1.3全等三角形的判定（第4课时直角三角形全等的判定）（教学课件）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形全等的“HL”定理，通过回顾“SAS”“SSS”等已有判定方法，提出直角三角形作为特殊三角形的特殊判定问题，引导学生从“直角相等需两个条件”切入，经作图探究搭建从一般到特殊的学习支架。 其亮点在于以问题驱动新知，通过尺规作Rt△A'B'C'培养几何直观，证明中结合SSS、SAS发展推理意识，典例（如例9证线段相等）和题型分类强化应用意识。知识汇总用表格对比各判定方法，结构清晰，助力学生系统掌握，教师可直接用于分层教学提升效率。

第1章 三角形 1.3全等三角形的判定 第4课时 直角三角形全等的判定 学 习 目 标 1 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理 活动 新知探究 直角三角形是特殊的三角形，判断两个直角三角形全等除了“SAS”“SSS”“ASA”“AAS”，还有没有特殊的方法？ 三角形全等的判定需要 三个条件，因为直角相等，所以还需要两个条件。 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等吗？ 活动 新知探究 如图，给定直角三角形ABC，其中∠C = 90°，简记为“Rt△ABC”。 用直尺和圆规作Rt△A'B'C'，使得∠C' = 90°，A'B' = AB，A'C' = AC。 这两个三角形全等吗？ A B C 活动 新知探究 下面是Rt△A'B'C'的作法： 作法 图形 1. 作∠PC'Q = 90°； 2. 在射线C'P上截取A'C' = AC； 3. 以点A'为圆心，AB长为半径作弧，交射线C'Q于点B'。 Rt△A'B'C'即为所求。 A' B' C' P Q 活动 新知探究 我们可以证明△ABC≌△A'B'C'： 如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C = ∠C' = 90°，A'B' = AB，A'C' = AC。 C' A B C B' A' 活动 新知探究 如图，将△ABC和△A'B'C'分别沿BC和B'C'翻折， 得到△ABP和△A'B'Q。 通过“SSS”， 可证△ABP≌△A'B'Q， 由此可知∠A = ∠A'。 通过“SAS”， 可证Rt△ABC≌Rt△A'B'C'。 A B C B' A' C' P Q 新知探究 “斜边，直角边”： 于是，我们得到如下定理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ( 简写成“HL”)。 提分笔记 仅限直角三角形 新知探究 这个定理可以用来判定两个直角三角形全等： 提分笔记 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C = ∠C' =90°，如果 那么Rt△ABC≌Rt△A'B'C' ( HL )。 A B C A' B' C' Rt必须写 典例分析 例9 如图，AD，BC相交于点O，AD = BC，∠C = ∠D = 90°。 求证：AO = BO，CO = DO。 A B C D O 分析：要证AO = BO，CO = DO， 只要证△ACO≌△BDO。 典例分析 例9 如图，AD，BC相交于点O，AD = BC，∠C = ∠D = 90°。 求证：AO = BO，CO = DO。 A B C D O 证明：在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∠C = ∠D =90°， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD ( HL )， ∴AC = BD。 典例分析 例9 如图，AD，BC相交于点O，AD = BC，∠C = ∠D = 90°。 求证：AO = BO，CO = DO。 A B C D O 在△AOC和△BOD中， ∴△AOC≌△BOD ( AAS )， ∴AO = BO，CO = DO。 知识汇总 提分笔记 判定方法 文字语言 图形表述 边角边 ( SAS ) 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 角边角 ( ASA ) 两角及其夹边分别都相等的两个三角形全等 角角边 ( AAS ) 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 边边边 ( SSS ) 三边分别相等的两个三角形全等 斜边直角边 ( HL ) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 知识汇总 提分笔记 全等三角形的判定 已知两边 找第三边 —— SSS 找夹角 —— SAS 找直角 —— HL 已知一边一角 边为角的对边 找任意一角 —— AAS 边为角的邻边 找夹角的另一边 —— SAS 找夹边的另一角 —— ASA 找边的对角 —— AAS 已知两角 找夹边 —— ASA 找任意一角的对边 —— AAS 题型探究 例1-1 如图，要用“HL”判定 Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　） A．AC = A′C′，BC = B′C′ B．∠A = ∠A′，AB = A′B′ C．AC = A′C′，AB = A′B′ D．∠B = ∠B′，BC = B′C′ 根据“HL”证明全等 题型一 解：“HL”指斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等， 在Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，斜边为AB和A′B′， 则当一个条件为AB = A′B′，另一个条件为AC = A′C′或BC = B′C′时， 可用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。 C 题型探究 例1-2 如图，AB = BC，∠BAD = ∠BCD = 90°，点D是EF上一点， AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE = CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF。 根据“HL”证明全等 题型一 证明：如图，连接BD， 在Rt△ADB和Rt△CDB中，∠BAD = ∠BCD = 90°， ∴Rt△ADB≌Rt△CDB ( HL )， ∴AD = CD。 B A C D E F 题型探究 例1-2 如图，AB = BC，∠BAD = ∠BCD = 90°，点D是EF上一点， AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE = CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF。 根据“HL”证明全等 题型一 ∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F， ∴∠E = ∠F = 90°， 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF ( HL )。 B A C D E F 题型探究 例2 如图，已知 ∠1 = ∠2，AC = AD，从① AB = AE，② BC = ED， ③ ∠B = ∠E，④ ∠C = ∠D，这四个条件中再选一个使△ABC≌△AED，符合条件的有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 全等三角形的判定方法辨析 题型二 解：已知 ∠1 = ∠2，AC = AD， 由 ∠1 = ∠2 可知：∠BAC = ∠EAD， 加 ① AB = AE，就可以用SAS判定 △ABC≌△AED； 加 ② BC = ED，只是具备SSA，不能判定三角形全等； 加 ③ ∠B = ∠E，就可以用AAS判定 △ABC≌△AED； 加 ④ ∠C = ∠D，就可以用ASA判定 △ABC≌△AED。 C 题型探究 例3-1 如图，AB = AC，E、D分别是AB、AC的中点，AF⊥BD，垂足为点 F，AG⊥CE，垂足为点G，试判断AF与AG的数量关系，并说明理由。 全等三角形的判定与性质 题型三 解：AF = AG，理由如下： ∵AB = AC，E、D 分别是 AB、AC 的中点， ∴AD = AC = AB = AE， 在△ABD和△ACE中， ∴ △ABD≌△ACE ( SAS )， ∴ ∠ABD = ∠ACE。 题型探究 例3-1 如图，AB = AC，E、D分别是AB、AC的中点，AF⊥BD，垂足为点 F，AG⊥CE，垂足为点G，试判断AF与AG的数量关系，并说明理由。 全等三角形的判定与性质 题型三 ∵ AF⊥BD，AG⊥CE， ∴ ∠AFB = ∠AGC = 90°， 在△ABF和△ACG中， ∴△ABF≌△ACG ( AAS )， ∴ AF = AG。 题型探究 例3-2 如图，在Rt△ACB中，∠C = 90°，点D是边AC上的一点，过点D作DE⊥AB于点E，使得DE = DC。点F是边BC上的一点，连结DF，使DF = AD。 ( 1 ) 求证：AE = CF； 全等三角形的判定与性质 题型三 ( 1 ) 证明：∵DE⊥AB，∴∠AED = 90°， 在Rt△AED和Rt△FCD中，∠AED = ∠C = 90°， ∴ Rt△AED≌Rt△FCD ( HL )， ∴AE = FC； B F E A D C 题型探究 例3-2 如图，∠C = 90°，DE⊥AB，DE = DC，DF = AD。 ( 2 ) 若AE = 3，BE = 5，求BF的长。 全等三角形的判定与性质 题型三 ( 2 ) 解：∵DE⊥AB，∴∠BED = 90°， 在Rt△BED和Rt△BCD中，∠BED = ∠C = 90°， ∴ Rt△BED≌Rt△BCD ( HL )， ∴BE = BC = 5， 由 ( 1 ) 得：AE = FC = 3， ∴BF = BC - FC = 5 - 3 = 2。 B F E A D C “斜边，直角边”：我们得到如下定理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ( 简写成“HL”)。 课 堂 总 结 感谢聆听! $