精品解析：吉林省白山市靖宇县第三中学2026年中考第二次模拟试数学

九年级第二次模拟检测 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列各数没有平方根的是（ ） A. 4 B. 0 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据“负数没有平方根”，判断各选项数值的正负性即可求解． 【详解】解：∵只有非负数才有平方根，负数没有平方根，且，，都是非负数，是负数； ∴没有平方根 2. 如图所示的几何体，从上面观察这个图形，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键；因此此题可根据几何体的特征进行求解即可． 【详解】解：由图可知：从上面观察这个图形，得到的平面图形是： ； 故选D． 3. 如图，点为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为 ，．若四边形的面积为4，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，所得垂线与坐标轴围成矩形的面积为，从而可求解． 【详解】解：设A点坐标为， ∵轴， ∴ ∴ ， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘法、单项式除以单项式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，A错误； B、单项式除法中，数与同底数幂分别相除， ∴，B错误； C、合并同类项时，系数相加，字母及指数不变， ∴，C错误； D、根据幂的乘方与积的乘方法则， ∴，D正确． 故选：D． 5. 如图，直线与 相切于点，半径，点在优弧 上，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相切和可得，再根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：直线与 相切于点， ， ， ， ． 6. 《九章算术》中有如下分钱问题：第一次有x人，平分15元钱；第二次比第一次增加5人，平分40元钱，且第二次每人分得的钱与第一次相同，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“两次每人分得的钱数相同”这一等量关系，分别表示出两次每人分得的钱数，即可列出方程． 【详解】解：∵第一次有人，平分元钱， ∴第一次每人分得元. ∵第二次比第一次增加人， ∴第二次有人，平分元钱， ∴第二次每人分得元. ∵第二次每人分得的钱与第一次相同， ∴可列方程为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 因式分解： ______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 8. 2026年清明假期期间，京杭大运河杭州景区接待游客约 人次，数据 用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，确定和的值即可，其中，为整数． 【详解】解：将 的小数点向左移动位， ， ∴． 9. 如图， 为正方形的对角线，将 绕点C旋转，与 的延长线交于点E，连接 ，则______ ． 【答案】 【解析】 【分析】先由正方形性质得到，再由旋转可得 ，结合等边对等角得到，最后根据求解． 【详解】解：∵ 为正方形的对角线， ∴， 由旋转可得 ， ∴， ∴． 10. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是3，6，2，4，则正方形G的面积是______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据图形结构，利用勾股定理可知，正方形的面积等于正方形， 面积之和与正方形，面积之和的总和，由此即可求解． 【详解】解：设正方形， 下方相邻的正方形面积为，正方形，下方相邻的正方形面积为， 根据勾股定理，直角三角形两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积， ， ， 正方形的面积 ． 11. 在如图所示的扇形中，C为上一点，连接交 于点P， ，若 ， ，则阴影部分的面积为______（结果保留根号和）． 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出 ，然后解直角三角形求出，然后利用阴影部分的面积求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，先分别利用完全平方公式、平方差公式进行展开，然后合并同类项，最后代入数值进行计算即可．熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 13. 学校招募博物馆义务讲解员，将义务讲解员随机分配到“A（苏州博物馆）”“B（苏州丝绸博物馆）”“C（苏州评弹博物馆）”“D（苏州革命博物馆）”四个博物馆．甲、乙两位同学报名参加了此项活动． （1）甲分配在“A（苏州博物馆）”的概率是________； （2）求甲、乙两位同学分配在相同博物馆的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率的定义进行计算即可； （2）用树状图表示甲、乙随机从“A（苏州博物馆）”“B（苏州丝绸博物馆）”“C（苏州评弹博物馆）”“D（苏州革命博物馆）”四个博物馆所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：甲讲解员随机分配到“A（苏州博物馆）”“B（苏州丝绸博物馆）”“C（苏州评弹博物馆）”“D（苏州革命博物馆）”四个博物馆，被分配在“A（苏州博物馆）”的概率是． 【小问2详解】 解：用树状图表示甲、乙随机从“A（苏州博物馆）”“B（苏州丝绸博物馆）”“C（苏州评弹博物馆）”“D（苏州革命博物馆）”四个博物馆所有等可能出现的结果如下： 共有16种等可能出现的结果，其中甲、乙不在同一个馆的有12种， 所以甲、乙分配在同博物馆的概率为． 14. 2026年我国蓝莓迎来大丰收，产量和种植规模均创近年来新高，某蓝莓种植园计划将某优质蓝莓包装成A、B两种不同规格的礼包销售．已知4只A种礼包和2只B种礼包共需要蓝莓22千克；2只A种礼包和5只B种礼包共需要蓝莓23千克．求A、B两种礼包每只分别需要多少千克的蓝莓． 【答案】A、B两种礼包每只分别需要4千克、3千克蓝莓 【解析】 【分析】设A种礼包每只需要x千克蓝莓，B种礼包每只需要y千克蓝莓，根据“4只A种礼包和2只B种礼包共需要蓝莓22千克；2只A种礼包和5只B种礼包共需要蓝莓23千克”列方程组求解即可． 【详解】解：设A种礼包每只需要x千克蓝莓，B种礼包每只需要y千克蓝莓， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种礼包每只分别需要4千克、3千克蓝莓． 15. 如图， ， ，．求证： ． 【答案】证明： ， ，即 ， 在和 中， ， ． 【解析】 【分析】由 ，得到 ，结合已知条件，即可得证． 【详解】略 16. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（只保留作图痕迹） （1）在图1中作锐角，使点在格点上； （2）在图2中的线段 上作点，使最短； （3）在图3中的线段 上画出点，使的值最小． 【答案】（1） 解：如图1中，即为所求（答案不唯一）， （2） 解∶ 如图2中，线段即为所求， （3） 解：如图3中，点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据锐角三角形的定义画出图形（答案不唯一）； （2）取格点，连接，延长交 一点，线段即为所求； （3）作点关于 的对称点，连接交 一点，连接，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 某市义务教育阶段初中阶段部分学校践行了“每周半天计划”活动，减少学生的上课时间，按单双周安排轮流设置半天的校外课程与阅读课程，某校为了了解师生对这两类课程的喜爱程度，现抽取部分师生分别对这两类课程进行打分(分数为整数，满分为分)． 信息一：学生打分的平均数、众数、中位数如下表所示： 项目 平均数 众数 中位数 校外课程 阅读课程 信息二：名学生打分情况的折线统计图如图所示： 抽取的位教师对“校外课程”和“阅读课程”这两类课程打分的平均分分别为分和分．请根据以上信息解答下列问题： （1）下列抽样调查的名学生中，抽样调查方式更合理的是 ．(填序号) ①从八年级中抽取：②从七年级（1）班中抽取：③抽取名男生：④从个班中各随机抽取一个． （2）填空∶ ， ． （3）如果该校将根据综合平均分的高低来判断师生对这两类课程的喜爱程度，其中综合平均分中教师打分占 ，学生打分占，那么请你通过计算分析该校师生更喜欢哪类课程？ 【答案】（1）④ （2）， （3）更喜欢阅读课程 【解析】 【分析】（1）根据抽样调查的样本要具有广泛性和代表性解答即可； （2）分别根据中位数和众数的定义解答即可； （3）利用加权平均数公式解答即可． 【小问1详解】 由题意可知，抽样调查方式更合理的是从个班中各随机抽取一个， 故答案为：④． 【小问2详解】 把校外课程的打分从小到大排列，排在中间的两个数均为，故中位数， 在阅读课程的打分中，出现的次数最多，故众数． 【小问3详解】 校外课程的得分为（分）， 阅读课程的得分为（分）， ∵， ∴该校师生更喜欢阅读课程． 18. 如图①，某地计划为学校添置新式课桌椅，椅子可供学生午休的躺椅．图②是上课期间椅子摆放样式，已知座面，座面高，背垫为，点G到地面 的垂直距离为，．求背垫的长（参考数据：，， ，）． 【答案】背垫的长约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作交 的延长线于，求出，，再解直角三角形即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图，作交 的延长线于， ， ∴， ∵， ∴， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， 故背垫的长约为． 19. 如图，在 中，， ，于点， ，过点作，交 于点 ，，交 于点．动点从点出发以 的速度向终点运动，过点作 ，交 于点，交 于点．设点的运动时间为， 与四边形 重叠部分的面积为． （1） ______ ， ______ ； （2）当点与点 重合时，求的值； （3）求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得 ，根据三角函数可求出 ，，证明四边形 是矩形，得到 ，即可求解； （2）当点与点 重合时， ，由 ，，得到 ，求出 ，即可求解； （3）过点 作 于点，过点作 于点，则可得 ， ，由图知题目分三种情况讨论：当时，当时，当 时，即可求解． 【小问1详解】 解： ，， ， ， ， ，， 四边形 是平行四边形， ， 四边形 是矩形， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）知， ， 当点与点 重合时， ， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：过点 作 于点，过点作 于点，如图1， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，如图1， 则 ， ， ， ， ， ； 当时，如图2， 则 ， ， ， ； 当 时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； 综上，． 20. 有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为（单位：），装置内液体体积为（单位：）．如表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度（单位：） 装置内液体体积（单位：） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知（）与（）满足一次函数关系．解决下列问题： （1）求与之间的函数表达式； （2）当探针浸入液面以下的长度为时，求装置内液体的体积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出 时的函数值即可. 【小问1详解】 解：设，代入 和得： ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：当 时，. 21. 综合与探究 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为 ，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）【模型初探】如图1，在等腰直角中， ，过点C作直线， 于点D， 于点E，求证： ； （2）【深入探究】如图2，在中，．分别以和为直角边作等腰 和等腰 ，连接交延长线交于点E．求的值； （3）【拓展延伸】如图3，点D是内一点，连接，若，求 的长． 【答案】（1） 证明：于点于点 ， ， ， ； ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，则，再由线段和差证明即可； （2）过点作 的延长线于点，连接 ，证明，则，可证明四边形是平行四边形，则 ，那么 ，即可求解； （3）过点作的延长线于点，过点 作的延长线于点，先解 求出，，，证明，结合锐角三角函数求出，，最后对运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作 的延长线于点，连接 ． ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ； 【小问3详解】 解：过点作的延长线于点，过点 作的延长线于点，如图， ， ，， ， 于点于点， ， ， ， ， ． 22. 如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为直线 上方抛物线上一点，连接 并交 于点Q，若 分的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； （3）在y轴上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，N的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将抛物线与x轴、y轴交点坐标，代入抛物线表达式，即可求出； （2）先求出两直线的表达式，联立求出点Q的坐标， 分的两部分以为底，则高相等，两部分面积比等于底边之比；过点P、点Q向x轴做垂线，将面积之比转换成，横坐标差值比；再将面积比分两种情况，分别求出点P坐标； （3）在y轴上取点，，所以，当N在y轴正半轴时，点N在 上，证明，然后根据相似三角形的性质可求出；当N在y轴负半轴时，根据轴对称性求解即可． 【小问1详解】 解：， ，， 将点A、C代入， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：令， 解得， ， ， 如图，过点P作轴交于点G，过点Q作轴交于点， ， 设直线 的解析式为， ， 解得， ， 设，直线 的解析式为， ，解得， ， 、 所在两直线联立方程组，求交点Q坐标， ， 解得：， ， 分的面积为两部分， 以为底，高相等，两部分面积比等于底边之比， 或， ， ， 当时，， 可得， 解得，， 或； 当时，， 可得， 此时方程无解， 综上所述，或； 【小问3详解】 解：存在一点N，使得，理由如下： 在y轴上取点， 当N在y轴正半轴时，如图， ，， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， ； 当N在y轴负半轴时，记为，如图， 则和N关于x轴对称， ,满足条件， 综上，N的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第二次模拟检测 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列各数没有平方根的是（ ） A. 4 B. 0 C. D. 10 2. 如图所示的几何体，从上面观察这个图形，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为，．若四边形的面积为4，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线与相切于点，半径，点在优弧 上，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中有如下分钱问题：第一次有x人，平分15元钱；第二次比第一次增加5人，平分40元钱，且第二次每人分得的钱与第一次相同，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 因式分解： ______． 8. 2026年清明假期期间，京杭大运河杭州景区接待游客约 人次，数据 用科学记数法表示为______． 9. 如图，为正方形的对角线，将绕点C旋转，与的延长线交于点E，连接，则______ ． 10. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是3，6，2，4，则正方形G的面积是______． 11. 在如图所示的扇形中，C为上一点，连接交于点P， ，若 ， ，则阴影部分的面积为______（结果保留根号和）． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 学校招募博物馆义务讲解员，将义务讲解员随机分配到“A（苏州博物馆）”“B（苏州丝绸博物馆）”“C（苏州评弹博物馆）”“D（苏州革命博物馆）”四个博物馆．甲、乙两位同学报名参加了此项活动． （1）甲分配在“A（苏州博物馆）”的概率是________； （2）求甲、乙两位同学分配在相同博物馆的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 14. 2026年我国蓝莓迎来大丰收，产量和种植规模均创近年来新高，某蓝莓种植园计划将某优质蓝莓包装成A、B两种不同规格的礼包销售．已知4只A种礼包和2只B种礼包共需要蓝莓22千克；2只A种礼包和5只B种礼包共需要蓝莓23千克．求A、B两种礼包每只分别需要多少千克的蓝莓． 15. 如图， ， ，．求证： ． 16. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（只保留作图痕迹） （1）在图1中作锐角 ，使点在格点上； （2）在图2中的线段上作点，使最短； （3）在图3中的线段上画出点，使的值最小． 17. 某市义务教育阶段初中阶段部分学校践行了“每周半天计划”活动，减少学生的上课时间，按单双周安排轮流设置半天的校外课程与阅读课程，某校为了了解师生对这两类课程的喜爱程度，现抽取部分师生分别对这两类课程进行打分(分数为整数，满分为分)． 信息一：学生打分的平均数、众数、中位数如下表所示： 项目 平均数 众数 中位数 校外课程 阅读课程 信息二：名学生打分情况的折线统计图如图所示： 抽取的位教师对“校外课程”和“阅读课程”这两类课程打分的平均分分别为分和分．请根据以上信息解答下列问题： （1）下列抽样调查的名学生中，抽样调查方式更合理的是 ．(填序号) ①从八年级中抽取：②从七年级（1）班中抽取：③抽取名男生：④从个班中各随机抽取一个． （2）填空∶ ， ． （3）如果该校将根据综合平均分的高低来判断师生对这两类课程的喜爱程度，其中综合平均分中教师打分占 ，学生打分占，那么请你通过计算分析该校师生更喜欢哪类课程？ 18. 如图①，某地计划为学校添置新式课桌椅，椅子可供学生午休的躺椅．图②是上课期间椅子摆放样式，已知座面，座面高，背垫为，点G到地面的垂直距离为，．求背垫的长（参考数据：，， ，）． 19. 如图，在 中，， ，于点， ，过点作，交于点，，交于点．动点从点出发以 的速度向终点运动，过点作 ，交于点，交于点．设点的运动时间为， 与四边形 重叠部分的面积为． （1） ______ ， ______ ； （2）当点与点重合时，求的值； （3）求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 20. 有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为（单位：），装置内液体体积为（单位：）．如表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度（单位：） 装置内液体体积（单位：） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知（）与（）满足一次函数关系．解决下列问题： （1）求与之间的函数表达式； （2）当探针浸入液面以下的长度为时，求装置内液体的体积； 21. 综合与探究 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为 ，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）【模型初探】如图1，在等腰直角 中， ，过点C作直线， 于点D， 于点E，求证： ； （2）【深入探究】如图2，在中，．分别以和为直角边作等腰和等腰 ，连接交延长线交于点E．求的值； （3）【拓展延伸】如图3，点D是 内一点，连接，若，求的长． 22. 如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为直线上方抛物线上一点，连接并交于点Q，若分的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； （3）在y轴上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $