三 解答题压轴题-【崇文阁】2026年中考数学压轴题解密

三解答题压轴题 压轴题一二次函数大综合 1.最值问题 确定二次函数最值的方法： (1)当二次函数的自变量x取全体实数时，我们可将二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠ 、0)化，成顶点式=Q士。+4，直接可得函数最值为“，也就是抛物线顶点的纵 坐标. (2)当自变量的取值范围是≤x≤x:时，①若x=一品在自变量的取值范围内，最大值与最 小值同时存在，如图1、2所示，当>0时，最小值在x=一乃处取得，最大值为函数在x=x1,x= 2a :时的较大的函数值：当a<0时，最大值在x=一么处取得，最小值为函数在x=x=时的 较小的函数值：②若x=一么不在自变量的取值范围内，最大值和最小值同时存在，且函数在x x1,x=x2时的函数值中，较大的是最大值，较小的为最小值，如图3为其中一种情况. 2a 2a 图 图2 图3 2.存在性问题 注意灵活运用数形结合思想，可先假设存在，再借助已知条件求解，如果有解（求出的结果符 合题目要求)，则假设成立，即存在；如果无解（推出矛盾或求出的结果不符合题目要求），则假设不 成立，即不存在 3.动点问题 通常利用数形结合、分类讨论和转化思想，借助图形，切实把握图形运动的全过程，动中取静， 选取某一时刻作为研究对象，然后根据题意建立方程模型或者函数模型求解。 角度一二次函数性质的综合 [2023·杭州T22,2023·绍兴T23,2023·嘉兴、舟山T23,2023·丽水T23] 例1已知二次函数y=x2一2tx十3(t>0). (1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？ (2)当0≤x≤3时，y的最小值为一2，求出t的值； (3)如果A(m一2，a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3.求m的取值 范围 8● 角度二二次函数与几何的综合[2023·金华T24幻 例2如图1，直线y=十5与x轴y轴分别交于点A,B.抛物线的顶点P在直线AB上，与 x轴的交点为点C,D,其中点C的坐标为(2,0)，直线BC与直线PD相交于点E. (1)如图2，若抛物线经过原点O. ①求该抛物线的函数表达式； ②求瓷的值： (2)连结PC,∠CPE与∠BAO能否相等？若能，求符合条件的点P的横坐标；若不能，试说明 理由. VA A OD) C 图1 图2 9● 压轴题二二次函数的实际应用 [2023·温州T22,2023·湖州T22,2023·衢州T23 利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问题的特点建立平面直角坐标系，设出 合适的二次函数表达式，把实际问题的已知条件转化为点的坐标，代入表达式求解，最后要把求出 的结果转化为实际问题的答案. 角度一实际应用 例1一次足球训练中，小明从球门正前方8的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞 行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高OB为2.44m,现以O为 原点建立如图所示平面直角坐标系 (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方 移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 4m) B x(m) 10● 角度二项目化学习[2023·合州T24] 例2【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具.综合实践小组准备用甲、乙两 个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置 【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30c,开始 放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm(观察值) 30 29 28.1 27 25.8 任务1分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量， 【建立模型】小组讨论发现：“t=0,h=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀， 但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系. 任务2利用t=0时，h=30;t=10时，h=29这两组数据，求水面高度h与流水时间t的函数表 达式； 【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数表达式，存在偏差，小组决 定优化函数表达式，减少偏差.通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据表达式求出所对应的 函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为，越小，偏差越小. 任务3(1)计算任务2得到的函数表达式的ω值； (2)请确定经过(0,30)的一次函数表达式，使得ω的值最小； 【设计刻度】得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接 读取时间. 任务4请你简要写出时间刻度的设计方案. 。节流阀 11 例3根据以下素材，探索完成任务， 运用二次函数研究电缆架设问题 电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂， 可以近似的看成抛物线的形状.如图，在一 个斜坡BD上按水平距离间隔90m架设 两个塔柱.每个塔柱固定电缆的位置离地 素材1 面高度为20m(AB=CD=20m),按如图 7D 建立平面直角坐标系(x轴在水平方向 7777777777 上).点A、O、E在同一水平线上，经测量， AO=60m,斜坡BD的坡比为1：10. 若电缆下垂的安全高度是13.5m,即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5m 素材2 时，符合安全要求，否则存在安全隐患.（说明：直线GH⊥x轴，分别交直线BD和抛物 线于点H,G.点G距离坡面的铅直高度为GH的长) 求点D的坐标及下垂电缆的抛物线表 任务1 确定电缆形状 达式. 12】 上述这种电缆的架设是否符合安全要求？ 任务2 判断电缆安全 请说明理由， 工程队想在坡比为1：8的斜坡上架设电 缆，两个塔柱的高度仍为20m,电缆抛物 任务3探究安装方法 线的形状与任务1相同，若电缆下垂恰好 符合安全高度要求，则两个塔柱的水平距 离应为多少米？ 13 压轴题三三角形、四边形的大综合 [2023·宁波T23,2023·绍兴T24,2023·金华T23] 四边形与三角形的综合是每年的必考考点，熟练掌握特殊四边形的性质与判定、特殊三角形 的性质、全等三角形的判定与性质等知识点是解题的基本要求.解决问题时必须充分利用几何图 形的性质及在题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨 认、分解基本图形，通过添加辅助线构造全等图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用 各种数学方法， 角度一一般解答类 例1如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上（不与点A,D重合），射线BE与射 线CD交于点F, (1)若ED=3,求DF的长 (2)求证：AE·CF=1; (3)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G.若EG=ED,求ED的长. 14● 角度二操作类 例2某数学兴趣小组准备将一张三角形纸片（如图）进行如下操作，并进行猜想和证明. (1)用三角板分别取AB,AC的中点D,E,连结DE,画AF⊥DE于点F; (2)用(1)中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形（无缝隙无重叠），并用三角板画出示 意图； (3)请判断(2)中所拼的四边形的形状，并说明理由. 15 角度三探究类 例3【特例感知】 (1)如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连结PD,过点D作DM⊥PD,交BC 的延长线于点M.求证：△DAP≌△DCM. 【变式求异】 (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB,交AC于点Q,点 P在边AB的延长线上，连结PQ,过点Q作QM⊥PQ,交射线BC于点M.已知BC=8,AC=10, AD=2DB,求品的值 【拓展应用】 (3)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A, C重合)，连结PQ,以Q为顶点作∠PQM=∠PBC,∠PQM的边QM交射线BC于点M.若AC =mAB,CQ=元AC(m,0是常数)，求的值（用含m,m的代数式表示）. D B M 图1 图2 图3 16 角度四图形变换类 例4在平行四边形ABCD中（顶点A,B,C,D按逆时针方向排列），AB=12,AD=10,∠B为锐 角，且sinB= (1)如图1，求AB边上的高CH的长； (2)P是边AB上的一个动点，点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C,D'. ①如图2，当C落在射线CA上时，求BP的长； ②当△ACD'是直角三角形时，求BP的长. H 图1 图2 备用图 17 角度五几何新定义类 例5定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻 边的夹角称为邻等角 B B 图1 图2 图3 (1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC.求证：四边形ABCD 为邻等四边形； (2)如图2，在6×5的方格纸中，A,B,C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出 所有符合条件的格点D; (3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连结AC,过点 B作BE∥AC交DA的延长线于点E.若AC=8,DE=10,求四边形EBCD的周长. 18● 例6新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分 线被该图形所截线段叫做等积垂分线段. 问题探究： (1)如图1，等边△ABC边长为3，垂直于BC边的等积垂分线段长度为； (2)如图2，在△ABC中，AB=8,BC=6√3，∠B=30°，求垂直于BC边的等积垂分线段的长度； (3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=BC=6,AD=3,求出它的等积垂分线段的 长度 D D 图1 图2 图3 备用图 19 压轴题四圆的大综合 [2023·杭州T23,2023·台州T23,2023·宁波T24,2023温州T24,2023·嘉兴、舟山T24, 2023·丽水T24] 圆的综合题是指在几何题中涉及到圆的性质和定理的题目.掌握圆的综合题的解题方法对于 提高几何解题的能力至关重要. 1.运用相似性质：在解圆综合题时，经常需要用到相似三角形的性质.要注意观察图形中的相似 三角形，利用它们之间的比例关系解题.有时候可以构造相似三角形，利用已知条件来求未知量， 2.利用轴对称性：圆具有轴对称的性质，这个特点在解题中是非常有用的.当题目中涉及到对 称图形时，可以利用轴对称性来简化计算过程，缩小解题的范围 3.利用切线性质：圆的切线都有一些特殊的性质，掌握了这些性质可以帮助我们更好地解题， 4.利用角度关系：圆综合题中也经常涉及到角度的计算.要注意观察图形中的各种角度，利用 它们之间的关系来解题， 5.画图辅助：在解题过程中，画图是非常重要的一步.通过画图可以更好地理解题目中的条件 和要求，有助于找到解题的思路.在画图时要准确地表示出各个线段的长度和各个角度的大小，这 样可以更方便地进行计算和推理. 6.多角度思考：解题时要善于从不同的角度思考，尝试不同的方法来解决问题.有时候，一个 问题可以有多种解法，通过多角度思考可以找到最简单和最直观的解法. 角度一圆的基本性质类综合 例1如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E,连结AC,AD,BC,作CF⊥AD于点F,交线段 OB于点G(不与点O,B重合)，连结OF (1)若BE=1,求GE的长； (2)求证：BC=BG·BO; H (3)若FO=FG,猜想∠CAD的度数，并证明你的结论. B 20 角度二圆的切线类综合 例2如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C,D是AB的三等分点，直径CE交AB于 点F,连结AD交CF于点G,连结AC,过点C的圆的切线交BA的延长线于点H (1)求证：AD∥HC; (2)若8瓷-2，求tam∠FAG的值， (3)连结BC,交AD于点N,若⊙O的半径为5. 下面三个问题，依次按照易、中、难排列.请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答. ①若OF=3,求BC的长； ②若AH=√10，求△ANB的周长； ③若HF·AB=88,求△BHC的面积. 0 F G ND C 21 例3如图1，在△ABC中，∠C为直角，点O在AC边上，以OC为半径的圆与AB相切于点E,与 AC相交于点D,已知BC=6,AB=10,点P,Q分别在线段DC,AB上（不与端点重合），且满足 B6是设AP=,BQy (1)求⊙O的半径； (2)求y关于x的函数表达式； (3)如图2，过点Q作QR⊥BC于点R,连结PQ,PR. ①当△PQR为直角三角形时，求x的值； ②把线段QR绕点C逆时针旋转90'得到线段QR,当Q落在圆0上时，直接写出S的值。 B 0 A D PO D 图1 图2 22●.CD'=CD=6√2，∠DCD'=60°， △CDD是等边三角形， ∠CDD'=60°， .'CN⊥DD', .CN=CD·sin∠CDD'=6√2sin60°=3√6， :5Aam+S0m-5aw=号X(65+6)X(35 3)+60π(6W2)°-7×6W2×3V6=18+12 360 183. 三解答题压轴题 压轴题一 二次函数大综合 例1解：(1)将点(2,1)的坐标代人y=x2一2tx十 3,得 1=4-4t+3, 解得= (2)抛物线y=x2一2tx十3对称轴为直线x=t. 若0<t≤3，当x=t时函数取最小值， ∴.t2-2t2+3=-2, 解得t=√5（负数已舍去）； 若t>3,当x=3时函数取最小值， ∴.9-6t+3=-2, 解得=子（不符合题意，舍去). 综上所述，t的值为5； (3),A(m-2,a),C(m,a)都在这个二次函数的图 象上， ∴.二次函数y=x2-2tx十3的对称轴直线x=t,或直 线x=m-?+m=m-1, 2 ∴.t=m-1, .t>0, .m-1>0, 解得m>1, ,m-2<m, ∴.点A在对称轴左侧，点C在对称轴右侧， 在y=x2-2tx十3中，令x=0,得y=3, ∴.抛物线y=x2一2tx十3与y轴交点为(0,3)， ∴.(0,3)关于对称轴直线x=m一1的对称点为(2m 2,3), b<3, .4<2m-2, 解得m>3. ①当A(m一2，a),B(4,b)都在对称轴左侧时， .y随x的增大而减小，且a<b, ,∴.4<m-2, 解得m>6, 此时m满足的条件为m>6; 28 ②当A(m一2，a)在对称轴左侧，B(4,b)在对称轴右 侧时， ,a<b, ∴.点B(4,b)到对称轴直线x=m一1的距离大于点 A(m一2，a)到对称轴直线x=m一1的距离， ∴.4-(m-1)>m-1-(m-2), 解得：m<4, 此时m满足的条件是3<m<4. 综上所述，3<m<4或m>6. 例2【解析】(1)①由抛物线经过原点O(0,0),C(2, 0,可得范物线的顶点P,)利用待定系数达 可得抛物线的函数表达式为y=35,+35; ②先求出A(一2,0)，B(0,W5),运用待定系数法可得 直线OP的解析式为)=35，过点B作BP∥：轴 交OP于点P,F(号后小，可得BF=号，再由BF/ 0C,得出△BEF△CB0,进面可得器， (2)分四种情形，分别作出图形求解即可 解：(1)①抛物线经过原点O(0,0),C(2,0), .对称轴为直线x=1, 当x=1时y=5×1+5=35 2 2 抛物线的顶点P(1,35) 设指物线的解析式为y=a(x-1)P+3,把点C(2, 0)的坐标代入，得a+3,5=0, 2 解得a=-35 2 、v35x12+32=二2x2十35x, 2 2 《该抛物线的函数表达式为y=一3,22+3529 ②：直线y=号x十5与工轴，y轴分别交于点 A,B, ∴.A(-2,0),B(0,W5), 设直线OP的解析式为y=z,把点P(1,3)的坐 标代入，得：k=35」 2 ·直线OP的解析式为y=3 2x, 如答图1，过点B作BF∥x轴交OP于点F,则点F 的纵坐标与点B的纵坐标相同， OD) 答图1 v5=3 2x, 解得x= 3, (后 B- 3 BF∥OC, ∴.△BEF∽△CEO, 器腮昌 (2)能.设点P的横坐标为t, ①如答图2，当t>2时，存在∠CPE=∠BAO, E 答图2 设∠CPE=∠BAO=a,∠APC=B,则∠APD=a十 B,∠PCD=∠PAO+∠APC=a+B, .PC=PD, ∴.∠PDC=∠PCD=∠APD, .'.AP=AD=2t, 过点P作PF⊥x轴于点F,则AF=t十2， 在Rt△APF中，coS∠BAO=AE=2, AP=3, 出-层 ∴.t=6. ②如答图3，当0<t≤2时，存在∠CPE=∠BAO. 过点P作PF⊥x轴于点F, C 答图3 同理coS∠BAO= 2, -景 “t=2 ③如答图4，当-2<t≤0时，存在∠CPE=∠BAO =a, D 答图4 .PC=PD, ∴∠PDC-=∠PCD=号∠CPE=, ∠APD=∠BAO-∠PDC=2a, .∠APD=∠PDA, ..AD=AP=-2t, 同理cOS∠BAO=AF=2 AP=3 “+22 -2t3’ = 6 ④如答图5，当t≤-2时，同理cos∠BAO= AF A 子即=号 4 3 = y B 答图5 29 综上所述，点P的横坐标为6，号，一9或-号 3 压轴题二二次函数的实际应用 例1解：(1)8一6=2， ∴.抛物线的顶点坐标为(2,3)， 设抛物线的函数表达式为y=a(x-2)2十3， 把点A(8,0)的坐标代入，得36a十3=0， 解得a=立 “地物线的函数表达式为)=一2红-2)十3， 当x=0时y=一立×4+3=号>2.4， 球不能射进球门. (2)设小明带球向正后方移动mm,则移动后的抛物 线为)=x-2-m)+3, 把点0,2.25)的坐标代人，得225=一立(0-2 m)2+3, 解得m=-5(舍去)或m=1, ∴.当时他应该带球向正后方移动1m射门，才能让足 球经过点O正上方2.25m处. 例2解：任务1变化量分别为29-30=-1(cm); 28.1-29=-0.9(cm);27-28.1=-1.1(cm);25.8 -27=-1.2(cm), ∴.每隔10min水面高度观察值的变化量为：一1， -0.9,-1.1,-1.2. 任务2设水面高度h与流水时间t的函数表达式为 h=kt+b, .t=0时，h=30;t=10时，h=29. /b=30, 10k+b=29, 解得/630， 1k=-0.1, 水面高度h与流水时间t的函数表达式为h= -0.1t+30. 任务3(1)0=(30-30)2+(29-29)2+(28- 28.1)2+(27-27)2+(26-25.8)2 =0.05. (2)设经过(0,30)的一次函数表达式为h=t十30， ∴.w=(0·k+30-30)2+(10k+30-29)2+(20k+ 30-28.1)2+(30k+30-27)2+(40k+30-25.8)2 =3000(k+0.102)2+0.038, .当k=-0.102时，0的最小值为0.038. 任务4将零刻度放在水位最高处，在容器外壁每隔 1.02cm标记一次刻度，这样水面每降低一个刻度， 就代表时间经过了10分钟. 例3解：任务1过点B作BF⊥CD交CD的延长 线于点F,交y轴于点M,则四边形ABFE,四边形 ABMO,四边形OMFE都是矩形，如答图1. 30 7777 D 777777 B M 答图1 .'.AB=EF=20 m,AO=BM=60 m,BF=AE= 90m, ..OE=MF=BF-BM=30 m, 斜坡BD的坡比为1：10， .'DF BF=1:10,..DF=9 m,DE=EF-DF= 11m, .点D的坐标为(30，-11)； .AB=CD=20 m, ∴.CE=CD-DE=9m, A(-60,0),O(0,0),C(30,9), 设下垂电缆的抛物线表达式为y=ax(x十60)， 将点C(30,9)的坐标代入y=a.x(x+60),得 30×(30+60)a=9, 1 解得a一3001 y3动红+60)=3动02+号 1 任务2这种电缆的架设不符合安全要求.理由 如下： 由(1)可知：议三30x+5x,B(—60,20),D(30, -11), 设斜坡BD的解析式为y=kx十b,将B(一60，一 20),D(30,一11)的坐标分别代入，得 1-60k+b=-20, 30k+b=-11, 1 解得k=10, b=-14, :斜坡BD解析式为y=0x-14, 则电缆与拉面的铅直高度A一02十号x 212+0+14=+1s+ 41 … 300>0, 当x=-15时，A有最小值，A==13,25< 13.5, ∴.这种电缆的架设不符合安全要求； 任务3如答图2，以B为坐标原点，BA方向为y轴 正方向建立平面直角坐标系，则A(0,20),过点D作 DT⊥x轴于点T, B T 答图2 电缆抛物线的形状与任务1相同， 电缆抛物线为y=0产+6x+20, 设D(s,t),则DT=t,BT=s, ,斜坡BD坡比为1：8， s=1:8D,gc(,g+20, 、斜坡BD的解析式为y=8x, 1 ÷电缆与坡面的铅直高度=3002+6x十20g女 =300r+(6-8)r+20. 电缆下垂恰好符合安全高度要求， ∴.h'最小=13.5， 40×20-(6- =13.5, 4X1 300 解得6=-+日或6=+日合去). 30 +(-8+0, 将点c(,g+20)的坐标代人y=0x+ 〔++20，得 +(-+》+20=8+20, 30 解得s=10√78或s=0(舍去)， 即BT=10√78， .两个塔柱的水平距离应为10√78米. 压轴题三三角形、四边形的大综合 例1解：(1)，四边形ABCD是正方形， ..AD//BC,AB=AD=BC=CD=1, .△DEFP△CBF, 腮器 1 =DP1 ..DF=1 2 (2)证明：.AB∥CD, ∠ABE=∠F, 又∠A=∠BCD=90°， .△ABEc∽△CFB, 帮器 .AE·CF=AB·BC=1. (3)设EG=ED=x,则AE=AD-DE=1-x,BE= BG+GE=BC+GE=1+x, 在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2, .1+(1-x)2=(1+x)2, 1 .x∠4’ DE- 例2解：(1)如答图1. F 答图1 (2)如答图2. M D 答图2 (3)矩形.理由如下： M C 答图3 ∠MDB+∠BDE=180°，∠DEC+∠NEC=180°， ∴.点M,D,E,N在一条直线上， ,点D,E分别是AB,AC的中点， .DE为△ABC的中位线， DE∥BC,DE=2BC, .MD+EN=DE, 31● ..MN=MD+DE+EN=BC,MN//BC, .四边形MBCN为平行四边形， 由题意可得：△MDB≌△FDA,△AFE≌△CNE, .∠N=∠AFE, ,AF⊥DE, ∠AFE=90°， .∠N=90°， .四边形MBCN为矩形 例3解：(1)证明：四边形ABCD是正方形， .∠A=∠ADC=∠BCD=90°，AD=DC, ∴.∠DCM=180°-∠BCD=90°， ∴.∠A=∠DCM, .DM⊥PD, ∴.∠ADP+∠PDC=∠CDM+∠PDC=90°， .∠ADP=∠CDM, 在△DAP和△DCM中， ∠A=∠DCM, AD=CD, ∠ADP=∠CDM, ∴.△DAP≌△DCM(ASA); (2)如答图1，作QN⊥BC于点N, D 0 B NMC 答图1 ∠ABC=90°，DQ⊥AB,QN⊥BC, .四边形DBNQ是矩形， ∴.∠DQN=90°，QN=DB, QM⊥PQ, .∠DQP+∠PQN=∠MQN+∠PQN=90°， ∴.∠DQP=∠MQN, ,∠QDP=∠QNM=90°， ∴.△DQPp△NQM, 68-88-6品 .BC=8,AC=10,∠ABC=90°， .AB=√AC-BC=6, .AD=2DB, ∴.DB=2, ,∠ADQ=∠ABC=90°， ∴.DQ∥BC, .△ADQ∽△ABC, 8股-品号 DQ-9, 器-器-号 32 (3)'.'AC=mAB,CQ=nAC, ∴.CQ=mnAB, .'.AQ=AC-CQ=(m-mn)AB, ∠BAC=90°， ∴.BC=√AB2+AC=√/1+m·AB, 如答图2，作QN⊥BC于点N,则∠BNQ=90°， A 答图2 ,∠BAC+∠ABN+∠BNQ+∠AQN=360°， ∠BAC=90°， ∴.∠ABN+∠AQN=180°， .∠ABN+∠PBN=180°， ∴.∠AQN=∠PBN, :∠PQM=∠PBC, ∴.∠PQM=∠AQN, ∴.∠AQP=∠NQM, .∠A=∠QNM=90°， .△QAPp△QNM, 品8 ,∠A=∠QNC=90°，∠QCN=∠BCA, .△QCNp△BCA, 器器-m mn 3√1+mAB1+m' :.QN-mnAB, √1十m 品8-1w中m n 例4解：(1)：四边形ABCD是平行四边形，AD =10, ∴.BC=AD=10, 在Rt△BCH中，HC=BC sinB=-10×号-8. (2)①如答图1，作CH⊥BA于点H, C 答图1 由(1)得，BH=√BC-CH=102-82=6, 作CQ⊥BA交BA延长线于点Q,则∠CHP= ∠PQC'=90°， ∴.∠CPQ+∠PCQ=90°， ∠CPQ+∠CPH=90°， .∠PCQ=∠CPH, 由旋转知PC=PC, .△PQC≌△CHP(AAS. 设BP=x,则PQ=CH=8,C'Q=PH=6-x,Qb PQ-PA=PQ-(AB-BP)=x-4. CQ⊥AB,CH⊥AB, ∴.CQ∥CH, ∴.△AQC'∽△AHC, 器器 :6x=x-4 8 6 x=酷， ∴BP-4 ②由旋转得△PCD≌△PCD',CD=CD', CD⊥CD', 又.AB∥CD, .CD'⊥AB. 情况一：当以C为直角顶点时，如答图2. D ,C" A 答图2 .CD'⊥AB, C落在线段BA延长线上. PC⊥PC, .PC⊥AB, 由(1)知，PC=8,在Rt△PBC中，PC=8,BC= =10, ∴.BP=6. 情况二：当以A为直角顶点时，如答图3， D' H C 答图3 设CD'与射线BA的交点为T, 作CH⊥AB于点H. .PC⊥PC, ∴.∠CPH+∠TPC=90°， ,点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得到点 C,D', ∴.∠CPC=∠DPD'=90°，PC=PC,PD=PD', ∠CPD=∠CPD', .△PCD≌△PCD'(SAS), ∴.∠PCD=∠PCD',C'D'=CD=AB=12, AB∥CD, .∠BPC=∠PCD=∠PCD', .∠CPT+∠CPB=90°， ∴.∠CPT+∠PCT=90°， ∠PTC=90°=∠CHP, .△CPH≌△PC'T(AAS), ∴.C'T=PH,PT=CH=8. 设CT=PH=t,则AP=6-t, ..AT=PT-PA=2+t. ∠CAD'=90°，CD'⊥AB, ∴.△ATD'∽△C'TA, 部贸 .AT2=CT·TD', ∴.(2+t)2=t(12-t), 化简得t-4t十2=0， 解得t=2土√2， .BP=BH+HP=8±√2， 情况三：当以D为直角顶点时， 点P落在BA的延长线上，不符合题意， 综上所述，BP=6或8士√2. 例5解：(1)证明：，在四边形ABCD中，AD∥BC, ∠A=90°， ∴.∠ABC=180°-∠A=90°， 对角线BD平分∠ADC, AD .∠ADB=∠CDB, AD∥BC, .∠ADB=∠CBD, .∠CBD=∠CDB, ..CD=CB, .四边形ABCD为邻等四边形； (2)如答图1,2,3，点D'、D、D即为所求； B d B D' D 191-1- -1-L- 图1 答图2 答图 (3)四边形ABCD是邻等四边形， ∴.CD=CB, :∠DAB=∠ABC=90°， .AD∥BC, 33 BE∥AC, ∴.四边形AEBC是平行四边形， ..EB=AC=8,AE=BC, ..AE=BC=DC, 设AE=BC=DC=x, .DE=10, ..AD=DE-AE=10-x, 过点D作DF⊥BC于点F,得矩形ABFD,如答 图4， 答图4 ∴.AB=DF,AD=BF=10-x, .CF=BC-BF=x-(10-x)=2x-10, 在Rt△ABE和Rt△DFC中，根据勾股定理，得 BE2-AE2=AB2,CD2-CF2=DF2, ..BE2-AE2=CD2-CF2, .82-x2=x2-(2x-10)2, 整理得x2-20x十82=0， 解得x1=10一3√2，x2=10+3√2（不符合题意，舍 去)， ∴.CD=CB=10-3√2， .四边形EBCD的周长为：BE十DE+2CD=8十10 +2×(10-3√2)=38-6√2. 例6解：1)3 【解析】过A点作BC的垂线 AD,AD为垂直于BC边的等积垂分线段，如答图1， 答图1 AD=ABXsin60°=3X3=33 2 答案3； (2)作AH⊥BC于点H,线段EF是垂直于BC边的 等积垂分线段，设EF=x,如答图2， A E C 答图2 在Rt△ABH中， 34 ,∠AHB=90°，∠B=30°，AB=8, AH-7AB-4,BH-/3AH-4J3, BC=6√3， Sa=号BC.AH=号×65X4=125, 5a=258=65, 2×x×3x=65, 解得x=23或x=-2W3(舍去)， ∴.BC边的等积垂分线段的长度为2√3. (3)①当线段EF是等积垂分线段时，作FG⊥BD于 点G,如答图3，则EF∥AB, 设EF交BD于点H.设DE=x, 0 y 答图3 在Rt△ABD中， ∠A=90°，AD=3,AB=6, ∴.BD=√AD2+AB=√32+6=3√5， ,EF∥AB, ..EH_DH_DE ·AB DBAD' ..EH_DH_2 635=3, ∴.EH=2x,DH=√5x, ∴.BH=3V5-W5x, 在Rt△ABD和Rt△CBD中， (BD=BD, AB=BC, '.Rt△ABD≌Rt△CBD(HL), ∴.∠ABD=∠DBC, EF∥AB,.∠FHB=∠HBA, ∴.∠FHB=∠FBH, ..FH=FB, ,FG⊥BH, ∴HG=GB=35-5x 2 ,∠FGB=∠A=90°，∠FBG=∠DBA, ∴.△FGB∽△DAB, 服器 可得PG-35:5,BF=FH-15,, 4 EF=EH+FH=2z+15-5x=15+3z 4 4 四边形EFCD的面积=四边形EFBA的面积， △ABD的面积=△BDC的面积， ∴.△DEH的面积=△BHF的面积， 2×2z×x=×85-5x)x355, 4 解得x=2√10-5（负根已经舍弃）， “EF=15+3(210-5)_3W10 4 2 ②当线段EF是等积垂分线段时，作EG⊥BD于点 G,EF交BD于点H,如答图4，设FH=y, ..BF=2y,BH=5y. E DK H 0 A F 答图4 EF⊥AB,DA⊥AB, .EF∥AD, .∠ADH=∠EHD, 由①知∠ADB=∠BDC, ∴.∠EDH=∠EHD, .ED=EH, EG⊥DH, DG-GH-3/5-5 2 an∠EDG=8S-器=2， EG=35-V5y,EH=155y, 2 EF-EH+FH-y+15-5x_15-3y 2 2 可知△DEH的面积=△BHF的面积， 2×(35-5035-5)=2×2×y, 解得y=5-√10或y=5+√10(y<3,舍去)， EF=15-3(5-10)_310 2 2 综上所述，四边形ABCD的一条等积垂分线段的长 为30 21 压轴题四圆的大综合 例1解：(1).直径AB垂直弦CD, .∠AED=90°， ∴∠DAE+∠D=90°， CF⊥AD, .∠FCD+∠D=90°， .∠DAE=∠FCD, 由圆周角定理得∠DAE=∠BCD, ∴∠BCD=∠FCD, 在△BCE和△GCE中， I∠BCE=∠GCE, CE=CE, L∠BEC=∠GEC, ∴.△BCE≌△GCE(ASA), ..GE=BE=1. (2)证明：，AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， .∠ACB=∠CEB=90°， :∠ABC=∠CBE, .△ACB∽△CEB, 器聪 .BC=BA·BE, 由(1)知GE=BE, ∴BE=2BG, .AB=2BO, ∴BC=BA·BE=2BO·合BG=BG·BO, (3)∠CAD=45°，证明如下： (方法一)如答图1，连结OC, E B 答图1 .FO=FG, ∴.∠FOG=∠FGO, 直径AB垂直弦CD, ∴.CE=DE,∠AED=∠AEC=90°， .AE=AE, ∴.△ACE≌△ADE(SAS), .∠DAE=∠CAE, 设∠DAE=∠CAE=a,∠FOG=∠FGO=B, 则∠FCD=∠BCD=∠DAE=a, .OA=OC, ∴.∠OCA=∠OAC=a, ∠ACB=90°， ∴.∠OCF=∠ACB-∠OCA-∠FCD-∠BCD= 90°-3a, :∠CGE=∠OGF=B,∠GCE=a,∠CGE+∠GCE =90°， .β十a=90°， 35● .a=90°-B, :∠COG=∠OAC+∠OCA=a+a=2a, .∠COF=∠COG+∠GOF=2a+B=2(90°-B)- =180°-β， .∠COF=∠AOF, 在△COF和△AOF中， (CO=AO, ∠COF=∠AOF, OF=OF, ∴.△COF≌△AOF(SAS), .∠OCF=∠OAF, 即90°-3a=a, .a=22.5°， .∠CAD=2a=45. (方法二) 如答图2，延长FO交AC于点H,连结OC, H 答图2 .FO=FG, ∴.∠FOG=∠FGO, ∴.∠FOG=∠FGO=∠CGB=∠B, ∴.BC∥FH, ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， .∠ACB=∠AHO=90°， OA=OC, ∴.AH=CH, ..AF=CF, .CF⊥AD, △AFC是等腰直角三角形， .∠CAD=45. 例2解：(1)证明：，点C,D是AB的三等分点， ..AC=CD=DB. 又.CE是⊙O的直径，.CE⊥AD, HC是⊙O的切线， ∴.HC⊥CE, .AD∥HC. (2)如答图1，连结AO, 36 0 F G N D C 答图1 .BD=CD, .∠BAD=∠CAD, CE⊥AD, .∠AGC=∠AGF=90°， .AG=AG .△CAG≌△FAG(ASA), ..CG=FG, 设CG=a,则FG=a, 8器-2 ∴.OG=2a,A0=C0=3a. 在Rt△AOG中，AO=AG+OG, .(3a)2=AG2+(2a)2, .AG=√5a, 六tan∠FAG-fFC-&=5 AG 5a 5 即YPAG的值为停 (3)0:0F=号，0C=04=5, ..CF=5 CG-FG=5 , 00=, ∴AG=VOA-0G=5V7 .CE⊥AD, AD=2AG-5/7 2 .AC=CD=DB, .AD=CB, ∴BC=AD=5 2 即C份长为学 ②如答图2，连结CD, 0 ⊙ N.D H 答图2 ,AD∥HC,FG=CG, ..AH=AF, ,∠HCF=90°， .AC=AH=AF=√/10， 设CG=x,则FG=x,OG=5-x, 由勾股定理得AG=AO2-OG=AC-CG, 即25-(5-x)2=10-x2, 解得x=1, .AG=3,AD=6, .AC=CD=DB, .∠DAC=∠BCD,CD=AC=√I0, ,∠CDN=∠ADC, ∴.△CDNp△ADC, 濡器 5ND-g-号AN=号， .'∠BAD=∠DAC,∠ABN=∠ADC, ∴.△ANB∽△ACD, CamCamX2x) 3√10 3√10+26 5 31 答：△ANB的周长为30+26 5 3 ③如答图3，过点O作OM⊥AB于点M,则AM= MB-ZAB, B 0, M G C 答图3 设CG=x,则FG=x,OG=5-x,OF=5-2x, 由勾股定理得AG=AO-OG=25-(5-x)2, AF2=AG2+FG=10x-x2+x2=10x, .AD∥HC,FG=CG, .AH=AF-HF, 2 :AG=号HC, ∴AF,AM=2HF·2AB=HF·AB=}×88 =22, :∠AGF=∠OMF=90°，∠AFG=∠OFM, ∴.△AFGp△OFM, 部器 ∴.AF·FM=OF·GF, ∴.AF·AM=AF·(AF+FM)=AF2+AF·FM= AF2+OF·GF=22, 可得方程10x十x(5-2x)=22, 解得x1=2,x2=5.5(舍去)， ∴.CG=FG=2, ∴.OG=3,AG=4,HC=8,AH=AF=2√5， ∴Sau=2HC.CG=8, .AD∥HC, ∴.∠CAD=∠ACH, .AC=CD, .∠B=∠CAD, ∴∠B=∠ACH, .∠H=∠H, ∴.△CHA∽△BHC, ∴SABHC=S△cHAX 5 即△BHC的面积为8 例3解：(1)解：连结OE,如答图1. D 答图1 ,AB是⊙O的切线， .OE⊥AB, ∴∠OEA=90°， 又∠C为直角， .∠C=∠OEA=90°. 又：∠A是△AEO与△ACB的公共角， ∴.△AEO∽△ACB, ∴.OE:AO=BC:AB. 设圆O的半径为r, 37 AB=10,BC=6, .OE:AO=3:5,AC=8, .r:(8-r)=3:5, r=3, .⊙0的半径是3. (2)⊙O的半径为3， ..OC=OD=3, ..AD=AC-OC-OD=2, ∴.DP=x-2, 贤是 2-即y=号号 (3)①由题意可得∠QRP≠90°， 当∠PQR=90时，如答图2， PO C 答图2 又∠ACB=90°，∠QRB=∠QRC=90°， .四边形QRCP是矩形， ..QR=PC, n∠8-8器-6， R-84 QB=10=5’ AP=x,BQ-y=33 5 10 P0=8-x,0R=(得-9) 解得x号， 当∠QPR=90时，如答图3，过点Q作QF⊥AC, D OP 答图3 cOS∠B=BR=BC BQ AB BR3 分之1.5，解得BR二x二2， 5 38 .RC=6-BR=8-x, .PC=AC-AP=8-x, ..RC=PC, ∴△PRC是等腰直角三角形，△QFP也是等腰直 角三角形，QF=PF. BQ=y, .AQ=10-y, AP-AF+FP-AF+QF-(10-)+(10- ）=x,即14号x十号=x,解得- 5 综上所述x的值为号或器 7 ②由①可得RC=8-x,∠CRQ=90°， .CR'=CR=8-x, ..PC=AC-AP=8-x, ∠CR'Q'=90°，点P和R'重合，如答图4， 0 答图4 .∠Q'CD+∠R'Q'C=90°，DR'=DP=x-2, :sin∠B 8器A6QB=g-9。 QR_AC 3 QR 之。05，解特Q子， 3 即RQ=QR=号号， ,点Q落在⊙O上， .∠CQD=90°， ∴∠DQR'+∠R'Q'C=90°， .∠DQR'=∠Q'CD,∠QR'C=∠Q'R'D=90°， .△DR'Q'p△Q'R'C, 器器 4 8 即3-8 x-2 8-x ®得红一袋或-2合. 4 3 AR'=AP=g,cR=8--器 104 AR :. 25 13 96 2 25