小于，求a的取值范围； (3)请直接写出满足（2）的条件的所有a的正整数值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）结合该方程的解不小于，可得关于的一元一次不等式，求解即可获得答案； （3）结合（2）及正整数的定义，即可获得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴； （2）由（1）可知，， ∵该方程的解不小于， ∴， 解得； （3）由（2）可知，， ∴满足（2）的条件的所有a的正整数值． 45．（25-26七年级下·江苏南京·期末）阅读材料：我们把多元方程（组）的正整数解叫作这个方程（组）的“友谊解”．例如：就是方程的一组“友谊解”；是方程组的一组“友谊解”． (1)请直接写出方程的所有“友谊解”； (2)关于x，y，k的方程组有“友谊解”吗？若有，请求出对应的“友谊解”；若没有，请说明理由． 【答案】(1) 或 (2) 有，友谊解为 【分析】（1）根据友谊解的定义，变形方程后确定x的取值范围，列举正整数得到所有解； （2）先消元用k表示出x和y，再根据正整数的要求确定k的取值范围，筛选出符合条件的k，进而得到方程组的友谊解； 【详解】（1）解：由，得， x，y为正整数， ， 解得：， ∴正整数只能取或， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； ∴方程的所有“友谊解”为： 或； （2）解：， ，得， 整理得， 将代入①，得， x，y，k都是正整数， ， 解得：， 又∵和均为正整数， ∴必须是4的倍数， 在的正整数中，只有符合要求， 代入得， 再代入①得， ∴方程组有“友谊解”，对应的“友谊解”为：． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $