5.3 用频率估计概率-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

本高中数学讲义聚焦“用频率估计概率”核心知识点，系统梳理频率的定义与稳定性、用频率估计概率的步骤及实际应用，构建从概念理解到方法运用再到问题解决的学习支架。 资料以“逐点清”分点细化概念，“微点练明”通过合格率辨析、净含量估计等实例巩固，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理关系、用数学语言表达数据。课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺。

5.3　用频率估计概率(教学方式：基本概念课——逐点理清式教学) [课时目标] 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性、随机模拟的含义,会用频率估计概率. 2.理解概率的意义,会用概率的知识解释现实生活中的概率问题. 逐点清(一)　频率的稳定性 [多维理解] 1.频率 设Ω是某个试验的样本空间,A是Ω的事件.在相同的条件下将该试验独立地重复n次,则称 Fn(A)=是n次独立重复试验中事件A发生的频率. 2.频率与概率的关系 在相同的条件下,将一试验独立重复n次,若用Fn(A)表示事件A在这n次试验中发生的频率,则当n增加时,Fn(A)将向一个固定的数值p靠近,这个数值p就可看作事件A发生的概率P(A),即Fn(A)是P(A)的估计. [微点练明] 1.某工厂生产的产品的合格率是99.99%,这说明 (　　) A.该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件 B.该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件 C.该厂生产的10 000件产品中没有不合格的产品 D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99% 解析：选D　该厂生产的10 000件产品中不合格的产品不一定有1件,可能是多件或者没有,故A错误;该厂生产的10 000件产品中合格的产品不一定是9 999件,故B错误;该厂生产的10 000件产品中可能有不合格产品,故C错误;该厂生产的产品合格的可能性是99.99%,故D正确.故选D. 2.某人将一枚硬币连掷10次,正面朝上的情况出现了8次,若用A表示“正面朝上”这一事件,则A的 (　　) A.概率为 B.频率为 C.频率为8 D.概率接近于8 解析：选B　做n次随机试验,事件A发生了m次,则事件A发生的频率为.如果多次进行试验,事件A发生的频率总在某个常数附近摆动,那么这个常数才是事件A的概率.故=为事件A的频率. 3.下列关于概率和频率的叙述中正确的有　　　　.(填序号)  ①随机事件的频率就是概率; ②随机事件的概率是一个确定的数值,而频率不是一个固定的数值; ③频率是客观存在的,与试验次数无关; ④概率是随机的,在试验前不能确定; ⑤概率可以看作频率在理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小,而频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率. 解析：随机事件的频率是概率的近似值,频率不是概率,故①错误;随机事件的频率不是一个固定的数值,而概率是一个确定的数值,故②正确;频率是随机的,它与试验条件、次数等有关,而概率是确定的值,与试验次数无关,故③④错误;由频率与概率的关系可知⑤正确. 答案：②⑤ 逐点清(二)　利用频率估计概率 [多维理解] 1.用频率估计概率 如果随机事件A在n次试验中发生了m次,则当试验的次数n很大时,可以将事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值. 2.用频率估计概率的步骤 (1)确定随机事件A的频数nA; (2)由Fn(A)=计算频率Fn(A)(n为试验的总次数); (3)由频率Fn(A)估计概率P(A). [微点练明] 1.一批瓶装纯净水,每瓶标注的净含量是550 mL,现从中随机抽取10瓶,测得各瓶的净含量为(单位：mL)： 542 548 549 551 549 550 551 555 550 557 若用频率分布估计总体分布,则该批纯净水每瓶净含量在547.5~552.5 mL之间的概率估计为 (　　) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.7 解析：选D　从数据可知,在随机抽取的10瓶水中,净含量在547.5~552.5 mL之间的瓶数为7,频率为=0.7,由频率分布估计总体分布,可知该批纯净水中,净含量在547.5~552.5 mL之间的概率为0.7.故选D. 2.某超市计划按月订购一种冷饮,根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃,需求量为600瓶;如果最高气温位于区间[20 ℃,25 ℃)内,需求量为300瓶;如果最高气温低于20 ℃,需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划,统计了前三年6月份各天的最高气温数据,得到下面的频数分布表： 最高 气温 [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40] 天数 3 6 25 38 18 将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率,若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1,则x= (　　) A.100 B.300 C.400 D.600 解析：选B　由表格数据知,最高气温低于25 ℃的频率为=0.1,所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1. 3.某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计,统计结果如下表所示： 分组 [0, 900) [900, 1 100) [1 100, 1 300) [1 300, 1 500) [1 500, 1 700) [1 700, 1 900) [1 900, +∞) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 (1)将各组的频率填入表中; (2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率. 解：(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042. (2)样本中使用寿命不足1 500小时的频数是48+121+208+223=600. 所以样本中使用寿命不足1 500小时的频率是=0.6, 即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6. 逐点清(三)　频率与概率的实际应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(多选)甲、乙两人做游戏,下列游戏公平的是 (　　) A.抛一枚骰子,向上的点数为奇数则甲胜,向上的点数为偶数则乙胜 B.同时抛两枚相同的骰子,向上的点数之和大于7则甲胜,否则乙胜 C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色则甲胜,是黑色则乙胜 D.甲、乙两人从1~10中各写一个整数,若是同奇或同偶则甲胜,否则乙胜 解析：选ACD　对于A、C、D,甲胜、乙胜的概率都是,游戏是公平的;对于B,点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等,但点数等于7时乙胜,所以甲胜的概率小,游戏不公平. 2.某商场为提高服务质量,用简单随机抽样的方法从该商场调查了60名男顾客和80名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,结果如表所示. 项目 满意 不满意 男顾客 50 10 女顾客 50 30 (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率; (2)估计顾客对该商场满意的概率; (3)若该商场一天有2 100名顾客,大约有多少人对该商场的服务满意? (4)通过以上数据能否说明顾客对该商场的服务是否满意与性别有关?并说明理由. 解：(1)估计男顾客对该商场服务满意的概率为=;女顾客对该商场服务满意的概率为=. (2)估计顾客对该商场满意的概率为=. (3)2 100×=1 500(人),所以约有1 500人对该商场的服务满意. (4)由(1)知男顾客对该商场服务满意的比例约为≈0.833, 女顾客对该商场服务满意的比例约为=0.625, 因为这两个比例相差较大,所以可以认为顾客对该商场的服务是否满意与性别有关. 3.有A,B两种乒乓球,A种乒乓球的次品率是1%,B种乒乓球的次品率是5%. (1)甲同学买的是A种乒乓球,乙同学买的是B种乒乓球,但甲买到的是次品,乙买到的是正品,从概率的角度如何解释? (2)如果你想买到正品,应选择购买哪种乒乓球? 解：(1)因为A种乒乓球的次品率是1%,所以任选一个A种乒乓球是正品的概率是99%.同理,任选一个B种乒乓球是正品的概率是95%.因为99%>95%,所以“买一个A种乒乓球,买到的是正品”的可能性比“买一个B种乒乓球,买到的是正品”的可能性大,但并不表示“买一个A种乒乓球,买到的是正品”一定发生,乙买一个B种乒乓球,买到的是正品,而甲买一个A种乒乓球,买到的却是次品,即可能性较小的事件发生了,而可能性较大的事件却没有发生,这正是随机事件的不确定性的体现. (2)因为任意选取一个A种乒乓球是正品的可能性为99%,所以如果做大量重复买一个A种乒乓球的试验,“买到的是正品”的频率会稳定在0.99附近.同理,做大量重复买一个B种乒乓球的试验,“买到的是正品”的频率会稳定在0.95附近.因此若希望买到的是正品,则应选择购买A种乒乓球. 学科网（北京）股份有限公司 $