专题5-3 概率的运算（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

本讲义聚焦概率的运算核心知识点，系统梳理互斥事件、对立事件的加法公式及独立事件的乘法公式，衔接基础概率概念，构建从事件关系到概率计算的完整知识支架，助力学生掌握公式应用条件与运算逻辑。 资料以“知识点+题型”分层设计，通过社区业务办理、射击比赛等生活实例，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。典例与变式结合的题型训练，强化数学思维中的推理能力，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生通过多样化练习查漏补缺，提升概率问题解决能力。

5-3 概率的运算 讲义 教学目标 理解掌握概率的加法公式与乘法公式，掌握互斥事件、对立事件、独立事件的概率计算. 教学重难点 概率的加法公式与乘法公式. 教学难点 概率的加法公式与乘法公式应用条件. 知识点01 互斥事件与对立事件的概率 1.如果事件与事件互斥，那么. 2.如果事件与事件互为对立事件，那么. 3.设，是一个随机试验中的两个事件，有. 【即学即练1-1】（24-25高一下·福建福州·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 【即学即练1-2】（多选）（25-26高一上·江西抚州·期末）抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件A表示“第一枚掷出的点数为偶数”，事件B表示“第二枚掷出的点数为奇数”，事件C表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件D表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则下列说法中正确的有（     ） A．A与B是相互独立事件 B．A与B是互斥事件 C．与C是对立事件 D． 知识点02 事件的独立性 1.相互独立事件：如果成立，则称事件与事件相互独立，简称独立. 注意：当三个事件、、两两独立时，一般不成立. 2.若事件与事件相互独立，则与，与，与也相互独立. 【即学即练2-1】（2025高一·全国·专题练习）某种开关在电路中闭合的概率为，现将4只这种开关并联在某电路中，如图，若该电路为通路的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【即学即练2-2】（多选）（24-25高一下·广西柳州·期末）有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是（  ） A． B．事件A与事件C相互独立 C．事件A与事件E相互独立 D．事件A与事件B相互独立 题型01 互斥事件与概率加法公式 【典例1-1】（25-26高一上·辽宁锦州·期末）某社区为了更好地开展便民服务，对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计，结果如下表.假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟.在某一天，第三位居民来到社区时第一位居民恰好开始办理业务，则他等待4分钟才开始办理业务的概率为（   ） 办理业务所需要的时间（分） 1 2 3 4 5 频率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 A．0.04 B．0.08 C．0.12 D．0.16 【典例1-2】（24-25高一下·新疆哈密·期末）在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项正确的是（    ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D． 【典例1-3】(多选)（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）已知事件满足，，则下列结论正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 【典例1-4】（25-26高一下·北京·期末）已知随机事件满足，则下列结论 ：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 【变式1-1】（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且 ，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025高一·全国·专题练习）投掷一枚质地均匀的骰子，记事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”，则一次试验中（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·江西赣州·期末）设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（22-23高一下·河南洛阳·期末）从A班随机抽一名学生是女生的概率是，从B班随机抽一名学生是女生的概率是，现从两个班各随机抽一名学生，那么两名学生不全是女生的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】(多选)（22-23高一下·安徽淮南·期末）已知事件与，且，则下列结论正确的是（    ） A．如果与互斥，那么 B．如果与相互独立，则 C．如果与相互独立，那么 D．如果与相互独立，那么 【变式1-6】（24-25高二上·江西宜春·阶段检测）有一种珍惜物种，对于其每个个体，每天都会发生如下事件：有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个，对所有新产生的生物每天也会发生上述事件，假设开始只有一个这样的珍惜生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过，则的最大值为______． 题型02 概率加法公式与古典概型 【典例2-1】（25-26高一上·河南焦作·期末）现某人随机进行二进制码0，1的输入，输入结果如下：0，0，1，0，1，0，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，0，1，用频率估计概率，记其输入1的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（24-25高一下·河北邯郸·期末）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（   ） A． B． C． D． 【典例2-3】(多选)（25-26高一下·浙江·开学考试）某学校对高二学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是（    ） A．该校高二学生总数为800 B．该校高二学生中选考物化地组合的人数为70 C．用分层随机抽样的方法从该校高二学生抽取80人，则生史地组合抽取16人 D．该校高二学生随机抽取一学生，该学生选考物理的概率与选考地理的概率相等 【典例2-4】（22-23高二下·江苏宿迁·期末）现有编号为1，2，3，…，的n个相同的袋子，每个袋中均装有n个形状和大小都相同的小球，且编号为的袋中有k个红球，个白球. 当n=5时，从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为_____；现随机从个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为，则n的值为_____. 【变式2-1】（22-23高一下·河北邢台·阶段检测）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·吉林通化·开学考试）黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择景点出游的概率为，选择景点出游的概率为，两个景点都不选的概率为，则两个景点都选的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一下·浙江衢州·期末）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，并记录每次骰子朝上的面的点数，记事件为“第一次朝上的面的点数为质数”，事件为“两次朝上的面的点数之和为奇数”，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知某样本空间中共有18个样本点，其中事件有10个样本点，事件有8个样本点，事件有16个样本点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-5】(多选)（24-25高一下·河南洛阳·阶段检测）甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签．其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签．现从甲、乙两袋中各随机抽取1个号签，记事件；从甲袋中抽取号签1；事件：从乙袋中抽取号签5；事件：抽取的两个号签和为4；事件：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．事件与互斥 D． 【变式2-6】（21-22高二上·上海徐汇·期中）一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为___________. 题型03 对立事件的概率 【典例3-1】（24-25高一下·全国·课后作业）甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为（    ） A．0.2 B．0.8 C．0.4 D．0.1 【典例3-2】（24-25高一下·云南楚雄·期末）冒险棋是一种多人参与的休闲益智类棋类游戏，其核心玩法如下：玩家从起点出发，通过掷骰子决定棋子移动步数，并结合陷阱等特殊路径机制行进，先到达终点者获胜（掷到几点，棋子就前进几步，若棋子停止的格子上有冒险文字，则玩家需按照冒险文字指示完成相应操作）．如图，已知甲执红棋、乙执蓝棋来到了同一个位置，甲先掷一次骰子，乙再掷一次骰子，则红棋比蓝棋更靠近终点的概率为（   ） A． B． C． D． 【典例3-3】(多选)（21-22高一·全国·课后作业）下列结论正确的是（   ） A．若，互为对立事件，，则 B．事件，，两两互斥，则事件与互斥 C．事件与对立，则 D．若与互斥，则它们的对立事件也互斥 【典例3-4】（24-25高一下·福建福州·期末）已知事件A的对立事件为，，．若，则______，______ 【变式3-1】（23-24高一下·山东烟台·期末）已知事件A与事件互为对立事件，且，则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【变式3-2】（24-25高一下·四川乐山·期末）小王参加射击比赛考核，每次射击命中目标的概率为0.8，规定若第一次命中，才能进入第二次射击，且这两次射击相互独立．第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分，那么小王此次考核得分不低于10分的概率是（   ） A．0.16 B．0.64 C．0.8 D．0.96 【变式3-3】（24-25高一下·湖北武汉·期末）某汽车调查研究机构从4辆燃油车和2辆新能源车中随机选出3辆去参加一项智能驾驶测试大赛，则选出的3辆中至少有1辆新能源车的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】（22-23高一下·河南洛阳·阶段检测）已知集合，且，则关于的方程无实数根或的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-5】(多选)（24-25高一上·江西宜春·期末）下列说法中正确的有（ ） A．已知一组数据，，，，，的平均数为，则这组数据的中位数是 B．函数的定义域是，则函数的定义域为 C．若事件A与互为对立事件，则 D．不等式的解集是 【变式3-6】（24-25高二下·河南商丘·期中）某集团军举行登岛演习，演习要求该集团军的导弹旅捣毁岛上的目标，导弹旅的每辆登陆艇每次发射一枚导弹，由于受到天气以及“敌方”反导弹的拦截，命中率是，至少要有一枚导弹击中目标，才能说明目标被捣毁，因此采用多辆登陆艇同时发射导弹的方法去捣毁目标．至少需要______辆登陆艇同时发射导弹，才能有不小于的把握保证目标被捣毁．（参考数据：） 题型04 独立事件与概率乘法公式 【典例4-1】（24-25高一下·吉林长春·期末）有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，则（   ） A． B．与为互斥事件 C．与为相互独立事件 D．与为对立事件 【典例4-2】（25-26高一上·江西景德镇·期末）已知为两个随机事件，，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若独立，则 C．若独立，则 D．若互斥，则 【典例4-3】(多选)（25-26高一上·河南·期末）已知事件，且，则下列说法正确的是（    ） A．A与B是对立事件 B．若A与B相互独立，则 C．若A与B相互独立，则 D．若A与B相互独立，则P(A∪B)=0.76 【典例4-4】（25-26高一上·安徽·期末）如图，用三个不同的元件连接成一个系统.当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知正常工作的概率依次为，则系统正常工作的概率为___________. 【变式4-1】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，B表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，C表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（    ） A．A与B为相互独立事件 B．A与C为互斥事件 C．B与C为相互独立事件 D．B与C为互斥事件 【变式4-3】（25-26高一上·北京·期末）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】（25-26高一上·辽宁·期末）已知事件相互独立，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-5】(多选)（25-26高一上·辽宁丹东·期末）设事件满足，则下列命题正确的有（   ） A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则 C． D．若，则 【变式4-6】（25-26高一下·江西上饶·期中）已知随机事件相互独立，且，，则________. 一、单选题 1.（24-25高一下·吉林·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.7 2.（2025高一·全国·专题练习）已知事件和是一个随机试验中的两个事件，若，且，则（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高一下·宁夏固原·期末）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，，若，互斥，则（    ） A．0.36 B．0.54 C．0.6 D．0.9 5.（22-23高一下·重庆·期末）在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知某随机试验中，事件，，发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（   ） A．与是互斥事件，且是对立事件 B．一定是必然事件 C． D．的概率一定等于0.5 7.（23-24高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 8.（25-26高二下·上海·期中）田忌赛马的故事一直为人所津津乐道，共体现了博弈的魅力.已知甲有三匹马，乙有三匹马，这些马之间比赛获胜的概率如下表所示.甲和乙进行三轮赛马游戏，每轮比赛甲和乙各选择一匹马比拼胜负，且每匹马至多进行两轮比赛，最终胜的轮数多的人获胜.在比赛之前，甲和乙先根据下表采用最优的选马策略选出所有参赛的马，并确定它们的参赛顺序，有下列两个命题： ①若，甲最优的选马策略为让马出战一次，马出战两次； ②若，，三轮游戏结束后，甲赢的概率为. 马与马对弈时，马获胜的概率 则下列说法正确的是（   ） A．命题①正确，命题②正确 B．命题①正确，命题②错误 C．命题①错误，命题②正确 D．命题①错误，命题②错误 二、多选题 9.（24-25高一下·河北·期末）已知事件两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 10.（21-22高一·全国·单元测试）某社区开展“防疫知识竞赛”，甲､乙两人荣获一等奖的概率分别为p和q，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为（    ） A． B． C． D． 11.（22-23高二上·湖北荆州·期末）疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（    ） A． B．事件与互斥 C． D．事件与对立 三、填空题 12.（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则______． 13.（2025·广东广州·一模）事件，，且，则______． 14.（24-25高三上·上海青浦·阶段检测）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是__________． 四、解答题 15.（25-26高一下·全国·课堂例题）一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出一个球，取出红球的概率为，取出黑球的概率为，取出白球的概率为，取出绿球的概率为． (1)求取出的1个球是红球或黑球的概率； (2)求取出的1个球不是绿球的概率． 16.（25-26高一下·全国·课堂例题）某商店月收入（单位：元）在下列范围内的概率如下表： 月收入范围 概率 0.12 0.25 0.16 0.14 (1)求月收入在范围内的概率； (2)求月收入在范围内的概率； (3)求月收入不在范围内的概率． 17.（25-26高二上·湖南常德·开学考试）某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色和标号外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回地抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖．班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数,且不是5的倍数获三等奖，其余不获奖． (1)求两种规则下获得二等奖的概率； (2)请问哪种规则的获奖概率更大，并说明理由． 18.（21-22高一下·陕西咸阳·期中）下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1~5分五个档次．设x、y分别表示英语成绩和数学成绩．表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的共5人． x 5 4 3 2 1 5 1 3 1 0 1 4 1 0 7 5 1 3 2 1 0 9 3 2 1 b 6 0 a 1 0 0 1 1 3 (1)x=4的概率是多少？x=4且y=3的概率是多少？x≥3的概率是多少？ (2)x=2的概率是多少？a＋b的值是多少？ 19.（24-25高一上·河南南阳·期末）某班级在庆元旦联欢会时，主持人安排了跳双人舞、独唱、和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与，把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生．将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． (1)为了选出2人来表演双人舞，不放回地抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率； (2)为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并记录第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求： ①独唱和独奏由同一个人表演的概率； ②选出的不全是男生的概率． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5-3概率的运算讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01互斥事件与概率加法公式 5-3概率的运算 题型02概率加法公式与古典概型 知识点01互斥事件与对立事件的概率 题型03对立事件的概率 题型04独立事件与概率乘法公式 知识点02事件的独立性 教学目标、教学重难点 教学目标 理解掌握概率的加法公式与乘法公式，掌握互斥事件、对立事件、独立事件的概率计算. 教学重难点 概率的加法公式与乘法公式 教学难点 概率的加法公式与乘法公式应用条件. 知识清单 知识点01互斥事件与对立事件的概率 1.如果事件A与事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B): 2.如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)+P(B)=1 3.设A,B是一个随机试验中的两个事件，有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B) 【即学即练1-1(24-25高一下.福建福州·期末)已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P(C)=0.6,P(B)=0.4, 则P(A+B)=() A.0.8 B.0.5 c.0.4 D.0.16 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【详解】由A和C对立，可得P(A)+P(C)=1,则P(A)=1-P(C)=0.4 又随机事件A和B互斥， 所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.4=0.8 故选：A 【即学即练1-2】（多选）(25-26高一上江西抚州，期末)抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件A表示 “第一枚掷出的点数为偶数”，事件B表示“第二枚掷出的点数为奇数”，事件C表示“两枚骰子掷出的点数之 和为6”，事件D表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则下列说法中正确的有() A.A与B是相互独立事件 B.A与B是互斥事件 C.AnB与C是对立事件 D.P(CUD)- 第1页共32页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件的概率加法公式、互斥事件与对立事件关系的辨析、 计算古典概型问题的概率 【分析】选项A:根据古典概型判断相互独立事件：选项B:根据互斥事件的定义判断互斥事件；选项C: 先列出A∩B和C的所有样本点，验证两者是否互斥，再验证它们的并集是否为全集，或概率和是否为1， 从而判断是否为对立事件：选项D:先判断事件C和D是否互斥（无共同样本点），再使用互斥事件的概 率加法公式计算即可判断 【详解】选项A:由已知得，因为P(④=方P团=克P(AB)=品= 所以P(AB)=P(A)P(B),即A与B互不影响，A正确. 选项B:事件A与事件B能同时发生，故A与B不是互斥事件，B错误。 选项C:AnB={(2,1),(2,3).(2,5),(41),(4,3),(4,5).(6,1),(6,3),(6,5)} C={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) 故事件A∩B与C不是对立事件，C错误. 选项D:因为事件C=(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),事件D={(1,6)}, 则不可能同时发生，故C与D互斥，所以P(CUD)=P(O+PD)=元+若-名0正确， 故选：AD. 知识点02事件的独立性 1.相互独立事件：如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立. 注意：当三个事件A、B、C两两独立时，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立. 2.若事件A与事件B相互独立，则A与B,A与B,A与B也相互独立 【即学即练2-1】(2025高一.全国.专题练习)某种开关在电路中闭合的概率为p,现将4只这种开关并联在 某电路中，如图，若该电路为通路的概率为则即=（) A. c. 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据独立事件、对立事件的概率公式计算 【详解】因为该电路为通路的概率为”所以该电路为不通路的概率为1一二-兰 只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以兰=1-p),解得P=或即=（舍去）， 故选：B. 第2页共32页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练2-2】（多选）(24-25高一下·广西柳州期末)有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6， 从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A:第一次取球 编号数字小于3；B:第二次取球编号数字为偶数；C:第三次取球编号为6；D:前两次取球编号数字和为 7::第一、三次取球编号数字至少有一个1则下列说法正确的是() A.PD)=月 B.事件A与事件C相互独立 C.事件A与事件E相互独立 D.事件A与事件B相互独立 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】有放回与无放回问题的概率、独立事件的判断 【分析】求出事件A,B,C,D,E的概率，再根据相互独立事件概率的关系依次判断每个选项得到答案. 【详解】根据题意，PA=名=专P(B)=××号=克P(O=名P@)=1-x名=品 对于A,由于是不放回的取球，则P(D)=器=专故A正确： 对于B,因为P(4C)=品=品=P(4P(C,所以事件A与C相互独立，故B正确： 对于C,因为P(4)=品≠P(0P(),所以事件A与E不相互独立，故C错误 对于D,因为PAB)=品=言P(AP(®)，所以事件A与8相互独立，故D正确 故选：ABD. 题型精讲 题型01互斥事件与概率加法公式 【典例1-1】(2526高一上·辽宁锦州期末)某社区为了更好地开展便民服务，对一周内居民办理业务所需 要的时间进行统计，结果如下表.假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟在某一天，第 三位居民来到社区时第一位居民恰好开始办理业务，则他等待4分钟才开始办理业务的概率为() 办理业务所需 要的时间（分） 频率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 A.0.04 B.0.08 C.0.12 D.0.16 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】根据互斥事件的概率性质可求等待4分钟才开始办理业务的概率， 【详解】若第一位居民办理业务需1分钟，第二位居民办理业务需3分钟， 则概率为0.1×0.4=0.04： 若第一位居民办理业务需3分钟，第二位居民办理业务需1分钟， 则概率为0.4×0.1=0.04： 第3页共32页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 若第一位居民办理业务需2分钟，第二位居民办理业务需2分钟， 则概率为0.2×0.2=0.04： 故第三位居民办理业务等待4分钟的概率为0.04×3=0.12. 故选：C 【典例1-2】(24-25高一下·新疆哈密·期末)在一次随机试验中，三个事件A,B,C发生的概率分别是0.4， 0.5,0.6,则下列选项正确的是() A.AUBUC是必然事件 B.A与B是互斥事件 C.P(A∩B)≤0.4 D.P(AUB)=1.1 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】确定所给事件的包含关系、概率的基本性质、判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件的概率 加法公式 【分析】通过举反例说明A和B不正确：通过交事件A∩B的性质、并事件的概率的求法判断C和D. 【详解】对于A,若ACBCC,则P(AUBUC)=P(C)=0.6<1.故A不正确： 对于B,若ACB,则P(AnB)=P(A)=0.4≠0故B不正确： 对于C,由(AnB)CA得P(AnB)≤P(A)=0.4,故C正确： 对于D,P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB)=0.9-P(AnB),而P(AnB)≥0， 所以P(AUB)≤0.9，故D不正确. 故选：C 【典例1-3】（多选）(25-26高一上辽宁抚顺期末)已知事件A,B,C满足P(A)=0.6,P(B)=0.2,则下列结 论正确的是() A.如果P(AUBUC)=1,那么P(C)=0.2B.如果B≤A,那么P(AUB)=0.2 C.如果A与B互斥，那么P(AUB)=0.8 D.如果A与B相互独立，那么P(AB)=0.32 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】由互斥事件的概率，相互独立事件的概率公式逐项判断即可. 【详解】对于选项A,设一个盒子里有标号为1到10的小球，从中摸出一个小球，记下球的编号， 记事件A=“球的编号是偶数”，事件B=“球的编号是1,2,3”，事件C=“球的编号是奇数”满足P(AUBU C)=1,但是P(C)=0.5,选项A错误； 对于选项B,如果BSA,那么P(AUB)=P(A)=O.6,选项B错误； 对于选项C,如果A与B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B)=0.8,所以选项C正确； 对于选项D,如果A与B相互独立，那么 P(A·B)=P4)P(B)=(1-P(4A)(1-P(B)=0.4×0.8=0.32,所以选项D正确。 故选：CD 第4页共32页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1-4】(25-26高一下-北京·期末)己知随机事件A,B满足P(AnB=P(AnB)=,P(4UB)=1,则 下列结论：①P()=P(B):②P(A=柔：③P(A)=④P(AnB)=子其中所有正确结论的序号是 【答案】①②④ 【难度】0.65 【知识点】概率的基本性质、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用概率的性质结合已知即可推出①正确；再利用和事件的概率公式，即可得出判断. 【详解】对于①，P(A)=P(AnB+P(AnB),∴P(AnB=P(A)-P(AnB), P(B)=P(AnB)+P(AnB),.P(AnB)=P(B)-P(AnB) 又P(AnB=PAnB),所以P(A)-P(AnB)=P(B)-P(AnB), 故P(A)=P(B),①正确： 对于②③④，P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB)=1,结合P(A)=P(B) 可得PAnB)=2P()-1,而P(An司=P(A-P(AnB)= 所以P(A)=,P(AnB)=,②正确，③错误，④正确. 【变式1-1】(24-25高一下.甘肃临夏期末)已知A,B,C为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且P(A)=0.2, P(C)=0.6,则P(AUB)=() A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用B与C互为对立求出P(B),再由互斥事件的概率加法公式即可求得答案。 【详解】由B与C互为对立，则P(B)=1-P(C)=1-0.6=0.4, 又A与B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B)=0.2+0.4=0.6. 故选：B. 【变式1-2】（2025高一全国.专题练习)投掷一枚质地均匀的骰子，记事件A表示“出现小于5的偶数点”， 事件B表示“出现小于5的点数”，则一次试验中P(A+B)=() A.1 B. c. . 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】由概率的基本性质进行运算即可 【详解】解法1：因为AcB,所以P(4+B)=P(®)=号 故选：B 解法2：PMUB)=P(0+P®)-P(AnB)=名+名号 故选：B. 第5页共32页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-3】(25-26高一上·江西赣州期末)设A、B两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于0，若 P(A)=2-a,P(B)=4a-6,则实数a的取值范围是() A.副 .) c.() D.(,2) 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】概率的基本性质、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据概率的性质以及互斥事件的概率公式可得出关于实数a的不等式组，由此可解得a的取值范围， 【详解】因为A、B两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于0，若P(A)=2-a,P(B)=4a-6, 由腿意可得0-6解<a<子 由互斥事件的概率公式可得P(AUB)=P(A)+P(B)=2-a+4a-6=3a-4, 由题意可得0<3a-4≤1，解得<a≤ 故a的取值范围是（怎，引 故选：A 【变式1-4】(22-23高一下河南洛阳期末)从A班随机抽一名学生是女生的概率是，从B班随机抽一名学 生是女生的概率是影，现从两个班各随机抽一名学生，那么两名学生不全是女生的概率是（) A B. C. 0.8 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】分从A班选一名女生从B班选一名男生，从A班选一名男生从B班选一名女生和从A班选一名男 生从B班选一名男生求解. 【详解】解：从A班选一名女生从B班选一名男生的概率为：P=×(1-》= 从A班选一名男生从B班选一名女生的概率为：P=(1-)× 从A班选一名男生从B班选一名男生的概率为：P=(1-)×(1-)=青 所以两名学生不企是女生的概率是P=+计甘 故选：A 【变式1-5】（多选）(22-23高一下.安徽准南期末)已知事件A与B,且P(A)=0.4,P(B)=0.1,则下列结论 正确的是() A.如果A与B互斥，那么P(AUB)=0.5 B.如果A与B相互独立，则P(AB)=0.04 C.如果A与B相互独立，那么P(AB)=0.96D.如果A与B相互独立，那么P(AB)=0.54 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 第6页共32页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【分析】对A,由A与B互斥得概率加法公式可求：对B,由独立事件的概率乘法公式可求：对CD,由对立 事件的概率求法可解， 【详解】对A,A与B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B)=0.5,A对； 对B,A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=0.04,B对： 对C、D,A与B相互独立，P(AB=1-P(AB)=1-P(A)P(B)=0.96,故C对D错； 故选：ABC 【变式1-6】(24-25高二上江西宜春·阶段检测)有一种珍惜物种，对于其每个个体，每天都会发生如下事 件：有(0≤卫≤1)的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个，对所有新产生的生物每 天也会发生上述事件，假设开始只有一个这样的珍惜生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过，则 的最大值为 【答案】0.2 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】若开始有n个珍稀生物、最终灭绝的概率则为fm=q,由题知f)=p+f()+号f(2),由 于q≤分则0=号(q+2)-1≤号·-1，解之可得。 【详解】设开始有一个珍稀生物、最终灭绝的概率为f(1)=q≤2 那么若开始有个珍稀生物、最终灭绝的概率则为f()=q”, 由题意知f(1)=p+号f1)+号f(2), 从而可得q=p+号q+号q2,即q-10[号(Q+2)-1=0, 因为g≤分所以g-1≠0，所以0=号(g+2)-1≤号·1。 解之可得p≤号故p的最大值为 故答案为：吉 题型02概率加法公式与古典概型 【典例2-1】（25-26高一上河南焦作期末)现某人随机进行二进制码0,1的输入，输入结果如下：0,0， 1,0,1,0,1,0,0,1,1,0,0,0,0,1,0,1,用频率估计概率，记其输入1的概率为p,则p=() A岛 c 0.8 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率、用频率估计概率 【分析】根据题意，用频率估计概率进行求解。 【详解】经统计得共有18个结果，其中共有7个1，可得频率为品 由频率估计概率，得p= 第7页共32页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：B. 【典例2-2】(24-25高一下河北邯郸期末)抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的 点数若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用(x,y)表示一次试验的结果设A=“两个点数 之积是偶数”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，则P(AUB)=() A.4 C. 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用概率的加法公式计算古典概型的概率、概率的基本性质 【分析】根据古典概型的概率公式，结合概率的加法公式求解 【详解】基本事件空间为： 2={(1,1)，(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4,(2,5),(2,6),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5) (5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4④，(6,5)，(6,6)}，共36个基本事件. 事件A包含的基本事件有：(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(22)，(23)，(2,4，(2,5)，(2,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)， (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(46),(5,2),(5,4,(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6). 共27个基本事件，所以P(A=器= 事件B包含的基本事件有：(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5) 共11个基本事件所以P(⑧)=岩 事件AnB包含的基本事件有：(2,5)，(4,5)，(5,2)，(5,4，(5,6)，(6,5).共6个基本事件 所以P(AnB)=务=吉 根据概率的加法公式可得：P(AUB)=P(④+P(B)-PAnB)=+∴言=号 故选：D 【典例2-3】（多选）（25-26高一下.浙江·开学考试)某学校对高二学生选科情况进行了统计，发现学生选科 仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并 绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是() 物化地 人数（单位：人） 300 250 2 物化生 物化政 200 6 35% 150 生史地 10 政史地 0 25% 物物 生组合 化 物 地 政 地 A.该校高二学生总数为800 B.该校高二学生中选考物化地组合的人数为70 C.用分层随机抽样的方法从该校高二学生抽取80人，则生史地组合抽取16人 第8页共32页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 D.该校高二学生随机抽取一学生，该学生选考物理的概率与选考地理的概率相等 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率、根据扇形统计图解决实际问题、根据条形统计图解 决实际问题、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据扇形图和条形图，读取相应选考组合的人数与占比，依题意逐一判断各选项即可： 【详解】对于A,因政史地有200人，占比25%，故该校高二学生总数为200 25% =800,故A正确： 对于B,因选考物化地和物化政组合的人数相等，故物化地组合的人数为001-35%，25%-160-80，故B错 2 误： 对于C,由题意，分层随机抽样的抽样比为10：1，则生史地组合应抽取的人数为6=16，故C正确； 10 对于D,因选考物化生、物化地、物化政组合的学生占比分别为35%，10%，10%，则学生选考物理的概率为 35%+10%+10%=55%: 而选考政史地、物化地、生史地组合的学生占比分别为25%，10%，20%，则学生选考地理的概率为25%+ 10%+20%=55%,故D正确 【典例2-4】(22-23高二下·江苏宿迁·期末)现有编号为1,2,3，…，n(m>2,n∈N*)的n个相同的袋子， 每个袋中均装有n个形状和大小都相同的小球，且编号为k(k=1,2,3,…,n)的袋中有k个红球，n-k个白 球.当：5时，从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为：现随 机从n个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为品则n的 值为 【答案】 03 10 【难度】0.65 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率、计算古典概型问题的概率、根据古典概型的概率求 参数 【分析】利用古典概率进行求解，利用互斥事件概率加法公式解决即可」 【详解】当：5时编号为3的袋中有3个红球，2个白球则从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，摸 到的两个球都是红球的概率为P=3x=三 5×4101 现随机从n个袋子中任选一个，所以有n种选法： 假设袋子中有k(k=1,2,3,…,n)个红球，n-k个白球， 从袋中无放回依次摸出三个球，有n(n-1)(n-2)种方法： 若第三次取出的球为白球有四种情况：红红白、红白白，白红白，白白白，取法数为 k(k-1)(n-k)+k(n-k)(n-k-1)+(n-k)k(n-k-1)+(n-k)(n-k-1)(n-k-2) =(n-1)(n-2)(n-k): 则若第三次取出的球为白球的概率为P。=-22= n2(n-10(n-2）-n2’ 因为k=1,2,3,…,n,所以第三次取出的球为白球的概率为 第9页共32页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 P=宗+子+学+…+=--2-出 a-0a-1+ n2 n2 兰="二=号解得n=10. 2n20 故答案为：10， 【变式2-1】(22-23高一下河北邢台阶段检测)口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取 出2球，事件A=“取出的两球同色”，事件B=“取出的2球中至少有一个黄球”，事件C=“取出的2球至少 有一个白球”，事件D=取出的2球不同色”，E=“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是() A.PA)=月 B.P(BnC)= C.P(CUE)=1 D.P(D)= 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】根据给定条件，计算P(A),P(D),判断AD;分析事件B∩C,以及CUE,并求对应的概率，即可判 断BC 【详解】设红球为a1,白球为b,b2,黄球为c,c2,C3, 其中任取两个球的所有样本点包含a1b,a1b2,a1c1,a1C2,a1C3,b1b2,b1C1,b1C2,b1C3, b2C1,b2C2,b2c3,C1C2,c1C3,C2c3,共15个， 事件A所包含的样本点为b1b2,c1C2,C1C3,C2C3,共4个， 所以P(A)=名故A错误： BnC表示取到的2个球，一个黄球一个白球，包含的样本点有b1C1,b1C2,b1C3,b2C1,b2c2,b2C3,共6个，所 以P(BnO=是号故B错误： 事件C是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件E是含有1个白球 或没有白球的两个互斥事件和， 事件CUE是必然事件，因此P(CUE)=1,故C正确： 事件A与D是对立事件，所以P(D)=1一P④=吕故D错误， 故选：C 【变式2-2】(25-26高二上·吉林通化·开学考试)黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区， 在五一假期期间展现出独特的旅游魅力.对于A,B两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择A景点出 游的概率为去选择B景点出游的概率为后，AB两个景点都不选的概率为品，则A,B两个景点都选的概率为 () A B. 10 0. 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】记事件A为“选择景点A"”,事件B为“选择景点B”,先由对立事件求得P(AUB),再根据一般事件 的概率加法公式即可求得结果， 第10页共32页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】记事件A为“选择景点A”,事件B为“选择景点B", 则事件A∩B为“A,B两个景点都不选”，事件A∩B为“A,B两个景点都选” 由题意得，P(=言，P(8)=总.P(an可= Pau明=1-PGn司=10- 由P(aUB)=P()+P(B)-P(AnB)得，高=言+元-PAnB), PAnB)=洁 故选：B 【变式2-3】(24-25高一下.浙江衢州·期末)连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，并记录每次骰子朝上的面 的点数，记事件A为“第一次朝上的面的点数为质数”，事件B为“两次朝上的面的点数之和为奇数”，则P(AU B)=() A月 B. C. 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】本题可先确定基本事件总数，再分别求出事件A、事件B、事件A∩B包含的基本事件数，最后根据 概率的加法公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)计算即可. 【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则基本事件总数n=6×6=36. 骰子的点数为1,2,3,4,5,6，其中质数有2,3,5， 事件A“第一次朝上的面的点数为质数”包含的基本事件数m4=3×6=18(第一次有3种质数情况，第二次 有6种情况)，则P)=兴==号 两次朝上的面的点数之和为奇数，则一次为奇数，一次为偶数 第一次为奇数，第二次为偶数时，有3×3=9种情况： 第一次为偶数，第二次为奇数时，有3×3=9种情况， 所以事件B胞含的基本事件数mg=9+9=1B,则P(O)-受-号一号 事件A∩B表示“第一次朝上的面的点数为质数且两次朝上的面的点数之和为奇数”. 当第一次为2，第二次需为奇数，有3种情况 当第一次为3或5，第二次需为偶数，各有3种情况，共3+3×2=9种情况. 所以P(AnB)=是= 根据概率加法公式P(AUB)=P()+P(B)-P(AnB)=+=是 故选：C 【变式2-4】(23-24高二上浙江杭州期中)已知某样本空间中共有18个样本点，其中事件A有10个样本点， 事件B有8个样本点，事件AUB有16个样本点，则PA∩B)=() B. C. 第11页共32页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】结合题意，由概率加法公式计算可得A∩B的样本点个数，则可得A∩B的样本点个数，即可得解。 【详解】由题意可得事件A共有18-10=8个样本点，由AUB有16个样本点， 又P(4nB)=P(A)+P(B)-P(AUB),故AnB共有10+8-16=2个样本点， 则AnB有8-2=6个样本点，故P☑nB)=品=号 故选：C 【变式2-5】（多选）(24-25高一下·河南洛阳·阶段检测)甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相 同的号签.其中甲袋中有编号为1,2,3的三个号签：乙袋中有编号为1,2,3,4,5,6的六个号签.现 从甲、乙两袋中各随机抽取1个号签，记事件A;从甲袋中抽取号签1；事件B:从乙袋中抽取号签5；事件 C:抽取的两个号签和为4：事件D:抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是() A.P(A)=2P(B) B.P(C)=6 C.事件C与D互斥 D.P(CnD)= 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、判断所给事件是否是互斥关系、事件的运算及其含义 【分析】对于选项A,根据题意将P(A),P(B)的值求出来进行判断即可；对于选项B,首先列出满足事件C 的情况种数，然后除以总的情况数，即是概率值；对于选项C,可将事件D的情况数一一列举出来，看是否 与事件C互斥；对于选项D,先求出C∩D,然后除以总情况数就是概率值 【详解】根据题意，样本点有 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(25),(2,6).(3,1),(3,2),(3,3),(3,4(3,5),(3,6), 有18种可能的结果， 则P4)=,P(B)=名所以P(A=2P(B),A正确： 事件c咆含的样本点有(1,3).(3,1).(2,2)，共3种可能的结果，则P(9=是=。B正确： 事件D包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5).(2,6)，(3,1)，(3,2).(3,4)，(3,5)， 3,6),共15种可能的结果， 显然事件C与D不互斥，C错误： CnD=(,3.(3,1.P(CnD)=品=D正确， 故选：ABD 【变式2-6】（21-22高二上.上海徐汇·期中)一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超 过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为 【答案】0.9/品 【难度】0.85 第12页共32页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】利用概率加法公式直接求解 【详解】一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超 过90分的概率是0.3， ∴.他的数学和物理至少有一门超过90的概率为：P=0.5+0.7-0.3=0.9 故答案为：0.9 题型03对立事件的概率 【典例3-1】(24-25高一下…全国·课后作业)甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若 不出现平局，那么乙获胜的概率为() A.0.2 B.0.8 C.0.4D.0.1 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用对立事件的概率公式即可得解 【详解】因为在一场比赛中甲获胜的概率是02，又不出现平局， 所以由对立事件的概率公式可得，乙获胜的概率为1-0.2=0.8. 故选：B 【典例3-2】（24-25高一下·云南楚雄·期末)冒险棋是一种多人参与的休闲益智类棋类游戏，其核心玩法如 下：玩家从起点出发，通过掷骰子决定棋子移动步数，并结合陷阱等特殊路径机制行进，先到达终点者获 胜（掷到几点，棋子就前进几步，若棋子停止的格子上有冒险文字，则玩家需按照冒险文字指示完成相应 操作).如图，己知甲执红棋、乙执蓝棋来到了同一个位置，甲先掷一次骰子，乙再掷一次骰子，则红棋比 蓝棋更靠近终点的概率为() 终点 骑上恐龙发现条 前进2步 小路，前进 3 踩到水坑 后退2步 @@ 起点 第13页共32页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A岩 C. 5 1 0.8 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意，红旗、蓝旗与终点的距离相等有点数相同以及点数为4或6两类情况，利用对立事件 的概率关系求解. 【详解】当甲、乙各自掷骰子得到的点数相同以及点数为4或6时，最后都会停留在同一个位置， 8 则红旗、蓝旗与终点的距离相等有6+2=8种情况，故所求概率为玉=乙 218 故选：D 【典例3-3】（多选）(21-22高一全国·课后作业)下列结论正确的是() A.若A,B互为对立事件，P(A)=1,则P(B)=0B.事件A,B,C两两互斥，则事件A与B+C互斥 C.事件A与B对立，则P(A+B)=1 D.若A与B互斥，则它们的对立事件也互斥 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】通过互斥事件和对立事件的定义与概率性质，逐一分析各选项即可 【详解】若A,B互为对立事件，则P(A)+P(B)=1,已知P(A)=1,可得P(B)=0,故A正确： 事件A,B,C两两互斥，则事件A,B,C不能同时发生，则事件A与B+C也不可能同时发生， 则事件A与B+C互斥，故B正确； 事件A与B对立，则P(A+B)=P(A)+P(B)=1,故C正确： 若A,B互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故D错误. 故选：ABC 【典例3-4】(24-25高一下.福建福州期末)己知事件A的对立事件为A,P(A)=0.4,P(B)=0.3.若B∈A, 则P(AUB)=,P(AB)= 【答案】 0.6 0.3 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】事件A的对立事件为A求出P(A),因为BcA,则BUA=A,B∩A=B,从而求出相应概率值 【详解】已知事件A的对立事件为A,则P(A)=1-P(A)=1-0.4=0.6, 因为BcA,根据并事件的性质：BUA=A 所以P(AUB)=P(A)=0.6; 因为BSA,根据交事件的性质：B∩A=B. 所以P(AB)=P(AnB)=P(B)=0.3. 故答案为：P(AUB)=0.6;P(AB)=0.3. 【变式31】(23-24高一下.山东烟台期末)己知事件A与事件B互为对立事件，且P(4)=0.4,则P(B)=() 第14页共32页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据对立事件的概率之和为1求解即可. 【详解】因为事件A与事件B互为对立事件， 所以P(B)=1-P(A)=1-0.4=0.6, 故选：C 【变式32】(24-25高一下·四川乐山期末)小王参加射击比赛考核，每次射击命中目标的概率为0.8，规定 若第一次命中，才能进入第二次射击，且这两次射击相互独立.第一次未命中得0分，仅第一次命中得10 分，两次都命中可得20分，那么小王此次考核得分不低于10分的概率是（) A.0.16 B.0.64 C.0.8 D.0.96 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据已知条件结合对立事件概率公式计算求解 【详解】第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分， 那么小王此次考核得分低于10分的概率是0.2， 则小王此次考核得分不低于10分的概率是P=1-0.2=0.8. 故选：C 【变式33】(24-25高一下·湖北武汉·期末)某汽车调查研究机构从4辆燃油车和2辆新能源车中随机选出 3辆去参加一项智能驾驶测试大赛，则选出的3辆中至少有1辆新能源车的概率为() A吉 8.司 c. . 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】利用古典概型的概率计算公式，结合对立事件概率之间的关系求解. 【详解】设选出的3辆车都是燃油车为事件A,则P(个=篷-专 设“选出的3辆中至少有1辆新能源车"为事件B,则事件A、B为对立事件， 所以P(B)=1-P(0=1-青 故选：C 【变式34】(22-23高一下河南洛阳·阶段检测)已知集合A={x∈ZIx2-6x+5≤0}，且a∈A,b∈A,则 关于x的方程x2+ax+b2=0无实数根或|a-b<3的概率为() A 8. c.器 第15页共32页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、解不含参数的一元二次不等式 【分析】求得(a,b)取值的样本空间，求出“方程x2+ax+b2=0有实数根且Ia-bl≥3"对应的事件的概率， 利用对立事件间的概率关系求解 【详解】由题意得A={xeZI1≤x≤5}={1,2,3,4,5， 则(a,b)取值的样本空间为 {(11).(1,2),(1,3).(1,4),(1,5),(2,1).(2,2),(2,3).(2,4,(25).3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5) (4,1),(4,2),(4,3).(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4.(5,5),共25个样本点 关于x的方程x2+ax+b2=0有实数根时，△=a2-4b2≥0，得1a≥2b, “方程x2+ax+b2=0有实数根且|a-bl≥3"对应的事件为{(4,1)，(5,1)，(5,2)}，含有3个样本点， 所以所求的概率为1一云器 故选：C 【变式35】（多选）(24-25高一上江西宜春·期末)下列说法中正确的有() A.己知一组数据1,2，m,8,m+1,9的平均数为6，则这组数据的中位数是8 B.函数f(x)的定义域是[-2,2]，则函数f(x+1)的定义域为[-3,1] C.若事件A与B互为对立事件，则P(A)+P(B)=1 D.不等式>1的解集是{x-<x<0} 3x+1 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】分式不等式、计算几个数的中位数、抽象函数的定义域、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】对于A,由平均数可得，然后可得中位数；对于B,由函数定义域概念可判断选项正误：对于C, 由对立事件概率关系可判断选项正误：对于D,解分式不等式可判断选项正误， 【详解】对于A,因1,2，m,8,m+1,9的平均数为6， 则242+mt8+t149=6→21+2m=36今m=号 6 则这组数据从小到大排列为1,2,7.5,8,8.5,9， 中位数为第3个数据，第4个数据的平均数，即为头故A错误： 对于B,因f(x)的定义域是[-2,2]，则f(x+1)的定义域为{xx+1∈[-2,2]}=[-3,1] 故B正确； 对于C,因A与B互为对立事件，则P(A)+P(B)=P(A)+P(A=1,故C正确： 对于D, >165>0台票<05xgx+)<0, 3x+1 3x+1 故不等式解集为：{x-<x<0}故D正确。 故选：BCD 【变式36】(24-25高二下河南商丘·期中)某集团军举行登岛演习，演习要求该集团军的导弹旅捣毁岛上 第16页共32页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的M目标，导弹旅的每辆登陆艇每次发射一枚导弹，由于受到天气以及“敌方”反导弹的拦截，命中率是80%， 至少要有一枚导弹击中M目标，才能说明M目标被捣毁，因此采用多辆登陆艇同时发射导弹的方法去捣毁M 目标.至少需要 辆登陆艇同时发射导弹，才能有不小于99.5%的把握保证M目标被捣毁.（参考数据： 1g2≈0.3010) 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据对立事件的概率之间的关系列式，再利用对数的运算性质求解 【详解】设至少需要辆登陆艇同时发射导弹，才能有不小于99.5%的把握保证M目标被捣毁. 则1-02之0995+02”≤005→≤lg7高÷n≥-≈33. -1g5-(1-1g2) 所以至少需要4辆登陆艇同时发射导弹 故答案为：4 题型04独立事件与概率乘法公式 【典例41】（24-25高一下·吉林长春期末)有4张相同的卡片，分别标有数字1,2,3,4，从中有放回地 随机取两次，每次取1张卡片，A1表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，A2表示事件“两次取出的 卡片上的数字之和为5”，则() A.P(A1)=P(A2)B.A1与A2为互斥事件C.A1与A2为相互独立事件D.A1与A2为对立事件 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件 是否是互斥关系 【分析】对于A,由古典概型概率计算公式求解即可；对于BD,由互斥、对立的概念判断BD;对于C,由 独立事件的定义判断即可 【详解】样本空间0={11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44， A1={21,22,23,24,41,42,43,44,A2={14,23,32,41}, 对于A,P(A)=品=≠PA)=若-子故A错误 对于BD,A1nA2={23,41}≠0，故BD错误： 对于C,P(A1A)=品=言P(ADP(A),故C正确 故选：C 【典例42】(25-26高一上江西景德镇期末)已知A,B为两个随机事件，P(A)=0.2,P(B)=0.5,则下列结 论错误的是() A.若A≤B,则P(AB)=0.2 B.若A,B独立，则P(AB)=0.1 C.若A,B独立，则P(A+B)=0.6 D.若A,B互斥，则P(A+B)=0.7 【答案】B 【难度】0.65 第17页共32页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率、互 斥事件的概率加法公式 【分析】分别根据相互独立事件的概率，互斥事件的概率，包含事件的概率的定义及公式计算可得. 【详解】对于A:因为ASB,所以P(AB)=P(A)=0.2,故A正确： 对于B:因为A,B独立，所以A与B也相互独立， 所以PAB)=PAP(B)=(1-P(A)P(B)=(1-0.2)×0.5=0.4,故B错误： 对于C:若A,B独立，根据并事件的概率公式得P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.2+0.5-P(A)P(B)=0.7-0.2×0.5=0.6,故C正确： 对于D:A,B互斥，由概率的加法公式可得P(4+B)=P(A)+P(B)=0.2+0.5=0.7,故D正确 故选：B 【典例4-3】（多选）(25-26高一上·河南·期末)己知事件A,B,且P(A)=0.6,P(B)=0.4,则下列说法正确的 是() A.A与B是对立事件 B.若A与B相互独立，则P(AB)=0.6 C.若A与B相互独立，则P(AB)=0.16 D.若A与B相互独立，则PAUB)=0.76 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】独立事件的判断、确定所给事件的对立关系 【分析】先根据对立事件的定义排除A选项，再利用相互独立事件的概率公式分别计算B、C、D选项的概 率，从而判断正误 【详解】对于选项A,对立事件需满足A∩B=0且AUB=2, 仅P(A)+P(B)=1不满足互斥条件，故A错误， 若A与B相互独立，则PA)=1-P(A)=0.4 P(AB)=P(A)P(B)=0.4×0.4=0.16,故B错误，C正确 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6+0.4-0.6×0.4=0.76,故D正确. 故选：CD 【典例44】（25-26高一上·安微期末)如图，用K,A1,A2三个不同的元件连接成一个系统.当元件K正常 工作且元件A1,A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K,A1,A2正常工作的概率依次为0.8,0.6,0.6， 则系统正常工作的概率为 K 【答案】0.672 【难度】0.94 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】先计算元件A1、A2至少有一个正常工作的概率，从而可得系统正常工作的概率 第18页共32页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】因为元件A1、A2至少有一个正常工作的概率为1-(1-0.6)2=1-0.16=0.84， 所以系统正常工作的概率为0.8×0.84=0.672. 故答案为：0.672 【变式41】(24-25高一下·黑龙江哈尔滨期末)己知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、 乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为() A月 B.贵 c. D.9 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】利用独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式即可求解 【详解】记“甲射中10环"为事件A,“乙射中10环”为事件B,P()=P(B)= 甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为： P=1-PaB)=1-P④PB)=1-(1-)×(1-)=-号 故选：D 【变式42】(24-25高一下.黑龙江哈尔滨期末)依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次抛掷骰 子的点数为2”，B表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，C表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”， 则() A.A与B为相互独立事件 B.A与C为互斥事件 C.B与C为相互独立事件 D.B与C为互斥事件 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件的概念和独立事件的定义进行判断即可. 【详解】根据恩意可知，P)=P(D)=-P(G=总。-吉 第一次抛掷骰子的点数为2，且第一次抛掷骰子的点数为奇数的概率为0， 即P(AB)=0≠P(A)P(B),所以A,B不相互独立，所以A错误： 第一次抛掷骰子的点数为奇数，两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有(1,6)，(3,4)，(5,2) 所以P(BC)=元==P(B)P(C),所以B,C相互独立，所以C正确： 第一次抛掷骰子的点数为2，且两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有(2,5)， 这说明A,C能同时发生，所以A,C不是互斥事件，B错误： 第一次抛掷骰子的点数为奇数，两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有(1,6)，(3,4)，(5,2). 这说明B,C能同时发生，所以B,C不是互斥事件，D错误： 故选：C 【变式43】(25-26高一上北京·期末)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球 第19页共32页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到黑 色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为(） B A B. c 0.日 答案】C 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用对立事件的概率求解，由于小球落入B袋情况简单易求，记小球落入B袋中的概率P(B),利 用P(A)+P(B)=1求出P(A) 【详解】记小球落入B袋中的概率P(B), 记小球落入A袋中的概率P(A),则P(A)+P(B)=1, 小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋， ∴PB)=)°+（月=京P()=1-P()=1-是 故选：C 【变式44】(25-26高一上辽宁期末)己知事件A,B相互独立，且P(AB)=言P(AB)=子则P(8)=（) A月 c.8 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式列出关于P(A)和P(B)的方程组，求解P(B)即可. 【详解】：事件A,B相互独立，P(AB)=P(A)P(⑧)=言 :事件A与B也相互独立，P4B)=P(AP(⑧)=PA1-P(B)=行 丙式相除可料品一方解得P() 故选：B 【变式45】（多选）(25-26高一上·辽宁丹东·期末)设事件A,B满足P(A)=0.2,P(B)=0.3,则下列命题正确 的有() A.若P(AB=0.14,则A与B相互独立 B.若A与B相互独立，则P(A+B)=0.44 C.0.3≤P(A+B)≤0.5 D.若ASB,则P(AB=P(AB 【答案】ABC 第20页共32页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、概率的基本性质 【分析】由条件证明P(AB)=P(A)·P(B),结合独立事件的定义判断A;若A与B相互独立，由概率的加法 公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)求结论判断B:当ASB时，P(A+B)有最小值0.3，当A与B互斥时， P(A+B)有最大值0.5，故C正确：若AcB,所以P(AB=P(A=0.8:P(AB=P(B)=0.7,所以P(AB)≠ P(AB),故D错误 【详解】对于A,因为P(A)=0.2,P(B)=0.3,所以P(④=0.8，P(B)=0.7 由P(AB)=P(A)-P(AB),得P(AB)=P(A)-P(AB)=0.2-0.14=0.06, 因为P(A)P(B)=0.3×0.2=0.06,所以P(AB)=P(4A)·P(B)=0.06,所以A与B相互独立，故A正确： 对于B,若A与B相互独立，则P(AB)=0.06,由概率的加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.3-0.06=0.44,故B正确： 对于C,当ASB时，P(A+B)有最小值P(A+B)=P(B)=0.3, 当A与B互斥时，P(A+B)有最大值P(A+B)=P(A)+P(B)=0.2+0.3=0.5: 所以0.3≤P(A+B)≤0.5，故C正确： 对于D,若A∈B,则AB=A,所以P(AB=P(A=0.8: 又因为A十B=B,根据德摩根定律有AB=A+B,又因为ACB,所以A+B=B,故AB=B 所以P(AB)=P(B)=0.7:所以P(AB≠P(AB),故D错误： 故选：ABC 【变式46】(25-26高一下-江西上饶期中)已知随机事件A,B相互独立，且P(A)=,P(B)=子则 P(AB)= 【答案】0.25 【难度】0.85 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【详解】因为A,B相互独立，所以A、B也相互独立，又P(A)=P(B)= 所以P(AB)=P(AP(D)=P(A(1-P(B)=×(（1-)= 强化训练 一、单选题 1.(24-25高一下.吉林.期末)己知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P(C)=0.6,P(B)=0.3,则P(AUB)= () A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.7 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率、概率的基本性质 第21页共32页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【详解】由A和C对立，可得P(A)+P(C)=1,则P(A)=0.4, 又由随机事件A和B互斥可知P(AB)=0, 所以P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0:4+0.3-0=0.7. 故选：D. 2.(2025高一·全国专题练习)已知事件A和B是一个随机试验中的两个事件，若P(A=,P(⑧)=子且 PaB)=则P(A+B)=() A.是 C. 7 0.8 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】概率的基本性质、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及概率的基本性质求解」 【详解】由P⑥)=子得P(B)=1-P⑥)= 又Pa)=÷则P(aB)=P(间)-PaB)=}言-专而P④=是 所以P(A+B)=P(A+PB)-P(AB)=+号号=号 故选：A 3.(23-24高一下.宁夏固原期末)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜 的概率是() A.吉 C. D.6 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，由对立事件的性质求解即可. 【详解】因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立， 所以甲获胜的概率为1-甘吉 故选：A 4.(24-25高一下·江苏淮安·期末)己知P(A)=0.6,P(B)=0.3,若A,B互斥，则P(AB)+P(AB)=() A.0.36 B.0.54 C.0.6 D.0.9 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】根据A,B互斥，P(AB)=P(B),P(AB=P(A)求解即可 【详解】因为A,B互斥，所以P(AB)=P(B)=0.3,P(AB=P(A)=0.6, 第22页共32页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故P(AB)+P(AB=0.3+0.6=0.9 故选：D. 5.(22-23高一下.重庆·期末)在一个不透明的袋中有4个红球和n个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个 球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为号，则n=（) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、根据古典概型的概率求参数 【分析】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为。，据此可得答案， 【详解】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为 测-9咖2=a+92→2m-44n+0=0n=2 故选：B 6.(25-26高一下贵州遵义阶段检测)已知某随机试验中，事件A,B,C发生的概率分别是号子是则下列 说法正确的是() A.(AUB)与C是互斥事件，且是对立事件 B.AUBUC一定是必然事件 C0<PBuC)≤号 D.AUB的概率一定等于0.5 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件与对立事件关系的辨析、互斥事件的概率加法公式、 判断所给事件是否是互斥关系 【分析】结合概率运算公式和互斥事件、对立事件、必然事件的概念，求解即可 【详解】选项A:若(AUB)与C是互斥事件，则(AUB)nC=D, 若是对立事件，则(AUB)UC=(样本空间)， 题干中未说明事件A,B,C之间的关系，无法确定(AUB)与C是否互斥、对立，故A错误. 选项B:若事件A,B,C互斥，则P(AUBUC)=++=1, 若事件A,B,C存在包含关系，则概率会小于1，因此AUBUC不一定是必然事件，故B错误. 选项C:P(BUC)=P(+P(O-P(BnO=+P(BnC)=名-P(BnC), 又0≤P(BnC)≤P(B)=手所以≤P(BUC)≤：该结果满足0<P(BUC)≤各故c正确. D:P(A UB)=P(A)+P(B)-P(A B)=+-P(A0 B)=-P(AnB). 只有当事件A,B互斥时，P(4nB)=0,此时PAUB)= 因此AUB的概率不一定等于0.5，故D错误 7.(2324高二上上海长宁期末)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘 汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一 第23页共32页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人 最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获 胜的概率是() A名 B.3 c 0.32 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、独立事件的实际应用 【分析】设甲失败的事件为A,乙失败的事件为B,丙失败的事件为C,甲最终获胜事件为N,根据题意列出N的 所有可能，结合独立事件乘法公式即可求解 【详解】设甲失败的事件为A,乙失败的事件为B,丙失败的事件为C,甲最终获胜事件为N, 则甲最终获胜的概率为P(N)=P(BCBC)+P(BCBAC)+P(BCABC) +P(BCACB)+P(BABCC)+P(BACBC)+P(ACBCB)+P(ABCBC) =)+)+)+)+++)+-是 故选：D. 8.(25-26高二下.上海·期中)田忌赛马的故事一直为人所津津乐道，共体现了博弈的魅力.已知甲有三匹马 A:(1=1,2,3),乙有三匹马B,0=1,2,3),这些马之间比赛获胜的概率如下表所示.甲和乙进行三轮赛马游戏， 每轮比赛甲和乙各选择一匹马比拼胜负，且每匹马至多进行两轮比赛，最终胜的轮数多的人获胜在比赛之 前，甲和乙先根据下表采用最优的选马策略选出所有参赛的马，并确定它们的参赛顺序，有下列两个命题： ①若a=b=1,甲最优的选马策略为让A2马出战一次，A3马出战两次： ②若a=子b=克三轮游戏结束后，甲赢的概率为品 马A,与马B,对弈时，马A获胜的概率 j=1 j=2 j=3 1=1 5 × 3 i=2 1 4 2 i=3 则下列说法正确的是() A.命题①正确，命题②正确 B.命题①正确，命题②错误 C.命题①错误，命题②正确 D.命题①错误，命题②错误 【答案】B 【难度】0.28 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】为获得胜利，甲、乙会优先选择对阵所有对手平均胜率更高的马匹参赛。 【详解】对于命题①，若a=b=1,A3赢B,的概率高于A2和A1, 第24页共32页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以甲优先选择对阵所有对手胜率更高的马匹参赛，A3尽可能多出战，但A3最多出战两次，所以让A3出战 两次， 又因为A2赢B,的概率高于A1,所以A2马出战一次，故①正确： 对于命题②，若a=b= 胜率表为： B1 B2 E3 1 1 5 4 3 A2 1 1 3 A3 1 甲方较优的参赛马应为A2一次、A3两次：乙方为了降低甲胜率，应取B1两次、B2一次 这时不管怎么排顺序，甲三轮单场胜率只会出现两类情况： 一种是号则甲至少赢两轮的概率为3·()+()= 另一种是诗则甲至少赢两轮的概率号+计号+号石 这两个值都不是器如果把双方的出战顺序也按随机来计算，概率会是器也不是器 故命题②错误. 二、多选题 9.(2425高一下河北期末)已知事件AB,C两两互斥，若P(8)=P(4UB)=,P(AU0=若，则《) A.P(A)= B.P(C)= C.P(BUC)= D.P(AUBUC)- 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】利用互斥事件满足的关系式，对选项一一分析求解，求出答案。 【详解】A选项，因为事件A,B,C两两互斥， 所以P(AUB)=P(A)+P(B)=+P(A)=五，则PA)=子所以P(④=子，故A错误； B选项，P(AUO=P(A+P(9=计P(O=若则P(O=号故B正确： C选项，PBu0=P()+P(O=+=品故C正确： D选项，P(AUBUO=P(A+P(@)+P(O=计+号器放D错误 故选：BC 10.(21-22高一·全国.单元测试)某社区开展“防疫知识竞赛”，甲、乙两人荣获一等奖的概率分别为p和4， 两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为() A.p(1-q)+q(1-p)+pq B.p+q C.pqD.1-(1-p)(1-q) 【答案】AD 第25页共32页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率、事件的运算及其含义 【分析】令P(A)=p,P(B)=q且A、B相互独立，从正反两个角度，利用事件的关系及含义表示出两人中 至少有一人获得一等奖，进而求出其概率即可。 【详解】记A为“甲获得一等奖”，B为“乙获得一等奖”，则P(4A)=p,P(B)=q且A、B相互独立. 从正面考虑，甲、乙两人中至少有一人获得一等奖为AB+AB+AB,为三个互斥事件， P(AB+AB +AB)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=q(1-p)+pq: 从反面考虑，事件“甲、乙两人中至少有一人获得一等奖"的对立事件是“甲、乙两人都没获得一等奖”，即事件 AB,易得P(AB)=(1-p)(1-q), 所以“这两人中至少有一人获得一等奖"的概率为1-P(AB)=1-(1-p)1-q),综上，A、D正确 故选：AD 11.(22-23高二上湖北荆州期末)疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位， 同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行 选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为16，然后将其放入一个箱子中，从 中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为a1,第二次为a2,设A=图，其 中[x]表示不超过x的最大整数，则() A.P(a1+a2=5)=} B.事件a1=6与A=0互斥 C.Pa1>a)=是 D.事件a2=1与A=0对立 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系、有放回与无放回问题的概率 【分析】根据有放回的随机取两次结果36种逐个分析判断即可解决. 【详解】由题知，从中有放回的随机取两次，结果有（记为a1Q2): 11,12.13.14,15,16,21.22.23.24.25,26,3132,33,3435,36 41,42.43,44,45,46,51,5253,54,55,56,61,62.63,6465,66, 共36种， 若a+a2=5,此时取1,4或2,3所以P(a1+a=5)=若-行故A错误； 若a1=6,则A=图≥1恒成立，所以与A=0互斥，故B正确： P(a1>a2)=5++3t241=点，故C正确： 6×6 12 当a1=3,a2=2时，A==1,此时事件a2=1与A=0均未发生， 所以事件a2=1与A=0不对立，故D错误. 故选：BC 三、填空题 12.(24-25高一下.广东揭阳·期末)己知随机事件A,B,C,A和B互斥，B和C对立，且P(A+B)=0.7,P(A)=0.3, 第26页共32页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则P(C)= 【答案】0.6呢 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用互斥事件和对立事件的概率公式求解即可 【详解】~随机事件A和B互斥，∴P(A+B)=P(A)+P(B),则P(B)=0.7-0.3=0.4. 又B和C对立，.P(C)=1-P(B)=0.6. 故答案为：0.6 13.(2025广东广州.一模)事件B∈A,P(AUB)=专且P(A)=2P(B),则P(⑧= 【答案】0.6 【难度】0.65 【知识点】概率的基本性质、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】由事件的包含关系可得P4)=专，根据对立事件的关系计算可得P(D) 【详解】因为事件BCA,P(AUB)=,所以P(A=专 因为P(A)=2P(B),所以P(B)=,P⑧)=1-P(B)= 故答案为：昌 14.(24-25高三上上海青浦·阶段检测)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立， 第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是 【答案】0.625 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，即可得出. 【详解】前4局中，因第1局甲当裁判，则乙恰好当1次裁判的事件A,设乙第二局当裁判的事件A1、乙 第三局当裁判的事件A2,乙第二局当裁判的事件A3,它们互斥， 乙第二局当裁判的事件是乙在第一局输，第三局胜，则P(A)=x是 乙第三局当载判的事件是乙在第一局胜，第二局输，则P4,)=×生 乙第四局当裁判的事件是乙在第一局胜，第二局胜，第三局输，则P(4,)=××吉 所以P(④=P4)+P(a)+P(4)-++片昌 故答案为：。 四、解答题 15.(25-26高一下·全国课堂例题)一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出一个球，取 第27页共32页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 出红球的概率为品取出黑球的概率为号取出白球的薇率为站 取出绿球的概率为位 (1)求取出的1个球是红球或黑球的概率： (2)求取出的1个球不是绿球的概率. 【答案】层(2唱 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】(1)根据互斥事件的概率加法公式计算即可. (2)根据对立事件的概率公式计算即可」 【详解】(1)记事件A=任取1球为红球}，事件B={任取1球为黑球)，事件C={任取1球是绿球)， 显然A、B、C彼此互斥 所以取出1个球是红球或黑球的概率为P(AU)=P(个+P()=是+=号 (2)取出一个球不是绿球与是绿球为对立事件，P=P回-1-P(O=1-言一吕 16.（25-26高一下·全国·课堂例题)某商店月收入（单位：元)在下列范围内的概率如下表： 月收入范围 [1000,1500) 1500,2000） [2000,2500) 「2500,3000) 概率 0.12 0.25 0.16 0.14 (1)求月收入在1000,2000)范围内的概率； (2)求月收入在[1500,3000)范围内的概率： (3)求月收入不在[1000,3000)范围内的概率. 【答案】(1)0.37：(2)0.55；(3)0.33 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】(1)应用互斥事件概率和公式计算求解： (2)应用互斥事件概率和公式计算求解： (3)应用对立事件概率公式及互斥事件概率和公式计算求解： 【详解】(1)记这个商店月收入在[1000,1500)，[1500,2000)，[2000,2500)，[2500,3000)范围内的事件分 别为A,B,C,D,则这4个事件彼此互斥 月收入在[1000,2000)范围内的概率是P(A+B)=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37. (2)月收入在[1500,3000)范围内的概率是P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.25+0.16+0.14= 0.55 (3)月收入不在[1000,3000)范围内的概率是 P(A+B+C+D=1-P(A+B+C+D)=1-[P(A)+P(B)+P(C)+P(D)] =1-(0.12+0.25+0.16+0.14)=1-0.67=0.33 17.(25-26高二上·湖南常德·开学考试)某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标 号为1,2的两个红球和标号为3,4,5的三个白球，五个小球除颜色和标号外完全相同，参与游戏的同学 第28页共32页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 从中任取1个，有放回地抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两 种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球 标号和为奇数获三等奖，其余不获奖： 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个 球标号和为偶数，且不是5的倍数获三等奖，其余不获奖， (1)求两种规则下获得二等奖的概率： (2)请问哪种规则的获奖概率更大，并说明理由， 【答案】(1后：(2)两种规则的获奖概率一样大，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用概率的加法公式计算古典概型的概率、写出样本空间、有放回 与无放回问题的概率 【分析】(1)(2)列出两次抽取小球的所有可能结果，根据古典概型的概率求法求得两种规则分别获得一、 二、三等奖的概率，进而得到两种规则的获奖概率，即可解决问题 【详解】(1)据题意，两次抽取小球的所有可能结果为： (11),(1,2),(13),(1,4,(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(25),(3,1),(3,2),(3,3).3,4),3,5), (4,1),(4,2),(4,3),(44),(4,5),(5,1).(5,2),(5,3),(5,4④，(5,5) 记规则一获得二等奖为事件A2,记规则二获得二等奖为事件B2, 事件A包含(3,3).(3,5).(44.(5,3).(5,5)五个样本点，故P(4)== 事件B,包含1,4.(2,3).3,2).(41.(6,5)五个样本点，故P(8,)=是=吉 所以两种规则下获得二等奖的概率均 (2)两种规则的获奖概率一样大.理由如下： 记规则一获得一、二、三等奖分别为事件A1,A2,A3: 由()可知事件A:包含(11).2,2)两个样本点，所以P(4)=云 事件A3包含(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4，(41)，(4,3)，(4,5).(5,2)，(5,4)，共12个样本点，所以 P4)=岩 由(1知P(42)= 所以规则一的获奖概率为P(A1+4+A)=P(A)+P(A)+P(Ag)=云++号-岩 记规则二下获得一、二、三等奖分别为事件B1,B2,B3 事件B:包含1,2).(2,1)两个样本点，PB)=示 事件B3包含(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，共十二个样本点， P8,）=岩 由(1知P(B2)= 第29页共32页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以规则二的获奖概率P(B1+8B2+B,)=P(B)+P(8)+P(B)=云++号=号 所以两种规则的获奖概率一样大。 18.(21-22高一下.陕西咸阳·期中)下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1~5分五 个档次.设x、y分别表示英语成绩和数学成绩.表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5 分的共5人. 5 4 3 2 1 5 1 0 1 4 0 7 5 1 3 2 1 0 9 3 2 1 d 6 0 a 1 0 0 3 (1x=4的概率是多少？x=4且y=3的概率是多少？x23的概率是多少？ (2x=2的概率是多少？α十b的值是多少？ 【答案】哈品品2听3 【难度】0.65 【知识点】根据古典概型的概率求参数、计算古典概型问题的概率、利用对立事件的概率公式求概率、利 用互斥事件的概率公式求概率 【分析】(1)求出事件“x=4”、“x=4且y=3”的人数，再用古典概率求解，求出“x=3”、“x=5”的概率，利用互 斥事件概率公式计算作答 (2)利用对立事件的概率公式求出事件“x=2"的概率，进而求出α+b的值. 【详解】(1)由数表知，x4的事件有14人，其概率为：P6x=)=共=石 7 Xx=4且3的事件有7人，其概率为：P(x=4且x=3)=员 23的事件是=3的事件，X=4的事件，=5的事件的和，它们互斥，而Pc=3)=品=品 Pe=5列-奇- 因此，Pe≥3)=Pe=3)+PGc=④+Pe=5)-品+云+若-品 (2)x1的事件概率为P《=1)=高=六X=2的事件的对立事件是x=1的事件与x23的事件的和，它们互 斥事件， 则有P6c=2)=1-Px=)+P≥3别=1-合品=吉 而Pc=2习=即有2-专解得a+b=3, 50 所以x=2的概率是影a叶b的值是3. 19.(24-25高一上河南南阳期末)某班级在庆元旦联欢会时，主持人安排了跳双人舞、独唱、和独奏节目， 第30页共32页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 指定3个男生和2个女生来参与，把五个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号 是女生.将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中 随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目. (1)为了选出2人来表演双人舞，不放回地抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率： (2)为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并记录第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第 二张卡片.求： ①独唱和独奏由同一个人表演的概率： ②选出的不全是男生的概率. 【答案】品：(2①②号 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】(1)由题意，列出不放回地抽取2张卡片，抽取的所有可能结果，满足条件的事件是连续抽取2 张卡片，取出的2人不全是男生，包括两种情况，一是一男一女，二是两女，这两种情况是互斥的，方法1： 根据古典概型概率公式得到结果；方法2：得出取出的2人全是男生包含的样本点个数，再利用对立事件 求出概率： (2)①试验发生包含的事件是有放回地连续抽取2张卡片，列举出所有的事件共有25种结果，找出满足 条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果；②“选出的不全是男生"其对立事件为“选出的全是男生”， 求出包含的样本点个数，再求出概率 【详解】(1)把抽取2张卡片的结果记为(，)， 其中i表示第一次抽取的卡片号，j表示第二次抽取的卡片号. 依题意，不放回地抽取2张卡片，抽取的所有可能结果为： (1,2),(1,3),(1,4,(1,5) (2,1),(2,3),(2,4),(2,5) 3,1).(3,2).(3,4).(3,5) (4,1),(4,2),(4,3),(4,5). (5,1).(5,2),(5,3),(5,4) 共有20种可能的结果。 用事件A表示“选出的2人不全是男生”， 方法1：依题意知事件A包含的样本点有 (1,4).(1,5).(2,4.(2,5),3,4),(3,5).(4,1).(4,2),(4,3),(4,5).(5,1), (5,2),(5,3),(5,4,共有14种可能的结果， 因此，P(④=若=品即选出的2人不全是男生的概率为品 方法2：依题意知事件A的对立事件A“取出的2人全是男生"包含的样本点有 (1,2).(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),3,2),共有6种可能的结果， 因此，P(④)=1-P网=1-品=品即选出的2人不全是男生的概率为品 第31页共32页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)抽取的所有可能结果为： (1,1),(1,2).(1,3),(14),(1,5), (2,1).(2,2),(2,3),(2,4),(2,5), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5), (4,1),(4,2),(4,3).(4,4).(4,5, (5,1),(5,2),(5,3).(5,4),(5,5, 共有25种可能的结果。 设事件B表示“独唱和独奏由同一个人表演”， 则事件B所包含的样本点有(1,1)，(2,2)，(3,3).(4,4)，(5,5)，共有5种可能的结果， 因此，P(®)=是=专即独唱和独奏由同一个人表演的概率为号 设事件C表示“选出的不全是男生”，其对立事件C表示“选出的全是男生”， 包含的样本点有(1,1)，(1,2).(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共有9种可能的结果， 因此，P(O-1-PO=1-号=芹即选出的不全是男生的概率为号 第32页共32页 5-3 概率的运算 讲义 教学目标 理解掌握概率的加法公式与乘法公式，掌握互斥事件、对立事件、独立事件的概率计算. 教学重难点 概率的加法公式与乘法公式. 教学难点 概率的加法公式与乘法公式应用条件. 知识点01 互斥事件与对立事件的概率 1.如果事件与事件互斥，那么. 2.如果事件与事件互为对立事件，那么. 3.设，是一个随机试验中的两个事件，有. 【即学即练1-1】（24-25高一下·福建福州·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【详解】由和对立，可得，则. 又随机事件和互斥， 所以. 故选：A. 【即学即练1-2】（多选）（25-26高一上·江西抚州·期末）抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件A表示“第一枚掷出的点数为偶数”，事件B表示“第二枚掷出的点数为奇数”，事件C表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件D表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则下列说法中正确的有（     ） A．A与B是相互独立事件 B．A与B是互斥事件 C．与C是对立事件 D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件的概率加法公式、互斥事件与对立事件关系的辨析、计算古典概型问题的概率 【分析】选项A：根据古典概型判断相互独立事件；选项B：根据互斥事件的定义判断互斥事件；选项C：先列出 和 的所有样本点，验证两者是否互斥，再验证它们的并集是否为全集，或概率和是否为 1，从而判断是否为对立事件；选项D：先判断事件 和 是否互斥（无共同样本点），再使用互斥事件的概率加法公式计算即可判断. 【详解】选项A：由已知得，因为， ， 所以，即与互不影响，A正确. 选项B：事件与事件能同时发生，故与不是互斥事件，B错误. 选项C：， ， 故事件与不是对立事件，C错误. 选项D：因为事件，事件， 则不可能同时发生，故与互斥，所以，D正确. 故选：AD. 知识点02 事件的独立性 1.相互独立事件：如果成立，则称事件与事件相互独立，简称独立. 注意：当三个事件、、两两独立时，一般不成立. 2.若事件与事件相互独立，则与，与，与也相互独立. 【即学即练2-1】（2025高一·全国·专题练习）某种开关在电路中闭合的概率为，现将4只这种开关并联在某电路中，如图，若该电路为通路的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据独立事件、对立事件的概率公式计算. 【详解】因为该电路为通路的概率为，所以该电路为不通路的概率为， 只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以，解得或（舍去）. 故选：B． 【即学即练2-2】（多选）（24-25高一下·广西柳州·期末）有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是（  ） A． B．事件A与事件C相互独立 C．事件A与事件E相互独立 D．事件A与事件B相互独立 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】有放回与无放回问题的概率、独立事件的判断 【分析】求出事件的概率，再根据相互独立事件概率的关系依次判断每个选项得到答案. 【详解】根据题意，，，，， 对于A，由于是不放回的取球，则，故A正确； 对于B，因为，所以事件与相互独立，故B正确； 对于C，因为，所以事件与不相互独立，故C错误； 对于D，因为，所以事件与相互独立，故D正确. 故选：ABD. 题型01 互斥事件与概率加法公式 【典例1-1】（25-26高一上·辽宁锦州·期末）某社区为了更好地开展便民服务，对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计，结果如下表.假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟.在某一天，第三位居民来到社区时第一位居民恰好开始办理业务，则他等待4分钟才开始办理业务的概率为（   ） 办理业务所需要的时间（分） 1 2 3 4 5 频率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 A．0.04 B．0.08 C．0.12 D．0.16 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】根据互斥事件的概率性质可求等待4分钟才开始办理业务的概率. 【详解】若第一位居民办理业务需分钟，第二位居民办理业务需分钟， 则概率为； 若第一位居民办理业务需分钟，第二位居民办理业务需分钟， 则概率为； 若第一位居民办理业务需分钟，第二位居民办理业务需分钟， 则概率为； 故第三位居民办理业务等待4分钟的概率为. 故选：C. 【典例1-2】（24-25高一下·新疆哈密·期末）在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项正确的是（    ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】确定所给事件的包含关系、概率的基本性质、判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件的概率加法公式 【分析】通过举反例说明A和B不正确；通过交事件的性质、并事件的概率的求法判断C和D. 【详解】对于A，若，则故A不正确； 对于B，若，则故B不正确； 对于C，由得，故C正确； 对于D，，而， 所以，故D不正确. 故选：C. 【典例1-3】(多选)（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）已知事件满足，，则下列结论正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】由互斥事件的概率，相互独立事件的概率公式逐项判断即可. 【详解】对于选项A，设一个盒子里有标号为 1 到 10 的小球, 从中摸出一个小球, 记下球的编号, 记事件A=“球的编号是偶数”， 事件B=“球的编号是1，2，3” ，事件C=“球的编号是奇数” 满足 , 但是 选项A错误; 对于选项B，如果 , 那么 ，选项B错误; 对于选项C， 如果与互斥，那么 , 所以选项C正确; 对于选项D，如果与相互独立，那么 ，所以选项D正确。 故选：CD 【典例1-4】（25-26高一下·北京·期末）已知随机事件满足，则下列结论 ：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【难度】0.65 【知识点】概率的基本性质、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用概率的性质结合已知即可推出①正确；再利用和事件的概率公式，即可得出判断． 【详解】对于①，， ， 又，所以， 故，①正确； 对于②③④，，结合， 可得，而， 所以，②正确，③错误，④正确． 【变式1-1】（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用与互为对立求出，再由互斥事件的概率加法公式即可求得答案. 【详解】由与互为对立，则， 又与互斥，则. 故选：B. 【变式1-2】（2025高一·全国·专题练习）投掷一枚质地均匀的骰子，记事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”，则一次试验中（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】由概率的基本性质进行运算即可. 【详解】解法1：因为，所以. 故选：B. 解法2：. 故选：B. 【变式1-3】（25-26高一上·江西赣州·期末）设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】概率的基本性质、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据概率的性质以及互斥事件的概率公式可得出关于实数的不等式组，由此可解得的取值范围. 【详解】因为、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，， 由题意可得，解得， 由互斥事件的概率公式可得， 由题意可得，解得， 故的取值范围是. 故选：A. 【变式1-4】（22-23高一下·河南洛阳·期末）从A班随机抽一名学生是女生的概率是，从B班随机抽一名学生是女生的概率是，现从两个班各随机抽一名学生，那么两名学生不全是女生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】分从A班选一名女生从B班选一名男生，从A班选一名男生从B班选一名女生和从A班选一名男生从B班选一名男生求解. 【详解】解：从A班选一名女生从B班选一名男生的概率为：； 从A班选一名男生从B班选一名女生的概率为：； 从A班选一名男生从B班选一名男生的概率为：， 所以两名学生不全是女生的概率是， 故选：A 【变式1-5】(多选)（22-23高一下·安徽淮南·期末）已知事件与，且，则下列结论正确的是（    ） A．如果与互斥，那么 B．如果与相互独立，则 C．如果与相互独立，那么 D．如果与相互独立，那么 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】对A，由A与互斥得概率加法公式可求；对B，由独立事件的概率乘法公式可求；对CD，由对立事件的概率求法可解. 【详解】对A，与互斥，则，A对； 对B，与相互独立，则，B对； 对C、D，A与相互独立， ，故C对D错； 故选：ABC 【变式1-6】（24-25高二上·江西宜春·阶段检测）有一种珍惜物种，对于其每个个体，每天都会发生如下事件：有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个，对所有新产生的生物每天也会发生上述事件，假设开始只有一个这样的珍惜生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过，则的最大值为______． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】若开始有个珍稀生物、最终灭绝的概率则为，由题知，由于，则，解之可得. 【详解】设开始有一个珍稀生物、最终灭绝的概率为， 那么若开始有个珍稀生物、最终灭绝的概率则为， 由题意知， 从而可得，即， 因为，所以，所以。 解之可得，故的最大值为. 故答案为： 题型02 概率加法公式与古典概型 【典例2-1】（25-26高一上·河南焦作·期末）现某人随机进行二进制码0，1的输入，输入结果如下：0，0，1，0，1，0，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，0，1，用频率估计概率，记其输入1的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率、用频率估计概率 【分析】根据题意，用频率估计概率进行求解. 【详解】经统计得共有18个结果，其中共有7个1，可得频率为， 由频率估计概率，得. 故选：B. 【典例2-2】（24-25高一下·河北邯郸·期末）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用概率的加法公式计算古典概型的概率、概率的基本性质 【分析】根据古典概型的概率公式，结合概率的加法公式求解. 【详解】基本事件空间为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36个基本事件. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.共27个基本事件，所以. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，. 共11个基本事件.所以. 事件包含的基本事件有： ，， ， ， ，.共6个基本事件. 所以. 根据概率的加法公式可得： . 故选：D 【典例2-3】(多选)（25-26高一下·浙江·开学考试）某学校对高二学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是（    ） A．该校高二学生总数为800 B．该校高二学生中选考物化地组合的人数为70 C．用分层随机抽样的方法从该校高二学生抽取80人，则生史地组合抽取16人 D．该校高二学生随机抽取一学生，该学生选考物理的概率与选考地理的概率相等 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率、根据扇形统计图解决实际问题、根据条形统计图解决实际问题、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据扇形图和条形图，读取相应选考组合的人数与占比，依题意逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因政史地有200人，占比25%，故该校高二学生总数为，故A正确； 对于B，因选考物化地和物化政组合的人数相等，故物化地组合的人数为，故B错误； 对于C，由题意，分层随机抽样的抽样比为，则生史地组合应抽取的人数为，故C正确； 对于D，因选考物化生、物化地、物化政组合的学生占比分别为，则学生选考物理的概率为； 而选考政史地、物化地、生史地组合的学生占比分别为，则学生选考地理的概率为，故D正确. 【典例2-4】（22-23高二下·江苏宿迁·期末）现有编号为1，2，3，…，的n个相同的袋子，每个袋中均装有n个形状和大小都相同的小球，且编号为的袋中有k个红球，个白球. 当n=5时，从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为_____；现随机从个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为，则n的值为_____. 【答案】 /0.3 10 【难度】0.65 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率、计算古典概型问题的概率、根据古典概型的概率求参数 【分析】利用古典概率进行求解，利用互斥事件概率加法公式解决即可. 【详解】当n=5时编号为3的袋中有3个红球，2个白球.则从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，摸到的两个球都是红球的概率为. 现随机从个袋子中任选一个，所以有n种选法； 假设袋子中有个红球，个白球， 从袋中无放回依次摸出三个球，有种方法； 若第三次取出的球为白球有四种情况：红红白、红白白，白红白，白白白，取法数为 ； 则若第三次取出的球为白球的概率为， 因为，所以第三次取出的球为白球的概率为 ，解得=10. 故答案为：. 【变式2-1】（22-23高一下·河北邢台·阶段检测）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】根据给定条件，计算，判断AD；分析事件,以及，并求对应的概率，即可判断BC. 【详解】设红球为，白球为，黄球为， 其中任取两个球的所有样本点包含 ，共15个， 事件所包含的样本点为 ，共4个， 所以， 故A错误； 表示取到的2个球，一个黄球一个白球，包含的样本点有 ，共6个，所以，故B错误； 事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件是含有1个白球 或没有白球的两个互斥事件和， 事件是必然事件，因此，故C正确； 事件与是对立事件，所以，故D错误. 故选：C 【变式2-2】（25-26高二上·吉林通化·开学考试）黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择景点出游的概率为，选择景点出游的概率为，两个景点都不选的概率为，则两个景点都选的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】记事件 为“选择景点 ”，事件 为“选择景点 ”，先由对立事件求得再根据一般事件的概率加法公式即可求得结果. 【详解】记事件 为“选择景点 ”，事件 为“选择景点 ”， 则事件为“两个景点都不选”，事件为“两个景点都选”. 由题意得， 由得，， ∴. 故选：B. 【变式2-3】（24-25高一下·浙江衢州·期末）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，并记录每次骰子朝上的面的点数，记事件为“第一次朝上的面的点数为质数”，事件为“两次朝上的面的点数之和为奇数”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】本题可先确定基本事件总数，再分别求出事件、事件、事件包含的基本事件数，最后根据概率的加法公式计算即可. 【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则基本事件总数. 骰子的点数为，其中质数有， 事件“第一次朝上的面的点数为质数”包含的基本事件数（第一次有种质数情况，第二次有种情况 ），则. 两次朝上的面的点数之和为奇数，则一次为奇数，一次为偶数. 第一次为奇数，第二次为偶数时，有种情况； 第一次为偶数，第二次为奇数时，有种情况. 所以事件包含的基本事件数，则. 事件表示“第一次朝上的面的点数为质数且两次朝上的面的点数之和为奇数”. 当第一次为，第二次需为奇数，有种情况； 当第一次为或，第二次需为偶数，各有种情况，共种情况. 所以。 根据概率加法公式. 故选：C 【变式2-4】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知某样本空间中共有18个样本点，其中事件有10个样本点，事件有8个样本点，事件有16个样本点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】结合题意，由概率加法公式计算可得的样本点个数，则可得的样本点个数，即可得解. 【详解】由题意可得事件共有个样本点，由有16个样本点， 又，故共有个样本点， 则有个样本点，故. 故选：C. 【变式2-5】(多选)（24-25高一下·河南洛阳·阶段检测）甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签．其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签．现从甲、乙两袋中各随机抽取1个号签，记事件；从甲袋中抽取号签1；事件：从乙袋中抽取号签5；事件：抽取的两个号签和为4；事件：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．事件与互斥 D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、判断所给事件是否是互斥关系、事件的运算及其含义 【分析】对于选项A，根据题意将的值求出来进行判断即可；对于选项B，首先列出满足事件的情况种数，然后除以总的情况数，即是概率值；对于选项C，可将事件的情况数一一列举出来，看是否与事件互斥；对于选项D，先求出，然后除以总情况数就是概率值. 【详解】根据题意，样本点有 ，，有种可能的结果， 则，所以，A正确； 事件包含的样本点有，共3种可能的结果，则，B正确； 事件包含的样本点有， ，共15种可能的结果， 显然事件与不互斥，C错误； ，D正确． 故选：ABD. 【变式2-6】（21-22高二上·上海徐汇·期中）一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为___________. 【答案】0.9/ 【难度】0.85 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】利用概率加法公式直接求解. 【详解】一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3， ∴他的数学和物理至少有一门超过90的概率为：. 故答案为：0.9. 题型03 对立事件的概率 【典例3-1】（24-25高一下·全国·课后作业）甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为（    ） A．0.2 B．0.8 C．0.4 D．0.1 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用对立事件的概率公式即可得解. 【详解】因为在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，又不出现平局， 所以由对立事件的概率公式可得，乙获胜的概率为. 故选：B. 【典例3-2】（24-25高一下·云南楚雄·期末）冒险棋是一种多人参与的休闲益智类棋类游戏，其核心玩法如下：玩家从起点出发，通过掷骰子决定棋子移动步数，并结合陷阱等特殊路径机制行进，先到达终点者获胜（掷到几点，棋子就前进几步，若棋子停止的格子上有冒险文字，则玩家需按照冒险文字指示完成相应操作）．如图，已知甲执红棋、乙执蓝棋来到了同一个位置，甲先掷一次骰子，乙再掷一次骰子，则红棋比蓝棋更靠近终点的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意，红旗、蓝旗与终点的距离相等有点数相同以及点数为4或6两类情况，利用对立事件的概率关系求解. 【详解】当甲、乙各自掷骰子得到的点数相同以及点数为4或6时，最后都会停留在同一个位置， 则红旗、蓝旗与终点的距离相等有种情况，故所求概率为. 故选：D. 【典例3-3】(多选)（21-22高一·全国·课后作业）下列结论正确的是（   ） A．若，互为对立事件，，则 B．事件，，两两互斥，则事件与互斥 C．事件与对立，则 D．若与互斥，则它们的对立事件也互斥 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】通过互斥事件和对立事件的定义与概率性质，逐一分析各选项即可. 【详解】若，互为对立事件，则，已知，可得，故A正确； 事件两两互斥，则事件不能同时发生，则事件与也不可能同时发生， 则事件与互斥，故B正确； 事件与对立，则，故C正确； 若，互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故D错误. 故选：ABC 【典例3-4】（24-25高一下·福建福州·期末）已知事件A的对立事件为，，．若，则______，______ 【答案】 0.6 0.3 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】事件A的对立事件为求出，因为，则，，从而求出相应概率值. 【详解】已知事件A的对立事件为，则, 因为，根据并事件的性质： 所以; 因为，根据交事件的性质：. 所以. 故答案为：；. 【变式3-1】（23-24高一下·山东烟台·期末）已知事件A与事件互为对立事件，且，则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据对立事件的概率之和为1求解即可. 【详解】因为事件A与事件互为对立事件， 所以， 故选：C. 【变式3-2】（24-25高一下·四川乐山·期末）小王参加射击比赛考核，每次射击命中目标的概率为0.8，规定若第一次命中，才能进入第二次射击，且这两次射击相互独立．第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分，那么小王此次考核得分不低于10分的概率是（   ） A．0.16 B．0.64 C．0.8 D．0.96 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据已知条件结合对立事件概率公式计算求解. 【详解】第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分， 那么小王此次考核得分低于10分的概率是， 则小王此次考核得分不低于10分的概率是. 故选：C. 【变式3-3】（24-25高一下·湖北武汉·期末）某汽车调查研究机构从4辆燃油车和2辆新能源车中随机选出3辆去参加一项智能驾驶测试大赛，则选出的3辆中至少有1辆新能源车的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】利用古典概型的概率计算公式，结合对立事件概率之间的关系求解. 【详解】设“选出的3辆车都是燃油车”为事件，则. 设“选出的3辆中至少有1辆新能源车”为事件，则事件、为对立事件， 所以. 故选：C 【变式3-4】（22-23高一下·河南洛阳·阶段检测）已知集合，且，则关于的方程无实数根或的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、解不含参数的一元二次不等式 【分析】求得取值的样本空间，求出“方程有实数根且”对应的事件的概率，利用对立事件间的概率关系求解. 【详解】由题意得， 则取值的样本空间为 ，共25个样本点． 关于的方程有实数根时，，得， “方程有实数根且”对应的事件为，含有3个样本点， 所以所求的概率为． 故选：C. 【变式3-5】(多选)（24-25高一上·江西宜春·期末）下列说法中正确的有（ ） A．已知一组数据，，，，，的平均数为，则这组数据的中位数是 B．函数的定义域是，则函数的定义域为 C．若事件A与互为对立事件，则 D．不等式的解集是 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】分式不等式、计算几个数的中位数、抽象函数的定义域、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】对于A，由平均数可得，然后可得中位数；对于B，由函数定义域概念可判断选项正误；对于C，由对立事件概率关系可判断选项正误；对于D，解分式不等式可判断选项正误. 【详解】对于A，因，，，，，的平均数为， 则， 则这组数据从小到大排列为1，2，7.5，8，8.5，9， 中位数为第3个数据，第4个数据的平均数，即为.故A错误； 对于B，因的定义域是，则的定义域为. 故B正确； 对于C，因A与互为对立事件，则，故C正确； 对于D， ， 故不等式解集为：，故D正确. 故选：BCD 【变式3-6】（24-25高二下·河南商丘·期中）某集团军举行登岛演习，演习要求该集团军的导弹旅捣毁岛上的目标，导弹旅的每辆登陆艇每次发射一枚导弹，由于受到天气以及“敌方”反导弹的拦截，命中率是，至少要有一枚导弹击中目标，才能说明目标被捣毁，因此采用多辆登陆艇同时发射导弹的方法去捣毁目标．至少需要______辆登陆艇同时发射导弹，才能有不小于的把握保证目标被捣毁．（参考数据：） 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据对立事件的概率之间的关系列式，再利用对数的运算性质求解. 【详解】设至少需要辆登陆艇同时发射导弹，才能有不小于的把握保证目标被捣毁． 则 . 所以至少需要4辆登陆艇同时发射导弹. 故答案为：4 题型04 独立事件与概率乘法公式 【典例4-1】（24-25高一下·吉林长春·期末）有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，则（   ） A． B．与为互斥事件 C．与为相互独立事件 D．与为对立事件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】对于A，由古典概型概率计算公式求解即可；对于BD，由互斥、对立的概念判断BD；对于C，由独立事件的定义判断即可. 【详解】样本空间， ，， 对于A，，故A错误； 对于BD，，故BD错误； 对于C，，故C正确. 故选：C. 【典例4-2】（25-26高一上·江西景德镇·期末）已知为两个随机事件，，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若独立，则 C．若独立，则 D．若互斥，则 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】分别根据相互独立事件的概率，互斥事件的概率，包含事件的概率的定义及公式计算可得. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为独立，所以与也相互独立， 所以，故B错误； 对于C：若独立，根据并事件的概率公式得 ，故C正确； 对于D：互斥，由概率的加法公式可得，故D正确. 故选：B 【典例4-3】(多选)（25-26高一上·河南·期末）已知事件，且，则下列说法正确的是（    ） A．A与B是对立事件 B．若A与B相互独立，则 C．若A与B相互独立，则 D．若A与B相互独立，则P(A∪B)=0.76 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】独立事件的判断、确定所给事件的对立关系 【分析】先根据对立事件的定义排除A选项，再利用相互独立事件的概率公式分别计算B、C、D选项的概率，从而判断正误. 【详解】对于选项A，对立事件需满足 且 ， 仅 不满足互斥条件，故A错误. 若 与 相互独立，则 . ，故B错误，C正确. ，故D正确. 故选：CD 【典例4-4】（25-26高一上·安徽·期末）如图，用三个不同的元件连接成一个系统.当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知正常工作的概率依次为，则系统正常工作的概率为___________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】先计算元件至少有一个正常工作的概率，从而可得系统正常工作的概率. 【详解】因为元件至少有一个正常工作的概率为， 所以系统正常工作的概率为. 故答案为： 【变式4-1】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】利用独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式即可求解. 【详解】记“甲射中10环”为事件，“乙射中10环”为事件，， 甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为： . 故选：D． 【变式4-2】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，B表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，C表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（    ） A．A与B为相互独立事件 B．A与C为互斥事件 C．B与C为相互独立事件 D．B与C为互斥事件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件的概念和独立事件的定义进行判断即可. 【详解】根据题意可知，. 第一次抛掷骰子的点数为2，且第一次抛掷骰子的点数为奇数的概率为0， 即，所以不相互独立，所以A错误； 第一次抛掷骰子的点数为奇数，两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有. 所以，所以相互独立，所以C正确； 第一次抛掷骰子的点数为2，且两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有， 这说明能同时发生，所以不是互斥事件，B错误； 第一次抛掷骰子的点数为奇数，两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有. 这说明能同时发生，所以不是互斥事件，D错误； 故选：C. 【变式4-3】（25-26高一上·北京·期末）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用对立事件的概率求解，由于小球落入B袋情况简单易求，记小球落入B袋中的概率，利用求出. 【详解】记小球落入袋中的概率， 记小球落入袋中的概率，则， 小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋， ，. 故选：C. 【变式4-4】（25-26高一上·辽宁·期末）已知事件相互独立，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式列出关于和的方程组，求解即可. 【详解】∵ 事件相互独立，， ∵事件与也相互独立，， 两式相除可得，解得. 故选：B. 【变式4-5】(多选)（25-26高一上·辽宁丹东·期末）设事件满足，则下列命题正确的有（   ） A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则 C． D．若，则 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、概率的基本性质 【分析】由条件证明，结合独立事件的定义判断A；若与相互独立，由概率的加法公式求结论判断B；当时，有最小值，当与互斥时，有最大值，故C正确；若，所以；，所以，故D错误. 【详解】对于A，因为，所以， 由，得， 因为，所以，所以与相互独立，故A正确； 对于B，若与相互独立，则，由概率的加法公式 ，故B正确； 对于C，当时，有最小值， 当与互斥时，有最大值； 所以，故C正确； 对于D，若，则，所以； 又因为，根据德摩根定律有，又因为，所以，故 所以；所以，故D错误； 故选：ABC. 【变式4-6】（25-26高一下·江西上饶·期中）已知随机事件相互独立，且，，则________. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【详解】因为相互独立，所以、也相互独立，又，， 所以. 一、单选题 1.（24-25高一下·吉林·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.7 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率、概率的基本性质 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【详解】由和对立，可得，则， 又由随机事件和互斥可知， 所以. 故选：D． 2.（2025高一·全国·专题练习）已知事件和是一个随机试验中的两个事件，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】概率的基本性质、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及概率的基本性质求解. 【详解】由，得， 又，则，而， 所以. 故选：A 3.（23-24高一下·宁夏固原·期末）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，由对立事件的性质求解即可. 【详解】因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立， 所以甲获胜的概率为. 故选：. 4.（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，，若，互斥，则（    ） A．0.36 B．0.54 C．0.6 D．0.9 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】根据，互斥，，求解即可. 【详解】因为，互斥，所以，， 故， 故选：D. 5.（22-23高一下·重庆·期末）在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、根据古典概型的概率求参数 【分析】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，据此可得答案. 【详解】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为， 则. 故选：B 6.（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知某随机试验中，事件，，发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（   ） A．与是互斥事件，且是对立事件 B．一定是必然事件 C． D．的概率一定等于0.5 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件与对立事件关系的辨析、互斥事件的概率加法公式、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】结合概率运算公式和互斥事件、对立事件、必然事件的概念，求解即可. 【详解】选项A：若与是互斥事件，则， 若是对立事件，则（样本空间）， 题干中未说明事件，，之间的关系，无法确定与是否互斥、对立，故A错误. 选项B：若事件，，互斥，则， 若事件，，存在包含关系，则概率会小于1，因此不一定是必然事件，故B错误. 选项C：. 又，所以．该结果满足，故C正确. 选项D：. 只有当事件，互斥时，，此时， 因此的概率不一定等于0.5，故D错误. 7.（23-24高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、独立事件的实际应用 【分析】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，根据题意列出的所有可能，结合独立事件乘法公式即可求解. 【详解】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为， 则甲最终获胜的概率为 . 故选：D. 8.（25-26高二下·上海·期中）田忌赛马的故事一直为人所津津乐道，共体现了博弈的魅力.已知甲有三匹马，乙有三匹马，这些马之间比赛获胜的概率如下表所示.甲和乙进行三轮赛马游戏，每轮比赛甲和乙各选择一匹马比拼胜负，且每匹马至多进行两轮比赛，最终胜的轮数多的人获胜.在比赛之前，甲和乙先根据下表采用最优的选马策略选出所有参赛的马，并确定它们的参赛顺序，有下列两个命题： ①若，甲最优的选马策略为让马出战一次，马出战两次； ②若，，三轮游戏结束后，甲赢的概率为. 马与马对弈时，马获胜的概率 则下列说法正确的是（   ） A．命题①正确，命题②正确 B．命题①正确，命题②错误 C．命题①错误，命题②正确 D．命题①错误，命题②错误 【答案】B 【难度】0.28 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】为获得胜利，甲、乙会优先选择对阵所有对手平均胜率更高的马匹参赛. 【详解】对于命题①，若，赢的概率高于和， 所以甲优先选择对阵所有对手胜率更高的马匹参赛， 尽可能多出战，但最多出战两次，所以让出战两次， 又因为赢的概率高于，所以马出战一次，故①正确； 对于命题②，若，， 胜率表为： 甲方较优的参赛马应为一次、两次；乙方为了降低甲胜率，应取两次、一次. 这时不管怎么排顺序，甲三轮单场胜率只会出现两类情况： 一种是.则甲至少赢两轮的概率为 另一种是；则甲至少赢两轮的概率为 这两个值都不是，如果把双方的出战顺序也按随机来计算，概率会是，也不是. 故命题②错误. 二、多选题 9.（24-25高一下·河北·期末）已知事件两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】利用互斥事件满足的关系式，对选项一一分析求解，求出答案. 【详解】A选项，因为事件两两互斥， 所以，则，所以，故A错误； B选项，，则，故B正确； C选项，，故C正确； D选项，，故D错误. 故选：BC. 10.（21-22高一·全国·单元测试）某社区开展“防疫知识竞赛”，甲､乙两人荣获一等奖的概率分别为p和q，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率、事件的运算及其含义 【分析】令且A、B相互独立，从正反两个角度，利用事件的关系及含义表示出两人中至少有一人获得一等奖，进而求出其概率即可. 【详解】记A为“甲获得一等奖”，B为“乙获得一等奖”，则且A、B相互独立. 从正面考虑，甲､乙两人中至少有一人获得一等奖为，为三个互斥事件， 所以； 从反面考虑，事件“甲､乙两人中至少有一人获得一等奖”的对立事件是“甲､乙两人都没获得一等奖”，即事件，易得， 所以“这两人中至少有一人获得一等奖”的概率为，综上，A、D正确. 故选：AD 11.（22-23高二上·湖北荆州·期末）疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（    ） A． B．事件与互斥 C． D．事件与对立 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系、有放回与无放回问题的概率 【分析】根据有放回的随机取两次结果36种逐个分析判断即可解决. 【详解】由题知，从中有放回的随机取两次，结果有（记为）： 共36种， 若，此时取或所以，故A错误； 若，则恒成立，所以与互斥，故B正确； ，故C正确； 当时，，此时事件与均未发生， 所以事件与不对立，故D错误. 故选：BC 三、填空题 12.（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则______． 【答案】0.6/ 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用互斥事件和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】随机事件和互斥，则． 又和对立，. 故答案为：0.6． 13.（2025·广东广州·一模）事件，，且，则______． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】概率的基本性质、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】由事件的包含关系可得，根据对立事件的关系计算可得. 【详解】因为事件，，所以， 因为，所以，. 故答案为： 14.（24-25高三上·上海青浦·阶段检测）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是__________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式,即可得出. 【详解】前局中，因第局甲当裁判，则乙恰好当1次裁判的事件A，设乙第二局当裁判的事件A1、乙第三局当裁判的事件A2，乙第二局当裁判的事件A3，它们互斥， 乙第二局当裁判的事件是乙在第一局输，第三局胜，则, 乙第三局当裁判的事件是乙在第一局胜，第二局输，则， 乙第四局当裁判的事件是乙在第一局胜，第二局胜，第三局输，则， 所以 故答案为：. 四、解答题 15.（25-26高一下·全国·课堂例题）一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出一个球，取出红球的概率为，取出黑球的概率为，取出白球的概率为，取出绿球的概率为． (1)求取出的1个球是红球或黑球的概率； (2)求取出的1个球不是绿球的概率． 【答案】(1)；(2) 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式计算即可. （2）根据对立事件的概率公式计算即可. 【详解】（1）记事件任取1球为红球，事件任取1球为黑球，事件任取1球是绿球， 显然彼此互斥． 所以取出1个球是红球或黑球的概率为． （2）取出一个球不是绿球与是绿球为对立事件，． 16.（25-26高一下·全国·课堂例题）某商店月收入（单位：元）在下列范围内的概率如下表： 月收入范围 概率 0.12 0.25 0.16 0.14 (1)求月收入在范围内的概率； (2)求月收入在范围内的概率； (3)求月收入不在范围内的概率． 【答案】(1)；(2)；(3) 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）应用互斥事件概率和公式计算求解； （2）应用互斥事件概率和公式计算求解； （3）应用对立事件概率公式及互斥事件概率和公式计算求解； 【详解】（1）记这个商店月收入在，，，范围内的事件分别为，，，，则这4个事件彼此互斥． 月收入在范围内的概率是 （2）月收入在范围内的概率是 （3）月收入不在范围内的概率是 17.（25-26高二上·湖南常德·开学考试）某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色和标号外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回地抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖．班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数,且不是5的倍数获三等奖，其余不获奖． (1)求两种规则下获得二等奖的概率； (2)请问哪种规则的获奖概率更大，并说明理由． 【答案】(1)；(2)两种规则的获奖概率一样大，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用概率的加法公式计算古典概型的概率、写出样本空间、有放回与无放回问题的概率 【分析】（1）（2）列出两次抽取小球的所有可能结果，根据古典概型的概率求法求得两种规则分别获得一、二、三等奖的概率， 进而得到两种规则的获奖概率，即可解决问题. 【详解】（1）据题意，两次抽取小球的所有可能结果为： 记规则一获得二等奖为事件，记规则二获得二等奖为事件， 事件包含五个样本点，故， 事件包含五个样本点，故． 所以两种规则下获得二等奖的概率均为. （2）两种规则的获奖概率一样大．理由如下： 记规则一获得一、二、三等奖分别为事件 由(1)可知事件包含两个样本点，所以 事件包含,共12个样本点，所以 由(1)知， 所以规则一的获奖概率为 记规则二下获得一、二、三等奖分别为事件 事件包含两个样本点，； 事件包含，共十二个样本点，； 由(1)知， 所以规则二的获奖概率. 所以两种规则的获奖概率一样大． 18.（21-22高一下·陕西咸阳·期中）下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1~5分五个档次．设x、y分别表示英语成绩和数学成绩．表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的共5人． x 5 4 3 2 1 5 1 3 1 0 1 4 1 0 7 5 1 3 2 1 0 9 3 2 1 b 6 0 a 1 0 0 1 1 3 (1)x=4的概率是多少？x=4且y=3的概率是多少？x≥3的概率是多少？ (2)x=2的概率是多少？a＋b的值是多少？ 【答案】(1)，，；(2)，3. 【难度】0.65 【知识点】根据古典概型的概率求参数、计算古典概型问题的概率、利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】（1）求出事件“x=4”、“x=4且y=3”的人数，再用古典概率求解，求出“x=3”、“x=5”的概率，利用互斥事件概率公式计算作答. （2）利用对立事件的概率公式求出事件“x=2”的概率，进而求出a+b的值. 【详解】（1）由数表知，x=4的事件有14人，其概率为：， x=4且y=3的事件有7人，其概率为：且， x≥3的事件是x=3的事件，x=4的事件，x=5的事件的和，它们互斥，而， ， 因此，. （2）x=1的事件概率为，x=2的事件的对立事件是x=1的事件与x≥3的事件的和，它们互斥事件， 则有， 而，即有，解得， 所以x=2的概率是，a＋b的值是3. 19.（24-25高一上·河南南阳·期末）某班级在庆元旦联欢会时，主持人安排了跳双人舞、独唱、和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与，把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生．将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． (1)为了选出2人来表演双人舞，不放回地抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率； (2)为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并记录第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求： ①独唱和独奏由同一个人表演的概率； ②选出的不全是男生的概率． 【答案】(1)；(2)①；② 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）由题意，列出不放回地抽取2张卡片，抽取的所有可能结果，满足条件的事件是连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生，包括两种情况，一是一男一女，二是两女，这两种情况是互斥的，方法1：根据古典概型概率公式得到结果；方法2 ：得出取出的2人全是男生包含的样本点个数，再利用对立事件求出概率； （2）①试验发生包含的事件是有放回地连续抽取2张卡片，列举出所有的事件共有25种结果，找出满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果；②“选出的不全是男生”其对立事件为“选出的全是男生”，求出包含的样本点个数，再求出概率. 【详解】（1）把抽取2张卡片的结果记为， 其中i表示第一次抽取的卡片号，j表示第二次抽取的卡片号． 依题意，不放回地抽取2张卡片，抽取的所有可能结果为： ， ， ， ， ， 共有20种可能的结果． 用事件A表示“选出的2人不全是男生”． 方法1：  依题意知事件A包含的样本点有 ， ，共有14种可能的结果， 因此，，即选出的2人不全是男生的概率为． 方法2 ： 依题意知事件A的对立事件 “取出的2人全是男生”包含的样本点有 ，共有6种可能的结果， 因此，，即选出的2人不全是男生的概率为． （2）抽取的所有可能结果为： ， ， ， ， ， 共有25种可能的结果． 设事件B表示“独唱和独奏由同一个人表演”， 则事件B所包含的样本点有，共有5种可能的结果， 因此，，即独唱和独奏由同一个人表演的概率为． 设事件C表示“选出的不全是男生”，其对立事件C表示“选出的全是男生”， 包含的样本点有，共有9种可能的结果， 因此，，即选出的不全是男生的概率为． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5-3概率的运算讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01互斥事件与概率加法公式 5-3概率的运算 题型02概率加法公式与古典概型 知识点01互斥事件与对立事件的概率 题型03对立事件的概率 题型04独立事件与概率乘法公式 知识点02事件的独立性 教学目标、教学重难点 教学目标 理解掌握概率的加法公式与乘法公式，掌握互斥事件、对立事件、独立事件的概率计算. 教学重难点 概率的加法公式与乘法公式 教学难点 概率的加法公式与乘法公式应用条件. 知识清单 知识点01互斥事件与对立事件的概率 1.如果事件A与事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B): 2.如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)+P(B)=1 3.设A,B是一个随机试验中的两个事件，有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B) 【即学即练1-1(24-25高一下.福建福州·期末)已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P(C)=0.6,P(B)=0.4, 则P(A+B)=() A.0.8 B.0.5 C.0.4 D.0.16 【即学即练1-2】（多选）（25-26高一上江西抚州·期末)抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件A表示 “第一枚掷出的点数为偶数”，事件B表示“第二枚掷出的点数为奇数”，事件C表示“两枚骰子掷出的点数之 和为6”，事件D表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则下列说法中正确的有() A.A与B是相互独立事件 B.A与B是互斥事件 C.A∩B与C是对立事件 D.P(CUD)= 知识点02事件的独立性 1.相互独立事件：如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立. 注意：当三个事件A、B、C两两独立时，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立. 2.若事件A与事件B相互独立，则A与B,A与B,A与B也相互独立 【即学即练2-1】(2025高一.全国.专题练习)某种开关在电路中闭合的概率为p,现将4只这种开关并联在 某电路中，如图，若该电路为通路的概率为需则即=() 第1页共13页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 8. C. 【即学即练2-2】（多选）(24-25高一下·广西柳州期末)有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6， 从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A:第一次取球 编号数字小于3；B:第二次取球编号数字为偶数；C:第三次取球编号为6；D:前两次取球编号数字和为 7::第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是() A.P(D)= B.事件A与事件C相互独立 C.事件A与事件E相互独立 D.事件A与事件B相互独立 题型精讲 题型01互斥事件与概率加法公式 【典例1-1】(25-26高一上辽宁锦州·期末)某社区为了更好地开展便民服务，对一周内居民办理业务所需 要的时间进行统计，结果如下表.假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟在某一天，第 三位居民来到社区时第一位居民恰好开始办理业务，则他等待4分钟才开始办理业务的概率为() 办理业务所需 要的时间（分） 频率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 A.0.04 B.0.08 C.0.12 D.0.16 【典例1-2】(24-25高一下·新疆哈密期末)在一次随机试验中，三个事件A,B,C发生的概率分别是0.4， 0.5,0.6,则下列选项正确的是() A.AUBUC是必然事件 B.A与B是互斥事件 C.P(A∩B)≤0.4 D.P(AUB)=1.1 【典例1-3】（多选）(25-26高一上辽宁抚顺.期末)已知事件A,B,C满足P(A)=0.6,P(B)=0.2,则下列结 论正确的是() A.如果P(AUBUC)=1,那么P(C)=0.2B.如果B∈A,那么P(AUB)=0.2 C.如果A与B互斥，那么P(AUB)=0.8 D.如果A与B相互独立，那么P(AB)=0.32 【典例1-4】(25-26高-下.北京期末)已知随机事件A,B满足P(AnD)=P(AnB)=,P(AUB)=1,则 下列结论：①P(A)=P(B):②P(A)=:③P(A)=是④P(AnB)=子其中所有正确结论的序号是 第2页共13页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-1】(24-25高一下.甘肃临夏，期末)已知A,B,C为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且P(A)=0.2, P(C)=0.6,则P(AUB)=() A.0.5 B.0.6 c.0.7 D.0.8 【变式1-2】(2025高一全国.专题练习)投掷一枚质地均匀的骰子，记事件A表示“出现小于5的偶数点”， 事件B表示“出现小于5的点数”，则一次试验中P(A+B)=() A.1 B. C. D. 【变式1-3】(25-26高一上江西赣州期末)设A、B两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于0，若 P(A)=2-a,P(B)=4a-6,则实数a的取值范围是() A.哥 B.) c.) D. €，2) 【变式1-4】(22-23高一下河南洛阳期末)从A班随机抽一名学生是女生的概率是从B班随机抽一名学 生是女生的概率是，现从两个班各随机抽一名学生，那么两名学生不全是女生的概率是() A. B. c. 0.君 【变式1-5】（多选）(22-23高一下.安徽准南期末)已知事件A与B,且P(A)=0.4,P(B)=0.1,则下列结论 正确的是() A.如果A与B互斥，那么P(AUB)=0.5 B.如果A与B相互独立，则P(AB)=0.04 C.如果A与B相互独立，那么P(AB=0.96D.如果A与B相互独立，那么P(AB=0.54 【变式1-6】(24-25高二上江西宜春阶段检测)有一种珍惜物种，对于其每个个体，每天都会发生如下事 件：有(0≤卫≤1)的概率消失，有，的概率保持不变，有，的概率分裂成两个，对所有新产生的生物每 天也会发生上述事件，假设开始只有一个这样的珍惜生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过号，则 的最大值为 题型02概率加法公式与古典概型 【典例2-1】（25-26高一上河南焦作·期末)现某人随机进行二进制码0,1的输入，输入结果如下：0,0， 1,0,1,0,1,0,0,1,1,0,0,0,0,1,0,1,用频率估计概率，记其输入1的概率为p,则p=（) A是 B.18 7 c 【典例2-2】(24-25高一下·河北邯郸期末)抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的 点数若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用(x,y)表示一次试验的结果设A=“两个点数 第3页共13页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 之积是偶数”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，则P(AUB)=() A. B.月 C.3 1 【典例2-3】（多选）（25-26高一下·浙江·开学考试)某学校对高二学生选科情况进行了统计，发现学生选科 仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并 绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是() 人数（单位：人） 物化地 300 250 200 物化生 物化政 200 60 35% 150 生史地 100 政史地 50 25% 政 物 生组合 化 地 地 A.该校高二学生总数为800 B.该校高二学生中选考物化地组合的人数为70 C.用分层随机抽样的方法从该校高二学生抽取80人，则生史地组合抽取16人 D.该校高二学生随机抽取一学生，该学生选考物理的概率与选考地理的概率相等 【典例2-4】(22-23高二下·江苏宿迁·期末)现有编号为1,2,3，.，n(n>2,n∈N*)的n个相同的袋子， 每个袋中均装有个形状和大小都相同的小球，且编号为k(k=1,2,3,…,n)的袋中有k个红球，n-k个白 球.当5时，从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为：现随 机从个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为品则加的 值为一 【变式2-1】(22-23高一下河北邢台阶段检测)口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取 出2球，事件A=取出的两球同色”，事件B=取出的2球中至少有一个黄球”，事件C=“取出的2球至少 有一个白球”，事件D=“取出的2球不同色”，E=“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是() A.P(A=号 B.P(BnC)=C.P(CUE)=1 D.P(D)= 【变式2-2】(25-26高二上·吉林通化开学考试)黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区， 在五一假期期间展现出独特的旅游魅力.对于A,B两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择A景点出 游的概率为：，选择B景点出游的概率为品，A,B两个景点都不选的概率为品则A,B两个景点都选的概率为 () A c 【变式2-3】(24-25高一下.浙江衢州·期末)连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，并记录每次骰子朝上的面 第4页共13页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的点数，记事件A为“第一次朝上的面的点数为质数”，事件B为“两次朝上的面的点数之和为奇数”，则P(AU B)=() A. B. C. 【变式2-4】(23-24高二上·浙江杭州·期中)已知某样本空间中共有18个样本点，其中事件A有10个样本点， 事件B有8个样本点，事件AUB有16个样本点，则PA∩B)=() A. B. C. D. 【变式2-5】（多选）(24-25高一下河南洛阳阶段检测)甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相 同的号签.其中甲袋中有编号为1,2,3的三个号签：乙袋中有编号为1,2,3,4,5,6的六个号签.现 从甲、乙两袋中各随机抽取1个号签，记事件A;从甲袋中抽取号签1；事件B:从乙袋中抽取号签5；事件 C:抽取的两个号签和为4；事件D:抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是() A.P(A)=2P(B)B.P(C)=若C.事件C与D互斥D.P(CnD)= 【变式2-6】(21-22高二上·上海徐汇·期中)一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超 过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为 题型03对立事件的概率 【典例3-1】(24-25高一下·全国课后作业)甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若 不出现平局，那么乙获胜的概率为() A.0.2 B.0.8 C.0.4D.0.1 【典例3-2】（24-25高一下·云南楚雄·期末)冒险棋是一种多人参与的休闲益智类棋类游戏，其核心玩法如 下：玩家从起点出发，通过掷骰子决定棋子移动步数，并结合陷阱等特殊路径机制行进，先到达终点者获 胜（掷到几点，棋子就前进几步，若棋子停止的格子上有冒险文字，则玩家需按照冒险文字指示完成相应 操作).如图，已知甲执红棋、乙执蓝棋来到了同一个位置，甲先掷一次骰子，乙再掷一次骰子，则红棋比 蓝棋更靠近终点的概率为() A品 8. c岛 7 第5页共13页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 终点 骑上恐龙发现一条 前进2步 小路，前进 踩到水坑 后退2步 @@ 起点 【典例3-3】（多选）(21-22高一全国·课后作业)下列结论正确的是() A.若A,B互为对立事件，P(A)=1,则P(B)=0B.事件A,B,C两两互斥，则事件A与B+C互斥 C.事件A与B对立，则P(A+B)=1 D.若A与B互斥，则它们的对立事件也互斥 【典例3-4】(24-25高一下·福建福州期末)已知事件A的对立事件为A,P(A①=0.4，P(B)=0.3.若BcA, 则P(AUB)=,P(AB)=— 【变式31】(23-24高一下山东烟台期末)已知事件A与事件B互为对立事件，且P(A)=0.4,则P(B)=() A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7 【变式32】(24-25高一下四川乐山期末)小王参加射击比赛考核，每次射击命中目标的概率为0.8，规定 若第一次命中，才能进入第二次射击，且这两次射击相互独立.第一次未命中得0分，仅第一次命中得10 分，两次都命中可得20分，那么小王此次考核得分不低于10分的概率是() A.0.16 B.0.64 c.0.8 D.0.96 【变式33】(24-25高一下·湖北武汉·期末)某汽车调查研究机构从4辆燃油车和2辆新能源车中随机选出 3辆去参加一项智能驾驶测试大赛，则选出的3辆中至少有1辆新能源车的概率为() A.吉 B.月 C. 0.8 【变式3-4】(22-23高一下·河南洛阳·阶段检测)己知集合A={x∈ZIx2-6x+5≤0}，且a∈A,b∈A,则 关于x的方程x2+ax+b2=0无实数根或a-bl<3的概率为() A.目 B.5 c器 第6页共13页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式35】（多选）(24-25高一上江西宜春期末)下列说法中正确的有() A.己知一组数据1,2，m,8,m+1,9的平均数为6，则这组数据的中位数是8 B.函数f(x)的定义域是[-2,2]，则函数f(x+1)的定义域为[-3,1] C.若事件A与B互为对立事件，则P(A)+P(B)=1 D.不等式>1的解集是{x-<x<0} 【变式36】(24-25高二下·河南商丘·期中)某集团军举行登岛演习，演习要求该集团军的导弹旅捣毁岛上 的M目标，导弹旅的每辆登陆艇每次发射一枚导弹，由于受到天气以及“敌方”反导弹的拦截，命中率是80%， 至少要有一枚导弹击中M目标，才能说明M目标被捣毁，因此采用多辆登陆艇同时发射导弹的方法去捣毁M 目标.至少需要 辆登陆艇同时发射导弹，才能有不小于99.5%的把握保证M目标被捣毁.（参考数据： 1g2≈0.3010) 题型04独立事件与概率乘法公式 【典例41】（24-25高一下·吉林长春期末)有4张相同的卡片，分别标有数字1,2,3,4，从中有放回地 随机取两次，每次取1张卡片，A1表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，A2表示事件“两次取出的 卡片上的数字之和为5”，则() A.P(A1)=P(A2)B.A1与A2为互斥事件C.A1与A2为相互独立事件D.A1与A2为对立事件 【典例4-2】(25-26高一上江西景德镇期末)已知A,B为两个随机事件，P(A)=0.2,P(B)=0.5,则下列结 论错误的是() A.若A∈B,则P(AB)=0.2 B.若A,B独立，则P(AB)=0.1 C.若A,B独立，则P(A+B)=0.6 D.若A,B互斥，则P(A+B)=0.7 【典例43】（多选）（25-26高一上河南·期末)己知事件A,B,且P(A)=0.6,P(B)=0.4,则下列说法正确的 是() A.A与B是对立事件 B.若A与B相互独立，则P(AB)=0.6 C.若A与B相互独立，则P(AB)=0.16 D.若A与B相互独立，则PAUB)=0.76 【典例44】（25-26高一上，安徽期末)如图，用K,A1,A2三个不同的元件连接成一个系统.当元件K正常 工作且元件A1,A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，己知K,A1,A2正常工作的概率依次为0.8,0.6,0.6， 则系统正常工作的概率为 A A 【变式41】(24-25高一下·黑龙江哈尔滨，期末)已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为， 且甲、 第7页共13页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中0环的概率为() A B. C.i D.号 【变式42】(24-25高一下·黑龙江哈尔滨期末)依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次抛掷骰 子的点数为2”，B表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，C表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”， 则() A.A与B为相互独立事件 B.A与C为互斥事件 C.B与C为相互独立事件 D.B与C为互斥事件 【变式43】(25-26高一上北京期末)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球 将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到黑 色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为() A. 1 B.Z C. .日 B 【变式44】(25-26高一上辽宁，期末)已知事件A,B相互独立，且P(AB)=P(AB)=则P(B)=() A月 B青 C. 0.日 【变式45】（多选）(25-26高一上辽宁丹东·期末)设事件A,B满足P(A)=0.2,P(B)=0.3,则下列命题正确 的有() A.若P(AB)=0.14,则A与B相互独立 B.若A与B相互独立，则P(A+B)=0.44 C.0.3≤P(A+B)≤0.5 D.若A∈B,则P(AB=P(AB) 【变式46】(25-26高一下江西上饶期肿)己知随机事件A,B相互独立，且P(A)=子，P(B)=子则 P(AB)= 强化训练 一、单选题 1.(24-25高一下.吉林.期末)己知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P(C)=0.6,P(B)=0.3,则P(AUB)= () A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.7 第8页共13页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2025高一全国专题练习)已知事件A和B是一个随机试验中的两个事件，若P(A)=,P(⑧)=号且 PAB)=告则P(A+B)=() A.是 B品 c 0.8 3.(2324高一下.宁夏固原期末)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是影，则甲获胜 的概率是() A.合 B.月 c 0.8 4.(24-25高一下江苏淮安期末)己知P(A)=0.6,P(B)=0.3,若A,B互斥，则P(AB)+P(AB=() A.0.36 B.0.54 C.0.6 D.0.9 5.(22-23高一下.重庆期末)在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个 球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为则n=() A.1 B.2 C.3 D.4 6.(25-26高一下贵州遵义阶段检测)己知某随机试验中，事件A,B,C发生的概率分别是彩子克则下列 说法正确的是() A.(AUB)与C是互斥事件，且是对立事件B.AUBUC一定是必然事件 C.0<PBug)≤8 D.AUB的概率一定等于0.5 7.(23-24高二上·上海长宁期末)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘 汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一 场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人 最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获 胜的概率是() A 8 C. 0.品 8.(25-26高二下.上海·期中)田忌赛马的故事一直为人所津津乐道，共体现了博弈的魅力.已知甲有三匹马 A:(i=1,2,3),乙有三匹马B,0=1,2,3),这些马之间比赛获胜的概率如下表所示.甲和乙进行三轮赛马游戏， 每轮比赛甲和乙各选择一匹马比拼胜负，且每匹马至多进行两轮比赛，最终胜的轮数多的人获胜在比赛之 前，甲和乙先根据下表采用最优的选马策略选出所有参赛的马，并确定它们的参赛顺序，有下列两个命题： ①若a=b=1,甲最优的选马策略为让A2马出战一次，A3马出战两次： 第9页共13页 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ②若a=青b一片三轮游戏结束后，甲赢的概率为品 马A,与马B,对弈时，马A:获胜的概率 j=1 j=2 j=3 i=1 1 4 3 i=2 1 1 4 2 i=3 a b 则下列说法正确的是() A.命题①正确，命题②正确 B.命题①正确，命题②错误 C.命题①错误，命题②正确 D.命题①错误，命题②错误 二、多选题 9.(2425高-下河北期末)已知事件AB,C两两互斥，若P(B)=,P(AUB)=五，P(4UO=若则（) A.P④= B.P(O=号 C.P(BUC)= D.P4UBuG-号 10.(21-22高一·全国·单元测试)某社区开展“防疫知识竞赛”，甲、乙两人荣获一等奖的概率分别为p和q4, 两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为() A.p(1-q)+q(1-p)+pq B.p+q C.pqD.1-(1-p)(1-q) 11.(22-23高二上湖北荆州期末)疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位， 同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行 选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为16，然后将其放入一个箱子中，从 中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为a,第二次为a,设A=月，其 中x表示不超过x的最大整数，则() A.Pa1+a2=5)= B.事件a1=6与A=0互斥 c.P(a1>a2)= 5 D.事件a2=1与A=0对立 三、填空题 12.(24-25高一下.广东揭阳·期末)己知随机事件A,B,C,A和B互斥，B和C对立，且P(A+B)=0.7,P(A)=0.3, 则P(C)=一 13.2025广东广州一模)事件BcA,P(AUB)=,且P(A=2P(B),则P(⑧=一 14.(24-25高三上·上海青浦阶段检测)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判， 第10页共13页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立， 第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是 四、解答题 15.（25-26高一下·全国·课堂例题)一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出一个球，取 出红球的概率为取出黑球的概率为5取出白球的概率为取出绿球的概率为号 (1)求取出的1个球是红球或黑球的概率： (2)求取出的1个球不是绿球的概率。 16.(25-26高一下.全国·课堂例题)某商店月收入（单位：元）在下列范围内的概率如下表： 月收入范围 [1000,1500) [1500,2000) [2000,2500) [2500,3000) 概率 0.12 0.25 0.16 0.14 (1)求月收入在[1000,2000)范围内的概率； (2)求月收入在[1500,3000)范围内的概率： (3)求月收入不在[1000,3000)范围内的概率. 第11页共13页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(25-26高二上·湖南常德开学考试)某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标 号为1,2的两个红球和标号为3,4,5的三个白球，五个小球除颜色和标号外完全相同，参与游戏的同学 从中任取1个，有放回地抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两 种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球 标号和为奇数获三等奖，其余不获奖： 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个 球标号和为偶数，且不是5的倍数获三等奖，其余不获奖. (1)求两种规则下获得二等奖的概率： (2)请问哪种规则的获奖概率更大，并说明理由， 18.(21-22高一下.陕西咸阳期中)下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为15分五 个档次.设x、y分别表示英语成绩和数学成绩.表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5 分的共5人. y 5 3 2 1 5 1 3 1 0 1 4 1 0 7 5 1 3 2 1 0 9 3 2 b 6 0 a 1 0 0 2 1 (1)x=4的概率是多少？x=4且y=3的概率是多少？x23的概率是多少？ (2x=2的概率是多少？a十b的值是多少？ 第12页共13页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(24-25高一上河南南阳期末)某班级在庆元旦联欢会时，主持人安排了跳双人舞、独唱、和独奏节目， 指定3个男生和2个女生来参与，把五个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号 是女生.将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中 随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目， (1)为了选出2人来表演双人舞，不放回地抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率： (2)为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并记录第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第 二张卡片.求： ①独唱和独奏由同一个人表演的概率； ②选出的不全是男生的概率. 第13页共13页