3.2 半角公式 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦三角恒等变换中的半角公式，通过后羿拉弓场景导入问题，回顾二倍角公式作为基础，引导学生从二倍角公式推导半角公式，构建前后知识联系的学习支架。 其亮点在于以实际问题驱动培养数学眼光，通过逻辑推理推导公式发展数学思维，设置给角求值、化简证明等多样化实例，课堂小结提炼方法技巧，帮助学生提升推理与应用能力，为教师提供系统教学资源和清晰教学流程。

毕业答辩PPT模板 第四章 三角恒等变换 3.2 半角公式 知识回顾 二倍角公式 注意：二倍角正切公式中的、均不等于＋kπ，k∈Z． 二倍角正弦公式： 二倍角余弦公式：cos 2α＝－ ＝2－1 ＝1－2 二倍角正切公式： 学 习 目 标 1 2 3 能够利用二倍角公式推导半角公式，并能进行简单的应用. 能够利用半角公式结合三角函数的基本关系解决综合问题. 在公式生成与应用过程中，体会由一般到特殊、由特殊到一般的数学思想，理解半角中“半角”的含义. 提出问题 问题1:如图是古代神话中后羿拉弓射箭的场景，若弓弦的长度AB＝2a，弓箭的长度MN＝2b（其中MA＝MB，MN⊥AB）．假设拉满弓时，箭头和箭尾到A，B的连线的距离相等（如图乙所示），设∠AMB＝α，你能用a，b表示∠AMN的余弦值，即cos 的值吗？ cos与cosα之间存在怎样的关系呢？ 问题2：α与，二者有何数量关系？ α是二倍角，是α的半角． 探究1：我们曾由和角公式引出倍角公式，且“倍角是相对的”，那么二倍角公式中的2α能否化为α ，结果怎样？ 新知探究 新知探究 探究2：如何用表示，，？ 变形 同理可得 开方 新知形成 注意： ① 半角的正切公式有定义要求； ②根号前面的符号由所在象限相应的三角函数值的符号确定； ③若象限无法确定，则应保留根号前面的正、负两个符号. ④半角公式需要cos的值，一般需要先求cos. 半角公式 α≠(2k＋1)π，k∈Z α≠kπ，k∈Z 新知应用 1 给角求值 例1.求cos15°的值． 解：∵ ∴ 分析：将看作的半角 找所求角与特殊角的半角关系；再套公式。 变式训练1.求的值． 分析：将看作的半角 解：∵ 新知应用 2 给值求值 例2 .已知 ，sin ，cos ，tan 的值. 1、找所求角与已知角的关系； 2、确定所求角的象限； 3、确定公式与符号； 4、求余弦值（知一求二）； 5、代入数据求值。 方法技巧： 变式训练2.已知θ为第四象限角，且sin θ＝，求sin ，cos ，tan 的值. 解：∵θ为第四象限角 ∴ θ∈，k∈Z， 又∵ ∈，k∈Z，∴ 为第二或第四象限角 ①当为第二象限角时：sin ＝＝＝，cos ＝－＝－＝－， tan ＝＝， 又∵ sin θ＝， ∴ cos θ＝. 变式训练2.已知θ为第四象限角，且sin θ＝-，求sin ，cos ，tan 的值. ②当为第四象限角时：sin ＝＝＝，cos ＝＝＝， tan ＝＝， ∴ sin ＝ cos ＝ 或 tan ＝ sin ＝ cos ＝ tan ＝ 例3.的值等于（　　） 新知应用3 变形公式应用 B A． C． D． B． 解： D 变式训练3.已知sin2α＝，则＝（　　） A． C． D． B． 解析： 新知应用4 化简 解：原式 = = = 方法技巧 (1)化简的要求： ①能求出值的应求出值； ②尽量使三角函数种数最少； ③尽量使项数最少； ④尽量使分母不含三角函数； ⑤尽量使被开方数不含三角函数． (2)化简的思路： ①对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式； ②对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式； ③对于二次根式，注意二倍角公式的逆用． ④还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法． 新知应用5 证明 证明：左边 = = =tan2 例5 求证： 方法技巧 探究证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． (2)证明恒等式的一般步骤： ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． 知识凝练 半角公式及其变形公式 任务再现 1.半角公式求值 2.三角恒等式的化简与证明 方法提炼 切化弦、变量代换、角度归一、化繁为简、转化与化归思想方法 易错警示 半角公式符号的判断 课堂小结 课后作业 1、教材P167习题4-3 A组6-9题； 2、同步练习《半角公式》 课堂练习 1.已知，540°＜α＜720°，则＝________． 解：因为540°＜α＜720°，所以270°＜＜360°， 所以135°＜ ＜180°． 因为 ，所以 因为α是锐角，所以0＜＜，因为sin 2＝＝＝，cos 2＝＝＝，所以sin ＝，cos ＝.所以cos ＝cos cos －sin sin ＝×－×＝－.故选D. 2.已知α是锐角，cos α＝，则cos ＝（ ） A.－ B.＋ C.－ D.－ √ 3. 化简：＝____________. －2cos 因为0＜α＜π，所以tan ＝＝＝，所以tan ＝sin α.又因为cos ＝－sin α，且1－cos α＝2sin 2，所以＝＝＝－.因为0＜α＜π，所以0＜＜，所以sin ＞0.所以＝ －2cos . 4. 化简：. 解： ＝(－ ＝＝·＝. 5. 求证：＝sin 2α. 证明：左边＝＝ ＝sin αcos α＝sin 2α＝右边. 所以原等式成立. 6.求证：－tan θtan 2θ＝1. 证明：左边＝－tan θtan 2θ＝－·＝－＝1＝右边. 所以原等式成立. 毕业答辩PPT模板 Thank you！ $