精品解析：四川成都棠湖中学 2025～2026 学年下期半期学生学业质量监测 七年级 数学试题

棠湖中学2025～2026学年度下期半期学生学业质量监测 七年级 数学试题 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 一、选择题（每小题4分，共32分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. “墙角数枝梅，凌寒独自开”，梅花因为其自强不息、坚贞不屈的高洁品质常被世人传颂．若某梅花花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如果锐角的余角是，那么锐角是（ ） A. B. C. D. 4. 将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．若∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 5. 在中，，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AD是∠BAC的平分线，则∠ADC的大小为(　　) A. 25° B. 50° C. 65° D. 70° 7. 如果，那么的值为（　　） A. 49 B. 7 C. ﹣7 D. 7或﹣7 8. 如图，把长方形沿对折，若，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 要从小河a引水到村庄A，且距离最短，如图所示设计并作出的是最短路线，理由是_____． 10. 数学实践活动课中，老师布置了“测量小口圆柱形瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定，现测得C，D之间的距离为，那么小口圆柱形瓶底部的内径____________． 11. 若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是______． 12. 若代数式x2+3x+5可以表示为（x+1）2+a（x+1）+3的形式，则a＝__． 13. 如图，点D在边的延长线上，且．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交边，于点 M，N；再以点D为圆心，以长为半径画弧，交于点；再以点为圆心，以的长为半径画弧交前弧于点，作射线．已知点E为射线上一点，连接，请你添加一个条件______，使．(写出一个条件即可) 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 计算： （1）； （2） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据） 已知：如图，，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴（______）． ∴______（______）． ∵（已知）， ∴（等量代换） ______（______）． ∴______（______）． ∵（______）， ∴（等量代换）． 17. 已知：如图，点，，在同一条直线上，，，， （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 如图，直线，直线与、分别交于点、，．小轻将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，． （1）填空：________（填“>”“<”或“=”）； （2）若的平分线交直线于点，如图②． ①当，时，求的度数； ②小轻将三角板保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含的式子表示）． B卷（共50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 如图，一艘船从点出发，沿东北方向航行至点，再从点出发沿南偏东方向航行至点，则_____． 20. 已知，，则的值为______． 21. 已知a，b，c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|=______． 22. 如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________． 23. 若一个两位数满足其十位数字小于个位数字，则称这个两位数为“逐增数”，将“逐增数”的个位数字与十位数字的差放在的前面得到的三位数记为，将的个位数字与十位数字的差放在的后面得到的三位数记为，，如：当时，，，，若m为最大的“逐增数”，则________，已知，(，，为整数且，，)，，均为“逐增数”且满足为完全平方数，则的最大值与最小值之差为_______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 ； 例如：求代数式的最小值， ．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式： ； （2）已知，（为任意实数），求的最小值． 25. 有八张完全相同的直角三角形纸片，如图1所示，其边长分别为，，，且．现将其中四张纸片拼得如图2所示的正方形和正方形． （1）正方形的边长为_________． （2）请你用两种不同的方法表示正方形面积，并写出，，之间的数量关系． （3）若将剩余的四张纸片按图3的方式拼在图2外围，可得正方形．若正方形的面积为49，正方形的面积为289，求正方形的面积． 26. （1）【问题提出】如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）【变式探究】如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）【拓展应用】小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点H．经测量，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 棠湖中学2025～2026学年度下期半期学生学业质量监测 七年级 数学试题 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 一、选择题（每小题4分，共32分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的相关运算法则及同类项的概念，根据同类项合并规则、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法的运算法则逐一判断选项的正误． 【详解】A．与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. “墙角数枝梅，凌寒独自开”，梅花因为其自强不息、坚贞不屈的高洁品质常被世人传颂．若某梅花花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值小于1的数的科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可得到结果． 【详解】解：∴． 3. 如果锐角的余角是，那么锐角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵锐角的余角是， ∴， 4. 将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．若∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据∠1＝50°，∠FEG＝90°，求得∠3的度数，再根据平行线的性质，求得∠2的度数即可． 【详解】解：如图，∵∠1＝50°，∠FEG＝90°， ∴∠3＝40°， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3＝40°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 5. 在中，，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据三个内角的比例设未知数，利用三角形内角和为180°求出最大角的度数，进而判断三角形的形状． 【详解】解：∵在中，， ∴设， ， ∵三角形内角和为 ∴ 解得 ∴ ∴是直角三角形． 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AD是∠BAC的平分线，则∠ADC的大小为(　　) A. 25° B. 50° C. 65° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC，再根据AD是角平分线求出∠BAD，最后再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出． 【详解】解：∵∠C=90°，∠B=40°， ∴∠BAC=90°−40°=50°， ∵AD是角平分线， ∴∠BAD=∠BAC=25°， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+25°=65°， 故选C． 【点睛】此题考查了角平分线的定义和三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 7. 如果，那么的值为（　　） A. 49 B. 7 C. ﹣7 D. 7或﹣7 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方差公式对原式进行变形求解即可． 【详解】解：， ∴ ∴a-b=7或﹣7， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用和平方根的求解，平方差公式是． 8. 如图，把长方形沿对折，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用折叠的性质求出，再根据平行线的性质求出结果． 【详解】解：由折叠可得：， ∵长方形中，， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查图形的翻折变换，平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 要从小河a引水到村庄A，且距离最短，如图所示设计并作出的是最短路线，理由是_____． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短， 因此过点A作河岸的垂线段，理由是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短． 10. 数学实践活动课中，老师布置了“测量小口圆柱形瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定，现测得C，D之间的距离为，那么小口圆柱形瓶底部的内径____________． 【答案】75 【解析】 【分析】根据题意证明进而求解即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：75． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握证明三角形全等是解题的关键． 11. 若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是______． 【答案】14 【解析】 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a，b的值，根据等腰三角形的概念进行分类讨论，可得答案． 【详解】解：∵，且， 解得：， 设三角形的第三边为， 当时，，不能构成三角形， 当时，，能构成三角形； 此时，三角形的周长， 综上，该等腰三角形的周长是14． 12. 若代数式x2+3x+5可以表示为（x+1）2+a（x+1）+3的形式，则a＝__． 【答案】1 【解析】 【分析】先将（x+1）2+a（x+1）+3利用完全平方公式和去括号法则计算，再合并同类项，结合题意得出关于a的方程，解之可得答案． 【详解】解：（x+1）2+a（x+1）+3 ＝x2+2x+1+ax+a+3 ＝x2+（2+a）x+a+4， 由题意知2+a＝3， 解得a＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查整式的混合运算，掌握运算法则和完全平方公式的公式结构正确计算是解题关键． 13. 如图，点D在边的延长线上，且．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交边，于点 M，N；再以点D为圆心，以长为半径画弧，交于点；再以点为圆心，以的长为半径画弧交前弧于点，作射线．已知点E为射线上一点，连接，请你添加一个条件______，使．(写出一个条件即可) 【答案】 (或或) 【解析】 【分析】根据作图可知：，利用全等三角形的判定方法添加条件即可. 【详解】解：由作图，可知：， 又∵， ∴当时，得到； 当时，得到； 当时，得到. 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，绝对值，负整数指数幂，零指数幂，有理数的混合运算，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘方，绝对值，负整数指数幂，零指数幂的运算法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方进行计算，最后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式除以多项式的计算法则去中括号内的小括号，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式化简并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据） 已知：如图，，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴（______）． ∴______（______）． ∵（已知）， ∴（等量代换） ______（______）． ∴______（______）． ∵（______）， ∴（等量代换）． 【答案】 内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；对顶角相等 【解析】 【详解】略 17. 已知：如图，点，，在同一条直线上，，，， （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴； （2）2 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由得到，然后证明出，即可得到； （2）首先由全等三角形的性质得到，，然后求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ∴， ∴． 18. 如图，直线，直线与、分别交于点、，．小轻将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，． （1）填空：________（填“>”“<”或“=”）； （2）若的平分线交直线于点，如图②． ①当，时，求的度数； ②小轻将三角板保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线的定义，三角板的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点P作，交于点Q，利用平行线的判定和性质，解答即可． （2）①利用平行线的性质，角的平分线的定义，等量代换思想解答即可．②根据平移性质，平行线的性质，分类思想解答即可． 【小问1详解】 解：如图，过点P作，交于点Q， 则， ，， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①，， ， ， 的平分线交直线于点， ， ， ， ， ； ②当点N在点G的右侧时． ，， ， ， ， ， 的平分线交直线于点， ， 又， ； 当点N在点G的左侧时，如图： ，， ， ， ， ，， ， 的平分线交直线于点， ， ， 综上可知，的度数为或． B卷（共50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 如图，一艘船从点出发，沿东北方向航行至点，再从点出发沿南偏东方向航行至点，则_____． 【答案】60 【解析】 【分析】该题考查了方向角问题和平行线的性质，解本题需注意两点：（1）东北方向是指北偏东方向；（2）在同一平面内，从一个点引出的表示正北方向的射线和从另一个点引出的表示正南方向的射线是互相平行的．由题意可知，根据平行线的性质得出，再结合即可求解． 【详解】解：如图， 由题意可知， ， ， 故答案为：60． 20. 已知，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 21. 已知a，b，c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|=______． 【答案】3a﹣b﹣c． 【解析】 【详解】∵△ABC的三边长分别是a、b、c， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c=b﹣（a+c）＜0，c+b﹣a＞0， ∴|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a| =a+b﹣c﹣b+a+c﹣c﹣b+a =3a﹣b﹣c． 点睛：三角形三边满足两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可． 22. 如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了中点相关的面积问题，熟练掌握与中点相关面积的计算是解题的关键； 根据中点得到面积关系即可求得. 【详解】解：∵D为BC中点， ∴ 同理可得： ∴ ∵F是EC的中点， 故答案为：1 ． 23. 若一个两位数满足其十位数字小于个位数字，则称这个两位数为“逐增数”，将“逐增数”的个位数字与十位数字的差放在的前面得到的三位数记为，将的个位数字与十位数字的差放在的后面得到的三位数记为，，如：当时，，，，若m为最大的“逐增数”，则________，已知，(，，为整数且，，)，，均为“逐增数”且满足为完全平方数，则的最大值与最小值之差为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义，代数式，不等式的性质，数的整除等知识点，正确理解题意是解题的关键． 根据新定义，得到的最大值，结合题意，得到，，结合a，b，c为整数且，b，，以及完全平方数的定义，得到结果． 【详解】解：∵为最大的“逐增数”， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴ ， ∵为完全平方式， ∴是完全平方式， ∵，，为整数，且，，， ∴或1，9， 根据“逐增数”的定义可知，， ∴或(与题意不符)或(不合题意)， ∴， ∴ ， ∵c最大为， ∴a最大为， ∴当，时，最大，， 当，时，最小，， ∴， 故答案为：， 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 ； 例如：求代数式的最小值， ．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式： ； （2）已知，（为任意实数），求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过添加9构造完全平方式，再减去9使原式值不变，转化为平方差公式，最后分解为； （2）先计算，添加构造完全平方式，再减去，转化为，利用平方非负性得最小值为，即可得解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ∵，为任意实数）， ∴ ， ∵， ∴ ∴当时，的最小值是． 【点睛】解决本题的关键是通过添加适当的项构造完全平方式，结合平方差公式分解因式、利用非负数性质求字母值，以及通过完全平方式的非负性求代数式的最值． 25. 有八张完全相同的直角三角形纸片，如图1所示，其边长分别为，，，且．现将其中四张纸片拼得如图2所示的正方形和正方形． （1）正方形的边长为_________． （2）请你用两种不同的方法表示正方形面积，并写出，，之间的数量关系． （3）若将剩余的四张纸片按图3的方式拼在图2外围，可得正方形．若正方形的面积为49，正方形的面积为289，求正方形的面积． 【答案】（1）b−a （2）a2＋b2＝c2 （3）169 【解析】 【分析】（1）由已知的直角三角形直接可以得到正方形的边长； （2）方法一：用正方形边的平方直接得出正方形面积为c2；方法二：正方形面积＝正方形的面积＋4个直角三角形的面积可以得出正方形面积为a2＋b2；从而得出a2，b2，c2之间的数量关系为a2＋b2＝c2； （3）根据正方形的面积为289得出a＋b＝17①，再根据正方形的面积为49得出b−a＝7②，①＋②得出b＝12，从而求出a＝5，再根据正方形的面积＝a2＋b2得出结论． 【小问1详解】 解：由已知得：A2B1＝b，A2A1＝a， ∴A1B1＝A2B1−A2A1＝b−a， 故答案为：b−a； 【小问2详解】 解：第一种方法：正方形面积＝A2B22＝c2； 第二种方法：正方形面积＝正方形的面积＋4S△A2B2B1＝（b−a）2＋4×ab＝a2−2ab＋b2＋2ab＝a2＋b2； ∴a2，b2，c2之间的数量关系为：a2＋b2＝c2； 【小问3详解】 解：∵正方形的边长为：a＋b， ∴正方形的面积为：（a＋b）2＝289， ∴a＋b＝17①， ∵正方形的边长为：b−a， ∴正方形的面积为：（b−a）2＝49， ∴b−a＝7②， ∴①＋②得：2b＝24， ∴b＝12， ∴a＝5， ∴正方形的面积为：a2＋b2＝52＋122＝25＋144＝169． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的变形和二元一次方程组的计算，解题关键是熟练掌握完全平方公式的变形． 26. （1）【问题提出】如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）【变式探究】如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）【拓展应用】小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点H．经测量，，请直接写出的长． 【答案】 （1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，证明，即可得到结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得 ． 在和中， ∴， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $