第06讲 二次根式运算与分母有理化应用（3知识点+6大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

第06讲 二次根式运算与分母有理化应用 （3知识点+6大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：二次根式的加法和减法 1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2.步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． 3.合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点02：二次根式的乘法和除法 二次根式相乘：； 二次根式相除： 知识点03：分母有理化 1.分母有理化：把分母中的根号化去的过程称为分母有理化. 分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘同一个适当的代数式，使分母不含根号. 2.有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式。 【题型1 二次根式的加减运算】 【例1】（24-25八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先化简各式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1-1】（24-25八年级上·上海长宁·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 把二次根式化简成最简二次根式后，再合并即可． 【详解】解： ． 【变式1-2】（2024八年级上·上海·专题练习）计算：． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 利用二次根式的性质先把各个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式1-4】（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的加减混合运算，二次根式的性质，二次根式的加减运算．先化为最简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则，进行运算即可求解． 【详解】解： ． 【题型2二次根式乘除运算】 【例2-1】（24-25八年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此可求出，再根据二次根式乘法计算法则求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【例2-2】化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的除法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式乘的除法及二次根式的化简． （1）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案； （3）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【例2-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的除法、二次根式的乘法 【分析】（1）根据二次乘法法则计算即可； （2）根据二次除法法则计算即可； （3）根据二次乘法法则计算即可； （4）根据二次除法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题主要考查二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键． 【变式2-1】（24-25八年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法，然后将二次根式化为最简二次根式，最后进行加减运算．掌握相应的运算法则、运算顺序及性质是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式2-2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式乘除混合运算法则．根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式2-3】计算： 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案． 【详解】解： 原式 【变式2-4】（24-25八年级上·上海崇明·期中）计算：． 【答案】． 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，根据二次根式的乘除法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式2-5】（24-25八年级上·上海宝山·期中）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．直接根据二次根式的乘除计算法则进行计算求解即可． 【详解】解： ． 【变式2-6】（24-25八年级上·上海黄浦·期中）计算：   【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的乘除混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式乘除混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式被开方式非负、二次根式乘法运算法则及二次根式除法运算法则等，熟练掌握二次根式性质及乘除运算法则是解决问题的关键．先根据二次根式性质化简，再结合二次根式乘除运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ； 另一种解法： 原式 ． 【题型3 分母有理化】 【例3】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式3-1】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，二次根式的性质，先根据二次根式的性质化简，结合分母有理化性质化简，再运用加减，即可作答． 【详解】解： ． 【变式3-2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的性质，分母有理化进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式3-3】（24-25八年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】4 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，二次根式的性质，先根据分母有理化，二次根式的乘法、二次根式的性质化简，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 【变式3-4】（24-25八年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的混合运算，将原式正确化简是解本题的关键． 根据二次根式的性质将原式进行化简，然后根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【题型4 二次根式化简求值】 【例4】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的混合运算化简，再代入字母的值进行计算即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 【变式4-1】（24-25八年级上·上海·期中）已知，， 求的值． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式， 首先根据完全平方公式和平方差公式化简，然后利用二次根式的混合运算法则求解，最后代数求解即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 【变式4-2】（24-25八年级上·上海·期中）已知实数、使等式成立，请化简代数式，并求代数式的值． 【答案】； 【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算、绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的混合运算，根据二次根式被开方数的非负性可得、的值，将所求式子化简后代入、的值进行计算即可. 【详解】解：∵ ∴且， ∴， ∴， 当时， 原式 【变式4-3】（22-23八年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值，已知，求代数式的值； 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算、分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，完全平方公式，先计算出，再利用完全平方公式得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解： ， ， ． 【变式4-4】（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知：，，求代数式的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，利用平方差公式分别计算出、的值，代入中计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， 【变式4-5】（24-25八年级上·上海·期中）当时，化简代数式，并求代数式的值． 【答案】， 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简代数式是解题关键． 首先判断出，然后对二次根式进行化简，代入数值计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式． 【变式4-6】（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 【答案】 【知识点】已知条件式，化简求值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先分母有理化得到，，再求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 【变式4-7】（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：，，且，求的值． 【答案】 【知识点】已知条件式，化简求值、分母有理化、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方式的变形运用，二次根式的化简求值，利用完全平方公式可得，再对二次根式进行化简，最后把式子的值代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 【题型5 比较二次根式的大小】 【例5】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）解不等式：． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、比较二次根式的大小、分母有理化 【分析】本题考查解一元一次不等式，二次根式的分母有理化，解题的关键是熟练掌握解不等式，二次根式分母有理化． 先移项，然后系数化为1，然后分母有理化，即可． 【详解】解：， 移项得：， ∵， ∴， ∴， 即． 综上，． 【变式5-1】（24-25八年级上·上海·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】分母有理化、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查二次根式的应用，解不等式，根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解： ∴ ∴ ∵ ∴ 【变式5-2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）不等式的解集是 ． 【答案】/ 【知识点】分母有理化、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤：移项，合并同类项，将系数化为．据此解答即可．也考查了分母有理化． 【详解】解：移项，得：， 合并同类项，得：， 将系数化为，得：，即， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 【变式5-3】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）不等式的解集是 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、分母有理化 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，移项，合并同类项，一次项系数化为，即可求解；掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得； 故答案为：． 【变式5-4】（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）比较与的大小． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小、运用平方差公式进行运算 【分析】观察得代数式的被开方数的差相等，先将代数式转变为分式的形式，比较分式的大小即可求解． 【详解】解：∵， ， 且， ∴． 【点睛】本题考查了代数式的大小比较，解题的关键是借助被开方数的差相等，将代数式转化为分式的形式进行比较． 【变式5-5】阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 【答案】(1)，(2) 【知识点】比较二次根式的大小、分母有理化 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小： （1）仿照题意求解即可； （2）根据分母有理化的方法得到，，根据，得到，． 【详解】（1）解： ； ， 故答案为：，； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型6 二次根式的应用】 【例6】（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）解方程：． 【答案】 【知识点】二次根式的应用、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】按照移项、合并同类项、把系数化为1进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴ ， ∴方程的解为． 【点睛】本题考查了解方程，涉及二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【变式6-1】）解方程： 【答案】 【知识点】二次根式的应用 【分析】先把方程中的根式化简成最简二次根式，再根据一元一次方程的解法解方程即可得出答案. 【详解】 . 【点睛】本题考查含有二次根式的一元一次方程的解法，在解题过程中需注意先把二次根式化成最简二次根式，这样有利于计算的简便，最后的结果也必须用最简二次根式的形式表示. 【变式6-2】如图所示，在面积为的正方形中，截得直角三角形的面积为，求的长．    【答案】 【知识点】二次根式的应用 【分析】先求出正方形的边长为，再根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算在几何图形中的运用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 【变式6-3】（22-23八年级上·上海青浦·期中）观察下列各式及其验证过程： 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)按照上述规律，直接写出用（为任意自然数，且）表示的等式． 【答案】(1)，验证见解析； (2)（n为任意自然数，且） 【知识点】二次根式的应用 【分析】（1）根据题中所给的式子进行验证即可； （2）根据题中式子的验证过程找出规律即可． 【详解】（1）猜想：， 验证：； （2）（为任意自然数，且），证明如下： （为任意自然数，且）． 【点睛】本题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质与化简，观察时，既要注意等式的左右两边的关系，还要注意右边必须是一种特殊形式． 一、单选题 1．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．根据二次根式的减法运算对A选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断． 【详解】解：A．，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选：B． 2．（23-24八年级上·上海·期末）的有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了有理化因式．根据有理化因式的定义“两个根式相乘的积不含根号”即可解答． 【详解】解：∵， ∴的有理化因式是． 故选：B． 3．（24-25八年级上·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分母有理化、平方差公式分解因式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了分母有理化，涉及到了因式分解等知识，解题关键是掌握式子恒等变形的方法，注意分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，原式的值才不变，本题据此依次判断即可． 【详解】解：A、将式子的分子分母同乘以，式子的值不变，故该选项正确，不符合题意； B、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； C、因为有可能为0，所以分子分母同时乘以错误，故该选项符合题意； D、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； 故选：C ． 4．（24-25八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可． 【详解】解：，， ， 原式， 故选：C． 二、填空题 5．（22-23八年级上·上海宝山·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】二次根式的应用、无理数的大小估算 【分析】根据题意，先求出，然后求出S，代入公式即可求S，再根据二次根式比较大小的方法，即可求解． 【详解】解：∵三角形的三边长为a、b、c，记，面积， ∴当三角形的三边长分别为5，6，7时，， ∴面积， ∵，， ∴， ∴， ∵S介于整数n和之间， ∴． 故答案为：14． 【点睛】本题考查二次根式的应用，估算二次根式的值，解题的关键是理解题意，求出，S；掌握二次根式比较大小的方法． 6．（24-25八年级上·上海·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】分母有理化、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解不等式以及分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． 不等式移项，然后合并同类项，系数化为1，利用分母有理化求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 解得． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海·期末）计算：＝ ． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握化简二次根式为最简二次根式． 先把二次根式化简成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 8．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】此题考查了二次根式的除法，利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为： 9．（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】2 【知识点】二次根式的乘法 【分析】此题考查了二次根式的乘法，利用二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】 ． 故答案为：2． 10．（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的除法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11．（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： ． 【答案】/ 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、平方差公式及积的乘方的逆用；因此此题可根据积的乘方、平方差公式及二次根式的运算法则进行求解． 【详解】解： ； 故答案为：． 12．（22-23八年级上·上海徐汇·期末）满足等式的正整数对的个数有 个 【答案】8 【知识点】因式分解的应用、二次根式的应用 【分析】先将等式变为，得出，从而得出，写出正整数对即可得出答案． 【详解】解：等式可变为： ， ∵， ∴， 即， ∴， 则正整数对可以是： ，，，，，，，， ∴满足已知等式的正整数对共有8个． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是的得到． 三、解答题 13．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式乘法和化简二次根式，再计算二次根式加减法即可． 【详解】解：原式 ． 14．（24-25八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．先计算二次根式的乘法和分母有理化，再加减求解即可． 【详解】解： ． 15．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，涉及二次根式性质、平方差公式等知识，首先利用二次根式性质化简，再由二次根式混合运算求解即可得到答案．熟练掌握二次根式的性质、二次根式混合运算法则及平方差公式是解决问题的关键． 【详解】解： ． 16．（24-25八年级上·上海·期中）（1）计算：     （2）解不等式： 【答案】（1）；（2） 【知识点】二次根式的混合运算、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，解一元一次不等式： （1）先化简二次根式和计算二次根式除法，再计算二次根式加减法即可得到答案； （2）先化简二次根式，再按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 17．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）已知，求代数式 的值． 【答案】， 【知识点】利用二次根式的性质化简、分母有理化、运用完全平方公式进行运算、十字相乘法 【分析】本题考查了分母有理化，利用二次根式的性质进行化简，因式分解等知识．熟练掌握分母有理化，利用二次根式的性质进行化简，因式分解是解题的关键． 利用二次根式的性质进行化简，进行因式分解可得化简结果，分母有理化可得的值，然后代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， ， 将代入得，原式． 18．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）先化简再求值：，其中． 【答案】1 【知识点】分式化简求值、利用二次根式的性质化简、分母有理化 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，根据的大小化简是解题的关键．先将分子和分母分解因式，并根据二次根式的性质化简，再约分，最后代入计算即可． 【详解】解： 原式 当时 原式 19．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）面对一些二次根式，其实可以用了因式分解中的分组分解法来解决问题： ， 则． 利用这种思想，解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式混合运算，找到有理化因式是解题的关键． （1）根据题意分母有理化即可 （2）根据题意分母有理化即可 （3）根据题意分母有理化，在合并同类二次根式即可 【详解】（1）解：原式， ， ， ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 二次根式运算与分母有理化应用 （3知识点+6大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：二次根式的加法和减法 1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2.步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． 3.合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点02：二次根式的乘法和除法 二次根式相乘：； 二次根式相除： 知识点03：分母有理化 1.分母有理化：把分母中的根号化去的过程称为分母有理化. 分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘同一个适当的代数式，使分母不含根号. 2.有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式。 【题型1 二次根式的加减运算】 【例1】（24-25八年级上·上海·期末）计算：． 【变式1-1】（24-25八年级上·上海长宁·期末）计算：． 【变式1-2】（2024八年级上·上海·专题练习）计算：． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海·期中）计算： 【变式1-4】（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【题型2二次根式乘除运算】 【例2-1】（24-25八年级上·上海·期中）计算： 【例2-2】化简： (1)； (2)； (3)． 【例2-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-1】（24-25八年级上·上海闵行·期中）计算：． 【变式2-2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）计算：． 【变式2-3】计算： 【变式2-4】（24-25八年级上·上海崇明·期中）计算：． 【变式2-5】（24-25八年级上·上海宝山·期中）计算： 【变式2-6】（24-25八年级上·上海黄浦·期中）计算：   【题型3 分母有理化】 【例3】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）计算： 【变式3-1】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）计算： 【变式3-2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）计算：． 【变式3-3】（24-25八年级上·上海·阶段练习）计算： 【变式3-4】（24-25八年级上·上海·阶段练习）计算：． 【题型4 二次根式化简求值】 【例4】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）先化简，后求值：，其中，． 【变式4-1】（24-25八年级上·上海·期中）已知，， 求的值． 【变式4-2】（24-25八年级上·上海·期中）已知实数、使等式成立，请化简代数式，并求代数式的值． 【变式4-3】（22-23八年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值，已知，求代数式的值； 【变式4-4】（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知：，，求代数式的值． 【变式4-5】（24-25八年级上·上海·期中）当时，化简代数式，并求代数式的值． 【变式4-6】（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 【变式4-7】（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：，，且，求的值． 【题型5 比较二次根式的大小】 【例5】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）解不等式：． 【变式5-1】（24-25八年级上·上海·期中）不等式的解集为 ． 【变式5-2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）不等式的解集是 ． 【变式5-3】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）不等式的解集是 【变式5-4】（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）比较与的大小． 【变式5-5】阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 【题型6 二次根式的应用】 【例6】（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）解方程：． 【变式6-1】）解方程： 【变式6-2】如图所示，在面积为的正方形中，截得直角三角形的面积为，求的长．    【变式6-3】（22-23八年级上·上海青浦·期中）观察下列各式及其验证过程： 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)按照上述规律，直接写出用（为任意自然数，且）表示的等式． 一、单选题 1．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海·期末）的有理化因式是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（22-23八年级上·上海宝山·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 6．（24-25八年级上·上海·期中）不等式的解集是 ． 7．（24-25八年级上·上海·期末）计算：＝ ． 8．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）计算： ． 9．（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 10．（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 11．（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： ． 12．（22-23八年级上·上海徐汇·期末）满足等式的正整数对的个数有 个 三、解答题 13．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）计算：． 14．（24-25八年级上·上海·期末）计算：． 15．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 16．（24-25八年级上·上海·期中）（1）计算：     （2）解不等式： 17．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）已知，求代数式 的值． 18．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）先化简再求值：，其中． 19．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）面对一些二次根式，其实可以用了因式分解中的分组分解法来解决问题： ， 则． 利用这种思想，解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)化简：． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$