第01讲 算术平方根与平方根（暑假预习讲义）新八年级数学新教材沪教版五四制

算术平方根 被开方数与 术平方根的 点移动规律 算术平方根 与平方根 平方根 平方根与算 定义一若正数心2=a,则正数x叫做a的算术平方根 a的算术平方根记作√a,a称为被开方数 表示方法 符号省略根指数2，读作“二次根号α” 算术平方根等于本身的数：0、1 核心性质十一个正数有唯一的算术平方根 双重非负性：a≥0，√a≥0 其算 被开方数扩大为原来的100倍，算术平方根扩大为原来的10倍 小数 1 1 被开方数缩小为原来的 算术平方根缩小为原来的 100 10 定义一若x2=a,则心叫做a的平方根（二次方根)，a为被开方数 正数a的平方根记作士√/a 表示方法 十 √a:a的算术平方根（正平方根) √a:a的负平方根 正数有两个平方根，互为相反数 平方根性质十 0的平方根是0 负数没有平方根 个数：正数算术平方根1个；正数平方根2个 区别 表示：算术平方根√a;平方根土√@ 取值：算术平方根都为正；平方根一正一负 术平方根对比 平方根包含算术平方根 联系 存在条件一致：仅非负数有平方根、算术平方根 0的平方根与算术平方根均为0 第01讲 算术平方根与平方根 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1求一个数的算术平方根 题型2利用算术平方根的非负性解题 题型3估计算术平方根的取值范围 题型4求算术平方根的整数部分和小数部分 题型5与算术平方根有关的规律探索题 题型6算术平方根的实际应用 题型7平方根概念理解 题型8求一个数的平方根 题型9求代数式的平方根 题型10已知一个数的平方根，求这个数 题型11利用平方根解方程 题型12平方根的应用 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 算术平方根、 双重非负性、 平方根、 开平方、 平方根解方程、 算术平方根实际应用 1. 理解算术平方根、平方根的定义，掌握二者表示符号与读法，区分两个概念. 2. 掌握算术平方根双重非负性，能利用非负性求解参数、代数式的值. 3. 熟记被开方数与算术平方根的小数点移动规律，并能灵活运用. 4. 掌握平方根性质，理解平方与开平方互为逆运算，能正确求一个数的平方根. 5. 熟练解决已知平方根求原数、利用平方根解方程、规律探究、几何与生活类实际应用题. 学习重点： 1. 算术平方根、平方根的概念与基本运算. 2. 算术平方根的双重非负性应用. 3. 已知一个数的平方根，求这个数. 4. 利用平方根解方程、算术平方根的实际应用. 学习难点： 1. 求算术平方根的整数部分与小数部分。 2. 与算术平方根相关的规律探索题。 3. 区分平方根与算术平方根，规避符号理解类易错点。. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 算术平方根 1．定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫作的算术平方根.如：，所以4的算术平方根是2. 2.表示方法：的算术平方根记为“”，读作“根号”，叫作被开方数. 被开方数一定是非负数 如：5的算术平方根记为是被开方数. 因为0的平方是0，所以规定0的算术平方根是0，记为. （1）算术平方根是它本身的数有0和1. （2）一个正数的算术平方根只有1个. （3）具有双重非负性：①被开方数一定是非负数，即；②其本身非负，即. （4）实际省略了中的根指数2，因此也读作＂二次根号＂. 求下列各数的算术平方根： （1）64；（2）225；（3）. 求一个非负数的算术平方根的方法 先找出哪一个非负数的平方等于已知的数，然后用数学式子表示出来. 化简： (1)；(2)；(3). 知识点02 被开方数与其算术平方根的小数点移动规律 一个数扩大为原来的100倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍.一个数缩小为原来的，它的算术平方根就缩小为原来的.即被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 化简： (1)；(2)；(3)；(4). 知识点03 平方根的概念及其性质 1.平方根 （1）概念：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫作的平方根，也称为二次方根.叫作被开方数.如，所以4的平方根是. （2）平方根的表示方法：正数的两个平方根可以用符号“”表示.其中，“”表示的正的平方根，即的算术平方根；“”表示的负的平方根，读作“负根号”.0的平方根记为“”，. （3）平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数.如36的平方根是；②0的平方根是0；③负数没有平方根.如没有平方根. (1)正数的算术平方根是这个正数的正平方根. (2)求一个数的平方根，就是求所有平方后等于这个数的数. 2．开平方 求一个数（是非负数）的平方根的运算叫作开平方.平方与开平方互为逆运算. 例如，求81的平方根，就是要对81进行开平方运算，81是被开方数. (1)平方根是数，是开平方的结果;开平方是一种运算，是求平方根的过程. (2)平方与开平方互为逆运算，两种运算可以互相验证运算的结果是否正确. 平方根与算术平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 个数不同 正数的算术平方根只有1个 正数的平方根有2个 表示方法不同 正数的算术平方根表示为 正数的平方根表示为 取值范围不同 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根一正一负，互为相反数 联系 具有包含关系 平方根包含算术平方根 存在的条件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根 0的表达相同 0的平方根与算术平方根均为0 的意义分别是非负数的平方根，非负数的负的平方根或非负数的算术平方根的相反数，非负数的算术平方根.解题时易混淆几种符号的意义，还容易忽视被开方数的非负性而导致错误. 注意：当时，，即 0 的平方根等于它的算术平方根． 平方根等于它本身的数是 0 ，算术平方根等于它本身的数有 0,1 ． 求下列各数的平方根： （1）81； （2）； （3） 0.49 . 求一个正数的平方根，就是求这个正数是哪两个互为相反数的数的平方. 化简： （1）； （2）； （3）. 题型1求一个数的算术平方根 【例1】填空： （1）4的算术平方根是________ （2）的算术平方根是________； （3）0.01的算术平方根是________； （4）3的算术平方根是________； （5）的算术平方根是________； （6）的算术平方根是________； （7）的值是________． 【例2】的算术平方根是（    ） A． B．3 C．9 D． 【技巧归纳】 （1）若求一个算式的算术平方根，一般是先求出算式的值，再求它的算术平方根，有时也可通过简单变形化成一个正数的平方的形式，从而提高运算的速度和准确率. （2）防止出现这样的错误． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）的算术平方根为________． 【变式1-2】的值是_________． 【变式1-3】____；的算术平方根为____；的算术平方根为_____：的算术平方根为_____. 题型2利用算术平方根的非负性解题（重点、难点） 【例3】已知，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【例4】已知：，求_________． 【变式2-1】已知，则的算术平方根是________． 【变式2-2】已知，则的值为_________． 【变式2-3】已知实数满足，那么的值是(    ) A．1999 B．2000 C．2001 D．2002 题型3估计算术平方根的取值范围（重点） 【例5】0.00048的算术平方根在（   ） A．0.05与0.06之间 B．0.02与0.03之间 C．0.002与0.003之间 D．0.2与0.3之间 【例6】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知．若为整数且，则的值为___________． 【技巧归纳】 对算术平方根的估算，通常取与被开方数大小最接近的两个完全平方数的算术平方根进行比较. 【变式3-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）设，则m的取值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】估计的值（    ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 【变式3-3】[数学史・秦九韶公式]我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是_________． 题型4求算术平方根的整数部分和小数部分（重点、难点） 【例7】的整数部分为3，则它的小数部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【例8】已知的小数部分是，的小数部分是，则的值_____． 【变式4-1】已知为正整数，且，是的小数部分，则_____． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海静安·期中）的整数部分和小数部分分别是（    ） A．0和 B．3和 C．3和 D．3和 【变式4-3】（25-26八年级上·上海金山·期中）已知的小数部分是，的小数部分是，且，则_____． 题型5与算术平方根有关的规律探索题（难点） 【例9】求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： n 16 0.16 0.0016 1600 160000 … 4 0.4 0.04 40 400 … (1)表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来） (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根： ①______；②______； (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根已知，则______． 【例10】（25-26八年级上·上海·期中）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1)_______，_______，_______， (2)的整数部分是，小数部分是_______； (3)若，则满足条件的整数有个． 【变式5-1】（25-26八年级上·上海崇明·期末）如果，，那么的值是__________． 【变式5-2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】(易错题)[新情境・数轴循环规律]（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在数轴上，我们可以用画半圆的方式，依次得到一些新的点．从原点开始，作一个边长为1的正方形，连接正方形对角两个顶点得到的线段的长度为，以数轴原点为圆心，长度为半径画半圆，交数轴右边于点，如此就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_________． 题型6算术平方根的实际应用（重点） 【例11】【新情境・项目式学习】项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为____； 【项目素材】 如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，变成纸⋯⋯． 【任务探究】 (2)将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是和），观察发现点E恰好和点D重合，则纸的长与宽之比为____； (3)根据上述结论，估算纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）（参考数据：，，，，，，，） (4)在纸中能裁剪出面积为的圆吗？若能，请你设计裁剪方案；若不能，请说明理由（取3）． 【例12】【跨学科・物理】电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s）．若导线电阻为，时间导线产生的热量，则通过的电流I为（    ） A．2.4A B． C．4.8A D． 【变式6-1】如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为4，则a的值是__________． 【变式6-2】为宣传旅游资源，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为并为每一张卡片制作了一个特色封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮，请你通过计算，判断正方形卡片能否在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中． 【变式6-3】如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形． (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 题型7平方根概念理解（重点） 【例13】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（   ） A．9的算术平方根是 B．9的算术平方根是3 C．3的算术平方根是9 D．的算术平方根是 【例14】“的平方根是±”用数学式子可以表示为(     ) A． B． C．- D．± 【变式7-1】（25-26八年级上·上海松江·期中）下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．4是2的算术平方根 D．的算术平方根是2 【变式7-2】（易错题）如果m没有平方根，那么m可以是（   ） A． B．3 C． D． 【变式7-3】【解题方法・纠错辨析】纠错题：王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为，它的平方根为，求这个数． 小张的解法如下： 依题意可知，是或两个数中的一个．① 当时，解得，② ，③ ∴这个数为4； 当时，解得，④ ，⑤ ∴这个数为． 综上所述，这个数为4或．⑥ 王老师看到后，说小张的解法是错误的．你知道小张错在哪里吗？请你予以改正． 题型8求一个数的平方根（重点） 【例15】的平方根是（） A． B． C． D． 【例16】求下列各数的平方根． (1)81； (2)1.96； (3)30； (4)； (5)； (6)． 【变式8-1】求下列各数的平方根，并用式子表示出来． (1)； (2)； (3)； (4) 【变式8-2】求下列各数的平方根： (1)121； (2)； (3)； (4)． 【变式8-3】求下列各数的平方根． （1）0.09              （2）                  （3）         （4） 题型9求代数式的平方根（重点） 【例17】若a是的平方根，b的一个平方根是，则式子的值是（    ） A．8 B．0 C．8或0 D．4或 【例18】（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______． 【变式9-1】已知+＝0，则(a﹣b)2的平方根是_____． 【变式9-2】已知一个正数m的两个平方根分别是与． (1)求a的值； (2)求的平方根； 【变式9-3】已知的平方根是，的立方根为2． (1)求a与b的值； (2)如果的整数部分为，求的平方根与的小数部分的差． 题型10已知一个数的平方根，求这个数（重点） 【例19】若一个正数的两个平方根是和，则a的值是______． 【例20】已知正实数的平方根为和． （1）当时，的值为______； （2）若，则的值为______． 【变式10-1】已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值为______． 【变式10-2】已知某数的一个平方根为，则该数是_________，它的另一个平方根是__________． 【变式10-3】【跨章节・二元一次方程】正数a的两个平方根是方程的一组解，则a的值为______． 题型11利用平方根解方程（重点） 【例21】求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例22】若，则x的值为______． 【技巧归纳】 利用平方根的概念解方程 将方程转化为等号的左边是含的一个式子的平方，右边是一个非负数的形式，如或，然后利用平方根的定义得到或，进而得到原方程的解． 【变式11-1】求该式子中x的值． 【变式11-2】【解题方法・换元法】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料： 数学符号语言是数学特有的通用语言，是人类数学思维长期发展形成的一种语言表达形式，是数学语言的典型代表．它具有准确性、简约性、应用广泛性等特点，是表达数学思想、进行数学推理和解决问题的重要工具． 如：书本中用符号语言“”代替了二次根式的乘法的运算法则“两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变”． 根据所给材料，完成下列问题： (1)用文字描述符号语言“”的等式含义：________________； (2)①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值”可以用数学符号语言描述为________________； ②解方程：． 题型12平方根的应用（重点） 【例23】【新定义・完美组合数】我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)根据题意，直接写出一组“完美组合数”为______（不重复题目中出现的完美组合数） (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值． 【变式12-1】如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个边长为的正方形可拼成一个大正方形，将一个的长方形如图2放置，则点表示的数是______． 【变式12-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 1．“16的算术平方根”这句话用数学符号表示为（    ） A． B． C． D． 2．“的平方根是”用数学式子表示为（   ） A． B． C． D． 3．如果实数没有平方根，那么可以是（   ） A． B． C． D． 4．将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数(    ) A．0 B．3 C．1 D．2 5．若有平方根，则实数的取值范围是______. 6．已知实数，则的算术平方根是______． 7．若，则a与3的大小关系是______． 8．的算术平方根是_____． 9．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）已知是两个连续整数，若，则___________． 10．若与互为相反数，则________． 11.（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知：，那么_______． 12．（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______； (3)在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合． 试卷第1页，共3页 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 算术平方根与平方根 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1求一个数的算术平方根 题型2利用算术平方根的非负性解题（重点） 题型3估计算术平方根的取值范围 题型4求算术平方根的整数部分和小数部分（难点） 题型5与算术平方根有关的规律探索题（难点） 题型6算术平方根的实际应用 题型7平方根概念理解 题型8求一个数的平方根 题型9求代数式的平方根 题型10已知一个数的平方根，求这个数（重点） 题型11利用平方根解方程 题型12平方根的应用 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 算术平方根、 双重非负性、 平方根、 开平方、 平方根解方程、 算术平方根实际应用 1. 理解算术平方根、平方根的定义，掌握二者表示符号与读法，区分两个概念. 2. 掌握算术平方根双重非负性，能利用非负性求解参数、代数式的值. 3. 熟记被开方数与算术平方根的小数点移动规律，并能灵活运用. 4. 掌握平方根性质，理解平方与开平方互为逆运算，能正确求一个数的平方根. 5. 熟练解决已知平方根求原数、利用平方根解方程、规律探究、几何与生活类实际应用题. 学习重点： 1. 算术平方根、平方根的概念与基本运算. 2. 算术平方根的双重非负性应用. 3. 已知一个数的平方根，求这个数. 4. 利用平方根解方程、算术平方根的实际应用. 学习难点： 1. 求算术平方根的整数部分与小数部分。 2. 与算术平方根相关的规律探索题。 3. 区分平方根与算术平方根，规避符号理解类易错点。. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 算术平方根 1．定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫作的算术平方根.如：，所以4的算术平方根是2. 2.表示方法：的算术平方根记为“”，读作“根号”，叫作被开方数. 被开方数一定是非负数 如：5的算术平方根记为是被开方数. 因为0的平方是0，所以规定0的算术平方根是0，记为. （1）算术平方根是它本身的数有0和1. （2）一个正数的算术平方根只有1个. （3）具有双重非负性：①被开方数一定是非负数，即；②其本身非负，即. （4）实际省略了中的根指数2，因此也读作＂二次根号＂. 求下列各数的算术平方根： （1）64；（2）225；（3）. 解：（1）因为，所以64的算术平方根是8，即. （2）因为，所以225的算术平方根是15，即. （3）因为，所以的算术平方根是，即. 求一个非负数的算术平方根的方法 先找出哪一个非负数的平方等于已知的数，然后用数学式子表示出来. 化简： (1)；(2)；(3). 解：(1).(2).(3). 知识点02 被开方数与其算术平方根的小数点移动规律 一个数扩大为原来的100倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍.一个数缩小为原来的，它的算术平方根就缩小为原来的.即被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 化简： (1)；(2)；(3)；(4). 解：(1)因为，所以. (2)因为，所以. (3)因为，所以. (4)因为，所以. 知识点03 平方根的概念及其性质 1.平方根 （1）概念：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫作的平方根，也称为二次方根.叫作被开方数.如，所以4的平方根是. （2）平方根的表示方法：正数的两个平方根可以用符号“”表示.其中，“”表示的正的平方根，即的算术平方根；“”表示的负的平方根，读作“负根号”.0的平方根记为“”，. （3）平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数.如36的平方根是；②0的平方根是0；③负数没有平方根.如没有平方根. (1)正数的算术平方根是这个正数的正平方根. (2)求一个数的平方根，就是求所有平方后等于这个数的数. 2．开平方 求一个数（是非负数）的平方根的运算叫作开平方.平方与开平方互为逆运算. 例如，求81的平方根，就是要对81进行开平方运算，81是被开方数. (1)平方根是数，是开平方的结果;开平方是一种运算，是求平方根的过程. (2)平方与开平方互为逆运算，两种运算可以互相验证运算的结果是否正确. 平方根与算术平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 个数不同 正数的算术平方根只有1个 正数的平方根有2个 表示方法不同 正数的算术平方根表示为 正数的平方根表示为 取值范围不同 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根一正一负，互为相反数 联系 具有包含关系 平方根包含算术平方根 存在的条件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根 0的表达相同 0的平方根与算术平方根均为0 的意义分别是非负数的平方根，非负数的负的平方根或非负数的算术平方根的相反数，非负数的算术平方根.解题时易混淆几种符号的意义，还容易忽视被开方数的非负性而导致错误. 注意：当时，，即 0 的平方根等于它的算术平方根． 平方根等于它本身的数是 0 ，算术平方根等于它本身的数有 0,1 ． 求下列各数的平方根： （1）81； （2）； （3） 0.49 . 解：（1）因为，所以 81 的平方根是. （2）因为，所以的平方根是. （3）因为，所以 0.49 的平方根是. 求一个正数的平方根，就是求这个正数是哪两个互为相反数的数的平方. 化简： （1）； （2）； （3）. 解：（1）. （2）. （3）. 题型1求一个数的算术平方根 【例1】填空： （1）4的算术平方根是________ （2）的算术平方根是________； （3）0.01的算术平方根是________； （4）3的算术平方根是________； （5）的算术平方根是________； （6）的算术平方根是________； （7）的值是________． 【答案】20.1 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了求算术平方根，正确利用算术平方根的意义解答是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用算术平方根的意义解答即可； （3）利用算术平方根的意义解答即可； （4）利用算术平方根的意义解答即可； （5）利用算术平方根的意义解答即可； （6）利用算术平方根的意义解答即可； （7）利用算术平方根的意义解答即可． 【详解】解：（1）4的算术平方根是2， 故答案为：2； （2）的算术平方根是， 故答案为：； （3）0.01的算术平方根是0.1， 故答案为：0.1； （4）3的算术平方根是， 故答案为：； （5）的算术平方根是， 故答案为：； （6）的算术平方根是， 故答案为：； （7）∵， ∴的值是； 故答案为：． 【例2】的算术平方根是（    ） A． B．3 C．9 D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的定义．先求出，再根据算术平方根的定义求出即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故选：B． 【技巧归纳】 （1）若求一个算式的算术平方根，一般是先求出算式的值，再求它的算术平方根，有时也可通过简单变形化成一个正数的平方的形式，从而提高运算的速度和准确率. （2）防止出现这样的错误． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）的算术平方根为________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了平方根，求出，即可得出结论． 【详解】解：∵， 又∵的算术平方根是， ∴的算术平方根为． 故答案为：． 【变式1-2】的值是_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】该题考查了算术平方根，根据算术平方根的性质计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-3】____；的算术平方根为____；的算术平方根为_____：的算术平方根为_____. 【答案】-6669 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】根据乘方的性质、绝对值的定义和算术平方根的定义计算即可 【详解】解:因为，所以36的算术平方根为6， 所以； 因为，所以36的算术平方根为6； 因为，所以36的算术平方根为6； 因为，所以81的算术平方根为9． 故答案为：-6；6；6；9． 【点睛】此题考查的是实数的运算，掌握乘方的性质、绝对值的定义和算术平方根的定义是解决此题的关键． 题型2利用算术平方根的非负性解题（重点、难点） 【例3】已知，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、平方根概念理解、求一个数的平方根 【分析】本题考查算术平方根与绝对值的非负性，求一个数的平方根． 根据算术平方根与绝对值的非负性求出a、b的值，进而即可解答． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 故选：B 【例4】已知：，求_________． 【答案】1 【难度】0.4 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、二次根式有意义的条件、已知式子的值，求代数式的值 【分析】先确定，得到，结合已知得到，利用非负性求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【变式2-1】已知，则的算术平方根是________． 【答案】4 【难度】0.94 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的算术平方根 【分析】根据非负数的性质列出a,b的值，代入所求代数式计算即可. 【详解】根据题意得a-1=0,且b-5=0 解得：a=1,b=5 则（a-b）2=16 ∴算术平方根是：4 故答案为：4 【点睛】本题考查了非负数的应用，非负数之和为零则非负数都为零是解题的关键. 【变式2-2】已知，则的值为_________． 【答案】 【难度】0.76 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、运用完全平方公式进行运算、已知式子的值，求代数式的值、化为最简二次根式 【分析】根据非负数的和为的条件，求出的值，进而求出结果. 【详解】解：∵， ∴， 即：， 解得：， ∴． 【变式2-3】已知实数满足，那么的值是(    ) A．1999 B．2000 C．2001 D．2002 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、利用算术平方根的非负性解题、带有字母的绝对值化简问题 【分析】根据绝对值性质与算术平方根的性质先化简，进而平方即可得到答案 【详解】解：， ，即， ∴， 即， ∴，即， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及到绝对值性质与算术平方根的性质，根据条件逐步恒等变形到所求代数式是解决问题的关键． 题型3估计算术平方根的取值范围（重点） 【例5】0.00048的算术平方根在（   ） A．0.05与0.06之间 B．0.02与0.03之间 C．0.002与0.003之间 D．0.2与0.3之间 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查的是算术平方根，解答本题的关键是熟记掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫算术平方根． 【详解】解：，， ∴0.00048的算术平方根在0.02与0.03之间， 故选B． 【例6】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知．若为整数且，则的值为___________． 【答案】45 【难度】0.85 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【分析】本题考查的是无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 由已知条件的提示可得，即，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，n为整数， ∴． 故答案为：45． 【技巧归纳】 对算术平方根的估算，通常取与被开方数大小最接近的两个完全平方数的算术平方根进行比较. 【变式3-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）设，则m的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算，先估算的值，确定其范围，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3-2】估计的值（    ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【分析】本题利用夹逼法估算无理数的大小，先确定的取值范围，再计算的范围即可得到答案． 【详解】解：， ， 即， ， 即， 因此的值在1到2之间． 【变式3-3】[数学史・秦九韶公式]我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是_________． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、估计算术平方根的取值范围 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及算术平方根的估算，掌握算术平方根的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 则， 所以其面积， ， ， ， ∵面积介于整数和之间， 的值为2． 故答案为：2． 题型4求算术平方根的整数部分和小数部分（重点、难点） 【例7】的整数部分为3，则它的小数部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】一个数的小数部分等于该数减去它的整数部分，据此直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵的整数部分为3， ∴的小数部分为． 【例8】已知的小数部分是，的小数部分是，则的值_____． 【答案】1 【难度】0.75 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分、无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 则，， 则． 【变式4-1】已知为正整数，且，是的小数部分，则_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分、无理数的大小估算 【分析】先估算无理数的取值范围，确定正整数的值，再根据无理数小数部分的定义得到，最后代入计算即可． 【详解】解：，，且， ， 即， 为正整数，且， ， 是的小数部分， ， ． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海静安·期中）的整数部分和小数部分分别是（    ） A．0和 B．3和 C．3和 D．3和 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，正确估计无理数的大小是解题的关键． 先估算的值，确定的整数部分，然后小数部分为原数减整数部分，据此即可解答． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴整数部分为3， ∴小数部分为． ∴的整数部分为3，小数部分为． 故选B． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海金山·期中）已知的小数部分是，的小数部分是，且，则_____． 【答案】或 【难度】0.4 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分、实数的混合运算 【分析】本题考查的是无理数的估算及平方根的定义，关键是准确估值算出的值； 由估计的值确定，从而计算出的值，最后算出的值. 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴. 故答案为：或. 题型5与算术平方根有关的规律探索题（难点） 【例9】求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： n 16 0.16 0.0016 1600 160000 … 4 0.4 0.04 40 400 … (1)表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来） (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根： ①______；②______； (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根已知，则______． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点就向左或向右移动位． (2)①② (3) 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题、求一个数的立方根 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键是从小数点移动的位数来考虑． （1）观察被开方数和算术平方根小数点的位置，即可求解； （2）根据（1）中的规律，从被开方数和算术平方根小数点的移动位置考虑，即可求解； （3）根据前面的规律，被开立方数与立方根之间的关系，即可求解． 【详解】（1）解：观察被开方数和算术平方根小数点的位置，可以得到：被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点就向左或向右移动位． （2）解：①，根据第一问结论，由向左移动了2位小数点，所以的算术平方根是由的算术平方根小数点向左移动1位得到， ②，根据第一问结论，由向右移动了4位小数点，所以的算术平方根是由的算术平方根小数点向右移动2位得到， （3）解：类比前面的结论，对于立方根有：被开方数的小数点向左或向右移动位，其立方根的小数点就向左或向右移动位． ，由向右移动了位小数点，所以的立方根是由的立方根小数点向右移动位得到， 【例10】（25-26八年级上·上海·期中）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1)，，， (2)的整数部分是，小数部分是； (3)若，则满足条件的整数有个． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、求算术平方根的整数部分和小数部分、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了算术平方根的相关知识，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义及小数点移动规律. (1)根据表格中的数据以及算术平方根的定义进行求解； (2)由表格知，因为，所以，据此即可解答题目所求； (3)先对两边同时平方，再确定n的取值范围，从而得出满足条件的整数n的个数. 【详解】（1）解：由表格可知， 故答案为∶； （2）解：由表格知， ∵ ， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：； （3）解∶对两边同时平方可得 计算可得 ∴n的取值范围是， 则满足条件的整数n的个数为个． 故答案为∶． 【变式5-1】（25-26八年级上·上海崇明·期末）如果，，那么的值是__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查算术平方根的性质．根据被开方数的小数点每移动两位，算术平方根的小数点就移动一位，即可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为： 【变式5-2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、计算器——平方根和立方根 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根的性质，被开方数的小数点每向左（右）平移两个数位，算术平方根的小数点向左（右）平移1个数位，进行判断即可． 【详解】解：右图可知：， ∴， ∴； 故选D． 【变式5-3】(易错题)[新情境・数轴循环规律]（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在数轴上，我们可以用画半圆的方式，依次得到一些新的点．从原点开始，作一个边长为1的正方形，连接正方形对角两个顶点得到的线段的长度为，以数轴原点为圆心，长度为半径画半圆，交数轴右边于点，如此就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】数轴上两点之间的距离、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意得，点表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为2， ∴， 则表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴表示的数为3， ∴， 同理可得； ； ； ； ， 以此类推可得，当为奇数时， 当为偶数时； ∴； 故答案为：． 题型6算术平方根的实际应用（重点） 【例11】【新情境・项目式学习】项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为____； 【项目素材】 如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，变成纸⋯⋯． 【任务探究】 (2)将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是和），观察发现点E恰好和点D重合，则纸的长与宽之比为____； (3)根据上述结论，估算纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）（参考数据：，，，，，，，） (4)在纸中能裁剪出面积为的圆吗？若能，请你设计裁剪方案；若不能，请说明理由（取3）． 【答案】(1) (2) (3)纸的宽约为，长约为． (4)在纸中不能裁剪出面积为的圆；理由见解析. 【难度】0.67 【知识点】算术平方根的实际应用、折叠问题 【分析】（1）由等面积法可知一个大正方形面积为2，从而得到大正方形的边长为即可解答； （2）由折叠的性质可知，由（1）可知在正方形中，由此即可解答； （3）设纸的宽为，则长为，根据面积建立方程，计算即可解答． （4）先求解半径，再进一步判断即可. 【详解】（1）解：两个边长为1的小正方形，拼成一个大正方形面积为2， 大正方形的边长为. （2）解：由折叠的性质可知，由（1）可知在正方形中， ，即纸的长宽之比为； （3）解：由（2）可知：纸的长与宽之比是， 设纸的宽为，则长为， 纸的面积为， ， ， ， ； 故纸的宽约为，长约为． （4）解：设圆的半径为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴直径为， ∵，， ∴在纸中不能裁剪出面积为的圆. 【例12】【跨学科・物理】电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s）．若导线电阻为，时间导线产生的热量，则通过的电流I为（    ） A．2.4A B． C．4.8A D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】平方根的应用 【分析】将所给数据代入求解即可． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∴， ∴（负值不符合实际情况，舍去） ∴电流的值是． 故选：B． 【点睛】本题考查了求代数式的值，平方根的应用，掌握实数的运算法则是解题的关键 【变式6-1】如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为4，则a的值是__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平方根的应用 【分析】观察图形可知，两个正方形的面积之和减去空白部分的面积等于重叠部分面积的2倍，由此列式可解． 【详解】解：由题意知， 解得或（舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根的应用，解理的关键是看懂重叠部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系． 【变式6-2】为宣传旅游资源，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为并为每一张卡片制作了一个特色封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮，请你通过计算，判断正方形卡片能否在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中． 【答案】正方形卡片能在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中 【难度】0.65 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】设长方形封皮的宽为，则长为，根据长方形封皮的面积为列出方程，求出，，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可． 【详解】解：∵长方形封皮的长与宽的比为， 设长方形封皮的宽为，则长为， 根据题意可列方程，即，，， ， ，，， 正方形卡片的面积为， 正方形卡片的边长为， ， 正方形卡片能在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中． 【变式6-3】如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形． (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，长为，宽为 【难度】0.55 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得大正方形的面积为， 所以大正方形的边长为； （2）能，理由如下： 设裁得的长方形的纸片的长为，宽为， 由题意可得，， 解得：， ， ， ， ， ， 能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 题型7平方根概念理解（重点） 【例13】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（   ） A．9的算术平方根是 B．9的算术平方根是3 C．3的算术平方根是9 D．的算术平方根是 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是明确算术平方根为非负数且负数没有算术平方根． 根据算术平方根的定义，一个非负数的算术平方根是指那个非负的平方根，即，且负数没有算术平方根；据此对各选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、9的算术平方根是3，不是，此选项不符合题意； B、9的算术平方根是3，此选项符合题意； C、3的算术平方根是，不是9，此选项不符合题意； D、是负数，没有算术平方根，此选项不符合题意． 故选：B． 【例14】“的平方根是±”用数学式子可以表示为(     ) A． B． C．- D．± 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平方根 【分析】根据平方根的定义，可以知道平方根是一对相反数．即可快速作答． 【详解】A,B的左边只表达了正的平方根，故排除；C的左右只表示了负的平方根，因此不选C；D选项左右都表示了正负两个平方根；所以答案为D． 【点睛】本题考查了平方根的定义，一个正数有两个互为相反数的平方根，是本题解答的关键． 【变式7-1】（25-26八年级上·上海松江·期中）下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．4是2的算术平方根 D．的算术平方根是2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．根据定义，正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根是非负的；负数没有实数平方根，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵4的平方根是，A只给出2，故A错误； ∵负数没有平方根，故B错误； ∵2的算术平方根是，不是4，故C错误； ∵，4的算术平方根是2，故D正确． 故选：D． 【变式7-2】（易错题）如果m没有平方根，那么m可以是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】有理数的乘方运算、平方根概念理解 【分析】本题主要考查了平方根定义，熟练掌握负数没有平方根是解题的关键．根据负数没有平方根，进行解答即可． 【详解】解：没有平方根， 为负数， ∵，，，故A符合题意． 故选：A． 【变式7-3】【解题方法・纠错辨析】纠错题：王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为，它的平方根为，求这个数． 小张的解法如下： 依题意可知，是或两个数中的一个．① 当时，解得，② ，③ ∴这个数为4； 当时，解得，④ ，⑤ ∴这个数为． 综上所述，这个数为4或．⑥ 王老师看到后，说小张的解法是错误的．你知道小张错在哪里吗？请你予以改正． 【答案】小张的解法在第⑤步开始出错，改正见解析． 【难度】0.85 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、平方根概念理解 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性、平方根的定义，掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 将代入求解判断即可． 【详解】解：小张的解法在第⑤步开始出错． 改正如下： 是某个数的算术平方根， 为非负数． 当时，， 不符合题意，舍去． 综上所述，这个数为4． 题型8求一个数的平方根（重点） 【例15】的平方根是（） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.9 【知识点】求一个数的平方根 【分析】先将带分数化为假分数，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴的平方根是． 【例16】求下列各数的平方根． (1)81； (2)1.96； (3)30； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键； （1）利用平方根的意义解答即可； （2）利用平方根的意义解答即可； （3）利用平方根的意义解答即可； （4）利用平方根的意义解答即可； （5）利用平方根的意义解答即可； （6）利用平方根的意义解答即可． 【详解】（1）∵， ∴81的平方根为； （2）∵， ∴1.96的平方根为； （3）∵， ∴30的平方根为； （4）∵， ∴的平方根为； （5）∵， ∴的平方根为； （6）， ∵， ∴的平方根为． 【变式8-1】求下列各数的平方根，并用式子表示出来． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根和算术平方根，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键 （1）先化简绝对值，再求求平根； （2）先化简绝对值，再求求平根； （3）先求算术平方根，再求平方根； （4）先求算术平方根，再求平方根； 【详解】（1），225的平方根是．用式子表示为； （2），的平方根是．用式子表示为； （3），的平方根是，用式子表示为； （4），的平方根是，用式子表示为 【变式8-2】求下列各数的平方根： (1)121； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根，开方运算是解题关键，注意正数的平方根有两个，它们互为相反数． （1）根据开平方，可得答案； （2）根据开平方，可得答案； （3）根据开平方，可得答案； （4）先求出，再根据开平方，可得答案； 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）∵， ∴的平方根是； 【变式8-3】求下列各数的平方根． （1）0.09              （2）                  （3）         （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】（1）根据平方根的定义即可得； （2）根据平方根的定义即可得； （3）根据平方根的定义即可得； （4）先根据算术平方根求出的值，再根据平方根的定义即可得． 【详解】（1）因为， 所以的平方根是； （2）因为， 所以的平方根是； （3）因为， 所以的平方根是； （4）因为，， 所以的平方根是． 【点睛】本题考查了平方根，掌握理解定义是解题关键． 题型9求代数式的平方根（重点） 【例17】若a是的平方根，b的一个平方根是，则式子的值是（    ） A．8 B．0 C．8或0 D．4或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知字母的值，求代数式的值、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的平方根 【分析】先依据平方根的定义和性质求得a、b的值，然后依据有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：∵a是（﹣4）2的平方根， ∴a＝±4． ∵b的一个平方根是﹣2， ∴b＝4． ∴当a＝4，b＝4时，a+b＝8； 当a＝﹣4，b＝4时，a+b＝0． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是平方根的定义，依据平方根的定义求得a、b的值是解题的关键． 【例18】（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；根据平方根和算术平方根的定义，分别求出a和b的值，再计算的算术平方根即可． 【详解】解：由题意得：， ∵，且9的算术平方根是b， ∴， ∴， 故答案为． 【变式9-1】已知+＝0，则(a﹣b)2的平方根是_____． 【答案】±4 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根、利用算术平方根的非负性解题 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】根据题意得a-1=0，b-5=0， 解得：a=1，b=5， 则(a-b)2=16，则平方根是：±4． 故答案是：±4． 【点睛】本题考查了非负数的性质．掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题关键． 【变式9-2】已知一个正数m的两个平方根分别是与． (1)求a的值； (2)求的平方根； 【答案】(1) (2) 【难度】0.67 【知识点】平方根概念理解、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的平方根 【分析】（1）根据平方根的意义列方程计算即可； （2）求出m的值，将a、m的值代入求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：由已知可得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴19的平方根为． 【变式9-3】已知的平方根是，的立方根为2． (1)求a与b的值； (2)如果的整数部分为，求的平方根与的小数部分的差． 【答案】(1)， (2)或 【难度】0.62 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算、已知一个数的平方根，求这个数、已知字母的值，求代数式的值 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质即可求解； （2）先估算出，可得，然后再求出小数部分，再代入求出平方根，最后求出差即可求解． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为2， ∴，， 解得，， （2）∵ ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴的小数部分为， 由（1）得，， ∴， ∴16的平方根为， ∴的平方根与的小数部分的差为 或． 题型10已知一个数的平方根，求这个数（重点） 【例19】若一个正数的两个平方根是和，则a的值是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查平方根的性质，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数． 根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解． 【详解】解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以与的和为0， 即：， 解得：， 故答案为：． 【例20】已知正实数的平方根为和． （1）当时，的值为______； （2）若，则的值为______． 【答案】92 【难度】0.85 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的平方根，求这个数、平方根概念理解 【分析】本题考查平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握平方根的定义及性质是解题的关键． （1）根据正数的两个平方根互为相反数列式求解； （2）根据平方根的定义得到，，最后代入求解即可． 【详解】解：（1）∵正实数的平方根是a和， ， ， ， ； ∴． 故答案为：9； （2）∵正实数的平方根是a和a＋b， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：2 【变式10-1】已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值为______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】平方根概念理解 【分析】根据已知得出方程即可求出．本题考查了平方根，能根据题意得出关于的方程是解此题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 【详解】根据题意知， 解得：， 故答案为：． 【变式10-2】已知某数的一个平方根为，则该数是_______________，它的另一个平方根是_______________． 【答案】/0.25/ 【难度】0.85 【知识点】平方根概念理解、求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义，注意一个正数的两个平方根互为相反数． 根据平方根的平方等于被开方数和一个正数的平方根互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵这个数的一个平方根为， ∴这个数为，另一个平方根为， 故答案为：；． 【变式10-3】【跨章节・二元一次方程】正数a的两个平方根是方程的一组解，则a的值为______． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程的解、平方根的应用 【分析】设正数a的两个平方根为，代入方程求出m，即可求解． 【详解】解：设正数a的两个平方根为， 则，解得， ∴； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平方根的定义和二元一次方程的解，熟练掌握平方根和二元一次方程的解的定义是解题关键． 题型11利用平方根解方程（重点） 【例21】求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【难度】0.85 【知识点】利用平方根解方程 【分析】（1）根据平方根的定义求解即可； （2）（3）（4）变形后根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： . （2）解： . （3）解： . （4）解： 或. 【点睛】本题考查平方根的定义解方程问题，掌握平方根定义进行开平方是解题的关键. 【例22】若，则x的值为______． 【答案】或 【难度】0.95 【知识点】利用平方根解方程 【分析】如果一个数的平方等于，即，那么叫做的平方根或二次方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，的平方根是，负数没有平方根． 【详解】解：变形，得． 根据平方根的意义，可得． 所以或． 【技巧归纳】 利用平方根的概念解方程 将方程转化为等号的左边是含的一个式子的平方，右边是一个非负数的形式，如或，然后利用平方根的定义得到或，进而得到原方程的解． 【变式11-1】求该式子中x的值． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】利用平方根解方程 【分析】根据平方根的定义，得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； 【详解】解：， ， 或， ∴或． 【变式11-2】【解题方法・换元法】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料： 数学符号语言是数学特有的通用语言，是人类数学思维长期发展形成的一种语言表达形式，是数学语言的典型代表．它具有准确性、简约性、应用广泛性等特点，是表达数学思想、进行数学推理和解决问题的重要工具． 如：书本中用符号语言“”代替了二次根式的乘法的运算法则“两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变”． 根据所给材料，完成下列问题： (1)用文字描述符号语言“”的等式含义：________________； (2)①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值”可以用数学符号语言描述为________________； ②解方程：． 【答案】(1)的算术平方根等于 (2)①；②或 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查算术平方根的定义，绝对值，解一元二次方程． （1）根据算术平方根的定义即可解答； （2）①将文字语言转化为数学语言即可；②利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：“”的等式含义为的算术平方根等于， 故答案为：的算术平方根等于； （2）解：①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值” 设这个数为， 则可以用数学符号语言描述为， 故答案为：； ②解：， 令， 由①得，， 则原方程为：，即， 或， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴或． 题型12平方根的应用（重点） 【例23】【新定义・完美组合数】我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)根据题意，直接写出一组“完美组合数”为______（不重复题目中出现的完美组合数） (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，新定义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可知，只要三个负数的绝对值都是一个完全平方数即可满足这三个数是一组“完美组合数”，据此求解即可； （2）根据算术平方根的定义可得这三个数中有两个数的乘积为144，再根据这三个数互不相同可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴是一组“完美组合数”； （2）解：∵三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12， ∴这三个数中有两个数的乘积为， ∵这三个数互不相等，且， ∴， ∴． 【变式12-1】如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个边长为的正方形可拼成一个大正方形，将一个的长方形如图2放置，则点表示的数是______． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴 【详解】解：由图可得正方形的边长为，即到点表示的数的距离为， ∴点表示的数为. 【变式12-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 【答案】(1) (2) (3)在点B的右侧，过程见解析 【难度】0.4 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较 【分析】本题主要考查实数与数轴，化简绝对值，相反数的意义，非负数的性质及算术平方根的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值与算术平方根的意义． （1）根据利用数轴表示数的方法求解即可； （2）将m的值代入，判断、的正负，然后化简绝对值计算即可； （3）先根据求出，再求出，再根据题意求出小蚂蚁最后的位置表示的数，进一步判断出在点B的左侧还是右侧即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， 则，， ∴ （3）在点B的右侧， 理由：∵， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∵实数d表示面积为27的正方形的边长， ∴， ∵小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，爬行时间为2秒， ∴小蚂蚁爬行的路程为个单位长度， ∵点C表示的数为，点D表示的数为， ∴， ∴此时小蚂蚁的位置表示的数为， ∵，且， ∴， ∴小蚂蚁在原点右侧， 则， ∵，， ∴ ∴在点B的右侧． 1．“16的算术平方根”这句话用数学符号表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的基本性质，关键在于要通过题意正确选出答案．观察并分析题目从选项中找到16的算术平方根，选出正确选项即可． 【详解】解：16的算术平方根为， 故选：B． 2．“的平方根是”用数学式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题主要考查平方根的知识，掌握平方根的表示方法是解题的关键． 正数的平方根用表示，一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，即可得到“的平方根是”用数学式子的表示形式． 【详解】解：， ， 故选：C． 3．如果实数没有平方根，那么可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算、平方根概念理解 【分析】本题主要考查平方根的性质，掌握只有非负数有平方根，负数没有平方根是解题关键． 利用乘方、绝对值的性质及去括号法则逐一化简各选项，根据只有非负数有平方根，负数没有平方根即可得答案． 【详解】解：A、∵，∴没有平方根，故此选项符合题意． B、∵，∴有平方根，故此选项不符合题意． C、∵，∴有平方根，故此选项不符合题意． D、∵，∴有平方根，故此选项不符合题意． 故选：A． 4．将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数(    ) A．0 B．3 C．1 D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算、算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查算术平方根，根据算术平方根的定义解决此题． 【详解】解：设拼成后的正方形的边长为． 由题意得，． ∴． ∴该正方形的边长最接近整数1． 故选：C． 5．若有平方根，则实数的取值范围是______. 【答案】x≥2 【难度】0.94 【知识点】平方根概念理解 【分析】根据非负数有平方根列式求解即可． 【详解】根据题意得，x-2≥0， 解得x≥2． 故答案为x≥2． 【点睛】本题考查了平方根的意义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 6．已知实数，则的算术平方根是______． 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】此题考查了求一个数的算术平方根，这里需注意：的算术平方根和16的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错．根据算术平方根的运算法则，直接计算即可． 【详解】解：∵，4的算术平方根是2， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 7．若，则a与3的大小关系是______． 【答案】a≤3 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】根据算术平方根是非负数列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意，3﹣a≥0， 解得a≤3． 故答案为：a≤3． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质． 8．的算术平方根是_____． 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了求算术平方根，先计算的值，再求其算术平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故的算术平方根是， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）已知是两个连续整数，若，则___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数整数部分的有关计算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查无理数的估算及算术平方根，熟练掌握无理数的估算及算术平方根是解题的关键；首先估算的取值范围，由于，因此，即，从而确定连续整数，；然后计算，并化简为，然后问题可求解． 【详解】解：因为，所以，即． 由于，是两个连续整数，且， 因此，． 则． 故答案为． 10．若与互为相反数，则________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】已知字母的值，求代数式的值、利用算术平方根的非负性解题 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a，b的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ， ，且， ， ． 11.（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知：，那么_______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了算术平方根，利用平方根的性质和给定的近似值，通过小数点移动的关系求解． 【详解】解：由，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______； (3)在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合． 【答案】(1)2，3 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴、无理数的大小估算、折叠问题 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，无理数的估算，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点D表示的数； （3）设点D与数对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：， ∵， ∴， ∴的长在2和3之间； 故答案为：2，3； （2）解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，则点D在数轴上表示的数为：； 故答案为：； （3）解：设点D与数对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $定义一若正数x2=a,则正数x叫做a的 a的算术平方根记作 a称为 表示方法 算术平方根 符号省略根指数2，读作“ 算术平方根等于本身的数： 核心性质 一个正数有唯一的算术平方根 双重非负性： 被开方数与其算 被开方数扩大为原来的100倍，算术平方根扩大为原来的 倍 术平方根的小数 1 点移动规律 被开方数缩小为原来的 算术平方根缩小为原来的 100 定义一若x2=a,则x叫做a的 (二次方根)，a为 算术平方根 正数Q的平方根记作 与平方根 表示方法 Va:a的 平方根（正平方根） 平方根 a:a的 正数有 个平方根，互为 数 平方根性质 0的平方根是 没有平方根 个数：正数算术平方根 个；正数平方根 个 区别 表示：算术平方根 平方根 取值：算术平方根都为 ；平方根一正一负 平方根与算术平方根对比 根包含」 根 联系 存在条件一致：仅 数有平方根、算术平方根 0的平方根与算术平方根均为