专题03 相似三角形的判定（1）（暑假自学讲义） 2026--2027学年沪教版九年级数学上册

沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题03 相似三角形的判定(1) 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 基本概念辨析 题型2 利用平行判定形似 题型3 利用两角相等判定相似 题型4 寻找A字型和X字型相似 题型5 寻找字母型相似 题型6 一线三等角模型 · 理解相似三角形定义，掌握对应角相等、对应边成比例，规范书写相似符号，找准对应顶点。 · 掌握相似三角形的传递性，能利用传递性推导多组三角形相似。 · 理解并掌握相似三角形预备定理（平行线判定相似），分清图形 “A 型”“X 型” 两种基本模型，能用预备定理判定三角形相似。 · 掌握相似三角形的判定定理1（两角对应相等）。 知识点讲解 1. 相似三角形的定义 如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么称这两个三角形相似。 符号语言： ∵=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠c ∴△ADE 2. 相似三角形的传递性 定理：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。 符号语言： ∵△∽△ABC，△∽△ABC, ∴△∽△ 3. 相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形于原三角形相似。 符号语言 如图，已知：点D、E分别在△ABC的直线AB、AC上，DE//BC. 求证：△ABC∽△ADE. 证明：如图所示，过点D作DF//AC,交边BC于点F ∵DE//BC，DF//AC ∴四边形DFCE为平行四边形， ∴FC=DE, 根据平行线分线段成比例定理，由DF//AC,得， 由DE//BC，得，从而有= ∴ = 再由DE//BC,得∠B=∠ADE,∠C=∠AED,又∠A为公共角， 所以根据相似三角形的定义，有△ABC∽△ADE. 4. 预备定理的基本模型 模型： (A字型) （X字型或8字型） 符号语言： ∵DE//BC ∵DE//BC ∴DE∽△ABC ∴ DE∽△ACB 【易错点睛】 在用符号描述相似三角形时一定要防止顶点对应混乱。 5. 相似三角形判定定理（AA定理） 定理：两角对应相等的两个三角形相似。 符号语言：如图，在△ABC和△中 ∵∠A=∠，∠B=∠ ∴△ABC∽△ 6. 相似三角形的常见模型 符号语言： ∠AED=∠B，∠A=∠A (公共角) ∵∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC（对顶角） ∴ED∽△ABC ∴ DE∽△AB C 子母型 特殊子母型（射影型） 符号语言： ∠ACD=∠B，∠A=∠A (公共角) ∵∠ADC=∠ACD，∠A=∠A (公共角) ∴CD∽△ABC ∴ CD∽△AB C 一线三等角模型 符号语言： 条件：∠ADE=∠B=∠C 结论：BAD∽△CDE 证明：∵∠B+∠ADB+∠BAD=180°，∠ADE+∠ADB+∠CDE=180°， 又∵∠ADE=∠B ∴∠BAD=∠CDE ∴BAD∽△CDE （AA） 题型归纳 题型1 基本概念辨析 【例1】下列两个图形不一定是相似形的是（   ） A．两个圆 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的概念，两个图形相似需对应角相等且对应边成比例． 圆、等边三角形和正方形都一定满足，而菱形角不一定相等，故不一定相似． 【详解】解：A、两个圆形状相同，一定相似，故选项不符合题意； B、两个等边三角形，角均为，对应边成比例，一定相似，故选项不符合题意； C、两个正方形，角均为，对应边成比例，一定相似，故选项不符合题意； D、两个菱形对应角不一定相等（如一个为正方形，一个为一般菱形），不一定相似，故选项符合题意． 故选：D． 【例2】如果，那么与也相似．这一事实的数学依据是（    ） A．等量代换 B．三角形具有稳定性 C．三角形相似的传递性 D．相似三角形的预备定理 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，具体是相似关系的传递性． 【详解】解：∵ ， ∴ 根据相似三角形的传递性，． 故选C． 【方法点睛】 定义：形状相同，大小不一定相同的图形叫作相似图形； 判定标准：对应角都相等，对应边都成比例。 【变式练习】 1．如图，两个正方形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角三角形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形对应边不成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质及判定，根据相似多边形的性质及判定：对应角相等，对应边成比例，即可判断． 【详解】解：由题意得， A中正方形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形相似； B、C中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似； 而D中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以D中矩形不是相似多边形． 故选：D． 2．把同一个三角形地块按不同的比例尺画成甲乙两个图，若甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是______． 【答案】 【分析】本题考查了相似图形的性质，熟练掌握相似图形的相似比等于对应边的比值是解题的关键．根据相似图形的性质，用两个图的比例尺相比即可求得相似比． 【详解】解：甲图与乙图的相似比． 故答案为：． 题型2 利用平行判定相似 【例1】如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【分析】先证明是的中位线，得出，即可证明． 【详解】证明：、分别是、的中点， ， ． 【例2】如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（   ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【分析】本题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定，掌握好利用平行线判定相似三角形的方法是关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴，， 则和构成“A”字模型，故；和构成“8”字模型，所以， ∵，， ∴， ∴一共有3对相似三角形． 故选：C． 【例3】如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，掌握好利用平行线判定相似三角形的方法是关键． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴(相似三角形的传递性) （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【方法点睛】 由平行判定相似三角形个数时，要做到有条理、有次序的统计， 首先，由平行分A型图和X型图分类统计； 其次，根据传递性再探寻新的相似三角形。 【变式练习】 1．如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【详解】解：∵，， ，， ∴， 故选：B 2．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵的中点M，N，的长为， ∴，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 3．如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．15 B．12 C．10 D．9 【详解】解：， ， ， 四边形是菱形，点在上，点在的延长线上， ， ， ， ， ． 故选：D． 4．如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即，是一对特殊的相似， ∴相似的两个三角形共有6对． 5．如图，为矩形的对角线，N是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上求作一点M，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【详解】解：如图，点M即为所求．（答案不唯一） 证明：∵N是边上的中点， ∴N在线段的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴． 6．如图，在中，点在边上，，，点、分别在边、上．求证：． 【详解】证明：， ， ， ， ． 7．如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【详解】解：图中与相似的三角形有个，，，， 理由：， ，， ， ， ． 题型3利用两角相等判定 【例1】如图，分别是边上的高．求证． 【分析】先利用平行四边形的性质可得，再根据分别是边上的高，可得，即可证明． 【详解】证明：∵中，， ， ． ∵分别是边上的高， ， ． 【变式练习】 1. 下列说法：①所有的等边三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形一定相似；④都有一个角的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（    ） A．②④ B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：①所有等边三角形的内角都为，任意两个等边三角形的三个内角都对应相等，因此所有等边三角形都相似，①正确； ②等腰三角形两底角相等，若两个等腰三角形有一个底角相等，则两个三角形的底角都对应相等，顶角也相等，三个内角对应相等，因此两个三角形相似，②正确； ③若相等的角一个是等腰三角形的顶角，另一个是等腰三角形的底角，则两个三角形的内角不对应相等，不一定相似，③错误； ④两个直角三角形都有一个直角，且都有一个角，因此两个三角形有两个角对应相等，两个三角形相似，④正确． 2. 如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（   ） A． B． C． D． 【分析】根据，得，观察各选项中是否满足即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 选项A：图中所作为的角平分线， 故，满足； 选项B：图中所作为线段的垂直平分线， 得， ∴， ∴，满足； 选项C：图中所作为的垂线， ∴，故不满足； 选项D：图中所作为， ∴，满足； 综上，不满足的做法为选项C． 3．如图，已知，．求证：． 【分析】运用两角分别相等的两个三角形相似这一判定定理即可证明． 【详解】证明：， ， 即． 又， ． 4.如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形有公共顶点A，且，，点E恰好落在边上（与点不重合），与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰三角形的定义． （1）证明，即可证明； （2）根据和是等腰直角三角形可知，，进而得到，，即，根据，即可证明． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴． 在和中，，， 5. 如图，在中，，用尺规作图法在上分别取点，（点位于点的左侧），使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】先作，再作即可，由于，则，故，再由得到是等边三角形，则，那么，则，再由即可证明． 【详解】解：如图，点即为所求； 题型4 寻找A字型和X字型相似 【例1】如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得（A字型），（A字型），（反A字型）. 【例2】如图，的高相交于点O，请写出两个与相似的三角形__________． 【详解】解：∵的高相交于点O， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴写出两个与相似的三角形，可以是(反X字型)，（反A字型）． 故答案为：，（答案不唯一）． 【变式练习】 1．如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 根据题意无法得到，，，故A，B，C选项不正确，不符合题意； 故选：D 2. 如图，矩形中，，点P为边上一动点，交于点Q． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ， ∴， 即， ∴． 3.如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴选项B与选项C不符合题意， ∵， ∴， 又∵， ∴(反X字型)，故选项D不符合题意， 在旋转的过程中，不一定成立，故A符合题意． 4. 已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据等边三角形的性质得到，与已知的相等；再利用对顶角相等得到；最后根据两角分别相等的两个三角形相似，即可证得． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵（对顶角相等）， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 题型5 寻找子母型相似 【例1】如图，在中点D在上（不与点A，B重合），连接．只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似三角形的判定条件解答即可． 【详解】解：∵∠A=∠A， ∴添加或（答案不唯一）． 【例2】如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 【详解】解：∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 【例3】将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 【详解】解：和是两个全等的等腰直角三角板， ， ， ， 同理可得， 故答案为：（或） 【变式练习】 1．如图，在中，于点D，则图中的相似三角形共有_______对． 【详解】解：， ． 又 ． 同理可得， ∴共有对相似三角形． 故答案为：． 2．已知中，，平分交于点，其中． 求证：△ABC∽△CBD 【详解】证明：∵，平分交于点，， ∴， ∴ ∴△ABC∽△CBD； 3．如图，在中，，以点C为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点D；以点D为圆心，线段的长为半径画弧，恰好经过点A．求证：． 【详解】证明：由作法得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 4．如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所作： 【分析】过点作交于点，则可得． 【详解】理由：由作图得：，即， ∵， ∴， 又， ∴． 5．如图，在中，． (1)尺规作图，在边上作一点D，使点D到点A、点B的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作的中垂线交于点即可； （2）根据等边对等角，得到，进而求出，得到，再根据，即可得证. 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 题型6 一线三等角模型 【例1】如图，等边三角形中，点D在边上，，求证：． 【分析】利用等边三角形性质得，结合，，得出，即可证明． 【详解】证明：为等边三角形， ， ，， ， ． 【变式练习】 1. 如图，在中，，点、分别在、上，且． 求证：． 【分析】先根据等腰三角形的性质，易证，再根据三角形外角的性质和等量代换，可证，最后利用“”，即可求证． 【详解】证明：， ， ，，， ， ， ， ． 2. 如图，在等边三角形中，点，，分别在，，边上，连接，，，且． 求证：． 【详解】证明：为等边三角形， ， ． ， ， ， ； 过关练习 一、单选题 1．如图，在中，，，图中相似三角形共有（    ）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定；根据直角三角形两锐角互余，求证角相等是解题的关键． 可证得，所以相似三角形有3对． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴共有3对相似三角形． 故选：B． 2．如图，在中，，过上一点作直线交的直角边于点，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：如图，过点D作，垂足分别为点， 即这样的直线可以作3条． 故选：C． 3．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是构造辅助线，通过平行线得到相似三角形，再利用相似比求解线段比例． 【详解】解：设每个小方格的边长为1，连接，． 由网格可知，与平行且， 易证， 因此， 即； 故选：A． 4．如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影多边形与原正多边形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意； B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； 故选：A． 5．下列说法正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形 【答案】D 【分析】相似多边形的判定条件：对应角相等且对应边成比例的多边形是相似多边形，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项，等腰三角形的顶角不一定相等，对应角不都相等，因此等腰三角形不都是相似图形，A错误 B选项，菱形的内角度数不一定相等，对应角不都相等，因此菱形不都是相似图形，B错误 C选项，该说法只满足各边对应成比例，缺少对应角相等的条件，例如边长相等的菱形和正方形，各边对应成比例但对应角不相等，不是相似多边形，因此C错误 D选项，等边三角形的三个内角都是，对应角相等，且三边都对应成比例，因此等边三角形都是相似三角形，D正确． 6．如图，，，则图中的相似三角形共有（   ） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键．先根据，得出，，然后根据相似三角形的判定方法，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上，共有4对相似三角形． 故选：C． 7．用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，与不一定相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理，能根据作图痕迹判断条件是解题的关键． 分别根据作图痕迹，依据相似三角形的判定定理，即可判断． 【详解】解：A．由作图可知，， 又∵， ∴，故本选项不符合题意； B．由作图可知，E、F分别为、中点， ∴， ∴，故本选项不符合题意； C．由作图知，、是的角平分线，不能说明，故本选项符合题意． D．由作图可知，平分，点E在的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故本选项不符合题意； 故选：C． 8．如图，和是的高，则图中相似三角形共有（　　） A．3对 B．6对 C．2对 D．4对 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．利用相似的传递性确定相似三角形的对数．根据两组角对应相等两三角形相似确定出相似三角形即可． 【详解】解：和相交于O点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中相似三角形有：；；；；；，共6对相似三角形． 故选：B． 9．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（） A．都含有一个的内角 B．都含有一个的内角 C．都含有一个的内角 D．都含有一个的内角 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形及相似，对于等腰三角形，给定一个内角，它可能是顶角或底角，导致三角形角度不同，但的内角无论作为顶角或底角，都得到等边三角形，所有等边三角形相似． 【详解】解：设等腰三角形有一个内角为α， ∵等腰三角形内角和为，且有两角相等． 若α为顶角，则底角为；若α为底角，则顶角为. 对于A：，可能为或，角度不同，不一定相似； 对于B：，可能为或，角度不同，不一定相似； 对于C：，无论顶角或底角，均为（等边三角形），所有等边三角形相似，故一定相似； 对于D：，可能为或，角度不同，不一定相似； ∴一定能判断两个等腰三角形相似的是C； 故选：C． 10．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定与性质进行计算即可． 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：设直尺上表示数字1的点为B，表示数字3的点为A，表示数字10 的点为C，如图，∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴点P表示的数是， 故选：C． 二、填空题 11．如图，是斜边上的高，请写出图中的一对相似三角形：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，关键是熟练应用知识点解题；根据两角对应相等的两个三角形相似即可得出结论． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， 同理：，， 故答案为：． 12．如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 【答案】和 【分析】根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：和． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 13．如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有______对． 【答案】4/四 【分析】本题考查相似的判定，熟练掌握相似的判定条件是解题的关键． 是、、的公共角，然后根据所给的相等的角，可找出图中的相似三角形； 再根据，可知，可得出，即可判定出，看共有几组即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴图中相似三角形有4对． 故答案为：4． 14．如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件：________，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 利用相似三角形的判定定理进行添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 15．如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是__________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于构造辅助线． 在上截取，，导角证明，即可证明． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与相似的三角形是， 故答案为：． 16．如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有_____对相似三角形． 【答案】6 【分析】根据矩形的性质得到，根据邻补角的定义得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】四边形是矩形， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有6对相似三角形． 故答案为：． 三、解答题 17．如图，线段是直角三角形斜边上的高，求证： 【分析】）根据同角的余角相等可证明，又因为，则题目可证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴． 18．如图，已知，请用尺规作图法在边、上分别作点、，连接，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点D、E即为所求： 【分析】先在截取，再作，且交于点D，则点D、E即为所求． 【详解】解：作图依据： ∵，， ∴． 19．某学习小组进行小孔成像相关实验探究，装置如图所示，物体，幕布，物体通过小孔成像，物体成像后的顶端与点重合，底端落在点处．求证． 【答案】见解析 【分析】根据题意得到，再根据相似三角形的判定即可求解． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴，， ∴． 20．如图，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的大小． 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明，再结合即可得证； （2）由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 21．如图，在矩形中，是边上的一点，连接，作交边于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）根据矩形的性质，垂直的定义，利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）根据矩形的性质，得，利用，求的长，再结合，解答即可． 本题考查了矩形的性质，垂直的定义，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 22．如图，在中，，D、E分别是边、的中点，连接，F是延长线上一点，连接，，求证：． 【分析】本题考查了等边对等角，三角形中位线定理，相似三角形的判定． 根据等边对等角得到，证明是的中位线，得到，即，，进而得到，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 23．已知在梯形中，，； 求证：； 【分析】由可得，再由平角可得，由此可得，再根据相似三角形的判定定理证明即可； 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴； 24．如图，在中，是边上的中线，且，，与相交于点E，与相交于点F．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，等腰三角形的性质等知识点． （1）根据三角形中线得到，再由即可证明全等； （2）由全等三角形得到，再结合等边对等角得到，即可证明相似三角形． 【详解】（1）证明：∵是边上的中线， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴； （2）证明：由（1）知， ∴ ， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题03 相似三角形的判定(1) 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 基本概念辨析 题型2 利用平行判定形似 题型3 利用两角相等判定相似 题型4 寻找A字型和X字型相似 题型5 寻找字母型相似 题型6 一线三等角模型 · 理解相似三角形定义，掌握对应角相等、对应边成比例，规范书写相似符号，找准对应顶点。 · 掌握相似三角形的传递性，能利用传递性推导多组三角形相似。 · 理解并掌握相似三角形预备定理（平行线判定相似），分清图形 “A 型”“X 型” 两种基本模型，能用预备定理判定三角形相似。 · 掌握相似三角形的判定定理1（两角对应相等）。 知识点讲解 1. 相似三角形的定义 如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么称这两个三角形相似。 符号语言： ∵=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠c ∴△ADE 2. 相似三角形的传递性 定理：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。 符号语言： ∵△∽△ABC，△∽△ABC, ∴△∽△ 3. 相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形于原三角形相似。 符号语言： 如图，已知：点D、E分别在△ABC的直线AB、AC上，DE//BC. 求证：△ABC∽△ADE. 证明：如图所示，过点D作DF//AC,交边BC于点F ∵DE//BC，DF//AC ∴四边形DFCE为平行四边形， ∴FC=DE, 根据平行线分线段成比例定理，由DF//AC,得， 由DE//BC，得，从而有= ∴ = 再由DE//BC,得∠B=∠ADE,∠C=∠AED,又∠A为公共角， 所以根据相似三角形的定义，有△ABC∽△ADE. 4. 预备定理的基本模型 模型： (A字型) （X字型或8字型） 符号语言： ∵DE//BC ∵DE//BC ∴DE∽△ABC ∴ DE∽△ACB 【易错点睛】 在用符号描述相似三角形时一定要防止顶点对应混乱。 5. 相似三角形判定定理（AA定理） 定理：两角对应相等的两个三角形相似。 符号语言：如图，在△ABC和△中 ∵∠A=∠，∠B=∠ ∴△ABC∽△ 6. 相似三角形的常见模型 符号语言： ∠AED=∠B，∠A=∠A (公共角) ∵∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC（对顶角） ∴ED∽△ABC ∴ DE∽△AB C 子母型 特殊子母型（射影型） 符号语言： ∠ACD=∠B，∠A=∠A (公共角) ∵∠ADC=∠ACD，∠A=∠A (公共角) ∴CD∽△ABC ∴ CD∽△AB C 一线三等角模型 符号语言： 条件：∠ADE=∠B=∠C 结论：BAD∽△CDE 证明：∵∠B+∠ADB+∠BAD=180°，∠ADE+∠ADB+∠CDE=180°， 又∵∠ADE=∠B ∴∠BAD=∠CDE ∴BAD∽△CDE （AA） 题型归纳 题型1 基本概念辨析 【例1】下列两个图形不一定是相似形的是（   ） A．两个圆 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 【例2】如果，那么与也相似．这一事实的数学依据是（    ） A．等量代换 B．三角形具有稳定性 C．三角形相似的传递性 D．相似三角形的预备定理 【方法点睛】 定义：形状相同，大小不一定相同的图形叫作相似图形； 判定标准：对应角都相等，对应边都成比例。 【变式练习】 1．如图，两个正方形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角三角形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形对应边不成比例的是（    ） A． B． C． D． 2．把同一个三角形地块按不同的比例尺画成甲乙两个图，若甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是______． 题型2 利用平行判定相似 【例1】如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【例2】如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（   ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【例3】如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【方法点睛】 由平行判定相似三角形个数时，要做到有条理、有次序的统计， 首先，由平行分A型图和X型图分类统计； 其次，根据传递性再探寻新的相似三角形。 【变式练习】 1．如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 2．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．15 B．12 C．10 D．9 4．如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 5．如图，为矩形的对角线，N是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上求作一点M，使．（保留作图痕迹，不写作法） 6．如图，在中，点在边上，，，点、分别在边、上．求证：． 7．如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 题型3利用两角相等判定 【例1】如图，分别是边上的高．求证． 【变式练习】 1. 下列说法：①所有的等边三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形一定相似；④都有一个角的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（    ） A．②④ B．①③ C．①②④ D．②③④ 2. 如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，．求证：． 4.如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形有公共顶点A，且，，点E恰好落在边上（与点不重合），与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：． 5. 如图，在中，，用尺规作图法在上分别取点，（点位于点的左侧），使得．（保留作图痕迹，不写作法） 题型4 寻找A字型和X字型相似 【例1】如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【例2】如图，的高相交于点O，请写出两个与相似的三角形__________． 【变式练习】 1．如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 2. 如图，矩形中，，点P为边上一动点，交于点Q． (1)求证：； (2)当时，求的长． 3.如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4. 已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 题型5 寻找子母型相似 【例1】如图，在中点D在上（不与点A，B重合），连接．只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【例2】如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 【例3】将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 【变式练习】 1．如图，在中，于点D，则图中的相似三角形共有_______对． 2．已知中，，平分交于点，其中． 求证：△ABC∽△CBD 3．如图，在中，，以点C为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点D；以点D为圆心，线段的长为半径画弧，恰好经过点A．求证：． 4．如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 5．如图，在中，． (1)尺规作图，在边上作一点D，使点D到点A、点B的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (2)证明：． 题型6 一线三等角模型 【例1】如图，等边三角形中，点D在边上，，求证：． 【变式练习】 1. 如图，在中，，点、分别在、上，且． 求证：． 2. 如图，在等边三角形中，点，，分别在，，边上，连接，，，且． 求证：． 过关练习 一、单选题 1．如图，在中，，，图中相似三角形共有（    ）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 2．如图，在中，，过上一点作直线交的直角边于点，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 3．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A． B． C． D． 4．如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影多边形与原正多边形相似的是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形 6．如图，，，则图中的相似三角形共有（   ） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 7．用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，与不一定相似的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，和是的高，则图中相似三角形共有（　　） A．3对 B．6对 C．2对 D．4对 9．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（） A．都含有一个的内角 B．都含有一个的内角 C．都含有一个的内角 D．都含有一个的内角 10．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（    ） A．2 B． C． D．5 二、填空题 11．如图，是斜边上的高，请写出图中的一对相似三角形：________． 12．如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 13．如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有______对． 14．如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件：________，使． 15．如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是__________． 16．如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有_____对相似三角形． 三、解答题 17．如图，线段是直角三角形斜边上的高，求证： 18．如图，已知，请用尺规作图法在边、上分别作点、，连接，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 19．某学习小组进行小孔成像相关实验探究，装置如图所示，物体，幕布，物体通过小孔成像，物体成像后的顶端与点重合，底端落在点处．求证． 20．如图，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的大小． 21．如图，在矩形中，是边上的一点，连接，作交边于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．如图，在中，，D、E分别是边、的中点，连接，F是延长线上一点，连接，，求证：． 23．已知在梯形中，，； 求证：； 24．如图，在中，是边上的中线，且，，与相交于点E，与相交于点F．求证： (1)； (2)． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $