第02讲 立方根（暑假预习讲义）新八年级数学新教材沪教版五四制

第02讲 立方根 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 立方根概念理解 题型2 求一个数的立方根 题型3 已知一个数的立方根，求这个数 题型4 与立方根有关的规律探索 题型5 立方根的实际应用 题型6 算术平方根和立方根的综合应用 关键词 学习目标导航 立方根、开立方、三次根号、小数点移动规律、简单三次方程 1. 理解立方根的定义，掌握立方根的符号表示，能准确读出； 2. 掌握立方根的性质，能判断正数、负数、0的立方根符号； 3. 分清开立方运算的含义，会求任意实数的立方根； 4. 会利用开立方求解形如、的简单三次方程； 5. 掌握被开方数与立方根的小数点移动变化规律； 6. 会使用计算器计算一个数的立方根，能借助计算器探究相关数字规律. 学习重点： 1. 立方根的定义、表示方法与基本性质； 2. 开立方运算，求解简单三次方程； 3. 立方根小数点移动规律. 学习难点： 1. 区分平方根与立方根的概念、性质差异； 2. 灵活运用小数点移动规律进行计算； 3. 结合立方根知识解决实际问题. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 立方根 (1) 立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫作的立方根，也称为三次方根.叫作被开方数. 可以任意数. (2) 立方根的表示：一个数的立方根用符号表示. 中的根指数3不能省略. (3) 立方根的性质：①正数的立方根是正数；②0的立方根是0；③负数的立方根是负数. (1)任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，立方根的符号与这个数的符号相同. (2)立方根等于它本身的数有1，0，-1. (3)与平方根不同的是负数也有立方根. 求下列各数的立方根： （1）27；　　（2）；　　（3）；　　（4）0. 解 （1）因为，所以27的立方根是3. （2）因为，所以的立方根是. （3）因为，所以的立方根是. （4）因为，所以0的立方根是0. 知识点02 开立方 求一个数的立方根的运算叫作开立方.例如，求64的立方根，就是要对64进行开立方运算，64是被开方数. 立方根是一个数，开立方是一种运算，是求一个数的立方根的运算. (1)开立方时，被开方数可以是正数、负数或零. (2)根据开立方与立方互为逆运算的关系，可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根. 化简： （1）；　　（2）； （3）；　　（4）. 解 （1）. （2）.一般地，. （3）. （4）. 知识点03 立方根与平方根的区别与联系 平方根 立方根 区别 个数不同 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 任何数的立方根只有一个且与这个数的符号相同 表示方法不同 非负数的平方根表示为，根指数2可以省略不写 的立方根用表示，根指数3不能省略 被开方数的取值范围不同 在中，被开方数是非负数，即 在中，被开方数是任意数 联系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 0的方根 0的立方根和平方根都是0 知识点04 被开方数与立方根的小数点移动规律 将被开方数扩大为原来的1000倍，它的立方根就扩大为原来的10倍.将被开方数缩小为原来的，它的立方根就缩小为原来的.即被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 化简： （1）；　　（2）；　　（3）. 解 （1）. （2）. （3）. （1）算术平方根是它本身的数有0和1. （2）一个正数的算术平方根只有1个. （3）具有双重非负性：①被开方数一定是非负数，即；②其本身非负，即. （4）实际省略了中的根指数2，因此也读作＂二次根号＂. 题型1 立方根概念理解 【例1】若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据立方根求这个数，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：C． 【例2】是的算术平方根，是立方根，则______． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义，立方根的定义，求得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵是的算术平方根，是立方根， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义，立方根的定义是解题的关键． 【变式1-1】下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根、二次根式的乘方、立方根性质，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键，根据算术平方根的意义及二次根式的乘方、立方根性质逐项化简即可． 【详解】解：∵， ∴选项A不符合题意； ∵， ∴选项B符合题意； ∵， ∴选项C不符合题意； ∵， ∴选项D不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】下列说法中，错误的是（    ） A．8的立方根是±2 B．4的算术平方根是2 C．的平方根是±3 D．立方根等于它本身的数是±1，0 【答案】A 【解析】略 【变式1-3】立方根等于它本身的数是________ 【答案】0，1， 【分析】本题考查了立方根，利用立方根的意义是解题关键．根据立方根的意义，可得答案． 【详解】解：立方根等于它本身的数是0，1，， 故答案为：0，1，． 【变式1-4】已知的算术平方根是，的立方根是2，求的平方根_________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的平方等于被开方数，立方根的立方等于被开方数即可求出x，y，就可求出答案． 【详解】解：的算术平方根是， ， 解得：， 的立方根是2， ， 解得：， ， 的平方根是． 【点睛】本题考查了平方根，立方根和算术平方根，熟练掌握平方根，立方根和算术平方根的定义是解题关键． 题型2 求一个数的立方根 【例3】的立方根是_______________ 【答案】2 【详解】解：，， ∴的立方根是． 【例4】方程的实数解是______． 【答案】 【分析】根据立方根定义求解即可． 【详解】解： ． 只含有未知数或某个关于未知数的式子的三次方的方程，可以先通过移项、合并同类项、系数化为1等变形为或的形式，再利用开立方的意义求解. 【变式2-1】小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算、算术平方根、立方根等知识点，理解流程图是解题的关键． 根据流程图进行计算，直至结果为无理数，即可输出结果． 【详解】解：按照流程依次输出：是有理数，是有理数；再次求算术平方根得是无理数，输出． 故选C． 【变式2-2】的立方根为_________________． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据立方根的定义求解． 【详解】解：的立方根为， 故答案为：． 【变式2-3】的立方根是______． 【答案】 【分析】本题考查立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．根据立方根的计算法则进行解答即可． 【详解】解：， 的立方根为． 故答案为：． 【变式2-4】已知，化简：________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，二次根式的性质，立方根的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则逐一化简再运算即可． 【详解】因为，所以，，， 因此，原式． 故答案为：． 题型3 已知一个数的立方根，求这个数 【例5】已知一个数的立方根是，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是立方根的定义，如果一个数x的立方等于a，那么x就是a的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：一个数的立方根是， 这个数是， 故选：． 【例6】已知的立方根是，的算术平方根是4，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了立方根以及算术平方根的计算，熟练掌握立方根以及算术平方根的定义是解题的关键．本题根据立方根和算术平方根的定义可得关于和的方程进行求解即可． 【详解】解：的立方根是， ， 的算术平方根是4， ， 解得，， 的值是. 故答案为：. 【变式3-1】已知，则x的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的定义，掌握“若，则”是解题的关键． 根据立方根的定义，解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【变式3-2】已知，则的值为（   ） A．9 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了已知一个数的立方根求这个数，根据立方根的定义得出，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A 【变式3-3】若一个数的平方根为，另一个数的立方根是，则这两个数的和是_______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求出这两个数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴这两个数分别为9，， ∴这两个数的和为， 故答案为：1． 【变式3-4】已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查平方根和算术平方根、立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， ，， ， 即a，x的值分别为，25， 负数y的立方根与它本身相同， ． （2）解：当，时，， 的算术平方根为． 题型4 与立方根有关的规律探索 【例7】已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点的移动规律是解题的关键． 根据被开方数小数点向左移动三位，则立方根小数点向左移动一位求解即可． 【详解】解：，， ∴ 故选：A． 平方根、立方根中小数点的移动规律 (1)被开方数的小数点向右移动两位，它的算术平方根的小数点向右移动一位. (2)被开方数的小数点向右移动三位，它的立方根的小数点向右移动一位. 【变式4-1】如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，一个数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 【变式4-2】若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的性质：立方根中，被开方数的小数点每向右移动三个单位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式4-3】已知，如果，则_____． 【答案】5230000 【分析】本题考查立方根，掌握知识点是解题的关键． 通过比较已知立方根与未知立方根之间的倍数关系，利用立方根的性质进行求解． 【详解】解：已知，且． 所以． 故答案为：5230000． 题型5 立方根的实际应用 【例8】已知该港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（   ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【分析】本题考查立方根的应用，掌握立方根的意义是解题的关键． 通过计算原正方体和改造后正方体的棱长，求其比值即可得出答案． 【详解】解：设原正方体棱长为，改造后正方体棱长为． ∵正方体体积， 当时，； 当时，； ∴ ． 故改造后正方体的棱长是原来棱长的倍． 故选：D 【例9】已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（   ） A．6 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的应用．设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 故选：C． 【变式5-1】如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查立方根的应用，利用立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：B． 【变式5-2】某农户原计划利用现有的一面墙，再修三面墙，建造如图所示的长方体池塘，用来培育鱼苗，长方体池塘长、宽、高．后听从建筑师的建议改为建造等体积的正方体池塘，则待建的三面墙的总长度是多少（不考虑墙的厚度）？ 【答案】待建的三面墙的总长度是． 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解． 【详解】解：长方体池塘长、宽、高， 长方体池塘的体积为， 建造后等体积的正方体池塘的长为， 待建的三面墙的总长度是． 题型6 算术平方根和立方根的综合应用 【例10】若一个正数的两个平方根是和，这个数的立方根是______． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质与立方根的概念，根据正数的两个平方根互为相反数的性质求出的值，再确定这个正数，最后计算该数的立方根即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴这个正数为， ∴这个数的立方根是． 【变式6-1】已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是5， ，， ，； （2），， ， 的平方根为. 【变式6-2】实数在数轴上对应的点的位置如图所示．化简 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及绝对值与数轴，正确化简各式是解题关键，直接利用数轴得出各式的符号，进而化简得出答案． 【详解】解：由数轴可知：，且， ，， ． 【变式6-3】已知为的算术平方根，为的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的概念可求出的值，再根据立方根的概念求出的值，把、的值代入中求值，最后根据平方根的概念即可得出答案． 【详解】解：∵为的算术平方根， 又∵的算术平方根为， ∴，解得：， ∵为的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【变式6-4】已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为．求的算术平方根． 【答案】8 【分析】根据题意得出，确定，再由立方根得出，然后代入计算，求出算术平方根即可． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， ， 解得，      的立方根为， ， 解得，      ． 的算术平方根为． 1．下列说法正确的是（    ） A．的立方根是3 B． C．25的平方根是5 D．的算术平方根是2 【答案】D 【详解】解：选项A：，的立方根是，A错误； 选项B：表示16的算术平方根，结果为，即，B错误； 选项C：，的平方根是，C错误； 选项D：，的算术平方根是，的算术平方根是，D正确． 2．，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性求解a，b的值，再代入计算立方根即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ，， ∴，， 解得，， ∴． 3．若与互为相反数，则的值为（   ） A．10 B．24 C．12 D．8 【答案】C 【分析】根据立方根的性质，互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，可得两个被开方数互为相反数，整理得到，再对所求多项式降次变形即可计算出结果； 【详解】解：∵ 与互为相反数， ， ， ， ； 4．已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于立方根，若被开方数扩大为原来的倍，则开方后的数比原来扩大10倍，据此解答即可． 【详解】解：， 又， ． 5．如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入x的值是64时，输出y的值是______． 【答案】 【详解】解：由程序计算图可得：当输入x的值是64时，则第一次输出结果为，，是有理数， ∴第二次输出结果为． 6．计算______． 【答案】0 【详解】解：． 7．已知实数互为相反数，互为倒数，是的整数部分，是的小数部分，求代数式 ______． 【答案】/ 【分析】根据相反数，倒数的定义，以及无理数的估算得到各未知量的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵实数、互为相反数， ∴， ∵、互为倒数， ∴， ∵， ∴的整数部分为，即， ∵， ∴的小数部分为，即， ∴ ． 8．规定：若一个非零实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根和平方根，根据“最美实数”的定义，非零实数的算术平方根等于它的立方根，解得该实数为，代入表达式求． 【详解】解：设最美实数为，则，且， 两边六次方得， 即， 解得：或， 由于为非零实数， ， ， 解得：． 故答案为：． 9．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据绝对值，算术平方根，立方根，有理数的乘方进行计算． 【详解】解： ． 10．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了运用平方根解方程，立方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再运用平方根进行解方程，即可作答． （2）方程两边同时乘，再运用立方根进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ ∴或； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 11．魔方是一种益智玩具，可以锻炼孩子的思维能力．如图的三阶魔方是的正方体结构，本身只有27个小正方体，没有其他结构的方块，已知一个三阶魔方的体积为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为______． 【答案】 【分析】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， 则每个小正方体的棱长为， 故答案为：2． 12．已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根以及立方根的定义解决此题； （2）先将由（1）得，代入，再求解的平方根即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴，解得：， ∵的立方根是， ∴，解得：； （2）∵由（1）得，， ∴， ∴的平方根为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 立方根 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 立方根概念理解 题型2 求一个数的立方根 题型3 已知一个数的立方根，求这个数 题型4 与立方根有关的规律探索 题型5 立方根的实际应用 题型6 算术平方根和立方根的综合应用 关键词 学习目标导航 立方根、开立方、三次根号、小数点移动规律、简单三次方程 1. 理解立方根的定义，掌握立方根的符号表示，能准确读出； 2. 掌握立方根的性质，能判断正数、负数、0的立方根符号； 3. 分清开立方运算的含义，会求任意实数的立方根； 4. 会利用开立方求解形如、的简单三次方程； 5. 掌握被开方数与立方根的小数点移动变化规律； 6. 会使用计算器计算一个数的立方根，能借助计算器探究相关数字规律. 学习重点： 1. 立方根的定义、表示方法与基本性质； 2. 开立方运算，求解简单三次方程； 3. 立方根小数点移动规律. 学习难点： 1. 区分平方根与立方根的概念、性质差异； 2. 灵活运用小数点移动规律进行计算； 3. 结合立方根知识解决实际问题. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 立方根 (1) 立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫作的_______，也称为三次方根.叫作被开方数. 可以任意数. (2) 立方根的表示：一个数的立方根用符号_______表示. 中的根指数3不能省略. (3) 立方根的性质：①正数的立方根是_______数；②0的立方根是_______；③负数的立方根是_______数. (1)任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，立方根的符号与这个数的符号相同. (2)立方根等于它本身的数有______________. (3)与平方根不同的是负数也有立方根. 求下列各数的立方根： （1）27；　　（2）；　　（3）；　　（4）0. 知识点02 开立方 求一个数的立方根的运算叫作_______.例如，求64的立方根，就是要对64进行开立方运算，64是被开方数. 立方根是一个数，开立方是一种运算，是求一个数的立方根的运算. (1)开立方时，被开方数可以是正数、负数或零. (2)根据开立方与立方互为逆运算的关系，可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根. 化简： （1）；　　（2）； （3）；　　（4）. 知识点03 立方根与平方根的区别与联系 平方根 立方根 区别 个数不同 一个正数有_______个平方根，它们互为_______；_______没有平方根 任何数的立方根只有_______个且与这个数的符号_______ 表示方法不同 非负数的平方根表示为_______，根指数2可以省略不写 的立方根用_______表示，根指数3不能省略 被开方数的取值范围不同 在中，被开方数是_______数，即 在中，被开方数是_______数 联系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 0的方根 0的立方根和平方根都是_______ 知识点04 被开方数与立方根的小数点移动规律 将被开方数扩大为原来的1000倍，它的立方根就扩大为原来的10倍.将被开方数缩小为原来的_______，它的立方根就缩小为原来的_______.即被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动_______位. 化简： （1）；　　（2）；　　（3）. （1）算术平方根是它本身的数有0和1. （2）一个正数的算术平方根只有1个. （3）具有双重非负性：①被开方数一定是非负数，即；②其本身非负，即. （4）实际省略了中的根指数2，因此也读作＂二次根号＂. 题型1 立方根概念理解 【例1】若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【例2】是的算术平方根，是立方根，则______． 【变式1-1】下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】下列说法中，错误的是（    ） A．8的立方根是±2 B．4的算术平方根是2 C．的平方根是±3 D．立方根等于它本身的数是±1，0 【变式1-3】立方根等于它本身的数是________ 【变式1-4】已知的算术平方根是，的立方根是2，求的平方根_________． 题型2 求一个数的立方根 【例3】的立方根是_______________ 【例4】方程的实数解是______． 只含有未知数或某个关于未知数的式子的三次方的方程，可以先通过移项、合并同类项、系数化为1等变形为或的形式，再利用开立方的意义求解. 【变式2-1】小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 【变式2-2】的立方根为_________________． 【变式2-3】的立方根是______． 【变式2-4】已知，化简：________． 题型3 已知一个数的立方根，求这个数 【例5】已知一个数的立方根是，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 【例6】已知的立方根是，的算术平方根是4，则的值是_____． 【变式3-1】已知，则x的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 【变式3-2】已知，则的值为（   ） A．9 B． C． D．3 【变式3-3】若一个数的平方根为，另一个数的立方根是，则这两个数的和是_______． 【变式3-4】已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 题型4 与立方根有关的规律探索 【例7】已知，那么（    ） A． B． C． D． 平方根、立方根中小数点的移动规律 (1)被开方数的小数点向右移动两位，它的算术平方根的小数点向右移动一位. (2)被开方数的小数点向右移动三位，它的立方根的小数点向右移动一位. 【变式4-1】如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 【变式4-2】若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【变式4-3】已知，如果，则_____． 题型5 立方根的实际应用 【例8】已知该港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（   ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 【例9】已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（   ） A．6 B． C． D．1 【变式5-1】如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】某农户原计划利用现有的一面墙，再修三面墙，建造如图所示的长方体池塘，用来培育鱼苗，长方体池塘长、宽、高．后听从建筑师的建议改为建造等体积的正方体池塘，则待建的三面墙的总长度是多少（不考虑墙的厚度）？ 题型6 算术平方根和立方根的综合应用 【例10】若一个正数的两个平方根是和，这个数的立方根是______． 【变式6-1】已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式6-2】实数在数轴上对应的点的位置如图所示．化简 【变式6-3】已知为的算术平方根，为的立方根，求的平方根． 【变式6-4】已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为．求的算术平方根． 1．下列说法正确的是（    ） A．的立方根是3 B． C．25的平方根是5 D．的算术平方根是2 2．，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3．若与互为相反数，则的值为（   ） A．10 B．24 C．12 D．8 4．已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 5．如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入x的值是64时，输出y的值是______． 6．计算______． 7．已知实数互为相反数，互为倒数，是的整数部分，是的小数部分，求代数式 ______． 8．规定：若一个非零实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则的值是________． 9．计算：． 10．解方程 (1) (2) 11．魔方是一种益智玩具，可以锻炼孩子的思维能力．如图的三阶魔方是的正方体结构，本身只有27个小正方体，没有其他结构的方块，已知一个三阶魔方的体积为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为______． 12．已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $