精品解析：四川成都天府中学2025-2026学年七年级（下）期中数学试卷

2025-2026学年四川省成都市天府中学七年级（下）期中数学试卷 一、选择题（每小题5分，共8道题，共32分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 复旦大学成功研制全球首款基于二维半导体材料的32位架构微处理器“无极”，使我国在新一代芯片材料研制中占据先发优势，该芯片在仅有纳米（1纳米米）厚度的二维半导体材料上，通过原子层精准刻蚀技术，实现了5900个晶体管的高密度集成．将数据纳米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 直线a，b，c，d如图所示，在下列条件中，能使的是（ ） A. B. C. D. 4. 在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上 B. 从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球 C. 抛一枚1元钱的硬币，出现正面朝上的概率 D. 从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数 5. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ）． A. B. C. D. 6. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在和中，点E、F在 上， ，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（    ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在中，D、E、F分别为的中点，且，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共5道题，共20分） 9. 已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，则这个角的度数是_____． 10. 将一张长方形纸条按如图所示折叠，若，则的度数是______． 11. 现有4根木条、长度分别为（单位：）：，从中取出三根连成一个三角形__________________ ．（任写一种即可） 12. 在一个盒子中，装有若干个形状、大小相同的白球和黄球，如果盒子中有4个黄球且摸到黄球的概率为，那么盒子中白球的个数为____________． 13. 如图，，若 ， ，且，则的度数为 _________ 度． 三、解答题（共5道题，共48分） 14. 计算： （1）； （2） ； （3）； （4）． 15. 先化简，再求值：，其中 ． 16. 如图，有一个可以自由转动的均匀转盘，转盘被平均分成6等份，3，4，5，6，7，8这六个数字，转动转盘，指针指向的数字即为转出的数字（指针停在边界线时重新操作），请回答下列问题： （1）随机转动一次转盘，转出数字2是 事件，转出数字7是 事件；（从“随机”，“必然”，“不可能”中选一个，填空） （2）随机转动转盘，转出的数字大于5的概率是 ； （3）现有甲、乙两人做转盘游戏，每人随机转动一次转盘，转盘停止转动后，转出数字为3的倍数时乙获胜，这个游戏公平吗？为什么？ 17. 如图，，，且 ，延长交于点F． （1）求证： ； （2）若点E是的中点，，的周长比的周长大2，求的周长. 18. 已知 平分 ， ，点E、F分别在射线、上运动，满足 ，连接 ． （1）如图1，当点F在点G左侧时，求证：； （2）如图2，当点F在点G右侧时，设 ， ，请直接用含α，β的代数式表示 的度数 ； （3）在射线下方有一点H，连接、，满足平分 ， ，若 ， ， ． 三、填空题（共5道题，共48分） 19. 若，，则____________________ ． 20. 七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，19世纪传到国外被称为“唐图”，则小球停留在阴影部分的概率为 _____________________ ． 21. 的展开式中不含x的一次项，则常数a的值为__________． 22. 如图，在中，，在运动过程中始终保持 ，连结和，当 值达到最小时，的值为 _______ ． 二、解答题（共3道题，共30分） 23. 某公司门前一块长为米，宽为米的长方形空地要铺地砖，空白的， 两正方形区域是建筑物，两正方形区域的边长为米． （1）用式子表示铺设地砖的面积； （2）当，时，需要铺地砖的面积是多少？ （3）在（2）的条件下，某种道路防滑地砖的规格是边长为米的正方形，每块 元，不考虑其他因素，如果要购买此种地砖，需要多少钱？ 24. “数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1是一个面积为的图形，同时此图中有4个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形和4个长、宽分别为a和b的长方形，可得到乘法公式． （1）如图2，若 ，则图中阴影部分面积的值为 ； （2）若 ，求代数式的值； （3）观察图3，可得到乘法公式： ； （4）根据以上知识，解决问题：已知 ， ，求的值． 25. 如图，等腰 中， ，E点为射线 上一动点，作且 ． （1）如图1，过F点作 交于G点，求证： ； （2）如图2，连接交于D点，若 ，点E为中点； （3）如图3，当E点在 的延长线上时，连接与的延长线交于D点，若，则＝ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年四川省成都市天府中学七年级（下）期中数学试卷 一、选择题（每小题5分，共8道题，共32分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算法则进行解题即可． 【详解】解：选项：，故该选项不正确，不符合题意； 选项：，故该选项不正确，不符合题意； 选项：，故该选项正确，符合题意； 选项：，故该选项不正确，不符合题意． 2. 复旦大学成功研制全球首款基于二维半导体材料的32位架构微处理器“无极”，使我国在新一代芯片材料研制中占据先发优势，该芯片在仅有纳米（1纳米米）厚度的二维半导体材料上，通过原子层精准刻蚀技术，实现了5900个晶体管的高密度集成．将数据纳米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，将数据纳米用科学记数法表示，需将其转化为米的形式，其中，为负整数，据此进行作答即可． 【详解】解：∵1纳米米． ∴纳米米米， 即将数据纳米用科学记数法表示为米， 故选：B 3. 直线a，b，c，d如图所示，在下列条件中，能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理解答即可． 本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：A. ，判定 ，不符合题意； B. ，判定 ，不符合题意； C. ，判定，符合题意； D. ，不能判定任何直线的平行，不符合题意， 故选：C． 4. 在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上 B. 从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球 C. 抛一枚1元钱的硬币，出现正面朝上的概率 D. 从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数 【答案】B 【解析】 【分析】根据统计图判断频率，计算四个选项的概率，并与频率值判断即可求出答案． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果的频率之间， 设频率为，则． A、掷一枚质地均匀的骰子出现2点的概率为，不符合题意； B、从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球的概率为，符合题意； C、抛一枚1元钱的硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意； D、从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数的概率为，不符合题意． 5. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方差公式的结构特征判断各选项即可． 【详解】解：选项：，故此选项符合题意； 选项：，不能利用平方差公式计算，故此选项不符合题意； 选项：，不能利用平方差公式计算，故此选项不符合题意； 选项：，不能利用平方差公式计算，故此选项不符合题意． 6. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高， 题目要求是的高，需要满足：过顶点，作对边所在直线的垂线，垂足为； 对四个选项逐一判断： A、 ，不垂直于，不符合； B、不垂直于，不符合； C、 ，不垂直于，不符合； D、过顶点作延长线的垂线，垂足为 ，符合三角形高的定义． 7. 如图，在和中，点E、F在上， ，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先利用等式的性质可得，然后添加利用证明，即可解答． 【详解】解：添加后能用“”判定， 理由：， ， ， 在和 中，， ． 故选：A． 8. 如图所示，在中，D、E、F分别为的中点，且，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线，根据的面积，依次得出 、及的面积即可解决问题．熟知三角形的中线平分三角形面积是解题的关键． 【详解】解：，且点是的中点， ． 点是的中点， ． 点为的中点， ． 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共5道题，共20分） 9. 已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，则这个角的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查补角和余角的概念，通过建立方程求解角度．设这个角为度，则补角为，余角为，再根据补角等于余角的3倍列方程求解． 【详解】解：设这个角为度，则补角为，余角为， 根据题意得： 解得， 即这个角的度数是． 故答案为：． 10. 将一张长方形纸条按如图所示折叠，若，则的度数是______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查长方形中的翻折问题，解题的关键是掌握平行线的性质和翻折的性质． 由平行线的性质和可得，由折叠可得，再利用平角的定义即可求出的度数． 【详解】解：如图， 四边形是长方形， ， ， ， ， 由折叠可得， ， 故答案为：． 11. 现有4根木条、长度分别为（单位：）：，从中取出三根连成一个三角形__________________ ．（任写一种即可） 【答案】，，（或，，） 【解析】 【分析】先列举从4根木条中任取3根的所有组合，再利用三角形三边关系判断各组合能否构成三角形，任写一种符合条件的组合即可． 【详解】解：从长度为，，，的4根木条中任取3根，所有组合为：，，；，，；，，；，，． ∵ ，不满足三边关系， 故不能构成三角形； ∵，不满足三边关系， 故不能构成三角形， ∵，，，满足三边关系， ∴构成三角形， ∵，，，满足三边关系， ∴构成三角形 综上：，，；，，这两种组合能构成三角形． 12. 在一个盒子中，装有若干个形状、大小相同的白球和黄球，如果盒子中有4个黄球且摸到黄球的概率为，那么盒子中白球的个数为____________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了根据概率公式求数量，根据概率公式，摸到黄球的概率等于黄球数量与总球数的比值，已知黄球数量为4，概率为，可求出总球数，再减去黄球数即得白球数量． 【详解】解：设总球数为，则， 解得：， 经检验是原方程的解， 故白球数量为：． 故答案为：16． 13. 如图，，若 ， ，且，则的度数为 _________ 度． 【答案】80 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出 、 ，根据直角三角形的性质求出 的度数，据此求解即可． 【详解】解：如图，交于点F， 、 ， 、 ， ， ， ， ， ， ． 三、解答题（共5道题，共48分） 14. 计算： （1）； （2） ； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先分别运算乘方，零次幂，负整数指数幂，再运算加减法，即可作答． （2）先运算同底数幂相乘，积的乘方，同底数幂相除，再运算加减法，即可作答． （3）先根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再运算加减法，即可作答． （4）先分别运算单项式乘多项式，单项式除以单项式，再运算加减法，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 15. 先化简，再求值：，其中 ． 【答案】 ， 【解析】 【分析】先根据整式乘法、完全平方公式、平方差公式计算括号内各项，合并同类项后，再计算多项式除以单项式得到化简结果，再根据非负数的性质求出m和n的值，代入化简后的式子计算得到最终结果． 【详解】解： ； ， ，且 ． ， ， 解得， 把，代入得：原式 ． 16. 如图，有一个可以自由转动的均匀转盘，转盘被平均分成6等份，3，4，5，6，7，8这六个数字，转动转盘，指针指向的数字即为转出的数字（指针停在边界线时重新操作），请回答下列问题： （1）随机转动一次转盘，转出数字2是 事件，转出数字7是 事件；（从“随机”，“必然”，“不可能”中选一个，填空） （2）随机转动转盘，转出的数字大于5的概率是 ； （3）现有甲、乙两人做转盘游戏，每人随机转动一次转盘，转盘停止转动后，转出数字为3的倍数时乙获胜，这个游戏公平吗？为什么？ 【答案】（1）解：不可能；随机 （2）解： （3）解：不公平 理由：∵数字为3的倍数的数字为3和6，共2个， ∴乙获胜的概率为，甲获胜的概率为， 由于， ∴这个游戏不公平． 【解析】 【分析】（1）根据不可能发生的事件为不可能事件，可能发生也可能不发生的事件为随机事件进行判断； （2）确定3的倍数的数据的个数，再利用概率公式求解； （3）分别计算甲、乙获胜的概率即可求解． 【小问1详解】 解：因为转盘上没有数字2，所以转出数字2是不可能事件； 因为转盘上既有数字7又有其它数字，所以转出数字7是随机事件． 【小问2详解】 解：因为转盘上共6个数字，大于5的数字有6、7和8，一共有3个，所以转出的数字大于5的概率是． 【小问3详解】 略 17. 如图，，，且 ，延长交于点F． （1）求证： ； （2）若点E是的中点，，的周长比的周长大2，求的周长. 【答案】（1）证明：∵ ， ∴ ， 在和 中， ， ∴； （2）16 【解析】 【分析】（1）根据 可证明 即可； （2）根据全等三角形的性质求出 ，根据中点的定义求出 ， ，再根据三角形周长定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ，且 ， ∴ ， ∵点E是的中点， ∴ ， ， ∵的周长比的周长大2， ∴ ， 即 ， 则 ， ∴ ， ∴的周长为 ． 18. 已知 平分 ， ，点E、F分别在射线、上运动，满足 ，连接 ． （1）如图1，当点F在点G左侧时，求证：； （2）如图2，当点F在点G右侧时，设 ， ，请直接用含α，β的代数式表示 的度数 ； （3）在射线下方有一点H，连接、，满足平分 ， ，若 ， ， ． 【答案】（1）证明： 平分 ， （角平分线的定义）， ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， ， （同位角相等，两直线平行）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义，可证 ，根据平行线的判定得到，再证明 ，即可证明； （2）利用角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的性质和角之间的关系，易得 ，最后利用 ，即可求解； （3）先求出 ，， ， ，再分类讨论，分为点F在点G左侧时和点F在点G右侧时，利用三角形的内角和即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 平分 ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 平分 ， ， ， ， ， ， ， ，即， 平分 ， ， ， 当点F在点G左侧时，如图， 在 中， ， 在 中， ， ； 当点F在点G右侧时，如图， 在 中， ， 在 中， ， ； 综上所述： 或 ． 三、填空题（共5道题，共48分） 19. 若，，则____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先根据同底数幂的除法法则、幂的乘方法则将所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解： 将，代入，得原式． 20. 七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，19世纪传到国外被称为“唐图”，则小球停留在阴影部分的概率为 _____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：如图， 设七巧板中最小的等腰直角三角形的面积为， 则根据七巧板，可得正方形的总面积为 ，阴影部分面积为 飞镖落在阴影部分的概率是． 21. 的展开式中不含x的一次项，则常数a的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的法则进行化简，然后令含x的项的系数为零，即可得出答案． 【详解】 ∵展开式中不含x的一次项， ∴，解得 故答案为：． 22. 如图，在中，，在运动过程中始终保持 ，连结和，当 值达到最小时，的值为 _______ ． 【答案】1 【解析】 【分析】过点B作，且 ，在上截取 ，连接，由可证 ，可得 ，由“”可证 ，可得 ，则 ，即当点C，点E，点H三点共线时， 有最小值，由“”可证 ，可得 ，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：如图：过点B作，且 ，在上截取 ，连接， ∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， 在 和 中， ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴当点C，点E，点H三点共线时， 有最小值， 此时，∵ ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ， ∴点H是的中点， ∴ ， ∴点P与点H重合， ∴ ， ∴ ． 二、解答题（共3道题，共30分） 23. 某公司门前一块长为米，宽为米的长方形空地要铺地砖，空白的，两正方形区域是建筑物，两正方形区域的边长为米． （1）用式子表示铺设地砖的面积； （2）当，时，需要铺地砖的面积是多少？ （3）在（2）的条件下，某种道路防滑地砖的规格是边长为米的正方形，每块 元，不考虑其他因素，如果要购买此种地砖，需要多少钱？ 【答案】（1）平方米 （2） 平方米 （3） 元 【解析】 【分析】（1）根据题意可得：需要铺地砖的面积长方形空地的面积两个建筑物的面积，然后化简即可得； （2）利用（1）的结论进行计算，将，代入求值即可； （3）利用（2）的结论，求出需要地砖的数量，再乘以单价，即可解答． 【小问1详解】 解： 铺设地砖的面积为平方米； 【小问2详解】 当，时，原式 （平方米） ∴需要铺地砖的面积是 平方米； 【小问3详解】 由题意可得： （元） ∴如果要购买此种地砖，需要 元． 24. “数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1是一个面积为的图形，同时此图中有4个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形和4个长、宽分别为a和b的长方形，可得到乘法公式． （1）如图2，若 ，则图中阴影部分面积的值为 ； （2）若 ，求代数式的值； （3）观察图3，可得到乘法公式： ； （4）根据以上知识，解决问题：已知 ， ，求的值． 【答案】（1） （2）3 （3） （4）19 【解析】 【分析】（1）注意到阴影面积 ，故只需利用完全平方公式的变形求出即可； （2）设 ，则 ， ，然后利用完全平方公式的变形求出即可； （3）图3正方形边长为 分割成小图形后面积相加，得展开式 ； （4）由 结合（3）的结论可得 ；将 乘2得 ，代入得 ． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴阴影面积． 【小问2详解】 解：∵ ， ∴ ， 设 ， 则 ， ， ∴ ， 即 ； 【小问3详解】 解：图3正方形边长为，面积为，正方形的面积也可以表示为 ， ∴ ； 【小问4详解】 解：∵ ， ， 且 ， ∴ ， ∴ ． 25. 如图，等腰中， ，E点为射线上一动点，作且 ． （1）如图1，过F点作 交于G点，求证： ； （2）如图2，连接交于D点，若 ，点E为中点； （3）如图3，当E点在的延长线上时，连接与的延长线交于D点，若，则＝ ． 【答案】（1）∵， ，， ∴， ∴，， ∴ ． 在 和 中，​， ． （2）过作 交于，则 ， ∴ ， 由（1）知， ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又 ， ， ， 即为中点． （3） 【解析】 【分析】（1）由垂直定义可得，由余角性质得 ．结合 可得． （2）过作 交于，由（1）中三角形全等得 ．结合 ，得，得 ． ，结合 ， ，得 ，即得为中点． （3）过作 交延长线于G，由（1）（2）中的三角形全等得 ，可得 ，由，得，得，即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过作 交延长线于G， 由（1）（2）知， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 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