第05讲 二次根式及其性质（暑假预习讲义）新八年级数学新教材沪教版五四制

第05讲 二次根式及其性质 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1二次根式的识别 题型2求二次根式的值 题型3求二次根式中的参数 题型4二次根式有意义的条件（重点） 题型5利用二次根式的性质化简（难点） 题型6复合二次根式的化简 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次根式、被开方数、有意义条件、二次根式非负性、二次根式的性质、完全平方式、二次根式化简、分母有理 化、复合二次根式、参数取值范围 1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的形式判定标准，能准确辨别二次根式，区分二次根式与其他根式、普通代数式. 2.掌握二次根式有意义、无意义的判定规则，能求解单一根式、分式结合根式、多层根式等场景下字母的取值范围，做到不遗漏等于零的情况. 3.熟练掌握二次根式的核心性质，明确“先开方再平方”与"先平方再开方”两类运算的区别与联系，能运用性质完成二次根式的化简与计算. 4.掌握二次根式化简的基本方法，能处理含完全平方式因式、分母在根号内的两类化简题型，理解最简二次根式的要求. 5.掌握复合二次根式的化简思路，能利用完全平方公式对根号内的式子进行配方，完成复合二次根式的变形化简. 6.能运用二次根式的概念与性质，解决代数式求值、正整数参数求解等综合题型，提升代数运算与推理能力. 学习重点：1.二次根式的概念与识别方法，二次根式有意义的判定条件 2.二次根式的核心性质，尤其是两类平方运算的运算规则与异同 3.利用二次根式的性质进行常规化简、代数式求值与参数求解 学习难点：1."先平方再开方”运算与绝对值结合的化简，需结合字母取值范围判断符号后去绝对值2.二次根式与分式、多层根式结合的综合场景下，字母取值范围的联立求解 3.复合二次根式的配方变形与最终结果的符号判定 4.二次根式非负性与绝对值、平方式结合的“和为零”类综合题型 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01二次根式的概念 形如（为有理式）的代数式叫二次根式. （1）有意义条件：被开方数； （2）无意义：被开方数. ：实数范围内负数无平方根，无特殊说明本章二次根式均有意义，无意义. 确定字母取值范围，列被开方数的不等式（组）求解，不可遗漏等于0的情况. 设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) 解：(1) 由，得. 所以，当时，有意义. (2) 由，得. 所以，当时，有意义. (3) 由，得. 所以，当时，有意义. (4) 不论是什么实数，都有. 所以，当是任意实数时，都有意义. 下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据定义进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．∵，∴不是二次根式，故此选项不符合题意；     B．∵的根指数是3，∴不是二次根式，故此选项不符合题意；     C．∵，∴是二次根式，故此选项符合题意； D．当时，是二次根式，原选项没有说明的取值范围，故此选项不符合题意； 故选：C． 知识点02二次根式的性质 1.二次根式的性质 性质 说明 二次根式的非负性 因为表示非负数的算术平方根，所以由算术平方根的概念，知 性质1： 因为表示的算术平方根，所以的平方等于 性质2： 当时，的算术平方根为；当时，的算术平方根为；当时，的算术平方根为.所以 性质3： 当时，，根据算术平方根的意义，得 性质4： 当时，，根据算术平方根的意义，得 具有非负性的式子的常见形式： (1)； (2)； (3). 若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都为0，有以下形式： (1)若，则，； (2)若，则，； (3)若，则，； (4)若，则，，. 1.无论正用，还是其逆用，都要注意前提：.例如，只有当时，才成立. 2.与区别： ：先开方再平方，，结果为； ：先平方再开方，取全体实数，结果为|a|； 相同点：结果均非负，时两式相等. 2．化简二次根式 ①含完全平方式因式：利用，将完全平方式开方移到根号外； ②分母在根号内：分子分母同乘代数式，使分母为完全平方式，开方移出分母. 使用乘除性质时，根号内含分式，同乘代数式让分母变成完全平方式，再移出根号作分母. 求下列二次根式的值： (1) ； (2) ，其中 . 解：(1) . (2) .当 时，原式. 化简下列二次根式： (1) ； (2) ； (3) . 解： (1) . (2) 由，可知. 所以. (3) . 因为，所以. 化简下列二次根式： (1) ； (2) ； (3) . 解 (1) . (2) 由，可知. 所以. (3) 已知，又由，可知. 所以. 题型1二次根式的识别 【例1】下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、，不是二次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意； D、是三次根式，不是二次根式，不符合题意； 故选C． 【例2】下列各式不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的定义是解题关键． 根据二次根式的概念，形如的式子是二次根式，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、是二次根式，不合题意； B、中，故不是二次根式，符合题意； C、，则是二次根式，不合题意； D、是二次根式，不合题意； 故选：B． 1.不能只看有没有根号，要检查被开方数是否能≥0，比如被开方数恒小于0，就不是二次根式； 2.二次根式针对“形式”判断，哪怕最终化简结果是有理数，原式依然属于二次根式，如是二次根式. 【变式1-1】下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，我们把形如其中的式子叫二次根式，解决本题的关键是根据二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A．∵中的，∴二次根式无意义，∴不是二次根式，故A选项不符合题意； B．是二次根式，故B选项符合题意； C．不是二次根式，是三次根式，故C选项不符合题意； D．是分式不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】下列式子：．其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据被开方数为非负数，即可得出答案． 【详解】解：，不是二次根式； 是二次根式； 当时，不是二次根式； 当时，，不是二次根式； ，是二次根式； 不是二次根式． 综上，，是二次根式，一共2个． 故选：B． 题型2求二次根式的值 【例3】已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，求出n的取值范围，再根据是整数，即可得出答案． 【详解】解:∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴； ①，即， ②，即， ③，即， 综上所述，自然数n的值可以是3，6，7， ∴自然数的所有可能取值的和为． 故选：D． 【例4】下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据形如的式子叫做二次根式，逐项分析即可求解． 【详解】解：A、是二次根式，A符合题意； B、，不是二次根式，B不符合题意； C、不是二次根式，C不符合题意； D、不是二次根式，D不符合题意． 故选：A． 【变式2-1】当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 【详解】解：当时，． 故选：B． 【变式2-2】当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【答案】0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 利用非负性求最值 1. 核心依据 二次根式本身具有非负性：（）. 2. 解题步骤 ① 观察式子结构：是一个常数减去二次根式； ② 要让整体结果最大，就要让减去的尽可能小； ③ 分析：，所以，，当即时，取得最小值； ④ 代入求最大值：. 3. 通用规律 - 型：越小，式子值越大；越大，式子值越小； - 型：越小，式子值越大；越大，式子值越小. 2. 运算严格遵循算术平方根的定义，结果只取非负数； 3. 含平方的被开方数化简时，要结合绝对值再根据条件去绝对值. 【变式2-3】当时，代数式的值是___________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式求值．将代入并运用算术平方根求解即可． 【详解】解：将代入得：． 故答案为：2． 题型3求二次根式中的参数 【例5】已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【详解】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 【例6】已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．4 C．5 D．20 【答案】C 【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是5． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键． 被开方数配成完全平方型求最小正整数的方法总结 1.核心原理 要让（为常数、为正整数）是整数，就需要把被开方数分解质因数后，每个质因数的指数都为偶数，这样被开方数才是完全平方数. 2.通用解题步骤 （1）对原式的常数分解质因数 （2）观察每个质因数的指数，补齐为最近的偶数，算出需要补乘的最小正整数 （3）验证结果，确认开方后为整数 易错注意点 - 题目限定正整数时，不能选0（0虽然能让根式为0，但不符合正整数要求）； - 分解质因数要彻底，不能只分解成普通乘积就判断，比如不能把20拆成就只看，要关注剩下的. 【变式3-1】对于，当是整数时，最小的正整数______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式，由即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当是整数时，最小的正整数， 故答案为：． 【变式3-2】若是整数，则正整数的最小值是___________． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先将化简，再根据其为整数的条件，确定正整数的最小值． 【详解】解：． 因为是整数， 所以必须是整数．则为完全平方数，正整数的最小值为． 故答案为：． 【变式3-3】若是整数，则正整数n的最小值为_______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，理解是整数的条件是解决本题的关键． 根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的值即可． 【详解】解：∵是整数， ∴一定是一个完全平方数，最小是， 此时的值为． 故答案为：． 题型4二次根式有意义的条件 【例7】如果二次根式有意义，那么实数满足条件的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子称为二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 故选：B． 【例8】当时，下列二次根式没有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．二次根式有意义即被开方数为非负数，当被开方数为负数时无意义，由此判断即可． 【详解】解：A、当时，，二次根式没有意义，故此选项符合题意； B、当时，，二次根式有意义，故此选项不符合题意； C、当时，，二次根式有意义，故此选项不符合题意； D、当时，，二次根式有意义，故此选项不符合题意； 故选：A． 求字母取值范围的三种常见类型 (1)单独一个二次根式，要保证被开方数大于或等于0； (2)多个二次根式的组合，要列出不等式组，求出不等式组的解集； (3)二次根式与分式、零指数幂或负指数幂的组合，所求取值范围在保证二次根式有意义的同时，还要去掉使分式分母、零指数幂或负指数幂的底数等于0的值. 【变式4-1】若有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数．有意义， ∴． 解得． 【变式4-2】如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，列出不等式并求解即可． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义，需满足被开方数， 解不等式，得， 故答案为：． 【变式4-3】（1）试化简：； （2）已知a，b满足，，求． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据二次根式的概念分析出，即可根据二次根式的性质化简运算； （2）根据二次根式的性质化简运算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴； （2）∵， 若，则， 该方程无解，故不成立，则， ∴， ∴， ∵， ∴或， ∴把代入或运算解得：或， ∴． 题型5利用二次根式的性质化简 【例9】当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质．由可知，因此，代入原式，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【例10】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质，注意区分：和是解题的关键． 根据二次根式的性质、绝对值的定义逐个选项判断即可． 【详解】A.，选项错误，不符合题意；     B.，选项错误，不符合题意； C.，选项正确，符合题意；     D.，选项错误，不符合题意；     故选：C． 解题步骤 1. 把被开方数拆解为平方因式与其他因式的乘积； 2. 用将平方项开出根号； 3. 结合题目给出的字母取值范围、数轴信息、隐含条件判断正负，去掉绝对值； 4. 合并同类项得到最简结果. 【变式5-1】化简：____________________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质解答即可． 【详解】解：． 【变式5-2】如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，利用完全平方公式对原式进行变形是解此题的关键． 先将被开方数用完全平方公式进行变形，再根据二次根式的性质化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∵的化简结果与无关， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】化简：当时，___________． 【答案】 【分析】由，再根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 【点睛】掌握是解题的关键． 题型6复合二次根式的化简 【例11】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 【例12】下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 常用化简方法 方法1：配方法（最常用） 若能找到两个正数a,b，满足： 则. 方法2：平方法 设原式等于，两边平方去掉外层根号，解出后取正值. 解题步骤 1. 先把原式整理成的标准形式（系数不是2时，提取倍数变形）； 2. 寻找和为、积为的两个数； 3. 配方写成完全平方式，开方化简； 4. 检验结果为正数，舍去负根. 易错点 - 没把内层根式系数化成就强行配方，导致出错； - 开方后忽略算术平方根非负的要求，出现正负双解. 【变式6-1】化简：___________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【变式6-2】化简的结果为______． 【答案】5 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 【变式6-3】先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则． （）仿照阅读材料解答即可； （）仿照阅读材料解答即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2） ． 1．下列根式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，根据二次根式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、当时，，故无意义，不一定是二次根式，不符合题意； B、由可得，故一定是二次根式，符合题意； C、不是二次根式，故不符合题意； D、，故无意义，不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 2．如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可． 【详解】解：A、当时，，不是一个正整数，故此选项不符合题意； B、当时，，是一个正整数，故此选项符合题意； C、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； D、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．当时，二次根式的值是_______． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式求值，直接把代入二次根式，计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：3． 4．当_______________时，二次根式有意义． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质．根据二次根式的性质，被开方数必须为非负数． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， 解得：， 故答案为：． 5．化简:____． 【答案】 【分析】由二次根式有意义的条件，结合已知，确定，保证开方结果符合算术平方根的非负性，再将被开方数拆分为可开尽的与最简根式部分的乘积，把平方因式开方后移出根号即可． 【详解】解：二次根式有意义的条件是被开方数非负，即， ∵， ∴， 又， ∴，即， ∴． 故答案为：． 6．化简：________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据被开方数为非负数，得，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．若是一个整数，则正整数m的最小值是_______． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的化简，化简二次根式后判断是个平方数是求解本题的关键．得出是一个平方数，进而求解即可． 【详解】解：∵是一个整数， ∴是一个平方数， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 8．当时，化简________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据题意可知，然后化简即可． 【详解】解：根据题意可知：， 又， ∴， ∴， 故答案为：． 9．已知，那么的值约为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的性质以及二次根式的化简，熟练掌握被开方数的小数点移动与算术平方根小数点移动的关系是解题的关键．本题可先将变形为与已知相关的形式，再利用算术平方根的性质和已知近似值进行计算． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 10．先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 【答案】(1)小莉的化简结果正确，见解析 (2) 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可； （2）仿照小莉的解答过程求解即可． 【详解】（1）小莉的化简结果正确，理由如下： （2）原式 11．设等式在实数范围内成立，其中、、是两两不同的实数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式化简求值，由二次根式有题意得条件得，，即得，进而可得，即等式可变为，得到，再代入分式化简即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得，，， ∴， 又∵，， ∴且， ∴， ∴等式可变为， ∴， ∴原式 ． 12．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先确定、，再根据二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：∵、中， ∴、， ∴ ． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 二次根式及其性质 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1二次根式的识别 题型2求二次根式的值 题型3求二次根式中的参数 题型4二次根式有意义的条件 题型5利用二次根式的性质化简 题型6复合二次根式的化简 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次根式、被开方数、有意义条件、二次根式非负性、二次根式的性质、完全平方式、二次根式化简、分母有理 化、复合二次根式、参数取值范围 1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的形式判定标准，能准确辨别二次根式，区分二次根式与其他根式、普通代数式. 2.掌握二次根式有意义、无意义的判定规则，能求解单一根式、分式结合根式、多层根式等场景下字母的取值范围，做到不遗漏等于零的情况. 3.熟练掌握二次根式的核心性质，明确“先开方再平方”与"先平方再开方”两类运算的区别与联系，能运用性质完成二次根式的化简与计算. 4.掌握二次根式化简的基本方法，能处理含完全平方式因式、分母在根号内的两类化简题型，理解最简二次根式的要求. 5.掌握复合二次根式的化简思路，能利用完全平方公式对根号内的式子进行配方，完成复合二次根式的变形化简. 6.能运用二次根式的概念与性质，解决代数式求值、正整数参数求解等综合题型，提升代数运算与推理能力. 学习重点：1.二次根式的概念与识别方法，二次根式有意义的判定条件 2.二次根式的核心性质，尤其是两类平方运算的运算规则与异同 3.利用二次根式的性质进行常规化简、代数式求值与参数求解 学习难点：1."先平方再开方”运算与绝对值结合的化简，需结合字母取值范围判断符号后去绝对值2.二次根式与分式、多层根式结合的综合场景下，字母取值范围的联立求解 3.复合二次根式的配方变形与最终结果的符号判定 4.二次根式非负性与绝对值、平方式结合的“和为零”类综合题型 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01二次根式的概念 形如（为有理式）的代数式叫_________. （1）有意义条件：被开方数_________； （2）无意义：被开方数_________. ：实数范围内负数无平方根，无特殊说明本章二次根式均有意义，无意义. 确定字母取值范围，列被开方数的不等式（组）求解，不可遗漏等于0的情况. 设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) 下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 知识点02二次根式的性质 1.二次根式的性质 性质 说明 二次根式的非负性 因为表示非负数的算术平方根，所以由算术平方根的概念，知 性质1： 因为表示的算术平方根，所以的平方等于_________ 性质2： 当时，的算术平方根为_________；当时，的算术平方根为_________；当时，的算术平方根为_________.所以 性质3： 当时，，根据算术平方根的意义，得_________ 性质4： 当时，，根据算术平方根的意义，得_________ 具有非负性的式子的常见形式： (1)；(2)；(3). 若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都为0，有以下形式： (1)若，则，； (2)若，则，； (3)若，则，； (4)若，则，，. 1.无论正用，还是其逆用，都要注意前提：.例如，只有当时，才成立. 2.与区别： ：先开方再平方，，结果为； ：先平方再开方，取全体实数，结果为|a|； 相同点：结果均非负，时两式相等. 2．化简二次根式 ①含完全平方式因式：利用，将完全平方式开方移到根号外； ②分母在根号内：分子分母同乘代数式，使分母为完全平方式，开方移出分母. 使用乘除性质时，根号内含分式，同乘代数式让分母变成完全平方式，再移出根号作分母. 求下列二次根式的值： (1) ； (2) ，其中 . 化简下列二次根式： (1) ； (2) ； (3) . 化简下列二次根式： (1) ； (2) ； (3) . 题型1二次根式的识别 【例1】下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【例2】下列各式不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 1.不能只看有没有根号，要检查被开方数是否能≥0，比如被开方数恒小于0，就不是二次根式； 2.二次根式针对“形式”判断，哪怕最终化简结果是有理数，原式依然属于二次根式，如是二次根式. 【变式1-1】下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列式子：．其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2求二次根式的值 【例3】已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【例4】下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式2-2】当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 利用非负性求最值 1. 核心依据 二次根式本身具有非负性：（）. 2. 解题步骤 ① 观察式子结构：是一个常数减去二次根式； ② 要让整体结果最大，就要让减去的尽可能小； ③ 分析：，所以，，当即时，取得最小值； ④ 代入求最大值：. 3. 通用规律 - 型：越小，式子值越大；越大，式子值越小； - 型：越小，式子值越大；越大，式子值越小. 2. 运算严格遵循算术平方根的定义，结果只取非负数； 3. 含平方的被开方数化简时，要结合绝对值再根据条件去绝对值. 【变式2-3】当时，代数式的值是___________． 题型3求二次根式中的参数 【例5】已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例6】已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．4 C．5 D．20 被开方数配成完全平方型求最小正整数的方法总结 1.核心原理 要让（为常数、为正整数）是整数，就需要把被开方数分解质因数后，每个质因数的指数都为偶数，这样被开方数才是完全平方数. 2.通用解题步骤 （1）对原式的常数分解质因数 （2）观察每个质因数的指数，补齐为最近的偶数，算出需要补乘的最小正整数 （3）验证结果，确认开方后为整数 易错注意点 - 题目限定正整数时，不能选0（0虽然能让根式为0，但不符合正整数要求）； - 分解质因数要彻底，不能只分解成普通乘积就判断，比如不能把20拆成就只看，要关注剩下的. 【变式3-1】对于，当是整数时，最小的正整数______． 【变式3-2】若是整数，则正整数的最小值是___________． 【变式3-3】若是整数，则正整数n的最小值为_______． 题型4二次根式有意义的条件 【例7】如果二次根式有意义，那么实数满足条件的范围是（    ） A． B． C． D． 【例8】当时，下列二次根式没有意义的是（   ） A． B． C． D． 求字母取值范围的三种常见类型 (1)单独一个二次根式，要保证被开方数大于或等于0； (2)多个二次根式的组合，要列出不等式组，求出不等式组的解集； (3)二次根式与分式、零指数幂或负指数幂的组合，所求取值范围在保证二次根式有意义的同时，还要去掉使分式分母、零指数幂或负指数幂的底数等于0的值. 【变式4-1】若有意义，则的取值范围是_____． 【变式4-2】如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围为__________． 【变式4-3】（1）试化简：； （2）已知a，b满足，，求． 题型5利用二次根式的性质化简 【例9】当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【例10】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 解题步骤 1. 把被开方数拆解为平方因式与其他因式的乘积； 2. 用将平方项开出根号； 3. 结合题目给出的字母取值范围、数轴信息、隐含条件判断正负，去掉绝对值； 4. 合并同类项得到最简结果. 【变式5-1】化简：____________________． 【变式5-2】如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________． 【变式5-3】化简：当时，___________． 题型6复合二次根式的化简 【例11】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【例12】下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 常用化简方法 方法1：配方法（最常用） 若能找到两个正数a,b，满足： 则. 方法2：平方法 设原式等于，两边平方去掉外层根号，解出后取正值. 解题步骤 1. 先把原式整理成的标准形式（系数不是2时，提取倍数变形）； 2. 寻找和为、积为的两个数； 3. 配方写成完全平方式，开方化简； 4. 检验结果为正数，舍去负根. 易错点 - 没把内层根式系数化成就强行配方，导致出错； - 开方后忽略算术平方根非负的要求，出现正负双解. 【变式6-1】化简：___________． 【变式6-2】化简的结果为______． 【变式6-3】先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 1．下列根式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 3．当时，二次根式的值是_______． 4．当_______________时，二次根式有意义． 5．化简:____． 6．化简：________． 7．若是一个整数，则正整数m的最小值是_______． 8．当时，化简________________． 9．已知，那么的值约为_____． 10．先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 11．设等式在实数范围内成立，其中、、是两两不同的实数，求的值． 12．计算：． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $