第4章 3.2 半角公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦半角公式，通过“电脑输入法半角与全角”生活情境导入，以“由cos30°求sin15°、cos15°”问题衔接倍角公式，构建从已知到未知的知识支架，帮助学生理解公式推导逻辑。 其亮点在于创新“四变”策略（变角、变名、变幂、变数），结合逻辑推理与数学运算素养，通过题型分类（求值、化简、综合应用）及通性通法总结，培养学生解题能力。学生能系统掌握公式应用，教师可依托案例与分层作业提升教学效率。

3.2　半角公式 1 1.能从倍角公式推导出半角公式，并了解它们的内在联系（逻辑推理、数学运算）. 2.能够运用半角公式，解决化简、求值问题（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 拓视野　角恒等变换中的“四变”策略　能力提升 03 目录 课时作业 04 3 01 PART 基础落实 目 录 　　类似电脑输入法有“半角”和“全角”之分（如图），三角中也有倍 角公式与半角公式，由两角和与差的正弦公式和余弦公式还可以推导出哪 些三角恒等式？ 【问题】　由 cos 30°的值能否求出 sin 15°和 cos 15°的值？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点　半角公式 数学·必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：（1）半角公式给出了求 的正弦、余弦、正切的另一种方式， 即只需知道 cos α的值及相应α的条件， sin ， cos ，tan 的值便可求出； （2）由于tan ＝ 及tan ＝ 不含被开方数，且不涉及符号问 题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）半角公式对任意角都适用. （　×　） （2） cos ＝ . （　×　） （3）tan ＝ ，只需满足α≠2kπ＋π（k∈Z）. （　√　） 2. 若 cos α＝ ，且α∈（0，π），则 sin ＝（　　） A. － B. C. D. － × × √ √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知α∈（0， ）， cos α＝ ，tan ＝ 　​ 　. 解析：因为α∈（0， ）， cos α＝ ，所以 sin α＝ .所以tan ＝ ＝ ＝ . ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜应用半角公式求值 【例1】　已知 sin α＝－ ，π＜α＜ ，求 sin ， cos ，tan 的值. 解：∵π＜α＜ ， sin α＝－ ， ∴ cos α＝－ ，且 ＜ ＜ ， ∴ sin ＝ ＝ ， cos ＝ － ＝－ ， tan ＝ ＝－2. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 利用半角公式求值的思路 （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则 求解时常常借助半角公式求解； （2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据 角的范围，求出相应半角的范围. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 求值 cos ＝ 　​ 　. 解析： cos ＝ ＝ ＝ . ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知 cos 2θ＝－ ， ＜θ＜π，求tan 的值. 解：因为 cos 2θ＝－ ， ＜θ＜π， 由半角公式得 sin θ＝ ＝ ＝ ， cos θ＝－ ＝－ ＝－ ， 所以tan ＝ ＝ ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜三角函数式的化简 【例2】　化简： . 解：∵ ＜α＜2π， ∴ ＜ ＜π， ∴原式＝ ＝ ＝ cos 2 － sin 2 ＝ cos α. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 化简问题中的“三变” （1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑 等手段消除角之间的差异，合理选择适当的公式； （2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为 弦或统一为切； （3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径.如升幂、 降幂、配方、开方等. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 化简 sin 2（ α－ ）＋ sin 2（ α＋ ）－ sin 2α的结果是 　​ 　 解析：原式＝ ＋ － sin 2α＝1－ ［ cos （ 2α － ）＋ cos （ 2α＋ ）］－ sin 2α＝1－ cos 2α· cos － sin 2α＝ ＋ － ＝ . ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜三角恒等变换的综合应用 【例3】　已知函数f（x）＝ sin ＋2 cos 2x－1. （1）化简f（x）； 解：f（x）＝ sin ＋2 cos 2x－1＝ sin 2x· cos － cos 2x· sin ＋ cos 2x＝ · sin 2x＋ cos 2x＝ sin ，故f（x）＝ sin . （2）求函数f（x）的最大值及其相应的x的取值集合. 解：当2x＋ ＝2kπ＋ ，k∈Z，即 x＝kπ＋ ，k∈Z时，f（x）max＝1. 故f（x）取最大值时x的取值集合为{x x＝kπ＋ ，k∈Z}. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【母题探究】 1. （变设问）本例条件不变，若 ＜α＜ 且f（α）＝ ，求 cos 2α的值. 解：由题意f（α）＝ sin ＝ . 由 ＜α＜ ， 得 ＜2α＋ ＜ ， 所以 cos ＝－ . 因此 cos 2α＝ cos ＝ cos cos ＋ sin sin ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. （变条件）若本例中的“函数f（x）＝ sin ＋2 cos 2x－1”换 为“f（x）＝ sin 2x＋a sin x cos x－ cos 2x且f ＝1”. （1）化简f（x）； 解：∵f ＝1，∴ sin 2 ＋a sin cos － cos 2 ＝1，解得a＝2. ∴f（x）＝ sin 2x＋2 sin x cos x－ cos 2x＝ sin 2x－ cos 2x＝ sin . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求f（x）的最大值及相应x的取值集合. 解：当2x－ ＝2kπ＋ （k∈Z），即x＝kπ＋ （k∈Z）时，f （x）有最大值 ，此时x的取值集合为{x｜x＝kπ＋ ，k∈Z}. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　已知函数f（x）＝2 sin x cos x＋2 cos 2x－1. （1）求函数f（x）的单调递增区间； 解：f（x）＝2 sin x cos x＋2 cos 2x－1 ＝ sin 2x＋ cos 2x＝2 sin . （1）令2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ （k∈Z）， 得kπ－ ≤x≤kπ＋ （k∈Z）， ∴f（x）的单调递增区间为 （k∈Z）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）当x∈ 时，求函数f（x）的最大值及相应的x值. 解：由x∈ ，可得 ≤2x＋ ≤ . ∴当2x＋ ＝ ，即x＝ 时，f（x）取最大值，最大值为2. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. sin ＝（　　） A. B. C. D. 解析：　 sin ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .故选B. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 下列各式与tan α相等的是（　　） A. B. C. D. 解析：　 ＝ ＝ ＝tan α. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知 cos θ＝－ ，π＜θ＜ ，则tan ＝（　　） A. － B. C. － D. 解析：　由已知得 sin θ＝－ ＝－ ，则tan ＝ ＝ ＝－ . √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知tan ＝ ，则 cos α＝ 　​ 　. 解析：因为tan ＝± ，所以tan2 ＝ .所以 ＝ ，解得 cos α＝ . 5. 化简： ＝ ⁠. 解析：原式＝ ＝ ＝1. ​ 1 数学·必修第二册（BSD） 目 录 03 PART 拓视野 角恒等变换中的“四变”策略 目 录 类型一｜变角——角的变换 当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角 的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所 要求的结果. 【例1】　已知tan（α＋β）＝4，tan（α－β）＝2，则 sin 4α＝ ⁠. 解析：因为tan 2α＝tan[（α＋β）＋（α－β）]＝ ＝－ ， 所以 sin 4α＝ ＝－ . － 数学·必修第二册（BSD） 目 录 类型二｜变名——函数名称变换 对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函数间的关系入手， 寻求统一函数名称的变换途径.正确选用三角变换公式，通过变换尽量减 少三角函数的种类，从而提高解题效率. 【例2】　当0＜x＜ 时，函数f（x）＝ 的最小值是 ⁠. 解析：因为0＜x＜ ， 所以0＜tan x＜1，所以f（x）＝ ＝ ≥4， 当且仅当tan x＝ 时取“＝”. 4 数学·必修第二册（BSD） 目 录 类型三｜变幂——升幂与降幂变换 分析三角函数中的次数，看是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合 题目中的要求，正确选用半角公式、倍角公式等三角公式，从而达到化简 解题的目的. 【例3】　已知α为第二象限角，且 sin α＝ ，则 ＝ ⁠. 解析： ＝ ＝ ＝ .又α 为第二象限角，且 sin α＝ ，所以 cos α＝－ ，所以 ＝ ＝－ . － 数学·必修第二册（BSD） 目 录 类型四｜变数——常数变换 【例4】　已知tan（ ＋α）＝2，则 ＝ 　​ 　. 解析：由tan（ ＋α）＝ ＝2，得tan α＝ ，于是 ＝ ＝ ＝ . ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. tan 15°＝（　　） A. 2＋ B. 2－ C. ＋1 D. －1 解析：由tan ＝ ，得tan 15°＝ ＝2－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知180°＜α＜360°，则 cos ＝（　　） A. － B. C. － D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知 cos α＝－ ， ＜α＜π，则 sin ＝（　　） A. － B. C. － D. 解析：　由 ＜α＜π可知， ＜ ＜ ，故 sin ＝ ＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 化简 ＝（　　） A. － cos 1 B. cos 1 C. cos 1 D. － cos 1 解析：　原式＝ ＝ ＝ cos 1，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕下列命题是真命题的有（　　） A. ∃x∈R， sin 2 ＋ cos 2 ＝ B. ∃x，y∈R， sin （x－y）＝ sin x－ sin y C. ∀x∈[0，π]， ＝ sin x D. sin x＝ cos y⇒x＋y＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：因为 sin 2 ＋ cos 2 ＝1≠ ，所以A为假命题；当x＝y＝0时， sin （x－y）＝ sin x－ sin y，所以B为真命题；因为 ＝ ＝｜ sin x｜＝ sin x，x∈[0，π]，所以C为真命题；当x＝ ，y＝2π时， sin x＝ cos y，但x＋y≠ ，所以D为假命题.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕函数f（x）＝ （1＋ cos 2x）· sin 2x（x∈R），则下列说法 正确的是（　　） A. f（x）的最小正周期为π B. f（x）的最小正周期为 C. f（x）是奇函数 D. f（x）是偶函数 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：因为f（x）＝ （1＋ cos 2x）（1－ cos 2x）＝ （1－ cos 22x）＝ sin 22x＝ （1－ cos 4x）.又f（－x）＝f（x），所以函数f（x）是最小正周期为 的偶函数，选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 某同学在一次研究性学习中发现以下规律： ① sin 60°＝ ； ② sin 120°＝ ，请根据以上规律写出符合题意的一个等式 ⁠ .（答案不唯一） 解析： sin 30°＝ （只要符合公式 sin α＝ 且有意义即 可）. sin30°＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 若一个等腰三角形顶角的正弦值为 ，则其底角的正弦值为 　 或 　. 解析：设顶角为α，则α∈（0，π）， ∈（0， ），则 sin α＝ ， cos α ＝± ＝± ，所以 cos ＝ ＝ 或 ，则其底角的正 弦值为 sin （ － ）＝ cos ＝ 或 . 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 在△ABC中，若 cos A＝ ，则 sin 2 ＋ cos 2A＝ 　－ 　. 解析： sin 2 ＋ cos 2A＝ ＋2 cos 2A－1＝ ＋2 cos 2A－1＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 已知函数f（x）＝4 cos x sin －1. （1）求f（x）的最小正周期； 解：f（x）＝4 cos x sin －1 ＝4 cos x －1 ＝ sin 2x＋2 cos 2x－1 ＝ sin 2x＋ cos 2x＝2 sin ， 所以f（x）的最小正周期为π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求f（x）在区间 上的最大值与最小值. 解：因为－ ≤x≤ ，所以－ ≤2x＋ ≤ ， 所以当2x＋ ＝ ，即x＝ 时，f（x）有最大值2， 当2x＋ ＝－ ，即x＝－ 时，f（x）有最小值－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 若α∈（0， ）， ＝tan ，则tan α＝（　　） A. B. C. D. 解析：　法一　因为 ＝tan ，所以 ＝ ，又α∈（0， ），所以 sin α≠0，所以2－ cos α＝1＋ cos α，所以 cos α＝ ，又α∈ （0， ），所以α＝ ，所以tan α＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法二　因为tan ＝ ，所以 ＝ ，又α∈（0， ），所以 ∈（0， ），所以 sin ≠0，所以2－ cos α＝2 cos 2 ，即2－ cos α＝1＋ cos α，所以 cos α＝ ，又α∈（0， ），所以α＝ ，所以tan α＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 A. 存在x1，x2，当x1－x2＝π时，f（x1）＝f（x2）成立 B. f（x）在区间 上单调递增 C. 函数f（x）的图象关于点 对称 D. 函数f（x）的图象关于直线x＝ 对称 12. 〔多选〕已知函数f（x）＝ cos 2x－2 sin x cos x，则下列结论中正 确的是（　　） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　易知f（x）＝2 sin ＝2 sin （2x＋ ），∴f（x）的 最小正周期T＝π，A正确；令－ ＋2kπ≤2x＋ ≤ ＋2kπ（k∈Z）， 得－ ＋kπ≤x≤－ ＋kπ（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为［－ ＋kπ，－ ＋kπ］（k∈Z），B错误；∵对称中心的横坐标满足2x＋ ＝kπ（k∈Z），∴x＝ － （k∈Z），当k＝1时，x＝ ，C正 确；f ＝2 sin ＝－ ≠±2，D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成 为了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”.如图，它是由四个 全等的直角三角形和中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形 ABCD，设Rt△AFB中AF＝a，BF＝b，较小的锐角∠FAB＝α.若（a＋ b）2＝196，正方形ABCD的面积为100，则 cos 2α＝ 　​ 　， sin － cos ＝ ⁠. ​ － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：由已知得a2＋b2＝100，（a＋b）2＝196，且a＞b，解得a＝8，b ＝6，所以 cos α＝ ＝ ，所以 cos 2α＝2 cos 2α－1＝2×（ ）2－1＝ ， 因为0＜α＜ ，所以0＜ ＜ ，所以 sin ＝ ＝ ， cos ＝ ＝ ，所以 sin － cos ＝ － ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 已知f（x）＝ ，若α∈（ ，π），化简：f（ cos α）＋f（－ cos α）. 解：f（ cos α）＋f（－ cos α）＝ ＋ ＝｜tan ｜＋｜ ｜. ∵ ＜α＜π，∴ ＜ ＜ ，∴tan ＞0，故f（ cos α）＋f（－ cos α）＝ tan ＋ ＝ ＝ · ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 已知函数f（x）＝ ，则f（ － ）＝ ⁠. － 解析：f（x）＝ ＝ ＝ ＝2 cos 2x. f（ － ）＝2 cos ＝2 cos ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，四边形ABCD是 扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是∠POQ的平分线，E在 上，连接OC，记∠COE＝α，则角α为何值时，矩形ABCD的面积最大？ 并求最大面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：如图所示，设OE交AD于点M，交BC于点N，显然矩 形ABCD关于OE对称，而M，N分别为AD，BC的中点， 在Rt△ONC中，CN＝ sin α，ON＝ cos α， OM＝ ＝ DM＝ CN＝ sin α， 所以MN＝ON－OM＝ cos α－ sin α， 即AB＝ cos α－ sin α， 而BC＝2CN＝2 sin α， 故S矩形ABCD＝AB·BC＝（ cos α－ sin α）·2 sin α＝2 sin α cos α－2 sin 2α＝ sin 2α－ （1－ cos 2α） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 ＝ sin 2α＋ cos 2α－ ＝2 － ＝2 sin － . 因为0＜α＜ ， 所以0＜2α＜ ， ＜2α＋ ＜ . 故当2α＋ ＝ ，即α＝ 时，S矩形ABCD取得最大值， 此时S矩形ABCD＝2－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $