第03讲 实数的概念与运算（3大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（沪教版2024）

第03讲 实数的概念与运算（3大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 实数概念理解 典型例题二 实数的分类 典型例题三 实数与数轴 典型例题四 实数的性质 典型例题五 实数的混合运算 典型例题六 实数的大小比较 典型例题七 新定义下的实数运算 典型例题八 实数运算的实际应用 典型例题九 与实数运算相关的规律题 知识点01 实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海静安·期末）有下列各数：﹣，，0.02002000200002…（相邻两个2之间0的个数依次多1），﹣8，3，，．其中，无理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【即时训练】 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）写出一个有理数 ，写出一个无理数 ，其中是实数的有 ． 知识点02 实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 【即时训练】 1．（2025·上海闵行·模拟预测）下列四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C．2 D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·上海嘉定·单元测试）在实数中，最小的是 ． 知识点03实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·单元测试）计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（23-24八年级上·上海徐汇·期中）为了积极响应我校的数学文化节活动，小温设计了一个简易的数值转化器，流程如下，如果小温输入的是时，则输出的结果是 ． 【典型例题一 实数概念理解】 【例1】（24-25八年级上·上海嘉定·课后作业）的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）下列数中-， ， -， 0， -， ，-，， 3.14无理数个数（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 【例3】（24-25八年级上·上海长宁·期末）在数0、π、﹣0.1010010001，，中，无理数有 个． 【例4】（2025八年级上·上海嘉定·专题练习）在，，，，0.3232，，0，中，有理数有 个，负无理数有 个. 1．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）把下列各数分别填入相应的大括号 ，0，，，，，，，， 正有理数集合：｛                …｝ 非正整数集合：｛                …｝ 负分数集合：｛                   …｝ 无理数集合：｛                     …｝ 2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）一组实数按如下规律排列：，___，_____． (1)两条横线上的实数分别____； (2)第11、12个实数分别是_____． 3．（24-25八年级上·上海普陀·期中）已知：a，b均为有理数，且满足．化简． 4．（23-24八年级上·上海闵行·期中）如图，一游戏规则如下：请同学们心里想一个非零的实数，然后各自把这个数按照下面的程序进行计算． (1)当输入的实数为时，求输出的值是多少． (2)小康说：“无论同学们心里想的是哪个实数，我都可以准确地说出计算结果．”你认为小康的说法正确吗？请判断并说明理由． 【典型例题二 实数的分类】 【例1】（2025·上海虹口·模拟预测）下列各数中，是负分数的是（     ） A． B． C． D．0 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）在实数，，，中，有理数是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·上海闵行·期末）在，，0，，2，，（两个2之间依次多一个1），中． (1)是有理数的有____________； (2)是无理数的有____________； (3)是整数的有____________； (4)是分数的有____________． 【例4】（2024八年级上·上海杨浦·专题练习）在，，，0.3，0，，21，，，（每两个1之间的0个数逐次增加中正数有个，非负整数有个，正分数有个，则 ． 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）把下列各数进行分类：0，，3.14，，，，，， 负实数： 正有理数： 无理数： 2．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）（1）聪聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上按对应序号分别填上一个适合的数．① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ； （2）“*”表示一种新运算，它的意义是，在（1）的条件下，求：． 3．（23-24八年级上·上海嘉定·期中）课堂上，何老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，，，．其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”． (1)甲、乙、丙三个人中，说错的是 ． (2)请将何老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内： 4．（23-24八年级上·上海普陀·期中）现有五个实数：，，，，4．其中四个数已经在数轴上分别用A，B，C，D表示． (1)点A表示数______；点B表示数______；点D表示数______． (2)①用圆规在数轴上精确地表示．（提示：注意观察正方形的面积） ②将上列五个数按从小到大的顺序用“”连接．__________________ (3)将上列各数分别填入相应的横线上： 无理数：________________________； 负数：________________________ 【典型例题三 实数与数轴】 【例1】（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是 （    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海青浦·模拟预测）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·上海崇明·期中）如图，数轴上点D表示的实数是 ． 【例4】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）实数a在数轴上对应点A的位置如图所示，若．则：    （1）b的值是 ． （2）的平方根是 ． 1．（24-25八年级上·上海虹口·期中）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值： (2)求的值． 2．（24-25八年级上·上海长宁·期中）把下列实数表示在数轴上，并将它们用“”连接起来． ，，， 3．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）如图，这是由8个同样大小的正方体组成的2阶魔方，总体积为． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图中阴影部分是一个正方形，求出正方形的边长，在数轴上作出点E使其表示正方形边长的值（保留作图痕迹）． 4．（24-25八年级上·上海长宁·期中）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_______；点B表示的数为_______． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______． (3)小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：，．） 【典型例题四 实数的性质】 【例1】（2025·上海奉贤·模拟预测）若实数的倒数是，则的值为（　　） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·上海奉贤·阶段练习）如果，那么代数式的值是（    ） A． B．2023 C． D．1 【例3】（24-25八年级上·上海普陀·期中）化简： 【例4】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）（1）若，则x的值为 ； （2）若，则x的值为 ； （3）若，则x的值为 ． 1．（2025·上海普陀·模拟预测）求下列各数的绝对值和相反数． (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25八年级上·上海虹口·期末）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可知：如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么．运用上述知识，解决下列问题： （1）若，其中a，b为有理数，求a，b的值； （2）若，其中a，b为有理数，求的值． 3．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）二次根式的双重非负性体现在以下两个方面：一是二次根式中的被开方数必须满足非负条件，二是二次根式的运算结果始终是非负的．已知实数m满足等式．请利用上述性质解答： (1)求m的取值范围； (2)小智求出的值为2026，他的答案正确吗？为什么？ 4．（23-24八年级上·上海长宁·期中）阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式. 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ； ； ． 从而化简代数式可分以下种情况： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论，. 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简． 【典型例题五 实数的混合运算】 【例1】（2025·上海金山·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·上海松江·期中）如图，用边长为4的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例3】（24-25八年级上·上海虹口·期末）计算： ． 【例4】（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知和计算的值 ．（结果精确到） 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）计算 2．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 3．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）计算∶ (1)； (2)； (3)； (4) 4．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）先阅读材料，再解答问题． __________，__________， ____________________． __________． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ； (2)计算的值． 【典型例题六 实数的大小比较】 【例1】（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列实数中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D．2 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例3】（2025·上海奉贤·模拟预测）实数0、、、中，最小的数是 ． 【例4】（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）的绝对值为 ，比较大小 ，的平方根是 ． 1．（2025八年级上·上海·专题练习）（1）比较与的大小； （2）比较与的大小 2．（2025·上海嘉定·模拟预测）已知实数，，． (1)当时，计算最大数与最小数的差； (2)当时，试判断这三个数的大小关系． 3．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即 例如：比较与6的大小． 解： ，即， (1)直接写出的整数部分 (2)请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小． 4．（2025八年级上·上海·专题练习）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． (1)比较的大小； (2)已知，比较的大小（均为大于的数）． 【典型例题七 新定义下的实数运算】 【例1】（24-25八年级上·上海青浦·期中）对于a，b规定一种新运算：，例如：．已知，若，则m的值是（   ） A． B．0 C． D．1 【例2】（24-25八年级上·上海虹口·期中）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数，例如，则的运算结果为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】（2025·上海长宁·模拟预测）规定一种新的定义： ，若，则 ． 【例4】（24-25八年级上·上海金山·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么． 例如：因为，所以．根据上述规定，填空： ． 1．（24-25八年级上·上海普陀·期中）在实数范围内定义运算：“※”：，例如：． (1)若，，计算的平方根； (2)若，求的值． 2．（24-25八年级上·上海虹口·期中）定义一种新运算：规定，如． (1)计算的值． (2)若表示不大于的最大整数，如：，求． 3．（24-25八年级上·上海普陀·期中）【阅读材料】对任意一个实数，定义：表示不超过的最大整数，表示的非负纯小数部分，即．则．例：，其中，；，其中，． 【解答问题】 (1)________； (2)若，求整数的值； (3)若，，求的值． 4．（24-25八年级上·上海闵行·期中）若将一个整数的个位数字截去，再用余下的数加上原个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除．如果和太大或心算不易看出是否是13的倍数，就需要继续上述“截尾、倍大、相加、检验”的过程，直到能清楚判断为止．如判断16354能否被13整除； ，，，． 故16354能被13整除． (1)115366_____（填能或不能）被13整除，12909_____（填能或不能）被13整除； (2)已知一个五位正整数能被13整除，求的值； 【典型例题八 实数运算的实际应用】 【例1】（24-25八年级上·上海虹口·期中）若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，正方形中，点E、F在上，点E是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为70，正方形的面积为40，则长方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 【例3】（23-24八年级上·上海宝山·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 【例4】（24-25八年级上·上海普陀·期中）我们常用的数是十进制，十进制数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9如十进制3245＝3×103+2×102+4×101+5×100在电子计算机中用的是二进制，只要2个数码：0和1．如二进制110＝1×22+1×21+0×20，相当于十进制数中的6；二进制110101＝1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20，相当于十进制数中的53．（注意：非零有理数的零次幂都为1即a0＝1（a≠0）） （1）二进制中的1011等于十进制中的数是 ； （2）十进制中的100等于二进制中的数是 ． 1．（24-25八年级上·上海普陀·期中）定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数． （1）①3与 是关于1的平衡数；②4﹣x与 是关于1的平衡数（用含x的代数式表示）． （2）若a＝2x2﹣3（x2+x）﹣4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·课后作业）用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？ 3．（24-25八年级上·上海嘉定·单元测试）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 4．（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 【典型例题九 与实数运算相关的规律题】 【例1】（24-25八年级上·上海虹口·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 【例2】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级上·上海嘉定·单元测试）一组有规律的数则第个数是 ． 【例4】（23-24八年级上·上海长宁·期末）将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 1．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）观察下列等式： ① ② ③ …… (1)写出第④个等式： (2)利用规律计算： ． 2．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②-①得， 请仿照小明的方法解决以下问题： (1) ； (2) ； (3)求的和（，n是正整数，请写出计算过程）． 3．（2024·上海杨浦·模拟预测）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 4．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）阅读下面材料： 将边长分别为的正方形面积分别记为． 则 例如：当时， 根据以上材料解答下列问题： (1)当时，_____； (2)当时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)当时，令，且，求的值． 1．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）给出下列实数：，，，，，，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级上·上海静安·期中）已知，其中为有理数，则的值为（    ） A．5 B．0 C．1 D． 3．（2024八年级上·上海·专题练习）实数在数轴上所对应的点的位置如图所示，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海长宁·期中）我们把称为有理数的差倒数，如：2的差倒数是，-2的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么的值是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 6．（2024八年级上·上海·专题练习）有下列各数：①，②；③；④0；⑤；⑥；⑦．（每两个3之间依次多一个1）． （1）属于整数的有 （填序号） （2）属于负分数的有 （填序号） （3）属于无理数的有 （填序号） 7．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为 ． 8．（24-25八年级上·上海虹口·期中）如图，将半径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周点A到达了点B的位置，则线段的中点表示的数是 ． 9．（24-25八年级上·上海闵行·期末）若一个三位正整数的百位数字比十位数字大3，则称这个数是“升数”．例如是“升数”；例如不是“升数”．则最小的“升数”是 ．若“升数”的百位数字、十位数字、个位数字依次为，并规定：，其中是整数，且也是整数，则满足以上条件的“升数”N的最大值是 ． 10．（2024八年级·上海嘉定·模拟预测）如果记，并且表示当时的值，即表示当时的值，即；那么 ． 11．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）计算题 (1) (2) 12．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）把下列各数填入相应的集合内； ，3.1041004… 有理数数集合：｛___________________________｝ 无理数数集合：｛___________________________｝ 13．（23-24八年级上·上海嘉定·课后作业）数轴上点A、B、C、D依次表示四个实数：，，，0． (1)在数轴上描出点A、B、C、D的大致位置； (2)求、D两点之间的距离． 14．（23-24八年级上·上海奉贤·阶段练习）在学习了有关平方根的知识后，我们知道了负数没有平方根．但如果我们假设存在一个数i，使，那么，因此就有两个平方根i和，进一步猜想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根是．（提示：） 请你根据以上信息解答下列问题： (1)，的平方根分别是______和______； (2)，，，，，，，…你发现了什么规律？请用你发现的规律求的值． 15．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 实数的概念与运算（3大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 实数概念理解 典型例题二 实数的分类 典型例题三 实数与数轴 典型例题四 实数的性质 典型例题五 实数的混合运算 典型例题六 实数的大小比较 典型例题七 新定义下的实数运算 典型例题八 实数运算的实际应用 典型例题九 与实数运算相关的规律题 知识点01 实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海静安·期末）有下列各数：﹣，，0.02002000200002…（相邻两个2之间0的个数依次多1），﹣8，3，，．其中，无理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：﹣是分数，属于有理数； 是无理数； 0.02002000200002…（相邻两个2之间0的个数依次多1）是无理数； ﹣8是整数，属于有理数； 3是无理数； ＝6，是整数，属于有理数； 是无理数； 无理数共4个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）写出一个有理数 ，写出一个无理数 ，其中是实数的有 ． 【答案】 2（答案不唯一）， π（答案不唯一）， 2，π（答案不唯一）． 【分析】实数分为有理数和无理数，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可． 【详解】解：一个有理数是2，一个无理数是π，其中是实数的有2、π（答案不唯一）． 故答案为：2（答案不唯一），π（答案不唯一），2、π（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了实数的定义，无理数的定义，有理数的定义，掌握以上定义是解题的关键． 知识点02 实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 【即时训练】 1．（2025·上海闵行·模拟预测）下列四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数的大小比较，正确掌握实数大小比较的法则是解题的关键．根据正数大于零，零大于负数，正数大于负数判断即可． 【详解】解：， 最小的数是， 故选：A． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·上海嘉定·单元测试）在实数中，最小的是 ． 【答案】 【分析】本题考查比较实数大小，熟记负数小于，小于正数，再由二次根式性质及负数比较大小的方法即可得到答案． 【详解】解：为正数， ， 为负数，均小于，且， ， 则在实数中，最小的是， 故答案为：． 知识点03实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·单元测试）计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的混合运算，先化简绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式； 故选C． 【即时训练】 2．（23-24八年级上·上海徐汇·期中）为了积极响应我校的数学文化节活动，小温设计了一个简易的数值转化器，流程如下，如果小温输入的是时，则输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，根据题意列式计算后判断其算术平方根是否是无理数即可． 【详解】解：输入的是时， 则，是有理数，返回继续运算； ，是有理数，返回继续运算； 是无理数，输出结果； 故答案为：． 【典型例题一 实数概念理解】 【例1】（24-25八年级上·上海嘉定·课后作业）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，实数的概念，根据绝对值的意义即可求解，解题的关键是正确理解表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 【详解】解：， 故选：． 【例2】（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）下列数中-， ， -， 0， -， ，-，， 3.14无理数个数（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 【答案】A 【分析】根据无理数的定义“无限不循环小数是无理数”进行解答即可． 【详解】是分数，属于有理数；开不尽方，是无理数；=-2，属于有理数； 0是整数，属于有理数；开不尽方，属于无理数；=2，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数；是循环小数，属于有理数； 3.14是小数，属于有理数； 综上：无理数一共有3个； 故选：A 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟练地掌握无理数的定义是解题的关键．常见的无理数有：无限不循环小数、有规律但不循环的数、开不尽方的数、含的数． 【例3】（24-25八年级上·上海长宁·期末）在数0、π、﹣0.1010010001，，中，无理数有 个． 【答案】1 【分析】根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：在所列实数中，无理数的是π， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查无理数，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数． 【例4】（2025八年级上·上海嘉定·专题练习）在，，，，0.3232，，0，中，有理数有 个，负无理数有 个. 【答案】 6 1 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】在，，，，0.3232，，0，中， 有理数为，，，0.3232，0，有6个， 无理数为，，负无理数为，有1个， 故填：6；1. 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 1．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）把下列各数分别填入相应的大括号 ，0，，，，，，，， 正有理数集合：｛                …｝ 非正整数集合：｛                …｝ 负分数集合：｛                   …｝ 无理数集合：｛                     …｝ 【答案】正有理数集合：{，，…}；非正整数集合：{，0，…}；负分数集合：{，…}；无理数集合：{0.1010010001…，…} 【分析】根据正有理数，非正整数，负分数，无理数的定义，进行解答即可． 【详解】正有理数集合：{，，，…} 非正整数集合：{，0，，…}； 负分数集合：{，，…}； 无理数集合：{0.1010010001…，，…}． 【点睛】此题考查正有理数，非正整数，负分数，无理数的定义，解题关键在于掌握其性质定义． 2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）一组实数按如下规律排列：，___，_____． (1)两条横线上的实数分别____； (2)第11、12个实数分别是_____． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，据此即可求解； （2）按照（1）中的方法即可求解． 【详解】（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和， ∴横线上的实数，的系数为5+8=13，8+13=21， 所以横线上的实数分别为， （2）由（1）可知第8个数为， ∴第9个数为， 第10个数为， 第11个数为， 第12个数为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了实数的规律问题，观察数字中的系数，找到规律是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海普陀·期中）已知：a，b均为有理数，且满足．化简． 【答案】当x＜-2时，；当-2≤x≤1时，；当x＞1时， 【分析】根据已知等式可得关于a和b的方程，求出a，b的值，再代入，根据x的范围分类讨论，去绝对值化简即可． 【详解】解：，a，b均为有理数， ∴， ∴，， ∴a=-4，b=1， ∴=， 当x＜-2时，==； 当-2≤x≤1时，==； 当x＞1时，==． 【点睛】本题考查了实数的运算，化简绝对值，解题的关键是根据实数的对应形式得到a和b的值． 4．（23-24八年级上·上海闵行·期中）如图，一游戏规则如下：请同学们心里想一个非零的实数，然后各自把这个数按照下面的程序进行计算． (1)当输入的实数为时，求输出的值是多少． (2)小康说：“无论同学们心里想的是哪个实数，我都可以准确地说出计算结果．”你认为小康的说法正确吗？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)小康的说法正确，见解析 【分析】（1）本题考查有理数的混合运算，根据流程图代入求解即可得到答案； （2）本题考查整式的四则混合运算，根据化简结果判断即可得到答案； 【详解】（1）解：由流程图可得， ； （2）解：小康的说法正确，理由如下： 输出 ， ∴小康的说法正确． 【典型例题二 实数的分类】 【例1】（2025·上海虹口·模拟预测）下列各数中，是负分数的是（     ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数、负分数的概念，解题的关键是要熟练掌握负分数的定义． 根据负分数的定义，在正分数前面加负号的数叫做负分数，即可判断． 【详解】解：A、是负分数，故本选项符合题意； B、是正分数，故本选项不符合题意； C、是无理数，故本选项不符合题意； D、0是整数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）在实数，，，中，有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：，是有理数，符合题意； ，，均开方开不尽，是无理数，不符合题意； 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·上海闵行·期末）在，，0，，2，，（两个2之间依次多一个1），中． (1)是有理数的有____________； (2)是无理数的有____________； (3)是整数的有____________； (4)是分数的有____________． 【答案】(1)，0，2，， (2)，，（两个2之间依次多一个1） (3)，0，2， (4) 【分析】本题考查了实数的分类，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数． 根据有理数，无理数，整数和分数的定义，即可解答． 【详解】（1）解：是有理数的有，0，2，，， 故答案为：，0，2，，． （2）解：是无理数的有，，（两个2之间依次多一个1）， 故答案为：，，（两个2之间依次多一个1）． （3）解：是整数的有，0，2，， 故答案为：，0，2，． （4）解：是分数的有， 故答案为：． 【例4】（2024八年级上·上海杨浦·专题练习）在，，，0.3，0，，21，，，（每两个1之间的0个数逐次增加中正数有个，非负整数有个，正分数有个，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、0和负整数，有理数是正有理数、0和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在，，，0.3，0，，21，，，（每两个1之间的个数逐次增加中， 正数有，，0.3，21，，（每两个1之间的0个数逐次增加，有6个，则，非负整数有0，21，有2个，则， 正分数有，，0.3，有3个，则， 则． 故答案为：1． 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）把下列各数进行分类：0，，3.14，，，，，， 负实数： 正有理数： 无理数： 【答案】，；3.14，，； 【分析】本题主要考查了实数的有关概念，解题关键是熟练掌握负实数，正有理数和无理数的定义．根据负实数，正有理数和无理数的定义，对各个数进行判断即可． 【详解】解：负实数：，； 正有理数：3.14，，； 无理数：； 故答案为：，；3.14，，；． 2．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）（1）聪聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上按对应序号分别填上一个适合的数．① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ； （2）“*”表示一种新运算，它的意义是，在（1）的条件下，求：． 【答案】（1）①；②；③1；④；⑤0；⑥；（2） 【分析】本题主要考查了实数的分类，实数的混合运算． （1）根据实数的分类填写即可； （2）将，0代入计算即可求解． 【详解】解：（1）填数如下： 即①；②；③1；④；⑤0；⑥； （2）∵，①，⑤0， ∴． 3．（23-24八年级上·上海嘉定·期中）课堂上，何老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，，，．其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”． (1)甲、乙、丙三个人中，说错的是 ． (2)请将何老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内： 【答案】(1)甲 (2)见解析 【分析】本题考查了无理数的识别及实数的分类，熟练掌握实数的分类是解决本题的关键． （1）根据有理数、无理数的定义，即可判定； （2）根据实数的分类，即可解答． 【详解】（1）解：是分数，是有理数，与是无理数， 故甲说错了， 故答案为：甲； （2）解：，， 填表如下： ． 4．（23-24八年级上·上海普陀·期中）现有五个实数：，，，，4．其中四个数已经在数轴上分别用A，B，C，D表示． (1)点A表示数______；点B表示数______；点D表示数______． (2)①用圆规在数轴上精确地表示．（提示：注意观察正方形的面积） ②将上列五个数按从小到大的顺序用“”连接．__________________ (3)将上列各数分别填入相应的横线上： 无理数：________________________； 负数：________________________ 【答案】(1)；； (2)①见解析；② (3)，；， 【分析】（1）根据数轴上点的特点，结合数轴得出答案即可； （2）①根据正方形的面积，得出正方形的边长，然后以0所表示的点为圆心，以的长为半径画弧，则此弧与数轴正方向的交点所表示的数为； ②利用数轴上点的特点进行解答即可； （3）根据实数的分类方法进行解答即可． 【详解】（1）解：点A表示数为；点B表示数为；点D表示数为． 故答案为：；；． （2）解：①如图， ∵正方形的面积为：， ∴正方形的边长； ②根据数轴可知，． 故答案为：． （3）解：无理数：，； 负数：，． 故答案为：，；，． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，利用数轴比较大小，实数的分类，解题的关键是熟练掌握实数与数轴． 【典型例题三 实数与数轴】 【例1】（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的大小估算，由图可知，被手掌遮挡住的数在和之间，估算出无理数所在的范围，即可判断出被手掌遮挡住的数可能是哪一个． 【详解】解：A选项：，在和之间，故A选项不符合题意； B选项：，在和之间，故B选项符合题意； C选项：，在和之间，故C选项不符合题意； D选项：，在和之间，故D选项不符合题意． 故选：B． 【例2】（2025·上海青浦·模拟预测）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数． 【详解】解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ． 圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ， 故选D． 【例3】（24-25八年级上·上海崇明·期中）如图，数轴上点D表示的实数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查在数轴上表示无理数，正确理解实数与数轴上的点一一对应的关系是解题关键． 直接根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ∴数轴上点D表示的实数是． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）实数a在数轴上对应点A的位置如图所示，若．则：    （1）b的值是 ． （2）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴、平方根及实数的性质，熟知数轴上的点所表示数的特征及平方根的定义是解题的关键． （1）根据数轴上点A的位置，得出数a的取值范围，再结合绝对值的性质即可解决问题． （2）根据（1）中求出的b的值，结合平方根的定义即可解决问题． 【详解】解：（1）由所给数轴可知，， 所以，， 则． （2）由（1）知， ， 所以的平方根是． 故答案为：（1）；（2）． 1．（24-25八年级上·上海虹口·期中）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值： (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数与数轴、零指数幂、实数的混合运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意可知，点A表示的数加上2可得到点B所表示的数，据此即可求解； （2）由（1）得，再代入式子求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由（1）得，， ． 2．（24-25八年级上·上海长宁·期中）把下列实数表示在数轴上，并将它们用“”连接起来． ，，， 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了用数轴上的点表示实数以及利用数轴比较实数的大小，解题的关键是将各数在数轴上表示出来． 画出数轴，然后根据数轴的特点表示出所有的数，再根据数轴上的数右边的总比左边的大进行排列． 【详解】解：， 各数表示在数轴上如下： ． 3．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）如图，这是由8个同样大小的正方体组成的2阶魔方，总体积为． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图中阴影部分是一个正方形，求出正方形的边长，在数轴上作出点E使其表示正方形边长的值（保留作图痕迹）． 【答案】(1)这个魔方的棱长为； (2)正方形的边长为，图见解析 【分析】本题考查了立方根的应用、实数与数轴之间的关系和勾股定理： （1）魔方是个正方体，正方体的体积等于棱长的三次方； （2）这个正方形的边长是小立方体一个面的对角线的长度；以1为直角边长作等腰直角三角形，以为圆心，斜边长为半径作弧交数轴于点或，点或即为所作． 【详解】（1）解：∵魔方体积为， ∴； 答：这个魔方的棱长为； （2）解：∵这个魔方的棱长为， ∴小正方体的棱长为， 根据勾股定理得， ∴正方形的边长为， 如图，点即为所作， 4．（24-25八年级上·上海长宁·期中）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_______；点B表示的数为_______． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______． (3)小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：，．） 【答案】(1)， (2)2， (3)他不能裁出来，理由见详解 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据面积分别为10和5的正方形纸片，得边长为，再运用数形结合思想，即可作答． （2）模仿题干过程，则，即的整数部分为2，小数部分为，即可作答． （3）先列式，则，则长方形纸片的长为，根据，，故，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． 则面积分别为10和5的正方形纸片的边长为． ∴ ∴点A表示的数为；点B表示的数为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得点B表示的数为， 依题意，， ， 的整数部分为2，小数部分为． ∴点B所表示的数的整数部分为2，小数部分为； 故答案为：2，； （3）解：他不能裁出来，理由如下： 依题意，设长方形纸片的长为， ∵一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为， ∴宽为，， 则， ∴（负值已舍去） 则长方形纸片的长为， ∵， ∴， 依题意，面积为10的正方形纸片的边长为，且 ∵ 即， ∴他不能裁出来． 【典型例题四 实数的性质】 【例1】（2025·上海奉贤·模拟预测）若实数的倒数是，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数．根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【例2】（23-24八年级上·上海奉贤·阶段练习）如果，那么代数式的值是（    ） A． B．2023 C． D．1 【答案】C 【分析】根据得到，求得，代入计算即可． 【详解】∵, ∴, ∴, ∴, 故选C． 【点睛】本题考查了实数的非负性，幂的运算，熟练掌握实数的非负性是解题的关键． 【例3】（24-25八年级上·上海普陀·期中）化简： 【答案】/ 【分析】本题主要查了绝对值的性质．根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：． 故答案为： 【例4】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）（1）若，则x的值为 ； （2）若，则x的值为 ； （3）若，则x的值为 ． 【答案】 5或－3； ； ． 【分析】（1）根据平方根的定义进行求解； （2）先系数化为1，再根据立方根的定义求解； （3）根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，即或， ∴或； （2）∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴． 故答案为：5或－3；；． 【点睛】本题考查了利用平方根、立方根、绝对值的定义解方程，熟练掌握平方根、立方根及绝对值的定义是解题的关键． 1．（2025·上海普陀·模拟预测）求下列各数的绝对值和相反数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的绝对值是，相反数是 (2)的绝对值是，相反数是 (3)的绝对值是，相反数是 (4)的绝对值是，相反数是 【分析】本题考查了相反数和绝对值，只有符号不同的两个数是互为相反数；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． （1）（2）（3）（4）根据相反数和绝对值的定义求解即可． 【详解】（1）解：的绝对值是，相反数是 （2）解：的绝对值是，相反数是 （3）解：的绝对值是，相反数是 （4）解：的绝对值是，相反数是 2．（24-25八年级上·上海虹口·期末）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可知：如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么．运用上述知识，解决下列问题： （1）若，其中a，b为有理数，求a，b的值； （2）若，其中a，b为有理数，求的值． 【答案】（1）a=2，b=3；（2） 【分析】（1）a，b是有理数，则a-2，b+3都是有理数，根据如果ax+b=0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．即可确定； （2）首先把已知的式子化成ax+b=0，（其中a、b为有理数，x为无理数）的形式，根据a=0，b=0即可求解． 【详解】解：（1）由，得a-2=0，b-3=0， 解得：a=2，b=3； （2）整理，得， ∵a、b为有理数， ∴， 解得：， ∴==． 【点睛】本题考查了实数的运算，正确理解题意是关键． 3．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）二次根式的双重非负性体现在以下两个方面：一是二次根式中的被开方数必须满足非负条件，二是二次根式的运算结果始终是非负的．已知实数m满足等式．请利用上述性质解答： (1)求m的取值范围； (2)小智求出的值为2026，他的答案正确吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小智的答案正确，理由见解析 【分析】本题主要考查二次根式的双重非负性，绝对值的化简，熟练掌握二次根式的双重非负性是解题的关键． （1）根据二次根式的双重非负性得到即可得到答案； （2）根据题意得到，解得，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， 故m的取值范围为：； （2）解：小智的答案正确， 理由如下：， ， ， 原式可变形为：， ， ， ， 的值为2026， 小智的答案正确． 4．（23-24八年级上·上海长宁·期中）阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式. 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ； ； ． 从而化简代数式可分以下种情况： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论，. 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简． 【答案】(1)和的零点值分别为、； (2)． 【分析】（）令和，求出的值即可求解； （）根据零点值分、和三种情况解答即可求解； 本题考查了绝对值的性质，解绝对值方程，理解零点值的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：令和， 解得，， 和的零点值分别为、； （2）解：在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：、和， 当时，； 当时，；     当时，； 综上，． 【典型例题五 实数的混合运算】 【例1】（2025·上海金山·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值，由数轴得，，据此逐项判断即可．熟练掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：由数轴得，， A、，，故A选项错误； B、，，，， ，故B选项错误； C、，，，故C选项错误； D、，，，故D选项正确． 故选：D． 【例2】（23-24八年级上·上海松江·期中）如图，用边长为4的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得． 【详解】解：大正方形的边长为， ， ，即， 又， ， ， ， ， 与最接近的整数是6， 即大正方形的边长最接近的整数是6， 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·上海虹口·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数的运算，根据乘方和绝对值运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 【例4】（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知和计算的值 ．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了近似数、实数的运算，取、近似值，然后计算． 【详解】解： 故答案为：． 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）计算 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，掌握运算法则是解题的关键． 先化简绝对值，求算术平方根，再进行加减计算． 【详解】解：原式 2．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数混合运算和整式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据零指数幂运算法则，积的乘方运算法则逆用，进行计算即可； （2）根据同底数幂乘法和除法，积的乘方运算法则，进行计算即可； （3）根据单项式乘多项式运算法则，多项式除以单项式法则，合并同类项法则，进行计算即可； （4）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）计算∶ (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是根据二次根式的去处法则进行计算即可． 首先把二次根式化为最简二次根式，可得：原式，再根据合并同类二次根式的法则进行计算即可； 根据二次根式的乘法法则，可得：原式，再合并同类二次根式即可； 根据二次根式的乘法法则，可得：原式，再根据运算法则进行计算即可； 根据平方差公式，展开可得：原式，再根据运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）先阅读材料，再解答问题． __________，__________， ____________________． __________． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ； (2)计算的值． 【答案】(1)；；； ；互为相反数 (2) 【分析】本题考查立方根的性质，熟练掌握立方根的性质，是解题的关键： （1）根据给出的等式，结合立方根的定义，进行求解即可； （2）先求出立方根再进行加法计算即可． 【详解】（1）解： ，， ． ． 故互为相反数的两个数的立方根的关系为互为相反数； 故答案为：；；； ；互为相反数． （2） ． 【典型例题六 实数的大小比较】 【例1】（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列实数中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查比较实数的大小，首先确定各数的正负性，再按负数小于0小于正数的顺序比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数为； 故选：A 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，正方形的面积为， ∴边长为， ∵， ∴， ∴正方形边长最接近的整数是6， 故选：C． 【例3】（2025·上海奉贤·模拟预测）实数0、、、中，最小的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的大小比较；先比较两个负数的大小，再根据正数大于0大于负数即可得出结论． 【详解】解：∵，， ， ∴， ∴0， ∴最小的数是， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）的绝对值为 ，比较大小 ，的平方根是 ． 【答案】 【分析】估算出，的大小即可得出前两空答案，是，据此即可得出第三空答案． 【详解】解：， ， ， ； ， ， ， 即：， ； ， 的平方根是； 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，不等式的性质，无理数的大小估算，求一个数的绝对值，实数的大小比较，求一个数的平方根等知识点，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 1．（2025八年级上·上海·专题练习）（1）比较与的大小； （2）比较与的大小 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的大小比较． （1）先确定的范围，再确定的范围，即可比较； （2）先确定和的范围，即可比较． 【详解】解：（1）因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为，， 所以． 2．（2025·上海嘉定·模拟预测）已知实数，，． (1)当时，计算最大数与最小数的差； (2)当时，试判断这三个数的大小关系． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查实数比较大小，实数的减法，掌握实数比较大小的方法是解题的关键． （1）当时，最大数是3，最小数是，根据有理数的减法法则即可求解； （2）当时，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”进行判断即可． 【详解】（1）解：当时， ∵， ∴最大数是3，最小数是，它们的差是：； （2）解：当时，，，， ∵， ∴． 3．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即 例如：比较与6的大小． 解： ，即， (1)直接写出的整数部分 (2)请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了无理数的大小估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． （1）根据无理数的估算得出，即可求解； （2）作差可得，根据无理数的估算得出，则有，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为5． （2）解：， ， ， ， ． 4．（2025八年级上·上海·专题练习）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． (1)比较的大小； (2)已知，比较的大小（均为大于的数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，幂的乘方的逆用，有理数的大小比较，掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键． （）根据材料二的方法求解即可； （）先根据材料一的方法可得，，然后判断即可解答； 【详解】（1）解：∵，，，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． 【典型例题七 新定义下的实数运算】 【例1】（24-25八年级上·上海青浦·期中）对于a，b规定一种新运算：，例如：．已知，若，则m的值是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算，二元一次方程组的解法，解题的关键是理解题中所给新定义运算；由题中所给新定义运算可得，求出，然后再根据，将代入进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·上海虹口·期中）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数，例如，则的运算结果为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考算术平方根，实数的新定义运算，能够熟练运用新运算法则是解题关键． 根据定义计算即可． 【详解】解：∵ ∴，． 故选：D． 【例3】（2025·上海长宁·模拟预测）规定一种新的定义： ，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了新定义运算. 根据定义先求出，再计算即可. 【详解】∵， ∴ 即 故答案为：4. 【例4】（24-25八年级上·上海金山·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么． 例如：因为，所以．根据上述规定，填空： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了新定义，零指数幂，负整数指数幂，根据可得，据此计算求解即可． 【详解】解；∵， ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·上海普陀·期中）在实数范围内定义运算：“※”：，例如：． (1)若，，计算的平方根； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本考查主要考查了新定义运算、平方根的性质等知识点，理解新定义运算是解题的关键． （1）直接根据新定义运算法则计算，然后根据平方根的定义即可； （2）根据题意得到，然后整理后利用平方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴   ∴的平方根是； （2）解：∵，， ∴   ∴   ∴   ∴或 2．（24-25八年级上·上海虹口·期中）定义一种新运算：规定，如． (1)计算的值． (2)若表示不大于的最大整数，如：，求． 【答案】(1)3 (2)28 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握新定义运算法则是解题关键． 根据新定义运算法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）． 3．（24-25八年级上·上海普陀·期中）【阅读材料】对任意一个实数，定义：表示不超过的最大整数，表示的非负纯小数部分，即．则．例：，其中，；，其中，． 【解答问题】 (1)________； (2)若，求整数的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1)6 (2)10，11 (3)12 【分析】本题考查了实数的新定义运算，无理数的估算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据实数的新定义直接解答即可； （2）由数的新定义可得，求出不等式的解集进而即可求解； （3）根据实数的新定义分别求出和的值，进而代入计算即可求解； 【详解】（1）解：∵， ， ， 故答案为：6； （2）解：∵， ， 解得：， ∴整数的值为 10，11 ； （3）解：， ， ， 原式 ． 4．（24-25八年级上·上海闵行·期中）若将一个整数的个位数字截去，再用余下的数加上原个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除．如果和太大或心算不易看出是否是13的倍数，就需要继续上述“截尾、倍大、相加、检验”的过程，直到能清楚判断为止．如判断16354能否被13整除； ，，，． 故16354能被13整除． (1)115366_____（填能或不能）被13整除，12909_____（填能或不能）被13整除； (2)已知一个五位正整数能被13整除，求的值； 【答案】(1)不能；能 (2) 【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）先求出，再证明能被13整除，那么能被13整除，即能被13整除，据此求出的范围进而确定的值，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：，，．， ∵49不能被13整除， ∴115366不能被13整除； ，，，， ∴12909能被13整除； （2）解：， ，，， ∴1326能被13整除， ∵一个五位正整数能被13整除， ∴能被13整除， ∴能被13整除，即能被13整除， ∵， ∴， ∴或或， 解得或或， 又∵m为整数， ∴． 【典型例题八 实数运算的实际应用】 【例1】（24-25八年级上·上海虹口·期中）若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的运算，根据实数的相关运算法则即可求得答案，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据选项代入判断即可． 【详解】A．与4，无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意； B．，均为有理数，故本选项不符合题意； C．，为有理数，故本选项不符合题意； D．，均为有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，正方形中，点E、F在上，点E是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为70，正方形的面积为40，则长方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 【答案】B 【分析】本题主要考查实数混合运算的应用，解答的关键是求得长方形的长与宽，理解图示，掌握乘法公式，实数的混合运算是解题的关键． 由正方形的面积可求得，的长度，可求得，再由点是的中点，则有，表示出长方形的长与宽，再利用长方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：正方形的面积为，正方形的面积为， ，，解得：，， ， 点是的中点， ， ， ， ． 故选：． 【例3】（23-24八年级上·上海宝山·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 【例4】（24-25八年级上·上海普陀·期中）我们常用的数是十进制，十进制数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9如十进制3245＝3×103+2×102+4×101+5×100在电子计算机中用的是二进制，只要2个数码：0和1．如二进制110＝1×22+1×21+0×20，相当于十进制数中的6；二进制110101＝1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20，相当于十进制数中的53．（注意：非零有理数的零次幂都为1即a0＝1（a≠0）） （1）二进制中的1011等于十进制中的数是 ； （2）十进制中的100等于二进制中的数是 ． 【答案】 11 1100100 【分析】（1）根据题中所给例子直接可求 （2）用100除以2，得到结果再除以2，一直运算到最后，取每次的余数即可． 【详解】解：（1）1011＝1×23+0×22+1×21+1×20＝11， 故答案为11； （2） ∴十进制中的100等于二进制中的数是1100100， 故答案为1100100． 【点睛】本题为材料理解题，理解十进制和二进制的相互转化的法则是解题的关键． 1．（24-25八年级上·上海普陀·期中）定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数． （1）①3与 是关于1的平衡数；②4﹣x与 是关于1的平衡数（用含x的代数式表示）． （2）若a＝2x2﹣3（x2+x）﹣4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1）①-1，②x﹣2；（2）不是，见解析 【分析】（1）①根据平衡数的定义，可得3与﹣1是关于1的平衡数，②4﹣x与x﹣2是关于1的平衡数； （2）将两式相减得出a+b≠2，根据平衡数的定义，即可进行判断． 【详解】解：（1）①∵2-3=（﹣1）， ∴3与﹣1是关于1的平衡数； ②∵ ∴4﹣x与x﹣2是关于1的平衡数． 故答案为：﹣1；x﹣2； （2）a＝2x2﹣3（x2+x）﹣4＝﹣x2﹣3x﹣4， b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]＝x2+3x+2， a+b＝（﹣x2﹣3x﹣4）+（x2+3x+2）＝﹣2≠2． 因此，a与b不是关于1的平衡数． 【点睛】本题为材料理解题，理解平衡数的意义是解题的关键． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·课后作业）用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？ 【答案】甲 【分析】根据，得到，分别求出甲乙的电压，故可求解． 【详解】∵ ∴ ∴，，该用电器是甲． 【点睛】此题主要考查了实数的运算在实际问题中的应用，锻炼了学生估计无理数大小的能力，本题还用到物理中的电功率的知识． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·单元测试）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】的值为7或 【分析】本题主要考查实数运算，二次根式的运算，根据提供的方法，先变形为，从而得出，求出，最后代入求值即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以， 解得， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为7或． 4．（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 【答案】（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2）拼成的正方形边长为. 【分析】（1）根据AB=2AD，可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据面积相等得到方程，即可求解． 【详解】（1）如图， ∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据题意得， ∴（负值舍去） 答：拼成的正方形边长为． 【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割． 【典型例题九 与实数运算相关的规律题】 【例1】（24-25八年级上·上海虹口·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，据此规律求解即可； 【详解】解：，，，，，，，，， ……， 以此类推可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， ∵， ∴第11个数应是， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数、规律题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．探究规律．利用规律即可解决问题． 【详解】解：∵… ∴用含的等式表示为， ∴第2021个等式为． 故选：C． 【例3】（23-24八年级上·上海嘉定·单元测试）一组有规律的数则第个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，观察前几个数可知，被开方数的数值为序号的平方，其中第奇数个的符号为负，第偶数个的符号为正，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， ……， 以此类推，可知被开方数的数值为序号的平方，其中第奇数个的符号为负，第偶数个的符号为正， ∴第个数是， 故答案为： ． 【例4】（23-24八年级上·上海长宁·期末）将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：实数运算．根据题意可以得到每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得出最大的有理数所在的位置，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，每五个数为一行，且被开方数是3的倍数， 的被开方数是的被开方数3的30倍， ， 所以位于第六行第五个数，记为． 故最大的有理数位于第6行第2个数，记为． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）观察下列等式： ① ② ③ …… (1)写出第④个等式： (2)利用规律计算： ． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查数字规律，求算术平方根，解题的关键是根据规律发现被开方数是几个连续的奇数和，结果为奇数的个数； （1）根据题目规律求解即可； （2）根据题目规律求解即可． 【详解】（1）解：① ② ③ ④， 故答案为：； （2）解：∵到有个奇数， ∴． 2．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②-①得， 请仿照小明的方法解决以下问题： (1) ； (2) ； (3)求的和（，n是正整数，请写出计算过程）． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；见解析 【分析】此题考查代数式的规律计算，能正确理解已知的代数式的运算规律是难点，依据规律对于每个式子变形计算是关键． （1）设式子等于S，将方程两边都乘以2后进行计算即可； （2）设式子等于S，将方程两边都乘以3，再将两个方程相减化简后得到答案； （3）设式子等于S，将方程两边都乘以a后进行计算即可. 【详解】（1）解：令，  则， 得，， 解得：． （2）解：令，则， 得，， 解得：． （3）解：当时，； 当时，令，则， 得，， ∴． 综上所述：当时，； 当时，． 3．（2024·上海杨浦·模拟预测）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 【答案】(1)2， (2) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，数字类的规律探索． （1）根据图形即可得到，观察图形可知第n幅图中★的个数为； （2）由（1）得，再找到规律，据此把所求式子裂项求解即可． 【详解】（1）解：第1幅图中★的个数为， 第2幅图中★的个数为， 第3幅图中★的个数为， ， 以此类推，第n幅图中★的个数为； （2）解：由（1）知，第n幅图中★的个数为， ， ， ， ， 以此类推，可知， ∴ ． 4．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）阅读下面材料： 将边长分别为的正方形面积分别记为． 则 例如：当时， 根据以上材料解答下列问题： (1)当时，_____； (2)当时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)当时，令，且，求的值． 【答案】(1) (2)猜想结论：，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，与二次根式计算有关的规律探索，正确推出是解题的关键． （1）仿照题意利用平方差公式计算出的结果，再代值计算即可； （2）根据（1）所求结合题意得出猜想，再利用平方差公式展开证明即可； （3），据此代值计算即可． 【详解】（1）解：解： ， 当，时，原式； （2）解：猜想结论：，证明如下： ； （3）解： ． 1．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）给出下列实数：，，，，，，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】此题主要考查了无理数的定义，求一个数的立方根，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．本题根据无理数的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴无理数有：，，共2个． 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海静安·期中）已知，其中为有理数，则的值为（    ） A．5 B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】考查了实数的性质，根据题意确定出与的值，代入计算即可求出的值． 【详解】解：∵，且、为有理数， 得到； ； 故选：A． 3．（2024八年级上·上海·专题练习）实数在数轴上所对应的点的位置如图所示，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，先根据数轴图得出的取值范围，再取，即可得出，进而得出，再据此一一判断四个选项即可； 【详解】解：由数轴可知，，不妨取，则 ， ， ， ∴正确的是B选项， 故选：B． 4．（24-25八年级上·上海长宁·期中）我们把称为有理数的差倒数，如：2的差倒数是，-2的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据差倒数的定义，计算前几项发现数列呈现周期性循环，周期为3。进一步分析符号交替规律，确定每三个项的和交替为和，总项数为2025，可整除周期3，得到总和的表达式． 本题考查了新定义，有理数的混合计算，循环节，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：1. 计算数列前几项： ，，， 由此可知，循环节为3：． 2. 分析符号交替规律： 表达式为，符号按交替。每三个项为一组，符号模式依次为和，对应的和分别为： 第一组：， 第二组：， 每两组（6项）的和为，但总项数2025为奇数个周期（675组），最后一组为奇数组，和为． 3. 计算总和： 总组数组，奇数组（338组）和为，偶数组（337组）和为，总和为： 故选：D． 5．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2， ∴两个正方形的边长分别是，2， ∴阴影部分的面积 故选A． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长. 6．（2024八年级上·上海·专题练习）有下列各数：①，②；③；④0；⑤；⑥；⑦．（每两个3之间依次多一个1）． （1）属于整数的有 （填序号） （2）属于负分数的有 （填序号） （3）属于无理数的有 （填序号） 【答案】 ④⑥ ②⑤ ③⑦ 【分析】本题考查实数的分类，正理解整数、负分数、无理数是解题的关键．根据实数的分类及定义即可求得答案． 【详解】解：，， （1）属于整数的有④⑥， 故答案为：④⑥； （2）属于负分数的有②⑤， 故答案为：②⑤； （3）属于无理数的有③⑦， 故答案为：③⑦． 7．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为 ． 【答案】 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图列式计算，求解即可． 【详解】解：当输入的x值为时：为有理数， 输入3，为无理数，输出； 故答案为：． 8．（24-25八年级上·上海虹口·期中）如图，将半径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周点A到达了点B的位置，则线段的中点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、数轴上点表示的数等知识，确定点的位置表示的实数是解题关键．首先确定点的位置表示的实数，然后计算线段的中点表示的数即可． 【详解】解：圆滚动一周，点到达了点的位置，则即为圆周长， ∴点的位置表示的实数为， ∴中点表示的实数为． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·上海闵行·期末）若一个三位正整数的百位数字比十位数字大3，则称这个数是“升数”．例如是“升数”；例如不是“升数”．则最小的“升数”是 ．若“升数”的百位数字、十位数字、个位数字依次为，并规定：，其中是整数，且也是整数，则满足以上条件的“升数”N的最大值是 ． 【答案】 300 854 【分析】本题主要考查了新定义，要使“升数”最小，首先要保证百位数字最小，则十位数字要最小，据此确定十位的数字，从而确定百位的数字，再保证个位数字为0即可得到最小的“升数”；先求出，，再根据题意得到和都是整数，据此可得或或，或或，求出c的值，进而确定a的值即可得到答案． 【详解】解：要使“升数”最小，首先要保证百位数字最小，则十位数字要最小， ∵十位数字最小为0， ∴百位数字最小为3， ∴当百位数字为3，十位数字为0，且个位数字为0时，此时有最小的“升数”，即最小的“升数”为300； 由题意可知：， ∵， ∴，， ∵是整数，且是整数， ∴或或，或或， ∴或或， ∴当时， ； 当时，或； 当时，； ∴当，时，N最大，最大为854， 故答案为：300；854． 10．（2024八年级·上海嘉定·模拟预测）如果记，并且表示当时的值，即表示当时的值，即；那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式型新定义规律计算，根据定义计算函数值，根据式子的特点确定计算方法，计算即可． 【详解】∵， ∴，，， 故， ，， 故， 由此可得，， ∴ ， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）计算题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是实数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先计算绝对值，算术平方根，立方根，乘方运算，再合并即可； （2）先计算算术平方根，绝对值，立方根，乘方运算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 12．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）把下列各数填入相应的集合内； ，3.1041004… 有理数数集合：｛___________________________｝ 无理数数集合：｛___________________________｝ 【答案】有理数数集合：｛、、0、、…｝无理数数集合：｛、，3.1041004…｝ 【分析】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的各个分类依据是解题的关键．无理数是无限不循环小数，常见的无理数有：开不尽方的数、含的数，有规律但不循环的数．根据有理数、无理数的定义进行解答即可． 【详解】解： 有理数数集合：｛、、0、、…｝ 无理数数集合：｛、，3.1041004…｝． 13．（23-24八年级上·上海嘉定·课后作业）数轴上点A、B、C、D依次表示四个实数：，，，0． (1)在数轴上描出点A、B、C、D的大致位置； (2)求、D两点之间的距离． 【答案】(1)数轴上表示见解析 (2) 【分析】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是根据各数的近似值描出其在数轴上的大致位置． （1）根据，在数轴上描出点A、B、C、D的大致位置即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式求出结果即可． 【详解】（1）解：数轴上描出点A、B、C、D的大致位置如答图： （2）解：A、D两点之间的距离为． 14．（23-24八年级上·上海奉贤·阶段练习）在学习了有关平方根的知识后，我们知道了负数没有平方根．但如果我们假设存在一个数i，使，那么，因此就有两个平方根i和，进一步猜想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根是．（提示：） 请你根据以上信息解答下列问题： (1)，的平方根分别是______和______； (2)，，，，，，，…你发现了什么规律？请用你发现的规律求的值． 【答案】(1)； (2)1 【分析】本题主要考查了新定义，求一个数的平方根，实数有关的规律探索： （1）根据新定义结合平方根的定义求解即可； （2）观察可知，这一列数每四个数为一个循环，依次出现，据此规律求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，的平方根分别是和， 故答案为：；； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ……， 观察可知，这一列数每四个数为一个循环，依次出现， ∵， ∴的值为1． 15．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 学科网（北京）股份有限公司 $$