第05讲 最简二次根式与同类二次根式（3知识点+5大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

第05讲 最简二次根式与同类二次根式 （3知识点+5大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：最简二次根式 (1)被开方数中各因式的指数都为1; (2)被开方数不含分母. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. 知识点2：同类二次根式 几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式． 要点归纳： （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点3：合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式，为了合并同类二次根式，应当先把各个二次根式化成最简二次根式.) 要点归纳： 　　(1)根号外面的因式就是这个根式的系数； 　　(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式 【题型1 判断最简二次根式】 【例1】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】二次根式中：、、、是最简二次根式的是______． 【题型2将非最简二次根式化为最简二次根式】 【例2】将下列二次根式化成最简二次根式： （1）； （2）； （3）（） （4）（，，）． 【变式2-1】将下列二次根式化成最简二次根式： （1）（）； （2）； （3）． 【变式2-2】将下列二次根式化成最简二次根式： （1）； （2）； （3）． 【变式2-3】将下列二次根式化成最简二次根式： （1）（）； （2）； （3）． 【变式2-4】将下列式子化成最简二次根式： （1）； （2）的值． 【变式2-5】将下列式子化成最简二次根式： 若x、y为实数，且，求的值． 【变式2-6】已知等式成立，求x的值． 【变式2-7】观察下列各式及其化简过程：=; （1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将的化简； （2）化简： （3）化简； 【题型3 判断同类二次根式】 【例3】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式3-1】（24-25八年级上·上海崇明·期末）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式3-2】下列各组的两个根式，是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式3-3】判断下列二次根式是否为同类二次根式． （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式3-4】判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ （1）和； （2）和． 【题型4合并同类二次根式】 【例4】合并下列各式中的同类二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式4-1】 【变式4-2】化简： (其中x<0) 【变式4-3】合并下列各式中的同类二次根式并计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式4-4】合并下列各式中的同类二次根式： （1）； （2）； （3）； 【变式4-5】合并同类二次根式（）． 【题型5根据同类二次根式求字母的值】 【例5】若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【变式5-1】若与最简二次根式是同类二次根式，则____________． 【变式5-2】如果两个最简二次根式与能够合并，那么 a 的值为__________． 【变式5-3】若最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【变式5-4】若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求、的值； (2)、平方和的算术平方根． 一、单选题 1．（24-25八年级上·上海·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列代数式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）在，，，，中最简二次根式有 个． 6．（24-25八年级上·上海·期中）在，，，中不是的同类二次根式的有 ． 7．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）如果与是同类二次根式，那么 ． 8．（24-25八年级上·上海·期中）若最简二次根式与是同类根式，则 ． 9．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则代数式的值为 ． 10．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）化简： ． 11．（24-25八年级上·上海闵行·期中）化简： ． 12．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列二次根式、、、中，最简二次根式是 ． 13．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）在，，，，，中不是的同类二次根式的有 ． 三、解答题 14.合并下列各式中的同类二次根式： （1）； （2）； （3）． 15．若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 16．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 最简二次根式与同类二次根式 （3知识点+5大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：最简二次根式 (1)被开方数中各因式的指数都为1; (2)被开方数不含分母. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. 知识点2：同类二次根式 几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式． 要点归纳： （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点3：合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式，为了合并同类二次根式，应当先把各个二次根式化成最简二次根式.) 要点归纳： 　　(1)根号外面的因式就是这个根式的系数； 　　(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式 【题型1 判断最简二次根式】 【例1】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题考查了二次根式的化简，最简二次根式的定义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，被开方数为多项式，无法分解成含完全平方的因式，是最简二次根式，符合题意， D．不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，属于简单题，熟悉概念是解题关键． 根据最简二次根式概念即可解题． 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，故B不符合题意； C．是最简二次根式，故C符合题意； D．，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以A不符合题意； 因为，所以B不符合题意； 因为不能化简，所以C符合题意； 因为，所以D不符合题意． 【变式1-3】二次根式中：、、、是最简二次根式的是______． 【答案】 【详解】解：是最简二次根式， ∵， ， ， ∴、、不是最简二次根式． 【题型2将非最简二次根式化为最简二次根式】 【例2】将下列二次根式化成最简二次根式： （1）； （2）； （3）（） （4）（，，）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）． 【变式2-1】将下列二次根式化成最简二次根式： （1）（）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】（1）； （2）； （3）． 【变式2-2】将下列二次根式化成最简二次根式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】（1）； （2）； （3）． 【变式2-3】将下列二次根式化成最简二次根式： （1）（）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）原式===； （2）原式=； （3）． 【变式2-4】将下列式子化成最简二次根式： （1）； （2）的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】（1）原式===； （2）原式=． ∵，∴． ∴原式====． 【变式2-5】将下列式子化成最简二次根式： 若x、y为实数，且，求的值． 【答案】． 【解析】由题意得：；． ∴= ====． 【变式2-6】已知等式成立，求x的值． 【答案】． 【解析】由题意得：，当时，，不存在，应舍去． 当时，，∴或，∴． 又∵，∴． 综上得． 【变式2-7】观察下列各式及其化简过程：=; （1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将的化简； （2）化简： （3）化简； 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）===； （2）===； （3）======. 【题型3 判断同类二次根式】 【例3】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键． 各式化简后，利用同类二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意， 故选：D． 【变式3-1】（24-25八年级上·上海崇明·期末）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义：将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．先利用二次根式化简各数，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A．与的被开方数相同，所以两数是同类二次根式，故本选项不符合题意； B．与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式，故本选项不符合题意； C．与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式，故本选项符合题意； D．与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】下列各组的两个根式，是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】A：，故和不是同类二次根式，故A选项不符合题意； B：，故和，故B选项不符合题意； C：，故和是同类二次根式，故C选项符合题意； D：和不是同类二次根式，故D选项不符合题意； 【变式3-3】判断下列二次根式是否为同类二次根式． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）不是； （2）不是； （3）不是； （4）是． 【解析】（1）∵，， ∴和不是同类二次根式； （2）∵；∴和不是同类二次根式； （3）∵；∴和不是同类二次根式； （4）∵，， ∴和是同类二次根式． 【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，先化简再判断． 【变式3-4】判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ （1）和； （2）和． 【答案】（1）不是； （2）不是． 【解析】（1）；． （2）；． 【题型4合并同类二次根式】 【例4】合并下列各式中的同类二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】（1） （2）； （3）； （4）． 【变式4-1】 【答案】 = =． 【变式4-2】化简： (其中x<0) 【答案】 【详解】解：由题意知， ∴ = = = = 【变式4-3】合并下列各式中的同类二次根式并计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）；（4）． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）． 【变式4-4】合并下列各式中的同类二次根式： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）； （2）； （3）； 【解析】（1）； （2）； （3）； 【变式4-5】合并同类二次根式（）． 【答案】 ． 【题型5根据同类二次根式求字母的值】 【例5】若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】2或0 【分析】根据二次根式和同类二次根式的定义列方程求出x、y的值，再计算． 【详解】由题意得，，， 解得，， ∴当时，； 当时，； 【变式5-1】若与最简二次根式是同类二次根式，则____________． 【答案】 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：． 【变式5-2】如果两个最简二次根式与能够合并，那么 a 的值为__________． 【答案】5 【详解】∵两个最简二次根式只有同类二次根式才能合并， ∴ 与是同类二次根式， ∴． 【变式5-3】若最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】，． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式 解得： 【变式5-4】若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求、的值； (2)、平方和的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】代入消元法、同类二次根式、已知最简二次根式求参数、求一个数的算术平方根 【分析】（1）根据同类二次根式得出和的二元一次方程组，从而得出和的值； （2）将和的值代入代数式得出答案． 【详解】（1）解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴，， 解得，． （2）解：当，时． 【点睛】本题考查了算术平方根、最简二次根式，二元一次方程组的应用以及求代数式的值，熟练掌握算术平方根、最简二次根式以及二元一次方程组的应用是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25八年级上·上海·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了同类二次根式，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．利用二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，故选项不符合题意； B. ，与不是同类二次根式，故选项不符合题意； C. ，与是同类二次根式，故选项符合题意； D. ，与不是同类二次根式，故选项不符合题意； 故选：． 2．（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列代数式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. ，不符合题意； B. ，不是二次根式，不符合题意；     C. ，符合题意；     D. ，不符合题意； 故选：Ｃ． 4．（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确判断的关键．根据最简二次根式的意义逐项进行判断即可． 【详解】解：．，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，故该选项不符合题意； ．，故该选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 5．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）在，，，，中最简二次根式有 个． 【答案】 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解本题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：， 不是最简二次根式， ， 不是最简二次根式， 最简二次根式有：，，，共个， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·上海·期中）在，，，中不是的同类二次根式的有 ． 【答案】， 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．将各个二次根式分别化简即可求解． 【详解】解：，，，， ，不是的同类二次根式， 故答案为：，． 7．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）如果与是同类二次根式，那么 ． 【答案】1 【知识点】二次根式有意义的条件、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的定义、二次根式有意义的条件，根据题意得出，求解即可得出的值，再结合二次根式有意义的条件判断即可得解． 【详解】解：由已知，得， 解得或1， 当时，，不合题意， ∴． 故答案为：1． 8．（24-25八年级上·上海·期中）若最简二次根式与是同类根式，则 ． 【答案】9 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题主要考查同类二次根式及最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， ∴； 故答案为9． 9．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则代数式的值为 ． 【答案】7 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，也考查了代数式求值．根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解后，再求代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， 故答案为：7 10．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）化简： ． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 11．（24-25八年级上·上海闵行·期中）化简： ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的性质是解题关键． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：原式：， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列二次根式、、、中，最简二次根式是 ． 【答案】 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确判断的关键． 根据最简二次根式的意义逐项进行判断即可． 【详解】 解：，因此是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）在，，，，，中不是的同类二次根式的有 ． 【答案】， 【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 将二次根式，，，，，分别化简后得到与是同类二次根式的个数． 【详解】解：二次根式，，，，，， 与不是同类二次根式是：，． 故答案为：，． 三、解答题 14.合并下列各式中的同类二次根式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】（1）； （2）； （3）= ． 15．若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数、新定义下的实数运算、求一个数的平方根 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，求平方根，新定义下的实数运算,二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义及二次根式的化简是解题的关键． （1）根据同类二次根式的定义得出，求出a，再根据平方根的定义求出a的平方根即可； （2）先根据新运算求出，再根据新运算求出的值即可． 【详解】（1）最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得， 的平方根是； （2）， ， ． 16．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$