精品解析：陕西西安市第七十一中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷

西安市第七十一中学 2025-2026学年度第二学期高一年级数学期中考试试卷 考试时长：120分钟 试卷满分：120分 注意事项： 1、请用黑色中性签字笔作答，禁止使用铅笔、修正带/液，字迹需工整清晰. 2、所有答案必须写在试卷指定答题区域内，超出区域作答无效. 3、保持卷面整洁、不得随意涂改、勾画，禁止在试卷上做与考试无关的标记. 一、单选题（本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义求得，再根据复数的几何意义即可得出答案. 【详解】解：因为，所以， 所以在复平面内对应的点为位于第三象限. 故选：C. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再计算. 【详解】由得， 则． 故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数的模的计算，考查学生的基本运算能力. 3. 某研究性学习小组为了测量某铁塔OT的高度，在地面A处测得塔顶T的仰角为60°，在距离A处20米的地面B处测得塔顶T的仰角为45°，并测得 ，则塔高OT为（ ） A. 米 B. 20米 C. 30米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】由题，设，由题设可表示出OA、OB，即可在内使用余弦定理建立方程，最后求解即可 【详解】如图，，设，则，， 由余弦定理得，即，可解得， 故选：D 4. 如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A选项中的图形旋转得到的是同心球，外面一个大球，里面一个小球； B选项中的图形旋转得到的是空心环状几何体； C选项中的图形旋转得到的是内胎； D选项中的图形旋转得到的是球. 5. 一个圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 20 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的轴截面等腰三角形性质求解即可. 【详解】圆锥的轴截面是等腰三角形，腰长为5，底为6，则高为4， 所以轴截面面积 . 6. 一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设圆台的高为，则， 故圆台的体积为. 7. 若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出正方体的体对角线长，再利用球的表面积公式计算得解. 【详解】由棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，得该球的直径等于正方体的体对角线长， 所以该球的表面积为. 故选：A 8. 已知在中，角，，所对的边分别为， ，，其中，若，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得，进而可外接圆半径与面积. 【详解】由正弦定理得，， 解得，故， 则， 故所求外接圆的面积为， 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数定义求出复数，验证选项可得答案. 【详解】设复数，由，得， 所以解得 所以，则. 故选：AC 10. 是边长为1的等边三角形，已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【详解】由题意， ，，故， ，因此，A正确. ， 又， 故，解得，B 错误. ， 故，C 正确. 在上的投影向量为， D正确. 11. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的有（   ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据斜二测画法求解. 【详解】如图1，过点，分别作，垂直于轴于点，， 因为等腰梯形中，，， 所以 ，， 又，所以，故A正确； 由斜二测画法知，故B正确； 作出其原图如图2，，，， ， 则四边形的面积为，故C正确； 过点作于点 ，则，， 则， 于是四边形的周长为，故D错误． 三、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分） 12. 设是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用纯虚数的定义直接求解． 【详解】解：因为是虚数单位，复数是纯虚数， ， 解得实数． 故答案为：． 13. 已知向量的夹角为,,,则的值是________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据向量的模长公式求解即可. 【详解】. . 故. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了向量的模长计算,需要平方后利用向量数量积的公式求解,属于基础题型. 14. 若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由球的表面积和圆柱的表面积相等得出圆柱的底面半径，再计算圆柱的侧面积即可. 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，高为. 由题， 故，即 故（负根舍去）， 所以. 四、解答题（本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）； （3）)； （4）； （5）. 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）（4）根据复数的乘法运算可得答案； （5）根据的性质、复数的乘方运算可得答案；. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ； 【小问5详解】 . 16. 已知，，，. （1）若，求的值； （2）若与的夹角为，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量坐标运算即可求解； （2）由数量积的坐标运算以及定义，列方程即可化简求解. 【小问1详解】 若，则，，所以， 所以． 【小问2详解】 ， ． 即，平方得：， ∴ 或， ． 由于，所以 不符合要求，故舍去； ∴． 17. 在中，角所对的边分别为．向量，且． （1）若，求a，c的值． （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标表示，正弦定理，余弦定理，结合已知即可求解； （2）由余弦定理可求得c，利用三角形面积公式即可求得答案． 【小问1详解】 因为，且， 所以， 由正弦定理，得， 又， 所以，从而， 因为，所以． 由余弦定理得，， 又，即， 所以，解得． 【小问2详解】 由余弦定理，得， 而，得，即 ， 因为，所以 ， 故的面积． 18. 如图，长方体由，， ， ，过作长方体的截面使它成为正方形. （1）求三棱柱的表面积； （2）求三棱锥的体积； （3）求 . 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据截面为正方形，可得 ，利用三棱柱的表面积公式即可求解； (2)利用结合三棱锥的体积即可求解； (3)根据即可求解. 【小问1详解】 因为截面为正方形， 所以， 在中，， 即，解得 ， 所以三棱柱的表面积 【小问2详解】 由题可得： 【小问3详解】 因为， 在长方体中平面， 所以三棱锥的高为 ， 所以 . 19. 已知向量，，，设函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）设， ，分别为的内角，，的对边，若，，的面积为，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先借助三角变换知识求出函数的表达式，然后根据三角函数的性质求出结果； （2）先求出的值，由面积得出的值，再根据余弦定理得出结果. 【小问1详解】 解：，， ， 令，， 解得，， 的单调递增区间是，； 【小问2详解】 由（1）知， ，，即 ，， ，， 的面积为，，解得， ， 由余弦定理得， ， ，， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市第七十一中学 2025-2026学年度第二学期高一年级数学期中考试试卷 考试时长：120分钟 试卷满分：120分 注意事项： 1、请用黑色中性签字笔作答，禁止使用铅笔、修正带/液，字迹需工整清晰. 2、所有答案必须写在试卷指定答题区域内，超出区域作答无效. 3、保持卷面整洁、不得随意涂改、勾画，禁止在试卷上做与考试无关的标记. 一、单选题（本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 3. 某研究性学习小组为了测量某铁塔OT的高度，在地面A处测得塔顶T的仰角为60°，在距离A处20米的地面B处测得塔顶T的仰角为45°，并测得 ，则塔高OT为（ ） A. 米 B. 20米 C. 30米 D. 米 4. 如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是（ ） A. B. C. D. 5. 一个圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 20 D. 15 6. 一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. 6 D. 8. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，其中，若，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 是边长为1的等边三角形，已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的有（   ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 三、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分） 12. 设是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数 ___________ 13. 已知向量的夹角为,,,则的值是________. 14. 若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______． 四、解答题（本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）； （3）)； （4）； （5）. 16. 已知，，，. （1）若，求的值； （2）若与的夹角为，求实数的值． 17. 在中，角 所对的边分别为．向量，且． （1）若，求a，c的值． （2）若，求的面积． 18. 如图，长方体由，， ， ，过作长方体的截面使它成为正方形. （1）求三棱柱的表面积； （2）求三棱锥的体积； （3）求 . 19. 已知向量，，，设函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）设，，分别为的内角，，的对边，若，，的面积为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $