第15讲 抛物线的二级结论讲义--2027届高考数学二轮复习 （新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦抛物线核心考点，涵盖定义、几何性质、直线与抛物线位置关系及二级结论，按“常用结论—切线方程—应用题型”逻辑架构，通过考点梳理（如焦半径公式推导）、方法指导（点差法、导数法）、真题训练（12个题型分层设计），帮助学生构建知识网络，突破解题难点。 讲义突出二级结论实战价值，采用“结论推导—题型分类—变式训练”教学活动，如阿基米德三角形性质探究中，引导学生从切线方程推导垂直关系，培养数学思维的推理能力。设置分层练习配合即时反馈，确保高效复习，提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第15讲 抛物线的二级结论 目 录 抛物线常用结论 1 切线方程 10 抛物线常考的二级结论的应用 18 题型01：抛物线的焦半径和焦点弦长与坐标有关的公式 18 题型02：抛物线的焦半径和焦点弦长与倾斜角有关的公式 20 题型03：与焦半径有关的定值的公式 23 题型04：与倾斜角有关的面积定值公式 28 题型05：过焦点的直线中三点共线问题 31 题型06：过焦点的直线中角平分线问题+斜率为定值 36 题型07：过焦点直线中四个相切圆 41 题型08：抛物线中的中点弦问题 45 题型09：抛物线中的切点弦问题 49 题型10：抛物线中的定值问题 52 题型11：抛物线中的定点问题 57 题型12：阿基米德三角形有关结论 62 抛物线常用结论 一：抛物线弦中点问题 若直线与抛物线交于，两点， 且是线段AB的中点，如图，则． 证明 因为点，都在抛物线上， 所以（点在抛物线上），所以（作差）， 所以，所以． 因为，，所以． 注：这里给出的都是焦点在x轴上的情形，焦点在y轴上时需要再根据点差法推导，不能直接套结论．点差法得到的结论在小题中可以直接用，在大题中要有推导过程． 二：抛物线的切线 1．抛物线的切线 先将抛物线转化为函数的图象，然后直接求导得到，因此抛物线在点处的切线方程为，又，所以切线方程为．如图． 综上，抛物线在点处的切线方程为． 2．抛物线的切线 如图，先将抛物线的图象一分为三，x轴上方为一部分，x轴下方为一部分，原点处单独讨论． ①易得抛物线在原点处的切线方程为． ②抛物线在x轴上方的部分可以看成y关于x的某个函数的图象，于是在两边对自变量x求导，得到（隐函数求导，详见层数部分大招）．进而得到，因此抛物线在点处的切线方程为，又，所以． ③依葫芦画瓢，当点在x轴下方时，切线方程也为． 结合①②③可得，抛物线在点处的切线方程为． 三：抛物线的硬解定理 1．抛物线的硬解定理 如果与抛物线有两个交点，．先将直线与抛物线进行联立， 得到，于是判别式， 再根据韦达定理得到 于是有， 从而． 2．抛物线的硬解定理 如果直线与抛物线有两个交点，．先将直线与抛物线进行联立， 得到，于是判别式， 再根据韦达定理得 于是有， 从而． （实际上与抛物线的硬解定理的区别就是把A，B对调了一下） 四：抛物线焦点弦的常用结论 设抛物线方程为，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于两点，为原点，为与对称轴正向所成的角，的中点为，又作，垂足分别为，则 1.． 证明：因为焦点坐标为，当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为：，由得：，，． 当轴时，直线AB方程为，则，，∴，同上也有：． 2.焦半径长公式：（坐标式）； 夹角式：（在轴上方，在轴下方）． 证明：由抛物线的定义易得． 又，同理可证． 3.焦点弦长公式：． 证明：由（2）可得弦长： （4）通径长公式：（通径最短）． 证明：当轴时，直线AB方程为，则，，∴通径长公式：． 4.AF，BF的数量关系：． 证明：由，得，又 ， ． 5.三角形AOB的面积：． 证明：点到直线的距离就是的高，， ． 6.中点弦斜率：若斜率为，，则． 证明：，由点差法得 7. 直线的斜率之和为零，即． ①：角平分线FK的斜率为定值0 ②：过A、B作FK的垂线，斜率不存在（定值特征） ③：直线AB与FK的斜率乘积为定值（含倾斜角关系） 核心结论：设直线的倾斜角为，则（定值）；若，则，乘积恒为0. 核心结论：设直线的倾斜角为，则（定值）；若，则，乘积恒为0. 总结：角平分线问题中的斜率定值体系 结论类型 斜率定值内容 适用条件 两直线斜率和 任意过焦点的直线AB 角平分线斜率 任意过焦点的直线AB 垂线斜率 过A、B作FK的垂线，斜率不存在 任意过焦点的直线AB 斜率乘积 AB倾斜角 证明：，， ， 分子， 直线的斜率之和为零：，即． 8.焦点弦与圆有关的结论 ①以为直径的圆与准线相切；（以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切） ②以为直径的圆与轴相切； ③以为直径的圆与轴相切； ④分别以为直径的圆之间的关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切． 证明：过点作于，则是梯形的中位线，由抛物线的定义知 ， 即以为直径的圆与准线相切，同理可证②，③． ④分别以为直径的圆有以下关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切． 9.拓展：过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切 已知AB是抛物线的过焦点F的弦，分别过点A、B作准线的垂线，垂足为点M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB相切. 10.由焦点弦得出有关直线垂直关系的结论 ①以为直径的圆的圆心在准线上的射影与两点的连线互相垂直，即； ②以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即； ③以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即； ④以为直径的圆必过原点，即； ⑤． 证明：①准线与圆相切，圆的圆心在准线上的射影就是切点， 直径所对的圆周角是直角，．同理可证②，③：． ④由抛物线的定义知，////， ，而，即． ⑤易知，又． 11.点三点共线；点三点共线． 证明：由（1）知． 点三点共线．同理可证：点三点共线． 12.如图，点A，B是抛物线，O为原点，若，则直线AB过定点． 证明：．设，则 ，直线方程为， 即，直线AB过定点． 13.与抛物线焦点弦有关的比例问题 一般地，与抛物线焦半径有关的比例问题，可采用构造相似三角形，寻找相似比例进行转化. 已知抛物线E：的焦点为，准线为.过点的的直线m与E交于A，B两点，与y轴交于点C，与交于点D.过点A，B，C，D分别作两轴的垂线，可构成如图的多对相似三角形，如：，因此有；如，因此有等。一般地，为了利用比例进行转化，需要用两个条件：一是利用抛物线的定义进行转化；二是要把比例式转化成含有（即含p）的比例式. 五：抛物线阿基米德三角形 切线方程 证法1：设抛物线上一点的切线方程为：，代入，整理得，由，得 因为抛物线上一点处的切线是唯一的， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，所求的切线方程为，即，又，过抛物线上一点的切线方程为：。 证法2：导数法：，甴导数的几何意义得所求切线的斜率为所求的切线方程为，即，又，过抛物线上一点的切线方程为：。 1.抛物线与弦之间所围成区域的面积（图二中的阴影部分）为阿基米德三角形面积的。 2.阿基米德三角形底边（弦AB）上的中线平行于抛物线的轴。 证明：设,M为弦AB的中点，则过A的切线方程为，过B的切线方程为，，联立方程 解得两切线交点，又， 3、QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB平行. 证明：设，弦AB的中点，则 带入抛物线满足方程，所以点P在抛物线上， 4、若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内的定点则另一顶点的轨迹为一条直线。 证明：设为抛物线内的定点，弦AB的过定点C，， 满足，， 5、若直线 与抛物线没有公共点，以 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线方程为: ,则定点的坐标为 . 证明：由性质4的证明可知：点Q的轨迹方程为直线，与表示同一条直线，其中是弦AB经过的定点，所以 可得：弦AB所在的直线过定点. 6、抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹． 证明：由性质4的证明可知：点Q的轨迹方程为直线，其中为弦AB的经过的定点．∵点C又为弦AB的中点，，而弦AB所在的直线方程斜率由点差法可得，又∵直线AB与Q的轨迹方程不重合，故可知两线平行． 7、底边为 的阿基米德三角形的面积最大值为 . 证明：设，弦AB的中点，， 点Q到AB的距离8、. 证明：， ． 所以. 8、抛物线上任取一点(不与 重合), 过作抛物线切线交于,连接 , 则的面积是面积的2倍 证明：由阿基米德重要结论：抛物线与弦之间所围成曲面区域的面积为阿基米德三角形面积的三分之二可知：的面积是弦AB与抛物线围成的曲面面积减去弦和弦与抛物线围成的曲面面积，即 所以的面积是面积的2倍 9、在阿基米德三角形中, 10、若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点的轨迹为准线,反之，若阿基米德三角形的顶点 在准线上,则底边一定过焦点。 证明：因为点Q的轨迹方程为直线，且 反之，若Q的轨迹方程为，因为弦AB过得定点为，所以弦AB过焦点。 11、若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶角为直角，且阿基米德三角形的面积最小值为 证明：，所以 12、在抛物线上任意取一点,（不与A、B重合），过做抛物线的切线交QA、QB、于S、T两点，则三角形QST的重心在准线上。 证明： 六：抛物线中的定值问题 1：直线AK与BK的斜率之和为定值0 核心结论：直线与直线的斜率之和为定值，即（说明与关于轴对称）. 2：角平分线FK的斜率为定值0 核心结论：角平分线所在直线的斜率为定值（即与轴重合）. 3：过A、B作FK的垂线斜率恒不存在 核心结论：过点、分别作角平分线（轴）的垂线，两条垂线的斜率均恒不存在（即垂线为垂直于轴的直线），垂线方程分别为、. 4：直线AB与FK的斜率乘积为定值0 核心结论：设直线的倾斜角为，则（定值）；若，则，乘积恒为0. 5：焦点弦的长度倒数和为定值 核心结论：过焦点的焦点弦，则为定值. 核心结论：过焦点的焦点弦，则为定值. 6：焦点弦端点与原点连线的向量乘积为定值 核心结论：设为坐标原点，则向量为定值. 核心结论：设为坐标原点，则向量为定值. 7：过焦点弦端点的切线交点相关定值 核心结论：过焦点弦两端点的抛物线切线交于点，则：1.点恒在准线上；2.（切线斜率乘积为-1）. 核心结论：过焦点弦两端点的抛物线切线交于点，则：1.点恒在准线上；2.（切线垂直，斜率乘积为-1）. 8：焦点弦中点到原点距离与弦长的定值关系 核心结论：设为焦点弦的中点，为坐标原点，则为定值. 9：过原点的定点弦的斜率乘积定值 核心结论：过定点的直线交抛物线于、两点，则为定值（为坐标原点）. 核心结论：过坐标原点作直线交抛物线于、两点，则为定值（若弦过定点，则斜率乘积为定值）. 10：抛物线上点到定点连线斜率和为定值 核心结论：设抛物线上两点、满足（为定值），定点，则直线、的斜率之和为定值. 抛物线定值问题体系 结论类型 定值内容 适用条件 结论1：两直线斜率和 任意过焦点的直线AB 结论2：角平分线斜率 任意过焦点的直线AB 垂线斜率结论3：垂线斜率 过A、B作FK的垂线，斜率不存在 任意过焦点的直线AB 斜率乘积结论4：斜率乘积 AB倾斜角 结论5：焦点弦长度倒数和 任意过焦点的直线AB 向量点积结论6：向量点积 任意过焦点的直线AB 结论7：切线斜率乘积 AB为过焦点的弦，P为切线交点 中点距离与弦长关系 M为过焦点弦AB的中点，O为原点 过定点弦斜率乘积结论8：中点距离与弦长关系 CD过定点(a,0)，交抛物线于C、D 定点连线斜率和 E、F在抛物线上，，A为(p,0) 七：抛物线中的定点问题 1：抛物线上动点与定点连线的中垂线过定点 核心结论：设定点，抛物线上任意动点，则线段的中垂线恒过定点。 2：过抛物线定点弦的中点轨迹过定点 核心结论：过定点的直线交抛物线于、两点，设为的中点，则点的轨迹恒过定点。 3：抛物线动切线过定点 核心结论：设抛物线上动点，过作抛物线的切线，若切线满足（为参数），则该切线恒过定点（即抛物线的准线与轴交点）。 抛物线定点问题 结论类型 定点内容 适用条件 中垂线过定点 恒过 动点在抛物线上，定点 中点轨迹过定点 恒过 弦过定点，为中点 动切线过定点 恒过 切线过抛物线上点 抛物线常考的二级结论的应用 题型01：抛物线的焦半径和焦点弦长与坐标有关的公式 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点.若线段AB中点的横坐标为3，则 . 【答案】8 【分析】根据抛物线的焦点半径公式得焦点弦长，由此计算． 【详解】设点,由题意可得. . 故答案为：8. 【变式训练1-1】若A、B为抛物线上不同于一个象限上的两个点，为抛物线的焦点，连接AB，若AB过焦点且，若的横坐标为的横坐标为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意结合抛物线的定义可得，代入运算即可得结果. 【详解】由抛物线方程可知， 因为直线AB过焦点， 则， 即，所以. 故选：D. 【变式训练1-2】根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为 . 【答案】14 【分析】求出，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得答案． 【详解】由抛物线方程得， 设，， 由抛物线性质，与轴的交点即为抛物线的焦点， 所以，，， 所以， 即该光线经过的路程为， 故答案为： 【变式训练1-3】已知抛物线的焦点为，圆．如图，过点的直线与抛物线和圆的交点依次为，，，，则的最小值为 （请用表示）．    【答案】 【分析】设，，由抛物线焦半径公式得，再由，结合基本不等式即可求解； 【详解】根据题意，圆，可得， 所以该圆的圆心为，所以，， 所以， 设点，，易知斜率不为0，设方程为， 联立抛物线方程消去可得，所以， 又，两式相乘可得， 所以， 因，当且仅当时等号成立． 即时，取得最小值. 故答案为： 题型02：抛物线的焦半径和焦点弦长与倾斜角有关的公式 【典型例题】已知抛物线 ，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，且 ，则直线 的斜率为 . 【答案】 【分析】过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为，设，则，利用即可求解. 【详解】当直线斜率为正时，如图所示， 过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为， 设，则， 由抛物线定义可知，，， 所以，， ， 在中，， 则直线 的斜率. 由对称性可知，当直线斜率为负时，. 故答案为： 【变式训练2-1】已知抛物线C：的焦点为F，且C的准线与x轴的交点为M．若直线l与C交于D，E两点，且，，则的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】根据题意，设l的倾斜角为，根据焦半径公式可推焦比公式，解出倾斜角，再回代可得，再利用求解即可. 【详解】由得直线l过焦点F，且． 由对称性可设点D在第一象限，则l的倾斜角为． 过点D，E作准线的垂线，垂足分别为H，I，过点D，E作x轴的垂线，垂足分别为G，K， 则，解得；，解得． 故由得，解得，所以． 又，解得， 所以． 故选：D. 【变式训练2-2】已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为 【答案】 【分析】根据焦点弦长公式，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 所以，所以，， 所以， 所以直线的斜率为. 故答案为： 【变式训练2-3】已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点.若为锐角，作线段的中垂线，交轴于点，则 . 【答案】4 【分析】利用抛物线方程消元，来表示直线的斜率，从而可得中垂线方程求解点坐标，再利用直角三角形中的正弦函数来表示线段关系，即可化简求值. 【详解】 设，，的中点为，过点作线段的中垂线，交轴于点， 因为， 所以的中垂线的方程为， 令得，，即， 又因为在直角三角形中，根据，所以由正弦函数可得， 则， 再过点作轴垂线，垂足为，由直角三角形性质可得， 在直角三角形中，由正弦函数可得 则， 所以， 故答案为：4. 题型03：与焦半径有关的定值的公式 【典型例题】（多选）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的中点到轴的距离为 C． D． 【答案】AC 【分析】选项A：将焦点坐标代入直线中求出的值即可；选项B：联立直线与抛物线方程，结合韦达定理以及抛物线定义，得出线段的中点到轴的距离为；选项C：利用抛物线定义结合平行性质即可求解；选项D结合选项B中的韦达定理的结论以及抛物线定义化简代入即可. 【详解】对于A：由题可知在直线上， 所以， 故抛物线的方程为， 故选项A正确； 对于B，设， 联立，整理得： ， 由， 所以， 根据抛物线定义得： ， 所以线段的中点到y轴的距离为线段， 故选项B错误； 对于C，如图所示，    因为，     所以， 因为轴，轴， 所以， 所以 ， 故选项C正确； 选项D：因为 故选项D错误， 故选：AC. 【变式训练3-1】已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的焦点坐标求出，设出，坐标，联立直线和抛物线，利用设而不求思想结合基本不等式进行转化求解即可． 【详解】 如图，设抛物线的焦点坐标为， 焦点为， ，得，即抛物线方程为， 当轴时，易得，，则， 则； 当不垂直轴时，设斜率为，，， 则直线的方程为， ，代入 可得，即， 则，， 过分别作准线的垂线，垂足分别为， 则，， ， 则， 于是，， 当且仅当，即时取等号. 综上：因,故 的最小值为. 故选：C. 【变式训练3-2】已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于A，B两点，求的最小值． 【答案】36 【分析】方法一：根据焦点为在直线上知为焦点弦，设，根据抛物线定义可得，从而，联立抛物线方程和直线方程，消去y得到关于x的二次方程，利用韦达定理求得的值，从而可得的最小值；方法二：利用抛物线焦点弦的性质并结合基本不等式即可求解． 【详解】方法一：设， 抛物线的准线为，焦点为， ∵焦点在直线上， ∴由抛物线的定义，知， 如图，联立，化简得，    由一元二次方程根与系数的关系得， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为36． 方法二：如图，抛物线的焦点在直线上，    ∴为焦点弦，∴， ∴，∴ ， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为36． 【变式训练3-3】（多选）过抛物线：（）的焦点的直线交于，两点，其中是的中点，点到轴的距离的最小值为，为坐标原点，则下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．点的轨迹方程是 【答案】ABD 【分析】设直线的方程，与抛物线方程联立求出点的坐标，利用最小值求出，再结合抛物线定义逐项求解判断. 【详解】抛物线的焦点，显然直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去得，， 设，则,，弦的中点， 对于A，当时，取得最小值，又点到轴的距离的最小值为， 因此，解得，A正确； 对于B，，，， 因此，B正确； 对于C，，， 则，C错误； 对于D，设，则，消去得，则点的轨迹方程是，D正确. 故选：ABD 题型04：与倾斜角有关的面积定值公式 【典型例题】已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为 ． 【答案】8 【分析】首先利用抛物线的定义求出，确定抛物线方程；然后设直线的倾斜角为，利用焦点弦的面积公式求出；最后结合焦点弦的性质和弦长公式，即可求解. 【详解】由已知得，则，所以抛物线方程为， 设直线的倾斜角为， 由于直线过焦点，， 又，所以. 故答案为：8. 【变式训练4-1】已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】直线与抛物线联立方程组，求出点的坐标，由，求得，即可计算选项中的结论. 【详解】设，， 因为，直线的斜率为，则设直线的方程为，      联立方程，消去y得，解得或， 又因为点在第一象限，则，即， 因为，即，故正确； 因为，所以，故B正确； 且，故C正确； 因为， 且直线的方程为，即为， 原点到直线的距离为， 所以，故D错误. 故选：ABC. 【变式训练4-2】已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆与抛物线的准线相切于点.若为坐标原点，则的面积为 . 【答案】 【分析】先求得，由条件推得轴，由推出，得到这些的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式求得，即得的面积. 【详解】 依题意，得，则抛物线的方程为. 由题意可知与抛物线的准线垂直， 在中，，则， 则直线的方程为. 由消去并化简整理得： 易得，则， 又原点到直线的距离为， 故. 故答案为：. 【变式训练4-3】设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，则三角形的面积为 . 【答案】/ 【分析】根据直线方程求出焦点，进而得到抛物线方程，与直线方程联立后得到两根之和，进而得到弦长，结合点到直线距离求出面积. 【详解】由题意可知直线过点，即为抛物线的焦点， 所以，抛物线的方程为， 设， 由消去并化简得， 解得，所以， 直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为. 故答案为： 题型05：过焦点的直线中三点共线问题 【典型例题】（多选）已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．若，则直线的斜率为 C．三点共线（其中为坐标原点） D． 【答案】ACD 【分析】由抛物线的定义可得，，再利用角的关系即可得出；根据定义可得，即可得出角，进而得出直线的斜率为；设，则，证明即可；由题可得，结合焦半径公式即可证明. 【详解】 连接，根据抛物线定义可知，所以， 又由于轴，所以， 所以，同理可证， 所以， 即，故正确； 过作于，设，则，， 所以， 所以，由对称性可知直线的斜率为，故B错误； 设，则， 由于，由于三点共线， 则， 又由于，则，由于， 则，所以，， 所以， 即，所以三点共线，故C正确； 由于，则，即，所以， 所以，故D正确． 故选：ACD． 【变式训练5-1】（多选）已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（    ） A．若直线BD的斜率为1，则 B．以BD为直径的圆与y轴相切 C． D．B，O，G三点共线 【答案】ACD 【分析】对于A，联立直线方程与抛物线方程，结合焦点弦长公式以及韦达定理即可判断；对于B，由抛物线的性质即可判断；对于C，结合内错角相等即可得证；对于D，设直线OB与准线l交于，只需说明重合即可. 【详解】抛物线的焦点，准线，点，设， 对于A，直线，由， 消去y得，所以，所以，故A正确： 对于B，，线段BD中点横坐标， 弦BD中点到准线的距离为，因此以BF为直径的圆与准线相切，故B错误； 对于C，由，得，同理， 则，故C正确． 对于D，设直线，联立，得，则， 直线，直线OB与准线l交于， 联立，解得， 又，所以，即H与G重合，所以B，O，G三点共线．故D正确． 故选：ACD 【变式训练5-2】（多选）已知抛物线的焦点为，且抛物线过点，过点的直线与抛物线交于两点，分别为两点在抛物线准线上的投影，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（   ） A．线段长度的最小值为4 B．的形状为锐角三角形 C．三点共线 D．的坐标可能为 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的性质可判断；根据抛物线的定义和平行线的性质可判断；设直线，，联立抛物线及直线方程，结合韦达定理及三点共线的斜率关系可判断；设的中点为，，可得，取可判断 【详解】对于：抛物线过点，所以，所以， 所以线段长度的最小值为通径4，故正确； 对于：由定义知，轴， 所以，同理， 所以，故错误； 对于：设直线，， ，得， 则， 因为，所以，所以三点共线，故正确； 对于：设的中点为，， 则， 取，可得，故正确. 故选：. 【变式训练5-3】证明抛物线焦点弦端点在准线上的投影为，则三点共线，三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】设，可得坐标，设直线方程与抛物线方程联立，可得，计算，即可证得三点共线，同理可得三点共线． 【详解】如图，设， 又焦点弦端点为，设直线方程为 因为在准线上的投影为， 则，则 联立消去得，则． 所以． 所以三点共线． 同理三点共线． 题型06：过焦点的直线中角平分线问题+斜率为定值 【典型例题】（多选）已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，在第一象限，抛物线的准线与轴交于点，则（   ） A． B．时， C．以为直径的圆与准线相切 D． 【答案】ACD 【分析】A选项，过焦点的直线方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，计算出；B选项，由焦点弦长公式得到方程，得到，不妨设，解得，，求出，，；C选项，求出的中点坐标为，计算出到准线的距离为，C正确；D选项，计算出，得到D正确. 【详解】A选项，设过焦点的直线方程为， 联立，可得，， ，，则，故A正确； B选项，，故， 当时，，解得， 由对称性，不妨设，则，， 解得，，此时， ，显然，故B错误； C选项，，，的中点坐标为， 到准线的距离为， 所以，以为直径的圆与准线相切，C正确；    D选项，， ， ，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练6-1】（多选）已知F是抛物线的焦点，是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则（    ） A．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有3条 B．若AB中点M的横坐标为3，则的最大值为8 C．若直线AB过点F，且倾斜角为时点A在第一象限，则 D．若直线AB过点F，x轴上存在一点N，使为定值 【答案】ABD 【分析】分类讨论，求出直线方程判断A；由于AB为两动点，所以，当且仅当直线AB过焦点F时等号成立，判断B；直线AB的方程为，与抛物线方程联立，利用抛物线的定义判断C；设AB的方程为，与抛物线联立，消去x整理可得，利用韦达定理及斜率公式得出结论判断 【详解】对于A，直线的斜率不存在时满足题意； 直线的斜率存在时，设直线方程为， 与抛物线联立，消去y整理可得， 时，方程有一解，满足题意； 时，，，方程有一解，满足题意， 所以过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有3条，故A正确； 对于B，由于为两动点，所以， 当且仅当直线过焦点F时等号成立，故B正确； 对于C，因为直线AB过焦点F且倾斜角为，则直线AB的方程为， 将代入得，解得，， 所以，，所以，故C错误； 对于D，设AB的方程为，，， 直线与抛物线联立，消去x整理可得， 所以，， 设，则 ， 所以时，为定值0，故D正确. 故选：    【点睛】方法点睛：我们在处理有关焦点弦，以及焦半径问题时长度问题时有以下几种方法； （1）常规处理手段，求交点坐标然后用距离公式，含参的问题不适合； （2）韦达定理结合弦长公式，这是此类问题处理的通法； （3）抛物线定义结合焦点弦公式. 【变式训练6-2】（多选）已知抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，同时过焦点F作与直线l垂直的直线与抛物线C交于D，E两点，则下面说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若直线l的倾斜角为60°，则 C．若在x轴上存在一点M，使得，则点M的坐标为 D．当直线l的斜率为时，四边形ADBE的面积为36 【答案】BCD 【分析】由题意分析出直线l的斜率存在且不为0，，即可判断A；设，，联立方程组，由韦达定理及抛物线的焦点弦公式求出，即可判断B；设点，直线l的方程为，由，得到，联立方程组，将韦达定理代入上式求出，即可判断C；设直线l及的方程，联立方程组，由韦达定理及弦长公式求出和，将直线l的斜率代入四边形ADBE面积的表达式并计算，即可判断D. 【详解】同时过焦点F的直线l与直线垂直，都与抛物线C有两个交点， 所以直线l的斜率一定存在且不为0，所以，故A错误； 设，，因为，所以直线l的方程为， 联立，整理得，可得， 所以，故B正确； 设点，设直线l的方程为， 联立，整理得，可得， 因为，所以，即， 即， 即，计算可得，故C正确； 设直线l的方程为，则直线的方程为， 联立，整理得，可得， 由弦长公式可得 ， 同理可得， 故， 当直线l的斜率为时，，此时，故D正确. 故选：BCD 【变式训练6-3】如图所示，已知抛物线的焦点为，准线与轴相交于点，过点任作一直线与抛物线交于两点，设．求证： (1)平分； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设直线方程为，将直线方程代入，由韦达定理可得，，由，证明即可； （2）延长交抛物线于，作于，于，由及抛物线对称性证明即可. 【详解】（1）由题可知，设直线方程为， 将直线方程代入得， 设，，有，， 设直线的斜率为， 则， 所以平分； （2）如图所示，延长交抛物线于，作于，于， 因为直线关于轴对称，所以点关于轴对称， 又，所以， 所以， 因为轴，所以． 题型07：过焦点直线中四个相切圆 【典型例题】（多选）设抛物线的焦点为，为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程是 B．的最小值为4 C．过点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，则的最小值是6 D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】BD 【分析】根据抛物线方程写出准线判断A，根据抛物线定义及三角形三边长关系判断B、C，写出中点坐标，根据其横坐标与关系即可判断D. 【详解】由抛物线，则其焦点为，准线为，故A错， 如下图示， 其中准线于，则，故， 当且仅当，，共线时，取到最小值，此时为点到准线距离4，故B对； 由题意知，抛物线的焦点坐标为， 当斜率存在时，设直线的方程为， 由. 设交点，，则，. 依据抛物线的定义得：， . 当斜率不存在时，.则的最小值是4.故C错； 由，则中点坐标为， 而，故， 所以，以线段为直径的圆与轴相切，故D对. 故选：BD 【变式训练7-1】（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的焦点的直线与交于两点，分别过两点作的准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．以线段为直径的圆与抛物线的准线相切 C．以线段为直径的圆与轴相交 D．以线段为直径的圆过定点 【答案】ABD 【分析】先求出，即可求出抛物线的准线方程可判断A；设的中点为D点，过D点作准线的垂线，根据抛物线的定义得到，可判定B正确；根据抛物线的定义可得，再求出的中点到轴的距离可判断C；由可判断D. 【详解】对于A，因为抛物线的焦点到准线的距离为2， 所以，所以抛物线，所以抛物线的准线方程为，故A正确； 对于B，设的中点为D点，过D点作准线的垂线，垂足为， 可得，所以B正确； 对于C，设、，则由抛物线的定义可得：,， 的中点为，的中点到轴的距离为， 所以以线段为直径的圆与轴相切，故C正确； 对于D，、，所以的中点，， 设直线为，所以联立， 所以，所以， 因为， 所以， 以线段为直径的圆过定点，故D正确. 故选：ABD. 【变式训练7-2】已知抛物线，过的焦点且斜率为2的直线交抛物线于两点，以为直径的圆与抛物线的准线相切于点，若点的纵坐标为4，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线，可知焦点为，准线为，设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程组，根据韦达定理可得，，结合题意可得点的纵坐标为4，进而得到，进而求解. 【详解】由抛物线，可知焦点为，准线为， 设直线的方程为，，， 联立方程组，可得， 所以，， 以为直径的圆与抛物线的准线相切于点， 设的中点为，则有， 因为点的纵坐标为4，所以点的纵坐标为4， 即，则， 又， 所以，即抛物线的标准方程为. 故选：D. 【变式训练7-3】（多选）设为坐标原点，过抛物线的焦点作斜率为的直线与交于、两点，为的准线，、在直线上的射影分别为，.则 （   ） A． B．的面积是 C．直线与以为直径的圆相切 D．是直角三角形 【答案】BCD 【分析】将直线的方程与抛物线方程联立，求出点、的坐标，利用抛物线的焦点弦长公式可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用直线与圆的位置关系可判断C选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断D选项. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线的方程为， 设点、，易知直线的方程为， 对于A选项，联立可得，解得或， 所以，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，设线段的中点为，则，则，， 点到直线的距离为，故直线与以为直径的圆相切，C对； 对于D选项，记点、，则点、， ，，所以，即， 即是直角三角形，D对. 故选：BCD. 题型08：抛物线中的中点弦问题 【典型例题】已知点，不关于轴对称的，两点在抛物线上，为线段的中点，且，则点的横坐标为 . 【答案】4 【分析】根据点差法可得，即可根据垂直满足的斜率关系求解. 【详解】设，，， 则由得. 因为，所以，解得. 故答案为：4 【变式训练8-1】在抛物线上有三个不同点、、，焦点为，点坐标为且轴，为的重心，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由可求出抛物线的方程，由重心的性质可求得线段的中点的坐标，利用点差法求出直线的方程，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合三角形的面积公式以及韦达定理可求得结果. 【详解】由点的坐标为且轴得，即，抛物线方程为， 设、，则相减可得， 所在直线斜率， 记中点为，又由为的重心，可知，    设点，则，可得，解得，即点， 所以，， 所以，所在直线方程为，即， 联立方程，得，， 由韦达定理可得，，得， 故：的面积为. 故答案为：. 【变式训练8-2】已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 【答案】 【分析】先根据焦半径公式得到的关系，然后根据弦长公式求解出，结合两点间斜率公式以及点在抛物线上求解出的值，则抛物线方程可求. 【详解】设， 因为， 所以，所以， 又因为，所以， 因为都在第一象限，所以， 又因为且， 所以，所以，所以抛物线方程为， 故答案为：. 【变式训练8-3】已知抛物线的焦点到准线的距离为，、是上关于直线对称的两个点，若直线与轴交于点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出的值，可得出抛物线的方程，设的中点为，则，可得出，再结合点差法可得出，求出直线的方程，根据点在抛物线的内部可得出，由此可得出的取值范围. 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，则，即抛物线的方程为， 设的中点为，则， 因为点在直线上，则， 得①， 又②，且③，④， 将③④代入②可得：， 代入①可得，    所以的中点坐标为， 则直线的方程为：，令得：， 而位于抛物线内部，即，可得，则． 故选：C. 题型09：抛物线中的切点弦问题 【典型例题】是过抛物线的焦点且斜率为1的弦，直线是抛物线两条分别切于的切线，则的交点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出焦点坐标然后根据点斜式写出直线的方程与抛物线方程联立求出交点的坐标，对抛物线所对的函数求导继而求出切线斜率写出两条切线方程，联立方程组求出交点坐标即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 因为是过抛物线的焦点且斜率为1的弦 所以所在直线的方程为：整理得. 设， 直线方程与抛物线方程联立得：，消元得：， ， ，所以， 所以， 因为抛物线方程为，所以， ， 因为直线是抛物线过点的切线，所以直线方程为：， 因为直线是抛物线过点的切线，所以直线方程为： 两切线方程联立得：， 解得：， 所以交点坐标为. 故选：A 【变式训练9-1】已知过点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，利用导数的几何意义求出抛物线在点A、B的切线方程，进而求得，则点的轨迹为一条直线，确定线段的最小值为点到直线的距离，结合点线距公式计算即可求解. 【详解】设，， 由，得（不妨设），则， 所以抛物线在点A的切线斜率为， 得抛物线在点A的切线方程为，即. 同理可得抛物线在点处的切线方程为， ，解得，即， 又因为直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 将点代入直线的方程得：①， 设点坐标为，则①式可整理为：，即， 所以点的轨迹为一条直线． 所以线段的最小值为点到直线的距离， 即为． 故选：A 【变式训练9-2】过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，则的重心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，的重心为，通过求导确定的方程.的方程为，再结合重心坐标公式得到，即可求解. 【详解】设，，，的重心为，的方程为， 对求导可得. 故，的方程为， 将，代入的方程化简得. 同理的方程为， 两方程联立解得，. ，则， ， 故的重心的轨迹方程为. 故选：C. 【变式训练9-3】已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（   ） A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点 【答案】D 【分析】设，求导，根据导函数几何意义得到切线方程，设，将其代入两切线方程，得到直线的方程为，得到过定点. 【详解】设，则，， 由于，故过点的切线方程为， 即，即， 同理可得过点的切线方程为， 设，过点的两切线交于点， 故，整理得， 同理，整理得， 故直线的方程为， 斜率不为定值，AB错误，当时，，恒过点，C错误，D正确. 故选：D 题型10：抛物线中的定值问题 【典型例题】（多选）已知抛物线：的准线与轴交于点，为坐标原点，点，是抛物线上异于点的两个动点，线段与轴交于点，则（   ） A．若为抛物线的焦点，则线段的长度的最小值为4 B．若为抛物线的焦点，则为定值 C．若与的面积之积为定值，则为抛物线的焦点 D．若直线和直线都与抛物线相切，则为抛物线的焦点 【答案】ABD 【分析】设方程为，，，与抛物线联立，韦达定理，利用弦长公式求解最值判断A，利用数量积坐标运算判断B，求出面积之积判断C，利用直线与抛物线联立求得切点坐标，即可求出两切点连线过焦点判断D. 【详解】直线的斜率不为0，设点，设直线的方程为， 设，，因为点T在线段上，所以， 联立直线和抛物线方程得，则， 所以，， 对于A，若为焦点，则，， 则，当时等号成立，正确； 对于B，因为，所以， 所以，正确； 对于C，为定值，只需T横坐标为定值即可， 但是不一定为1，即不一定为抛物线的焦点，错误； 对于D，，与抛物线相切的切线方程为， 则，化简得，由，可得，解得， 由对称性，不妨过切线方程为，过的切线方程为， 联立得，则，联立得，则， 所以直线方程为：，所以，即为抛物线的焦点，正确. 故选：ABD    【变式训练10-1】（多选）抛物线：的焦点是，准线与对称轴相交于点，过点的直线与相交于，两点（点在第一象限），，垂足为，则下列说法正确的是（    ） A．若以为圆心，为半径的圆经过点，则是等边三角形 B．两条直线，的斜率之和为定值 C．已知抛物线上的两点，到点的距离之和为8，则线段的中点的纵坐标是4 D．若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 【答案】ABD 【分析】根据抛物线的焦半径即可判断A；利用联立方程和韦达定理，结合斜率公式即可求解B；由抛物线的定义结合中点坐标公式判断C；由题意可知外接圆圆心的纵坐标为，结合抛物线的定义分析求解可判断D； 【详解】对于A，由抛物线的定义知，， 因为以为圆心，为半径的圆与相交于和两点，所以， 所以为等边三角形，故A正确； 对于B，设直线的方程是，代入并消去得， 设，，则，. ，，所以 ， 所以两条直线，的斜率之和为定值，故B正确； 对于C，设，则，即， 则线段的中点的纵坐标为，故C错误； 对于D，因为的外接圆与抛物线的准线相切， 所以圆心在抛物线上，且圆心在线段OF的垂直平分线， 可知外接圆圆心的纵坐标为， 所以外接圆半径为，故D正确. 故选：ABD. 【变式训练10-2】（多选）已知斜率为的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B．线段的中点在一条定直线上 C．为定值（、分别为直线、的斜率） D．为定值（为抛物线的焦点） 【答案】BC 【分析】分析可知，，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断A选项；求出线段中点的纵坐标，可判断B选项；利用斜率公式结合韦达定理可判断C选项；利用抛物线的焦半径公式可判断D选项. 【详解】若，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，则， 设直线的方程为，联立可得， ，    对于A选项，不一定是定值，A错； 对于B选项，设线段的中点为，则， 为定值，故线段的中点在定直线上，B对； 对于C选项，为定值，C对； 对于D选项，不一定为定值，D错. 故选：BC. 【变式训练10-3】在平面直角坐标系xOy中，已知点E(0，2)，以OE为直径的圆与抛物线C∶x2=2py(p>0)交于点M，N(异于原点O)，MN恰为该圆的直径，过点E作直线交抛物线与A，B两点，过A，B两点分别作拋物线C的切线交于点P. （1）求证∶点P的纵坐标为定值； （2）若F是抛物线C的焦点，证明∶∠PFA=∠PFB. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题意易得抛物线方程x2=y，设A，B，根据两点写出直线方程得，由于直线过E点，所以，再根据直线PA，PB直线方程解得点P坐标，进而得证. （2）转化为证明向量分别与向量的夹角相等,应用向量夹角余弦公式，即可证明结论. 【详解】（1）以OC为直径的圆为x2+(y-1)2=1. 由题意可知该圆与抛物线交于一条直径， 由对称性可知交点坐标为(1，1)，(-1，1) 代入抛物线方程可得2p=1. 所以抛物线的方程为x2=y. 设A，B， 所以 所以直线AB的方程为， 即 因为直线AB过点C(0，2)， 所以，所以①. 因为，所以直线PA的斜率为，直线PB的斜率为 直线PA的方程为， 即， 同理直线PB的方程为 联立两直线方程，可得P 由①可知点P的纵坐标为定值-2. （2），， 注意到两角都在内， 可知要证， 即证， ，， 所以， 又，所以， 同理式得证. 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 题型11：抛物线中的定点问题 【典型例题】已知抛物线，和分别为抛物线上的两个动点，若（为坐标原点），弦恒过定点，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，设、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，分析可得，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理求出的值，即可得出抛物线的标准方程. 【详解】若直线与轴重合，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意. 设点、，设直线的方程为， 联立，消去可得， ，所以，， 因为，则，解得. 因此，抛物线的方程为. 故选：B. 【变式训练11-1】（多选）已知是抛物线上的两动点，是抛物线的焦点，下列说法正确的是（    ） A．直线过焦点时，以为直径的圆与的准线相切 B．直线过焦点时，的最小值为6 C．若坐标原点为，且，则直线过定点 D．与抛物线分别相切于两点的两条切线交于点，若直线过定点，则点在抛物线的准线上 【答案】ABD 【分析】对于A：根据抛物线的定义分析判断；对于B：设方程为，联立方程，根据抛物线的定义结合韦达定理分析求解；对于C：设方程为，设，，联立方程，根据垂直关系可得，结合韦达定理分析求解；对于D：可知抛物线在点处的切线方程为，根据切线方程求交点坐标，结合选项B分析判断. 【详解】对于选项A：如图1，设中点为，分别过点向准线作垂线，垂足为，    则由抛物线的定义可得，，. 因为中点为，所以有， 所以以为直径的圆与的准线相切，故A正确； 对于选项B：由抛物线，可得， 由题意可知直线斜率不为，设方程为，设，， 联立直线与抛物线的方程，消去x可得， 则恒成立。 可得，， 则， 所以 当且仅当时，取到最小值6，故B正确； 对于选项D：先证抛物线在点处的切线方程为， 联立方程，消去x得， 可知方程组只有一个解，即直线与抛物线相切， 可知抛物线在点处的切线方程分别为，， 联立方程，解得，即点， 结合选项B可得：， 所以点在抛物线的准线上，故D正确； 对于选项C：由题意可知直线斜率不为，设方程为，设，，， 则，， 若，则，解得或（舍去）， 联立直线与抛物线的方程，消去x可得， 则，解得， 此时，符合题意， 所以，则直线过定点，故C错误； 故选：ABD. 【变式训练11-2】（多选）已知抛物线C：的焦点为F，若抛物线C在，两点处的切线交于点，与x轴分别交于点M，N．则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．若，则直线过点F D．若，则直线过点F 【答案】ABD 【分析】对于A，联立直线和方程可判断A；表示和的坐标，计算可判断B；由化简可得，代入直线方程可判断C；由，由直线方程计算，从而可得，同理代入直线方程可判断D. 【详解】，求导可得，则直线，直线， 联立直线方程，消可得，， 即，故A正确； 由直线，令，可得，所以， 又，所以，， ，所以，即，故B正确； 由，可得， 化简得，，所以， 设直线斜率为，则，则直线的方程为：， 令，可得，故直线过点或，不一定过点，故C错误； 在直线中，令，可得，即， 又，所以，即，同理代入直线方程，可得直线过点，即过点，故D正确. 故选：ABD. 【变式训练11-3】如图过抛物线的焦点作直线与抛物线交于，的中垂线交轴于，且，，则 . 【答案】 【分析】设，，根据抛物线的定义可得，求出直线的中垂线的方程，令可得点的横坐标为，从而可得即，再由可得，，，从而可得，由抛物线的定义可得，由此可求出的值. 【详解】设，，则的中点坐标为 则根据抛物线的定义可得 由，，可得 所以，又直线的斜率 所以直线的中垂线的方程为 令得，所以点的横坐标为，又 所以，所以 所以，又，所以， 又，，所以， 因为，所以，所以，所以 所以，所以 故答案为： 题型12：阿基米德三角形有关结论 【典型例题】我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A、B处的两条切线所围成的（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质： ①P点必在抛物线的准线上；②；③． 已知直线l：与抛物线交于A、B两点，若，则抛物线的“阿基米德三角形”的顶点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】设，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，结合弦长，可求出的值，再由可求出直线的方程，再由P点必在抛物线的准线上可求出点P的坐标. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 设， 由，得， 由， 所以， 所以，解得或， 当时，因为，所以， 所以直线的方程为， 因为P点必在抛物线的准线上，所以， 所以，所以， 当时，因为，所以， 所以直线的方程为， 因为P点必在抛物线的准线上，所以， 所以，所以， 综上，的顶点P的坐标为或. 故答案为：或 【变式训练12-1】（多选）如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于点P.给出如下结论，其中正确的为（    ）    A．若弦过焦点，则为直角三角形且 B．点P的坐标是 C．的边所在的直线方程为 D．的边上的中线与y轴平行（或重合） 【答案】ACD 【分析】设，由导数的几何意义得切线斜率，利用焦点弦性质得，A正确；写出切线方程，联立求出点坐标，得B错误；用两点坐标表示出，写出直线方程，并化简可得C正确；设为抛物线弦的中点，立即得D正确. 【详解】由题意设， 由，得，则， 所以， 若弦过焦点，显然直线斜率存在，设所在直线为，联立， 得， 则， 所以， 所以，故A正确； 以点A为切点的切线方程为，以点B为切点的切线方程为， 联立消去y得， 将代入， 得， 所以，故B错误； 设N为抛物线弦的中点，N的横坐标为，因此直线平行于y轴(或与y轴重合)，即平行于抛物线的对称轴(或与对称轴重合)，故D正确； 设直线的斜率为， 故直线的方程为， 化简得，故C正确. 故选：ACD. 【变式训练12-2】（多选）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”.如图是抛物线的阿基米德三角形，弦AB经过焦点F，又BC，AD均垂直于准线l，且C，D为垂足，则下列说法正确的有（    ） A．以AB为直径的圆必与准线l相切于M点 B．为定值4 C．为定值 D．有最小值 【答案】ABC 【分析】根据抛物线的切线方程，相似关系，联立直线与抛物线方程后根与系数的关系，两角和的正切公式代入即可求解. 【详解】 先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为 证明如下： 由于点在抛物线上， 则， 联立 即，， 所以抛物线在其上一点 处的切线方程为 设，，设直线AB的方程为， 联立消去x得， 根据根与系数的关系可得， 又抛物线在点A处的切线方程为，即 同理可知，抛物线在点B处的切线方程为， 由题意知，， 直线MA的斜率为，直线MB的斜率为， ， 所以，，即点M在以AB为直径的圆上， 联立， 解得， 所以点M的横坐标为， 所以点M在抛物线的准线上，即以AB为直径的圆必与准线l相切于M点， 故A正确; 当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点 M为抛物线的准线与x轴的交点， 此时，则，， 又此时，则为定值4， 当AB不与x轴垂直时，直线AB的斜率为， 直线MF的斜率为， ， 则，在中，， 又以AB为直径的圆与准线l相切于M点， 设以AB为直径的圆的圆心为，即得， 则点M坐标为， 则， 故B正确; ， 故C正确; 由题意知，， 则 又根据题意知，则无最小值. 故D错误. 故选：ABC. 【变式训练12-3】（多选）阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交于点，则为“阿基米德三角形”，下列结论正确的是（    ） A．在抛物线的准线上 B． C． D．面积的最小值为4 【答案】ACD 【分析】对A：根据题意利用导数求切线的方程，进而求交点坐标，结合韦达定理分析运算；对B：利用韦达定理可得，即可得结果；对C：分和两种情况讨论，分析运算可得，即可得结果；对D：根据题意可求面积，分析运算即可. 【详解】对A： 抛物线的焦点为，准线为. 设直线的方程为， 联立方程组得，则. 因为，所以， 故在处切线的斜率，则直线的方程为，即， 同理可得：直线的方程为， 联立方程，解得， 所以，故在抛物线的准线上，A正确； 对B： 因为， 所以，则，故B错误； 对C： 当时，则直线的斜率不存在，故； 当时，则直线的斜率，则，所以； 综上所述：. 则，所以，C正确； 对D： 设的中点为，则， ∴面积， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最小值为4，D正确. 故选：ACD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 抛物线的二级结论 目 录 抛物线常用结论 1 切线方程 10 抛物线常考的二级结论的应用 17 题型01：抛物线的焦半径和焦点弦长与坐标有关的公式 17 题型02：抛物线的焦半径和焦点弦长与倾斜角有关的公式 18 题型03：与焦半径有关的定值的公式 19 题型04：与倾斜角有关的面积定值公式 21 题型05：过焦点的直线中三点共线问题 22 题型06：过焦点的直线中角平分线问题+斜率为定值 24 题型07：过焦点直线中四个相切圆 26 题型08：抛物线中的中点弦问题 28 题型09：抛物线中的切点弦问题 29 题型10：抛物线中的定值问题 30 题型11：抛物线中的定点问题 32 题型12：阿基米德三角形有关结论 33 抛物线常用结论 一：抛物线弦中点问题 若直线与抛物线交于，两点， 且是线段AB的中点，如图，则． 证明 因为点，都在抛物线上， 所以（点在抛物线上），所以（作差）， 所以，所以． 因为，，所以． 注：这里给出的都是焦点在x轴上的情形，焦点在y轴上时需要再根据点差法推导，不能直接套结论．点差法得到的结论在小题中可以直接用，在大题中要有推导过程． 二：抛物线的切线 1．抛物线的切线 先将抛物线转化为函数的图象，然后直接求导得到，因此抛物线在点处的切线方程为，又，所以切线方程为．如图． 综上，抛物线在点处的切线方程为． 2．抛物线的切线 如图，先将抛物线的图象一分为三，x轴上方为一部分，x轴下方为一部分，原点处单独讨论． ①易得抛物线在原点处的切线方程为． ②抛物线在x轴上方的部分可以看成y关于x的某个函数的图象，于是在两边对自变量x求导，得到（隐函数求导，详见层数部分大招）．进而得到，因此抛物线在点处的切线方程为，又，所以． ③依葫芦画瓢，当点在x轴下方时，切线方程也为． 结合①②③可得，抛物线在点处的切线方程为． 三：抛物线的硬解定理 1．抛物线的硬解定理 如果与抛物线有两个交点，．先将直线与抛物线进行联立， 得到，于是判别式， 再根据韦达定理得到 于是有， 从而． 2．抛物线的硬解定理 如果直线与抛物线有两个交点，．先将直线与抛物线进行联立， 得到，于是判别式， 再根据韦达定理得 于是有， 从而． （实际上与抛物线的硬解定理的区别就是把A，B对调了一下） 四：抛物线焦点弦的常用结论 设抛物线方程为，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于两点，为原点，为与对称轴正向所成的角，的中点为，又作，垂足分别为，则 1.． 证明：因为焦点坐标为，当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为：，由得：，，． 当轴时，直线AB方程为，则，，∴，同上也有：． 2.焦半径长公式：（坐标式）； 夹角式：（在轴上方，在轴下方）． 证明：由抛物线的定义易得． 又，同理可证． 3.焦点弦长公式：． 证明：由（2）可得弦长： （4）通径长公式：（通径最短）． 证明：当轴时，直线AB方程为，则，，∴通径长公式：． 4.AF，BF的数量关系：． 证明：由，得，又 ， ． 5.三角形AOB的面积：． 证明：点到直线的距离就是的高，， ． 6.中点弦斜率：若斜率为，，则． 证明：，由点差法得 7. 直线的斜率之和为零，即． ①：角平分线FK的斜率为定值0 ②：过A、B作FK的垂线，斜率不存在（定值特征） ③：直线AB与FK的斜率乘积为定值（含倾斜角关系） 核心结论：设直线的倾斜角为，则（定值）；若，则，乘积恒为0. 核心结论：设直线的倾斜角为，则（定值）；若，则，乘积恒为0. 总结：角平分线问题中的斜率定值体系 结论类型 斜率定值内容 适用条件 两直线斜率和 任意过焦点的直线AB 角平分线斜率 任意过焦点的直线AB 垂线斜率 过A、B作FK的垂线，斜率不存在 任意过焦点的直线AB 斜率乘积 AB倾斜角 证明：，， ， 分子， 直线的斜率之和为零：，即． 8.焦点弦与圆有关的结论 ①以为直径的圆与准线相切；（以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切） ②以为直径的圆与轴相切； ③以为直径的圆与轴相切； ④分别以为直径的圆之间的关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切． 证明：过点作于，则是梯形的中位线，由抛物线的定义知 ， 即以为直径的圆与准线相切，同理可证②，③． ④分别以为直径的圆有以下关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切． 9.拓展：过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切 已知AB是抛物线的过焦点F的弦，分别过点A、B作准线的垂线，垂足为点M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB相切. 10.由焦点弦得出有关直线垂直关系的结论 ①以为直径的圆的圆心在准线上的射影与两点的连线互相垂直，即； ②以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即； ③以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即； ④以为直径的圆必过原点，即； ⑤． 证明：①准线与圆相切，圆的圆心在准线上的射影就是切点， 直径所对的圆周角是直角，．同理可证②，③：． ④由抛物线的定义知，////， ，而，即． ⑤易知，又． 11.点三点共线；点三点共线． 证明：由（1）知． 点三点共线．同理可证：点三点共线． 12.如图，点A，B是抛物线，O为原点，若，则直线AB过定点． 证明：．设，则 ，直线方程为， 即，直线AB过定点． 13.与抛物线焦点弦有关的比例问题 一般地，与抛物线焦半径有关的比例问题，可采用构造相似三角形，寻找相似比例进行转化. 已知抛物线E：的焦点为，准线为.过点的的直线m与E交于A，B两点，与y轴交于点C，与交于点D.过点A，B，C，D分别作两轴的垂线，可构成如图的多对相似三角形，如：，因此有；如，因此有等。一般地，为了利用比例进行转化，需要用两个条件：一是利用抛物线的定义进行转化；二是要把比例式转化成含有（即含p）的比例式. 五：抛物线阿基米德三角形 切线方程 证法1：设抛物线上一点的切线方程为：，代入，整理得，由，得 因为抛物线上一点处的切线是唯一的， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，所求的切线方程为，即，又，过抛物线上一点的切线方程为：。 证法2：导数法：，甴导数的几何意义得所求切线的斜率为所求的切线方程为，即，又，过抛物线上一点的切线方程为：。 1.抛物线与弦之间所围成区域的面积（图二中的阴影部分）为阿基米德三角形面积的。 2.阿基米德三角形底边（弦AB）上的中线平行于抛物线的轴。 证明：设,M为弦AB的中点，则过A的切线方程为，过B的切线方程为，，联立方程 解得两切线交点，又， 3、QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB平行. 证明：设，弦AB的中点，则 带入抛物线满足方程，所以点P在抛物线上， 4、若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内的定点则另一顶点的轨迹为一条直线。 证明：设为抛物线内的定点，弦AB的过定点C，， 满足，， 5、若直线 与抛物线没有公共点，以 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线方程为: ,则定点的坐标为 . 证明：由性质4的证明可知：点Q的轨迹方程为直线，与表示同一条直线，其中是弦AB经过的定点，所以 可得：弦AB所在的直线过定点. 6、抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹． 证明：由性质4的证明可知：点Q的轨迹方程为直线，其中为弦AB的经过的定点．∵点C又为弦AB的中点，，而弦AB所在的直线方程斜率由点差法可得，又∵直线AB与Q的轨迹方程不重合，故可知两线平行． 7、底边为 的阿基米德三角形的面积最大值为 . 证明：设，弦AB的中点，， 点Q到AB的距离8、. 证明：， ． 所以. 8、抛物线上任取一点(不与 重合), 过作抛物线切线交于,连接 , 则的面积是面积的2倍 证明：由阿基米德重要结论：抛物线与弦之间所围成曲面区域的面积为阿基米德三角形面积的三分之二可知：的面积是弦AB与抛物线围成的曲面面积减去弦和弦与抛物线围成的曲面面积，即 所以的面积是面积的2倍 9、在阿基米德三角形中, 10、若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点的轨迹为准线,反之，若阿基米德三角形的顶点 在准线上,则底边一定过焦点。 证明：因为点Q的轨迹方程为直线，且 反之，若Q的轨迹方程为，因为弦AB过得定点为，所以弦AB过焦点。 11、若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶角为直角，且阿基米德三角形的面积最小值为 证明：，所以 12、在抛物线上任意取一点,（不与A、B重合），过做抛物线的切线交QA、QB、于S、T两点，则三角形QST的重心在准线上。 证明： 六：抛物线中的定值问题 1：直线AK与BK的斜率之和为定值0 核心结论：直线与直线的斜率之和为定值，即（说明与关于轴对称）. 2：角平分线FK的斜率为定值0 核心结论：角平分线所在直线的斜率为定值（即与轴重合）. 3：过A、B作FK的垂线斜率恒不存在 核心结论：过点、分别作角平分线（轴）的垂线，两条垂线的斜率均恒不存在（即垂线为垂直于轴的直线），垂线方程分别为、. 4：直线AB与FK的斜率乘积为定值0 核心结论：设直线的倾斜角为，则（定值）；若，则，乘积恒为0. 5：焦点弦的长度倒数和为定值 核心结论：过焦点的焦点弦，则为定值. 核心结论：过焦点的焦点弦，则为定值. 6：焦点弦端点与原点连线的向量乘积为定值 核心结论：设为坐标原点，则向量为定值. 核心结论：设为坐标原点，则向量为定值. 7：过焦点弦端点的切线交点相关定值 核心结论：过焦点弦两端点的抛物线切线交于点，则：1.点恒在准线上；2.（切线斜率乘积为-1）. 核心结论：过焦点弦两端点的抛物线切线交于点，则：1.点恒在准线上；2.（切线垂直，斜率乘积为-1）. 8：焦点弦中点到原点距离与弦长的定值关系 核心结论：设为焦点弦的中点，为坐标原点，则为定值. 9：过原点的定点弦的斜率乘积定值 核心结论：过定点的直线交抛物线于、两点，则为定值（为坐标原点）. 核心结论：过坐标原点作直线交抛物线于、两点，则为定值（若弦过定点，则斜率乘积为定值）. 10：抛物线上点到定点连线斜率和为定值 核心结论：设抛物线上两点、满足（为定值），定点，则直线、的斜率之和为定值. 抛物线定值问题体系 结论类型 定值内容 适用条件 结论1：两直线斜率和 任意过焦点的直线AB 结论2：角平分线斜率 任意过焦点的直线AB 垂线斜率结论3：垂线斜率 过A、B作FK的垂线，斜率不存在 任意过焦点的直线AB 斜率乘积结论4：斜率乘积 AB倾斜角 结论5：焦点弦长度倒数和 任意过焦点的直线AB 向量点积结论6：向量点积 任意过焦点的直线AB 结论7：切线斜率乘积 AB为过焦点的弦，P为切线交点 中点距离与弦长关系 M为过焦点弦AB的中点，O为原点 过定点弦斜率乘积结论8：中点距离与弦长关系 CD过定点(a,0)，交抛物线于C、D 定点连线斜率和 E、F在抛物线上，，A为(p,0) 七：抛物线中的定点问题 1：抛物线上动点与定点连线的中垂线过定点 核心结论：设定点，抛物线上任意动点，则线段的中垂线恒过定点。 2：过抛物线定点弦的中点轨迹过定点 核心结论：过定点的直线交抛物线于、两点，设为的中点，则点的轨迹恒过定点。 3：抛物线动切线过定点 核心结论：设抛物线上动点，过作抛物线的切线，若切线满足（为参数），则该切线恒过定点（即抛物线的准线与轴交点）。 抛物线定点问题 结论类型 定点内容 适用条件 中垂线过定点 恒过 动点在抛物线上，定点 中点轨迹过定点 恒过 弦过定点，为中点 动切线过定点 恒过 切线过抛物线上点 抛物线常考的二级结论的应用 题型01：抛物线的焦半径和焦点弦长与坐标有关的公式 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点.若线段AB中点的横坐标为3，则 . 【答案】8 【分析】根据抛物线的焦点半径公式得焦点弦长，由此计算． 【详解】设点,由题意可得. . 故答案为：8. 【变式训练1-1】若A、B为抛物线上不同于一个象限上的两个点，为抛物线的焦点，连接AB，若AB过焦点且，若的横坐标为的横坐标为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1-2】根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为 . 【变式训练1-3】已知抛物线的焦点为，圆．如图，过点的直线与抛物线和圆的交点依次为，，，，则的最小值为 （请用表示）． 题型02：抛物线的焦半径和焦点弦长与倾斜角有关的公式 【典型例题】已知抛物线 ，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，且 ，则直线 的斜率为 . 【答案】 【分析】过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为，设，则，利用即可求解. 【详解】当直线斜率为正时，如图所示， 过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为， 设，则， 由抛物线定义可知，，， 所以，， ， 在中，， 则直线 的斜率. 由对称性可知，当直线斜率为负时，. 故答案为： 【变式训练2-1】已知抛物线C：的焦点为F，且C的准线与x轴的交点为M．若直线l与C交于D，E两点，且，，则的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【变式训练2-2】已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为 【变式训练2-3】已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点.若为锐角，作线段的中垂线，交轴于点，则 . 题型03：与焦半径有关的定值的公式 【典型例题】（多选）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的中点到轴的距离为 C． D． 【答案】AC 【分析】选项A：将焦点坐标代入直线中求出的值即可；选项B：联立直线与抛物线方程，结合韦达定理以及抛物线定义，得出线段的中点到轴的距离为；选项C：利用抛物线定义结合平行性质即可求解；选项D结合选项B中的韦达定理的结论以及抛物线定义化简代入即可. 【详解】对于A：由题可知在直线上， 所以， 故抛物线的方程为， 故选项A正确； 对于B，设， 联立，整理得： ， 由， 所以， 根据抛物线定义得： ， 所以线段的中点到y轴的距离为线段， 故选项B错误； 对于C，如图所示，    因为，     所以， 因为轴，轴， 所以， 所以 ， 故选项C正确； 选项D：因为 故选项D错误， 故选：AC. 【变式训练3-1】已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于A，B两点，求的最小值． 【变式训练3-3】（多选）过抛物线：（）的焦点的直线交于，两点，其中是的中点，点到轴的距离的最小值为，为坐标原点，则下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．点的轨迹方程是 题型04：与倾斜角有关的面积定值公式 【典型例题】已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为 ． 【答案】8 【分析】首先利用抛物线的定义求出，确定抛物线方程；然后设直线的倾斜角为，利用焦点弦的面积公式求出；最后结合焦点弦的性质和弦长公式，即可求解. 【详解】由已知得，则，所以抛物线方程为， 设直线的倾斜角为， 由于直线过焦点，， 又，所以. 故答案为：8. 【变式训练4-1】已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆与抛物线的准线相切于点.若为坐标原点，则的面积为 . 【变式训练4-3】设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，则三角形的面积为 . 题型05：过焦点的直线中三点共线问题 【典型例题】（多选）已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．若，则直线的斜率为 C．三点共线（其中为坐标原点） D． 【答案】ACD 【分析】由抛物线的定义可得，，再利用角的关系即可得出；根据定义可得，即可得出角，进而得出直线的斜率为；设，则，证明即可；由题可得，结合焦半径公式即可证明. 【详解】 连接，根据抛物线定义可知，所以， 又由于轴，所以， 所以，同理可证， 所以， 即，故正确； 过作于，设，则，， 所以， 所以，由对称性可知直线的斜率为，故B错误； 设，则， 由于，由于三点共线， 则， 又由于，则，由于， 则，所以，， 所以， 即，所以三点共线，故C正确； 由于，则，即，所以， 所以，故D正确． 故选：ACD． 【变式训练5-1】（多选）已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（    ） A．若直线BD的斜率为1，则 B．以BD为直径的圆与y轴相切 C． D．B，O，G三点共线 【变式训练5-2】（多选）已知抛物线的焦点为，且抛物线过点，过点的直线与抛物线交于两点，分别为两点在抛物线准线上的投影，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（   ） A．线段长度的最小值为4 B．的形状为锐角三角形 C．三点共线 D．的坐标可能为 【变式训练5-3】证明抛物线焦点弦端点在准线上的投影为，则三点共线，三点共线． 题型06：过焦点的直线中角平分线问题+斜率为定值 【典型例题】（多选）已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，在第一象限，抛物线的准线与轴交于点，则（   ） A． B．时， C．以为直径的圆与准线相切 D． 【答案】ACD 【分析】A选项，过焦点的直线方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，计算出；B选项，由焦点弦长公式得到方程，得到，不妨设，解得，，求出，，；C选项，求出的中点坐标为，计算出到准线的距离为，C正确；D选项，计算出，得到D正确. 【详解】A选项，设过焦点的直线方程为， 联立，可得，， ，，则，故A正确； B选项，，故， 当时，，解得， 由对称性，不妨设，则，， 解得，，此时， ，显然，故B错误； C选项，，，的中点坐标为， 到准线的距离为， 所以，以为直径的圆与准线相切，C正确；    D选项，， ， ，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练6-1】（多选）已知F是抛物线的焦点，是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则（    ） A．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有3条 B．若AB中点M的横坐标为3，则的最大值为8 C．若直线AB过点F，且倾斜角为时点A在第一象限，则 D．若直线AB过点F，x轴上存在一点N，使为定值 【变式训练6-2】（多选）已知抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，同时过焦点F作与直线l垂直的直线与抛物线C交于D，E两点，则下面说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若直线l的倾斜角为60°，则 C．若在x轴上存在一点M，使得，则点M的坐标为 D．当直线l的斜率为时，四边形ADBE的面积为36 【变式训练6-3】如图所示，已知抛物线的焦点为，准线与轴相交于点，过点任作一直线与抛物线交于两点，设．求证： (1)平分； (2)． 题型07：过焦点直线中四个相切圆 【典型例题】（多选）设抛物线的焦点为，为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程是 B．的最小值为4 C．过点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，则的最小值是6 D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】BD 【分析】根据抛物线方程写出准线判断A，根据抛物线定义及三角形三边长关系判断B、C，写出中点坐标，根据其横坐标与关系即可判断D. 【详解】由抛物线，则其焦点为，准线为，故A错， 如下图示， 其中准线于，则，故， 当且仅当，，共线时，取到最小值，此时为点到准线距离4，故B对； 由题意知，抛物线的焦点坐标为， 当斜率存在时，设直线的方程为， 由. 设交点，，则，. 依据抛物线的定义得：， . 当斜率不存在时，.则的最小值是4.故C错； 由，则中点坐标为， 而，故， 所以，以线段为直径的圆与轴相切，故D对. 故选：BD 【变式训练7-1】（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的焦点的直线与交于两点，分别过两点作的准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．以线段为直径的圆与抛物线的准线相切 C．以线段为直径的圆与轴相交 D．以线段为直径的圆过定点 【变式训练7-2】已知抛物线，过的焦点且斜率为2的直线交抛物线于两点，以为直径的圆与抛物线的准线相切于点，若点的纵坐标为4，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】（多选）设为坐标原点，过抛物线的焦点作斜率为的直线与交于、两点，为的准线，、在直线上的射影分别为，.则 （   ） A． B．的面积是 C．直线与以为直径的圆相切 D．是直角三角形 题型08：抛物线中的中点弦问题 【典型例题】已知点，不关于轴对称的，两点在抛物线上，为线段的中点，且，则点的横坐标为 . 【答案】4 【分析】根据点差法可得，即可根据垂直满足的斜率关系求解. 【详解】设，，， 则由得. 因为，所以，解得. 故答案为：4 【变式训练8-1】在抛物线上有三个不同点、、，焦点为，点坐标为且轴，为的重心，则的面积为 ． 【变式训练8-2】已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 【变式训练8-3】已知抛物线的焦点到准线的距离为，、是上关于直线对称的两个点，若直线与轴交于点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型09：抛物线中的切点弦问题 【典型例题】是过抛物线的焦点且斜率为1的弦，直线是抛物线两条分别切于的切线，则的交点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出焦点坐标然后根据点斜式写出直线的方程与抛物线方程联立求出交点的坐标，对抛物线所对的函数求导继而求出切线斜率写出两条切线方程，联立方程组求出交点坐标即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 因为是过抛物线的焦点且斜率为1的弦 所以所在直线的方程为：整理得. 设， 直线方程与抛物线方程联立得：，消元得：， ， ，所以， 所以， 因为抛物线方程为，所以， ， 因为直线是抛物线过点的切线，所以直线方程为：， 因为直线是抛物线过点的切线，所以直线方程为： 两切线方程联立得：， 解得：， 所以交点坐标为. 故选：A 【变式训练9-1】已知过点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，则的重心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（   ） A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点 题型10：抛物线中的定值问题 【典型例题】（多选）已知抛物线：的准线与轴交于点，为坐标原点，点，是抛物线上异于点的两个动点，线段与轴交于点，则（   ） A．若为抛物线的焦点，则线段的长度的最小值为4 B．若为抛物线的焦点，则为定值 C．若与的面积之积为定值，则为抛物线的焦点 D．若直线和直线都与抛物线相切，则为抛物线的焦点 【答案】ABD 【分析】设方程为，，，与抛物线联立，韦达定理，利用弦长公式求解最值判断A，利用数量积坐标运算判断B，求出面积之积判断C，利用直线与抛物线联立求得切点坐标，即可求出两切点连线过焦点判断D. 【详解】直线的斜率不为0，设点，设直线的方程为， 设，，因为点T在线段上，所以， 联立直线和抛物线方程得，则， 所以，， 对于A，若为焦点，则，， 则，当时等号成立，正确； 对于B，因为，所以， 所以，正确； 对于C，为定值，只需T横坐标为定值即可， 但是不一定为1，即不一定为抛物线的焦点，错误； 对于D，，与抛物线相切的切线方程为， 则，化简得，由，可得，解得， 由对称性，不妨过切线方程为，过的切线方程为， 联立得，则，联立得，则， 所以直线方程为：，所以，即为抛物线的焦点，正确. 故选：ABD    【变式训练10-1】（多选）抛物线：的焦点是，准线与对称轴相交于点，过点的直线与相交于，两点（点在第一象限），，垂足为，则下列说法正确的是（    ） A．若以为圆心，为半径的圆经过点，则是等边三角形 B．两条直线，的斜率之和为定值 C．已知抛物线上的两点，到点的距离之和为8，则线段的中点的纵坐标是4 D．若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 【变式训练10-2】（多选）已知斜率为的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B．线段的中点在一条定直线上 C．为定值（、分别为直线、的斜率） D．为定值（为抛物线的焦点） 【变式训练10-3】在平面直角坐标系xOy中，已知点E(0，2)，以OE为直径的圆与抛物线C∶x2=2py(p>0)交于点M，N(异于原点O)，MN恰为该圆的直径，过点E作直线交抛物线与A，B两点，过A，B两点分别作拋物线C的切线交于点P. （1）求证∶点P的纵坐标为定值； （2）若F是抛物线C的焦点，证明∶∠PFA=∠PFB. 题型11：抛物线中的定点问题 【典型例题】已知抛物线，和分别为抛物线上的两个动点，若（为坐标原点），弦恒过定点，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，设、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，分析可得，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理求出的值，即可得出抛物线的标准方程. 【详解】若直线与轴重合，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意. 设点、，设直线的方程为， 联立，消去可得， ，所以，， 因为，则，解得. 因此，抛物线的方程为. 故选：B. 【变式训练11-1】（多选）已知是抛物线上的两动点，是抛物线的焦点，下列说法正确的是（    ） A．直线过焦点时，以为直径的圆与的准线相切 B．直线过焦点时，的最小值为6 C．若坐标原点为，且，则直线过定点 D．与抛物线分别相切于两点的两条切线交于点，若直线过定点，则点在抛物线的准线上 【变式训练11-2】（多选）已知抛物线C：的焦点为F，若抛物线C在，两点处的切线交于点，与x轴分别交于点M，N．则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．若，则直线过点F D．若，则直线过点F 【变式训练11-3】如图过抛物线的焦点作直线与抛物线交于，的中垂线交轴于，且，，则 . 题型12：阿基米德三角形有关结论 【典型例题】我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A、B处的两条切线所围成的（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质： ①P点必在抛物线的准线上；②；③． 已知直线l：与抛物线交于A、B两点，若，则抛物线的“阿基米德三角形”的顶点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】设，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，结合弦长，可求出的值，再由可求出直线的方程，再由P点必在抛物线的准线上可求出点P的坐标. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 设， 由，得， 由， 所以， 所以，解得或， 当时，因为，所以， 所以直线的方程为， 因为P点必在抛物线的准线上，所以， 所以，所以， 当时，因为，所以， 所以直线的方程为， 因为P点必在抛物线的准线上，所以， 所以，所以， 综上，的顶点P的坐标为或. 故答案为：或 【变式训练12-1】（多选）如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于点P.给出如下结论，其中正确的为（    ）    A．若弦过焦点，则为直角三角形且 B．点P的坐标是 C．的边所在的直线方程为 D．的边上的中线与y轴平行（或重合） 【变式训练12-2】（多选）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”.如图是抛物线的阿基米德三角形，弦AB经过焦点F，又BC，AD均垂直于准线l，且C，D为垂足，则下列说法正确的有（    ） A．以AB为直径的圆必与准线l相切于M点 B．为定值4 C．为定值 D．有最小值 【变式训练12-3】（多选）阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交于点，则为“阿基米德三角形”，下列结论正确的是（    ） A．在抛物线的准线上 B． C． D．面积的最小值为4 1 学科网（北京）股份有限公司 $