专题5-2 古典概型（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

本讲义聚焦古典概型核心知识点，从频率与概率的稳定性入手，明确古典概型的有限性和等可能性特点及计算公式，衔接概率的基本性质，构建从概念到性质再到有放回与无放回问题应用的学习支架。 资料通过即学即练、典例分析与变式训练结合，以PM2.5数据、游戏规则等生活情境题驱动，培养学生用数学眼光观察随机现象、用数学思维推理概率计算，提升数据意识与应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5-2古典概型讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01古典概型的计算 题型02根据古典概型的概率求参数 5-2古典概型 知识点01古典概型 题型03概率的基本性质、确定性事 件与随机事件的概率 知识点02概率的基本性质 题型04有放回与无放回问题的概率 教学目标、教学重难点 理解概率的概念，理解掌握古典概型的概率的计算，理解概率的基本性质，掌握有放回 教学目标 与无放回问题的概率计算方法。 教学重点 概率的概念，古典概型的概率的计算，概率的基本性质。 教学难点 有放回与无放回问题的概率计算方法。 知识清单 知识点01古典概型 1.频率与概率 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，一般地，随着试验次数的增大， 频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的 这个性质为频率的稳定性，因此我们可以用频率fn(A)估计概率P(A) 2.概率：对随机事件发生可能性大小的度量（数值)称为事件的概率.事件A的概率用P(A)表示. 3.古典概型的特点： (1)有限性：样本空间的样本，点只有有限个： (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 4.古典概型概率计算公式：设试验E是古典概型，样本空间Ω包含个样本，点，事件A包含其中的k个样本，点， 则事件A发生的概率P(A)= 【即学即练1-1】(25-26高一下湖南·阶段检测)从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为 偶数且它们之和大于等于10的概率为() A c. 【即学即练1-2】（多选）（25-26高一下·全国课堂例题)先后两次掷一枚骰子，观察向上的面的点数，下列 叙述正确的是() A.(i,)表示第一次掷出i点，第2次掷出点，其中i,j=1,2,3,4,5,6,则样本空间为2={(i,)1≤i≤6,1≤j≤ 6,i∈N,j∈N 第1页共15页 命学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 B.用集合表示事件A:“点数之和小于3”，事件B“点数之和不超过3”，则A={(1,2),(2,1)},B= {(1,1),(1,2),(2,1)} C.点数之和为5的概率为6 D.点数相等的概率为行 知识点02概率的基本性质 性质1：对任意事件A,都有0≤P(A)≤1. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(2)=1,P(④)=0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B): 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)+P(B)=1. 性质5：如果A∈B,那么P(A)≤P(B) 性质6：设A,B是一个随机试验中的两个事件，有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 【即学即练2-1】(24-25高二上湖北省直辖县·期末)已知P(A)=0.5,P(B)=0.4,且B∈A,则P(AB)= () A.0.5 B.0.4 c.0.9 D.0.2 【即学即练2-2(21-22高一下·河北承德.阶段检测)对于一个古典概型的样本空间2和事件A,B,其中n(Q)= 60,n(A)=30,n(B)=20,n(AnB)=10,则P(AUB)=」 题型精讲 题型01古典概型计算 【典例1-1】(25-26高一上·上海普陀期末)从数字2,3,4,5,6中一次性随机抽取两个数，则这两个数 都是奇数的概率为() A.吉 B. c.号 o. 【典例1-2】(24-25高一下江苏无锡·期末)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数， 则点数和为5的概率是() A.月 c.8 0. 【典例1-3】（多选）（24-25高一下·安徽宣城期末)先后抛掷质地均匀的硬币两次，下列说法正确的是() A.样本空间中一共含有4个样本点 B.事件“两次正面向上”发生的概率是 C.事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”是互斥事件 D.事件“至少一次正面向上”与事件“两次反面向上”是对立事件 第2页共15页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1-4】(25-26高一上江西南昌期末)若非空集合A满足：Ha∈A,都有6-a∈A,则称集合A具有 “对称特征”.己知集合S={1,2,3,4,5,从S的所有非空子集中随机选取一个集合，则选取的集合具有“对称特 征"的概率为一 【变式1-1】(25-26高一下·全国·课后作业)现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，其中数学、物 理、化学为理科书，从中任取1本，取出的是理科书的概率() A B.月 C. 【变式1-2】(25-26高一上河南驻马店期末)袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有 放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的 概率利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“文、明、中、国”这四个字， 以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232321230023123021132220001 231130133231013320122103233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为() A.司 B.吉 C. D. 【变式1-3】(25-26高一下·吉林长春·期中)PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫 组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35g/m3以下空气质量为一级，在35g/m3~75g/m3之间空 气质量为二级，在75g/m3以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：g/m3) 的统计数据，则下列叙述错误的是() A.这10天的PM2.5日均值的第25百分位数是33 B.从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低 C.这10天中PM2.5日均值的平均数是49 D.从这10天的PM2.5日均值数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是号 PM2.5日均值 100------- 82 80- 60 -52 -49 4045 5830 20 343多 012345678910日期 【变式1-4】(23-24高一下·江苏·期末)一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，老师在黑板上 写出2,3,4，…，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数（即 乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数)，如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判 甲胜：否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是() 第3页共15页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. 1011 1014 2023 B.器 C.1013 D. 2023 2023 【变式1-5】（多选）(24-25高一下河南·期末)若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V,V可 划分为两个子集V1和V2,V1∩V2=0,V1UV2=V,且图中的每一条边的一个关联结点在V1中，另一个关联 结点必在V2中，则将图G称为二部图.现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则() ☑日✉☆测☐ (1) (2) (3) 6 A.这两个图都是二部图的概率号 B。这两个图至少有一个是二部图的概率为岩 C.这两个图不都是二部图的概率为 D.这两个图恰有一个是二部图的概率为 【变式1-6】(22-23高一下·河北承德·期末)九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分 为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推 理已经得到了4个小格子中的准确数字，a,b,c,d,e这5个数字未知，且b,d为奇数，则a+b>5的概率为 5 题型02根据古典概型的概率求参数 【典例2-1】(22-23高一下江苏南京期末)一个口袋中装有10个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来 数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜 色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程200次，共摸出红球80次，根据上述数值，估计口袋中大 约有黄球()个 A.10 B.15 C.25 D.40 【典例2-2】(24-25高二上山东日照·开学考试)己知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个， 从中任取一球，得到红球或黄球的概率是得到黄球或蓝球的概率是影 (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数： (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.若取到两个球颜色相同则甲胜， 否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由. 第4页共15页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例2-3】(22-23高二上·上海静安期末)某高中高一、高二、高三年级共有学生800名，各年级男、女 生人数如下表： 高一 高二 高三 男生（人数） 149 y 女生（人数） 143 130 已知在三个年级的学生中随机抽取1名，抽到高二年级男生的概率是0.16 (1)求x的值： (2)现用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生，应从高三年级抽取多少名？ 【典例2-4】(24-25高一下.贵州铜仁·期末)一个袋子中有5个球，其中n(1≤n≤5，n∈Z)个红球，其余为 绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球. (1)若n=3,求第二次取到红球的概率： (2)若取出的2个球都是红球的概率为品求n, 【变式2-1】(21-22高一下·新疆乌鲁木齐期末)从n个正整数1,2，，n任意取出两个不同的数，若取出 的两数之和等于5的概率为是则n=（） A.28 B.14 C.10 D.8 【变式2-2】(24-25高一下.山西期末)一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的 前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后 第5页共15页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的 个数为() A.25 B.30 C.35 D.40 【变式2-3】(23-24高二上浙江期中)有5张未刮码的卡片，其中张是“中奖”卡，其它的是“未中奖"卡， 现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结 果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金抽取的2张卡 片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则至少为() A.2 B.3 C.4 D.5 【变式2-4】（23-24高一上浙江·阶段检测)在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种 颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球m个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则m的值为 【变式2-5】(2023高三全国.专题练习)某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器1200件，其中甲工厂 生产了690件，乙工厂生产了510件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的 方法从所生产的产品中随机抽取80件样品，已知该精密仪器按照质量可分为A,B,C,D四个等级.若从所抽 取的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的A等级产品的概率为品 则抽取的B,C,D三个等 级中甲工厂生产的产品共有件. 【变式2-6】（24-25高一下·全国课堂例题)某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为0.19. (1)求x的值； (2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？ (3)已知y≥245，z≥245求九年级中女生比男生少的概率. 第6页共15页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03概率的基本性质、确定性事件与随机事件的概率 【典例3-1】（24-25高一下，全国随堂练习)口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个 球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(（) A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0 【典例3-2】(23-24高一下-陕西西安期末)已知随机事件A,B满足P(A=子P(B)=P(AUB)=号 则P(A∩B)=() 1 A.16 3 C.16 0. 【典例3-3】（多选）（24-25高一下.广东惠州期末)下列说法中正确的是() A.数据2、2、3、5、6、7、7、8、10、11的下四分位数为3 B.若A、B为互斥事件，则A的对立事件与B的对立事件一定互斥 C.设样本数据x1、x2、x3、·、xg、x10的平均数和方差分别为2和8，若y:=2x+1(i=1,2,3,,10),则 y1、y2、y3、·、yg、y10的平均数和方差分别为5和32 D.已知P(A)=0.5,P(B)=0.4,且B∈A,则P(AB)=0.2 【典例3-4】(25-26高一上全国·课前预习)对于一个随机事件A,我们通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1) 来表示该事件发生的的大小，这个数就称为随机事件A的概率. 【变式31】(25-26高三上·云南昆明阶段检测)某同学抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷10次，都是反 面朝上，则第11次正面朝上的概率是() A.1 B.月 c. 0 【变式32】(25-26高三上浙江杭州·期末)在一次随机试验中，三个事件A,B,C发生的概率分别是0.4， 0.5,0.6,则下列选项正确的是() A.AUBUC是必然事件 B.A与B是互斥事件 C.P(AnB)≤0.4 D.P(BUC)可能为1.1 【变式33】(25-26高一下·全国·课后作业)投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解： ①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率： ②只要连掷6次，一定会“出现1点”： ③投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果“出现6点”的可能性就会加大： ④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19. 其中正确的见解有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第7页共15页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-4】（25-26高一下·全国课堂例题)在1,2,3，.，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列 事件是不可能事件的是() A.3个数字相邻 B.3个数字全是偶数C.3个数字的和小于5 D.3个数字两两互质 【变式35】（多选）(25-26高一下·全国课后作业)（多选题）在10名学生中，男生有x名，现从10名学生 中任选6人去参加某项活动：①至少有一名女生：②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生.若要 使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x可以是() A.5 B.6 C.3 D.4 【变式36K2025高一全国.专题练习)下面给出四个事件：①某地2月3日将下雪：②函数y=a(a>0且 a≠1)在定义域上是增函数；③实数a,b都不为零，则a2+b2=0;④a,b∈R,则ab=ba.其中必然事件 是 ；不可能事件是 ·（填序号) 题型04有放回与无放回问题的概率 【典例41】(24-25高一下.安徽合肥期末)从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单 随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为() A B. c 0. 【典例4-2】(25-26高一上·浙江宁波·自主招生)不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有 数字1,2,3.随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球.第一次摸出小球上的数字大于第二次 摸出小球上的数字的概率是() A. B. c. . 【典例4-3】（多选）（25-26高二上·四川成都·期中)下列叙述正确的是() A.A与B为对立事件是A与B为互斥事件的充分不必要条件 B.不透明的袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出 2个球，则两次都摸到红球的概率为号 C.不透明的袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中有放回地依次随机摸出 2个球，则两次都摸到红球的概率为 D.从集合A={12,3中任取一个数记为a,从集合B={4,56中任取一个数记为b,则a+b>7的概率为号 【典例4-4】（25-26高一上湖南长沙开学考试)在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 -1,0,子，这些球除了数字以外完全相同现随机摸出一个小球，记下数字m,放回后搅匀再摸出一个球， 记下数字n,则使得二次函数y=x2+mx+n的图象不经过第四象限的概率为 第8页共15页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式41】（22-23高一下·天津西青·期末)从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单 随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为() A子 B. c.子吉 【变式42】(22-23高一下·天津河东·期末)小明同学有5把钥匙，其中2把能打开门.如果随机地取一把 钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为P1,如果试过的钥匙又混进去， 第二次才能打开门的概率为P2,则P1,P2的值分别为() A.品号 B.后 c.京 0.品号 【变式43】(23-24高一下·天津西青·期末)从两名男生（记为B1和B2)、两名女生（记为G1和G2)中任意 抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样.在以上两种抽样方式下，抽到的两人是 一男生一女生的概率分别为() A.21 3'2 8.1 46 C. 【变式44】(25-26高二上广东中山阶段检测)袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个， 有放回地取3次，则下列说法正确的是() A.取出的3个球颜色相同的概率为 B.取出的3个球颜色全不相同的概率为 C.取出的3个球颜色不全相同的概率为 D.取出的3个球无红球的概率为 【变式45】（多选）(23-24高二上·黑龙江哈尔滨开学考试)一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球， 分别标有数字1,2,3，现分别用三种方案进行摸球游戏.方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二： 先后有放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择第一次 摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球.记三种方案选到2号球的概率分别为P1,P2, P3,则() A.P1>P2 B.P1>P3 C.P2=P3 D.P1=P3 【变式46】(22-23高一下河南周口期末)从分别写有1,2,3,4,5,6,7的7张卡片中随机抽取1张， 放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字大于第二卡片上的数字的概率为 强化训练 一、单选题 1.(25-26高一上·全国课前预习)从甲、乙、丙三人中选一名志愿者，则甲被选中的概率为() A. B.月 C. 0.号 第9页共15页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26高一下·全国课后作业)投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解： ①出现“点数为奇数"的概率等于出现“点数为偶数”的概率； ②只要连掷6次，一定会“出现1点”： ③投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果“出现6点”的可能性就会加大： ④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19 其中正确的见解有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(24-25高一下·天津·期末)分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，从两名男生和三名女生 中抽取两人，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为() A是，品 B品是 c., 0.3号 4.(2526高一下江苏扬州阶段检测)把一个正四面体的四个面按如下方案涂色：第一个面涂红色，第二个 面涂黄色，第三个面涂蓝色，第四个面分成三块区域分别涂上述三种颜色，将该四面体抛掷在一个平面上， 记事件A=“四面体有红色的面落在平面上”，记事件B=“四面体有黄色的面落在平面上”，则P(AB)的值为 () A君 B.3 c 0. 5.(25-26高一上河南焦作期末)某地开展志愿服务活动，小蓝、小黄在内的9人充当志愿者，现将这9 人平均分成三组，则小蓝和小黄不在同一组的概率为() A. B.月 c. 0. 6.(24-25高一上·陕西·期末)连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件A=“正 面向上的次数大于反面向上的次数”，事件B:=“第次抛掷的结果为正面向上”（其中i=1,2),则有(） A.事件A与事件B1是互斥事件 B.事件B1与事件B2是相互对立事件 C.P(AUB1)>P(B1U B2) D.P(AnB)=P(Bi0B2) 7.(22-23高一下·福建·期末)某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行 了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计 了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到 红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是” 的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否"的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答 的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主 参加了问卷，且有48名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业满意服务的百分比大约为() A.10% B.20% C.35% D.70% 第10页共15页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26高一上辽宁辽阳期末)已知正数x,y满足1n<2x-y-4y.现从①2-y<1,②x+1<y, 2y ③m<0,④兴>兰这4个不等式中随机抽取2个不等式，则恰有1个不等式成立的概率为() A B. C. 二、多选题 9.(24-25高一下河南阶段检测)2020年至2024年某地植被面积的年增加量（单位：万公顷）如图所示， 则() 4.1 3.9 3.6 3.5 3.4 2020年2021年2022年2023年2024年 A.这组数据的极差为0.7 B.这组数据的平均数为3.7 C.从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据与中位数之差大于0.2的概率为 D.从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据大于3.5的概率为 10.(25-26高一上·湖南衡阳阶段检测)某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分 选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项 得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD,甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确 的是() A,甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率号 B.乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C.丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D.丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 11.(25-26高一上·全国单元测试)有两个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1,2,3,4，第二个 信封内的四张卡片上分别写有5,6,7,8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机 抽取一张卡片，得到两个数.为了游戏对双方都公平，下列获胜规则正确的是() A.第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线y=x+4 上时甲获胜，所确定的点在直线y=一x+8上时乙获胜 B.取出的两个数乘积不大于15时甲获胜，否则乙获胜 C.取出的两个数乘积不小于20时甲得5分，否则乙得3分，游戏结束后，累计得分高的人获胜 D.取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜 第11页共15页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、填空题 12.(25-26高一上山东潍坊期末)把一个体积为27cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成27个体积为 1cm3的小正方体，从中任取一块，则取到的小正方体只有两面涂有红漆的概率为 13.(25-26高一上北京西城期末)若非空集合A满足：Va∈A,都有6-a∈A,则称集合A具有“对称特 征"”.己知集合S={1,2,3,4,5),则S的非空子集的个数为：从S的所有非空子集中随机选取一个集合， 则选取的集合具有“对称特征”的概率为一 14.（25-26高一上内蒙古呼和浩特期末)一袋子中有大小相同，质地均匀的3个红球，2个白球，从中取 出两个球，则至少取到一个白球的概率为 四、解答题 15.(2526高一下.全国期末)将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先 后抛掷两次，记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,设复数z=a+bi. (1)求事件“z-3i为实数"的概率； (2)求事件“|z-2≤3”的概率. 16.（25-26高一下.重庆·期末)学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试.己 知参加此次测试的学生的分数x(1=1,2,,50)全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试 分数分成5组：[45,55)，[55,65)，，[85,95]，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数 据的中间值作为代表). (1)求m的值. (2)估计此次数学测试分数的平均数x与中位数.（保留一位小数） (3)若采用分层随机抽样的方法，从分数在[65,85)内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取 2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在[75,85)内的概率. 频率/组距 0.036-- m 0.02 0.014 0.006 455565758595测试分数 第12页共15页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(23-24高一下·四川达州期末)唐代大诗人刘禹锡《望洞庭》诗云：“湖光秋月两相和，潭面无风镜未磨 遥望洞庭山水翠，白银盘里一青螺”有人认为诗首句的“秋月”应为“秋色”有以下事实：A.《望洞庭》是经典 名作，历朝历代众口传诵，难免出现不同的版本；B.一般不对原文作修改的宋清两朝的诸多类书中，诗首句 “秋月”皆为“秋色”C月光下很难分辨出水的不同色彩，翠色、白银盘、青螺皆是白天的景观；D洞庭秋色是 历代文人所关注的美景，该诗强调秋色之美在常理之中；E该诗是对洞庭湖实景描写这些事实能否支持该 诗首句的“秋月”应为“秋色”？从一次公务员考试答卷中调随机选出100份，统计结果（支持的用V表示，考 生答卷上选这一项，不支持的用×表示，考生答卷上不选这一项)如下表： 人数 A D 10 20 30 40 只针对本问题. (1)在这次公务员考试答卷中随机取一份，求这份答卷答案有B或C的概率； (2)已知只有事实BC支持该诗首句的“秋月”为“秋色”，有其他选项的为错选，在这100份答卷中，不放回地 先后随机抽取两份，求这两份答卷答案恰一个有错选答案的概率. 第13页共15页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.（23-24高一下浙江温州·期末)给定两组数据A=(x1,x2,…,xn)与B=y1,y2,…,ymn),称X(A,B)= ∑1x:-y为这两组数据之间的“差异量”.鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目.现有n个古董，它 们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排 序为l=(1,2,…,).现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n个古董的价值从 高到低依次进行重新排序为x1,x2,·,Xn,其中x,为该专家给真实价值排第i位古董的位次编号，记A= (x1,x2,…,xn),那么A与I的差异量X(A,)=1lx:-可以有效反映一个专家的水平，该差异量X(A,D 越小说明专家的鉴宝能力越强， (1)当n=3时，求X(A,)的所有可能取值： (2)当n=5时，求X(A,)=4的概率； (3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，己知专家甲的鉴定结果与真实价值I的差异量为α，专家甲与专家 乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量是否可能为Q+6？请说明理由. 第14页共15页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(23-24高一下广东清远期末)将连续正整数1,2,3，…，n(n∈N)从小到大排列构成一个数123…n, F(n)为这个数的位数.例如：当n=12时，此数为123456789101112，共有15个数字，则F(12)=15.现 从这个数中随机取一个数字，P()为恰好取到0的概率. (1)求P(101): (2)当n≤2024时，求F(n)的表达式： (3)令f(n)为这个数中数字9的个数，g(n)为这个数中数字0的个数，h(n)=f(n)-g(n),S={nlh(n)= 1,n≤100，n∈N},求当n∈S时P(n)的最大值. 第15页共15页 5-2 古典概型 讲义 教学目标 理解概率的概念，理解掌握古典概型的概率的计算，理解概率的基本性质，掌握有放回与无放回问题的概率计算方法. 教学重点 概率的概念，古典概型的概率的计算，概率的基本性质. 教学难点 有放回与无放回问题的概率计算方法. 知识点01 古典概型 1.频率与概率 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性，一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性，因此我们可以用频率估计概率. 2.概率：对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率.事件的概率用表示. 3.古典概型的特点： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 4.古典概型概率计算公式：设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点， 则事件发生的概率. 【即学即练1-1】（25-26高一下·湖南·阶段检测）从中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为（    ） A． B． C． D． 【即学即练1-2】(多选)（25-26高一下·全国·课堂例题）先后两次掷一枚骰子，观察向上的面的点数，下列叙述正确的是（    ） A．表示第一次掷出点，第2次掷出点，其中，则样本空间为 B．用集合表示事件：“点数之和小于3”，事件：“点数之和不超过3”，则， C．点数之和为5的概率为 D．点数相等的概率为 知识点02 概率的基本性质 性质1：对任意事件，都有. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即. 性质3：如果事件与事件互斥，那么. 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么. 性质5：如果，那么. 性质6： 设，是一个随机试验中的两个事件，有. 【即学即练2-1】（24-25高二上·湖北省直辖县·期末）已知，，且，则（   ） A．0.5 B．0.4 C．0.9 D．0.2 【即学即练2-2】（21-22高一下·河北承德·阶段检测）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，则___________. 题型01 古典概型计算 【典例1-1】（25-26高一上·上海普陀·期末）从数字2，3，4，5，6中一次性随机抽取两个数，则这两个数都是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 【典例1-3】(多选)（24-25高一下·安徽宣城·期末）先后抛掷质地均匀的硬币两次，下列说法正确的是（    ） A．样本空间中一共含有4个样本点 B．事件“两次正面向上”发生的概率是 C．事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”是互斥事件 D．事件“至少一次正面向上”与事件“两次反面向上”是对立事件 【典例1-4】（25-26高一上·江西南昌·期末）若非空集合A满足：，都有，则称集合A具有“对称特征”.已知集合，从S的所有非空子集中随机选取一个集合，则选取的集合具有“对称特征”的概率为______. 【变式1-1】（25-26高一下·全国·课后作业）现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，其中数学、物理、化学为理科书，从中任取1本，取出的是理科书的概率（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·河南驻马店·期末）袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232  321  230  023  123  021  132  220  001 231  130  133  231  013  320  122  103  233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一下·吉林长春·期中）PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标．如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述错误的是（     ） A．这10天的PM2.5日均值的第25百分位数是33 B．从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低 C．这10天中PM2.5日均值的平均数是49 D．从这10天的PM2.5日均值数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是 【变式1-4】（23-24高一下·江苏·期末）一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】(多选)（24-25高一下·河南·期末）若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则（   ） A．这两个图都是二部图的概率为 B．这两个图至少有一个是二部图的概率为 C．这两个图不都是二部图的概率为 D．这两个图恰有一个是二部图的概率为 【变式1-6】（22-23高一下·河北承德·期末）九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为__________. 9 7 4 5 题型02 根据古典概型的概率求参数 【典例2-1】（22-23高一下·江苏南京·期末）一个口袋中装有个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程次，共摸出红球次，根据上述数值，估计口袋中大约有黄球（    ）个． A． B． C． D． 【典例2-2】（24-25高二上·山东日照·开学考试）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【典例2-3】（22-23高二上·上海静安·期末）某高中高一、高二、高三年级共有学生800名，各年级男、女生人数如下表： 高一 高二 高三 男生（人数） 149 女生（人数） 143 130 已知在三个年级的学生中随机抽取1名，抽到高二年级男生的概率是0.16 (1)求的值； (2)现用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生，应从高三年级抽取多少名? 【典例2-4】（24-25高一下·贵州铜仁·期末）一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 【变式2-1】（21-22高一下·新疆乌鲁木齐·期末）从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则（    ） A．28 B．14 C．10 D．8 【变式2-2】（24-25高一下·山西·期末）一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 【变式2-3】（23-24高二上·浙江·期中）有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-4】（23-24高一上·浙江·阶段检测）在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为___________． 【变式2-5】（2023高三·全国·专题练习）某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器件，其中甲工厂生产了件，乙工厂生产了件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取件样品，已知该精密仪器按照质量可分为四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的等级产品的概率为，则抽取的三个等级中甲工厂生产的产品共有______件． 【变式2-6】（24-25高一下·全国·课堂例题）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为． (1)求x的值； (2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？ (3)已知，求九年级中女生比男生少的概率． 题型03 概率的基本性质、确定性事件与随机事件的概率 【典例3-1】（24-25高一下·全国·随堂练习）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（    ） A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0 【典例3-2】（23-24高一下·陕西西安·期末）已知随机事件A，B满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例3-3】（多选）（24-25高一下·广东惠州·期末）下列说法中正确的是（    ） A．数据、、、、、、、、、的下四分位数为 B．若、为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥 C．设样本数据、、、、、的平均数和方差分别为和，若，则、、、、、 的平均数和方差分别为和 D．已知，，且，则 【典例3-4】（25-26高一上·全国·课前预习）对于一个随机事件A，我们通常用一个数来表示该事件发生的______的大小，这个数就称为随机事件A的概率． 【变式3-1】（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）某同学抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷10次，都是反面朝上，则第11次正面朝上的概率是（   ） A．1 B． C． D． 【变式3-2】（25-26高三上·浙江杭州·期末）在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是，，，则下列选项正确的是（    ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D．可能为 【变式3-3】（25-26高一下·全国·课后作业）投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解： ①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率； ②只要连掷6次，一定会“出现1点”； ③投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果“出现6点”的可能性就会加大； ④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19． 其中正确的见解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-4】（25-26高一下·全国·课堂例题）在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是（   ） A．3个数字相邻 B．3个数字全是偶数 C．3个数字的和小于5 D．3个数字两两互质 【变式3-5】(多选)（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）在10名学生中，男生有名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则可以是（   ） A．5 B．6 C．3 D．4 【变式3-6】（2025高一·全国·专题练习）下面给出四个事件：①某地2月3日将下雪；②函数（且）在定义域上是增函数；③实数都不为零，则；④，则.其中必然事件是_________；不可能事件是__________．（填序号） 题型04 有放回与无放回问题的概率 【典例4-1】（24-25高一下·安徽合肥·期末）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（25-26高一上·浙江宁波·自主招生）不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3.随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球.第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（    ） A． B． C． D． 【典例4-3】(多选)（25-26高二上·四川成都·期中）下列叙述正确的是（    ） A．与为对立事件是与为互斥事件的充分不必要条件 B．不透明的袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为 C．不透明的袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为 D．从集合中任取一个数记为，从集合中任取一个数记为，则的概率为 【典例4-4】（25-26高一上·湖南长沙·开学考试）在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为__________. 【变式4-1】（22-23高一下·天津西青·期末）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-2】（22-23高一下·天津河东·期末）小明同学有5把钥匙，其中2把能打开门．如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为，如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率为，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-3】（23-24高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（25-26高二上·广东中山·阶段检测）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【变式4-5】(多选)（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏．方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后有放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择第一次摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球．记三种方案选到2号球的概率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-6】（22-23高一下·河南周口·期末）从分别写有1，2，3，4，5，6，7的7张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字大于第二卡片上的数字的概率为___________． 一、单选题 1.（25-26高一上·全国·课前预习）从甲、乙、丙三人中选一名志愿者，则甲被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·全国·课后作业）投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解： ①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率； ②只要连掷6次，一定会“出现1点”； ③投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果“出现6点”的可能性就会加大； ④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19． 其中正确的见解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.（24-25高一下·天津·期末）分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，从两名男生和三名女生中抽取两人，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）把一个正四面体的四个面按如下方案涂色：第一个面涂红色，第二个面涂黄色，第三个面涂蓝色，第四个面分成三块区域分别涂上述三种颜色，将该四面体抛掷在一个平面上，记事件“四面体有红色的面落在平面上”，记事件“四面体有黄色的面落在平面上”，则的值为（     ） A． B． C． D． 5.（25-26高一上·河南焦作·期末）某地开展志愿服务活动，小蓝、小黄在内的9人充当志愿者，现将这9人平均分成三组，则小蓝和小黄不在同一组的概率为（   ） A． B． C． D． 6.（24-25高一上·陕西·期末）连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 7.（22-23高一下·福建·期末）某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有48名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业满意服务的百分比大约为（    ） A．10% B．20% C．35% D．70% 8.（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）已知正数，满足.现从①，②，③，④这4个不等式中随机抽取2个不等式，则恰有1个不等式成立的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9.（24-25高一下·河南·阶段检测）2020年至2024年某地植被面积的年增加量（单位：万公顷）如图所示，则（    ） A．这组数据的极差为0.7 B．这组数据的平均数为3.7 C．从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据与中位数之差大于0.2的概率为 D．从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据大于3.5的概率为 10.（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（   ） A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 11.（25-26高一上·全国·单元测试）有两个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了游戏对双方都公平，下列获胜规则正确的是（    ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上时甲获胜，所确定的点在直线上时乙获胜 B．取出的两个数乘积不大于15时甲获胜，否则乙获胜 C．取出的两个数乘积不小于20时甲得5分，否则乙得3分，游戏结束后，累计得分高的人获胜 D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜 三、填空题 12.（25-26高一上·山东潍坊·期末）把一个体积为的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成27个体积为的小正方体，从中任取一块，则取到的小正方体只有两面涂有红漆的概率为______. 13.（25-26高一上·北京西城·期末）若非空集合A满足：，都有，则称集合A具有“对称特征”.已知集合，则S的非空子集的个数为______；从S的所有非空子集中随机选取一个集合，则选取的集合具有“对称特征”的概率为______. 14.（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）一袋子中有大小相同，质地均匀的3个红球，2个白球，从中取出两个球，则至少取到一个白球的概率为______． 四、解答题 15.（25-26高一下·全国·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数． (1)求事件“为实数”的概率； (2)求事件“”的概率． 16.（25-26高一下·重庆·期末）学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． (1)求的值． (2)估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（保留一位小数） (3)若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 17.（23-24高一下·四川达州·期末）唐代大诗人刘禹锡《望洞庭》诗云：“湖光秋月两相和，潭面无风镜未磨.遥望洞庭山水翠，白银盘里一青螺.”有人认为诗首句的“秋月”应为“秋色”.有以下事实：A.《望洞庭》是经典名作，历朝历代众口传诵，难免出现不同的版本；B.一般不对原文作修改的宋清两朝的诸多类书中，诗首句“秋月”皆为“秋色”；C.月光下很难分辨出水的不同色彩，翠色､白银盘､青螺皆是白天的景观；D.洞庭秋色是历代文人所关注的美景，该诗强调秋色之美在常理之中；E.该诗是对洞庭湖实景描写.这些事实能否支持该诗首句的“秋月”应为“秋色”？从一次公务员考试答卷中调随机选出100份，统计结果（支持的用√表示，考生答卷上选这一项，不支持的用×表示，考生答卷上不选这一项）如下表： 人数 A B C D E 10 √ × × × √ 20 × × √ √ × 30 × √ × √ × 40 × √ √ × × 只针对本问题. (1)在这次公务员考试答卷中随机取一份，求这份答卷答案有B或C的概率； (2)已知只有事实BC支持该诗首句的“秋月”为“秋色”，有其他选项的为错选，在这100份答卷中，不放回地先后随机抽取两份，求这两份答卷答案恰一个有错选答案的概率. 18.（23-24高一下·浙江温州·期末）给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第i位古董的位次编号，记，那么A与I的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强． (1)当时，求的所有可能取值； (2)当时，求的概率； (3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I的差异量为a，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量是否可能为？请说明理由． 19.（23-24高一下·广东清远·期末）将连续正整数（）从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求； (2)当时，求的表达式； (3)令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5-2古典概型讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01古典概型的计算 题型02根据古典概型的概率求参数 5-2古典概型 知识点01古典概型 题型03概率的基本性质、确定性事 件与随机事件的概率 知识点02概率的基本性质 题型04有放回与无放回问题的概率 教学目标、教学重难点 理解概率的概念，理解掌握古典概型的概率的计算，理解概率的基本性质，掌握有放回 教学目标 与无放回问题的概率计算方法。 教学重点 概率的概念，古典概型的概率的计算，概率的基本性质。 教学难点 有放回与无放回问题的概率计算方法. 知识清单 知识点01古典概型 1.频率与概率 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，一般地，随着试验次数的增大， 频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的 这个性质为频率的稳定性，因此我们可以用频率fn(A)估计概率P(A) 2.概率：对随机事件发生可能性大小的度量（数值)称为事件的概率.事件A的概率用P(A)表示. 3.古典概型的特点： (1)有限性：样本空间的样本，点只有有限个： (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等 4.古典概型概率计算公式：设试验E是古典概型，样本空间Ω包含个样本，点，事件A包含其中的k个样本，点， 则事件A发生的概率P(A=品 【即学即练1-1】(25-26高一下湖南·阶段检测)从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为 偶数且它们之和大于等于10的概率为() A吉 c. D. 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】应用列举法求古典概型的概率即可. 【详解】从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数 第1页共34页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(13,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,45)，(3,4,5)，共10种情况， 其中三个数之积为偶数且它们之和大于等于10的有(1,4,5)，(2,3,5)，(2,45)，(3,4,5)，共4种情况， 所以这三个数之积为偶数且它们之和大于等于10的概率为结子故C正确。 【即学即练1-2】（多选）(25-26高一下·全国课堂例题)先后两次掷一枚骰子，观察向上的面的点数，下列 叙述正确的是() A.(i,)表示第一次掷出i点，第2次掷出j点，其中i,j=1,2,3,4,5,6,则样本空间为2={(i,)1≤i≤6,1≤j≤ 6,i∈N,jeN B.用集合表示事件A:“点数之和小于3”，事件B:“点数之和不超过3”，则A={(1,2),(2,1)},B= {(1,1),(1,2),(2,1)} C.点数之和为5的概率为号 D.点数相等的概率为 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】写出样本空间、计算古典概型问题的概率 【详解】先后两次掷一枚骰子，观察向上的面的点数 对于A,(,)表示第一次掷出点，第2次掷出j点，其中，j=1,2,3,4,5,6, 则样本空间为Q={(i,)1≤i≤6,1≤j≤6，i∈N,jEN,故A正确： 对于B,用集合表示事件A:“点数之和小于3”，事件B:“点数之和不超过3”， 则A={(1,1)},B={(1,1),(1,2),(2,1)},故B错误： 对于C,基本事件总数n=6×6=36, 点数之和为5包含的基本事件有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4个， 所以点数之和为5的概率为P=。故C错误： 对于D,点数相等包含的基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)， 所以点数相等的概率为P=名=言故D正确。 知识点02概率的基本性质 性质1：对任意事件A,都有0≤P(A)≤1. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(①)=1，P(①)=0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B) 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)+P(B)=1. 性质5：如果A≤B,那么P(A)≤P(B) 性质6：设A,B是一个随机试验中的两个事件，有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB) 【即学即练2-1】(24-25高二上湖北省直辖县·期末)已知P(A)=0.5,P(B)=0.4,且B≤A,则P(AB)= () A.0.5 B.0.4 C.0.9 D.0.2 【答案】B 第2页共34页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.94 【知识点】概率的基本性质 【分析】由A与B之间的包含关系可直接得到答案. 【详解】因为B∈A,所以P(AB)=P(B)=0.4 故选：B 【即学即练2-2(21-22高一下·河北承德阶段检测)对于一个古典概型的样本空间2和事件A,B,其中n()= 60,n(A)=30,n(B)=20,n(AnB)=10,则P(AUB)= 【答案】号 【难度】0.94 【知识点】事件的运算及其含义、计算古典概型问题的概率、概率的基本性质 【分析】求出AUB所包含的基本事件数，从而求出相应的概率。 【详解】由题意得：n(AUB)=30+20-10=40,所以P(4UB)=8-号 故答案为：号 题型精讲 题型01古典概型计算 【典例1-1】(25-26高一上·上海普陀·期末)从数字2,3,4,5,6中一次性随机抽取两个数，则这两个数 都是奇数的概率为() A.吉 B. c. 0.0 3 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率 【详解】从数字2,3,4,5,6中一次性随机抽取两个数，包含的基本事件为： (2,3),(2,4),(25),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)(4,5),(4,6),(5,6)共10种， 则两个数都是奇数包含的基本事件为(3,5)， 所以两个数都是奇数的概率为品 故选：B 【典例1-2】(24-25高一下·江苏无锡期末)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数， 则点数和为5的概率是() A月 C. D. 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率 第3页共34页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【分析】求出样本点的总数，并列举出事件“点数和为5”所包含的样本点，利用古典概型的概率公式可求得 所求事件的概率， 【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，共有6×6=36个样本点， 其中事件“点数和为5"所包含的样本点为：(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)，共4种， 故所求概率为P=高=司 【典例1-3】（多选）（24-25高一下，安徽宣城期末)先后抛掷质地均匀的硬币两次，下列说法正确的是() A.样本空间中一共含有4个样本点 B。事件“两次正面向上”发生的概率是 C.事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”是互斥事件 D.事件“至少一次正面向上”与事件“两次反面向上”是对立事件 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、确定所给事件的对立关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、判断 所给事件是否是互斥关系 【分析】根据列举法判断选项A:根据古典概型判断计算判断选项B:根据互斥事件、对立事件的概念判断 选项C、D 【详解】对于A:样本空间中一共含有：正正，正反，反正，反反共4个样本点，故A正确： 对于B,两次正面向上含有一个样本点，故事件“两次正面向上”发生的概率是导故B正确： 对于C:当恰好一次正面向上，一次反面向上时， 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”同时发生， 故不是互斥事件，故C错误； 对于D:事件“至少一次正面向上”与事件“两次背面向上”是对立事件，故D正确 故选：ABD. 【典例1-4】(25-26高一上江西南昌·期末)若非空集合A满足：Ha∈A,都有6-a∈A,则称集合A具有 “对称特征”.己知集合S={1,2,3,4,5),从S的所有非空子集中随机选取一个集合，则选取的集合具有“"对称特 征”的概率为 【答案】品 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、计算古典概型问题的概率、集合新定义 【分析】先求得集合S的非空子集有31个，再利用列举法得到具有“对称特征”的子集的个数，结合古典概 型的概率计算公式，即可求解 【详解】由集合S={1,2,3,45),可得集合S的非空子集有25-1=31个， 其非空子集中，具有“对称特征"的子集有1,5，{2,4，{3}，{1,5,2,4，{1,5,3}，{2,4,3，{1,5,2,4,3}，共有7个， 所以选取的集合具有“对称特征”的概率为P=五 第4页共34页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：品 【变式1-1】（25-26高一下·全国课后作业)现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，其中数学、物 理、化学为理科书，从中任取1本，取出的是理科书的概率() A B.君 c. 4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】由等可能事件的概率公式计算。 【详解】由题意数学、物理、化学共3本书为理科书，故所求概率为 故选：C 【变式1-2】（25-26高一上河南驻马店期末)袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有 放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的 概率利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“文、明、中、国”这四个字， 以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232321230023123021132220001 231130133231013320122103233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为() A B.8 C. D.9 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】利用频率估计概率的方法求解。 【详解】因为随机模拟产生了以下18组随机数： 232321230023123021132220001 231130133231013320122103233 其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3个， 所以由此可以估计，怡好第三次就停止的概率为加=是=言 故选：B 【变式1-3】(25-26高一下·吉林长春.期中)PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫 组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35g/m3~75g/m3之间空 气质量为二级，在75g/m3以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：g/m3) 的统计数据，则下列叙述错误的是() A.这10天的PM2.5日均值的第25百分位数是33 B.从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低 C.这10天中PM2.5日均值的平均数是49 第5页共34页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.从这10天的PM2.5日均值数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是号 PM2.5日均值 100-- 82 80 60 -49 40 45 30 20 34 012345678910日期 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的平均数、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计 【分析】根据折线图读取10天的数据，分别利用百分位数的定义、数据的变化趋势、平均数公式以及古典 概型概率公式对各个选项进行验证即可. 【详解】由图可知，这10天的PM2.5日均值数据依次为：45,57,32,49,82,73,58,34,30,33. 将这组数据从小到大排序为：30,32,33,34,45,49,57,58,73,82 A选项，因为10×25%=2.5，不是整数，所以第25百分位数为排序后的第3个数，即33，A正确： B选项，从5日到9日的PM2.5日均值依次为82,73,58,34,30，数据逐渐降低，B正确： C选项，这10天中PM2.,5日均值的平均数为7=。(45+57+32+49+82+73+58+34+30+33)= 493=49.3,C错误； 10 D选项，空气质量为一级即PM2.5日均值在35g/m3以下，满足条件的数据有32,34,30,33，共4天， 所以从这10天的数据中随机抽出一天，空气质量为一级的概率P=音=手D正确， 【变式1-4】(23-24高一下·江苏·期末)一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，老师在黑板上 写出2,3,4，…，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数（即 乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数)，如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3)，则判 甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是() A删 B.8号 C.103 2023 0. 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】先根据裁判擦去的是奇数还是偶数分类考虑，分析得出若擦去的是奇数，则乙一定获胜；若擦去 的是偶数，则甲一定获胜，由此根据古典概型概率公式计算即得。 【详解】由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数， 注意2,3,4，···，2024中有1011个奇数，1012个偶数. (1)若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜 理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不互质，故乙胜 (2)若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜 第6页共34页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理由如下：设裁判擦去的是2，则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成： (2,3),(4,5),,(2m-2,2m-1).(2m+1,2m+2),,(2023,2024) 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲 必获胜 甲获胜的概率为8二 故选B 【变式1-5】（多选）(24-25高一下河南·期末)若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V,V可 划分为两个子集V1和V2,V1∩V2=0,V1UV2=V,且图中的每一条边的一个关联结点在V1中，另一个关联 结点必在，中，则将图G称为二部图.现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则() ☑日风卒以☐ (1) (2) (3) 5 6 A.这两个图都是二部图的概率为 B。这两个图至少有一个是二部图的概率为蜡 C.这两个图不都是二部图的概率为 D.这两个图恰有一个是二部图的概率为 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】确定这6个图中二部图的个数，再根据古典概型，通过列举的方法，即可概率 【详解】对于图(1)，图中出现了△ABC,则该三角形必然有一条边的两个顶点分在一个子集内， 1 (3) (5) 这显然不符合二部图的定义，图(4)也是如此，所以图(1)与图(4)不是二部图. 除了这两个图，其他四个图都是二部图， 例如，对于图(3)，当V1={E,H,K,J).V2={F,G,I,L时，图中的每一条边的一个关联结点在V1中， 另一个关联结点必在V2中： 对于图(5)，当V1=W,X),V2=T,U,V时，图中的每一条边的一个关联结点在V1中， 另一个关联结点必在V2中，从这六个图中任选两个，所有的选择为 (1),(2).{(1),(3).{(1),(4).{(1),(5),{(1),(6)} {(2).(3),{(2),(4),(2),(5),(2),(6),{3).(4)} {(3),(5),{(3),(6),{(4),(5),{(4),(6),{(5),(6)},共15种 这两个图都是二部图的选择共有6种，这两个图至少有一个是二部图的选择共有14种， 这两个图不都是二部图的选择共有9种，这两个图恰有一个是二部图的选择共有8种， 故这两个图都是二部图的概率为品-专故A错误： 第7页共34页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 这两个图至少有一个是二部图的概率为 51 故B正确： 这两个图不都是二部图的概率为品一 15 ,故C正确： 这两个图怡有一个是二部图的概率为 ,故D错误. 故选：BC 【变式1-6】(22-23高一下·河北承德期末)九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分 为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推 理已经得到了4个小格子中的准确数字，a,b,c,d,e这5个数字未知，且b,d为奇数，则a+b>5的概率为 9 a 6 d e 【答案】号 【难度】0.4 【知识点】写出样本空间、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意列出这个试验的等可能结果，然后求解概率即可： 【详解】这个试验的等可能结果用下表表示： a e 2 3 8 2 8 3 6 6 2 3 8 6 8 3 2 8 1 2 3 6 8 1 6 3 2 2 3 6 1 8 2 3 8 1 6 6 3 2 1 8 6 3 8 1 2 8 2 6 8 3 6 1 2 共有12种等可能的结果，其中a+b>5的结果有8种，所以a+b>5的概率为品=号 故答案为：司 题型02根据古典概型的概率求参数 【典例2-1】(22-23高一下·江苏南京期末)一个口袋中装有10个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来 第8页共34页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜 色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程200次，共摸出红球80次，根据上述数值，估计口袋中大 约有黄球()个 A.10 B.15 C.25 D.40 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据古典概型的概率求参数 【分析】设黄球的个数为n,利用古典概型的概率公式可得出关于的等式，解出n的值即可. 【详解】设黄球的个数为，由古典概型的概率公式可得，0-0，解得n=15. 10+n200 故选：B 【典例2-2】(24-25高二上山东日照开学考试)己知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个， 从中任取一球，得到红球或黄球的概率是得到黄球或蓝球的概率是 (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数： (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.若取到两个球颜色相同则甲胜， 否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由. 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2,1,1： (2)不公平，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】根据古典概型的概率求参数、计算古典概型问题的概率 【分析】(1)根据题设的概率可得关于球数的方程组，求出其解后可得不同颜色的求出. (2)利用列举法可求甲胜或乙胜的概率，从而可判断游戏是否公平 【详解】(1)设盒中红球、黄球、蓝球个数分别为x,y,z,从中任取一球，得到红球或黄球为事件A,得 到黄球或蓝球为事件B, 则PA=安，PB)=华 4 (x+y+z=4 (X=2 由已知得 4 解得y= 1 y+2=1 z=1 4 2 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2,1,1： (2)由(1)知红球、黄球、蓝球个数分别为2个，1个，1个， 用r1,T2表示红球，用a表示黄球，用b表示蓝球， m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，(m,n)表示试验的样本点， 则样本空间2={(rr1),(,r2),(,a),(r1,b),(r2,r1),2,r2),(t2,a),(r2,b),(a,T1),(ar2), (a,a),(a,b),(b,r1),(b,r2),(b,a),(b,b)} 可得n(Q)=16, 记“取到两个球颜色相同”为事件M,“取到两个球颜色不相同”为事件N, 第9页共34页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则nW=6,所以PW=品=言所以PM=1-P0=1-吾=昌 因为>多所以此游戏不公平。 【典例2-3】（22-23高二上·上海静安·期末)某高中高一、高二、高三年级共有学生800名，各年级男、女 生人数如下表： 高一 高二 高三 男生（人数） 149 女生（人数） 143 130 已知在三个年级的学生中随机抽取1名，抽到高二年级男生的概率是0.16 (1)求x的值： (2)现用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生，应从高三年级抽取多少名？ 【答案】(1)128.：(2)10名. 【难度】0.85 【知识点】根据古典概型的概率求参数、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】(1)根据抽到高二年级男生的概率是0.16，列式计算，可得答案. (2)求出高三年级的总人数，根据分层抽样的比例，列式计算，求得答案。 【详解】（1)由题意可知品0=016，“x=128. (2)高三年级人数为800-(149+143)-(128+130)=250， 故用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生， 应从高三年级抽取人数为×32=10（名）. 【典例2-4】(24-25高一下·贵州铜仁期末)一个袋子中有5个球，其中n(1≤n≤5，n∈Z)个红球，其余为 绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球， (1)若n=3,求第二次取到红球的概率： (2)若取出的2个球都是红球的概率为品求儿 【答案】(1层：(23 【难度】0.65 【知识点】根据古典概型的概率求参数、计算古典概型问题的概率 【分析】(1)写出所有样本点，根据古典概型的计算公式即可得到答案： (2)根据古典概型公式得到方程，解出即可. 【详解】(1)由题可知袋中共有5个球，记作a1,a2,a3,a4,a5 从中依次不放回取出2个球，样本点有 (a1,a2),(a1,a3),(a,a4,(a1,as),(a2,a1),(a2,a3),(a2,a4),(a2,as), (a3,a1),(a3,a2),(a3,a4),(a3,as),(a4,a1),(a4a2),(a+a3),(a4as),(as,a1),(as,a2),(as,a3).(a5,a4): 共20个样本点， 记"第次取到红球"为事件A,则"第次取到绿球"为事件A, 第10页共34页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不妨设a1a2,a3为红球，a4a5为绿球.两次都取到红球，则n(A1A2)=6. 先取到绿球再取到红球，则不A,)=6,于是P④=号=h2- 20 即第二次取到红球的概率为号 (2)两次都取到红球为事件A1A2,n(A1A2)=n(n-1). 所以两次取出红球的概率为P(414)=卫， 20 即。=品解得n=3 20 【变式2-1】(21-22高一下·新疆乌鲁木齐期末)从n个正整数1,2，，n任意取出两个不同的数，若取出 的两数之和等于5的概率为品则n=（） A.28 B.14 C.10 D.8 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据古典概型的概率求参数 【分析】根据古典概型求概率公式列出方程，求出n的值 【详解】设(x,y)为取出的两个数对，x是第一个数，y是第二个数，且x≠y 则n()=n×n-n=n(n-1) 设事件A:取出的两个不同的数的和为5 则A={1,4),(2,3),3,2),(4,1)},则n(A)=4 P0）-盟-nn-1)=8x7,n=8 故选：D 【变式2-2】（24-25高一下.山西·期末)一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的 前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后 再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的 个数为() A.25 B.30 C.35 D.40 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据古典概型的概率求参数 【分析】设黑球的个数为，根据古典概型概率公式列式求解即可 【详解】设黑球的个数为，由古典概型的概率公式可得0器解得m=25, 故选：A 【变式2-3】(23-24高二上浙江·期中)有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡， 现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注己有资金的一半.若刮码结 果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金抽取的2张卡 片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则至少为() 第11页共34页 函学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】c 【难度】0.4 【知识点】根据古典概型的概率求参数、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题设分析出：要使资金增加必须2次刮出中奖，转化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大 于再列不等式求n取值 【详解】由于总资金100元，每次在对一张卡片刮码前下注已有资金的一半。 刮第1张卡前，下注50元： 若未中奖，还剩50元；刮第2张卡前，下注25元，不管是否中奖，资金必减少： 若中奖，还剩150元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资金减少：中奖资金增加： 所以，要使资金增加，则必须2次刮出中奖，否则资金减少： 所以，5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于即可， 由5张卡片中任取2张的方法数有10种，n张“中奖"卡中取到2张的方法数有0，种， 2 所以0>n(m-1)>10且2≤n≤5，故n=4或5，即n至少为4. 20 故选：C 【变式2-4】（23-24高一上·浙江·阶段检测)在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种 颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球m个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则m的值为 【答案】10 【难度】0.94 【知识点】根据古典概型的概率求参数 【分析】由古典概型概率公式得方程P=本= ,求解即可 【详解】根据腿意，从袋中随机摸出一个红球的极率是P一云。-子所以m=10。 故答案为：10 【变式2-5】(2023高三·全国.专题练习)某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器1200件，其中甲工厂 生产了690件，乙工厂生产了510件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的 方法从所生产的产品中随机抽取80件样品，已知该精密仪器按照质量可分为A,B,C,D四个等级.若从所抽 取的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的A等级产品的概率为品，则抽取的B,C,D三个等 级中甲工厂生产的产品共有 件. 【答案】34 【难度】0.85 【知识点】根据古典概型的概率求参数、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样原则可求得甲工厂抽取的样品数，根据抽到甲工厂生产A等级产品的概率可构造方程 求得抽取甲工厂生产的A等级产品的数量，由此可得结果， 第12页共34页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由分层抽样原则知：从甲工厂抽取了80×0 1200 =46件样品， 设抽取甲工厂生产的4等级产品有x件，则后=六 3 解得：x=12, 抽取的B,C,D三个等级中，甲工厂生产的产品共有46-12=34件. 故答案为：34 【变式2-6】（24-25高一下.全国.课堂例题)某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为0.19. (1)求x的值： (2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？ (3)已知y≥245，z≥245求九年级中女生比男生少的概率. 【答案】(1x=380:(212:3层 【难度】0.65 【知识点】根据古典概型的概率求参数、计算古典概型问题的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体 容量的计算 【分析】(1)根据抽到八年级女生的概率列式求解即可. (2)先求出九年级人数，然后根据分层抽样定义求出所抽取人数即可. (3)结合列举法，利用古典概型概率公式求解即可 【详解】1)由题意00=019，x=380. (2)九年级人数为y+z=2000-(373+377+380+370)=500, 现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，应在九年级抽取的人数为0×48=12（名）. (3)设九年级女生比男生少为事件A,九年级女生数，男生数记为y,z), 由(2)知y+z=500,y,z∈N. 满足题意的所有样本点是(245,255)，(246,254)，(247,253)，(248,252)，(249,251)， (250,250),(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245),共11个 其中事件A包含的样本点是(245,255)，(246,254)，(247,253)，(248,252)，(249,251)，共5个， P(A=品 题型03概率的基本性质、确定性事件与随机事件的慨率 【典例3-1】（24-25高一下·全国·随堂练习)口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个 球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是() A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0 【答案】C 【难度】0.94 第13页共34页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】概率的基本性质 【分析】根据总的概率之和为1进行求解。 【详解】摸出黑球的概率为1-0.42-0.28=0.3. 故选：C 【典例3-2】(23-24高一下-陕西西安·期末)己知随机事件A,B满足P(A)=子P(B)=子P(AUB)= 则P(AnB)=() A.话 B c.品 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】概率的基本性质 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质列式计算即得. 【详解】依题意，PanB)=P)+P(O)-PAUB)=+}= 故选：D 【典例3-3】（多选)(24-25高一下·广东惠州期末)下列说法中正确的是() A.数据2、2、3、5、6、7、7、8、10、11的下四分位数为3 B.若A、B为互斥事件，则A的对立事件与B的对立事件一定互斥 C.设样本数据x1、x2、x3、…、xg、x10的平均数和方差分别为2和8，若y1=2x+1(i=1,2,3,,10),则 y1、y2、y3、…y9、y10的平均数和方差分别为5和32 D.己知P(A)=0.5,P(B)=0.4,且B∈A,则P(AB)=0.2 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】各数据同时乘除同一数对方差的影响、概率的基本性质、互斥事件与对立事件关系的辨析、总 体百分位数的估计 【分析】利用百分位数的定义可判断A选项；利用韦恩图法可判断B选项；利用平均数和方差的性质可判 断C选项；利用事件的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，10×0.25=2.5， 故数据2、2、3、5、6、7、7、8、10、11的下四分位数为3，A对： 对于B选项，若事件A、B互斥且不对立，如下图所示： 2 B 则AnB≠D,即A的对立事件与B的对立事件不一定互斥，B错： 对于C选项，设样本数据x1、x2、x3、·、xgx10的平均数和方差分别为2和8， 第14页共34页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若y:=2x:+1(i=1,2,3,,10),则y1、y2、y3、、ygy10的平均数为2×2+1=5， 方差为22×8=32，C对： 对于D选项，若BCA,则AB=B,故P(AB)=P(B)=0.4,D错. 故选：AC 【典例34】(25-26高一上·全国课前预习)对于一个随机事件A,我们通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1) 来表示该事件发生的的大小，这个数就称为随机事件A的概率. 【答案】可能性 【难度】0.94 【知识点】确定性事件与随机事件的概率 【分析】根据随机事件的概率的定义直接填空即可. 【详解】解：根据随机事件的概率的定义，对于一个随机事件A,我们通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1)来 表示该事件发生的可能性的大小，这个数就称为随机事件A的概率. 故答案为：可能性 【变式31】(25-26高三上·云南昆明阶段检测)某同学抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷10次，都是反 面朝上，则第11次正面朝上的概率是() A.1 B. C. 10 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】确定性事件与随机事件的概率 【分析】根据抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面朝上的概率都是，即可求得所求概率。 【详解】因为抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面朝上的概率都是影 如果连续抛掷10次，那么第11次出 现正面朝上的概率仍是影 故选：B 【变式32】(25-26高三上浙江杭州·期末)在一次随机试验中，三个事件A,B,C发生的概率分别是0.4， 0.5,0.6,则下列选项正确的是（) A.AUBUC是必然事件 B.A与B是互斥事件 C.P(AnB)≤0.4 D.P(BUC)可能为1.1 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系、概率的基本性质 【分析】通过举反例说明A和B不正确：通过交事件A∩B的性质判断C;根据概率的性质判断D. 【详解】对于A,若ACBCC,则P(AUBUC)=P(C)=0.6<1,故A不正确： 对于B,若ACB,则P(A∩B)=P(A)=0.4≠0， 此时A与B不是互斥事件，故B不正确： 第15页共34页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于C,由(AnB)CA得P(AnB)≤P(A)=0.4,故C正确； 对于D,根据概率性质0≤P(BUC)≤1，故D不正确， 故选：C 【变式33】(25-26高一下.全国课后作业)投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解： ①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率； ②只要连掷6次，一定会“出现1点”： ③投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果“出现6点”的可能性就会加大： ④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19. 其中正确的见解有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】确定性事件与随机事件的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】根据概率的概念和随机事件的概念逐一判断。 【详解】①掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是子故①正确： ②“出现1点”是随机事件，故②错误： ③概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故③错误： ④连续掷3次，每次都出现最大点数6时三次出现的点数之和为18， 所以连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19，故（④正确. 故选：B. 【变式3-4】（25-26高一下.全国课堂例题)在1,2,3，.，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列 事件是不可能事件的是() A.3个数字相邻 B.3个数字全是偶数C.3个数字的和小于5 D.3个数字两两互质 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】确定性事件与随机事件的概率 【分析】根据不可能事件的概念判断即可. 【详解】从10个数字中任取3个数字， 这3个数字的和大于或等于6， 小于5的情况不可能发生， 故“这3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件. 故选：C 【变式35】（多选）(25-26高一下·全国课后作业)（多选题）在10名学生中，男生有x名，现从10名学生 中任选6人去参加某项活动：①至少有一名女生：②5名男生，1名女生：③3名男生，3名女生，若要 使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x可以是() 第16页共34页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.6 C.3 D.4 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】判断事件是否是随机事件、确定性事件与随机事件的概率 【分析】根据（②为不可能事件，可知男生人数少于5人，结合③为随机事件可知男生人数不少于3人，即 可得出结果 【详解】依题意知②为不可能事件，所以10名同学中，男生人数少于5人， ③为随机事件，所以男生人数不少于3人， 男生有x名，故x=3或x=4. 故选：CD 【变式36K2025高一.全国.专题练习)下面给出四个事件：①某地2月3日将下雪；②函数y=a(a>0且 a≠1)在定义域上是增函数；③实数a,b都不为零，则a2+b2=0;④a,b∈R,则ab=ba.其中必然事件 是 不可能事件是 (填序号) 【答案】 ④ ③ 【难度】0.94 【知识点】确定性事件与随机事件的概率、判断事件是否是随机事件 【分析】根据必然事件、不可能事件的定义可得正确答案。 【详解】对于①，某地2月3日将下雪是随机事件： 对于②，函数y=a(a>0且a≠1)在定义域上是增函数是随机事件： 对于③，若实数a,b都不为零，则a2+b2≠0，故③是不可能事件： 对于④，若a,b∈R,则ab=ba恒成立，是必然事件. 故答案为：④，③ 题型04有放回与无放回问题的概率 【典例41】（2425高一下·安徽合肥期末)从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单 随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为() A精 B C. 0. 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解， 【详解】从两名男生（记为a和b)、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人， 记事件A=“抽到的两人是一男生一女生”， 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 21={(ab),(b,a),(a,1),(1,a),(a,2),(2,a),(b,1),(1,b),(b,2),(2,b),(1,2).(2,1). (a,a),(b,b),(1,1),(2,2)}共16个样本点， 第17页共34页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 其中A={(a,1),(1,a),(a,2),(2,a)n(b,1),(1,b),(b,2),(2,b)}有8个样本点， 所以PA=是-号 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 22=(a,b),(b,a),(a,1),(1,a),(a,2),(2,a),(b,1),(1,b),(b,2),(2,b),(1,2),(2,1)}共12个样本点， 其中A={(a,1),(1,a),(a,2),(2,a)(b,1),(1,b),(b,2),(2,b)}有8个样本点， 所以PA)=品-号 故选：D. 【典例42】（25-26高一上浙江宁波·自主招生)不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有 数字1,2,3随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球第一次摸出小球上的数字大于第二次 摸出小球上的数字的概率是() A月 B. c. 0. 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】首先确定共有多少种情况，再确定第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的情况 有几种，即可求得答案 【详解】由题意知随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球， 共有(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)等6种可能的情况： 其中第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的情况有(2,1)，(3,1)，(3,2)， 故第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是=》 故选：A 【典例43】（多选）(25-26高二上·四川成都·期中)下列叙述正确的是() A.A与B为对立事件是A与B为互斥事件的充分不必要条件 B.不透明的袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出 2个球，则两次都摸到红球的概率污 C.不透明的袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中有放回地依次随机摸出 2个球，则两次都摸到红球的概率为号 D.从集合A={1,2,3}中任取一个数记为a,从集合B={45,6}中任取一个数记为b,则a+b>7的概率为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】由对立事件和互斥事件的概念可判断A,由古典概型概率计算公式可判断BCD. 【详解】对于A,对立事件为不同时发生，但有一个必发生，互斥事件为不同时发生的事件，故A正确： 对于B,不放回地依次随机摸出2个球，共有3×2=6个基本事件，两次都是红球含2个基本事件，故概 第18页共34页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 率为故B错误： 选项C:放回地依次随机摸出2个球，共有3×3=9个基本事件，两次都是红球含2×2=4个基本事件， 故概率为号故C正确： 选项D:所有的基本事件有9个，满足题意的有(2,6)，(3,5)，(3,6)，共3个，概率号=子故D正确： 故选：ACD 【典例44】(25-26高一上·湖南长沙开学考试)在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 -1,0,子，这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字加，放回后搅匀再摸出一个球， 记下数字n,则使得二次函数y=x2+mx+n的图象不经过第四象限的概率为 【答案】号 【难度】0.65 【知识点】二次函数的图象分析与判断、有放回与无放回问题的概率 【分析】先列出、n的所有可能的值，进而得到y=x2+mx+n不经过第四象限的概率. 【详解】二次函数y=x2+mx+n的图象不经过第四象限， 则对称轴x=-受≤0且n之0或顶点纵坐标加≥0，即m≥0，n≥0或0≤m2≤4， 由题意，两次摸球的数字组合(m,n)可能有： (-1,-10,(-10)(-1,),(0,-10.(0.0),(0)(（任-1(0).()共9种， 其中符合条件的组合有(-1，)，(0,0)，(0，)(，0)，()，共5种， 所以二次函数y=x2+mx+n的图象不经过第四象限的概率为号 故答案为：哥 【变式41】(22-23高一下·天津西青期末)从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单 随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为() A子吉 B.克君 c. 0. 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解。 【详解】将两名男生编号为a,b,两名女生编号1,2，记A=“抽到的两人都是女生”， 从两名男生和两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为 21={(aa@.(a,b).(a,1),(a,2),(b,a).(b,b),(b,1),(b,2).(1,a),(1,b),(1,1),(1,2),(2a),(2,b),(2,1),(2,2)}共 16个样本点，其中4=(11).(1,2.(21.(2,2)有4个样本点，所以P(0== 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为 22={(ab),(a,1),(a,2),(b,a).(b,1),(b,2).(1,a),(1,b),(12),(2,a).(2,b),(2,1)}共12个样本点， 第19页共34页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 其中A={L,2).(21}有2个样本点，所以P4=品-吉 故选：C 【变式42】(22-23高一下·天津河东·期末)小明同学有5把钥匙，其中2把能打开门.如果随机地取一把 钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为P1,如果试过的钥匙又混进去， 第二次才能打开门的概率为P2,则P1,P2的值分别为() A品 B.分 c会 .品 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】分别列出样本空间，根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】将5把钥匙分别标号为1,2,3,4,5，其中标号为4,5的钥匙是能打开门的，标号为1,2,3的钥匙是不 能打开门的 如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，即为不放回地抽取，则尝试开门两次，尝试开 门两次的样本点有5×4=20个， 其中第二次才能打开门的样本点有4,4.L,52,④.2,5.6,3,5共有6个所以P,=号-品 如果试过的钥匙又混进去，即为有放回地抽取，则尝试开门两次的样本空间为2={(m,n)m,n∈1,2,3,4,5}， 共有25个样本点， 其中第二次才能打开门的样本点有1,4.(1,5.(2,4.(2,5).(3,4，(3,5共有6个，所以P=会 故选：A 【变式43】(23-24高一下.天津西青·期末)从两名男生（记为B1和B2)、两名女生（记为G1和G2)中任意 抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样.在以上两种抽样方式下，抽到的两人是 一男生一女生的概率分别为() A时 B.君 c 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解， 【详解】从两名男生（记为B1和B2)两名女生（记为G1和G2)中任意抽取两人， 记事件A=“抽到的两人是一男生一女生”， 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 21={(B1B2),(B,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2), (G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}共12个样本点， 其中A={(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G2,B1),(G2,B2)}有8个样本点， 所以P④-品-号 第20页共34页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 22={(B1,B1),(BB2),(B1G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2), (G,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}共16个样本点， 其中A={(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2),(G,B1),(G1,B2),(G2,B1),(G2,B2)}有8个样本点， 所以PA=8=专 故选：A 【变式44】(25-26高二上·广东中山阶段检测)袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个， 有放回地取3次，则下列说法正确的是( A.取出的3个球颜色相同的概率为 B.取出的3个球颜色全不相同的概率为号 C.取出的3个球颜色不全相同的概率为 D.取出的3个球无红球的概率为 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】应用古典概型计算各个选项即可. 【详解】设取得黄、红、白球分别为1,2,3，有放回地取球3次，共有： (1,1,1),(11,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,3,1),(2,1,1),(3,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(1,2,2),(13,3),(2,1,3),(3,1,2)(2,1,2), (3,1,3),(3,2,1),(23,1),(2,2,1),(3,3,1),(2,2,2),(3,3,3),(2,2,3),(2,3,2),(3,2,2),(3,3,2),(3,2,3),(2,3,3)共27种等 可能结果， 其中颜色相同的结果有(1,11).(22,2)，.(3,33)3种，其概率为号=故A错误： 颜色全不相同的结果有(1,23.(13,2).(21,3).31,2).3,21).(23,106种，其概率为号=号枚B错误： 颜色不全相同的结果有(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,3,1)，(2,1,1)，(3,1,1)， (1,2,3),(1,3,2),(1,2,2),(1,3,3),(2,1,3),(3,1,2),(2,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(23,1),(2,2,1).3,3,1) (2,23.23,2).(32,2).(3,32).3,23).(23,3)24种，其概率为号-号故c正确： 无红球的结果有(1,11).(11,3).(1,31).31,1).(1,33).(33,3).(31,3).(33,1)8种，其概率为号故D错误. 故选：C 【变式45】（多选）(23-24高二上·黑龙江哈尔滨开学考试)一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球， 分别标有数字1,2,3，现分别用三种方案进行摸球游戏.方案一：任意摸出一个球并选择该球：方案二： 先后有放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择第一次 摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球.记三种方案选到2号球的概率分别为P1,P2, P3,则() A.P1>P2 B.P1>P3 C.P2=P3 D.P1=P3 【答案】cD 【难度】0.65 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率 第21页共34页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】利用列举法，结合古典概型的概率公式分别求得三个方案选到2号球的概率，从而得解. 【详解】方案一：易得“选到2号球的概率P1= 方案二：先后有放回的摸出两个球的基本事件有1,1,1,2，{1,3}，{2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,3,3}，共9件， 其中“选到2号球"的基本事件有1,2，{2,1，{2,2，共3件， 所以“选到2号球的概率为P2=号= 方案三：同时摸出两个球的基本事件有1,2.{1,3,2,3}，共3件， 其中“选到2号球"的基本事件有{1,2，共1件，所以“选到2号球”的概率为P,= 所以P1=P2=P3,故AB错误，CD正确， 故选：CD 【变式46】(22-23高一下河南周口·期末)从分别写有1,2,3,4,5,6,7的7张卡片中随机抽取1张， 放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字大于第二卡片上的数字的概率为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】根据题意写出抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字的所有基本事件，然后代入古 典概型的概率计算公式即可求解 【详解】记“抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字"为事件A, 事件4包括以下21种情况：(7,1)，(7,2)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(7,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4,(4,1),(4,2),(4,3),(3,1),3,2),(2,1) 而有放回地连续抽取2张卡片共有7×7=49（种）不同情况，则P()=号=号 故答案为：影 强化训练 一、单选题 1.(25-26高一上·全国课前预习)从甲、乙、丙三人中选一名志愿者，则甲被选中的概率为() A. B.月 C. 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】记“甲被选中"为事件A,根据题意可得n()=3,n(A)=1,结合古典概型即可得结果 【详解】由题意可知：样本空间n={甲、乙、丙，则n(Q)=3, 记“甲被选中"为事件A,则n(A)=1, 所以P(A)=={ n()-3 故选：C 第22页共34页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26高一下·全国课后作业)投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解： ①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率； ②只要连掷6次，一定会“出现1点”： ③投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果“出现6点”的可能性就会加大： ④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19 其中正确的见解有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】确定性事件与随机事件的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】根据概率的概念和随机事件的概念逐一判断」 【详解】①掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是，故①正确： ②“出现1点”是随机事件，故②错误： ③概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故③错误： ④连续掷3次，每次都出现最大点数6时三次出现的点数之和为18， 所以连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19，故④正确. 故选：B 3.(24-25高一下·天津.期末)分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，从两名男生和三名女生 中抽取两人，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为() A名品 B.品品 c.号 0. 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、确定性事件与随机事件的概率 【分析】根据题意，结合概率的计算公式，即可求解。 【详解】若采用有放回简单随机拍样，可得抽到的两人都是女生的概率P,一×是名 若采用不放回简单随机抽样，可得抽到的两人都是女生的极率P,=×行一品 故选：A 4.(25-26高一下江苏扬州阶段检测)把一个正四面体的四个面按如下方案涂色：第一个面涂红色，第二个 面涂黄色，第三个面涂蓝色，第四个面分成三块区域分别涂上述三种颜色，将该四面体抛掷在一个平面上， 记事件A=“四面体有红色的面落在平面上”，记事件B=“四面体有黄色的面落在平面上”，则P(AB)的值为 () A.青 C. 0.4 【答案】D 【难度】0.65 第23页共34页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】将AB积事件所代表的事件表示出来，利用古典概型的概率计算公式计算概率， 【详解】根据题意，正四面体的四个面中，有红色的面有2个，有黄色的面有2个， AB所代表的事既有红色的面也有黄色的面落在平面上，仅有一个， 故P(AB)= 5.(25-26高一上河南焦作期末)某地开展志愿服务活动，小蓝、小黄在内的9人充当志愿者，现将这9 人平均分成三组，则小蓝和小黄不在同一组的概率为() A 8 c. 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型概率公式直接求解即可 【详解】先固定小蓝，则剩余8个空位， 若小黄选择除小蓝组的2个空位的其余6个空位，则小黄与小蓝不为一组： 若小黄选择小蓝所在组剩余的2个空位，则小黄与小蓝为一组， 故由古典概型计算可知小蓝和小黄不在一组的概率P=:=子 故选：D. 6.（24-25高一上陕西期末)连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件A=“正 面向上的次数大于反面向上的次数”，事件B,=“第次抛掷的结果为正面向上”（其中i=1,2),则有(） A.事件A与事件B1是互斥事件 B.事件B1与事件B2是相互对立事件 C.P(AUB1)>P(B1U B2) D.P(AnB1)=P(B10B2) 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率、确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】对A,根据互斥事件的定义判断：对B,根据相互独立事件的定义判断：对C,求得P(AUB1),P(B1+ B2),即可判断；对D,求得P(AnB1),P(B1∩B2)即可判断 【详解】根据题意，试验的结果有：正正，正反，反反，反正 则事件A包含：正正，事件B1:正正，正反，事件B2:正正，反正 对于A,事件A与事件B1不是互斥事件，它们有可能同时发生，故A错误： 对于B,试验结果除了B,和B2外，还有其它结果如反反，所以事件B1与事件B2不是相互对立事件，故B错 误： 对C.PAUB)=P0+P@,)-PaB)-+片-÷ P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)-P(B1B2)=+-= 2244 所以P(AUB1)<P(B1+B2),故C错误： 第24页共34页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于D,P(AnB)=P(B1nB2)= 所以P(AnB)=P(B1nB2),故D正确 故选：D 7.(22-23高一下福建期末)某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行 了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计 了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到 红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是” 的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答 的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案已知某小区80名业主 参加了问卷，且有48名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业满意服务的百分比大约为() A.10% B.20% C.35% D.70% 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率、其他问题中的概率解释 【分析】根据问卷调查的设计原则，及两个问题被抽到、手机尾号奇数、偶数的概率分别相同，结合已知 估计回答第二个问题的人数及回答“是”的人数，即可得结果. 【详解】由两个问题被问的概率相等，故约有40人回答了第一个问题， 由手机尾号为奇数和偶数的概率相等，故40人中约有20人回答“是”， 根据有48名业主回答了“是”，则约有28人在第二个问题中回答“是”， 又第二个问题被问到的人数同样约为40人， 故本小区对物业满意服务的百分比大约为器=70%， 故选：D 8.(25-26高一上辽宁辽阳期末)已知正数x,y满足n<2x-y-4y现从①2-y<1,②x+1<y, 国加<0，②学>华这4个不等式中随机拍取2个不等式，则恰有1个不等式成立的概率为() A号 C. 【答案】D 【难度】0.15 【知识点】比较指数幂的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、计算古典概型问题的概率、由对数 函数的单调性解不等式 【分析】由n号<2y-4y得nc+》-<(2)-京构造函数f)=lx-÷:利用f在(0，+ ∞)上单调递增得到x+y<2y,即x<y,再结合指数函数、对数函数的性质判断得到①正确②错误③正 确④正确，最后计算这4个不等式中随机抽取2个不等式，恰有1个不等式成立的概率即可： 【详解】由号<2y-4v得1h(x+》-血(2)<高-高 1 即n(x+)-<n(2)-高 第25页共34页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 设函数f(x)-Hx-京，易知f)在(0，+∞)上单调递增， 所以x+y<2y,即x<y,则x-y<0, 所以0<2-y<1,①正确： 由x<y,存在x=0.5<y=0.6,x+1=0.5+1=1.5>0.6,x+1<y不成立，②错误： 已知正数x,y,易得0<<1，ln产<0，③正确： 华>华>华，④正确： 这4个不等式中随机抽取2个不等式，共有6种选法，其中恰有1个不等式成立的选法有3种， 所以拾有1个不等式成立的概率为发=专 故选：D. 二、多选题 9.(24-25高一下河南阶段检测)2020年至2024年某地植被面积的年增加量（单位：万公顷）如图所示， 则() 4.1 3.9 3.6 3.5 3.4 2020年 2021年2022年2023年2024年 A.这组数据的极差为0.7 B.这组数据的平均数为3.7 C.从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据与中位数之差大于0.2的概率为 D.从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据大于3.5的概率为 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算古典 概型问题的概率 【分析】利用极差、平均数、中位数的意义，结合古典概率逐项判断即得 【详解】对于A,将题图中数据从小到大排列为3.4,3.5,3.6,3.9,4.1，则极差为41-3.4=0.7，A正确： 对于B,平均数为34+35+36+3.9+41=3.7，B正确： 5 对于C,中位数为3.6，从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据与中位数之差大于0.2的概率为号，c错 误： 对于D,这组数据中大于3.5的有3个，则从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据大于3.5的概率为， D正确. 故选：ABD 10.(25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测)某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分 选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项 第26页共34页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD,甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确 的是() A.甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B.乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C.丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D.丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】A选项，列举得到共有4种情况，有3种情况满足要求，故能得2分的概率为好：B选项，列举得 到共有6种情况，有3种情况满足要求，能得4分的概率为：C选项，列举得到共有11种情况，有4种情 况满足要求，故得分的概率为结由于<℃错误，D选项，列举得到共有15种情况，能得2分的情况 为A,B,D,能得4分的情况为AB,AD,BD,故得2分的概率与得4分的概率相同，D正确. 【详解】A选项，甲同学仅仅随机选择一个选项，共有4种情况，分别为A,B,C,D, 其中有3种情况满足要求，分别为A,B,D,故能得2分的概率为号A错误： B选项，乙同学仅随机选择两个选项，共有6种情况， 分别为AB,AC,AD,BC,BD,CD,其中能得4分的情况有3种，为AB,AD,BD, 故乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为号-方B正确： C选项，丙同学可以选择两个选项，三个选项和四个选项，共有11种情况， 分别为AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD, 其中得分的情况有4种，为AB,AD,BD,ABD,故得分的概率为品 由B可知，乙同学仅随机选择两个选项，能得分的概率为号 盖<分故丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率低，C错误： D选项，丁同学选择至少一个选项，共有15种情况， 分别为A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD, 能得2分的情况为A,B,D,放能得2分的概率为号=专 能得4分的情况为AB,AD,BD,故能得4分的概率为品=专 丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同，D正确。 故选：BD 11.(25-26高一上·全国单元测试)有两个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1,2,3,4，第二个 信封内的四张卡片上分别写有5,6,7,8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机 抽取一张卡片，得到两个数.为了游戏对双方都公平，下列获胜规则正确的是() A.第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线y=x+4 第27页共34页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上时甲获胜，所确定的点在直线y=一x+8上时乙获胜 B.取出的两个数乘积不大于15时甲获胜，否则乙获胜 C.取出的两个数乘积不小于20时甲得5分，否则乙得3分，游戏结束后，累计得分高的人获胜 D.取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意，列出树状图，根据各项规则列出对应情况判断是否公平即可. 【详解】画树状图如下： 开始 A错，由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中所确定的点在直线y=x+4上的有(1,5)，(2,6)，(3,7)，(4,8)，共4个样本点， 所确定的点在直线y=-x+8上的点有(1,7)，(2,6)，(3,5)，共3个样本点， 故两种情况下的样本点个数不一样，即两种情况下概率不一样. B对，由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中两个数乘积大于15的有(2,8)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，共8 种， 则两个数乘积不大于15的也有8种，故两种情况下的样本点个数一样，即两种情况下概率一样。 C对，由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中取出的两个数乘积不小于20的有(3,7)，(3,8)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，共6种， 则取出的两个数乘积小于20的有10种，5×6=3×10=30. D对，由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中取出的两个数相加和为奇数的有 (1,6),(1,8),(2,5),(2,7),(3,6),(3,8),(4,5),(4,7),共8种， 则取出的两个数相加和为偶数的有8种，故两种情况下的样本点个数一样，即两种情况下概率一样 故选：BCD. 三、填空题 12.(25-26高一上山东潍坊·期末)把一个体积为27cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成27个体积为 1cm3的小正方体，从中任取一块，则取到的小正方体只有两面涂有红漆的概率为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率 第28页共34页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】根据给定条件，利用等可能事件的概率公式计算即得. 【详解】依题意，27个体积为1cm3的小正方体中，只有两面涂有红漆的小正方体共12个， 所以取到的小正方体只有两面涂有红漆的概率P=号-青 故答案为：青 13.(25-26高一上·北京西城期末)若非空集合A满足：Va∈A,都有6-a∈A,则称集合A具有“对称特 征”.己知集合S={1,2,3,45},则S的非空子集的个数为：从S的所有非空子集中随机选取一个集合， 则选取的集合具有“对称特征”的概率为 【答案】 31 7 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、计算古典概型问题的概率 【分析】由集合S的元素个数求出其非空子集个数：求出集合S具有“对称特征"的子集个数，进而求出概率， 【详解】集合S=1,2,3,45)有5个元素，因此S的非空子集的个数为25-1=31； 集合S具有“对称特征"的子集为 3.{1,5{2,4.1,3,5,{2,3,4,{1,2,4,5.1,2,3,4,5,共7个， 所以选取的集合具有对称特征"的概率为经 故答案为：31：3 7 14.(25-26高一上内蒙古呼和浩特·期末)一袋子中有大小相同，质地均匀的3个红球，2个白球，从中取 出两个球，则至少取到一个白球的概率为 【答案】0.7 【难度】0.65 【知识点】写出样本空间、计算古典概型问题的概率 【分析】列举出基本事件，利用古典概型的概率公式求解。 【详解】袋子中有大小相同，质地均匀的3个红球，记为1,2,3；2个白球，记为a,b, 从中随机抽取2个球，基本事件为(1,2)(1,3)，(1，a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b),共有10种， 其中取出的2个球中至少有1个白球的事件有7种，故取出的2个球中至少有1个白球的概率为品 故答案为：品 四、解答题 15.（(25-26高一下.全国期末)将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先 后抛掷两次，记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,设复数z=a+bi. (1)求事件“z-3i为实数"的概率： (2)求事件“z-2≤3”的概率. 【答案】(1后：(2 【难度】0.85 第29页共34页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】计算古典概型问题的概率、复数的基本概念、求复数的模 【分析】(1)若z-3i为实数，则该复数的虚部为0，可解得b=3,所以第二次抛掷出现的点数b=3,即 事件“z-31为实数“的概率为2 (2)由题意，结合复数模的计算，有√(@-2)2+b2≤3，逐个分析所有的可能，先确定b的取值，再分析a 可能的取值，经计算，共有9种情况下可使事件“|z-2引≤3”成立，又α，b的取值情况共有6×6=36种， 进而可求得该事件的概率 【详解】(1)若z-3i为实数，即a+bi-3i=a+(b-3)i为实数，所以b=3, 故该事件只与第二次抛掷骰子有关，与第一次抛掷骰子无关， 又依题意，第二次抛掷出现的点数b可取1,2,3,4,5,6， 故出现b=3的概率为号 即事件“z-31为实数”的概率为 (2)由已知，z-2=|a-2+bi1=√(a-2)2+b≤3 可知，b的值只能取1,2,3， 当b=1时，(a-2)2≤8，即a可取1,2,3,4， 当b=2时，(a-2)2≤5，即a可取1,2,3,4， 当b=3时，(a-2)2≤0，即a可取2， 由上可知，共有9种情况下可使事件"z-2引≤3”成立， 又a,b的取值情况共有6×6=36种， 故事件2-2引≤3”的概率为品= 16.(25-26高一下.重庆期末)学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试.己 知参加此次测试的学生的分数x(i=1,2,,50)全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试 分数分成5组：[45,55)，[55,65)，，[85,95]，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数 据的中间值作为代表)， (1)求m的值， (2)估计此次数学测试分数的平均数x与中位数.（保留一位小数） (3)若采用分层随机抽样的方法，从分数在[65,85)内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取 2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在75,85)内的概率。 频率/组距 0.036-- 0.020 0.014 0.006 455565758595测试分数 【答案】10.024：2=75；76.7：（品 【难度】0.65 第30页共34页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、计算古 典概型问题的概率 【分析】(1)利用频率分布直方图中各小矩形面积和为1列式求解. (2)利用(1)的结论，利用频率分布直方图中平均数和中位数定义求解 (3)利用分层抽样求出落在两个区间内的人数并编号，再利用列举法求出古典概率 【详解】(1)由频率分布直方图，得(0.006+0.014+m+0.036+0.020)×10=1, 所以m=0.024 (2)由(1)得m=0.024,该次考试测试分数的平均数的估计值为： 元=10×(50×0.006+60×0.014+70×0.024+80×0.036+90×0.020)=75分： 测试分数在[45,75)的频率：0.006×10+0.014×10+0.024×10=0.44， 测试分数在[45,85)的频率：0.006×10+0.014×10+0.024×10+0.036×10=0.8 则测试分数中位数为a∈(75,85)，0.44+(a-75)×0.036=0.5,解得a≈76.7， 所以此次数学测试分数的中位数约为76.7. (3)记分数在[65,75)的人数为x=50×0.024×10=12(人)， 分数在[75,85)的人数为y=50×0.036×10=18(人)， 由x:y=12:18=2:3,得采用分层随机抽样的方法，抽取的5人中， 分数在[65,75)的有2人，编号分别为a1,a2,分数在[75,85)有3人，编号为b1,b2,b3, 样本空间={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b,b3),(b2,b3)}, 则m0)=10,记事件A="至少一人分数在[75,85y,则n(A=9,则P(=品 所以这2人中至少有一人分数在[75,85)内的概率为品 17.(23-24高一下·四川达州期末)唐代大诗人刘禹锡《望洞庭》诗云：“湖光秋月两相和，潭面无风镜未磨. 遥望洞庭山水翠，白银盘里一青螺”有人认为诗首句的“秋月”应为“秋色”有以下事实：A.《望洞庭》是经典 名作，历朝历代众口传诵，难免出现不同的版本：B.一般不对原文作修改的宋清两朝的诸多类书中，诗首句 “秋月”皆为“秋色”；C月光下很难分辨出水的不同色彩，翠色、白银盘、青螺皆是白天的景观：D洞庭秋色是 历代文人所关注的美景，该诗强调秋色之美在常理之中；E该诗是对洞庭湖实景描写这些事实能否支持该 诗首句的“秋月”应为“秋色”？从一次公务员考试答卷中调随机选出100份，统计结果（支持的用V表示，考 生答卷上选这一项，不支持的用×表示，考生答卷上不选这一项)如下表： 人数 B D 10 20 X 30 40 只针对本问题. (1)在这次公务员考试答卷中随机取一份，求这份答卷答案有B或C的概率： (2)已知只有事实BC支持该诗首句的“秋月”为“秋色”，有其他选项的为错选，在这100份答卷中，不放回地 第31页共34页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 先后随机抽取两份，求这两份答卷答案恰一个有错选答案的概率. 【答案】a品：(2 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】(1)根据题意，只有10份答卷答案既没有B,也没有C,再由古典概型求概率即可： (2)设W:=“第次抽到的那份答卷答案是正确的"(i=1,2),S=“两份答卷答案恰一个有错选答案”，再根据 乘法公式计算即可. 【详解】(1)解：由表可知，这100份答卷每份答案都含有A,B,C,D,E中的两个， 其中只有10份答卷答案既没有B,也没有C, 设M=“在这100份答卷中随机抽取一份，这份答卷答案有B或C”, 则P网-品 P(M=1-P(M=1-0=8 在这次公务员考试答卷中随机取一份，这份答卷答案有B或C的概率为品： (2)根据题意，由表可知，这100份答卷只有40份的答案是正确的，其余60份的答案均为错选， 设N,=“第次抽到的那份答卷答案是正确的"(i=1,2),S=“两份答卷答案恰一个有错选答案”， 则S=(N1N2)U(N1N2), P品×号+品×号台 所以这两份答卷答案恰一个有错透答案的概率为号 18.(23-24高一下·浙江温州·期末)给定两组数据A=(x1,x2,·,xn)与B=(y1,y2,…,yn),称X(A,B)= ∑=1x一y为这两组数据之间的“差异量”.鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目，现有个古董，它 们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排 序为！=(1,2，“，).现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n个古董的价值从 高到低依次进行重新排序为x1,x2,…,xn,其中x:为该专家给真实价值排第i位古董的位次编号，记A= (x1,x2,…,x),那么A与I的差异量X(A,)=∑1x:-可以有效反映一个专家的水平，该差异量X(A,) 越小说明专家的鉴宝能力越强， (1)当n=3时，求X(A,)的所有可能取值： (2)当n=5时，求X(A,)=4的概率： (3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I的差异量为α，专家甲与专家 乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量是否可能为a+6？请说明理由. 【答案】(1)0,2,4：(2)品(3)不可能，理由见详解 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出样本空间、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】(1)利用列举法求A的所有可能性结果，结合X(A,)的定义运算求解： (2)分析可知样本容量n(Q)=120,且X(A,)=4只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺 第32页共34页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 序，结合(1)中结论运算求解： (3)由题意可得∑1x:-〢=a,∑1x-yl=4,结合绝对值不等式的运算求解。 【详解】(1)若n=3时，则A=(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),且1=(1,2,3) 可得X(A,)=0,2,2,444, 所以X(A,)的所有可能取值为0,2,4. (2)设“X(A,D=4为事件M,样本空间为2， 因为n=5,可知A共有5×4×3×2×1=120个，即样本容量n()=120, 显然若对调两个位置的序号之差大于2，则X(A,)>4, 可知X(A,)=4只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序， 若调整两次两个连续序号：则有{(1,2)，(3,4)1，{(1,2)，(4,5)，{(2,3)，(4,5)} 共有3种可能： 若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：1,2,3，{2,3,4，{3,45}，共3组， 由(1)可知：每组均有3种可能满足X(A,)=4, 可得共有3×3=9种可能： 综上所述：n(M)=3+9=12. 所以P()-瑞-品品 (3)不可能，理由如下： 设专家甲的排序为x1,x2,…,xn,记A=(x1,x2,…,xn): 专家乙的排序为y1,y2,…,yn,记B=y1,y2,…,yn): 由题意可得：X(A,)=-1lx:-i=a,X(A,B)==1x-y=4, 因为y:-i|=IO-x)+(x-训≤y:-x+1x-=x-+lx:-yl 结合的任意性可得1y:-≤1：-〢+x-以=a+4<a+6, 所以专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量不可能为a+6. 19.(23-24高一下广东清远·期末)将连续正整数1,2,3，…，n（n∈W)从小到大排列构成一个数123…n, F(n)为这个数的位数.例如：当n=12时，此数为123456789101112，共有15个数字，则F(12)=15.现 从这个数中随机取一个数字，P()为恰好取到0的概率. (1)求P(101): (2)当n≤2024时，求F(n)的表达式： (3)令f(n)为这个数中数字9的个数，g(n)为这个数中数字0的个数，h(n)=f(n)-g(n),S={nlh(n)= 1,n≤100，n∈N},求当n∈S时P(m)的最大值. n,1≤n≤9 【答案】(1话：(2F() 2n-9,10≤n≤99 3n-108,100≤n≤999：(3片 4n-1107,100≤n≤2024 【难度】0.15 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、计算古典概型问题的概率 第33页共34页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)计算F(101)=9+90×2+3×2=195,数字0的个数为12，得到概率： (2)考虑1≤n≤9,10≤n≤99,100≤n≤999,1000≤n≤2024四种情况，依次计算得到答案 (3)考虑当m=b(1<b≤9，b∈N*)时，n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9，kEN*,b∈N*)时，当n=100 时三种情况，得到g(n)和f(n)的解析式，得到S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90},再计算概率的最值得到答 案 【详解】(1)当n=101时，F(101)=9+90×2+3×2=195,即这个数中共有195个数字， 其中数字0的个数为12，则恰好取到0的概率为P(101)=号=高 (2)当1≤n≤9时，这个数由n个1位数组成，F(n)=n: 当10≤n≤99时，这个数有9个1位数，n-9个两位数组成，则F(n)=2n-9: 当100≤n≤999时，这个数有9个1位数，90个两位数，n-99个三位数组成，F(n)=3n-108: 当1000≤n≤2024时，这个数有9个1位数，90个两位数，900个三位数， n-999个四位数组成，F(n)=4n-1107: n,1≤n≤9 综上所述：F(n)= 2n-9,10≤n≤99 3n-108,100≤n≤999 4-1107,100≤n≤2024 (3)当n=b(1<b≤9，beN*)时，g(n)=0, 当n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9，keN*,beN)时，g(n)=k, 0,1≤n≤9 当n=100时，g(n)=11,即g(m)= k,n=10k+b,1≤k≤9,0≤b≤9，k∈N*,b∈N*, 11,n=100 0,1≤n≤8 同理有f(n) k,n=10k+b-1,1≤k≤8,0≤b≤9，k∈N*,b∈N* n-80,89≤n≤98 20,n=99,100 由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90, 所以当n≤100时，S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}, 当n=9时，P(9)=0,当n=90时，P(90)=号= 当n=10k+91≤k≤8keN时，P)=器=六=应 k y=。=去-号×关于k单调递增， 20k+9202020k+9 故当n=10k+9(1≤k≤8keN时，P(m)有最大值为P(89)-8 又8。<音：所以当n∈S时PO)的最大值为号 第34页共34页 5-2 古典概型 讲义 教学目标 理解概率的概念，理解掌握古典概型的概率的计算，理解概率的基本性质，掌握有放回与无放回问题的概率计算方法. 教学重点 概率的概念，古典概型的概率的计算，概率的基本性质. 教学难点 有放回与无放回问题的概率计算方法. 知识点01 古典概型 1.频率与概率 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性，一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性，因此我们可以用频率估计概率. 2.概率：对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率.事件的概率用表示. 3.古典概型的特点： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 4.古典概型概率计算公式：设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点， 则事件发生的概率. 【即学即练1-1】（25-26高一下·湖南·阶段检测）从中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】应用列举法求古典概型的概率即可. 【详解】从中随机选取三个不同的数 有，，，，，，，，，，共10种情况， 其中三个数之积为偶数且它们之和大于等于的有，，，，共种情况， 所以这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为，故C正确. 【即学即练1-2】(多选)（25-26高一下·全国·课堂例题）先后两次掷一枚骰子，观察向上的面的点数，下列叙述正确的是（    ） A．表示第一次掷出点，第2次掷出点，其中，则样本空间为 B．用集合表示事件：“点数之和小于3”，事件：“点数之和不超过3”，则， C．点数之和为5的概率为 D．点数相等的概率为 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】写出样本空间、计算古典概型问题的概率 【详解】先后两次掷一枚骰子，观察向上的面的点数， 对于A，表示第一次掷出点，第2次掷出点，其中， 则样本空间为，故A正确； 对于B，用集合表示事件：“点数之和小于3”，事件：“点数之和不超过3”， 则，，故B错误； 对于C，基本事件总数， 点数之和为5包含的基本事件有，，，，共4个， 所以点数之和为5的概率为，故C错误； 对于D，点数相等包含的基本事件有，，，，，， 所以点数相等的概率为，故D正确． 知识点02 概率的基本性质 性质1：对任意事件，都有. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即. 性质3：如果事件与事件互斥，那么. 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么. 性质5：如果，那么. 性质6： 设，是一个随机试验中的两个事件，有. 【即学即练2-1】（24-25高二上·湖北省直辖县·期末）已知，，且，则（   ） A．0.5 B．0.4 C．0.9 D．0.2 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】概率的基本性质 【分析】由A与B之间的包含关系可直接得到答案. 【详解】因为，所以, 故选：B. 【即学即练2-2】（21-22高一下·河北承德·阶段检测）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，则___________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】事件的运算及其含义、计算古典概型问题的概率、概率的基本性质 【分析】求出所包含的基本事件数，从而求出相应的概率. 【详解】由题意得：，所以. 故答案为： 题型01 古典概型计算 【典例1-1】（25-26高一上·上海普陀·期末）从数字2，3，4，5，6中一次性随机抽取两个数，则这两个数都是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率. 【详解】从数字2，3，4，5，6中一次性随机抽取两个数，包含的基本事件为: ，，，，，，，，，共种， 则两个数都是奇数包含的基本事件为， 所以两个数都是奇数的概率为. 故选：B. 【典例1-2】（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】求出样本点的总数，并列举出事件“点数和为”所包含的样本点，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，共有个样本点， 其中事件“点数和为”所包含的样本点为：、、、，共种， 故所求概率为. 【典例1-3】(多选)（24-25高一下·安徽宣城·期末）先后抛掷质地均匀的硬币两次，下列说法正确的是（    ） A．样本空间中一共含有4个样本点 B．事件“两次正面向上”发生的概率是 C．事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”是互斥事件 D．事件“至少一次正面向上”与事件“两次反面向上”是对立事件 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、确定所给事件的对立关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据列举法判断选项A；根据古典概型判断计算判断选项B；根据互斥事件、对立事件的概念判断选项C、D.. 【详解】对于A：样本空间中一共含有：正正，正反，反正，反反共4个样本点，故A正确； 对于B，两次正面向上含有一个样本点，故事件“两次正面向上”发生的概率是，故B正确； 对于C：当恰好一次正面向上，一次反面向上时， 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”同时发生， 故不是互斥事件，故C错误； 对于D：事件“至少一次正面向上”与事件“两次背面向上”是对立事件，故D正确. 故选：ABD. 【典例1-4】（25-26高一上·江西南昌·期末）若非空集合A满足：，都有，则称集合A具有“对称特征”.已知集合，从S的所有非空子集中随机选取一个集合，则选取的集合具有“对称特征”的概率为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、计算古典概型问题的概率、集合新定义 【分析】先求得集合的非空子集有个，再利用列举法得到具有“对称特征”的子集的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由集合，可得集合的非空子集有个， 其非空子集中，具有“对称特征”的子集有，共有7个， 所以选取的集合具有“对称特征”的概率为. 故答案为：. 【变式1-1】（25-26高一下·全国·课后作业）现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，其中数学、物理、化学为理科书，从中任取1本，取出的是理科书的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】由等可能事件的概率公式计算. 【详解】由题意数学、物理、化学共3本书为理科书，故所求概率为． 故选：C. 【变式1-2】（25-26高一上·河南驻马店·期末）袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232  321  230  023  123  021  132  220  001 231  130  133  231  013  320  122  103  233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】利用频率估计概率的方法求解. 【详解】因为随机模拟产生了以下18组随机数： ， 其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3个， 所以由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为， 故选：B 【变式1-3】（25-26高一下·吉林长春·期中）PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标．如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述错误的是（     ） A．这10天的PM2.5日均值的第25百分位数是33 B．从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低 C．这10天中PM2.5日均值的平均数是49 D．从这10天的PM2.5日均值数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的平均数、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计 【分析】根据折线图读取10天的数据，分别利用百分位数的定义、数据的变化趋势、平均数公式以及古典概型概率公式对各个选项进行验证即可. 【详解】由图可知，这10天的PM2.5日均值数据依次为：. 将这组数据从小到大排序为：. A选项，因为，不是整数，所以第25百分位数为排序后的第3个数，即，A正确； B选项，从5日到9日的PM2.5日均值依次为，数据逐渐降低，B正确； C选项，这10天中PM2.5日均值的平均数为，C错误； D选项，空气质量为一级即PM2.5日均值在以下，满足条件的数据有，共4天， 所以从这10天的数据中随机抽出一天，空气质量为一级的概率，D正确. 【变式1-4】（23-24高一下·江苏·期末）一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】先根据裁判擦去的是奇数还是偶数分类考虑，分析得出若擦去的是奇数，则乙一定获胜；若擦去的是偶数，则甲一定获胜，由此根据古典概型概率公式计算即得. 【详解】由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数， 注意2，3，4，⋅⋅⋅，2024中有1011个奇数，1012个偶数. （1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜. 理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不互质，故乙胜. （2）若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜. 理由如下：设裁判擦去的是，则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成： 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲必获胜. 甲获胜的概率为. 故选:B. 【变式1-5】(多选)（24-25高一下·河南·期末）若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则（   ） A．这两个图都是二部图的概率为 B．这两个图至少有一个是二部图的概率为 C．这两个图不都是二部图的概率为 D．这两个图恰有一个是二部图的概率为 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】确定这6个图中二部图的个数，再根据古典概型，通过列举的方法，即可概率. 【详解】对于图（1），图中出现了，则该三角形必然有一条边的两个顶点分在一个子集内， 这显然不符合二部图的定义，图（4）也是如此，所以图（1）与图（4）不是二部图． 除了这两个图，其他四个图都是二部图， 例如，对于图（3），当时，图中的每一条边的一个关联结点在中， 另一个关联结点必在中； 对于图（5），当时，图中的每一条边的一个关联结点在中， 另一个关联结点必在中．从这六个图中任选两个，所有的选择为 ， ， ，共15种． 这两个图都是二部图的选择共有6种，这两个图至少有一个是二部图的选择共有14种， 这两个图不都是二部图的选择共有9种，这两个图恰有一个是二部图的选择共有8种， 故这两个图都是二部图的概率为，故A错误； 这两个图至少有一个是二部图的概率为，故B正确； 这两个图不都是二部图的概率为，故C正确； 这两个图恰有一个是二部图的概率为，故D错误. 故选：BC 【变式1-6】（22-23高一下·河北承德·期末）九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为__________. 9 7 4 5 【答案】 【难度】0.4 【知识点】写出样本空间、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意列出这个试验的等可能结果，然后求解概率即可； 【详解】这个试验的等可能结果用下表表示： a b c d e 2 1 6 3 8 2 1 8 3 6 6 1 2 3 8 6 1 8 3 2 8 1 2 3 6 8 1 6 3 2 2 3 6 1 8 2 3 8 1 6 6 3 2 1 8 6 3 8 1 2 8 3 2 1 6 8 3 6 1 2 共有12种等可能的结果，其中的结果有8种，所以的概率为. 故答案为：. 题型02 根据古典概型的概率求参数 【典例2-1】（22-23高一下·江苏南京·期末）一个口袋中装有个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程次，共摸出红球次，根据上述数值，估计口袋中大约有黄球（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据古典概型的概率求参数 【分析】设黄球的个数为，利用古典概型的概率公式可得出关于的等式，解出的值即可. 【详解】设黄球的个数为，由古典概型的概率公式可得，解得. 故选：B. 【典例2-2】（24-25高二上·山东日照·开学考试）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1； (2)不公平，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】根据古典概型的概率求参数、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据题设的概率可得关于球数的方程组，求出其解后可得不同颜色的求出. （2）利用列举法可求甲胜或乙胜的概率，从而可判断游戏是否公平. 【详解】（1）设盒中红球、黄球、蓝球个数分别为x，y，z，从中任取一球，得到红球或黄球为事件A，得到黄球或蓝球为事件B， 则， 由已知得，解得， 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1； （2）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2个，1个，1个， 用，表示红球，用表示黄球，用表示蓝球， 表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 则样本空间，． 可得， 记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件， 则，所以，所以， 因为，所以此游戏不公平． 【典例2-3】（22-23高二上·上海静安·期末）某高中高一、高二、高三年级共有学生800名，各年级男、女生人数如下表： 高一 高二 高三 男生（人数） 149 女生（人数） 143 130 已知在三个年级的学生中随机抽取1名，抽到高二年级男生的概率是0.16 (1)求的值； (2)现用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生，应从高三年级抽取多少名? 【答案】(1)128.；(2)10名. 【难度】0.85 【知识点】根据古典概型的概率求参数、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】（1）根据抽到高二年级男生的概率是0.16，列式计算，可得答案. （2）求出高三年级的总人数，根据分层抽样的比例，列式计算，求得答案. 【详解】（1）由题意可知. （2）高三年级人数为， 故用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生， 应从高三年级抽取人数为（名）. 【典例2-4】（24-25高一下·贵州铜仁·期末）一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 【答案】(1)；(2)3. 【难度】0.65 【知识点】根据古典概型的概率求参数、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）写出所有样本点，根据古典概型的计算公式即可得到答案； （2）根据古典概型公式得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题可知袋中共有5个球，记作， 从中依次不放回取出2个球，样本点有 ， ，， 共20个样本点， 记＂第次取到红球＂为事件，则＂第次取到绿球＂为事件， 不妨设为红球，为绿球．两次都取到红球，则． 先取到绿球再取到红球，则，于是， 即第二次取到红球的概率为. （2）两次都取到红球为事件. 所以两次取出红球的概率为， 即，解得． 【变式2-1】（21-22高一下·新疆乌鲁木齐·期末）从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则（    ） A．28 B．14 C．10 D．8 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据古典概型的概率求参数 【分析】根据古典概型求概率公式列出方程，求出的值. 【详解】设为取出的两个数对，x是第一个数，y是第二个数，且 则 设事件A：取出的两个不同的数的和为5 则，则 ，∴ 故选：D 【变式2-2】（24-25高一下·山西·期末）一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据古典概型的概率求参数 【分析】设黑球的个数为n，根据古典概型概率公式列式求解即可. 【详解】设黑球的个数为n，由古典概型的概率公式可得，解得. 故选：A. 【变式2-3】（23-24高二上·浙江·期中）有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】根据古典概型的概率求参数、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题设分析出：要使资金增加必须2次刮出中奖，转化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于，再列不等式求n取值. 【详解】由于总资金100元，每次在对一张卡片刮码前下注已有资金的一半. 刮第1张卡前，下注50元： 若未中奖，还剩50元；刮第2张卡前，下注25元，不管是否中奖，资金必减少； 若中奖，还剩150元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资金减少；中奖资金增加； 所以，要使资金增加，则必须2次刮出中奖，否则资金减少； 所以，5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于即可， 由5张卡片中任取2张的方法数有10种，n张“中奖”卡中取到2张的方法数有种， 所以且，故或5，即n至少为4. 故选：C 【变式2-4】（23-24高一上·浙江·阶段检测）在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为___________． 【答案】10 【难度】0.94 【知识点】根据古典概型的概率求参数 【分析】由古典概型概率公式得方程，求解即可. 【详解】根据题意，从袋中随机摸出一个红球的概率是，所以. 故答案为：10 【变式2-5】（2023高三·全国·专题练习）某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器件，其中甲工厂生产了件，乙工厂生产了件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取件样品，已知该精密仪器按照质量可分为四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的等级产品的概率为，则抽取的三个等级中甲工厂生产的产品共有______件． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据古典概型的概率求参数、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样原则可求得甲工厂抽取的样品数，根据抽到甲工厂生产等级产品的概率可构造方程求得抽取甲工厂生产的等级产品的数量，由此可得结果. 【详解】由分层抽样原则知：从甲工厂抽取了件样品， 设抽取甲工厂生产的等级产品有件，则，解得：， 抽取的三个等级中，甲工厂生产的产品共有件. 故答案为：. 【变式2-6】（24-25高一下·全国·课堂例题）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为． (1)求x的值； (2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？ (3)已知，求九年级中女生比男生少的概率． 【答案】(1)；(2)；(3) 【难度】0.65 【知识点】根据古典概型的概率求参数、计算古典概型问题的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】（1）根据抽到八年级女生的概率列式求解即可. （2）先求出九年级人数，然后根据分层抽样定义求出所抽取人数即可. （3）结合列举法，利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意，． （2）九年级人数为， 现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，应在九年级抽取的人数为（名）． （3）设九年级女生比男生少为事件，九年级女生数，男生数记为， 由（2）知，，． 满足题意的所有样本点是 ，共11个， 其中事件包含的样本点是共5个， ． 题型03 概率的基本性质、确定性事件与随机事件的概率 【典例3-1】（24-25高一下·全国·随堂练习）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（    ） A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】概率的基本性质 【分析】根据总的概率之和为1进行求解. 【详解】摸出黑球的概率为. 故选：C 【典例3-2】（23-24高一下·陕西西安·期末）已知随机事件A，B满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】概率的基本性质 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质列式计算即得. 【详解】依题意，. 故选：D 【典例3-3】（多选）（24-25高一下·广东惠州·期末）下列说法中正确的是（    ） A．数据、、、、、、、、、的下四分位数为 B．若、为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥 C．设样本数据、、、、、的平均数和方差分别为和，若，则、、、、、 的平均数和方差分别为和 D．已知，，且，则 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】各数据同时乘除同一数对方差的影响、概率的基本性质、互斥事件与对立事件关系的辨析、总体百分位数的估计 【分析】利用百分位数的定义可判断A选项；利用韦恩图法可判断B选项；利用平均数和方差的性质可判断C选项；利用事件的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，， 故数据、、、、、、、、、的下四分位数为，A对； 对于B选项，若事件、互斥且不对立，如下图所示： 则，即的对立事件与的对立事件不一定互斥，B错； 对于C选项，设样本数据、、、、、的平均数和方差分别为和， 若，则、、、、、 的平均数为， 方差为，C对； 对于D选项，若，则，故，D错. 故选：AC. 【典例3-4】（25-26高一上·全国·课前预习）对于一个随机事件A，我们通常用一个数来表示该事件发生的______的大小，这个数就称为随机事件A的概率． 【答案】可能性 【难度】0.94 【知识点】确定性事件与随机事件的概率 【分析】根据随机事件的概率的定义直接填空即可. 【详解】解：根据随机事件的概率的定义, 对于一个随机事件，我们通常用一个数来表示该事件发生的可能性的大小，这个数就称为随机事件的概率. 故答案为：可能性 【变式3-1】（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）某同学抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷10次，都是反面朝上，则第11次正面朝上的概率是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】确定性事件与随机事件的概率 【分析】根据抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面朝上的概率都是，即可求得所求概率． 【详解】因为抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面朝上的概率都是， 如果连续抛掷10次，那么第11次出现正面朝上的概率仍是． 故选：B. 【变式3-2】（25-26高三上·浙江杭州·期末）在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是，，，则下列选项正确的是（    ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D．可能为 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系、概率的基本性质 【分析】通过举反例说明A和B不正确；通过交事件的性质判断C；根据概率的性质判断D. 【详解】对于A，若，则，故A不正确； 对于B，若，则， 此时与不是互斥事件，故B不正确； 对于C，由得，故C正确； 对于D，根据概率性质，故D不正确. 故选：C. 【变式3-3】（25-26高一下·全国·课后作业）投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解： ①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率； ②只要连掷6次，一定会“出现1点”； ③投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果“出现6点”的可能性就会加大； ④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19． 其中正确的见解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】确定性事件与随机事件的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】根据概率的概念和随机事件的概念逐一判断. 【详解】①掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是，故①正确； ②“出现1点”是随机事件，故②错误； ③概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故③错误； ④连续掷3次，每次都出现最大点数6时三次出现的点数之和为18， 所以连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19，故④正确． 故选：B． 【变式3-4】（25-26高一下·全国·课堂例题）在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是（   ） A．3个数字相邻 B．3个数字全是偶数 C．3个数字的和小于5 D．3个数字两两互质 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】确定性事件与随机事件的概率 【分析】根据不可能事件的概念判断即可. 【详解】从10个数字中任取3个数字， 这3个数字的和大于或等于6， 小于5的情况不可能发生， 故“这3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件． 故选：C 【变式3-5】(多选)（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）在10名学生中，男生有名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则可以是（   ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】判断事件是否是随机事件、确定性事件与随机事件的概率 【分析】根据②为不可能事件，可知男生人数少于5人，结合③为随机事件可知男生人数不少于3人，即可得出结果. 【详解】依题意知②为不可能事件，所以10名同学中，男生人数少于5人， ③为随机事件，所以男生人数不少于3人， 男生有名，故或． 故选：CD 【变式3-6】（2025高一·全国·专题练习）下面给出四个事件：①某地2月3日将下雪；②函数（且）在定义域上是增函数；③实数都不为零，则；④，则.其中必然事件是_________；不可能事件是__________．（填序号） 【答案】 ④ ③ 【难度】0.94 【知识点】确定性事件与随机事件的概率、判断事件是否是随机事件 【分析】根据必然事件、不可能事件的定义可得正确答案. 【详解】对于①，某地2月3日将下雪是随机事件； 对于②，函数（且）在定义域上是增函数是随机事件； 对于③，若实数都不为零，则，故③是不可能事件； 对于④，若，则恒成立，是必然事件． 故答案为：④，③ 题型04 有放回与无放回问题的概率 【典例4-1】（24-25高一下·安徽合肥·期末）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人， 记事件“抽到的两人是一男生一女生”， 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共16个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共12个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 故选：D. 【典例4-2】（25-26高一上·浙江宁波·自主招生）不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3.随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球.第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】首先确定共有多少种情况，再确定第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的情况有几种，即可求得答案. 【详解】由题意知随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球， 共有等6种可能的情况； 其中第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的情况有， 故第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是， 故选：A 【典例4-3】(多选)（25-26高二上·四川成都·期中）下列叙述正确的是（    ） A．与为对立事件是与为互斥事件的充分不必要条件 B．不透明的袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为 C．不透明的袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为 D．从集合中任取一个数记为，从集合中任取一个数记为，则的概率为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】由对立事件和互斥事件的概念可判断A，由古典概型概率计算公式可判断BCD. 【详解】对于A，对立事件为不同时发生，但有一个必发生，互斥事件为不同时发生的事件，故A正确； 对于B，不放回地依次随机摸出2个球，共有个基本事件，两次都是红球含2个基本事件，故概率为，故B错误； 选项C：放回地依次随机摸出2个球，共有个基本事件，两次都是红球含个基本事件，故概率为，故C正确； 选项D：所有的基本事件有9个，满足题意的有，，，共3个，概率为，故D正确； 故选：ACD. 【典例4-4】（25-26高一上·湖南长沙·开学考试）在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次函数的图象分析与判断、有放回与无放回问题的概率 【分析】先列出m、n的所有可能的值，进而得到不经过第四象限的概率． 【详解】二次函数的图象不经过第四象限， 则对称轴且或顶点纵坐标，即或， 由题意，两次摸球的数字组合可能有： ，共9种， 其中符合条件的组合有，共5种， 所以二次函数的图象不经过第四象限的概率为. 故答案为：. 【变式4-1】（22-23高一下·天津西青·期末）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】将两名男生编号为，两名女生编号，记“抽到的两人都是女生”， 从两名男生和两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为 共16个样本点，其中有4个样本点，所以. 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为 共12个样本点， 其中有2个样本点，所以. 故选：C. 【变式4-2】（22-23高一下·天津河东·期末）小明同学有5把钥匙，其中2把能打开门．如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为，如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率为，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】分别列出样本空间，根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】将5把钥匙分别标号为1,2,3,4,5，其中标号为4,5的钥匙是能打开门的，标号为1,2,3的钥匙是不能打开门的. 如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，即为不放回地抽取，则尝试开门两次，尝试开门两次的样本点有个， 其中第二次才能打开门的样本点有，共有6个，所以； 如果试过的钥匙又混进去，即为有放回地抽取，则尝试开门两次的样本空间为，共有25个样本点， 其中第二次才能打开门的样本点有共有6个，所以. 故选：A. 【变式4-3】（23-24高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人， 记事件 “抽到的两人是一男生一女生”， 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共12个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共16个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 故选：A. 【变式4-4】（25-26高二上·广东中山·阶段检测）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】应用古典概型计算各个选项即可. 【详解】设取得黄、红、白球分别为，有放回地取球3次，共有： 共27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故B错误； 颜色不全相同的结果有 24种,其概率为，故C正确； 无红球的结果有 8种，其概率为，故D错误． 故选：C 【变式4-5】(多选)（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏．方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后有放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择第一次摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球．记三种方案选到2号球的概率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】利用列举法，结合古典概型的概率公式分别求得三个方案选到2号球的概率，从而得解. 【详解】方案一：易得“选到2号球”的概率； 方案二：先后有放回的摸出两个球的基本事件有，共件， 其中“选到2号球”的基本事件有，共件， 所以“选到2号球”的概率为； 方案三：同时摸出两个球的基本事件有，共3件， 其中“选到2号球”的基本事件有，共1件，所以“选到2号球”的概率为； 所以，故AB错误，CD正确. 故选：CD. 【变式4-6】（22-23高一下·河南周口·期末）从分别写有1，2，3，4，5，6，7的7张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字大于第二卡片上的数字的概率为___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】根据题意写出抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字的所有基本事件，然后代入古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】记“抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字”为事件， 事件包括以下种情况：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 而有放回地连续抽取2张卡片共有（种）不同情况，则． 故答案为：. 一、单选题 1.（25-26高一上·全国·课前预习）从甲、乙、丙三人中选一名志愿者，则甲被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】记“甲被选中”为事件，根据题意可得，，结合古典概型即可得结果. 【详解】由题意可知：样本空间{甲、乙、丙}，则， 记“甲被选中”为事件，则， 所以. 故选：C. 2.（25-26高一下·全国·课后作业）投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解： ①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率； ②只要连掷6次，一定会“出现1点”； ③投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果“出现6点”的可能性就会加大； ④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19． 其中正确的见解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】确定性事件与随机事件的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】根据概率的概念和随机事件的概念逐一判断. 【详解】①掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是，故①正确； ②“出现1点”是随机事件，故②错误； ③概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故③错误； ④连续掷3次，每次都出现最大点数6时三次出现的点数之和为18， 所以连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19，故④正确． 故选：B． 3.（24-25高一下·天津·期末）分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，从两名男生和三名女生中抽取两人，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、确定性事件与随机事件的概率 【分析】根据题意，结合概率的计算公式，即可求解. 【详解】若采用有放回简单随机抽样，可得抽到的两人都是女生的概率； 若采用不放回简单随机抽样，可得抽到的两人都是女生的概率. 故选：A. 4.（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）把一个正四面体的四个面按如下方案涂色：第一个面涂红色，第二个面涂黄色，第三个面涂蓝色，第四个面分成三块区域分别涂上述三种颜色，将该四面体抛掷在一个平面上，记事件“四面体有红色的面落在平面上”，记事件“四面体有黄色的面落在平面上”，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】将积事件所代表的事件表示出来，利用古典概型的概率计算公式计算概率． 【详解】根据题意，正四面体的四个面中，有红色的面有2个，有黄色的面有2个， 所代表的事既有红色的面也有黄色的面落在平面上，仅有一个， 故． 5.（25-26高一上·河南焦作·期末）某地开展志愿服务活动，小蓝、小黄在内的9人充当志愿者，现将这9人平均分成三组，则小蓝和小黄不在同一组的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型概率公式直接求解即可. 【详解】先固定小蓝，则剩余8个空位， 若小黄选择除小蓝组的2个空位的其余6个空位，则小黄与小蓝不为一组； 若小黄选择小蓝所在组剩余的2个空位，则小黄与小蓝为一组， 故由古典概型计算可知小蓝和小黄不在一组的概率. 故选：D. 6.（24-25高一上·陕西·期末）连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率、确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】对A，根据互斥事件的定义判断；对B，根据相互独立事件的定义判断；对C，求得，，即可判断；对D，求得即可判断. 【详解】根据题意，试验的结果有：正正，正反，反反，反正. 则事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正. 对于A，事件与事件不是互斥事件， 它们有可能同时发生，故A错误； 对于B，试验结果除了和外，还有其它结果如反反，所以事件与事件不是相互对立事件，故B错误； 对于C，， ， 所以，故C错误； 对于D，，，所以，故D正确. 故选：D. 7.（22-23高一下·福建·期末）某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有48名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业满意服务的百分比大约为（    ） A．10% B．20% C．35% D．70% 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率、其他问题中的概率解释 【分析】根据问卷调查的设计原则，及两个问题被抽到、手机尾号奇数、偶数的概率分别相同，结合已知估计回答第二个问题的人数及回答“是”的人数，即可得结果. 【详解】由两个问题被问的概率相等，故约有40人回答了第一个问题， 由手机尾号为奇数和偶数的概率相等，故40人中约有20人回答“是”， 根据有48名业主回答了“是”，则约有28人在第二个问题中回答“是”， 又第二个问题被问到的人数同样约为40人， 故本小区对物业满意服务的百分比大约为. 故选：D 8.（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）已知正数，满足.现从①，②，③，④这4个不等式中随机抽取2个不等式，则恰有1个不等式成立的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.15 【知识点】比较指数幂的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、计算古典概型问题的概率、由对数函数的单调性解不等式 【分析】由得，构造函数，利用在上单调递增得到，即，再结合指数函数、对数函数的性质判断得到①正确②错误③正确④正确，最后计算这4个不等式中随机抽取2个不等式，恰有1个不等式成立的概率即可； 【详解】由得， 即， 设函数，易知在上单调递增， 所以，即，则， 所以，①正确； 由，存在，不成立，②错误； 已知正数，，易得，③正确； ，④正确； 这4个不等式中随机抽取2个不等式，共有6种选法，其中恰有1个不等式成立的选法有3种， 所以恰有1个不等式成立的概率为. 故选：D. 二、多选题 9.（24-25高一下·河南·阶段检测）2020年至2024年某地植被面积的年增加量（单位：万公顷）如图所示，则（    ） A．这组数据的极差为0.7 B．这组数据的平均数为3.7 C．从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据与中位数之差大于0.2的概率为 D．从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据大于3.5的概率为 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算古典概型问题的概率 【分析】利用极差、平均数、中位数的意义，结合古典概率逐项判断即得. 【详解】对于A，将题图中数据从小到大排列为，则极差为，A正确； 对于B，平均数为，B正确； 对于C，中位数为3.6，从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据与中位数之差大于0.2的概率为，C错误； 对于D，这组数据中大于3.5的有3个，则从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据大于3.5的概率为，D正确. 故选：ABD 10.（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（   ） A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】A选项，列举得到共有4种情况，有3种情况满足要求，故能得2分的概率为；B选项，列举得到共有6种情况，有3种情况满足要求，能得4分的概率为；C选项，列举得到共有11种情况，有4种情况满足要求，故得分的概率为，由于，C错误；D选项，列举得到共有15种情况，能得2分的情况为A，B，D，能得4分的情况为AB，AD，BD，故得2分的概率与得4分的概率相同，D正确. 【详解】A选项，甲同学仅仅随机选择一个选项，共有4种情况，分别为A，B，C，D， 其中有3种情况满足要求，分别为A，B，D，故能得2分的概率为，A错误； B选项，乙同学仅随机选择两个选项，共有6种情况， 分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，其中能得4分的情况有3种，为AB，AD，BD， 故乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为，B正确； C选项，丙同学可以选择两个选项，三个选项和四个选项，共有11种情况， 分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD， 其中得分的情况有4种，为AB，AD，BD，ABD，故得分的概率为， 由B可知，乙同学仅随机选择两个选项，能得分的概率为， ，故丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率低，C错误； D选项，丁同学选择至少一个选项，共有15种情况， 分别为A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD， 能得2分的情况为A，B，D，故能得2分的概率为， 能得4分的情况为AB，AD，BD，故能得4分的概率为， 丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同，D正确. 故选：BD 11.（25-26高一上·全国·单元测试）有两个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了游戏对双方都公平，下列获胜规则正确的是（    ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上时甲获胜，所确定的点在直线上时乙获胜 B．取出的两个数乘积不大于15时甲获胜，否则乙获胜 C．取出的两个数乘积不小于20时甲得5分，否则乙得3分，游戏结束后，累计得分高的人获胜 D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意，列出树状图，根据各项规则列出对应情况判断是否公平即可. 【详解】画树状图如下：    A错，由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中所确定的点在直线上的有（1，5），（2，6），（3，7），（4，8），共4个样本点， 所确定的点在直线上的点有（1，7），（2，6），（3，5），共3个样本点， 故两种情况下的样本点个数不一样，即两种情况下概率不一样． B对，由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中两个数乘积大于15的有（2，8），（3，6），（3，7），（3，8），（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），共8种， 则两个数乘积不大于15的也有8种，故两种情况下的样本点个数一样，即两种情况下概率一样． C对，由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中取出的两个数乘积不小于20的有（3，7），（3，8），（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），共6种， 则取出的两个数乘积小于20的有10种，． D对，由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中取出的两个数相加和为奇数的有 （1，6），（1，8），（2，5），（2，7），（3，6），（3，8），（4，5），（4，7），共8种， 则取出的两个数相加和为偶数的有8种，故两种情况下的样本点个数一样，即两种情况下概率一样． 故选：BCD. 三、填空题 12.（25-26高一上·山东潍坊·期末）把一个体积为的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成27个体积为的小正方体，从中任取一块，则取到的小正方体只有两面涂有红漆的概率为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据给定条件，利用等可能事件的概率公式计算即得. 【详解】依题意，27个体积为的小正方体中，只有两面涂有红漆的小正方体共12个， 所以取到的小正方体只有两面涂有红漆的概率. 故答案为： 13.（25-26高一上·北京西城·期末）若非空集合A满足：，都有，则称集合A具有“对称特征”.已知集合，则S的非空子集的个数为______；从S的所有非空子集中随机选取一个集合，则选取的集合具有“对称特征”的概率为______. 【答案】 31 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、计算古典概型问题的概率 【分析】由集合的元素个数求出其非空子集个数；求出集合具有“对称特征”的子集个数，进而求出概率. 【详解】集合有5个元素，因此S的非空子集的个数为； 集合具有“对称特征”的子集为 ，共7个， 所以选取的集合具有“对称特征”的概率为. 故答案为：31； 14.（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）一袋子中有大小相同，质地均匀的3个红球，2个白球，从中取出两个球，则至少取到一个白球的概率为______． 【答案】/0.7 【难度】0.65 【知识点】写出样本空间、计算古典概型问题的概率 【分析】列举出基本事件，利用古典概型的概率公式求解. 【详解】袋子中有大小相同，质地均匀的3个红球，记为；2个白球，记为， 从中随机抽取2个球，基本事件为，共有10种， 其中取出的2个球中至少有1个白球的事件有7种，故取出的2个球中至少有1个白球的概率为. 故答案为：. 四、解答题 15.（25-26高一下·全国·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数． (1)求事件“为实数”的概率； (2)求事件“”的概率． 【答案】(1)；(2) 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、复数的基本概念、求复数的模 【分析】（1）若为实数，则该复数的虚部为0，可解得，所以第二次抛掷出现的点数，即事件“为实数”的概率为； （2）由题意，结合复数模的计算，有，逐个分析所有的可能，先确定的取值，再分析可能的取值，经计算，共有9种情况下可使事件“”成立，又，的取值情况共有种，进而可求得该事件的概率. 【详解】（1）若为实数，即为实数，所以， 故该事件只与第二次抛掷骰子有关，与第一次抛掷骰子无关， 又依题意，第二次抛掷出现的点数可取1，2，3，4，5，6， 故出现的概率为， 即事件“为实数”的概率为. （2）由已知， 可知，的值只能取1，2，3， 当时，，即可取1，2，3，4， 当时，，即可取1，2，3，4， 当时，，即可取2， 由上可知，共有9种情况下可使事件“”成立， 又，的取值情况共有种， 故事件“”的概率为. 16.（25-26高一下·重庆·期末）学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． (1)求的值． (2)估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（保留一位小数） (3)若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 【答案】(1)；(2)；；(3) 【难度】0.65 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小矩形面积和为1列式求解. （2）利用（1）的结论，利用频率分布直方图中平均数和中位数定义求解. （3）利用分层抽样求出落在两个区间内的人数并编号，再利用列举法求出古典概率. 【详解】（1）由频率分布直方图，得， 所以. （2）由（1）得，该次考试测试分数的平均数的估计值为： 分； 测试分数在的频率：， 测试分数在的频率：， 则测试分数中位数为，，解得， 所以此次数学测试分数的中位数约为. （3）记分数在的人数为（人）， 分数在的人数为（人）， 由，得采用分层随机抽样的方法，抽取的5人中， 分数在的有2人，编号分别为，分数在有3人，编号为， 样本空间， 则，记事件“至少一人分数在”，则，则， 所以这2人中至少有一人分数在内的概率为. 17.（23-24高一下·四川达州·期末）唐代大诗人刘禹锡《望洞庭》诗云：“湖光秋月两相和，潭面无风镜未磨.遥望洞庭山水翠，白银盘里一青螺.”有人认为诗首句的“秋月”应为“秋色”.有以下事实：A.《望洞庭》是经典名作，历朝历代众口传诵，难免出现不同的版本；B.一般不对原文作修改的宋清两朝的诸多类书中，诗首句“秋月”皆为“秋色”；C.月光下很难分辨出水的不同色彩，翠色､白银盘､青螺皆是白天的景观；D.洞庭秋色是历代文人所关注的美景，该诗强调秋色之美在常理之中；E.该诗是对洞庭湖实景描写.这些事实能否支持该诗首句的“秋月”应为“秋色”？从一次公务员考试答卷中调随机选出100份，统计结果（支持的用√表示，考生答卷上选这一项，不支持的用×表示，考生答卷上不选这一项）如下表： 人数 A B C D E 10 √ × × × √ 20 × × √ √ × 30 × √ × √ × 40 × √ √ × × 只针对本问题. (1)在这次公务员考试答卷中随机取一份，求这份答卷答案有B或C的概率； (2)已知只有事实BC支持该诗首句的“秋月”为“秋色”，有其他选项的为错选，在这100份答卷中，不放回地先后随机抽取两份，求这两份答卷答案恰一个有错选答案的概率. 【答案】(1)；(2) 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】（1）根据题意，只有10份答卷答案既没有B，也没有C，再由古典概型求概率即可； （2）设“第次抽到的那份答卷答案是正确的”“两份答卷答案恰一个有错选答案”，再根据乘法公式计算即可． 【详解】（1）解：由表可知，这100份答卷每份答案都含有A，B，C，D，E中的两个， 其中只有10份答卷答案既没有B，也没有C， 设“在这100份答卷中随机抽取一份，这份答卷答案有B或C”， 则， . 在这次公务员考试答卷中随机取一份，这份答卷答案有B或C的概率为； （2）根据题意，由表可知，这100份答卷只有40份的答案是正确的，其余60份的答案均为错选， 设“第次抽到的那份答卷答案是正确的”“两份答卷答案恰一个有错选答案”， 则， ， 所以这两份答卷答案恰一个有错选答案的概率为. 18.（23-24高一下·浙江温州·期末）给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第i位古董的位次编号，记，那么A与I的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强． (1)当时，求的所有可能取值； (2)当时，求的概率； (3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I的差异量为a，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量是否可能为？请说明理由． 【答案】(1)0，2，4；(2)；(3)不可能，理由见详解 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出样本空间、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】（1）利用列举法求的所有可能性结果，结合的定义运算求解； （2）分析可知样本容量，且只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，结合（1）中结论运算求解； （3）由题意可得：，，结合绝对值不等式的运算求解. 【详解】（1）若时，则，且， 可得， 所以的所有可能取值为0，2，4. （2）设“”为事件M，样本空间为， 因为，可知A共有个，即样本容量， 显然若对调两个位置的序号之差大于2，则， 可知只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序， 若调整两次两个连续序号：则有， 共有3种可能； 若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：，共3组， 由（1）可知：每组均有3种可能满足， 可得共有种可能； 综上所述：. 所以. （3）不可能，理由如下： 设专家甲的排序为，记； 专家乙的排序为，记； 由题意可得：，， 因为， 结合的任意性可得， 所以专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量不可能为. 19.（23-24高一下·广东清远·期末）将连续正整数（）从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求； (2)当时，求的表达式； (3)令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【难度】0.15 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）计算，数字0的个数为12，得到概率； （2）考虑，，，四种情况，依次计算得到答案； （3）考虑当时， 时， 当时三种情况，得到和的解析式，得到，再计算概率的最值得到答案. 【详解】（1）当时，，即这个数中共有195个数字， 其中数字0的个数为12，则恰好取到0的概率为. （2）当时，这个数由n个1位数组成，； 当时，这个数有9个1位数，个两位数组成，则； 当时，这个数有9个1位数，90个两位数，个三位数组成，； 当时，这个数有9个1位数，90个两位数，900个三位数， 个四位数组成，； 综上所述：. （3）当时，， 当时，， 当时，，即， 同理有， 由，可知， 所以当时，， 当时，，当时，， 当时，， 由关于单调递增， 故当时，有最大值为， 又，所以当时的最大值为． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $