2025-2026学年人教版八年级数下册期末模拟试题卷（四）

**基本信息** 本卷以生活实践、文化传承和科学情境为载体，通过“浮力秤”项目探究、赵爽弦图等设计，考查勾股定理、一次函数等核心知识，层次分明，适配八年级期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式性质、勾股定理逆定理、一次函数图像|结合人行横道标线考菱形边长，体现几何直观| |填空题|6/24|两点间距离公式、新定义运算、统计量分析|以关联数定义考正比例函数，培养符号意识| |解答题|7/66|勾股定理验证、一次函数应用、动态几何证明|“浮力秤”项目探究（题22），融合数据意识与模型观念|

2025-2026学年下学期八年级期末数学模拟试题卷（四） （考试时间：100分钟 卷面分值：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如果，则（　　） A． B． C． D． 2．给如图所示的无水泳池注水，泳池的前后侧面均为直角梯形，其余各面均为矩形．如果进水速度是均匀的，泳池内水（阴影区域）的高度h与时间t变化的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是、、，据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是（   ） A．直角三角形两个锐角互余 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和等于 D．勾股定理 4．如图，城市道路上的“人行横道预告标线”为白色菱形图案．根据国家标准《道路交通标志和标线》的规定，菱形的标准尺寸是：横向宽度为，纵向长度为，则菱形的边长是(    ) A． B． C． D． 5．氢气在氧气中燃烧生成水：，实验测得：在完全反应的情况下，参加反应的氢气质量（单位：g）与生成水的质量（单位：g）成正比例关系．当生成水时，消耗氢气，若要生成水，需要消耗氢气（     ） A． B． C． D． 6．如图，一束光线射入一块透明的矩形玻璃砖发生折射现象，光的传播路径会发生改变，光线路径为（不在同一条直线上），射入光线与射出光线平行，即．若射入光线与玻璃砖边的夹角度数为，那么射出光线与玻璃砖边夹角度数为（    ） A． B． C． D． 7．小明从家步行去书店买书，匀速走了一段时间后看到路旁有一辆共享单车，小明开锁后骑行到达书店（小明家和书店在同一条笔直的公路旁，距离为），如图所示的是小明离家的距离y与时间x的关系，则小明骑行的时间为（    ） A． B． C． D． 8．勾股定理在我国有着悠久的历史．三国时期的数学家、天文学家赵爽在给《周髀》作注时，利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理．后人通常把如图所示的“勾股圆方图”称为“赵爽弦图”．赵爽利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理所运用的数学思想是（   ） A．数形结合 B．方程思想 C．转化思想 D．统计思想 9．函数的图像为（   ） A． B． C． D． 10．为落实教育部“健康教育专项工程”，引导学生积极锻炼、增强体质．某校对九年级1班和2班男生的引体向上成绩进行调查，从两班各随机抽取10名男生测试，并将测试结果绘制成如下折线图．已知这两组成绩的平均数相等，则可估计这两个班成绩的方差和的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．化简：_______． 12．定义新运算“*”，若，则的值为_______． 13．如图，已知平面直角坐标系中任意两点的坐标、，求的长度？某数学兴趣小组这样解决：过点、分别作平行于轴、轴的直线交于点，则点的坐标为，那么，，在中，根据勾股定理得： ．在平面直角坐标系中，任意两点之间的距离均可用上述公式计算，我们称其为两点间距离公式． 若点、点，则的长度为________． 14．如图，点A、B在的对角线所在的直线上且．若，则_________． 15．新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________． 16．已知七名学生投篮，每人投了10个，其中小陈同学投中了4个，统计他们每人投中的个数，并进行整理和分析，得出下表．现给出下列说法；①有学生可能投中了9个；②投中6个的学生只有1人；③这七个数据之和可能为42；④m可能等于5．其中正确的是______．（填序号） 最小值 中位数 众数 平均数 2 6 7 m 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 17．（1）计算：； （2）如图，在数轴上以单位长度1为边长画一个正方形，则正方形的对角线长为．以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴交于点，若点，点所对应的数分别为，，且，试比较，和的大小． 18．如图，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕EF后再把纸片展平；在CD上选一点P，沿AP折叠，使点D恰好落在折痕EF上的点M处．求证：． 19．勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1和图2都是用4个以c为斜边，a，b为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形． (1)用含a，b的式子表示图1的大正方形的面积：________，用含a，b，c的式子表示图2的大正方形的面积：______； (2)利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理． 20．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知一次函数，其图象记为l．如图是绘图软件的视窗，可视范围为． (1)在第二、四象限内分别写出一个整点的坐标，要求这两个点在图象l上，且在视窗的可视范围内； (2)利用（1）中的整点画出一次函数的图象l； (3)求图象l与两坐标轴围成的三角形的面积． 21．校田径队教练选出甲、乙两名运动员参加100米比赛．对这两名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：）的数据进行收集、整理和分析，下面给出了部分信息． 【数据收集】乙运动员10次测试成绩： 【数据整理】为了便于分析数据，统计员对数据进行了整理，其中甲运动员10次测试成绩绘成条形统计图，如图所示． 【数据分析】甲、乙运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差如下表： 甲、乙运动员测试成绩统计表 运动员 平均数 中位数 方差 甲 a 乙 b c 请你根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)补齐甲运动员成绩条形统计图； (2)表中________，________，________； (3)学校从甲、乙两人中挑选一名运动员参加比赛，通过以上数据分析，你认为挑选哪名运动员更合适． 22．综合与实践 项目情境：“曹冲称象”的故事在我国家喻户晓，讲述了年幼的曹冲借助一艘船称出大象体重的故事．数学兴趣小组的同学们在佩服曹冲聪明机智的同时，模仿故事里曹冲的称象思路，制作了一把“浮力秤”． 项目探究：如图，将一个带刻度的长方体量杯浸入水中，小组成员通过在杯中放入不同质量的物体，观察杯子浸入水中的深度，设放进杯中物体的质量为，杯子浸入水中的深度为，得到如下一组数据： 杯中物体的质量/kg 杯子浸入水中的深度/cm      问题解决： (1)根据表中数据，在图所给的平面直角坐标系网格中描出相应的点，并画出函数图象． (2)根据表中数据及（1）中所画函数图象，试判断当放入杯中物体的质量在～时，能否用一次函数刻画两个变量和之间的关系．如果能，求出这个一次函数的解析式． (3)当放入杯中物体的质量为时，求杯子浸入水中的深度． (4)若该量杯的高度为，请通过计算说明此“浮力秤”是否可以称质量为的物体． 23．如图1，在矩形中，，，，分别是，的中点，连接．动点从点出发，沿折线向终点运动，连接，设点运动时间为秒（）． (1)当点运动到中点时． ①尺规作图：在图1中，画出线段（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②求证：； (2)如图2，当点在边上运动时，过点作于点．若，点的平均速度为，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年下学期八年级期末数学模拟试题卷（四） （参考答案及解析） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B B B A C A D C 1．B 【分析】此题考查二次根式的性质，根据二次根式与绝对值的性质，分析等式成立的条件． 【详解】由题意，， ∴， 解得 故选B． 2．A 【详解】解：依题意可知，开始的一部分时间，随着t的增加，高度增加得逐渐平缓，之后随着t的增加，高度增速不变，所以符合题意的只有A选项． 3．B 【分析】利用勾股定理的逆定理求解即可. 【详解】解：∵ 三角形三边长为、、， 而， 即两条较短边的平方和等于最长边的平方， 这种由边长关系判定直角三角形的依据是勾股定理的逆定理. ∴B符合题意. 4．B 【分析】由菱形的性质推出，，，由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接、交于， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， 5．B 【分析】本题已知与成正比例，根据正比例函数的定义设出解析式，代入已知条件求出函数解析式，再将生成水的质量代入解析式即可求出消耗氢气的质量． 【详解】解：∵参加反应的氢气质量与生成水的质量成正比例， ∴设， 把，代入解析式得， ， 解得， ∴与的函数解析式为， 当时，， ∴需要消耗氢气． 6．A 【详解】解：延长交于点N， ∵， ∴， ∵ 四边形是矩形， ∴ ， ∴， 7．C 【分析】根据函数图象分析小明的运动过程，确定骑行阶段的起始时间和结束时间，两者之差即为骑行时间． 【详解】解：由图象可知，小明在步行， 在停留开锁， 在骑行． 骑行的起始时刻为第，结束时刻为第． 骑行的时间为． 8．A 【详解】解：赵爽弦图是通过几何图形的面积关系来推导代数的勾股定理公式， 把数和形结合起来，这种思想是数形结合思想． 9．D 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于（k为常数，），当，，的图象在一、二、三象限；当，，的图象在一、三、四象限；当，，的图象在一、二、四象限；当，，的图象在二、三、四象限． 根据一次函数图象与系数的关系判断即可． 【详解】解：∵函数中，， ∴图象在二、三、四象限． 只有D符合． 故选：D． 10．C 【分析】方差是反映一组数据离散程度的统计量，方差越大，数据的上下波动越大，数据越不稳定，从两组数据的波动情况可以直观得出答案． 【详解】解：从每组数据的波动情况看，第二组的数据波动比第一组数据波动大，所以第一组数据的方差小于第二组数据的方差，即． 11． 【分析】直接进行分母有理化运算即可． 【详解】解：． 12． 【详解】解：∵，， ∴. 13． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点间的距离公式．根据题目给出的公式，直接提取点A和点B的横纵坐标，代入公式进行有理数的混合运算即可求解． 【详解】解：根据题意，两点间距离公式为， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴令,，,，代入公式得：． 14．/35度 【分析】利用平行四边形的性质证明即可． 【详解】解：∵中， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．5 【分析】根据新定义写出对应一次函数，利用正比例函数的定义得到常数项为，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：根据新定义可知，“关联数”对应的一次函数为 ，其中，符合一次函数定义． ∵该一次函数是正比例函数， ∴， 解得：． 16．①④ 【分析】本题考查了统计量（最小值、中位数、众数、平均数）的概念与应用，解题的关键是根据已知统计量推断数据的分布特征，再逐一验证各说法的合理性． 【详解】解：已知7名学生投篮，每人投个，小陈投中4个，统计数据的最小值为2，中位数为6，众数为7． 将7个数据按从小到大排列为：， ∵中位数为6， ∴ ∵众数为7， ∴7出现的次数最多，至少出现2次． ∵最小值为2， ∴ 又∵小陈投中4个， ∴数据中包含4． ①有学生可能投中9个数据排列可为2，4，x，6，7，7，y，其中y可为9，符合所有条件，故①正确． ②投中6个的学生只有1人：中位数为6，数据中可能有多个6（如2，4，6，6，7，7，7），无法确定只有1人，故②错误． ③这七个数据之和可能为，若数据之和为，其中一种可能的数据组合为， ， ， ， ， ， ，但此时众数为6和7，与已知众数为7矛盾，故③错误． ④可能等于5当数据为2，2，4，6，7，7，7时，， 符合众数为7的条件，故④正确． 故答案为：①④． 17．（1）；（2） 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，实数与数轴，二次根式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简立方根、算术平方根，化简绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先理解题意得出，，即可得，结合数轴得出，，再算出，，最后比较，和的大小，即可作答． 【详解】解：（1）原式； （2）由题意得，， ， ， ， ，， ，， 则 ． 18．证明见解析 【分析】本题考查矩形的性质、垂直平分线的性质、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 连接，根据对折矩形纸片，为折痕，证得垂直平分，沿折叠，使点D落在矩形内部点M处，证得，进而证得，根据直角三角形的性质，证得即可． 【详解】证明：连接，如图： ∵对折矩形纸片，为折痕， ，， 垂直平分 沿折叠，使点D落在矩形内部点M处， 为等边三角形 ． 19．(1)； (2)见解析 【分析】（1）根据题干图将正方形中各小图形面积相加即可； （2）根据两个大正方形的面积相等推导即可． 【详解】（1）解：图1的大正方形的面积； 图2的大正方形的面积； （2）解：由题图可知，两个大正方形的边长都是， ∴两个大正方形的面积相等， ， 化简可得． 20．(1)或 (2)见解析 (3)1 【分析】（1）根据一次函数解析式分别求出整点值即可． （2）根据（1）中整点值画出一次函数图象l即可． （3）分别求出一次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后求图象l与两坐标轴围成的三角形的面积即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 则在第二、四象限内整点的坐标为或． （2）解：图象l如图所示： （3）解：当时，，可知图象l与y轴交于点， 当时，解得，可知图象l与x轴交于点， ∴图象l与两坐标轴围成的三角形的面积等于． 21．(1) ； (2)，， (3)选择乙运动员参加比赛 【分析】（1）求出第6次的成绩，据此补齐条形统计图即可； （2）根据平均数，中位数，方差的定义求解即可； （3）根据平均数，中位数，方差进行分析求解即可． 【详解】（1）解：甲运动员的10次测试成绩的平均数是，总成绩为， ∴第6次的成绩为， 据此补齐条形统计图略 （2）解：将甲运动员的10次成绩从小到大排列为：， 中位数是第5和第6个数据的平均数，即， 乙运动员的平均数， 乙运动员成绩的方差 ； （3）解：选择乙运动员更合适，理由如下： 从平均数看，乙的平均数大于甲的平均数，说明乙的整体成绩较慢； 从中位数看，乙的中位数大于甲的中位数，说明乙的中间水平成绩较慢； 从方差看，乙的方差小于甲的方差说明乙的成绩更稳定． 综合来看，乙运动员的成绩更稳定，所以选择乙运动员参加比赛． 22．(1)解：如图所示， (2)能，这个一次函数的解析式为 (3) (4)不能 【分析】（1）根据表中数据在平面直角坐标系中描出点，然后用直线连接即可； （2）利用待定系数法，将两个点代入求解； （3）先换算单位，再将代入求解； （4）将代入求出的值，再将的值换算单位后与进行比较大小即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：能， 由图像可知，该函数图像是一条直线， ∴设该函数解析式为， 将点分别代入中， 得，解得， ∴该函数的解析式为． （3）解：∵， 将代入中，解得， ∴杯子浸入水中的深度为． （4）解：将代入中，解得， ∵， ∴此“浮力秤”不可以称质量为的物体． 23．(1)①作图见解析；②证明见解析 (2)或． 【分析】（1）①作线段的垂直平分线，得到中点，连接即可；②当点P运动到中点时，则，结合点M、N分别是中点，，可得，即可证明． （2）当点P在边上时（点P不与点D重合），得出，再根据，，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①如图，线段即为所求； ②∵矩形， ∴，， 当点P运动到中点时，则， ∵点M、N分别是中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点P在边上时（点P不与点D重合）， ∵，矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， 则， 解得：或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $