专题5-5 事件的独立性（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

本讲义聚焦事件的相互独立性核心知识点，系统梳理定义（P(A∩B)=P(A)P(B)）、性质（独立事件的对立事件也独立），通过对比表格明确与互斥事件的区别（条件、符号、公式），构建从概念理解到性质应用再到概率计算的学习支架。 资料特色在于通过对比辨析培养数学眼光，题型分层设计发展逻辑推理（数学思维），结合抛硬币、比赛等实例让学生用数学语言表达现实问题。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5-5事件的相互独立性讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01相互独立事件的判断 题型02相互独立事件与概率的乘法 5-5事件的相互独立性 知识点01事件的相互独立性 公式 题型03相互独立事件与互斥事件 知识点02利用事件的相互独立性求概率 题型04相互独立事件的应用 教学目标、教学重难点 教学目标 理解事件的独立性与互斥事件的区别，掌握概率的乘法公式. 教学重点 概率的乘法公式 教学难点 事件的独立性与互斥事件的区别. 知识清单 知识点01事件的相互独立性 1.事件的相互独立 设A,B为两个事件，若P(A∩B)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立，简称为独立. 2.事件相互独立的性质 (1)事件A与事件B相互独立，即事件A(或B)是否发生，对事件B(或A)发生的概率没有影响. (2)若事件A,B独立，则计算P(A∩B)的公式为P(A∩B)=P(A)P(B) (3)若事件A,B相互独立，则事件A与B,A与B,A与B也相互独立. (4)相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件 互斥事件 条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件 相互独立事件A,B同时发生， 互斥事件A,B中有一个发生， 符号 记作：AnB(或AB) 记作：AUB(或A+B) 公式P(AnB)=P(A)·P(B) P(AUB)=P(A)+P(B) 2.判断事件的独立性 (1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率. (2)定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立， 即两个事件同时发生的概率是否等于每个事件发生的概率的乘积， (3)转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立，转化为判断A与B或A与B或A与B是否相互独立. 【即学即练1-1】(24-25高一下山东烟台阶段检测)抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正 第1页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 面向上”，设事件B=“第二枚硬币正面向上”，则() A.事件A与B互为对立事件 B.事件A与B为互斥事件 C.事件A与事件B概率相等 D.事件A与B相互独立 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据对立事件、互斥事件、独立事件以及随机事件的概率等知识点进行逐一判断即可， 【详解】对于选项A: 事件A与事件B能同时发生，不是对立事件，所以A错误： 对于选项B: 事件A与事件B能同时发生，不是互斥事件，所以B错误： 对于选项C: 事件A与事件B不是相同事件，所以C错误： 对于选项D: 因为P(A=,P(B)=,P(AB)=X= 所以P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立，所以D正确. 故选：D. 【即学即练1-2】（多选）(25-26高一上山东潍坊·期末)已知口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和2 个白球，从中有放回地随机取2次，每次取1个球记事件M为“第一次摸到红球”，N为“第二次摸到白球”， Q为“两次摸出的球颜色相同”，则下列说法正确的有() A.PW=月 B.M与Q互斥 c.P(MUQ)- D.M与N相互独立 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、有放回与无放回问题的概率、判断所给事件是否是互 斥关系 【分析】根据互斥事件、独立事件、和事件概率的计算公式，依次计算PW)、判断互斥性、计算P(MUQ)、 验证独立性，逐一判定选项正误， 【详解】每次取红球概率为P(红)=？=专取白球概率为P(白)= 第二次取球与第一次无关，每次摸到白球的概率均污，因此P()=,A正确。 第一次摸到红球且第二次摸到红球，M和Q可以同时发生，不互斥，B错误 因为P(MUQ)=P(M)+P(Q)-P(MQ) P0=京P(Q=x+x克PMQ)x 所以PWuQ)=计甘子C正确， 第2页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PMW=x=PMP(W=×=子满足PMN=P(MP),因此M与N相互独立，D正确.。 故选：ACD 知识点02利用事件的相互独立性求概率 由简单事件通过运算得到复杂事件，进而利用互斥、对立、独立等关系计算概率. 1.对事件进行分解，一方面分解为互斥的几类简单事件求概率： 另一方面分解为独立的几类，利用事件同时发生（乘法）求出概率。 2.己知两个事件A,B,那么 (1)A,B中至少有一个发生为事件A+B. (2)A,B都发生为事件AB (3)A,B都不发生为事件AB (4)A,B恰有一个发生为事件AB+BA (5)A,B中至多有一个发生为事件A+BA+AB. 3.求较复杂事件的概率的一般步骤 (1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示 (2)分析事件之间的关系（是互斥还是对立，或者是相互独立），列出关系式。 (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算 (4)当直接计算事件的概率较复杂时，可先计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率. 【即学即练2-1】(25-26高一下·江西宜春阶段检测)甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8， 乙做对的概率为0.7，两人做题互不影响，下列说法错误的是() A.两人都做对的概率是0.56 B.恰好有一人做对的概率是0.38 C.两人都做错的概率是0.44 D.至少有一人做对的慨率是0.94 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据独立事件的乘法公式可判断A:根据对立事件的概率计算结合独立事件的概率公式可判断B, C,D. 【详解】设事件A表示“甲做对"，事件B表示“乙做对”，则P(4A)=0.8,P(B)=0.7 对于A,两人都做对的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.7=0.56,故A正确： 对于B,恰好有一人做对的概率为P(AB+AB)=0.8×(1-0.7)+(1-0.8)×0.7=0.38,故B正确： 对于C,两人都做错的概率为P(AB=(1-0.8)×(1-0.7)=0.06,故C错误： 对于D,至少有一人做对的概率为1-P(4B=1-0.06=0.94,故D正确。 【即学即练2-2】（多选)(25-26高一下·贵州遵义阶段检测)某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙 队”“丙队”“丁队”)进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛)，最后按各队的积分排 列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的 概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是() 第3页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.甲队积分为9分的概率为号 B.四支球队的积分总和可能为15分 C丙队积分为3分的概率为品 D.甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，结合独立事件的概率公式判断A:选项B举例说明；选项 C分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解：选项D分析事件包含的情况，根据互斥事 件和独立事件概率公式求解。 【详解】甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，所以概率片××京选项A正确： 四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 即甲得9分，乙、丙、丁各得2分，四支球队的积分总和为15分，选项B正确： 丙队积3分的情况为胜1平0负2或者胜0平3负0， 胜1平0负2的概率为3×((2=京雕0平3负0的概率为（目°=司 丙队积分为3分的概率为号+号亭选项C错误： 若甲胜乙，甲队以胜1场，乙队以负1场，甲还需对丙丁胜1场，乙需对丙丁全胜， 概率为×2×x××南 若乙胜甲，乙队以胜1场，甲队以负1场，乙还需对丙丁胜1场，甲需对丙丁全胜， 概率为对×兮x×2×行×号 若甲乙平，甲需对丙、丁全胜，乙需对丙、丁全胜，概率为对××××君 甲队胜2场且乙队胜2场的概率为结+本+站=品 4 1.1 选项D正确. 题型精讲 题型01相互独立事件的判断 【典例1-1】(24-25高一下贵州安顺期末)若P(A)=P(⑧=，P(AB)=子则关于事件A与B的关系正 确的是() A.事件A与B相互独立但不互斥 B.事件A与B互斥但不相互独立 C.事件A与B相互独立且互斥 D.事件A与B既不相互独立也不互斥 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】利用相互独立事件的判断方法即P(A)P(B)=P(AB),而互斥事件是不可能同时发生，从而可得到 判断. 第4页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】因为PA)=P(回=青所以P(A)=,P(B)=子则P(AP(B)=×号=号 又因为P(AB)-子所以P(A)P(B)=P(AB),则事件A与B相互独立， 由于P(AB)=号，则事件A与B可以同时发生，即它们不是互斥事件，故A只有正确， 故选：A 【典例1-2】（25-26高一上山西忻州·期末)一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2 个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件A=“2个球颜色相同”，事件B=“2个 球中至少有一个红球”，事件C=“2个球中至多有一个红球”，事件D=“2个都不是红球”，则（) A.A与D互斥 B.B与C对立C.A与B相互独立D.C∩D=D 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是 互斥关系 【分析】由AnD≠O,BnC≠和互斥事件、对立事件定义即可判断AB:由P(AB)≠P(A)P(B)即可判断C: 由交事件定义计算即可判断D. 【详解】将2个红球、2个绿球和2个蓝球分别记为A,B,a,b,1,2, 则从袋中一次性随机取出2个球的样本空间为2={AB,Aa,Ab,A1,A2,Ba,Bb,B1,B2,ab,a1,a2,b1,b2,12}共 15个样本点， 由题意A=AB,ab,12共3个样本点，B={AB,Aa,Ab,A1,A2,Ba,Bb,B1,B2共9个样本点， C={Aa,Ab,A1,A2,Ba,Bb,B1,B2,ab,a1,a2,b1,b2,12共14个样本点，D={ab,a1,a2,b1,b2,12}共6个样 本点， 所以AnD={ab,12}≠0，故A与D不互斥，故A错误： B∩C={Aa,Ab,A1,A2,Ba,Bb,B1,B2}≠0，故B与C不互斥，故B错误： 因为A∩B={AB],一个样本点， 所以P(A=是-P(B)=是=P(AB)=言+号×营即P(4B)≠P(AP(B).故c错误： CnD={ab,a1,a2,b1,b2,12}=D,故D正确. 故选：D 【典例1-3】（多选）（25-26高一上·河南南阳·期末)（改编自北师大必修一P197例1）袋中有白球3个（编 号为1、2、3)黑球2个（编号为1、2），这5个球除颜色、编号外完全相同.现在从中不放回地依次摸 取出2个，每次摸1个，记事件A为“第一次取到的球编号为1”，事件B为“第一次取到的球是黑球”，事件C 为“取到的两个球都是白球”.则() A.A与B互斥 B.PO=品 C.P(AC) D.A与B独立 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、利用对立事件的概率公式求概率、判断所给事件 第5页共38页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是否是互斥关系 【分析】利用互斥事件的定义可判断A选项；利用对立事件的概率公式可判断B选项；利用古典概型的概 率公式可判断C选项；利用独立事件的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，事件A∩B=“第一次摸到编号为1的黑球”，故A与B不互斥，A错： 对于B选项，将3个编号为1、2、3的白球分别记为a1a2、a3, 将2个编号为1、2的黑球分别记为b1、b2,基本事件总数为5×4=20， C={(a1,a2),(a1,a3),(a2,a1),(a2,a3),(a3a1,(a3,a2)}, 所以P(阿=1-P(O=1-品=品B对： 对于C选项，AnC=a,a.a,a》,所以P(4n)=品-六C对： 对于D选项，AnB={(b1,a1),(ba2),(b1,b2),(b1,a3)}, A={(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(b1,a1),(b1,a2),(b1,a3),(b1,b2)}, B={(b1a1),(b1,a2),(b1,a3),(b1,b2),(b2,a1),(b2,a2),(b2,a3),(b2,b1)}, 所以PAnB)=若=台P④=品=P(B)=品= 所以P(A∩B)≠P(A)·P(B),故A、B不独立，D错. 故选：BC 【典例1-4】（22-23高三下·上海闵行·阶段检测)某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能 的，设事件M:该家庭中有男孩、又有女孩，事件：该家庭中最多有一个女孩，则下列说法正确的是 ①若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥： ②若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立； ③若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥； ④若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立， 【答案】②③④ 【难度】0.65 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】若该家庭中有两个小孩，写出对应的样本空间即可判断①②：若该家庭中有三个小孩，写出对应 的样本空间判断③④作答 【详解】若该家庭中有两个小孩，样本空间为2={（男，男），（男，女），（女，男（女，女， M={(男，女)（女，男）}，N={(男，男（男，女），（女，男}，MN={《男，女），（女，男} 则M与N不互斥，①错误： PM)=P)=P(MM)=则P(MM≠PM)PM,所以M与N不相互独立，②正确： 若该家庭中有三个小孩， 样本空间为2={（男，男，男），（男，男，女）（男，女，男），（女，男，男（男，女，女）（女，男，女）（女，女，男，（女，女，女} M=(男，男，女)（男，女，男），（女，男，男）（男，女，女），（女，男，女）（女，女，男》 N={(男，男，男)（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男} MN=(男，男，女)，（男，女，男）（女，男，男）}，则M与N不互斥，③正确： PM)=P)=P(MN=君于是P(MW=PM)P(W,所以M与N相互独立，④正确. 第6页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以说法正确的是②③④ 故答案为：②③④ 【变式1-1】(24-25高一下·安徽阜阳·期末)对于随机事件，下列说法错误的是() A.如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)=1-P(B) B.如果事件A与事件B满足A∈B,那么P(A)≤P(B) C.如果A,B是一个随机试验中的两个事件，那么P(AUB)=P(A)+P(B) D.对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B),那么事件A与事件B相互独立 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】概率的基本性质、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的判断 【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的定义，结合概率的基本性质逐项判断。 【详解】对于A,由事件A与事件B互为对立事件，得P(A)=1-P(B),A正确： 对于B,由ASB,得P(A)≤P(B),B正确： 对于C,当事件A,B不互斥时，P(AB)>0,则PAUB)=P(A)+P(B)-P(AB) <P(A)+P(B),C错误： 对于D,由P(AB)=P(A)P(B),得事件A与事件B相互独立，D正确. 故选：C 【变式1-2】(25-26高一下·天津.期末)分别抛掷质地均匀的两枚硬币.设事件M=“第一枚硬币正面朝上”， N=“第二枚硬币反面朝上”.则事件M与W关系描述正确的为() A.互斥 B.相互独立 C.互为对立 D.相等 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系、独立事件的判断 【详解】对于A,因为事件M和事件N可以同时发生，所以不是互斥事件，所以A错误： 对于B,PM)=P)=PMW)=}=P(M)P(W),所以事件M和事件N相互独立，所以B正确： 对于C,事件M和事件N可以同时发生，所以不是对立事件，所以C错误： 对于D,分别抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）四种情况， 事件M包括（正正）（正反）两个基本事件，事件N包括（正反）（反反）两种情况， 所以不相等，所以D错误 【变式1-3】(25-26高一下，贵州遵义阶段检测)掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A= {1,3,5},B={1,2,3,6则() A.B包含A B.A与B对立 C.A与B互斥 D.A与B相互独立 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的包含关系 第7页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】对于A,因为5∈A,5度B,因此B不包含A,故A错误； 对于BC,因为AUB={1,2,3,5,6}≠2，AnB={1,3}≠0， 因此A与B不是对立事件，也不是互斥事件，故BC错误； 对于D,由于P(0=名=P(®)=子而AnB=L,3, 故P(MnB)==所以P(AnB)=P(A)P(B), 所以A与B相互独立，故D正确。 【变式1-4】(25-26高一上河南南阳·阶段检测)先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“两次掷出的 点数之和是4)，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至 少出现一个奇数点”，则() A.A与C互斥 B.P(D)= C.B与D对立 D.B与C相互独立 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、独立事件的判断 【分析】根据互斥事件与对立事件的关系判断A,C:根据对立事件概率计算P(D)即可判断B:根据结合古典 概型求解概率P(B),P(C),P(BC),结合独立事件概率性质即可判断D 【详解】若两次掷出的点数之和是4，由于每次掷出的点数都在1到6之间， 所以第一次掷出的点数一定小于4，而“两次掷出的点数相同”中的“(2,2)”的点数之和等于4， 故A与C不互斥，故A错误： “至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”， 所以P(D)=1-×名-是故B错误； 由于“至少出现一个奇数点"的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”.故B与D不是对立的，故C错误： 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组(x,y)有6×6=36种等可能的不同情况， 第二次掷出的点数为偶数的情况有(x,2),(,4),(x,6)(x=1,2,3,4,5,6)共18种不同情况， 两次掷出的点数相同的情况有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(44，(5,5)，(6,6)共6种， 两次掷出的点数相同且第二次掷出的点数为偶数的情况有(2,2)，(4,4)，(6,6)共3种情况， 所以PO)-是-P(O-亮-PB0)-品-古 所以P(B)P(C)=P(BC),所以B,C独立，故D正确， 故选：D. 【变式1-5】（多选）(25-26高一上河南焦作.期末)投掷一枚正四面体骰子，其各面的数字分别为1,2,3， 4,记其投出后落地与水平面接触的数字为点数，连续投出两次，第一次得到的点数为X,第二次得到的点 数为Y,记事件A=“X+Y为偶数”，事件B=“X+Y为奇数”，事件C=“XY为偶数”，则下列正确的有() A.A与B互斥 B.A与B相互独立C.A与C相互独立D.P(BC)=P(B) 【答案】AD 【难度】0.65 第8页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、独立事件的判断 【分析】根据事件的互斥与独立的定义对选项一一验证即可. 【详解】对于A选项，显然A,B不会同时发生，故二者互斥，A正确； 对于B选项，此时P(AB)=0≠P(A)P(B),B错误： 对于c选项，事件A:1,),1,3)3,1),(3,3),(22),(2④(42)，(44，故P④=是= 事件c(1),,3,(6,1),(33),故P(9=1-高= 而事件AC:(2,2),(2,④，(4,2)，(44)所以P(4C)=≠号=P(A)P(C),C错误： 对于D选项，若X+Y为奇数，显然X,Y一奇一偶，此时XY为偶数，显然P(BC)=P(B),D正确， 故选：AD 【变式1-6】(25-26高一下北京期中)为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某 事件所包含样本点的数目，即A=A,其中S(A,S(B)为事件A,B对应区域的面积，U表示样本空间.下图 n(B)-s(8 中，事件A与事件B相互独立的是 B=U AB AB AB AB ① ② ③ 【答案】②③ 【难度】0.65 【知识点】独立事件的判断 【分析】根据图中事件的关系，结合独立事件的判定判断各项的正误即可， 【详解】对于①，由题图知，A为B的子集，所以P(AB)=P(A),而B为U的真子集，则P(B)<1, 所以P(A)P(B)<P(A),故P(AB)≠P(A)P(B),①不正确： 对于②，由图得B=U,则P(B)=P(U=1,P(AB)=P(A),则有P(AB)=P(A)P(B),所以图中事件A,B 相互独立，②正确： 对于③，设图中的小的长方形的面积为S,由P4B)=需-音=子P)=号=4回-等-专 n(0 n(U) n(U) 6=2 PB-恩-n@-器= n(v) n(U) 所以P(AB)=P(A)P(B),则题图中事件A,B相互独立，③正确. 题型02相互独立事件与概率的乘法公式 【典例2-1】（25-26高一下·安微合肥阶段检测)甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获 胜的概率均为号 每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为() A. B.27 C.27 D.克 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 第9页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由题意可得，乙比赛两局直接获胜的概率为p1=(（1-)×(1-)=号 乙比春完三局才获胜的概率为p?=2××号×写去 所以乙获胜的概率为+p?-号+培-品 【典例2-2】（23-24高一下.山东滨州.期末)抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件A=“n次中既有正面朝 上又有反面朝上”，B=“次中至多有一次正面朝上”.下列说法正确的是() A.当n=2时，P(AB)=P(B) B.当n=2时，P(AB)=P(A)P(B) C.当n=3时，P(AB)=P(A)P(B) D.当n=3时，P(A+B)=P(A)+P(B) 【答案】c 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据对立事件结合独立事件概率乘法公式求P(A),P(B),P(AB).对于AB:代入n=2,分析判断即可： 对于cD:代入n=3,结合事件的运算分析判断 【详解】由题意可知：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面、反面向上的概率均为 且事件石=n次中均为正面朝上或均为反面朝上”，则P(网=（份）”+()=六， 则P()=1-p网=1-点，p8)=)+nx×⑤=是 且事件AB=n次中仅有一次正面朝上，则P(AB)=nx×份”=共 对于选项AB:若n=2,则P(A=1-=京P(⑧)=是-PAB)=是=京 可得P(AB)≠P(B),P(AB)≠P(A)P(B),故AB错误： 对于选项cD:若n=3,则P(A=1-京=子P(B)=吉=之P(AB)=是- 可得PaB)=PAP(四.PA+a)=P④+PO)-P(AB)=+行言=名 即P(A+B)≠P(A)+P(B),故C正确，D错误： 故选：C 【典例2-3】（多选）(23-24高一下·黑龙江大庆期末)一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字 A=回a@四西@网网，其中4的各位数字中，Q∈0,1=1,23,4,5)，则（） A.A的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点 B.若A的各位数字都是等可能地取值为0或1，则A=11100的概率大于A=00011的概率 C.若A的各位数字都是等可能地取值为0或1，则A中各位数字之和是4的概率为 32 D.若a1=1,a(k=2,34,5)出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字A中恰有两个0的 概率为品 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 第10页共38页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【分析】由样本空间的定义判断A,根据古典概型概率计算公式，互斥事件的加法及独立事件的乘法公式判 断BCD 【详解】对于A,由于A的各位数字中，都可能为0或1，则A的所有实验结果构成的样本空间中有25=32 个样本点，正确： 对于B,若A的各位数字都是等可能地取值0或1，则P(A=11100)=立=P(4=00011),所以A=11100 的概率等于A=00011的概率，错误； 对于C,若A的各位数字都是等可能地取值为0或1，如果A中各位数字之和是4，即5个数字中有4和“1" 和1个“0， 可能情况有：1110,11101,1101,1011,0111，共有5种等可能情况，其概率P1=多正确： 对于D,由于a1=1,数字A中恰有2个0，即在2，a3,a4,a5四个数中恰好有2个0,2个1， 可能情况有：0011,1100,1001,1010,0101,0110，共有6种情况， 启动一次出现的数字A钟恰有两个0的概率为P,=6×()×)=号正确： 故选：ACD. 【典例2-4】(23-24高一下·安徽合肥期末)将1,2,3，，20,21共21个正整数排成六行，按照第一行1个数， 第二行2个数，.，第六行6个数的顺序排列，则每一行中最大的数都小于其后一行中最大的数的概率是 【答案】品 【难度】0.4 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、独立事件的乘法公式 【分析】通过分析最大数在第行的概率，得到规律，从而可求得结果. 【详解】设xk(k=1,2,3,,n)是从上往下数第k行的最大数， 设x1<x2<…<xn的概率为pn 最大数在第行的概率为：女高 在排好第n行后余下的，)个数排在前(m-1)行，符合要求的排列的概率为P-1 2 以=品1以此类推，n=品子号= 20 26_4 当n=6时，p6=7=35 故答案为：品 【变式2-1】(25-26高一上河北唐山阶段检测)某商场举行抽奖活动，规则如下：从一个装有3个红球和 2个白球的箱子中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则中奖，则中奖的概率为() A. B.月 C. D. 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率公式求概率 第11页共38页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【分析】分析可知两个球的颜色依次为红红或白白，结合独立事件概率乘法公式运算求解， 【详解】若摸出的2个球颜色相同则中奖，则两个球的颜色依次为红红或白白， 所以中奖的概率为发×导+×号 【变式2-2】(25-26高一下·全国·课后作业)己知A,B是相互独立事件，若P(A)=0.2,P(AB+AB+AB=0.44, 则P(B)=() A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据独立事件、互斥事件、对立事件的概率公式计算， 【详解】因为A,B是相互独立事件，所以A,B和A,B均相互独立， 因为AB,AB,AB两两互斥， P(AB +AB+AB)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.44, 因为P(A)=0.2,所以P(A=0.8, 则0.2P(B)+0.8P(B)+0.2[1-P(B)]=0.44,得P(B)=0.3. 故选：A 【变式2-3】(25-26高一上·湖南邵阳·期末)已知甲、乙两名运动员进行射击比赛，各射击一次，是否中靶 相互独立.若恰好一人中靶的概率为0.26，至少一人中靶的概率为0.98，则甲、乙两人都中靶的概率是() A.0.02 B.0.28 C.0.72 D.0.74 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】设甲射击一次中靶的概率为p,乙射击一次中靶的概率为q,根据题意建立方程组，整体法可求得q, 即甲、乙两人都中靶的概率 【详解】设甲射击一次中靶的概率为p,乙射击一次中靶的概率为q, 因为甲、乙是否中靶相互独立，且恰好一人中靶的概率为0.26 所以p(1-q)+(1-p)q=0.26,展开得p+q-2pq=0.26.① 又至少有一人中靶的概率为0.98，即1-(1-p)(1-q)=0.98,所以(1-p)(1-q)=0.02, 展开得1-p-q+pq=0.02.② 由①+②得1-pq=0.28,解得pq=0.72,即甲、乙两人都中靶的概率是0.72. 故选：C 【变式2-4】(23-24高一下·吉林期末)甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：(1)累计负两 场者被淘汰：(2)比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；(3)每场比赛的胜者与轮空者进行下一 场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；(4)当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人 被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束经抽签甲、乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为 第12页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则丙最终获胜的概率为() A是 7 B.6 C. 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，将丙最终获胜的可能情况进行分类，分别 求出各类事件发生的概率，再由互斥事件概率公式计算可得。 【详解】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，注意丙轮空时， 甲乙比赛结果对下面丙获胜概率没有影响（或者用+表示）， 若比赛4场，丙最终获胜，则丙3场全胜，概率为(=司 若比赛5场，丙最终获胜，则从第二场开始的4场比赛按照丙的胜负轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜 负空胜，负空胜胜，概率分别为+(》+(=总所以丙获胜的概率为始+是。 故选：B. 【变式2-5】（多选）(23-24高三上·江苏苏州阶段检测)某区四所高中各自组建了排球队（分别记为“甲队”“乙 队”“丙队”“丁队”)进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排 列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的 概率都为：则在比赛结束时() A.甲队积分为9分的概率为号 B.四支球队的积分总和可能为15分 C.甲队胜3场且乙队胜1场的概率为2 D.甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 43 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁，结合独立事件的概率公式运算判断A:举例比赛的各种得 分情况判断B;由互斥事件与独立事件的概率公式计算概率判断CD. 【详解】对于选项A:若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁， 所以甲队积分为9分的概率对××故A正确： 对于选项B:四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，所以四支球队的积分总和可能为15分，故B正确： 对于选项C：每场比赛中两队胜、平、负的概率都为号 则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为（目）×2××嘉故C错误： 对于选项D:甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分， 三队中选一队与甲比赛，甲输，3×子例如是丙甲， 若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分， 第13页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于4分，不合题意， 在丙输的情况下，乙、丁已有3分， 那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意： 若甲全赢（概率是(）)时，甲得6分，其他3人分数最高为5分， 这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢否则丙的分数不小于6分，只有全平或全输， ①若丙一平一输，概率2)， 如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率 ②若丙两场均平， 概率是（Θ 乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意： ③若两场丙都输， 概率是（目，乙丁这场比赛只能平，概率是学 综上概率为3x×(自)×2x(目×号+)+()×司-是故D正确， 故选：ABD 【变式2-6】(23-24高一下安徽铜陵.期末)甲、乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手 都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概 率都为5乙队中3名选手答对题的概率分别为号，在第一轮比赛中，甲队得x分，乙队得y分，则在这一 轮中，满足0<x-y≤2且y≠0的概率为 【答案】品 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】首先求出甲在一轮比赛中得2分、3分的概率，乙在一轮比赛中得1分、2分的概率，设在这一轮 中，满足0<x-y≤2且y≠0为事件A,则A包含①甲队得2分，乙队得1分，②甲队得3分，乙队得 1分，③甲队得3分，乙队得2分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】依题意甲队在一轮比赛中得2分的概率为P,=×××3=骨 甲队在一轮比赛中得3分的概率为P=××=后 乙队在一轮比赛中得1分的概率为： P1=×(1-)×(1-)+×(1-)×(1-)+×(1-)×(1-)=6 乙队在一轮比赛中得2分的概率为：P2'=号xx(1-)+×(1-)×+x写×(1-)=君 设在这一轮中，满足0<x-y≤2且y≠0为事件A, 则A包含①甲队得2分，乙队得1分，②甲队得3分，乙队得1分，③甲队得3分，乙队得2分， 所以P团=P,A+PBP:+PA=x号+×号+×器=温 即在这一轮中，满足0<x-y≤2且y≠0的概率为品故答案为：温 288 题型03相互独立事件与互斥事件 【典例3-1】(22-23高一上·吉林阶段检测)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A,=“向上的点数 为”，其中i=1,2,3,4,5,6,B=“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是() 第14页共38页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 A.A1与B互斥 B.A2+B=0 C.A3与B相互独立D.A4∩B= 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】相互独立事件与互斥事件、事件的运算及其含义、独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥 关系 【分析】对于选项中的事件，分别写出对应的基本事件构成的集合，依次分析，即可 【详解】对于A,A1=2,3,4,5,6},B={1,3,5},A1与B不互斥，故A错误： 对于B,A2+B={2}U{1,3,5}={1,2,3,5)≠，故B错误： 对于C,A3与B不能同时发生，是互斥事件，不是相互独立事件，故C错误： 对于D,A4={4,B={1,3,5},A4nB=0,故D正确 故选：D 【典例3-2】(24-25高一上河南焦作.期末)某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科 研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目.若参与甲项目的有30人，参与乙项目的 有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与 了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是() A.参与甲项目与参与乙项目不互斥 B.参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C.参与丙项目与参与丁项目不相互独立D.参与甲项目与参与丙项目相互独立 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】相互独立事件与互斥事件、独立事件的判断 【分析】A选项，根据甲乙项目的参加情况得到(A∩B)=0,即可得到参与甲项目与参与乙项目互斥；B 选项，根据甲丁项目的参加情况得到(A∩D)=0,即可得到参与甲项目与参与丁项目互斥且对立：C选项， 根据参与甲项目与参与丁项目对立和n(AnC)=10得到n(CnD)=20-10,然后得到P(CnD),P(C), P(D),最后利用乘法公式判断：D选项，利用乘法公式判断即可. 【详解】设总人数为n,记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件A,B,C,D, 由题意可得n(4)=30,n(B)=10,n(AUB)=40,故n(AnB)=0, 故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误： 由题意可得n(A)=30,n(D)=30,n(AUD)=n=60,故n(AnD)=0, 故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误： 由题意得n(C)=20,n(D)=30,n(CnD)=20-10=10, 故PCnD)==8-GP(g)=9=P(D)=0= 故P(CnD)=P(C)P(D),故参与丙项目与参与丁项日相互独立，故C错误： PA)=@-,PAnO=≌=言PAnO=P(AP(C,故参与甲项目与丙项目相互独立，故D正确， n 故选：D. 【典例3-3】（多选）（24-25高一下湖南长沙期末)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从 第15页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字 是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则() A.A与B为互斥事件B.P(B)=C.P(A+B)= D.B与C相互独立 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】概率的基本性质、相互独立事件与互斥事件、计算古典概型问题的概率 【分析】首先根据题意将A,B,C的可能情况列出来，然后根据互斥事件、独立事件和概率知识对选项逐一判 断即可 【详解】不放回的随机取两次，共有6×5=30种不同结果 A={(2,1),(23),(2,4,(25),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)共15种结果： B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(1,3),(2,3),(4,3),(5,3),(6,3),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(6,5)}共15种结果. C={(1,3),(1,5),(2,4),(2,6),(3,1),(3,5).(4,2),(4,6),(5,1),(5,3),(6,2),(6,4}共12种结果. BC={(3,1),(5,1),(1,3),(5,3),(1,5),(3,5)}, 对于选项A:事件A和事件B能同时发生，比如(2,1)，所以A,B不是互斥事件，所以A错误； 对于选项B:P(O)-品-方所以B正确： 对于选项C:P(A=P(8)=克P(4B)=所以P(A+B)=P()+P(D)-PAB)=0所以C错误： 对于选项D:PO)-P(O-品-是P(BC)-品-吉 由于P(BC)=P(B)P(C),所以B,C相互独立，所以D正确. 故选：BD 【典例3-4】（23-24高一下·安徽黄山·期末)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击 一次，已知甲中靶的概率子乙中靶的概率为m,每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射 击中，恰好有一人中靶的概率为易则m= 【答案】0.8 【难度】0.85 【知识点】相互独立事件与互斥事件、独立事件的乘法公式 【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求解 【详解】由题意可知，×(1-m)+(1-)×m=品解得：m=号 故答案为：青 【变式31】(22-23高一下·江苏宿迁·期末)下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都 大于零)的说法中正确的是() A.互斥事件一定是对立事件 B.对立事件一定是互斥事件 C.互斥事件一定是独立事件 D.独立事件一定是互斥事件 【答案】B 第16页共38页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.85 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、相互独立事件与互斥事件 【分析】根据互斥事件、对立事件、独立事件的概念进行判断即可. 【详解】互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误，B正确： 互斥事件一定不能同时发生，而独立事件可以同时发生，所以互斥事件一定不是独立事件，独立事件可能 互斥也可能不互斥，故C,D均错误 故选：B 【变式3-2】(22-23高一下.河北衡水.期末)下列说法正确的是() A.若A,B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件 B.若A,B为两个事件，且P(A+B)=P(A)+P(B),则A与B互斥 C.若P(A)>0,P(B)>0,则事件A,B相互独立与事件A,B互斥可以同时成立 D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B相互对立 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、相互独立事件与互斥事件、判断所给事件是否是互斥关系、 独立事件的判断 【分析】根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义和性质逐个分析判断即可. 【详解】对于A,当事件A与B互斥时，A与B不一定相互对立，但A与B相互对立时，A与B一定互斥， 故“A与B互斥"是“A与B相互对立”的必要不充分条件，故A错误： 对于B,若A,B为两个事件，因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AnB)=P(A)+P(B),所以P(A∩B)=0, 故B正确： 对于C,因为P(A)>0,P(B)>0,若事件A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)>0,故事件A,B不互 斥，若事件A,B互斥，则P(AB)=0,P(AB)≠P(A)P(B),故事件A,B不独立，故C错误： 对于D,抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，抛掷一枚硬币，正面向上的概率是影，满足P(4)+ P(B)=1,但是A与B不对立，故D错误. 故选：B 【变式33】(23-24高一下.云南期末)己知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为1,3,4，乙盒中有 3个大小和质地相同的小球，标号为3,4,6，现从甲、乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件A=“"摸到的两 个小球标号相同”，事件B=“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则() A.事件A和B相等B.事件A和B互相对立C.事件A和B相互独立D.事件A和B互斥 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】写出样本空间、相互独立事件与互斥事件、判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对 立关系 【分析】列举出样本空间、事件A和事件B,即可判断A:对于BD:根据互斥事件、对立事件的概念分析 第17页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 判断：对于C:根据事件概率乘法公式分析判断， 【详解】用(a,b)每次取球的结果，a,b分别表示甲、乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号， 由题意可知：样本空间2={(1,3)，(1,4，(1,6)，(3,3)(3,4)，(3,6)，(4,3)，(4,4)，(4,6)}： 事件A={(3,3),(4,4)}:事件B={(1,4),(1,6),(3,4,(3,6),(4,3)},: 对于选项A:因为A≠B,所以事件A和B不相等，故A错误： 对于选项BD:因为事件AB=0,AUB={(1,4,(1,6),(3,3),(3,4),(3,6),(4,3),(4,4)}≠2， 所以事件A和B互斥，事件A和B不互相对立，故B错误，D正确： 对于选项C:因为n(2)=9,n(A)=2,n(B)=5,n(AB)=0, 则PW=温-P6)-温-号P(4B)=温=0， 显然P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A和B不相互独立，故C错误： 故选：D 【变式3-4】（23-24高一下河南安阳·阶段检测)袋子中有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5， 从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事 件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是() A.事件A与B是互斥事件 B.事件A与B是对立事件 C.事件C与D相互独立 D.事件C与D不是互斥事件 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】相互独立事件与互斥事件、确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】首先列举样本空间，利用样本空间法，结合互斥，对立事件的定义，判断ABD,根据P(CD)与P(C)P(D) 的关系，判断C 【详解】袋子中有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5， 从中随机取出两个球的试验样本空间包含的样本点为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)， (3,4),(3,5),(4,5)共10个， 其中事件A包含的样本点为：(1,3)，(1,5)，(3,5)共3个，故P(④=品 事件B包含的样本点为：(1,2)，(1,4，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(4,5)共7个，故P(B)= 事件C包含的样本点为：(1,3)，1,5)，(24)，(3,5)共4个，故P(G=音=号 事件D包含的样本为：15)，(2,4)，(25)，(3,4)，(3,5，(4,5)共6个，故P(D)=品- 因为事件A∩B=0,AUB=2,故事件A与B互斥且对立，故A,B正确： 因为P(CD)=品+×-P(C)P(D),所以C与D不相互独立，故C错误 因为CnD={(1,5),(2,4),(3,5)},所以C与D不互斥，故D正确. 故选：C 【变式35水多选)(23-24高二下.四川成都开学考试)已知A,B是随机事件，若P(4B)=P(AB)=子且P(AU B)=1,则下列结论正确的是() 第18页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.P(A)=P(B) B.A,B为对立事件 C.A,B相互独立 D.P6)= 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】相互独立事件与互斥事件、互斥事件与对立事件关系的辨析、独立事件的判断 【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的性质直接求解 【详解】A,B是随机事件，P(A+B)=1,且P(AB)=PAB)= 对于A,P(A)=P(AB U AB)=P(AB)+P(AB),即P(A)=P(AB)+P(AB), P(B)=P(AB UAB)=P(AB)+P(AB),EP(B)=P(AB)+P(AB). 又P(AB)=PAB),故P(A)=P(B),A正确： 对于BCD,因为P(AUB)=P(AB+AB+AB)=P(AB)+PAB)+P(AB)=P(AB)+=1, 所以PAB)=3由于P(A=P(AB)+PAB)=是P(B)=PAB)+PaB)- 则P(A)+P(B)>1,所以A,B不是对立事件： 又P(AB)≠P(A)P(B),所以A,B不是相互独立事件，故BC错误，D正确. 故选：AD 【变式36】（23-24高二上·上海期末)当一个不均匀的骰子滚动的时候，出现偶数的概率是奇数的3倍.骰 子滚动了两次则出现的数字之和为偶数的概率是 【答案】3/0.625 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、相互独立事件与互斥事件 【分析】确定出现一次偶数或一次奇数的概率，求出两次都是偶数和两次都是奇数的概率，相加即可. 【详解】根据题意可得出现偶数的概率为出现奇数的概率为好 则骰了滚动了两次，两次都是偶数的概率发×：云两次都是奇数的概率为对×片言 则两次出现的数字之和为偶数的餐率是+右=号 故答案为：司 题型04相互独立事件的应用 【典例41】(23-24高二上广东佛山期末)已知甲、乙两人射击的命中率分别是0.4和0.7.现二人同时向 同一猎物射击，发现猎物只中一枪，则甲、乙分配猎物的比例应该是() A.2:7 B.3:7C.4:7 D.5:7 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】独立事件的实际应用 【分析】计算出只有甲或只有乙打中猎物的概率，即可得出甲、乙分配猎物的比例. 【详解】因为甲、乙两人射击的命中率分别是0.4和0.7， 第19页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪， 只有甲打中猎物的概率为0.4×0.3=0.12，只有乙打中猎物的概率为0.6×0.7=0.42 所以，甲、乙分配猎物的比例应该是0.12：0.42=2：7. 故选：A 【典例42】（24-25高三下·重庆沙坪坝阶段检测)小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用 于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把 回家如果天不下雨，那么他不带雨伞假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与 过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为() A.品 B.品 c.品 81 0.256 【答案】c 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，对下雨的次数进行分类讨论，求出各种情况下，两 天都不淋雨的概率，再结合对立事件的概率公式可求得所求事件的概率 【详解】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，连续上两天班，上班、下班的次数共有4次. (1)4次均不下雨，概率为()=器 (2)有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为2××份)'=器 (3)有2次下雨但不淋雨，共3种情况： ①同一天上下班均下雨： ②两天上班时下雨，下班时不下雨： ③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨， 率为2×（×月+xx×+xxx= (4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，概率为2×（份×=。 5)4次均下商，概率为：（目=高 两天都不排雨的假车为受+装+营+品十点。一器 所以至少有一天淋雨的概率为：1-==39， 256=256=128' 故选：C 【典例43】（多选)(24-25高二下.山东青岛期中)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立，发送 0时，收到1的概率为a(0<<1),收到0的概率为1一；发送1时，收到0的概率为β(0<B<1),收到 1的概率为1一阝.共有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发一次：三次传输 是指每个信号重复发送3次.收到信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码：三 次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到0,1,1，则译码为1）.则（) A.采用单次传输方案，若依次发送0,0，则收到两个译码恰好有一个正确的概率为a(1-) 第20页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.采用三次传输方案，若发送1，则收到的译码为1的概率为(1-B)2(1+2β) C.采用单次传输方案，若随机发送一个信号（发送0和发送1的概率都是)，则收到的译码为1的概率为 a-B+1) D.当0<a<0.3时，若发送0，采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概 率 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】独立事件的实际应用、独立事件的乘法公式 【分析】根据独立事件的概率乘法公式以及列举法判断各选项即可。 【详解】对于A,由题意，采用单次传输方案，收到两个译码恰好有一个正确的概率为 (1-)·a+a·(1-a)=2a·(1-a),故A错误： 对于B,采用三次传输方案，若发送1，译码为1的情况分别为"1,1,0”、“1,0,1”、“0,1,1”、"1,1,1”， 则译码为1的概率为3B(1-B)2+(1-β)3=(1-B)(1+2β)，故B正确： 对于C,采用单次传输方案，则收到的译码为1的概率为 a+(1-B)=(a-B+1),故c正确： 对于D,若发送0，采用三次传输方案译码为0的情况有“0,0,0"、“0,0,1”、“0,1,0”、“1,0,0"， 所以收到译码为0的概率(1-a)3+3a(1-a)}: 若发送0，采用单次传输方案译码为0的概率为(1-a), 由(1-)3+3a(1-a)-(1-a)=a(1-a)(1-2a),且0<a<0.3, 则a(1-a)1-2a)>0,即(1-a)3+3a(1-a)2>(1-a0,故D正确： 故选：BCD. 【典例44】(23-24高二上·上海期末)某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一 个正确答案.该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 【答案】20.5625 【难度】0.85 【知识点】独立事件的实际应用、独立事件的乘法公式 【分析】首先由题意抽象为独立事件同时发生的事件，再代入概率公式，即可求解。 【详解】设答错第一道选择题为事件A,答错第二道选择题为事件B,两事件相互独立， 且P(A=P(B)= 两个题都选错为事件AB,则PMD)-P(AP(回)-×-名 故答案为：号 【变式4-1】(23-24高三上·河北阶段检测)某大学强基测试有近千人参加，每人做题最终是否正确相互独 立，其中一道选择题有5个选项，假设若会做此题则必能答对.参加考试的同学中有一部分同学会做此题： 第21页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 有一半的同学完全不会，需要在5个选项中随机蒙一个选项；剩余同学可以排除一个选项，在其余四个选 项中随机蒙一个选项，最终统计该题的正答率为30%，则真会做此题的学生比例最可能为() A.5% B.10% C.15% D.20% 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】独立事件的实际应用、计算古典概型问题的概率 【分析】设测试总人数为，真会做此题的学生人数为x,再由已知列式计算得解. 【详解】设测试总人数为，真会做此题的学生人数为x, 依题意， xx-0=30%,解得=10%， n 故选：B 【变式4-2】（23-24高一下，安徽六安期末)概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配"的问题： 博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金 币，先赢3局者可获得全部赎金：但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这360枚金币 的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该 分配方案是() A.甲180枚，乙180枚 B.甲288枚，乙72枚 C.甲240枚，乙120枚 D.甲270枚，乙90枚 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】独立事件的实际应用、独立事件的乘法公式 【分析】利用独立事件的概率公式进行求解即可. 【详解】根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为， 假设两人继续进行比赛，甲获取360枚金币有：第四局甲赢，或第四局甲输，第五局甲赢， 故概率为加=+×是 乙获取360枚金币有：第四、五局乙都赢，故概率为P2=×子 则甲应该获得枚金币×360=270，乙应该获得枚金币×360=90， 故选：D 【变式43】(23-24高二下江苏泰州期中)已知事件A和B相互独立，P(A)=子P(A+B)=号，则P(B)= () A品 B.15 1 C.0 1 0. 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】独立事件的实际应用 【分析】利用相互独立事件概率公式计算即可」 第22页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】因为事件A和B相互独立，事件A+B为和事件， P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B), 所+P(6)-P(B),解得P8)= 54 故选：D 【变式44】（23-24高三上湖南·阶段检测)为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲、乙两名 数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概 率为，乙每轮猜对的概率为在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队“在一轮比赛中至少猜对 一个成语的概率为() A. B. 19 1 0 C. 0.0 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】独立事件的实际应用、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、利用互斥事件 的概率公式求概率 【分析】利用事件的相互独立性求解法一，所求事件转化为互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即 可：法二，利用对立事件的概率和为1，间接法可得 【详解】设事件A=“甲猜对”，B=“乙猜对”，C=“几何队至少猜对一个成语”， 所以P4)=,P(B)=吾则P(④=P⑧)= 由题意知，事件A,B相互独立，则A与B,A与B,A与B也相互独立， 法一：C=(AB)U(AB)U(AB),且AB,AB,AB两两互互斥， 则P(C)=PaB)+PAD+Pa)=P④P@)+PAP回+PAPO)=吉x+x+x是号 法二：事件C的对立事件C=“几何队一个成语也没有猜对"，即C=AB, 则P(C=1-P©=1-PaB)=1-P④P®)=1-×8 故选：B 【变式45】（多选）(22-23高二下山东青岛期中)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结 果相互独立.己知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为0.6.0.5.0.4，则（) A.该棋手三盘三胜的概率为0.12 B.若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手在赢得第一盘比赛的前提下连赢三盘的概率为0.4 C.若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手连赢2盘的概率为0.26 D.记该棋手连赢2盘为事件A,则当该棋手在第二盘与甲比赛P(A)最大 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】独立事件的实际应用、独立事件的乘法公式 【分析】对A,根据独立事件乘法公式即可判断，对B,转化为求连赢后两盘的概率，对C,分情况计算即 可，对D,分别计算出第2盘与甲、乙、丙比赛连胜两盘的概率，比较大小即可. 第23页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】对于A,棋手胜三盘的概率为0.6×0.5×0.4=0.12，故A正确： 对于B,棋手在胜甲的前提下连胜3盘的事件就是余下两盘连胜乙，丙的事件， 其概率为0.5×0.4=0.2，故B错误； 对于C,连胜两盘事件的概率为0.6×0.5×(1-0.4+(1-0.6×0.5×0.4=0.26，故C正确： 对于D,第2盘与甲比赛连胜两盘的概率P1=0.5×0.6×(1-0.4④+(1-0.5)×0.6×0.4=030， 第2盘与乙比赛连胜两盘的概率P2=0.6×0.5×(1-0.4+(1-0.6)×0.5×0.4=0.26, 第2盘与丙比赛连胜两盘的概率P3=0.6×0.4×(1-0.5)+(1-0.6)×0.4×0.5=0.20, 因此P1>P2>P3·故D正确。 故选：ACD. 【变式46】（22-23高三下，海南海口·期中)给如图所示的1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开 始涂色，之后每次随机选一个未涂色且与上次所涂方格不相邻（即没有公共边）的格子进行涂色，当5号 格子被涂色后停止涂色，记此时己被涂色的格子数为X,则P(X=3)= 6 【答案】号0.08 【难度】0.4 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】明确X=3对应的事件的含义即“第3次涂5号格子”，再考虑第一次选取的是角上的格子还是边中 间的格子，分别求出两种情况下的概率，即可求得答案 【详解】由题意知“X=3”等价于“第3次涂5号格子”， 若第一次涂的是四个角上的格子，以1号格子为例， 第二次可以涂3,5,6,7,8,9，要想第三次涂5号，第二次必须选填3,7,9号中的一个， 第三次需从5个格子里选取5号格子，这种情况的概率为×x忌： 若第一次涂的是四边中间的格子，以2号格子为例， 第二次可以涂4,6,7,8,9，要想第三次涂5号，第二次必须涂7,9号中的一个， 第三次需从5个格子里选取5号格子，这种情况的概率为对××嘉 故P0=3)=后+京=后 故答案为：元 强化训练 一、单选题 1.(25-26高一下.全国课堂例题)一袋中装有100只球.其中有20只白球，在有放回的摸球中，记A1=“第 一次摸得白球”，A2=“第二次摸得白球”，则事件A1与A2是() 第24页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.相互独立事件 B.对立事件 C.互斥事件 D.无法判断 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】独立事件的判断 【分析】根据相互独立事件的定义判断. 【详解】由于采用有放回地摸球，所以每次是否摸到白球互不影响， p4)=品=言p4)=品=专p0A14)=0=京pa)=p4pa) 所以事件A1与A2是相互独立事件. 故选：A 2.(25-26高一下全国课后作业)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是影从 两袋中各摸出1个球，则至少有一个红球的概率为() A君 C. 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】应用独立事件概率乘积公式及互斥事件概率和公式计算求解。 【详解】根据题意至少有一个红球的概率为=×+×(1-)+(1-)×子 故选：C 3.(25-26高一上江西抚州期末)己知甲、乙两名运动员击中目标的概率分别为0.7,0.8，且2人是否击中 目标相互独立，若他们2人向目标各发1枪，则目标被击中的概率为() A.0.56 B.0.94 C.0.96 D.0.06 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据独立事件概率乘法公式结合对立事件概率公式运算求解 【详解】设甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C, 则P(4)=0.7,P(B)=0.8,且C=AB,可得P(A=0.3,P(⑧)=0.2， 所以P(C)=1-P(AB=1-P(AP(⑧=1-0.3×0.2=0.94 故选：B 4.(24-25高一下，湖北武汉期末)抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A=“两次掷出的点数之和是6”，事件B=“两 次掷出的点数相同”，事件C=“第一次掷出的点数是偶数”，则() A.PA=吉 B.A与B相互独立C.B与C相互独立D.A与C相互独立 【答案】c 【难度】0.65 第25页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型的概率计算公式和相互独立的公式即可求解。 【详解】对A:掷两次骰子，基本事件有6×6=36个，事件A=“两次掷出的点数之和是6"包含：(1,5)， (2,4,(3,3),(4,2),(5,1)共5个基本事件，所以P④)=磊故A错误： 对B:事件B都包含基本事件有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4，(5,5)，(66)共6个，所以P()=品=合事 件AB包含的基本事件有：3,3)，所以P(4B)=后 因为P(A·P(B)=元×名≠活=P(AB),故A与B不相互独立，故B错误： 对C:事件C:“第一次掷出的点数是偶数”，所以P(C)=事件BC包含的基本事件有：(2,2)，(4,4)，(6,6)， 所以P8C)=品=品因为P(8)·P(C=×立=P(8C),所以事件B,C相互独立，故C正确： 对D:因为事件AC包含：(2利，(42)共2个基本事件，所以P(4G0元=京因为P(WP(O-品×+言 Γ18 P(AC),故事件A与C不相互独立，故D错误。 故选：C 5.(24-25高一下，新疆期末)已知甲、乙两袋中分别装有编号为1、2、3、4的四个球.从甲、乙两袋中各 取出一个球，每个球被取出的可能性相同.事件A:从甲袋中取出的球的编号是偶数：事件B:从乙袋中取 出的球的编号是奇数：事件C:取出的两个球的编号都是偶数或都是奇数.给出下列命题：①事件A与事 件B为互斥事件；②事件B与事件A相互独立；③事件C与事件A相互独立.那么这三个命题中真命题 的个数为() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】写出总的情况以及事件A,B,C包含的情况，从而根据互斥事件和独立事件的定义进行判断，得 到结论。 【详解】甲、乙两袋中各取出一个球，总的情况分别为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1).(2,2),(2,3).(2,4,(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(41),(4,2).(4,3),(4,4),共16种， 其中事件A包含(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(41)，(42)，(4,3)，(4,4)，共8种， 事件B包含(1,1)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,3)，共8种， 事件C包含(1,1)，(1,3)，(2,2)，(2,4)，3,1)，(3,3)，(42)，(4,4)，共8种， 对于①，AnB={(2,1),(2,3),(4,1),(4,3)},故事件A与事件B不为互斥事件，为假命题： 对于②，PMnB)=若=÷又P()=P(®)=品-克 故P(A∩B)=P(A)P(B),事件B与事件A相互独立，为真命题： 对于国，AnC=2,2).24,42,4Pan)-言-黄 又P(C)=品=克故P(An)=P(AP(C),事件C与事件A相互独立，为真命题： 第26页共38页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：C 6.(24-25高一下广东广州期末)对于一个古典概型的样本空间2和事件A,B,C,D,用lA表示事件A中 的样本点个数.若2=60，A=30,B|=10,lC=20,Dl=30,|AUB引=40，AnC=10,AUD=60, 则() A.A与B对立 B.A与D不对立C.C与D互斥D.A与C相互独立 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、互斥事件的概率加法公式、判断所给事件是否是互斥 关系 【分析】根据互斥、对立、相互独立事件的概率公式进行判断 【详解】由题意可得：P(A)=P(B)=名P(C=}P(D)=P(AUB)=子P4nG)=PAUD)=1. 对于A,因为P(AUB)=P(A)+P(B)=三<1，所以A与B互斥但不对立，故A错误： 对于B,因为P(AUD)=P(A)+P(D)=1,若P(AnD)=0,则此时A与D对立，故B错误； 对于C,当A与D对立时，所以cnD=IcnA=IC-AnC1=20-10=10,P(cnD)=名≠0，所以C 与D不互斥，故C错误： 对于D,因为P(A∩C)=P(A)·P(C),所以A与C相互独立，故D正确. 故选：D. 7.（22-23高一下广东肇庆期末)给定一个正整数n(m≥3)，从集合2=1,2,3，，n中随机抽取一个数，记 事件A=“这个数为偶数”，事件B=“这个数为3的倍数”.下列说法正确的是() A.若n=6k,k∈N*,则至少存在一个n,使事件A和事件B不独立 B.若n≠6k,k∈N*,则存在无穷多个n,使事件A和事件B独立 C.若n为奇数，则至少存在一个n,使事件A和事件B独立 D.若n为偶数，则对任意的n,事件A和事件B独立 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】独立事件的判断 【分析】主要是用P(AB)=P(A)P(B)判断事件的相互独立性 【详解】对于A,对于任意n=6k,kE心，P(④=P(B)=P(4B)=忘=若 ·P(AB)=P(A)P(B),即事件A和事件B独立，A不正确 对于B,当n=8时，P(A=,P(B)=,P(AB)=,满足P(AB)=P(A)P(B): 当n=32时，P()=P(8)=,P(AB)=品，满足P(AB)=P(④0P(B): 以此类推，当m=2时，mEN,P0-P()-高品.Pa-,满足Pa)=PAP(: 故存在无穷多个，使事件A和事件B独立，B正确。 第27页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于C,当n=6k+1时，kEN,P(A=.P(B)=,PMB)= 6k+1 此时显然P(AB)≠P(A)P(B): 当n=6k+3时，keN,P0-P0)=,P40)=点 6k+1 此时显然P(AB)≠P(A)P(B): 当n=6k+5时，ke,P(0-号.P回)=P(40）=, 此时显然P(AB)≠P(A)P(B): 综上可知，对任意奇数，事件A和事件B都不独立；C不正确. 对于D,当n=16时，P(④=是-P(B)=名P(AB)=品-言P(AB)≠P(AP(B).D不正确. 故选：B 8.(23-24高一下河北张家口·期末)如图，某电子元件由A,B,C三种部件组成，现将该电子元件应用到某 研发设备中，经过反复测试，A,B,C三种部件不能正常工作的概率分别为子子各个部件是否正常工 作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是() B B A号 B. c特 0.岩 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】设上半部分正常工作为事件M,下半部分正常工作为事件N,该电子元件能正常工作为事件A,根 据相互独立事件的概率公式求出P(M)、P(N),即可求出P(M、PN,再根据对立事件及独立事件的概率 公式计算可得。 【详解】设上半部分正常工作为事件M,下半部分正常工作为事件N, 该电子元件能正常工作为事件A, 则PM=(（1-)×(1-)=号P(网）=1-PM=1-= Pw)=(1-言×)×(1-)=品所以P网=1-PW=1-品-0 所以P=1-P网P冈=1-x号-袋 即该电子元件能正常工作的概率是号 故选：C 二、多选题 9.(25-26高一上·浙江杭州阶段检测)有一个掷骰子的游戏，骰子六个面上分别标有16六个数字，第一个 人将一颗骰子抛掷一次，第二个人将一颗骰子抛掷2次，第三个人将一颗骰子抛掷3次…第个人将一颗 第28页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 骰子抛掷n次，记A,表示“第n个人n次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于”现有下列结论正确的有() A.A1必然发生 B。A,发生的概率为器 C.A4可能发生 D.A5发生的概率大于0 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】确定性事件与随机事件的概率、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】可根据随机事件、必然事件等的定义进行判断A,C,D:根据概率乘法公式及对立事件概率公式 计算判断B. 【详解】对于A:,抛掷1次出现的点数最小为1， 第1个人1次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和一定大于 ,所以A1为必然事件： 对于B:,抛掷2次出现的点数和最小为2， 4表示第2个人2次抛掷敬子时朝上的面上的点数之和大于号=2号 除了最小值其他值都符合题意，所以4，发生的概率为1-×莞正确： 对于C::A,表示第4个人4次抛瑰酸子时朝上的面上的点数之和大于号=号=20 而4次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和最大为24，所以A4可能发生： 对于D::46表示第5个人5次抛宽般子时潮上的面上的点数之和大于号-型=60子 而5次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和最大为30， 所以A5不可能发生，即A5发生的概率为0，错误； 故选ABC 10.（25-26高一上山东日照，期末)一台机器每启动一次都随机地出现一个4位数字A=a1a2a3a4, 其中A的各位数字aE{0,1(i=1,2,3,4),则() A.A的所有可能结果构成的样本空间中共有16个样本点 B.若A的各位数字都等可能地取值0或1，则A=1110的概率大于A=0011的概率 C,若A的各位数字都等可能地取值0或1，则A中各位数字之和是3的概率为 D.若a1=1,Qx(k=2,3④出现0的概率为号，出现1的概率为，则A中各位数字怡有两个0的概率为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、计算古典概型问题的概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据每个数位上的数字均有两种可能判断A,根据古典概型的概率公式判断B、C,根据相互独立 事件的概率公式判断D. 【详解】对于A:每个数位上的数字均有两种可能，所以一共有2×2×2×2=16个结果， 故A的所有可能结果构成的样本空间中共有16个样本点，故A正确： 对于B:若A的各位数字都等可能地取值0或1，则属于古典概型问题， 1110、0011都为一个样本点，所以A=1110的概率等于A=0011的概率且都为品故B错误： 第29页共38页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 对于C:若A中各位数字之和是3，则有1110,0111,1011,1101共4个样本点， 所以A中各位数字之和是3的概率为=子故C正确： 对于D:若A中各位数字恰有两个0，即ak(k=2,3,4)中有两个0， 所以概率p=××+号××号+x×号手故D正确 故选：ACD 11.(22-23高一上辽宁大连·期末)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概 率为a(0<a<1,a≠0.5)，收到0的概率为1-a:发送1时，收到0的概率为β(0<B<1,B≠0.5)，收 到1的概率为1一B.若在信道内依次发送信号1,0，为了检验，收到信号的一端将收到的信号发回到输入 端.下列说法正确的是() A.“收到的信号为1,0"是“传回的信号为1,0的充分条件 B.“收到的信号为1,0与“传回的信号为1,0不一定是相互独立的 C.若a=B,则事件“传回的信号为1,0"的概率一定大于0.25 D.若a=0.8,B=0.6,则事件“传回的信号为1,0的概率为31.68% 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】充分条件、基本（均值）不等式的应用、独立事件的判断 【分析】A选项，计算出收到信号为1,0和传回信号为1,0的概率，故“收到的信号不为1,0”时，“传回 的信号也可能为1,0，A错误：B选项，设传回信号为1,0为事件A,收到信号为1,0为事件B,计算 出则P(A),P(B)与P(AB),举出反例得到P(A)P(B)不一定等于P(AB),故B错误；C选项，得到P(A)=[(1- )2+2],由基本不等式得到(1-)2+2>子C正确：D选项，代入计算即可. 【详解】A选项，收到信号为1,0的概率为(1-a(1-B),则传回信号为1,0的概率为[(1-a)(1-B)], 即“收到的信号不为1,0”时，“传回的信号也可能为1,0”， 显然“收到的信号为1,0”不是“传回的信号为1,0”的充分条件，A错误： B选项，收到信号为0,0的概率为B(1-),则传回信号为1,0概率为aβ(1-)2， 收到信号为1,0的概率为(1-a)(1-B),则传回信号为1,0的概率为[(1-a)(1-)]2, 收到信号为0,1的概率为aB,则传回信号为1,0的概率为(aβ)2， 收到信号为1,1的概率为a(1-B),则传回信号为1,0的概率为a(1-B), 所以传回信号为1,0概率为aB(1-a)2+(aβ)2+[(1-a)(1-B)]+B(1-B)2, 设传回信号为1,0为事件A,收到信号为1,0为事件B, 则P(A)=aB(1-a)2+(aβ)2+[(1-a)(1-B)]2+aB(1-B)2,P(B)=(1-a(1-B): P(AB)=[(1-a)(1-B)]2, 则P(A)P(B)不一定等于P(AB), 比如当a=0.4,B=0.7时， [(1-a)(1-B)]·{aβ(1-a2+(aB)2+[(1-a)(1-B)]+aβ(1-B)2} 第30页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =0.6×0.3×{0.28×(1-0.4)2+(0.28)2+[1-0.4)×(1-0.7)]2+0.28×(1-0.7)2}=0.18×{0.28× 0.62+(0.28)+0.182+0.28×0.09}=0.18×0.2368=0.042624, 而[(1-a)1-B)]=(0.6×0.3)2=0.0324, 故“收到的信号为1,0”与“传回的信号为1,0不一定是相互独立的，B正确： c选项，由a=B得，P(4)=ar2(1-a)2+a4+(1-a)+a2(1-a)2=[1-a)2+a2], 而0-y+心2之-专而a宁即不能取等号，故1-+号 2 所以P(A)>C正确： D选项，由a=0.8,B=0.6, 则P(A)=aB(1-a)2+(aβ)2+[(1-am)(1-B)]+B(1-B)2 =0.8×0.6×(1-0.8)2+(0.8×0.6)2+[(1-0.8)×(1-0.6)]+0.8×0.6×(1-0.6)2 =0.48×0.04+0.482+(0.2×0.42+0.8×0.6×0.42=0.3328,D错误. 故选：BC 三、填空题 12.(24-25高一下·湖南长沙期末)设样本空间2={1,2,3,4}含有等可能的样本点，若事件A,B是2的子集， 且A,B互相独立，其中n(A)=2,n(B)=2则P(AUB)=· 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率、独立事件的乘法公式 【分析】先计算P(A)=是，P(8®)=而AB互相独立，得P(AB)=P(④P(O)=子再由PMUB)=P(0+ P(B)-P(AB)进行求解. 【i详解】因为n(④=2n⑧)=2，所以P(0=P8)= 而A,B互相独立，得P(AB)=P(AP(B)=×量 则PMuB)=P()+P(B)-P(MB)=+片是 故答案为： 13.(2025上海普陀.一模)设m∈R,同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件A表示“第一枚骰子向上的点 数为奇数”，事件B表示“两枚骰子向上的点数之和为m”(2≤m≤12)，若事件A与事件B相互独立，则m 的一个可取值为 【答案】3（或5、7、9、11其中之一） 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】设第一次的点数为a,第二次的点数为b,进而依次讨论m=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12的情况即可 得答案 【详解】设第一次的点数为a,第二次的点数为b, 第31页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则两次抛掷两枚质地均匀的骰子的结果记为(a,b),其中a,b∈1,2,3,4,5,6}，共36种基本事件， 故由思知，P④=君= 当m=2时，B的基本事件为1,1)，AB的基本事件为(1,1).故P(B)=六P(AB)=石 P(AB)≠P(A)P(B),事件A与事件B不独立： 当m=3时，B的基本事件为(1,2，(2,1)，AB的基本事件为(，2)，故P(0)=元=。P(4B)=高 P(AB)=P(A)P(B),事件A与事件B相互独立： 当m=4时，B的基本事件为(1,3)，(3,1)，(2,2)，AB的基本事件为(1,3)，(3,1)， 故P(B)=元=品P(AB)=元=点P(AB)≠P(0P(B)事件A与事件B不独立： 当m=5时，B的基本事件为(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，AB的基本事件为(1,4)，(3,2)， 故P(B)=若=专P(AB)=元=。P(AB)=P(AP(B)事件A与事件B相互独立： 当m=6时，B的基本事件为(1,5)，(5,1)，(2,4④，(42)，(3,3)，AB的基本事件为(1,5)，(5,1)，(3,3)， 放P(8)=高P(AB)=元=立P(A8)≠P(AP(6)事件A与事件B不独立： 当m=7时，B的基本事件为(1,6)，(6,1)，(25)，(5,2)，(3,4)，(4,3)，AB的基本事件为(1,6)，(5,2)，(3,4)， 放P(⑧)=无-名P(AB)=品=立P(AB)=P(0P(⑧)事件A与事件B相互独立： 当m=8时，B的基本事件为(2,6)，(6,2)，(3,5)，(5,3)，(4,4)，AB的基本事件为(3,5)，(5,3)， 放P(B)=高P(AB)=元-点P(AB)≠P(④P(B)事件A与事件B不独立： 当m=9时，B的基本事件为(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，AB的基本事件为(3,6)，(5,4)， 故P(B)=若片P(AB)=品=品P(AB)=P(0P(B),事件A与事件B相互独立 当m=10时，B的基本事件为(4,6)，(6,4)，(5,5)，AB的基本事件为(5,5)， 故P(B)=元=立P(AB)=六P(AB)≠P(P(B),事件A与事件B不独立： 当m=11时，B的基本事件为(5,6)，(6,5)，AB的基本事件为(5,6)， 故P(8)=元-合P(AB)=六P(AB)=P(A)P(B),事件A与事件B相互独立： 当m=12时，B的基本事件为(6,6)，AB的基本事件为0， 故P(B)=元P(AB)=0,P(AB)≠P(AP(B),事件A与事件B不独立； 综上，m的可能取值为3,5,7,9,11 故答案为：3（或5、7、9、11其中之一） 14.（24-25高二下·河北沧州阶段检测)甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人 先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续 比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束.假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概 率为：甲、丙比赛，甲获胜的概率为号，乙、丙比赛，乙获胜的概率为，则甲与乙比赛负1场且最终甲获 胜的概率为 【答案】 第32页共38页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】根据题意，列举出“甲与乙比赛负1场且最终甲获胜”的所有基本事件，利用独立事件的概率乘法公 式计算出相应概率 【详解】设甲乙比赛中甲胜乙负为事件A,甲负乙胜为事件A;甲丙比赛中甲胜丙负为事件B,甲负丙胜为事 件B;乙丙比赛中乙胜丙负为事件C,乙负丙胜为事件C. 设甲与乙比赛负1场且最终甲获胜为事件M, P(M)=P(ABACB)+P(ABACA)+P(ACABA)+P(ACBAB) 故答案为：音 四、解答题 15.(23-24高一下·广东湛江·期末)Mtlb是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处 理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础 教育和基础科学的发展，某中学举行了Mtlb科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地 参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为品 (1)求乙答对题的概率： (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率。 【答案】(1：(2号：【难度】0.94 【知识点】独立事件的实际应用、独立事件的乘法公式 【分析】(1)根据题意列出关于的方程(1-p)2=二解得即可。 16 (2)两人共答对3次，只可能为甲答对2次乙答对1次或甲答对1次乙答对2次，列式解得即可. 【详解】(1)设“甲答对每题的概率”为事件A,“乙答对每题的概率“为事件B, 由已知P(A)=,P(8)=P 则乙连续2次答错的概率P=(1-p), 由题意得1-)2=。解得和=或（舍去）， 乙答对腿的概率为是 (2)事件甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次，可表示为事件：甲答对一次、乙2次全部答对， 与事件：乙只答对一次、甲2次全部答对的和事件 甲答对一次、乙2次全部答对的概率为2x×(1-)×(倡)=量 乙只答对一次、甲2次全部答对的概率为2×××)=最 故两人共答对3次的概率为品+是一君 所以甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次的概率为号 第33页共38页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(24-25高一下山东临沂·期末)猜灯谜是元宵节特色活动之一.甲、乙两人独立地参加了今年的元宵节猜 灯谜活动，已知甲猎对的概率为号，乙猎对的概率为p,甲、乙都猎不对的概率为号活动中，甲和乙猜对与 否互不影响. (1)求p:(2)求甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率. 【答案】1：(2名 【难度】0.85 【知识点】概率的基本性质、独立事件的乘法公式 【分析】(1)利用独立事件的乘法公式和对立事件的性质求解即可： (2)利用概率的性质求解即可. 【详解】(1)设事件A为“甲能猜对灯谜”，事件B为“乙能猜对灯谜”， 由题意得，A与B相互独立，且P(A)=,P(B)=p, 故甲、乙都猜不对的概率：P(AB)=P(④P(D)=(（1-)×1-p)=飞 故p= (2)甲、乙恰有一人猜对灯谜的事件为AB UAB, 且P(AB UAB))=P(A间+P(AB)=×(1-)+(1-)×号=G 故甲、乙拾有一人猜对灯谜的概率为品 17.（23-24高一下·北京·期末)某学校为了解高一新生体质健康状况，对学生体质进行测试. 现从男、女生中各随机抽取40人，测试数据按《国家学生体质健康标准》整理如下： 等级 数据范围 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分 优秀 [90,100 10 91.3 4 91 良好 [80,89 8 83.9 8 84.1 及格 [60,79 16 70 22 70.2 不及格 60以下 6 49.6 6 49.1 总计 40 75.0 40 71.9 (1)若按规定测试数据不低于60，则称体质健康为合格.试估计该校高一新生体质健康合格的概率： (2)在高一新生中，随机选取一名男生和一名女生，试估计恰有一人的体质健康等级是优秀的概率： (3)已知表中男生与女生在优秀、良好、及格、不及格四个等级的各级平均分都接近（差的绝对值不大于0.5）， 但男生的总平均分75.0却明显高于女生的总平均分71.9. 经研究发现，若去掉四个等级中一个等级的数据，则男生、女生的总平均分也接近，请写出去掉的这个等 级.（只需写出结论） 【答案】(1品(2品：(3)去掉的等级为优秀。 【难度】0.65 【知识点】相互独立事件与互斥事件、用平均数的代表意义解决实际问题、独立事件的乘法公式、计算古 第34页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 典概型问题的概率 【分析】(1)首先确定合格人数和总人数，然后利用古典概型计算公式可得体质健康合格的概率； (2)首先确定从男生、女生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀的概率，然后结合独立性事件概率 公式可得满足题意的概率值： (3)结合表格给出所需去掉的等级即可。 【详解】(1)样本中合格的学生数为：10+4+8+8+16+22=68，样本总数为：40+40=80，这名 学生体质健康合格的概率为号=品 (2)设事件A为从男生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”，P(④=号-号 事件B为从女生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀，P(⑧)=音=品 因为A,B为独立事件， 故所求概率为P(AB+AB)=P(A)+PB)=P()1-P(B)+1-P(A)P(B)=×品+X-品 (3)男生良好的和女生良好的人数一样，不及格的人数也一样，及格的人数比女生要少，最终的平均分高， 说明了优秀的分数占多，去掉的等级为优秀，才能够把平均分降下来，与女生的持平 所以去掉的是优秀等级的 18.(23-24高一下河南新乡.期末)在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场， 每场比赛中，胜、平、负分别积3,1,0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛若出现积分相同 的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛假定积分相同的 球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B,C,D三支积分相同的球队同时争夺第二名，则 每个球队夺得第二名的概率相同)己知某小组内的A,B,C,D四支球队实力相当，且每支球队在每场比 赛中胜、平、负的概率都是子，每场比赛的结果相互独立。 (1)求A球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率； (2)已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A球队胜2场，负1场，求A球队最终小组出线的概率. 【答案】：2品 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的实际应用、独立事件的乘法公式 【分析】(1)分类讨论只积3分的可能情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解： (2)由题意，若A球队参与的3场比赛中胜2场，负1场，根据获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两 名，分情况讨论结合独立事件概率乘法公式运算求解 【详解】(1)A球队在小组赛的3场比赛中只积3分，有两种情况. 第一种情况：A球队在3场比赛中都是平局，其概率为××兮一品 第二种情况：A球队在3场比赛中胜1场，负2场，其概率为×号××3= 33●3 故所求概率为宁+。音清 (2)不妨假设A球队参与的3场比赛的结果为A与B比赛，B胜：A与C比赛，A胜：A与D比赛，A胜， 第35页共38页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此情况下，A积6分，B积3分，C,D各积0分. 在剩下的3场比赛中： 若C与D比赛平局，则C,D每队最多只能加4分，此时C,D的积分都低于A的积分，A可以出线： 若B与C比赛平局，后面2场比赛的结果无论如何，都有两队的积分低于A,A可以出线： 若B与D比赛平局，同理可得A可以出线 故当剩下的3场比赛中有平局时，A一定可以出线 若剩下的3场比赛中没有平局，则当B,C,D各赢1场比赛时，A可以出线. 当B,C,D中有一支队伍胜2场时， 若C胜2场，B胜1场，4,8，C争夺第一、二名，则A淘汰的概率对×××品 若D胜2场，B胜1场，A,B,D争夺第一、二名，则A淘汰的概率为×××品 其他情况A均可以出线。 综上，A球队最终小组出线的概率为1- (倍+)=器 19.（25-26高一上湖南邵阳·期末)1934年-1936年红军完成伟大长征，该壮举实现了中国革命事业从挫折 到胜利的伟大转折，是中华民族复兴进程中的丰碑.2026年恰逢红军长征胜利90周年，为传承长征精神， 某校计划开展以“传承长征精神，续写时代华章”为主题的观影活动同学们通过参加三个不同的游戏可以获 得观影票，每个游戏需各玩一次且结果互不影响，每位同学可以自主安排参加这三个游戏的先后顺序，连 胜两个游戏可以获得一张观影票，连胜三个游戏可以获得两张观影票，否则无法获得观影票已知一个盒子 中有5个大小质地完全相同的小球（编号为“1,2,3,4,5”），这三个游戏的规则如下： 游戏一：从盒子中随机摸出一个小球，若这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜： 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜： 游戏三：从盒子中不放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号之和为，则获胜. (1)分别求出同学参加游戏一，游戏二获胜的概率； (2)当m=4时，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？ (3)根据m的不同取值，同学如何安排游戏顺序，获得观影漂的概率最大？ 【答案】)游戏一，游戏二获胜的概率分别号。：(2)答案见解析：(3)答案见解析 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、计算古典概型问题的概率、利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件 的概率加法公式 【分析】(1)根据古典概型可得所求概率： (2)当m=4时，可求出游戏三获胜的概率，记事件E=“同学按自己选定的顺序参加三个游戏，获得观影 票”，事件M=“同学按自己选定的顺序参加第一个游戏，获胜"”，事件N=“同学按自己选定的顺序参加第二 个游戏，获胜”，事件T=“同学按自己选定的顺序参加第三个游戏，获胜”，且第一个游戏、第二个游戏、第 三个游戏为游戏一、二、三的一个排列，则事件M,T依次表示这位同学按自己选定的顺序参加第一个游戏、 第三个游戏没有获胜，讨论第二个游戏选择游戏几时获得观影票的概率，比较即可： 第36页共38页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)当m=3,4,8,9时，同(2)，当m=5,67时，参考(2)，比较即可. 【详解】(1)记事件A=“同学参加游戏一获胜”，事件B=“同学参加游戏二获胜”，事件C=“同学参加游戏 三获胜” 因为游戏一为从盒子中随机摸出一个小球，这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜， 所以P(A= 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜，即第一次摸 出“4”或“5”，第二次也摸出“4"或“5”， 所以PB=器-若 (2)游戏三的所有样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4，(3,5)， (4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3).(5,4,共20个， 当m=4时，获胜的样本点为(1,3)，(3,1)，有2个， 所以P(C=品=0 记事件E=“同学按自己选定的顺序参加三个游戏，获得观影票”， 事件M=“同学按自己选定的顺序参加第一个游戏，获胜”， 事件N=“同学按自己选定的顺序参加第二个游戏，获胜”， 事件T=“同学按自己选定的顺序参加第三个游戏，获胜”，且第一个游戏、第二个游戏、第三个游戏为游戏 一、二、三的一个排列， 则事件M,T依次表示这位同学按自己选定的顺序参加第一个游戏、第三个游戏没有获胜 所以E=MNT U MNT UMNT,其中M,N,T相互独立，MNT,MNT,MNT两两互斥， P(E)=P(MNT)+P(MNT)+P(MNT) =P(M)P(N)P(T)+P(M)P(N)P(T)+P(M)P(N)P(T), 无论同学参加这三个游戏的先后顺序如何，都有POM)PCW)P(T=号×若×品=志 所以P(E)=PO[P(WP(T+P(OP(T]+高 所以，根据乘法交换律，第一个游戏和第三个游戏的位置不影响获得观影票的概率的大小， 其大小取决于第二个游戏的选择，下面以第二个游戏的选择为研究对象分三种情况进行讨论： ①若第二个游戏选择游戏一，则获得观影票的概率为 P,(0)×信×品+培×)+击=品+击=品+点=品 ②若第二个游戏选择游戏二，则获得观影票的概率为 P()x×品+x)+ ③若第二个游戏选择游戏三，则获得观影票的概率为 P,(回品×后×器+号×)+高品 因为P1(E)>P2(E)>P3(E), 所以为使获得观影票的概率最大，同学应将游戏一放在第二个游戏的位置，第一个游戏可在游戏二、三中 第37页共38页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 任选，进而确定第三个游戏 (3)考虑游戏三中m的所有取值情况，如下表所示： 第二次 第一次 1 2 3 1 1 6 2 5 9 5 6789 由表格知，P(m-3)=P(m=4)=P(m=8)=P(m=9)=0 PGm=5)=P(m=6)=P(m=7刀= 当m=3,48,9时，同学按(2)将游戏一放在第二个游戏的位置，第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而 确定第三个游戏. 当m=567时，P0WPMP0-含x言×品 8 ①若第二个游戏选择游戏一，则获得观影票的概率为 p回-x层×+培×)+品=器 ②若第二个游戏选择游戏二，则获得观影票的概率为 P回-若××+x)+品=品 ③若第二个游戏选择游戏三，则获得观影票的概率为 P回=x×器+x)+品=品 因为P1(E)>P3(E)>P2(E),所以为使获得观影票的概率最大，同学仍应将游戏一放在第二个游戏的位置 (中间位置)，第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. 综上，无论取何值，都应将游戏一置于第二个游戏的位置（中间位置），第一个游戏可在游戏二、三中任 选，进而确定第三个游戏。 第38页共38页 5-5 事件的相互独立性 讲义 教学目标 理解事件的独立性与互斥事件的区别，掌握概率的乘法公式. 教学重点 概率的乘法公式. 教学难点 事件的独立性与互斥事件的区别. 知识点01 事件的相互独立性 1.事件的相互独立 设A，B为两个事件，若P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A，B相互独立，简称为独立. 2.事件相互独立的性质 （1）事件A与事件B相互独立，即事件A(或B)是否发生，对事件B(或A)发生的概率没有影响. （2）若事件A，B独立，则计算P(A∩B)的公式为P(A∩B)=P(A)P(B). （3）若事件A，B相互独立，则事件A与与B， 与也相互独立. （4）相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件 互斥事件 条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件 符号 相互独立事件A，B同时发生， 记作：A∩B(或AB) 互斥事件A，B中有一个发生， 记作：A∪B(或A+B) 公式 P(A∩B)=P(A)·P(B) P(A∪B)=P(A)+P(B) 2.判断事件的独立性 （1）直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率. （2）定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立， 即两个事件同时发生的概率是否等于每个事件发生的概率的乘积. （3）转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立，转化为判断A与或与B或与是否相互独立. 【即学即练1-1】（24-25高一下·山东烟台·阶段检测）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，设事件“第二枚硬币正面向上”，则（    ） A．事件与互为对立事件 B．事件与为互斥事件 C．事件与事件概率相等 D．事件与相互独立 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据对立事件、互斥事件、独立事件以及随机事件的概率等知识点进行逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 事件与事件能同时发生，不是对立事件，所以A错误； 对于选项B： 事件与事件能同时发生，不是互斥事件，所以B错误； 对于选项C： 事件与事件不是相同事件，所以C错误； 对于选项D： 因为， 所以，所以事件与相互独立，所以D正确. 故选：D. 【即学即练1-2】（多选）（25-26高一上·山东潍坊·期末）已知口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球，从中有放回地随机取2次，每次取1个球.记事件M为“第一次摸到红球”，N为“第二次摸到白球”，Q为“两次摸出的球颜色相同”，则下列说法正确的有（） A． B．M与Q互斥 C． D．M与N相互独立 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、有放回与无放回问题的概率、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件、独立事件、和事件概率的计算公式，依次计算、判断互斥性、计算、验证独立性，逐一判定选项正误. 【详解】每次取红球概率为，取白球概率为. 第二次取球与第一次无关，每次摸到白球的概率均为，因此，A正确. 第一次摸到红球且第二次摸到红球，和可以同时发生，不互斥，B错误. 因为. ，，=， 所以，C正确. ，，满足，因此与相互独立，D正确. 故选：. 知识点02 利用事件的相互独立性求概率 由简单事件通过运算得到复杂事件，进而利用互斥、对立、独立等关系计算概率. 1.对事件进行分解，一方面分解为互斥的几类简单事件求概率； 另一方面分解为独立的几类，利用事件同时发生(乘法)求出概率. 2.已知两个事件A，B，那么 （1）A，B中至少有一个发生为事件A+B. （2）A，B都发生为事件AB. （3）A，B都不发生为事件 . （4）A，B恰有一个发生为事件A+B. （5）A，B中至多有一个发生为事件A+B+. 3.求较复杂事件的概率的一般步骤 （1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示. （2）分析事件之间的关系(是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式. （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算. （4）当直接计算事件的概率较复杂时，可先计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率. 【即学即练2-1】（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据独立事件的乘法公式可判断A；根据对立事件的概率计算结合独立事件的概率公式可判断B，C，D. 【详解】设事件A表示“甲做对”，事件B表示“乙做对”，则，. 对于A，两人都做对的概率为，故A正确； 对于B，恰好有一人做对的概率为，故B正确； 对于C，两人都做错的概率为，故C错误； 对于D，至少有一人做对的概率为，故D正确． 【即学即练2-2】（多选）（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，结合独立事件的概率公式判断A；选项B举例说明；选项C分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解；选项D分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解. 【详解】甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，所以概率为，选项A正确； 四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 即甲得9分，乙、丙、丁各得2分，四支球队的积分总和为15分，选项B正确； 丙队积3分的情况为胜1平0负2或者胜0平3负0， 胜1平0负2的概率为，胜0平3负0的概率为， 丙队积分为3分的概率为，选项C错误； 若甲胜乙，甲队以胜1场，乙队以负1场，甲还需对丙丁胜1场，乙需对丙丁全胜， 概率为， 若乙胜甲，乙队以胜1场，甲队以负1场，乙还需对丙丁胜1场，甲需对丙丁全胜， 概率为， 若甲乙平，甲需对丙、丁全胜，乙需对丙、丁全胜，概率为， 甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 选项D正确. 题型01 相互独立事件的判断 【典例1-1】（24-25高一下·贵州安顺·期末）若，，则关于事件A与B的关系正确的是（   ） A．事件A与B相互独立但不互斥 B．事件A与B互斥但不相互独立 C．事件A与B相互独立且互斥 D．事件A与B既不相互独立也不互斥 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】利用相互独立事件的判断方法即，而互斥事件是不可能同时发生，从而可得到判断. 【详解】因为，所以，则， 又因为，所以，则事件A与B相互独立， 由于，则事件A与B可以同时发生，即它们不是互斥事件，故A只有正确， 故选：A 【典例1-2】（25-26高一上·山西忻州·期末）一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】由和互斥事件、对立事件定义即可判断AB；由即可判断C；由交事件定义计算即可判断D. 【详解】将2个红球、2个绿球和2个蓝球分别记为， 则从袋中一次性随机取出2个球的样本空间为共15个样本点， 由题意共3个样本点，共9个样本点， 共14个样本点，共6个样本点， 所以，故A与D不互斥，故A错误； ，故B与C不互斥，故B错误； 因为，一个样本点， 所以，即，故C错误； ，故D正确. 故选：D 【典例1-3】(多选)（25-26高一上·河南南阳·期末）（改编自北师大必修一 P197例1）袋中有白球个（编号为、、）、黑球个（编号为、），这个球除颜色、编号外完全相同．现在从中不放回地依次摸取出个，每次摸个，记事件为“第一次取到的球编号为”，事件为“第一次取到的球是黑球”，事件为“取到的两个球都是白球”．则（   ） A．与互斥 B． C． D．与独立 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、利用对立事件的概率公式求概率、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】利用互斥事件的定义可判断A选项；利用对立事件的概率公式可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；利用独立事件的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，事件“第一次摸到编号为的黑球”，故与不互斥，A错； 对于B选项，将个编号为、、的白球分别记为、、， 将个编号为、的黑球分别记为、，基本事件总数为， ， 所以，B对； 对于C选项，，所以，C对； 对于D选项，， ， ， 所以，，， 所以，故、不独立，D错. 故选：BC. 【典例1-4】（22-23高三下·上海闵行·阶段检测）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件M：该家庭中有男孩、又有女孩，事件N：该家庭中最多有一个女孩，则下列说法正确的是________． ①若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥；        ②若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立； ③若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥；    ④若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立． 【答案】②③④ 【难度】0.65 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】若该家庭中有两个小孩，写出对应的样本空间即可判断①②；若该家庭中有三个小孩，写出对应的样本空间判断③④作答. 【详解】若该家庭中有两个小孩，样本空间为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)， (男,女),(女,男)(男,男),(男,女),(女,男)，(男,女),(女,男)， 则M与N不互斥，①错误； ，，，则，所以M与N不相互独立，②正确； 若该家庭中有三个小孩， 样本空间为(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)， (男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男)， (男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男)， (男,男,女),(男,女,男),(女,男,男)，则M与N不互斥，③正确； ，，，于是，所以M与N相互独立，④正确． 所以说法正确的是②③④. 故答案为：②③④ 【变式1-1】（24-25高一下·安徽阜阳·期末）对于随机事件，下列说法错误的是（    ） A．如果事件与事件互为对立事件，那么 B．如果事件与事件满足，那么 C．如果，是一个随机试验中的两个事件，那么 D．对任意两个事件与，如果，那么事件与事件相互独立 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】概率的基本性质、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的判断 【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的定义，结合概率的基本性质逐项判断. 【详解】对于A，由事件与事件互为对立事件，得，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，当事件不互斥时，，则 ，C错误； 对于D，由，得事件与事件相互独立，D正确. 故选：C 【变式1-2】（25-26高一下·天津·期末）分别抛掷质地均匀的两枚硬币．设事件 “第一枚硬币正面朝上”， “第二枚硬币反面朝上”．则事件与关系描述正确的为（　　） A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系、独立事件的判断 【详解】对于A，因为事件和事件可以同时发生，所以不是互斥事件，所以A错误； 对于B，，，，所以事件和事件相互独立，所以B正确； 对于C，事件和事件可以同时发生，所以不是对立事件，所以C错误； 对于D，分别抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）四种情况， 事件包括（正正）（正反）两个基本事件，事件包括（正反）（反反）两种情况， 所以不相等，所以D错误． 【变式1-3】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则（    ） A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的包含关系 【详解】对于A，因为，，因此不包含，故A错误； 对于BC，因为，， 因此与不是对立事件，也不是互斥事件，故BC错误； 对于D，由于，，而， 故，所以， 所以A与B相互独立，故D正确． 【变式1-4】（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是），表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、独立事件的判断 【分析】根据互斥事件与对立事件的关系判断A,C；根据对立事件概率计算即可判断B；根据结合古典概型求解概率，结合独立事件概率性质即可判断D. 【详解】若两次掷出的点数之和是4，由于每次掷出的点数都在1到6之间， 所以第一次掷出的点数一定小于4，而“两次掷出的点数相同”中的“”的点数之和等于4， 故与不互斥，故A错误； “至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”， 所以，故B错误； 由于“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”．故B与D不是对立的，故C错误； 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组有种等可能的不同情况， 第二次掷出的点数为偶数的情况有共18种不同情况， 两次掷出的点数相同的情况有：共6种， 两次掷出的点数相同且第二次掷出的点数为偶数的情况有共3种情况， 所以， 所以，所以独立，故正确． 故选：D. 【变式1-5】(多选)（25-26高一上·河南焦作·期末）投掷一枚正四面体骰子，其各面的数字分别为1，2，3，4，记其投出后落地与水平面接触的数字为点数，连续投出两次，第一次得到的点数为，第二次得到的点数为，记事件“为偶数”，事件“为奇数”，事件“为偶数”，则下列正确的有（   ） A．与互斥 B．与相互独立 C．与相互独立 D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、独立事件的判断 【分析】根据事件的互斥与独立的定义对选项一一验证即可. 【详解】对于A选项，显然，不会同时发生，故二者互斥，A正确； 对于B选项，此时，B错误； 对于C选项，事件：，，，，，，，，故， 事件：，，，，故， 而事件：，，，，所以，C错误； 对于D选项，若为奇数，显然，一奇一偶，此时为偶数，显然，D正确. 故选：AD. 【变式1-6】（25-26高一下·北京·期中）为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件与事件相互独立的是______. 【答案】②③ 【难度】0.65 【知识点】独立事件的判断 【分析】根据图中事件的关系，结合独立事件的判定判断各项的正误即可. 【详解】对于①，由题图知，为的子集，所以，而为的真子集，则， 所以，故，①不正确； 对于②，由图得，则，，则有，所以图中事件相互独立，②正确； 对于③，设图中的小的长方形的面积为，由，，， 所以，则题图中事件相互独立，③正确. 题型02 相互独立事件与概率的乘法公式 【典例2-1】（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【详解】由题意可得，乙比赛两局直接获胜的概率为， 乙比赛完三局才获胜的概率为. 所以乙获胜的概率为. 【典例2-2】（23-24高一下·山东滨州·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，“n次中至多有一次正面朝上”．下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据对立事件结合独立事件概率乘法公式求.对于AB：代入，分析判断即可；对于CD：代入，结合事件的运算分析判断. 【详解】由题意可知：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面、反面向上的概率均为， 且事件“n次中均为正面朝上或均为反面朝上”，则， 则，， 且事件“n次中仅有一次正面朝上”，则. 对于选项AB：若，则，，， 可得，，故AB错误； 对于选项CD：若，则，，， 可得，， 即，故C正确，D错误； 故选：C. 【典例2-3】(多选)（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字，其中的各位数字中，，则（    ） A．的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点 B．若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则的概率大于的概率 C．若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则中各位数字之和是4的概率为 D．若出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】由样本空间的定义判断A，根据古典概型概率计算公式，互斥事件的加法及独立事件的乘法公式判断BCD． 【详解】对于A，由于的各位数字中，都可能为0或1，则的所有实验结果构成的样本空间中有个样本点，正确； 对于B，若的各位数字都是等可能地取值0或1，则 ，所以的概率等于的概率，错误； 对于C，若的各位数字都是等可能地取值为0或1，如果中各位数字之和是4，即5个数字中有4和“1”和1个“0”， 可能情况有：，共有5种等可能情况，其概率，正确； 对于D，由于，数字中恰有2个0，即在四个数中恰好有2个0,2个1， 可能情况有：，共有6种情况， 启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为，正确； 故选：ACD． 【典例2-4】（23-24高一下·安徽合肥·期末）将共21个正整数排成六行，按照第一行1个数，第二行2个数，．．．，第六行6个数的顺序排列，则每一行中最大的数都小于其后一行中最大的数的概率是______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、独立事件的乘法公式 【分析】通过分析最大数在第行的概率，得到规律，从而可求得结果. 【详解】设是从上往下数第行的最大数， 设的概率为． 最大数在第行的概率为：． 在排好第行后余下的个数排在前行，符合要求的排列的概率为， ，以此类推，． 当时，． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）某商场举行抽奖活动，规则如下：从一个装有3个红球和2个白球的箱子中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则中奖，则中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】分析可知两个球的颜色依次为红红或白白，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】若摸出的2个球颜色相同则中奖，则两个球的颜色依次为红红或白白， 所以中奖的概率为. 【变式2-2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知，是相互独立事件，若，，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据独立事件、互斥事件、对立事件的概率公式计算. 【详解】因为，是相互独立事件，所以，和，均相互独立， 因为两两互斥， 所以， 因为，所以， 则，得． 故选：A 【变式2-3】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知甲、乙两名运动员进行射击比赛，各射击一次，是否中靶相互独立.若恰好一人中靶的概率为0.26，至少一人中靶的概率为0.98，则甲、乙两人都中靶的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】设甲射击一次中靶的概率为，乙射击一次中靶的概率为，根据题意建立方程组，整体法可求得，即甲、乙两人都中靶的概率. 【详解】设甲射击一次中靶的概率为，乙射击一次中靶的概率为， 因为甲、乙是否中靶相互独立，且恰好一人中靶的概率为， 所以，展开得.① 又至少有一人中靶的概率为，即，所以， 展开得.② 由①+②得，解得，即甲、乙两人都中靶的概率是. 故选：C 【变式2-4】（23-24高一下·吉林·期末）甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：（1）累计负两场者被淘汰；（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签甲､乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，将丙最终获胜的可能情况进行分类，分别求出各类事件发生的概率，再由互斥事件概率公式计算可得． 【详解】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，注意丙轮空时， 甲乙比赛结果对下面丙获胜概率没有影响（或者用表示）， 若比赛4场，丙最终获胜，则丙3场全胜，概率为， 若比赛5场，丙最终获胜，则从第二场开始的4场比赛按照丙的胜负轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，所以丙获胜的概率为． 故选：B． 【变式2-5】(多选)（23-24高三上·江苏苏州·阶段检测）某区四所高中各自组建了排球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时（    ） A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分 C．甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 D．甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁，结合独立事件的概率公式运算判断A；举例比赛的各种得分情况判断B；由互斥事件与独立事件的概率公式计算概率判断CD． 【详解】对于选项A：若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁， 所以甲队积分为9分的概率为，故A正确； 对于选项B：四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，所以四支球队的积分总和可能为15分，故B正确； 对于选项C：每场比赛中两队胜、平、负的概率都为， 则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为，故C错误； 对于选项D：甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分， 三队中选一队与甲比赛，甲输，，例如是丙甲， 若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分， 这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于4分，不合题意， 在丙输的情况下，乙、丁已有3分， 那个它们之间的比赛无论什么情况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意； 若甲全赢（概率是）时，甲得6分，其他3人分数最高为5分， 这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢否则丙的分数不小于6分，只有全平或全输， ①若丙一平一输，概率，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率； ②若丙两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意； ③若两场丙都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是； 综上概率为，故D正确． 故选：ABD． 【变式2-6】（23-24高一下·安徽铜陵·期末）甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为__________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】首先求出甲在一轮比赛中得分、分的概率，乙在一轮比赛中得分、分的概率，设在这一轮中，满足且为事件，则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】依题意甲队在一轮比赛中得分的概率为， 甲队在一轮比赛中得分的概率为， 乙队在一轮比赛中得分的概率为： ， 乙队在一轮比赛中得分的概率为：， 设在这一轮中，满足且为事件， 则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分， 所以， 即在这一轮中，满足且的概率为.故答案为： 题型03 相互独立事件与互斥事件 【典例3-1】（22-23高一上·吉林·阶段检测）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为i”，其中，“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（    ） A．与B互斥 B． C．与相互独立 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】相互独立事件与互斥事件、事件的运算及其含义、独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】对于选项中的事件，分别写出对应的基本事件构成的集合，依次分析，即可. 【详解】对于A，，，与B不互斥，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，与不能同时发生，是互斥事件，不是相互独立事件，故C错误； 对于D，，，，故D正确. 故选：D. 【典例3-2】（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】相互独立事件与互斥事件、独立事件的判断 【分析】A选项，根据甲乙项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与乙项目互斥；B选项，根据甲丁项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与丁项目互斥且对立；C选项，根据参与甲项目与参与丁项目对立和得到，然后得到，，，最后利用乘法公式判断；D选项，利用乘法公式判断即可. 【详解】设总人数为，记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件， 由题意可得，故， 故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误； 由题意可得，，故， 故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误； 由题意得， 故，， 故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误； ，故参与甲项目与丙项目相互独立，故D正确． 故选：D． 【典例3-3】(多选)（24-25高一下·湖南长沙·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（   ） A．A与B为互斥事件 B． C． D．B与C相互独立 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】概率的基本性质、相互独立事件与互斥事件、计算古典概型问题的概率 【分析】首先根据题意将的可能情况列出来，然后根据互斥事件、独立事件和概率知识对选项逐一判断即可. 【详解】不放回的随机取两次，共有种不同结果. 共15种结果； 共15种结果. 共12种结果. , 对于选项A：事件和事件能同时发生，比如，所以不是互斥事件，所以A错误； 对于选项B：，所以B正确； 对于选项C：，，所以，所以C错误； 对于选项D：，. 由于，所以相互独立，所以D正确. 故选：BD. 【典例3-4】（23-24高一下·安徽黄山·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则___________. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】相互独立事件与互斥事件、独立事件的乘法公式 【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，解得：. 故答案为： 【变式3-1】（22-23高一下·江苏宿迁·期末）下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（    ） A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、相互独立事件与互斥事件 【分析】根据互斥事件、对立事件、独立事件的概念进行判断即可. 【详解】互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误，B正确； 互斥事件一定不能同时发生，而独立事件可以同时发生，所以互斥事件一定不是独立事件，独立事件可能互斥也可能不互斥，故C，D均错误. 故选：B. 【变式3-2】（22-23高一下·河北衡水·期末）下列说法正确的是（    ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件 B．若A，B为两个事件，且，则A与B互斥 C．若，，则事件A，B相互独立与事件A，B互斥可以同时成立 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、相互独立事件与互斥事件、判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断 【分析】根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义和性质逐个分析判断即可. 【详解】对于A，当事件A与B互斥时，A与B不一定相互对立，但A与B相互对立时，A与B一定互斥，故“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，故A错误； 对于B，若A，B为两个事件，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，，若事件A，B相互独立，则，故事件A，B不互斥，若事件A，B互斥，则，，故事件A，B不独立，故C错误； 对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是A与B不对立，故D错误． 故选：B． 【变式3-3】（23-24高一下·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】写出样本空间、相互独立事件与互斥事件、判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系 【分析】列举出样本空间、事件和事件，即可判断A；对于BD：根据互斥事件、对立事件的概念分析判断；对于C：根据事件概率乘法公式分析判断. 【详解】用每次取球的结果，分别表示甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号， 由题意可知：样本空间； 事件；事件，； 对于选项A：因为，所以事件A和不相等，故A错误； 对于选项BD：因为事件， 所以事件A和互斥，事件A和不互相对立，故B错误，D正确； 对于选项C：因为， 则， 显然，所以事件A和不相互独立，故C错误； 故选：D. 【变式3-4】（23-24高一下·河南安阳·阶段检测）袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（    ） A．事件A与B是互斥事件 B．事件A与B是对立事件 C．事件C与D相互独立 D．事件C与D不是互斥事件 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】相互独立事件与互斥事件、确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】首先列举样本空间，利用样本空间法，结合互斥，对立事件的定义，判断ABD，根据与的关系，判断C. 【详解】袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5， 从中随机取出两个球的试验样本空间包含的样本点为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10个， 其中事件A包含的样本点为：（1,3），（1,5），（3,5）共3个，故， 事件B包含的样本点为：（1,2），（1,4），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（4,5）共7个，故； 事件C包含的样本点为：（1,3），（1,5），（2,4），（3,5）共4个，故， 事件D包含的样本为：（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共6个，故， 因为事件，，故事件A与B互斥且对立，故A，B正确； 因为,所以C与D不相互独立，故C错误. 因为,所以C与D不互斥，故D正确. 故选:C. 【变式3-5】（多选）（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知，是随机事件，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．，为对立事件 C．，相互独立 D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】相互独立事件与互斥事件、互斥事件与对立事件关系的辨析、独立事件的判断 【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的性质直接求解. 【详解】，是随机事件，，且， 对于A， ，即， ，即， 又，故，A正确； 对于BCD，因为， 所以，由于，， 则，所以，不是对立事件； 又，所以，不是相互独立事件，故BC错误，D正确. 故选：AD 【变式3-6】（23-24高二上·上海·期末）当一个不均匀的骰子滚动的时候，出现偶数的概率是奇数的3倍.骰子滚动了两次则出现的数字之和为偶数的概率是_______. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、相互独立事件与互斥事件 【分析】确定出现一次偶数或一次奇数的概率，求出两次都是偶数和两次都是奇数的概率，相加即可. 【详解】根据题意可得出现偶数的概率为，出现奇数的概率为， 则骰子滚动了两次，两次都是偶数的概率为，两次都是奇数的概率为， 则两次出现的数字之和为偶数的概率是. 故答案为： 题型04 相互独立事件的应用 【典例4-1】（23-24高二上·广东佛山·期末）已知甲、乙两人射击的命中率分别是和．现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，则甲、乙分配猎物的比例应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】独立事件的实际应用 【分析】计算出只有甲或只有乙打中猎物的概率，即可得出甲、乙分配猎物的比例. 【详解】因为甲、乙两人射击的命中率分别是和， 现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪， 只有甲打中猎物的概率为，只有乙打中猎物的概率为 所以，甲、乙分配猎物的比例应该是. 故选：A. 【典例4-2】（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”,对下雨的次数进行分类讨论，求出各种情况下，两天都不淋雨的概率，再结合对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，连续上两天班，上班、下班的次数共有次． （1）次均不下雨，概率为； （2）有次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为； （3）有次下雨但不淋雨，共种情况： ①同一天上下班均下雨； ②两天上班时下雨，下班时不下雨； ③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨， 概率为； （4）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，概率为； （5）次均下雨，概率为：； 两天都不淋雨的概率为， 所以至少有一天淋雨的概率为：， 故选：C． 【典例4-3】（多选）（24-25高二下·山东青岛·期中）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为收到1的概率为．共有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发一次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到0，1，1，则译码为1）．则（   ） A．采用单次传输方案，若依次发送0，0，则收到两个译码恰好有一个正确的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则收到的译码为1的概率为 C．采用单次传输方案，若随机发送一个信号（发送0和发送1的概率都是），则收到的译码为1的概率为 D．当时，若发送0，采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】独立事件的实际应用、独立事件的乘法公式 【分析】根据独立事件的概率乘法公式以及列举法判断各选项即可. 【详解】对于A，由题意，采用单次传输方案，收到两个译码恰好有一个正确的概率为 ，故A错误； 对于B，采用三次传输方案，若发送1，译码为1的情况分别为“”、“”、“”、“”， 则译码为1的概率为，故B正确； 对于C，采用单次传输方案，则收到的译码为1的概率为 ，故C正确； 对于D，若发送0，采用三次传输方案译码为0的情况有“”、“”、“”、“”， 所以收到译码为0的概率； 若发送0，采用单次传输方案译码为0的概率为， 由，且， 则，即，故D正确； 故选：BCD. 【典例4-4】（23-24高二上·上海·期末）某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为____________． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】独立事件的实际应用、独立事件的乘法公式 【分析】首先由题意抽象为独立事件同时发生的事件，再代入概率公式，即可求解. 【详解】设答错第一道选择题为事件，答错第二道选择题为事件,两事件相互独立， 且， 两个题都选错为事件，则. 故答案为： 【变式4-1】（23-24高三上·河北·阶段检测）某大学强基测试有近千人参加，每人做题最终是否正确相互独立，其中一道选择题有5个选项，假设若会做此题则必能答对.参加考试的同学中有一部分同学会做此题；有一半的同学完全不会，需要在5个选项中随机蒙一个选项；剩余同学可以排除一个选项，在其余四个选项中随机蒙一个选项，最终统计该题的正答率为30%，则真会做此题的学生比例最可能为（    ） A．5% B．10% C．15% D．20% 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】独立事件的实际应用、计算古典概型问题的概率 【分析】设测试总人数为，真会做此题的学生人数为，再由已知列式计算得解. 【详解】设测试总人数为，真会做此题的学生人数为， 依题意，，解得. 故选：B 【变式4-2】（23-24高一下·安徽六安·期末）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这360枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（    ） A．甲180枚，乙180枚 B．甲288枚，乙72枚 C．甲240枚，乙120枚 D．甲270枚，乙90枚 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】独立事件的实际应用、独立事件的乘法公式 【分析】利用独立事件的概率公式进行求解即可. 【详解】根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为， 假设两人继续进行比赛，甲获取360枚金币有：第四局甲赢，或第四局甲输，第五局甲赢， 故概率为， 乙获取360枚金币有：第四、五局乙都赢，故概率为， 则甲应该获得枚金币，乙应该获得枚金币， 故选：D 【变式4-3】（23-24高二下·江苏泰州·期中）已知事件和相互独立，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】独立事件的实际应用 【分析】利用相互独立事件概率公式计算即可. 【详解】因为事件和相互独立，事件为和事件， 则， 所以，解得； 故选：D 【变式4-4】（23-24高三上·湖南·阶段检测）为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】独立事件的实际应用、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】利用事件的相互独立性求解.法一，所求事件转化为互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即可；法二，利用对立事件的概率和为，间接法可得. 【详解】设事件“甲猜对”，“乙猜对”，“几何队至少猜对一个成语”， 所以，则. 由题意知，事件相互独立，则与，与，与也相互独立， 法一：，且两两互互斥， 则. 法二：事件的对立事件“几何队一个成语也没有猜对”，即， 则. 故选：B. 【变式4-5】（多选）（22-23高二下·山东青岛·期中）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为0.6．0.5．0.4，则（    ） A．该棋手三盘三胜的概率为0.12 B．若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手在赢得第一盘比赛的前提下连赢三盘的概率为0.4 C．若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手连赢2盘的概率为0.26 D．记该棋手连赢2盘为事件A，则当该棋手在第二盘与甲比赛最大 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】独立事件的实际应用、独立事件的乘法公式 【分析】对A，根据独立事件乘法公式即可判断，对B，转化为求连赢后两盘的概率，对C，分情况计算即可，对D，分别计算出第2盘与甲、乙、丙比赛连胜两盘的概率，比较大小即可. 【详解】对于A，棋手胜三盘的概率为，故A正确； 对于B，棋手在胜甲的前提下连胜3盘的事件就是余下两盘连胜乙，丙的事件， 其概率为，故B错误； 对于C，连胜两盘事件的概率为，故C正确； 对于D，第2盘与甲比赛连胜两盘的概率， 第2盘与乙比赛连胜两盘的概率， 第2盘与丙比赛连胜两盘的概率， 因此，故D正确. 故选：ACD. 【变式4-6】（22-23高三下·海南海口·期中）给如图所示的1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随机选一个未涂色且与上次所涂方格不相邻（即没有公共边）的格子进行涂色，当5号格子被涂色后停止涂色，记此时已被涂色的格子数为X，则___________.    【答案】/0.08 【难度】0.4 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】明确对应的事件的含义即“第3次涂5号格子”，再考虑第一次选取的是角上的格子还是边中间的格子，分别求出两种情况下的概率，即可求得答案. 【详解】由题意知“”等价于“第3次涂5号格子”， 若第一次涂的是四个角上的格子，以1号格子为例， 第二次可以涂，要想第三次涂5号，第二次必须选填号中的一个， 第三次需从5个格子里选取5号格子，这种情况的概率为； 若第一次涂的是四边中间的格子，以2号格子为例， 第二次可以涂，要想第三次涂5号，第二次必须涂号中的一个， 第三次需从5个格子里选取5号格子，这种情况的概率为； 故， 故答案为： 一、单选题 1.（25-26高一下·全国·课堂例题）一袋中装有100只球．其中有20只白球，在有放回的摸球中，记“第一次摸得白球”，“第二次摸得白球”，则事件与是（   ） A．相互独立事件 B．对立事件 C．互斥事件 D．无法判断 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】独立事件的判断 【分析】根据相互独立事件的定义判断. 【详解】由于采用有放回地摸球，所以每次是否摸到白球互不影响， ，，，， 所以事件与是相互独立事件. 故选：A. 2.（25-26高一下·全国·课后作业）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则至少有一个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】应用独立事件概率乘积公式及互斥事件概率和公式计算求解. 【详解】根据题意至少有一个红球的概率为． 故选：C. 3.（25-26高一上·江西抚州·期末）已知甲、乙两名运动员击中目标的概率分别为，，且2人是否击中目标相互独立，若他们2人向目标各发1枪，则目标被击中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据独立事件概率乘法公式结合对立事件概率公式运算求解. 【详解】设甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件， 则，，且，可得，， 所以. 故选：B. 4.（24-25高一下·湖北武汉·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“两次掷出的点数相同”，事件“第一次掷出的点数是偶数”，则（   ） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型的概率计算公式和相互独立的公式即可求解. 【详解】对A：掷两次骰子，基本事件有个，事件 “两次掷出的点数之和是6”包含：，，，，共5个基本事件，所以，故A错误； 对B：事件都包含基本事件有：，，，，，共6个，所以；事件包含的基本事件有：，所以, 因为，故与不相互独立，故B错误； 对C：事件：“第一次掷出的点数是偶数”，所以,事件包含的基本事件有：，，，所以，因为，所以事件，相互独立，故C正确； 对D：因为事件包含：，共2个基本事件，所以，因为，故事件与不相互独立，故D错误. 故选：C 5.（24-25高一下·新疆·期末）已知甲、乙两袋中分别装有编号为1、2、3、4的四个球．从甲、乙两袋中各取出一个球，每个球被取出的可能性相同．事件A：从甲袋中取出的球的编号是偶数；事件B：从乙袋中取出的球的编号是奇数；事件C：取出的两个球的编号都是偶数或都是奇数．给出下列命题：①事件A与事件B为互斥事件；②事件B与事件A相互独立；③事件C与事件A相互独立．那么这三个命题中真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】写出总的情况以及事件A，B，C包含的情况，从而根据互斥事件和独立事件的定义进行判断，得到结论. 【详解】甲、乙两袋中各取出一个球，总的情况分别为， ，共16种， 其中事件A包含，共8种， 事件B包含，共8种， 事件C包含，共8种， 对于①，，故事件A与事件B不为互斥事件，为假命题； 对于②，，又， 故，事件B与事件A相互独立，为真命题； 对于③，，， 又，故，事件C与事件A相互独立，为真命题； 故选：C 6.（24-25高一下·广东广州·期末）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，用表示事件中的样本点个数．若，，，，，，，，则（   ） A．与对立 B．与不对立 C．与互斥 D．与相互独立 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、互斥事件的概率加法公式、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥、对立、相互独立事件的概率公式进行判断. 【详解】由题意可得：，，，，，，. 对于A，因为，所以与互斥但不对立，故A错误； 对于B，因为，若，则此时与对立，故B错误； 对于C，当与对立时，所以 ,，所以与不互斥，故C错误； 对于D，因为，所以与相互独立，故D正确. 故选：D. 7.（22-23高一下·广东肇庆·期末）给定一个正整数，从集合中随机抽取一个数，记事件“这个数为偶数”，事件“这个数为3的倍数”.下列说法正确的是（    ） A．若，，则至少存在一个，使事件和事件不独立 B．若，，则存在无穷多个，使事件和事件独立 C．若为奇数，则至少存在一个，使事件和事件独立 D．若为偶数，则对任意的，事件和事件独立 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】独立事件的判断 【分析】主要是用判断事件的相互独立性. 【详解】对于A，对于任意，， 即事件和事件独立， A不正确. 对于B，当时，满足； 当时，满足； 以此类推，当时，，，满足； 故存在无穷多个，使事件和事件独立，B正确. 对于C，当时，， 此时显然； 当时，， 此时显然； 当时，， 此时显然； 综上可知，对任意奇数，事件和事件都不独立；C不正确. 对于D，当时， D不正确. 故选：B. 8.（23-24高一下·河北张家口·期末）如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，根据相互独立事件的概率公式求出、，即可求出、，再根据对立事件及独立事件的概率公式计算可得. 【详解】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件， 该电子元件能正常工作为事件， 则，， ，所以， 所以， 即该电子元件能正常工作的概率是. 故选：C 二、多选题 9.（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）有一个掷骰子的游戏，骰子六个面上分别标有1~6六个数字，第一个人将一颗骰子抛掷一次，第二个人将一颗骰子抛掷2次，第三个人将一颗骰子抛掷3次……第n个人将一颗骰子抛掷n次，记表示“第n个人n次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于.现有下列结论正确的有（   ） A．必然发生 B．发生的概率为 C．可能发生 D．发生的概率大于0 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】确定性事件与随机事件的概率、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】可根据随机事件、必然事件等的定义进行判断A，C，D；根据概率乘法公式及对立事件概率公式计算判断B. 【详解】对于A：∵抛掷1次出现的点数最小为1， 第1个人1次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和一定大于，所以为必然事件； 对于B：∵抛掷2次出现的点数和最小为2， 表示第2个人2次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于， 除了最小值其他值都符合题意，所以发生的概率为正确； 对于C：∵表示第4个人4次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于， 而4次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和最大为24，所以可能发生； 对于D：∵表示第5个人5次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于， 而5次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和最大为30， 所以不可能发生，即发生的概率为0，错误； 故选ABC. 10.（25-26高一上·山东日照·期末）一台机器每启动一次都随机地出现一个位数字，其中的各位数字，则（    ） A．的所有可能结果构成的样本空间中共有16个样本点 B．若的各位数字都等可能地取值0或1，则的概率大于的概率 C．若的各位数字都等可能地取值0或1，则中各位数字之和是3的概率为 D．若，出现0的概率为，出现1的概率为，则中各位数字恰有两个0的概率为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、计算古典概型问题的概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据每个数位上的数字均有两种可能判断A，根据古典概型的概率公式判断B、C，根据相互独立事件的概率公式判断D. 【详解】对于A：每个数位上的数字均有两种可能，所以一共有个结果， 故的所有可能结果构成的样本空间中共有16个样本点，故A正确； 对于B：若的各位数字都等可能地取值0或1，则属于古典概型问题， 、都为一个样本点，所以的概率等于的概率且都为，故B错误； 对于C：若中各位数字之和是3，则有共个样本点， 所以中各位数字之和是3的概率为，故C正确； 对于D：若中各位数字恰有两个，即中有两个， 所以概率，故D正确. 故选：ACD 11.（22-23高一上·辽宁大连·期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.若在信道内依次发送信号1，0，为了检验，收到信号的一端将收到的信号发回到输入端.下列说法正确的是（    ） A．“收到的信号为1，0”是“传回的信号为1，0”的充分条件 B．“收到的信号为1，0”与“传回的信号为1，0”不一定是相互独立的 C．若，则事件“传回的信号为1，0”的概率一定大于0.25 D．若，，则事件“传回的信号为1，0”的概率为31.68% 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】充分条件、基本（均值）不等式的应用、独立事件的判断 【分析】A选项，计算出收到信号为1，0和传回信号为1，0的概率，故“收到的信号不为1，0”时，“传回的信号也可能为1，0”，A错误；B选项，设传回信号为1，0为事件A，收到信号为1，0为事件B，计算出则，与，举出反例得到不一定等于，故B错误；C选项，得到，由基本不等式得到，C正确；D选项，代入计算即可. 【详解】A选项，收到信号为1，0的概率为，则传回信号为1，0的概率为， 即“收到的信号不为1，0”时，“传回的信号也可能为1，0”， 显然“收到的信号为1，0”不是“传回的信号为1，0”的充分条件，A错误； B选项，收到信号为0，0的概率为，则传回信号为1，0概率为， 收到信号为1，0的概率为，则传回信号为1，0的概率为， 收到信号为0，1的概率为，则传回信号为1，0的概率为， 收到信号为1，1的概率为，则传回信号为1，0的概率为， 所以传回信号为1，0概率为， 设传回信号为1，0为事件A，收到信号为1，0为事件B， 则，， ， 则不一定等于， 比如当时， ， 而， 故“收到的信号为1，0”与“传回的信号为1，0”不一定是相互独立的，B正确； C选项，由得，， 而，而，即不能取等号，故， 所以，C正确； D选项，由，， 则 ，D错误. 故选：BC. 三、填空题 12.（24-25高一下·湖南长沙·期末）设样本空间含有等可能的样本点，若事件是的子集，且互相独立，其中 则=_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率、独立事件的乘法公式 【分析】先计算，而互相独立，得，再由进行求解． 【详解】因为，所以， 而互相独立，得， 则， 故答案为： 13.（2025·上海普陀·一模）设，同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件表示“第一枚骰子向上的点数为奇数”，事件表示“两枚骰子向上的点数之和为”（），若事件与事件相互独立，则的一个可取值为___________. 【答案】3（或5、7、9、11其中之一） 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】设第一次的点数为，第二次的点数为，进而依次讨论的情况即可得答案. 【详解】设第一次的点数为，第二次的点数为， 则两次抛掷两枚质地均匀的骰子的结果记为，其中，共种基本事件， 故由题知，， 当时，的基本事件为，的基本事件为，故，， ，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为，故，， ，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件不独立； 综上，的可能取值为 故答案为：3（或5、7、9、11其中之一） 14.（24-25高二下·河北沧州·阶段检测）甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束.假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概率为，甲、丙比赛，甲获胜的概率为，乙、丙比赛，乙获胜的概率为，则甲与乙比赛负1场且最终甲获胜的概率为__________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】根据题意，列举出“甲与乙比赛负1场且最终甲获胜”的所有基本事件，利用独立事件的概率乘法公式计算出相应概率. 【详解】设甲乙比赛中甲胜乙负为事件，甲负乙胜为事件；甲丙比赛中甲胜丙负为事件，甲负丙胜为事件;乙丙比赛中乙胜丙负为事件，乙负丙胜为事件. 设甲与乙比赛负1场且最终甲获胜为事件， 则 ， 故答案为： 四、解答题 15.（23-24高一下·广东湛江·期末）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． (1)求乙答对题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 【答案】(1)；(2)；【难度】0.94 【知识点】独立事件的实际应用、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据题意列出关于的方程解得即可. （2）两人共答对3次，只可能为甲答对2次乙答对1次或甲答对1次乙答对2次，列式解得即可. 【详解】（1）设“甲答对每题的概率”为事件，“乙答对每题的概率”为事件， 由已知， 则乙连续2次答错的概率， 由题意得，解得或（舍去）， 乙答对题的概率为． （2）事件甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次，可表示为事件：甲答对一次、乙2次全部答对， 与事件：乙只答对一次、甲2次全部答对的和事件． 甲答对一次、乙2次全部答对的概率为， 乙只答对一次、甲2次全部答对的概率为， 故两人共答对3次的概率为． 所以甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次的概率为． 16.（24-25高一下·山东临沂·期末）猜灯谜是元宵节特色活动之一.甲、乙两人独立地参加了今年的元宵节猜灯谜活动，已知甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为.活动中，甲和乙猜对与否互不影响. (1)求；(2)求甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率. 【答案】(1)；(2) 【难度】0.85 【知识点】概率的基本性质、独立事件的乘法公式 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式和对立事件的性质求解即可； （2）利用概率的性质求解即可. 【详解】（1）设事件为“甲能猜对灯谜”， 事件为“乙能猜对灯谜”， 由题意得，与相互独立，且,， 故甲、乙都猜不对的概率：, 故. （2）甲、乙恰有一人猜对灯谜的事件为, 且， 故甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率为. 17.（23-24高一下·北京·期末）某学校为了解高一新生体质健康状况，对学生体质进行测试. 现从男、女生中各随机抽取40人，测试数据按《国家学生体质健康标准》整理如下： 等级 数据范围 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分 优秀 10 91.3 4 91 良好 8 83.9 8 84.1 及格 16 70 22 70.2 不及格 60以下 6 49.6 6 49.1 总计 \ 40 75.0 40 71.9 (1)若按规定测试数据不低于60，则称体质健康为合格.试估计该校高一新生体质健康合格的概率； (2)在高一新生中，随机选取一名男生和一名女生，试估计恰有一人的体质健康等级是优秀的概率； (3)已知表中男生与女生在优秀、良好、及格、不及格四个等级的各级平均分都接近（差的绝对值不大于0.5），但男生的总平均分75.0却明显高于女生的总平均分71.9. 经研究发现，若去掉四个等级中一个等级的数据，则男生、女生的总平均分也接近，请写出去掉的这个等级.（只需写出结论） 【答案】(1)；(2)；(3)去掉的等级为优秀. 【难度】0.65 【知识点】相互独立事件与互斥事件、用平均数的代表意义解决实际问题、独立事件的乘法公式、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）首先确定合格人数和总人数，然后利用古典概型计算公式可得体质健康合格的概率； （2）首先确定从男生、女生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀的概率，然后结合独立性事件概率公式可得满足题意的概率值； （3）结合表格给出所需去掉的等级即可. 【详解】（1）样本中合格的学生数为：，样本总数为：，这名学生体质健康合格的概率为. （2）设事件为“从男生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”， . 事件为“从女生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”, . 因为为独立事件， 故所求概率为 . （3）男生良好的和女生良好的人数一样，不及格的人数也一样，及格的人数比女生要少，最终的平均分高，说明了优秀的分数占多，去掉的等级为优秀，才能够把平均分降下来，与女生的持平. 所以去掉的是优秀等级的. 18.（23-24高一下·河南新乡·期末）在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B，C，D三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A，B，C，D四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是，每场比赛的结果相互独立. (1)求A球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率； (2)已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A球队胜2场，负1场，求A球队最终小组出线的概率. 【答案】(1)；(2) 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的实际应用、独立事件的乘法公式 【分析】（1）分类讨论只积3分的可能情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）由题意，若A球队参与的3场比赛中胜2场，负1场，根据获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）A球队在小组赛的3场比赛中只积3分，有两种情况. 第一种情况：A球队在3场比赛中都是平局，其概率为. 第二种情况：A球队在3场比赛中胜1场，负2场，其概率为. 故所求概率为. （2）不妨假设A球队参与的3场比赛的结果为A与B比赛，B胜；A与C比赛，A胜；A与D比赛，A胜. 此情况下，A积6分，B积3分，C，D各积0分. 在剩下的3场比赛中： 若C与D比赛平局，则C，D每队最多只能加4分，此时C，D的积分都低于A的积分，A可以出线； 若B与C比赛平局，后面2场比赛的结果无论如何，都有两队的积分低于A，A可以出线； 若B与D比赛平局，同理可得A可以出线. 故当剩下的3场比赛中有平局时，A一定可以出线. 若剩下的3场比赛中没有平局，则当B，C，D各赢1场比赛时，A可以出线. 当B，C，D中有一支队伍胜2场时， 若C胜2场，B胜1场，A，B，C争夺第一、二名，则A淘汰的概率为； 若D胜2场，B胜1场，A，B，D争夺第一、二名，则A淘汰的概率为. 其他情况A均可以出线. 综上，A球队最终小组出线的概率为. 19.（25-26高一上·湖南邵阳·期末）1934年-1936年红军完成伟大长征，该壮举实现了中国革命事业从挫折到胜利的伟大转折，是中华民族复兴进程中的丰碑.2026年恰逢红军长征胜利90周年，为传承长征精神，某校计划开展以“传承长征精神，续写时代华章”为主题的观影活动.同学们通过参加三个不同的游戏可以获得观影票，每个游戏需各玩一次且结果互不影响，每位同学可以自主安排参加这三个游戏的先后顺序，连胜两个游戏可以获得一张观影票，连胜三个游戏可以获得两张观影票，否则无法获得观影票.已知一个盒子中有5个大小质地完全相同的小球（编号为“”），这三个游戏的规则如下： 游戏一：从盒子中随机摸出一个小球，若这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜； 游戏三：从盒子中不放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号之和为，则获胜. (1)分别求出同学参加游戏一，游戏二获胜的概率； (2)当时，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大? (3)根据的不同取值，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？ 【答案】(1)游戏一，游戏二获胜的概率分别为，；(2)答案见解析；(3)答案见解析 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、计算古典概型问题的概率、利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）根据古典概型可得所求概率； （2）当时，可求出游戏三获胜的概率，记事件“同学按自己选定的顺序参加三个游戏，获得观影票”，事件“同学按自己选定的顺序参加第一个游戏，获胜”，事件“同学按自己选定的顺序参加第二个游戏，获胜”，事件“同学按自己选定的顺序参加第三个游戏，获胜”，且第一个游戏、第二个游戏、第三个游戏为游戏一、二、三的一个排列，则事件，依次表示这位同学按自己选定的顺序参加第一个游戏、第三个游戏没有获胜，讨论第二个游戏选择游戏几时获得观影票的概率，比较即可； （3）当时，同（2），当时，参考（2），比较即可. 【详解】（1）记事件“同学参加游戏一获胜”，事件“同学参加游戏二获胜”，事件“同学参加游戏三获胜”. 因为游戏一为从盒子中随机摸出一个小球，这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜， 所以； 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜，即第一次摸出“4”或“5”，第二次也摸出“4”或“5”， 所以. （2）游戏三的所有样本点为 共个， 当时，获胜的样本点为，有2个， 所以， 记事件“同学按自己选定的顺序参加三个游戏，获得观影票”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第一个游戏，获胜”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第二个游戏，获胜”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第三个游戏，获胜”，且第一个游戏、第二个游戏、第三个游戏为游戏一、二、三的一个排列， 则事件，依次表示这位同学按自己选定的顺序参加第一个游戏、第三个游戏没有获胜. 所以，其中，，相互独立，，，两两互斥， 则 , 无论同学参加这三个游戏的先后顺序如何，都有. 所以. 所以，根据乘法交换律，第一个游戏和第三个游戏的位置不影响获得观影票的概率的大小， 其大小取决于第二个游戏的选择，下面以第二个游戏的选择为研究对象分三种情况进行讨论： ①若第二个游戏选择游戏一，则获得观影票的概率为 ； ②若第二个游戏选择游戏二，则获得观影票的概率为 ； ③若第二个游戏选择游戏三，则获得观影票的概率为 . 因为， 所以为使获得观影票的概率最大，同学应将游戏一放在第二个游戏的位置，第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. （3）考虑游戏三中的所有取值情况，如下表所示： 第二次 第一次 1 2 3 4 5 1 3 4 5 6 2 3 5 6 7 3 4 5 7 8 4 5 6 7 9 5 6 7 8 9 由表格知，， ， 当时，同学按（2）将游戏一放在第二个游戏的位置，第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. 当时，， ①若第二个游戏选择游戏一，则获得观影票的概率为 ； ②若第二个游戏选择游戏二，则获得观影票的概率为 ； ③若第二个游戏选择游戏三，则获得观影票的概率为 . 因为，所以为使获得观影票的概率最大，同学仍应将游戏一放在第二个游戏的位置（中间位置），第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. 综上，无论取何值，都应将游戏一置于第二个游戏的位置（中间位置），第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5-5事件的相互独立性讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01相互独立事件的判断 题型02相互独立事件与概率的乘法 5-5事件的相互独立性 知识点01事件的相互独立性 公式 题型03相互独立事件与互斥事件 知识点02利用事件的相互独立性求概率 题型04相互独立事件的应用 教学目标、教学重难点 教学目标 理解事件的独立性与互斥事件的区别，掌握概率的乘法公式. 教学重点 概率的乘法公式。 教学难点 事件的独立性与互斥事件的区别. 知识清单 知识点01事件的相互独立性 1.事件的相互独立 设A,B为两个事件，若P(A∩B)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立，简称为独立. 2.事件相互独立的性质 (1)事件A与事件B相互独立，即事件A(或B)是否发生，对事件B(或A)发生的概率没有影响. (2)若事件A,B独立，则计算P(A∩B)的公式为P(A∩B)=P(A)P(B) (3)若事件A,B相互独立，则事件A与B,A与B,A与B也相互独立. (4)相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件 互斥事件 条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件 符号 相互独立事件A,B同时发生， 互斥事件A,B中有一个发生， 公式P(AnB)=P(A)·P(B) P(AUB)=P(A)+P(B) 2.判断事件的独立性 (1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率. (2)定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立， 即两个事件同时发生的概率是否等于每个事件发生的概率的乘积， (3)转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立，转化为判断A与B或A与B或A与B是否相互独立 【即学即练1-1】(24-25高一下山东烟台阶段检测)抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正 面向上”，设事件B=“第二枚硬币正面向上”，则() A.事件A与B互为对立事件 B.事件A与B为互斥事件 第1页共14页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.事件A与事件B概率相等 D.事件A与B相互独立 【即学即练1-2】（多选）(25-26高一上山东潍坊·期末)已知口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和2 个白球，从中有放回地随机取2次，每次取1个球.记事件M为“第一次摸到红球”，N为“第二次摸到白球”， Q为“两次摸出的球颜色相同”，则下列说法正确的有() A.P(N)=2 B.M与Q互斥 C.P(MUQ)= D.M与N相互独立 知识点02利用事件的相互独立性求概率 由简单事件通过运算得到复杂事件，进而利用互斥、对立、独立等关系计算概率。 1.对事件进行分解，一方面分解为互斥的几类简单事件求概率； 另一方面分解为独立的几类，利用事件同时发生（乘法）求出概率。 2.已知两个事件A,B,那么 (1)A,B中至少有一个发生为事件A+B. (2)A,B都发生为事件AB (3)A,B都不发生为事件AB. (4)A,B恰有一个发生为事件AB+BA (5)A,B中至多有一个发生为事件AB+BA+AB. 3.求较复杂事件的概率的一般步骤 (1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示 (2)分析事件之间的关系（是互斥还是对立，或者是相互独立），列出关系式 (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算 (4)当直接计算事件的概率较复杂时，可先计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率， 【即学即练2-1】(25-26高一下.江西宜春.阶段检测)甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8， 乙做对的概率为07，两人做题互不影响，下列说法错误的是() A.两人都做对的概率是0.56 B.恰好有一人做对的概率是0.38 C.两人都做错的概率是0.44 D.至少有一人做对的概率是0.94 【即学即练2-2】（多选）(25-26高一下，贵州遵义阶段检测)某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙 队”“丙队”“丁队”)进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排 列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的 概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是() A.甲队积分为9分的概率为号 B.四支球队的积分总和可能为15分 C.丙队积分为3分的概率为品 D.甲队胜2场且乙队胜2场的概率为宁 第2页共14页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01相互独立事件的判断 【典例1-1】(24-25高一下.贵州安顺期末)若P(A)=P(B=,P(AB)=?,则关于事件A与B的关系正 确的是() A.事件A与B相互独立但不互斥 B.事件A与B互斥但不相互独立 C.事件A与B相互独立且互斥 D.事件A与B既不相互独立也不互斥 【典例1-2】(25-26高一上山西忻州·期末)一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2 个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件A=“2个球颜色相同”，事件B=“2个 球中至少有一个红球”，事件C=“2个球中至多有一个红球”，事件D="2个都不是红球”，则() A.A与D互斥 B.B与C对立C.A与B相互独立D.C∩D=D 【典例1-3】（多选）(25-26高一上河南南阳·期末)（改编自北师大必修一P197例1）袋中有白球3个（编 号为1、2、3)、黑球2个（编号为1、2），这5个球除颜色、编号外完全相同.现在从中不放回地依次摸 取出2个，每次摸1个，记事件A为“第一次取到的球编号为1"”，事件B为“第一次取到的球是黑球”，事件C 为“取到的两个球都是白球”.则() A.A与B互斥 B.P闷=品C.pAnc)=8 D.A与B独立 【典例1-4】（22-23高三下·上海闵行·阶段检测)某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能 的，设事件M:该家庭中有男孩、又有女孩，事件N该家庭中最多有一个女孩，则下列说法正确的是 ①若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥； ②若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立： ③若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥；④若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立. 【变式1-1】(24-25高一下·安徽阜阳·期末)对于随机事件，下列说法错误的是() A.如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)=1-P(B) B.如果事件A与事件B满足A∈B,那么P(A)≤P(B) C.如果A,B是一个随机试验中的两个事件，那么P(AUB)=P(A)+P(B) D.对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B),那么事件A与事件B相互独立 【变式1-2】(25-26高一下·天津期末)分别抛掷质地均匀的两枚硬币.设事件M=“第一枚硬币正面上”， N=“第二枚硬币反面朝上”.则事件M与N关系描述正确的为( A.互斥 B.相互独立 C.互为对立 D.相等 【变式1-3】(25-26高一下·贵州遵义阶段检测)掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A= {1,3,5},B={1,2,3,6}则() 第3页共14页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.B包含A B.A与B对立 C.A与B互斥 D.A与B相互独立 【变式1-4】（25-26高一上河南南阳·阶段检测)先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“两次掷出的 点数之和是4)，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至 少出现一个奇数点”，则() A.A与C互斥 B.P(D)=4 C.B与D对立 D.B与C相互独立 【变式1-5】（多选）(25-26高一上河南焦作期末)投掷一枚正四面体骰子，其各面的数字分别为1,2,3， 4,记其投出后落地与水平面接触的数字为点数，连续投出两次，第一次得到的点数为X,第二次得到的点 数为Y,记事件A=“X+Y为偶数”，事件B=“X+Y为奇数”"，事件C=“XY为偶数”，则下列正确的有() A.A与B互斥 B.A与B相互独立C.A与C相互独立D.P(BC)=P(B) 【变式1-6】(25-26高一下.北京期中)为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某 事件所包含样本点的数目，即四=A,其中S(A),S(8)为事件A,B对应区域的面积，U表示样本空间.下图 n(B)S(B) 中，事件A与事件B相互独立的是 U B=U AB AB AB AB ② ③ 题型02相互独立事件与概率的乘法公式 【典例2-1】(25-26高一下·安徽合肥阶段检测)甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获 胜的概率均为号， 每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为() A. B.27 c.27 0品 【典例2-2】（23-24高一下.山东滨州·期末)抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A=“n次中既有正面 上又有反面朝上”，B=“次中至多有一次正面朝上”.下列说法正确的是() A.当n=2时，P(AB)=P(B) B.当n=2时，P(AB)=P(A)P(B) C.当n=3时，P(AB)=P(A)P(B) D.当n=3时，P(A+B)=P(A)+P(B) 【典例2-3】（多选）(23-24高一下·黑龙江大庆期末)一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字 A=@四四四@@，其中A的各位数字中，a,∈{0,1i=1,23,45,则（） A.A的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点 B.若A的各位数字都是等可能地取值为0或1，则A=11100的概率大于A=00011的概率 C.若A的各位数字都是等可能地取值为0或1，则A中各位数字之和是4的概率为号 第4页共14页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.若a1=1,ax(k=2,3,4,5)出现0的概率为行出现1的概率为，则启动一次出现的数字A中恰有两个0的 概率为品 【典例2-4】(23-24高一下·安徽合肥期末)将1,2,3，，20,21共21个正整数排成六行，按照第一行1个数， 第二行2个数，..，第六行6个数的顺序排列，则每一行中最大的数都小于其后一行中最大的数的概率是 【变式2-1】(25-26高一上河北唐山阶段检测)某商场举行抽奖活动，规则如下：从一个装有3个红球和 2个白球的箱子中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则中奖，则中奖的概率为() A. B.Z C. D. 【变式2-2K25-26高一下.全国·课后作业)已知A,B是相互独立事件，若P(A)=0.2,P(AB+AB+AB)=0.44, 则P(B)=() A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 【变式2-3】（25-26高一上·湖南邵阳·期末)己知甲、乙两名运动员进行射击比赛，各射击一次，是否中靶 相互独立.若恰好一人中靶的概率为0.26，至少一人中靶的概率为0.98，则甲、乙两人都中靶的概率是() A.0.02 B.0.28 C.0.72 D.0.74 【变式2-4】(23-24高一下·吉林期末)甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：(1)累计负两 场者被淘汰：(2)比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；(3)每场比赛的胜者与轮空者进行下一 场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰：（4)当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人 被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束经抽签甲、乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为， 则丙最终获胜的概率为() A君 B.1 C. D. 【变式2-5】（多选）(23-24高三上·江苏苏州阶段检测)某区四所高中各自组建了排球队（分别记为“甲队”“乙 队”“丙队”“丁队")进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排 列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的 概率都为则在比赛结束时() A。甲队积分为9分的概率为号 B.四支球队的积分总和可能为15分 C.甲队胜3场且乙队胜1场的概率为， D。甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为， 【变式2-6】(23-24高一下·安徽铜陵·期末)甲、乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手 第5页共14页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概 率都为乙队中3名选手答对题的概率分别为号，}导在第一轮比赛中，甲队得x分，乙队得y分，则在这一 轮中，满足0<x-y≤2且y≠0的概率为 题型03相互独立事件与互斥事件 【典例3-1】(22-23高一上·吉林阶段检测)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A:=“向上的点数 为”，其中i=1,2,3,4,5,6,B=“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（) A.A1与B互斥 B.A2+B=2 C.A3与B相互独立D.A4∩B=0 【典例3-2】(24-25高一上河南焦作期末)某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科 研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目.若参与甲项目的有30人，参与乙项目的 有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与 了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是() A.参与甲项目与参与乙项目不互斥 B.参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C.参与丙项目与参与丁项目不相互独立D.参与甲项目与参与丙项目相互独立 【典例3-3】（多选）(24-25高一下·湖南长沙期末)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从 中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字 是奇数"”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则() A.A与B为互斥事件 B.P(B)= C.P(A+B)=D.B与C相互独立 【典例3-4】(23-24高一下·安徽黄山期末)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击 一次，已知甲中靶的概率子乙中靶的概率为m,每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射 击中，恰好有一人中靶的概率为易则m= 【变式31】(22-23高一下江苏宿迁期末)下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都 大于零)的说法中正确的是() A.互斥事件一定是对立事件 B.对立事件一定是互斥事件 C.互斥事件一定是独立事件 D.独立事件一定是互斥事件 【变式32】(22-23高一下.河北衡水.期末)下列说法正确的是() A.若A,B为两个事件，则“A与B互斥"是“A与B相互对立”的充分不必要条件 B.若A,B为两个事件，且P(A+B)=P(A)+P(B),则A与B互斥 C.若P(A)>0,P(B)>0,则事件A,B相互独立与事件A,B互斥可以同时成立 D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B相互对立 第6页共14页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式33】(23-24高一下云南期末)已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为1,3,4，乙盒中有 3个大小和质地相同的小球，标号为3,4,6，现从甲、乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件A=“摸到的两 个小球标号相同”，事件B=“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则() A.事件A和B相等B.事件A和B互相对立C.事件A和B相互独立D.事件A和B互斥 【变式3-4】（23-24高一下·河南安阳·阶段检测)袋子中有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5， 从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事 件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是() A.事件A与B是互斥事件 B.事件A与B是对立事件 C.事件C与D相互独立 D.事件C与D不是互斥事件 【变式35K多选)(23-24高二下.四川成都开学考试)已知A,B是随机事件，若P(4B)=P(AB)=子且P(AU B)=1,则下列结论正确的是() A.P(A)=P(B)B.A,B为对立事件 C.A,B相互独立D.PB)= 【变式36】(23-24高二上.上海·期末)当一个不均匀的骰子滚动的时候，出现偶数的概率是奇数的3倍.骰 子滚动了两次则出现的数字之和为偶数的概率是 题型04相互独立事件的应用 【典例41】(23-24高二上广东佛山期末)已知甲、乙两人射击的命中率分别是0.4和0.7.现二人同时向 同一猎物射击，发现猎物只中一枪，则甲、乙分配猎物的比例应该是() A.2:7 B.3:7 C.4:7D.5:7 【典例4-2】（24-25高三下.重庆沙坪坝阶段检测)小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用 于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把 回家如果天不下雨，那么他不带雨伞假设每天上班和下班时下雨的概率均为好不下雨的概率均为好，且与 过去情况相互独立现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为() A B.品 c器 0.器 【典例43】（多选)(24-25高二下.山东青岛·期中)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立，发送 0时，收到1的概率为a(0<<1),收到0的概率为1-a:发送1时，收到0的概率为β(0<B<1),收到 1的概率为1一B.共有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发一次；三次传输 是指每个信号重复发送3次.收到信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码：三 次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到0,1,1，则译码为1）.则() 第7页共14页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.采用单次传输方案，若依次发送0,0，则收到两个译码恰好有一个正确的概率为a(1-a) B.采用三次传输方案，若发送1，则收到的译码为1的概率为(1-B)(1+2β) C.采用单次传输方案，若随机发送一个信号（发送0和发送1的概率都是），则收到的译码为1的概率为 (a-B+1) D.当0<a<0.3时，若发送0，采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概 率 【典例44】（23-24高二上·上海·期末)某学生做两道选择题，己知每道题均有4个选项，其中有且只有一 个正确答案.该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 【变式4-1】(23-24高三上河北阶段检测)某大学强基测试有近千人参加，每人做题最终是否正确相互独 立，其中一道选择题有5个选项，假设若会做此题则必能答对参加考试的同学中有一部分同学会做此题； 有一半的同学完全不会，需要在5个选项中随机蒙一个选项；剩余同学可以排除一个选项，在其余四个选 项中随机蒙一个选项，最终统计该题的正答率为30%，则真会做此题的学生比例最可能为() A.5% B.10% C.15% D.20% 【变式42】(23-24高一下·安徽六安·期末)概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题： 博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金 币，先赢3局者可获得全部赎金：但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局问这360枚金币 的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该 分配方案是() A.甲180枚，乙180枚 B.甲288枚，乙72枚 C.甲240枚，乙120枚 D.甲270枚，乙90枚 【变式43】(23-24高二下江苏泰州期肿)己知事件A和B相互独立，P(A=子P(A+B)=专则P(B)= () A君 C.10 1 0. 【变式44】（23-24高三上湖南阶段检测)为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲、乙两名 数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概 率为，乙每轮猜对的概率为在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则几何队在一轮比赛中至少猜对 个成语的概率为() A. B.号 C.20 0动 【变式45】（多选）(22-23高二下山东青岛期中)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结 第8页共14页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为0.6.0.5.0.4，则（) A.该棋手三盘三胜的概率为0.12 B.若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手在赢得第一盘比赛的前提下连赢三盘的概率为0.4 C.若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手连赢2盘的概率为0.26 D.记该棋手连赢2盘为事件A,则当该棋手在第二盘与甲比赛P(A)最大 【变式46】(22-23高三下海南海口·期中)给如图所示的1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开 始涂色，之后每次随机选一个未涂色且与上次所涂方格不相邻（即没有公共边）的格子进行涂色，当5号 格子被涂色后停止涂色，记此时已被涂色的格子数为X,则P(X=3)=」 强化训练 一、单选题 1.(25-26高一下.全国课堂例题)一袋中装有100只球.其中有20只白球，在有放回的摸球中，记A1=“第 一次摸得白球”，A2=“第二次摸得白球”，则事件A1与A2是() A.相互独立事件B.对立事件 C.互斥事件 D.无法判断 2.(25-26高一下全国课后作业)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是影，从 两袋中各摸出1个球，则至少有一个红球的概率为() A. 88 C. D. 3.(25-26高一上江西抚州期末)已知甲、乙两名运动员击中目标的概率分别为0.7,0.8，且2人是否击中 目标相互独立，若他们2人向目标各发1枪，则目标被击中的概率为() A.0.56 B.0.94 C.0.96 D.0.06 4.(24-25高一下·湖北武汉·期末)抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A=“两次掷出的点数之和是6”，事件B=“两 次掷出的点数相同”，事件C=“第一次掷出的点数是偶数”，则() A.PA)=吉 B.A与B相互独立C.B与C相互独立D.A与C相互独立 5.(24-25高一下，新疆期末)已知甲、乙两袋中分别装有编号为1、2、3、4的四个球.从甲、乙两袋中各 取出一个球，每个球被取出的可能性相同.事件A:从甲袋中取出的球的编号是偶数；事件B:从乙袋中取 出的球的编号是奇数；事件C:取出的两个球的编号都是偶数或都是奇数.给出下列命题：①事件A与事 第9页共14页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 件B为互斥事件：②事件B与事件A相互独立；③事件C与事件A相互独立.那么这三个命题中真命题 的个数为() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6.（24-25高一下，广东广州·期末)对于一个古典概型的样本空间2和事件A,B,C,D,用A表示事件A中 的样本点个数.若2=60，A=30,|B|=10,1C|=20,1D=30,lAUB|=40,AnC|=10,|AUDl=60, 则() A.A与B对立B.A与D不对立C.C与D互斥D.A与C相互独立 7.（22-23高一下广东肇庆期末)给定一个正整数n(n≥3)，从集合0={1,2,3，，n}中随机抽取一个数，记 事件A=“这个数为偶数”，事件B=“这个数为3的倍数”.下列说法正确的是() A.若n=6k,k∈N*,则至少存在一个n,使事件A和事件B不独立 B.若n≠6k,k∈N*,则存在无穷多个n,使事件A和事件B独立 C.若n为奇数，则至少存在一个n,使事件A和事件B独立 D.若n为偶数，则对任意的n,事件A和事件B独立 8.(23-24高一下·河北张家口·期末)如图，某电子元件由A,B,C三种部件组成，现将该电子元件应用到某 研发设备中，经过反复测试，A,B,C三种部件不能正常工作的概率分别为子争各个部件是否正常工 作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是() A B A·25 B.25 c.月 0.岩 二、多选题 9.(25-26高一上浙江杭州阶段检测)有一个掷骰子的游戏，骰子六个面上分别标有16六个数字，第一个 人将一颗骰子抛掷一次，第二个人将一颗骰子抛掷2次，第三个人将一颗骰子抛掷3次..第个人将一颗 般子抛掷次，记A,表示“第n个人n次抛掷般子时朝上的面上的点数之和大于琴现有下列结论正确的有() A.A1必然发生 B.A2发生的概率为 C.A4可能发生 D.As发生的概率大于0 36 10.（25-26高一上山东日照·期末)一台机器每启动一次都随机地出现一个4位数字A=a1a2a3a4, 其中A的各位数字a∈{0,1(i=1,2,3,4),则() A.A的所有可能结果构成的样本空间中共有16个样本点 B.若A的各位数字都等可能地取值0或1，则A=1110的概率大于A=0011的概率 第10页共14页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.若A的各位数字都等可能地取值0或1，则A中各位数字之和是3的概率为号 D.若a1=1,Qx(化-2,3,4)出现0的概率为号，出现1的概率为，则A中各位数字恰有两个0的概率为号 11.(22-23高一上辽宁大连·期末)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概 率为a(0<a<1,≠0.5)，收到0的概率为1-a:发送1时，收到0的概率为B(0<B<1,B≠0.5)，收 到1的概率为1一B.若在信道内依次发送信号1,0，为了检验，收到信号的一端将收到的信号发回到输入 端.下列说法正确的是() A.“收到的信号为1,0"是“传回的信号为1,0的充分条件 B.“收到的信号为1,0与“传回的信号为1,0不一定是相互独立的 C.若=B,则事件"传回的信号为1,0”的概率一定大于0.25 D.若a=0.8,B=0.6,则事件“传回的信号为1,0的概率为31.68% 三、填空题 12.（24-25高一下·湖南长沙期末)设样本空间={1,2,3,4}含有等可能的样本点，若事件A,B是2的子集， 且A,B互相独立，其中n(A)=2,n(B)=2则P(AUB)=· 13.（2025.上海普陀.一模)设m∈R,同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件A表示“第一枚骰子向上的点 数为奇数”，事件B表示“两枚骰子向上的点数之和为m”(2≤m≤12)，若事件A与事件B相互独立，则m 的一个可取值为 14.(24-25高二下·河北沧州阶段检测)甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人 先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续 比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束.假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概 率为，甲、丙比赛，甲获胜的概率为号乙、丙比赛，乙获胜的概率为则甲与乙比赛负1场且最终甲获 胜的概率为 四、解答题 15.(23-24高一下，广东湛江·期末)Mtlb是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处 理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础 教育和基础科学的发展，某中学举行了Mtlb科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地 参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与P,乙连续2次答错的概率为。 (1)求乙答对题的概率： (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率. 第11页共14页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(24-25高一下山东临沂·期末)猜灯谜是元宵节特色活动之一.甲、乙两人独立地参加了今年的元宵节猜 灯谜活动，已知甲猎对的概率为，乙猎对的概率为P,甲、乙都猜不对的概率为品活动中，甲和乙猜对与 否互不影响. (1)求p:(2)求甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率. 17.(23-24高一下北京期末)某学校为了解高一新生体质健康状况，对学生体质进行测试. 现从男、女生中各随机抽取40人，测试数据按《国家学生体质健康标准》整理如下： 等级 数据范围 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分 优秀 [90,100 10 91.3 ? 91 良好 [80,891 8 83.9 8 84.1 及格 [60,791 16 70 22 70.2 不及格 60以下 6 49.6 6 49.1 总计 40 75.0 40 71.9 (1)若按规定测试数据不低于60，则称体质健康为合格.试估计该校高一新生体质健康合格的概率： (2)在高一新生中，随机选取一名男生和一名女生，试估计恰有一人的体质健康等级是优秀的概率： 第12页共14页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)已知表中男生与女生在优秀、良好、及格、不及格四个等级的各级平均分都接近（差的绝对值不大于0.5）， 但男生的总平均分75.0却明显高于女生的总平均分71.9. 经研究发现，若去掉四个等级中一个等级的数据，则男生、女生的总平均分也接近，请写出去掉的这个等 级.（只需写出结论) 18.(23-24高一下河南新乡.期末)在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场， 每场比赛中，胜、平、负分别积3,1,0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛若出现积分相同 的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛假定积分相同的 球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B,C,D三支积分相同的球队同时争夺第二名，则 每个球队夺得第二名的概率相同)已知某小组内的A,B,C,D四支球队实力相当，且每支球队在每场比 赛中胜、平、负的概率都是，每场比赛的结果相互独立. (1)求A球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率： (2)已知在己结束的小组赛的3场比赛中，A球队胜2场，负1场，求A球队最终小组出线的概率. 第13页共14页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(25-26高一上·湖南邵阳·期末)1934年-1936年红军完成伟大长征，该壮举实现了中国革命事业从挫折 到胜利的伟大转折，是中华民族复兴进程中的丰碑.2026年恰逢红军长征胜利90周年，为传承长征精神， 某校计划开展以“传承长征精神，续写时代华章”为主题的观影活动.同学们通过参加三个不同的游戏可以获 得观影票，每个游戏需各玩一次且结果互不影响，每位同学可以自主安排参加这三个游戏的先后顺序，连 胜两个游戏可以获得一张观影票，连胜三个游戏可以获得两张观影票，否则无法获得观影票已知一个盒子 中有5个大小质地完全相同的小球（编号为"1,2,3,4,5”），这三个游戏的规则如下： 游戏一：从盒子中随机摸出一个小球，若这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜： 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜； 游戏三：从盒子中不放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号之和为，则获胜， (1)分别求出同学参加游戏一，游戏二获胜的概率； (2)当m=4时，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？ (3)根据的不同取值，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？ 第14页共14页 5-5 事件的相互独立性 讲义 教学目标 理解事件的独立性与互斥事件的区别，掌握概率的乘法公式. 教学重点 概率的乘法公式. 教学难点 事件的独立性与互斥事件的区别. 知识点01 事件的相互独立性 1.事件的相互独立 设A，B为两个事件，若P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A，B相互独立，简称为独立. 2.事件相互独立的性质 （1）事件A与事件B相互独立，即事件A(或B)是否发生，对事件B(或A)发生的概率没有影响. （2）若事件A，B独立，则计算P(A∩B)的公式为P(A∩B)=P(A)P(B). （3）若事件A，B相互独立，则事件A与与B， 与也相互独立. （4）相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件 互斥事件 条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件 符号 相互独立事件A，B同时发生， 记作：A∩B(或AB) 互斥事件A，B中有一个发生， 记作：A∪B(或A+B) 公式 P(A∩B)=P(A)·P(B) P(A∪B)=P(A)+P(B) 2.判断事件的独立性 （1）直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率. （2）定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立， 即两个事件同时发生的概率是否等于每个事件发生的概率的乘积. （3）转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立，转化为判断A与或与B或与是否相互独立. 【即学即练1-1】（24-25高一下·山东烟台·阶段检测）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，设事件“第二枚硬币正面向上”，则（    ） A．事件与互为对立事件 B．事件与为互斥事件 C．事件与事件概率相等 D．事件与相互独立 【即学即练1-2】（多选）（25-26高一上·山东潍坊·期末）已知口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球，从中有放回地随机取2次，每次取1个球.记事件M为“第一次摸到红球”，N为“第二次摸到白球”，Q为“两次摸出的球颜色相同”，则下列说法正确的有（） A． B．M与Q互斥 C． D．M与N相互独立 知识点02 利用事件的相互独立性求概率 由简单事件通过运算得到复杂事件，进而利用互斥、对立、独立等关系计算概率. 1.对事件进行分解，一方面分解为互斥的几类简单事件求概率； 另一方面分解为独立的几类，利用事件同时发生(乘法)求出概率. 2.已知两个事件A，B，那么 （1）A，B中至少有一个发生为事件A+B. （2）A，B都发生为事件AB. （3）A，B都不发生为事件 . （4）A，B恰有一个发生为事件A+B. （5）A，B中至多有一个发生为事件A+B+. 3.求较复杂事件的概率的一般步骤 （1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示. （2）分析事件之间的关系(是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式. （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算. （4）当直接计算事件的概率较复杂时，可先计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率. 【即学即练2-1】（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 【即学即练2-2】（多选）（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 题型01 相互独立事件的判断 【典例1-1】（24-25高一下·贵州安顺·期末）若，，则关于事件A与B的关系正确的是（   ） A．事件A与B相互独立但不互斥 B．事件A与B互斥但不相互独立 C．事件A与B相互独立且互斥 D．事件A与B既不相互独立也不互斥 【典例1-2】（25-26高一上·山西忻州·期末）一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 【典例1-3】(多选)（25-26高一上·河南南阳·期末）（改编自北师大必修一 P197例1）袋中有白球个（编号为、、）、黑球个（编号为、），这个球除颜色、编号外完全相同．现在从中不放回地依次摸取出个，每次摸个，记事件为“第一次取到的球编号为”，事件为“第一次取到的球是黑球”，事件为“取到的两个球都是白球”．则（   ） A．与互斥 B． C． D．与独立 【典例1-4】（22-23高三下·上海闵行·阶段检测）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件M：该家庭中有男孩、又有女孩，事件N：该家庭中最多有一个女孩，则下列说法正确的是________． ①若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥；        ②若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立； ③若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥；    ④若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立． 【变式1-1】（24-25高一下·安徽阜阳·期末）对于随机事件，下列说法错误的是（    ） A．如果事件与事件互为对立事件，那么 B．如果事件与事件满足，那么 C．如果，是一个随机试验中的两个事件，那么 D．对任意两个事件与，如果，那么事件与事件相互独立 【变式1-2】（25-26高一下·天津·期末）分别抛掷质地均匀的两枚硬币．设事件 “第一枚硬币正面朝上”， “第二枚硬币反面朝上”．则事件与关系描述正确的为（　　） A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等 【变式1-3】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则（    ） A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立 【变式1-4】（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是），表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 【变式1-5】(多选)（25-26高一上·河南焦作·期末）投掷一枚正四面体骰子，其各面的数字分别为1，2，3，4，记其投出后落地与水平面接触的数字为点数，连续投出两次，第一次得到的点数为，第二次得到的点数为，记事件“为偶数”，事件“为奇数”，事件“为偶数”，则下列正确的有（   ） A．与互斥 B．与相互独立 C．与相互独立 D． 【变式1-6】（25-26高一下·北京·期中）为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件与事件相互独立的是______. 题型02 相互独立事件与概率的乘法公式 【典例2-1】（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（23-24高一下·山东滨州·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，“n次中至多有一次正面朝上”．下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【典例2-3】(多选)（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字，其中的各位数字中，，则（    ） A．的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点 B．若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则的概率大于的概率 C．若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则中各位数字之和是4的概率为 D．若出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为 【典例2-4】（23-24高一下·安徽合肥·期末）将共21个正整数排成六行，按照第一行1个数，第二行2个数，．．．，第六行6个数的顺序排列，则每一行中最大的数都小于其后一行中最大的数的概率是______． 【变式2-1】（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）某商场举行抽奖活动，规则如下：从一个装有3个红球和2个白球的箱子中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则中奖，则中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知，是相互独立事件，若，，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【变式2-3】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知甲、乙两名运动员进行射击比赛，各射击一次，是否中靶相互独立.若恰好一人中靶的概率为0.26，至少一人中靶的概率为0.98，则甲、乙两人都中靶的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】（23-24高一下·吉林·期末）甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：（1）累计负两场者被淘汰；（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签甲､乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-5】(多选)（23-24高三上·江苏苏州·阶段检测）某区四所高中各自组建了排球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时（    ） A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分 C．甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 D．甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 【变式2-6】（23-24高一下·安徽铜陵·期末）甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为__________. 题型03 相互独立事件与互斥事件 【典例3-1】（22-23高一上·吉林·阶段检测）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为i”，其中，“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（    ） A．与B互斥 B． C．与相互独立 D． 【典例3-2】（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【典例3-3】(多选)（24-25高一下·湖南长沙·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（   ） A．A与B为互斥事件 B． C． D．B与C相互独立 【典例3-4】（23-24高一下·安徽黄山·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则___________. 【变式3-1】（22-23高一下·江苏宿迁·期末）下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（    ） A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 【变式3-2】（22-23高一下·河北衡水·期末）下列说法正确的是（    ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件 B．若A，B为两个事件，且，则A与B互斥 C．若，，则事件A，B相互独立与事件A，B互斥可以同时成立 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 【变式3-3】（23-24高一下·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【变式3-4】（23-24高一下·河南安阳·阶段检测）袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（    ） A．事件A与B是互斥事件 B．事件A与B是对立事件 C．事件C与D相互独立 D．事件C与D不是互斥事件 【变式3-5】（多选）（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知，是随机事件，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．，为对立事件 C．，相互独立 D． 【变式3-6】（23-24高二上·上海·期末）当一个不均匀的骰子滚动的时候，出现偶数的概率是奇数的3倍.骰子滚动了两次则出现的数字之和为偶数的概率是_______. 题型04 相互独立事件的应用 【典例4-1】（23-24高二上·广东佛山·期末）已知甲、乙两人射击的命中率分别是和．现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，则甲、乙分配猎物的比例应该是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【典例4-3】（多选）（24-25高二下·山东青岛·期中）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为收到1的概率为．共有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发一次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到0，1，1，则译码为1）．则（   ） A．采用单次传输方案，若依次发送0，0，则收到两个译码恰好有一个正确的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则收到的译码为1的概率为 C．采用单次传输方案，若随机发送一个信号（发送0和发送1的概率都是），则收到的译码为1的概率为 D．当时，若发送0，采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【典例4-4】（23-24高二上·上海·期末）某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为____________． 【变式4-1】（23-24高三上·河北·阶段检测）某大学强基测试有近千人参加，每人做题最终是否正确相互独立，其中一道选择题有5个选项，假设若会做此题则必能答对.参加考试的同学中有一部分同学会做此题；有一半的同学完全不会，需要在5个选项中随机蒙一个选项；剩余同学可以排除一个选项，在其余四个选项中随机蒙一个选项，最终统计该题的正答率为30%，则真会做此题的学生比例最可能为（    ） A．5% B．10% C．15% D．20% 【变式4-2】（23-24高一下·安徽六安·期末）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这360枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（    ） A．甲180枚，乙180枚 B．甲288枚，乙72枚 C．甲240枚，乙120枚 D．甲270枚，乙90枚 【变式4-3】（23-24高二下·江苏泰州·期中）已知事件和相互独立，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（23-24高三上·湖南·阶段检测）为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-5】（多选）（22-23高二下·山东青岛·期中）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为0.6．0.5．0.4，则（    ） A．该棋手三盘三胜的概率为0.12 B．若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手在赢得第一盘比赛的前提下连赢三盘的概率为0.4 C．若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手连赢2盘的概率为0.26 D．记该棋手连赢2盘为事件A，则当该棋手在第二盘与甲比赛最大 【变式4-6】（22-23高三下·海南海口·期中）给如图所示的1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随机选一个未涂色且与上次所涂方格不相邻（即没有公共边）的格子进行涂色，当5号格子被涂色后停止涂色，记此时已被涂色的格子数为X，则___________.    一、单选题 1.（25-26高一下·全国·课堂例题）一袋中装有100只球．其中有20只白球，在有放回的摸球中，记“第一次摸得白球”，“第二次摸得白球”，则事件与是（   ） A．相互独立事件 B．对立事件 C．互斥事件 D．无法判断 2.（25-26高一下·全国·课后作业）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则至少有一个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·江西抚州·期末）已知甲、乙两名运动员击中目标的概率分别为，，且2人是否击中目标相互独立，若他们2人向目标各发1枪，则目标被击中的概率为（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高一下·湖北武汉·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“两次掷出的点数相同”，事件“第一次掷出的点数是偶数”，则（   ） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 5.（24-25高一下·新疆·期末）已知甲、乙两袋中分别装有编号为1、2、3、4的四个球．从甲、乙两袋中各取出一个球，每个球被取出的可能性相同．事件A：从甲袋中取出的球的编号是偶数；事件B：从乙袋中取出的球的编号是奇数；事件C：取出的两个球的编号都是偶数或都是奇数．给出下列命题：①事件A与事件B为互斥事件；②事件B与事件A相互独立；③事件C与事件A相互独立．那么这三个命题中真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6.（24-25高一下·广东广州·期末）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，用表示事件中的样本点个数．若，，，，，，，，则（   ） A．与对立 B．与不对立 C．与互斥 D．与相互独立 7.（22-23高一下·广东肇庆·期末）给定一个正整数，从集合中随机抽取一个数，记事件“这个数为偶数”，事件“这个数为3的倍数”.下列说法正确的是（    ） A．若，，则至少存在一个，使事件和事件不独立 B．若，，则存在无穷多个，使事件和事件独立 C．若为奇数，则至少存在一个，使事件和事件独立 D．若为偶数，则对任意的，事件和事件独立 8.（23-24高一下·河北张家口·期末）如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9.（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）有一个掷骰子的游戏，骰子六个面上分别标有1~6六个数字，第一个人将一颗骰子抛掷一次，第二个人将一颗骰子抛掷2次，第三个人将一颗骰子抛掷3次……第n个人将一颗骰子抛掷n次，记表示“第n个人n次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于.现有下列结论正确的有（   ） A．必然发生 B．发生的概率为 C．可能发生 D．发生的概率大于0 10.（25-26高一上·山东日照·期末）一台机器每启动一次都随机地出现一个位数字，其中的各位数字，则（    ） A．的所有可能结果构成的样本空间中共有16个样本点 B．若的各位数字都等可能地取值0或1，则的概率大于的概率 C．若的各位数字都等可能地取值0或1，则中各位数字之和是3的概率为 D．若，出现0的概率为，出现1的概率为，则中各位数字恰有两个0的概率为 11.（22-23高一上·辽宁大连·期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.若在信道内依次发送信号1，0，为了检验，收到信号的一端将收到的信号发回到输入端.下列说法正确的是（    ） A．“收到的信号为1，0”是“传回的信号为1，0”的充分条件 B．“收到的信号为1，0”与“传回的信号为1，0”不一定是相互独立的 C．若，则事件“传回的信号为1，0”的概率一定大于0.25 D．若，，则事件“传回的信号为1，0”的概率为31.68% 三、填空题 12.（24-25高一下·湖南长沙·期末）设样本空间含有等可能的样本点，若事件是的子集，且互相独立，其中 则=_____. 13.（2025·上海普陀·一模）设，同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件表示“第一枚骰子向上的点数为奇数”，事件表示“两枚骰子向上的点数之和为”（），若事件与事件相互独立，则的一个可取值为___________. 14.（24-25高二下·河北沧州·阶段检测）甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束.假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概率为，甲、丙比赛，甲获胜的概率为，乙、丙比赛，乙获胜的概率为，则甲与乙比赛负1场且最终甲获胜的概率为__________. 四、解答题 15.（23-24高一下·广东湛江·期末）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． (1)求乙答对题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 16.（24-25高一下·山东临沂·期末）猜灯谜是元宵节特色活动之一.甲、乙两人独立地参加了今年的元宵节猜灯谜活动，已知甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为.活动中，甲和乙猜对与否互不影响. (1)求；(2)求甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率. 17.（23-24高一下·北京·期末）某学校为了解高一新生体质健康状况，对学生体质进行测试. 现从男、女生中各随机抽取40人，测试数据按《国家学生体质健康标准》整理如下： 等级 数据范围 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分 优秀 10 91.3 4 91 良好 8 83.9 8 84.1 及格 16 70 22 70.2 不及格 60以下 6 49.6 6 49.1 总计 \ 40 75.0 40 71.9 (1)若按规定测试数据不低于60，则称体质健康为合格.试估计该校高一新生体质健康合格的概率； (2)在高一新生中，随机选取一名男生和一名女生，试估计恰有一人的体质健康等级是优秀的概率； (3)已知表中男生与女生在优秀、良好、及格、不及格四个等级的各级平均分都接近（差的绝对值不大于0.5），但男生的总平均分75.0却明显高于女生的总平均分71.9. 经研究发现，若去掉四个等级中一个等级的数据，则男生、女生的总平均分也接近，请写出去掉的这个等级.（只需写出结论） 18.（23-24高一下·河南新乡·期末）在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B，C，D三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A，B，C，D四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是，每场比赛的结果相互独立. (1)求A球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率； (2)已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A球队胜2场，负1场，求A球队最终小组出线的概率. 19.（25-26高一上·湖南邵阳·期末）1934年-1936年红军完成伟大长征，该壮举实现了中国革命事业从挫折到胜利的伟大转折，是中华民族复兴进程中的丰碑.2026年恰逢红军长征胜利90周年，为传承长征精神，某校计划开展以“传承长征精神，续写时代华章”为主题的观影活动.同学们通过参加三个不同的游戏可以获得观影票，每个游戏需各玩一次且结果互不影响，每位同学可以自主安排参加这三个游戏的先后顺序，连胜两个游戏可以获得一张观影票，连胜三个游戏可以获得两张观影票，否则无法获得观影票.已知一个盒子中有5个大小质地完全相同的小球（编号为“”），这三个游戏的规则如下： 游戏一：从盒子中随机摸出一个小球，若这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜； 游戏三：从盒子中不放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号之和为，则获胜. (1)分别求出同学参加游戏一，游戏二获胜的概率； (2)当时，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大? (3)根据的不同取值，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？ 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $