第07讲 二次根式运算与分母有理化（暑假预习讲义）新八年级数学新教材沪教版五四制

第07讲 二次根式运算与分母有理化 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次根式的乘法 题型2 二次根式的除法 题型3 二次根式的乘除混合运算 题型4 分母有理化（重点） 题型5 二次根式的加减运算 题型6 二次根式的混合运算（重点） 题型7 比较二次根式的大小 题型8 已知字母的值，化简求值 题型9 已知条件式，化简求值（难点） 题型10 二次根式的应用 题型11 实数的混合运算 题型12 新定义下的实数运算 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次根式加减运算、同类二次根式合并、二次根式乘法法则、二次根式除法法则、分母有理化、有理化因式、共轭根式、二次根式混合运算、乘法公式（平方差 / 完全平方）、二次根式大小比较、化简求值、整体代入、二次根式实际应用、实数混合运算、新定义运算 1. 掌握二次根式加、减、乘、除四则运算的基本法则，熟练执行 “一化二找三合并” 的加减运算流程，能规范完成系数与被开方数的分别运算. 2. 理解分母有理化的意义，掌握单根号分母、根式和差分母的两类有理化方法，能准确判断常见形式的有理化因式，规范完成分母去根号的变形. 3. 掌握二次根式混合运算的运算顺序，能灵活运用平方差公式、完全平方公式简化计算，正确处理运算中的符号问题，保证结果为最简二次根式. 4. 掌握二次根式大小比较的常用方法，包括平方法、系数移入根号法、作差作商法、分子有理化法，能根据题型特征选择最优比较方案. 5. 能熟练完成两类二次根式化简求值：直接代入字母数值的化简计算，以及结合条件式的整体代入求值，掌握 “先化简、后代入” 的解题思路. 6. 能运用二次根式运算解决几何面积、物理情境等实际应用问题，掌握新定义运算、实数与数轴结合的综合题型的解题方法，提升代数综合运算能力. 学习重点：1. 二次根式加、减、乘、除四则运算的基本法则与规范运算步骤 2. 分母有理化的核心方法与有理化因式的判断 3. 二次根式混合运算的运算顺序与乘法公式的灵活应用 4.二次根式化简求值的基本思路与运算规范 学习难点：1. 含根式和差形式的分母有理化，以及复杂混合运算中的符号处理与公式灵活运用 2.条件式化简求值中的代数式变形技巧与整体代入思想的应用 3. 二次根式大小比较中分子有理化等进阶方法的灵活选择 4. 含字母的二次根式运算中，结合取值范围判断符号并正确化简 5.新定义运算与二次根式结合的题型的规则转化与运算准确性 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01二次根式的加减运算 1．合并同类二次根式法则：同类二次根式__________相加减，被开方数与根指数__________. 2．加减三步流程＂一化二找三合并＂：先全部化为最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式. ：整式加减的交换律、结合律、去添括号法则全部适用；运算三点注意： ①有括号先去括号，括号前为负号要变号，化简与去括号可同步进行； ②只有同类二次根式能合并，不同类不可合并，合并依据分配律逆用； ③最终结果系数若为带分数，统一化为假分数. ：最简二次根式移出根号内因式时，先判断因式正负. 二次根式加减本质是合并同类二次根式；计算前小数、带分数先分别化为分数、假分数；结果带分数系数必须写成假分数. 合并下列各式中的同类二次根式： （1）； （2）. 计算： （1）； （2）. 知识点02二次根式的乘除运算 1．乘法法则：____________________ ，被开方数相乘，根指数不变. 2．除法法则：____________________ ，被开方数相除，根指数不变. 1.乘法注意要点： ①与加减区分：相乘时根号外系数、被开方数分别相乘；相乘可不用先化简，加减必须先化简； ②不急于算出被开方数乘积，先拆解成幂的形式简化计算； ③计算结果根式必须化为最简二次根式. 2.除法运算要点：系数、被开方数分别相除再合并；除法先写分式，可约去相同因式；无法整除时做分母有理化；含字母无取值范围时分类讨论. 二次根式相乘规则 ①带系数相乘： ； ②系数分数要约分并写假分数，根式结果化为最简. 计算：． 计算：． 知识点03分母有理化 1．定义：把分母中的根号去掉的过程叫作__________. 2．方法：分子分母同乘合适代数式，消去分母根号. 3．有理化因式：两含二次根式代数式相乘，积不含根号，则二者互为有理化因式；形式不唯一.常见配对：与 __________ ,__________与 与 __________ . 分母有理化三步法 第一步移：分子分母可开方因式移出根号； 第二步乘：分子分母同乘分母的有理化因式； 第三步化：化简得到最终结果. 分母有理化：______． 计算：． 知识点04二次根式的混合运算 1．运算依据：通用二次根式加减乘除法则；实数全部运算律、运算性质、运算顺序适用；可套用整式乘法公式. 2．运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内. 3．常见题型： ①单根式乘多项式：用分配律展开； ②两个根式多项式相乘：类比整式多项式乘法逐项相乘再合并. 计算的结果是 ________． 计算：． 题型1 二次根式的乘法 【例1】下列各选项中，的有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【例2】下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1．公式： 2．系数相乘放根号外，被开方数相乘放根号内 3．相乘后立刻分解因数，化简为最简二次根式 4．带负号先判定符号，根号内恒为非负数 【变式1-1】计算：__________． 【变式1-2】计算：__________． 【变式1-3】计算：． 题型2 二次根式的除法 【例3】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例4】下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1．公式： 2．系数相除放根号外，被开方数相除放根号内 3．运算后化简根式，分母不能留根号 4．含分母根式直接分母有理化再计算 【变式2-1】计算：_______． 【变式2-2】等式成立的条件是______． 【变式2-3】计算 (1) (2) 题型3 二次根式的乘除混合运算 【例5】化简：______． 【例6】计算：． 【技巧归纳】 1.系数、被开方数分开同步乘除 2.统一写成单一根式，约分再化简 3.结果分母不含根号，及时有理化 4.有负号先定整体符号，根号内恒非负 【变式3-1】计算：． 【变式3-2】计算：； 【变式3-3】计算：． 题型4 分母有理化 【例7】为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是______． 【例8】化简：_____． 【技巧归纳】 1. 单根号分母:分子分母同乘分母根式 2.根式加减分母:乘共轭根式消去根号 3.先约分再有理化，简化计算 4.结果化为最简二次根式 【变式4-1】计算：． 【变式4-2】计算：． 【变式4-3】先化简，再求值：，其中． 题型5 二次根式的加减运算 【例9】某同学做了以下四道习题，①；②；③；④，其中做错的题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例10】计算：______． 【技巧归纳】 1.全部化为最简二次根式 2.只合并同类二次根式，系数相加减、根式不变 3.非同类根式直接保留，不能合并 4.结果整理成最简形式 【变式5-1】计算：______． 【变式5-2】计算：． 【变式5-3】计算： 题型6 二次根式的混合运算 【例11】计算的结果是_________． 【例12】计算：． 【技巧归纳】 1. 运算顺序:先乘方开方，再乘除，最后加减，括号优先 2. 乘法公式(平方差、完全平方)优先使用简化计算 3.根式先化简，分母带根号及时有理化 4.仅同类二次根式可合并，最后化为最简形式 【变式6-1】计算： (1)； (2) 【变式6-2】计算：． 【变式6-3】计算： ． 题型7比较二次根式的大小 【例13】比大小：______（填写“＞”、“=”、或“＜”）． 【例14】比较大小：_____（填“”“”或“”）． 【技巧归纳】 1. 同号根式:平方后比较被开方数，平方大则根式大 2. 系数不为1:把系数全部移入根号内再比被开方数 3. 两式相减/相除，判断正负或商与1的大小 4.负二次根式:绝对值越大，数值越小 【变式7-1】比较大小：______（填“＞”或“＜”）． 【变式7-2】比较大小： (1)______； (2)______． 【变式7-3】已知 ，，，比较的大小关系． 题型8 已知字母的值，化简求值 【例15】当时，二次根式的值为_______． 【例16】已知，求的值 【技巧归纳】 1．先化简代数式，再代入数值计算，减少运算量 2．含 先去根号写绝对值，根据字母正负去绝对值符号 3．分母带根号先做分母有理化 4．代入后结果化为最简二次根式 【变式8-1】先化简再求值：，其中． 【变式8-2】先化简，再求值：已知，求的值． 【变式8-3】（1）计算： （2）已知，求的值． 题型9 已知条件式，化简求值 【例17】已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 【例18】如果正数满足，那么的值是______． 【技巧归纳】 1．先整理已知，求出整体代数式的值，不急于单独解字母 2．所求式子先化简，变形凑出已知整体，整体代入计算 3．含 先写绝对值，结合已知判断字母正负去绝对值 4．分母含根式先有理化，最后化为最简根式 【变式9-1】已知，则___________． 【变式9-2】已知实数x，y满足． (1)探究：x与y之间存在怎样的数量关系？并证明你的结论； (2)计算：求代数式的值． 【变式9-3】已知 ，，求的值． 题型10 二次根式的应用 【例19】如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为32和2，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．6 D．8 【例20】如果一个长方形的面积是，它的长是，则它的宽是________________． 【技巧归纳】 1. 几何求值:利用勾股定理列式，根式运算后化简边长 2. 实际应用题:长度、面积结果取非负，舍去负根 3. 方案取值:结合根式有意义条件筛选合理数值 4.最终答案统一化为最简二次根式 【变式10-1】若一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为__________． 【变式10-2】高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)小明说物体从的高空落到地面的时间是从的高空落到地面时间的倍，他的说法正确吗？请说明理由； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（），某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：砸伤无防护人体只需要的能量） 【变式10-3】高空抛物是一种不文明的行为，会带来很大的社会危害，即使是一个苹果从高处坠落也可能造成严重伤害． (1)研究表明，忽略空气阻力时，物体自由下落的落地所需时间（单位：）和高度（单位：）满足公式，其中．假设一个物体从的高处自由下落，如果忽略空气阻力，那么这个物体落到地面大约需要多少秒时间？（结果保留根号） (2)物体从高空自由落下时由于运动而具有能量，实验表明，当动能超过焦的物体有可能对无防护的人体造成伤害．已知物体从高空自由落下，物体落地时的动能（单位：焦）可以用物体质量（单位：）和初始位置的高度（单位：）近似表示．公式为，其中．假设从高度为的空中落下一个质量为的苹果，请问是否可能会对楼下的行人造成伤害（行人身高和空气阻力忽略不计）请通过计算说明理由． 题型11 实数的混合运算 【例21】若，其中，则b的值为_____________． 【例22】计算：． 【技巧归纳】 1. 遵循运算顺序:括号优先，再乘方开方，其次乘除，最后加减 2.根式先化简，分母带根号及时有理化 3.灵活运用平方差、完全平方公式简化计算 4.有理数与根式分开计算，同类二次根式合并 5.结果化为最简，小数、分数统一规范书写 【变式11-1】计算： (1) (2)． 【变式11-2】已知点在数轴上，其中分别表示数和．点向左平移4个单位长度后与点重合． (1)求线段的长； (2)求点表示的数； (3)对于数轴上三点，点、点关于点对称，求点对应的实数． 【变式11-3】计算∶ 题型12 新定义下的实数运算 【例23】对任意两个实数、定义两种运算：，，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A． B．3 C．6 D． 【例24】规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：________． 【技巧归纳】 1.读懂题干运算规则，套对应字母替换原式 2.含根式先化简，分母有理化后再计算 3.遵循常规四则运算顺序，优先括号、乘方 4.同类二次根式合并，结果化为最简根式 5.多步题型分步列式，避免代换出错 【变式12-1】定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是_______ 【变式12-2】定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【变式12-3】对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：________． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：____________． 3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小： _____ ． （填“”“”“”） 4．（25-26八年级上·上海松江·阶段检测）对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为_____． 5．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算： 6．（2025八年级上·上海杨浦·专题练习）计算：． 7．（25-26八年级上·上海崇明·期中）先化简，再求值，已知，，求：的值． 8．（25-26八年级上·上海闵行·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间为_________． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 9．（25-26八年级上·上海·期中）比较大小∶ _____ ． 10．如图，如果正方形的面积为6，正方形的面积为正方形的面积的2倍，则的面积是_________．    11．情景：实践小组成员利用两块相同的长方形木板各切割两个正方形木板． 操作：甲组成员的切割方式如图1所示，小正方形①（一边与长方形边重合）的面积为，小正方形②（三边与长方形边重合）的面积为，． （1）求的长． 探究：乙组成员的切割方式如图2所示，从长方形木板上切下两块完全相同的最大的正方形木板③④． （2）求剩余部分（阴影）的面积． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 二次根式运算与分母有理化 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次根式的乘法 题型2 二次根式的除法 题型3 二次根式的乘除混合运算 题型4 分母有理化（重点） 题型5 二次根式的加减运算 题型6 二次根式的混合运算（重点） 题型7 比较二次根式的大小 题型8 已知字母的值，化简求值 题型9 已知条件式，化简求值（难点） 题型10 二次根式的应用 题型11 实数的混合运算 题型12 新定义下的实数运算 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次根式加减运算、同类二次根式合并、二次根式乘法法则、二次根式除法法则、分母有理化、有理化因式、共轭根式、二次根式混合运算、乘法公式（平方差 / 完全平方）、二次根式大小比较、化简求值、整体代入、二次根式实际应用、实数混合运算、新定义运算 1. 掌握二次根式加、减、乘、除四则运算的基本法则，熟练执行 “一化二找三合并” 的加减运算流程，能规范完成系数与被开方数的分别运算. 2. 理解分母有理化的意义，掌握单根号分母、根式和差分母的两类有理化方法，能准确判断常见形式的有理化因式，规范完成分母去根号的变形. 3. 掌握二次根式混合运算的运算顺序，能灵活运用平方差公式、完全平方公式简化计算，正确处理运算中的符号问题，保证结果为最简二次根式. 4. 掌握二次根式大小比较的常用方法，包括平方法、系数移入根号法、作差作商法、分子有理化法，能根据题型特征选择最优比较方案. 5. 能熟练完成两类二次根式化简求值：直接代入字母数值的化简计算，以及结合条件式的整体代入求值，掌握 “先化简、后代入” 的解题思路. 6. 能运用二次根式运算解决几何面积、物理情境等实际应用问题，掌握新定义运算、实数与数轴结合的综合题型的解题方法，提升代数综合运算能力. 学习重点：1. 二次根式加、减、乘、除四则运算的基本法则与规范运算步骤 2. 分母有理化的核心方法与有理化因式的判断 3. 二次根式混合运算的运算顺序与乘法公式的灵活应用 4.二次根式化简求值的基本思路与运算规范 学习难点：1. 含根式和差形式的分母有理化，以及复杂混合运算中的符号处理与公式灵活运用 2.条件式化简求值中的代数式变形技巧与整体代入思想的应用 3. 二次根式大小比较中分子有理化等进阶方法的灵活选择 4. 含字母的二次根式运算中，结合取值范围判断符号并正确化简 5.新定义运算与二次根式结合的题型的规则转化与运算准确性 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01二次根式的加减运算 1．合并同类二次根式法则：同类二次根式系数相加减，被开方数与根指数不变. 2．加减三步流程＂一化二找三合并＂：先全部化为最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式. ：整式加减的交换律、结合律、去添括号法则全部适用；运算三点注意： ①有括号先去括号，括号前为负号要变号，化简与去括号可同步进行； ②只有同类二次根式能合并，不同类不可合并，合并依据分配律逆用； ③最终结果系数若为带分数，统一化为假分数. ：最简二次根式移出根号内因式时，先判断因式正负. 二次根式加减本质是合并同类二次根式；计算前小数、带分数先分别化为分数、假分数；结果带分数系数必须写成假分数. 合并下列各式中的同类二次根式： （1）； （2）. 解 （1） . （2）. 计算： （1）； （2）. 解 （1） . （2） . 知识点02二次根式的乘除运算 1．乘法法则： ，被开方数相乘，根指数不变. 2．除法法则： ，被开方数相除，根指数不变. 1.乘法注意要点： ①与加减区分：相乘时根号外系数、被开方数分别相乘；相乘可不用先化简，加减必须先化简； ②不急于算出被开方数乘积，先拆解成幂的形式简化计算； ③计算结果根式必须化为最简二次根式. 2.除法运算要点：系数、被开方数分别相除再合并；除法先写分式，可约去相同因式；无法整除时做分母有理化；含字母无取值范围时分类讨论. 二次根式相乘规则 ①带系数相乘： ； ②系数分数要约分并写假分数，根式结果化为最简. 计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算和化简二次根式，根据题意可得，据此先计算二次根式乘法，再化简二次根式即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式，和有意义， ∴， ∴ ． 计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键． 根据二次根式的运算法则运算即可． 【详解】解：原式 ． 知识点03分母有理化 1．定义：把分母中的根号去掉的过程叫作分母有理化. 2．方法：分子分母同乘合适代数式，消去分母根号. 3．有理化因式：两含二次根式代数式相乘，积不含根号，则二者互为有理化因式；形式不唯一.常见配对：与 与 与 . 分母有理化三步法 第一步移：分子分母可开方因式移出根号； 第二步乘：分子分母同乘分母的有理化因式； 第三步化：化简得到最终结果. 分母有理化：______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的分母有理化，关键是确定分母的有理化因式，通过分子分母同乘该因式消去分母中的根号． 【详解】解：分子分母同乘，得原式． 故答案为：． 计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先展开完全平方项，再对分式进行分母有理化，最后合并同类项完成计算． 【详解】解：原式 ． 知识点04二次根式的混合运算 1．运算依据：通用二次根式加减乘除法则；实数全部运算律、运算性质、运算顺序适用；可套用整式乘法公式. 2．运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内. 3．常见题型： ①单根式乘多项式：用分配律展开； ②两个根式多项式相乘：类比整式多项式乘法逐项相乘再合并. 计算的结果是 ________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 利用二次根式的乘法法则及化简的法则进行运算即可． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键． 先化为最简二次根式，利用乘法分配律计算，再合并即可． 【详解】解：原式 ． 题型1 二次根式的乘法 【例1】下列各选项中，的有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理化因式，熟练掌握两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式称作互为有理化因式是解题的关键．有理化因式是指与给定表达式相乘后结果不含根号的因式．据此求解即可． 【详解】解：∵为有理式， ∴是的有理化因式． 故选：B． 【例2】下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，立方根，二次根式的乘法，熟练掌握定义是解题的关键．根据二次根式的性质，立方根的性质，二次根式的乘法公式逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：∵ 中，即， ∴， ∴ A选项错误； 对于选项B：∵ ， ∴ B正确； 对于选项C：∵ 中，且和分别要求、， ∴当且仅当且时，成立， ∴ C选项错误； 对于选项D：∵ 是一个值，而表示两个值， ∴ D选项错误． 因此，等式一定成立的是B， 故选：B． 【技巧归纳】 1．公式： 2．系数相乘放根号外，被开方数相乘放根号内 3．相乘后立刻分解因数，化简为最简二次根式 4．带负号先判定符号，根号内恒为非负数 【变式1-1】计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 【变式1-2】计算：__________． 【答案】 【分析】根据二次根式乘法的运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 【变式1-3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算及分母有理化． 根据二次根式的乘除运算法则以及二次根式的加减法则计算即可求解． 【详解】解： ． 题型2 二次根式的除法 【例3】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加法，二次根式的除法． 根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D错误； 故选：A． 【例4】下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，包括加法、减法、乘法和除法．需要根据二次根式的运算法则逐一判断． 【详解】解：A．，选项错误，不符合题意； B．，选项错误，不符合题意； C．，选项正确，符合题意； D．，选项错误，不符合题意； 故选：C． 【技巧归纳】 1．公式： 2．系数相除放根号外，被开方数相除放根号内 3．运算后化简根式，分母不能留根号 4．含分母根式直接分母有理化再计算 【变式2-1】计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2-2】等式成立的条件是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据被开方数大于或等于0，分母不等于0列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 【变式2-3】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查二次根式的混合运算及分母有理化的混合运算，熟练掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． （1）先算括号里面的，再算二次根式的除法即可； （2）先分母有理化，再加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型3 二次根式的乘除混合运算 【例5】化简：______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由题意可知: ． 故答案为：． 【例6】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先算二次根式的乘除法，然后化为最简二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 【技巧归纳】 1.系数、被开方数分开同步乘除 2.统一写成单一根式，约分再化简 3.结果分母不含根号，及时有理化 4.有负号先定整体符号，根号内恒非负 【变式3-1】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的乘除混合运算等知识点，灵活运用二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，然后运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式3-2】计算：； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除是解题的关键．先将除法转化为乘法，再根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3-3】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是关键，根据二次根式的性质化简，分母有理化的计算得到结果，最后再计算和差． 【详解】解： ． 题型4 分母有理化 【例7】为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式． 根据有理化因式的定义，两个根式的积不含有根号时互为有理化因式． 【详解】解：∵，为有理数， ∴为有理数，的有理化因式是． 故答案为：． 【例8】化简：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，分母有理化，根据二次根式的性质得到，再分母有理化即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，则； ∴； 故答案为：． 【技巧归纳】 1. 单根号分母:分子分母同乘分母根式 2.根式加减分母:乘共轭根式消去根号 3.先约分再有理化，简化计算 4.结果化为最简二次根式 【变式4-1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，以及进行分母有理化，再运算乘除法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 【变式4-2】计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式4-3】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的基本性质与运算法则是解题的关键，注意化简过程中能因式分解要先因式分解．先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，． 题型5 二次根式的加减运算 【例9】某同学做了以下四道习题，①；②；③；④，其中做错的题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法与减法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据二次根式的性质和运算法则，逐一判断各等式的正确性． 【详解】解：①，正确； ②，正确； ③，正确； ④，错误； 故选：A． 【例10】计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，通过二次根式的减法运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【技巧归纳】 1.全部化为最简二次根式 2.只合并同类二次根式，系数相加减、根式不变 3.非同类根式直接保留，不能合并 4.结果整理成最简形式 【变式5-1】计算：______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式加减，先将 化简为 ，再与 进行合并同类项即可． 【详解】解：． 故答案为 ． 【变式5-2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的加减即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 【变式5-3】计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．把二次根式化简成最简二次根式后，再合并即可． 【详解】解： ． 题型6 二次根式的混合运算 【例11】计算的结果是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先进行乘法运算并化为最简二次根式，再进行加减运算，即可求解；掌握（，）和合并同类二次根式法是解题的关键. 【详解】解：原式； 故答案为：． 【例12】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键．根据二次根式混合运算法则，二次根式性质，进行计算即可． 【详解】解： ． 【技巧归纳】 1. 运算顺序:先乘方开方，再乘除，最后加减，括号优先 2. 乘法公式(平方差、完全平方)优先使用简化计算 3.根式先化简，分母带根号及时有理化 4.仅同类二次根式可合并，最后化为最简形式 【变式6-1】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键； （1）根据二次根式的乘除法可进行求解； （2）根据二次根式的混合运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式6-2】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键． 根据二次根式的混合运算法则计算，先算乘法，再算加减即可． 【详解】解： ． 【变式6-3】计算：． 【答案】 【分析】先运用二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可； 【详解】解： 题型7比较二次根式的大小 【例13】比大小：______（填写“＞”、“=”、或“＜”）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，可以通过平方后比较数值，再比较大小得出结论． 【详解】解：，，， ∴， 故答案为：． 【例14】比较大小：_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了比较二次根式的大小． 通过比较两个正数的平方大小来确定原数的大小． 【详解】解：，，由于， 所以． 故答案为：． 【技巧归纳】 1. 同号根式:平方后比较被开方数，平方大则根式大 2. 系数不为1:把系数全部移入根号内再比被开方数 3. 两式相减/相除，判断正负或商与1的大小 4.负二次根式:绝对值越大，数值越小 【变式7-1】比较大小：______（填“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式大小比较，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质比较得出答案． 【详解】解：，， ， ． ． 故答案为：． 【变式7-2】比较大小： (1)______； (2)______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了无理数的大小比较，二次根式的混合运算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）分别计算两个无理数的平方，比较平方的大小，即可得解； （2）对两个无理数进行分子有理化，得到分子相同的分数，比较分母的大小，即可得解． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，， ∵，， ∴， ∴． 【变式7-3】已知 ，，，比较的大小关系． 【答案】 【分析】此题考查二次根式比较大小，分母有理化，先将a、b、c分别进行分母有理化，再比较大小即可． 【详解】解：，，， ， ， 又， ， ． 题型8 已知字母的值，化简求值 【例15】当时，二次根式的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的求值，先化简二次根式，再将字母的值代入，即可求解． 【详解】解：． 当时，． 故答案为：． 【例16】已知，求的值 【答案】3 【分析】本题考查了分母有理化，分式化简求值，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，整理得，，，再把化简得，然后代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ∵， ∴， ． 【技巧归纳】 1．先化简代数式，再代入数值计算，减少运算量 2．含 先去根号写绝对值，根据字母正负去绝对值符号 3．分母带根号先做分母有理化 4．代入后结果化为最简二次根式 【变式8-1】先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，分母有理化，已知字母的值求代数式的值．正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，则，化简，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ； 把代入， 得． 【变式8-2】先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质是关键，根据分式的性质化简，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， ， 把代入，原式． 【变式8-3】（1）计算： （2）已知，求的值． 【答案】 （1）；（2） 【分析】本题考查二次根式混合运算和二次根式化简求值，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则． （1）先算乘除法，化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先将分母有理化为，由，再把所求式子化简为，将代入即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ∵， ∴， ∴ ， 则原式． 题型9 已知条件式，化简求值 【例17】已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，代数式求值，理解二次根式的运算法则是解答关键． 根据二次根式的运算法则先进行化简，再将代入求解． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：B． 【例18】如果正数满足，那么的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则的关键． 由 可得 ，然后求出的平方即可求解． 【详解】解：由 ，可得 ， ∵，, ∴． 故答案为：． 【技巧归纳】 1．先整理已知，求出整体代数式的值，不急于单独解字母 2．所求式子先化简，变形凑出已知整体，整体代入计算 3．含 先写绝对值，结合已知判断字母正负去绝对值 4．分母含根式先有理化，最后化为最简根式 【变式9-1】已知，则___________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，进行解答，即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【变式9-2】已知实数x，y满足． (1)探究：x与y之间存在怎样的数量关系？并证明你的结论； (2)计算：求代数式的值． 【答案】(1)；证明见解析 (2) 【分析】本题是二次根式的化简和求值．本题利用巧解将已知式变成两式，相加后得出结论． （1）将式子变形后，再分母有理化得①式：，同理得②式：，将两式相加可得结论； （2）将代入原式或①式得：，代入所求式子即可． 【详解】（1）解：． ∴． ∴① 同理得：② 得：， ∴； （2）解：把代入①，得， ∴． 则 ． 【变式9-3】已知 ，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，，可判断，，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即可． 本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 【详解】，， ，， ∴原式= ． 原式． 题型10 二次根式的应用 【例19】如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为32和2，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积=大长方形面积两个正方形面积，本题得以解决．本题考查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴题图中阴影部分的面积为． 故选：C． 【例20】如果一个长方形的面积是，它的长是，则它的宽是________________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用，根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，因此宽等于面积除以长． 【详解】解：宽， 故答案为：． 【技巧归纳】 1. 几何求值:利用勾股定理列式，根式运算后化简边长 2. 实际应用题:长度、面积结果取非负，舍去负根 3. 方案取值:结合根式有意义条件筛选合理数值 4.最终答案统一化为最简二次根式 【变式10-1】若一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式在长方形面积计算中的应用，明确二次根式乘法运算法则及如何化为最简二次根式是解题的关键．根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，将长和宽相乘，利用二次根式的乘法法则计算． 【详解】解：长方形的面积公式为， 所以． 计算过程： ， ， 因此． 故答案为：． 【变式10-2】高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)小明说物体从的高空落到地面的时间是从的高空落到地面时间的倍，他的说法正确吗？请说明理由； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（），某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：砸伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)说法不正确，理由见解析； (2)这个鸡蛋在下落过程中所带能量为； 启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人． 【分析】本题考查的知识点是二次根式的应用，解题关键是理解公式，正确运算代入求值． （1）将、分别代入公式求出时间，再进行比较即可得解； （2）利用公式求出，代入能量计算公式即可得解． 【详解】（1）解：不正确，理由如下： 由题意得，当时，， 当时，， ， 说法不正确； （2）解：当时，， 解得， 鸡蛋下落过程中所带能量为， ， 启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人． 【变式10-3】高空抛物是一种不文明的行为，会带来很大的社会危害，即使是一个苹果从高处坠落也可能造成严重伤害． (1)研究表明，忽略空气阻力时，物体自由下落的落地所需时间（单位：）和高度（单位：）满足公式，其中．假设一个物体从的高处自由下落，如果忽略空气阻力，那么这个物体落到地面大约需要多少秒时间？（结果保留根号） (2)物体从高空自由落下时由于运动而具有能量，实验表明，当动能超过焦的物体有可能对无防护的人体造成伤害．已知物体从高空自由落下，物体落地时的动能（单位：焦）可以用物体质量（单位：）和初始位置的高度（单位：）近似表示．公式为，其中．假设从高度为的空中落下一个质量为的苹果，请问是否可能会对楼下的行人造成伤害（行人身高和空气阻力忽略不计）请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)可能造成伤害，理由如下 【分析】本题考查二次根式的实际应用，通过具体情境考查二次根式，读懂题意，理解题中现实情境相关的公式，正确运算代入求值是解决本题的关键．． （1）先根据已知条件求出h的值，再代入公式即可得时间； （2）根据公式，代入计算公式求出这个苹果产生的动能，即可判断． 【详解】（1）解∶ 物体从的高处自由下落， ． 故答案为∶； （2）解∶ 可能造成伤害，理由如下∶ ，，， （焦）焦 答：可能会对楼下的行人造成伤害． 题型11 实数的混合运算 【例21】若，其中，则b的值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算（利用加法各部分的关系：加数和另一个加数），解题关键是通过移项将b表示为和与的差，再代入计算． 根据已知条件 和 ，通过等式变形求解 的值． 【详解】解：由 ，得 ，代入 ，得 ． 故答案为 ：． 【例22】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算，先计算算术平方根、开立方和绝对值，后计算加减． 【详解】解： ． 【技巧归纳】 1. 遵循运算顺序:括号优先，再乘方开方，其次乘除，最后加减 2.根式先化简，分母带根号及时有理化 3.灵活运用平方差、完全平方公式简化计算 4.有理数与根式分开计算，同类二次根式合并 5.结果化为最简，小数、分数统一规范书写 【变式11-1】计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据乘方运算法则，平方差公式，绝对值意义进行计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式11-2】已知点在数轴上，其中分别表示数和．点向左平移4个单位长度后与点重合． (1)求线段的长； (2)求点表示的数； (3)对于数轴上三点，点、点关于点对称，求点对应的实数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数与数轴的知识，包括：数轴上两点距离为两点表示的数之差(右减左)；点向左平移时数减对应单位，向右平移时坐标加对应单位；两点关于某点对称时，该点到两点的距离相等． （1）通过数轴上两点距离公式计算长度； （2）根据平移规律列方程求点的数； （3）通过设未知数，利用线段长相等列方程求解表示点的数． 【详解】（1）解：∵点表示，点表示， ∴线段的长为； （2）解：∵点向左平移个单位长度后与点重合，即数减小4与相等， ∴点表示的数为； （3）解：设点对应的实数为， ∵点、点关于点对称， ∴，即， 解得，即点对应的实数为1． 【变式11-3】计算∶ 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 题型12 新定义下的实数运算 【例23】对任意两个实数、定义两种运算：，，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A． B．3 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，求一个数的立方根． 根据新定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 【例24】规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：________． 【答案】2 【分析】此题考查了估算无理数的大小，理解题中的新规定是解本题的关键．根据题目先判断的整数部分，再根据加减法即可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【技巧归纳】 1.读懂题干运算规则，套对应字母替换原式 2.含根式先化简，分母有理化后再计算 3.遵循常规四则运算顺序，优先括号、乘方 4.同类二次根式合并，结果化为最简根式 5.多步题型分步列式，避免代换出错 【变式12-1】定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是_______ 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、实数的混合运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据新运算的定义进行计算即可． 【详解】解：由定义，， 代入 ，，得： ． 故答案为：10． 【变式12-2】定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查新定义运算和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，合并同类二次根式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式12-3】对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 【答案】(1)，4 (2) 【分析】本题以新定义运算为载体，主要考查了实数的运算和二次根式的运算，弄清新定义运算的法则是解题的关键； （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据可得：，再解方程即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，4； （2）解：由可得：， 解得：． 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，注意化简为最简二次根式是解题的关键． 利用二次根式的乘法法则，将合并为，再化简即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法．先计算括号里面二次根式的除法，再计算括号外二次根式的乘法． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小： _____ ． （填“”“”“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较．比较两个数的平方，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴． 故答案为： 4．（25-26八年级上·上海松江·阶段检测）对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的混合运算．根据新定义运算得到、的结果，再相乘即可． 【详解】∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的性质化简，二次根式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据分母有理化以及二次根式的性质进行化简，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 6．（2025八年级上·上海杨浦·专题练习）计算：． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质．先结合二次根式的性质化简，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 7．（25-26八年级上·上海崇明·期中）先化简，再求值，已知，，求：的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化， 先分母有理化求出x，y，再因式分解代入求值即可． 【详解】解：，， ∴． 8．（25-26八年级上·上海闵行·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间为_________． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)2 (2) 能量为，会对无防护人体造成伤害 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． （1）根据公式，代入计算即可． （2）先根据公式，求得高度，再根据公式物体质量×高度，计算能量即可． 【详解】（1）∵，， ∴． 故答案为：2； （2）∵，, ∴， ∴， ∴，而 ∴， 故，会对无防护人体造成伤害． 9．（25-26八年级上·上海·期中）比较大小∶ _____ ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，通过计算两个表达式的差值，并判断差值的正负来比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 10．如图，如果正方形的面积为6，正方形的面积为正方形的面积的2倍，则的面积是_________．    【答案】/ 【分析】根据题意易得正方形的面积为12，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：正方形的面积为12， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查算术平方根的应用及实数的混合运算，熟练掌握正方形的面积公式及实数的运算是解题的关键． 11．情景：实践小组成员利用两块相同的长方形木板各切割两个正方形木板． 操作：甲组成员的切割方式如图1所示，小正方形①（一边与长方形边重合）的面积为，小正方形②（三边与长方形边重合）的面积为，． （1）求的长． 探究：乙组成员的切割方式如图2所示，从长方形木板上切下两块完全相同的最大的正方形木板③④． （2）求剩余部分（阴影）的面积． 【答案】(1)的长为(2)剩余部分（阴影）的面积 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则并能正确根据图形，得出数量关系是解决此题的关键． (1)根据小正方形的面积，可求出边长，然后计算线段的和差即可得解； (2)先求出大长方形的长面积，再求出小正方形的面积，然后进行计算即可得解． 【详解】(1)解：∵小正方形①（一边与长方形边重合）的面积为，小正方形②（三边与长方形边重合）的面积为， ∴小正方形①的边长，小正方形②的边长， ∵， ∴， ∴的长为； (2)解：由(1)知大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∵从长方形木板上切下两块完全相同的最大的正方形木板③④， ∴切下两块完全相同的最大的正方形边长为， ∴切下两块完全相同的最大的正方形面积为， ∴剩余部分（阴影）的面积． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $