5.2.2 概率的运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦概率的运算核心知识点，系统梳理互斥事件加法公式及推广、对立事件概率公式、一般概率加法公式，通过基础落实训练巩固概念，再以互斥事件应用、对立事件应用、综合应用题型构建梯度学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学，通过判断正误、选择填空等基础训练及骰子抛掷、取球等实例，培养学生数学思维中的推理能力与运算能力，提升数学眼光下的抽象意识。课中助力教师分层教学，课后辅助学生回顾强化，有效查漏补缺。

5.2.2　概率的运算(教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) [课时目标] 1.理解概率的基本性质、互斥事件的加法公式、对立事件的概率. 2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题. 1.互斥事件的概率加法公式 如果Ω中的事件A，B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B).两个互斥事件的概率加法公式反映的性质为概率的可加性. 2.两个互斥事件的概率加法公式的推广 如果事件A1，A2，A3，…，An两两互斥，那么事件A1∪A2∪A3∪…∪An发生(是指A1，A2，A3，…，An中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件的概率的和，即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 3.对立事件的概率 如果A是样本空间Ω的事件，则P()=1-P(A). 4.一般概率加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，其中若A∩B=∅，即P(A∩B)=0，则有P(A∪B)=P(A)+P(B)，即互斥事件的概率加法公式是一般概率加法公式的特殊情形. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若A与B为互斥事件，则P(A)+P(B)=1. (　　) (2)若P(A)+P(B)=1，则事件A与B互为对立事件. (　　) (3)某班统计同学们的数学测试成绩，事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“所有同学的成绩都在60分以下”. (　　) (4)A，B为两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B). (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.若A，B是互斥事件，P(A)=0.2，P(A∪B)=0.5，则P(B)等于 (　　) A.0.3 B.0.7 C.0.1 D.1 解析：选A　∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5.∵P(A)=0.2，∴P(B)=0.5-0.2=0.3.故选A. 3.甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为 (　　) A.0.2 B.0.8 C.0.4 D.0.1 解析：选B　乙获胜的概率为1-0.2=0.8. 4.若P(A∪B)=0.7，P(A)=0.4，P(B)=0.6，则P(A∩B)=　　　　.  解析：因为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，所以P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.4+0.6-0.7=0.3. 答案：0.3 题型(一)　互斥事件概率公式的应用 [例1]　(1)抛掷一枚骰子，观察出现的点，设事件A为“出现1点”，B为“出现2点”.已知P(A)=P(B)=，求出现1点或2点的概率； (2)盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球.设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”.已知P(A)=，P(B)=，求这3个球中既有红球又有白球的概率. 解：(1)设事件C为“出现1点或2点”，因为事件A，B是互斥事件，由C=A∪B 可得P(C)=P(A)+P(B)=+=， 所以出现1点或出现2点的概率是. (2)因为A，B是互斥事件， 所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=. 所以这3个球中既有红球又有白球的概率是. |思|维|建|模| 运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤 (1)确定各事件彼此互斥. (2)求各事件分别发生的概率，再求其和. [提醒]　(1)是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的. 　　[针对训练] 1.在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表： 年最高水位 (单位：m) [8，10) [10，12) [12，14) [14，16) [16，18] 概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08 计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位(单位：m)在下列范围内的概率： (1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18]. 解：记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18]分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥. (1)P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.28+0.38+0.16=0.82. (2)P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.28=0.38. (3)P(D∪E)=P(D)+P(E)=0.16+0.08=0.24. 题型(二)　对立事件概率公式的应用 [例2]　甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率为,求： (1)甲获胜的概率; (2)甲不输的概率. 解：(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件,所以“甲获胜”的概率P=1--=. 即甲获胜的概率是. (2)法一：设事件A为“甲不输”,可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(A)=+=. 法二：设事件A为“甲不输”,可看成是“乙获胜”的对立事件,所以P(A)=1-=. 即甲不输的概率是. |思|维|建|模| 　　对立事件也是比较重要的事件,利用对立事件的概率公式求解时,必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用. 　　[针对训练] 2.某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28,命中8环的概率是0.19,命中不够8环的概率是0.29,计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率. 解：记“这个射手在一次射击中命中10环或9环”为事件A,命中10环、9环、8环、不够8环分别为事件A1,A2,A3,A4.由题意知,A2,A3,A4彼此互斥, ∴P(A2∪A3∪A4)=P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.28+0.19+0.29=0.76. 又∵A1与A2∪A3∪A4互为对立事件, ∴P(A1)=1-P(A2∪A3∪A4)=1-0.76=0.24. ∵A1与A2互斥,且A=A1∪A2, ∴P(A)=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=0.24+0.28=0.52. 题型(三)　概率性质的综合应用 [例3]　袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是. (1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率; (2)从中任取一球,求得到的不是红球也不是绿球的概率. 解：(1)从袋中任取一球,记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A,B,C,D,它们彼此互斥, 则P(A)=,P(B∪C)=P(B)+P(C)=, P(C∪D)=P(C)+P(D)=,P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-=. 则联立解得P(B)=,P(C)=,P(D)=,故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为,,. (2)事件“得到红球或绿球”可表示为事件A∪D,由(1)及互斥事件的概率加法公式得P(A∪D)=P(A)+P(D)=+=,故得到的不是红球也不是绿球的概率P=1-P(A∪D)=1-=. |思|维|建|模| 　　求某些较复杂事件的概率,通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和;二是先求此事件的对立事件的概率,再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化. 　　[针对训练] 3.在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条,分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张,不中奖的概率为,中二等奖或三等奖的概率是. (1)求任取一张,中一等奖的概率; (2)若中一等奖或二等奖的概率是,求任取一张,中三等奖的概率. 解：设任取一张,抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为A,B,C,D,它们是互斥事件.由条件可得P(D)=,P(B+C)=P(B)+P(C)=. (1)由对立事件的概率公式得P(A)=1-P(B+C+D)=1-P(B+C)-P(D)=1--=,所以任取一张,中一等奖的概率为. (2)因为P(A+B)=P(A)+P(B)=, 所以P(B)=-=. 又P(B+C)=P(B)+P(C)=,所以P(C)=,所以任取一张,中三等奖的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $