精品解析：陕西省西北工业大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

2024-2025年度第二学期期中质量检测 高一数学 （120分钟，150分） 一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 3. 已知在中，，且，则的形状为(　　)． A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 4. 已知复数分别满足，，则的最大值为（ ） A 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（ ） A. B. C. D. 6. 的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（ ） A. 三点共线 B. C. D. 点在的内部 7. 如图，在三棱柱中，M为A1C1的中点N为侧面上的一点，且MN//平面，若点N的轨迹长度为2，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆台的上､下底面圆的半径分别为2，5，侧面积为，则以该圆台外接球的球心为顶点，上､下底面圆为底面的两个圆锥的体积比为（ ） A B. C. D. 二、选择题（本题共3小题；每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论在复数集中成立的有（ ） A. B. 或 C. 对于非零复数， D. 对于虚数，若，则 10. 对于，下列说法正确有（ ） A. 若，则符合条件的有两个 B. 若，则 C. 若，则是钝角三角形 D. 若，则为等腰三角形 11. 如图，平行六面体的体积为6，点P为线段上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有（ ） A. 三棱锥 B. 三棱锥 C. 三棱锥 D. 三棱锥 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为_____． 13. 在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，若，，则的面积为______. 14. 已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. （1）设复数，求； （2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 16. 如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合） （1）证明：为定值； （2）求的最小值，并求此时的，的值. 17. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若是一条内角平分线，，，求的周长． 18. 如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，． （1）求证平面； （2）求与所成角的余弦值； （3）若，求多面体的体积. 19. 已知，且，当时，定义平面坐标系为“仿射”坐标系，在“仿射”坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：，分别为轴，轴正方向上的单位向量，若，则记为，那么， （1）在“仿射”坐标系中，下列结论是否仍然成立： ①设，则； ②设，，若，则； （2）设，，证明：的充要条件是； （3）设，，若与的夹角为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年度第二学期期中质量检测 高一数学 （120分钟，150分） 一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出复数和其对应的共轭复数，即可求出的值. 【详解】由题意，在中，，即， ∴，. 故选：C. 2. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为， 因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为， 则圆锥和圆柱的高为， 所以圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为， 所以圆锥和圆柱的侧面积之比为, 故选:C. 3. 已知在中，，且，则的形状为(　　)． A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【详解】∵，∴ ∴90°<∠BAC<180°，故是钝角三角形． 答案为：A 点睛:这个题目考查了向量数量积的运算，两个向量数量积小于0，则夹角不一定是钝角，还有可能是平角，反之，当两个向量的夹角是钝角时，则向量数量积一定是小于0的．对于锐角时，向量数量积一定大于0，向量数量积大于0，不一定是锐角，也可能是． 4. 已知复数分别满足，，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先通过模长公式求出复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，再利用的最大值为两圆圆心距加两个圆的半径即可求得结果. 【详解】设，则， 如图，复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 复数在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 则． 故选：D． 5. 如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连结，，根据题中条件，得到异面直线与所成角即为直线与所成角，进而可求出结果. 【详解】 连结，，因为在正方体中，M，N分别为的中点， 所以， 因此，异面直线与所成角即为直线与所成角，即，显然为. 故选：B 6. 的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（ ） A. 三点共线 B. C. D. 点在的内部 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断． 【详解】 ， 因为点为的重心， 所以，所以， 所以三点共线，故A正确，B错误； ， 因为， 所以，即，故C正确； 因为， 所以点的位置随着点位置的变化而变化，故点不一定在的内部，故D错误； 故选：AC． 7. 如图，在三棱柱中，M为A1C1的中点N为侧面上的一点，且MN//平面，若点N的轨迹长度为2，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理证明平面平面，再由MN//平面可得点N的轨迹为线段DE，据此即可得解. 【详解】如图， 取的中点D，的中点E，连接MD，DE，ME， 由，， 又平面，平面，所以平面， 同理可得平面，又，平面 所以平面平面，又平面， 故点N的轨迹为线段DE，又由，可得． 故选：B． 8. 已知圆台的上､下底面圆的半径分别为2，5，侧面积为，则以该圆台外接球的球心为顶点，上､下底面圆为底面的两个圆锥的体积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆台的侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得到高，根据勾股定理求解，即可利用体积公式求解. 【详解】依题意，记圆台的上､下底面半径分别为，设圆台的母线为，则侧面积为，故， 则圆台的高， 依题意画出轴截面， 记外接球球心到上底面的距离为， 则，解得， 故两个体积之比为 故选：D 二、选择题（本题共3小题；每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论在复数集中成立的有（ ） A. B. 或 C. 对于非零复数， D. 对于虚数，若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】举例说明判断AC；利用复数乘法、共轭复数意义求解判断BD. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，设，， 由，得，， 则或，即或，因此或， 反之或，得，B正确； 对于C，取，，C错误； 对于D，由，得，解得或， 当时，，当时，同理，D正确. 故选：BD 10. 对于，下列说法正确的有（ ） A. 若，则符合条件的有两个 B. 若，则 C. 若，则是钝角三角形 D. 若，则为等腰三角形 【答案】BC 【解析】 分析】对A，利用余弦定理即可判断；对B，根据大角对大边并结合正弦定理即可判断；对C，根据正、余弦定理即可判断；对D，分类讨论即可判断. 【详解】对于选项A：由余弦定理可得： ， 即，只有一解，故A错误； 对于选项B：若，则，由正弦定理可得成立.故B正确； 对于选项C：若，由正弦定理得， 由余弦定理，且 所以为钝角，即是钝角三角形，故C正确； 对于选项D：因为在三角形中，， 故若，则或，可得或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故D不正确， 故选：BC. 11. 如图，平行六面体的体积为6，点P为线段上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有（ ） A. 三棱锥 B. 三棱锥 C. 三棱锥 D. 三棱锥 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面平行的性质，将动点到面的距离转换成定点到面的距离，利用等体积法依次求解即可. 【详解】记平行六面体的体积为， 对于A，由平行六面体的性质，平面故点到平面的距离等于点到平面的距离，故,故A正确； 对于B,因为，底面面积固定，点在线段上位置不同，高不同，故体积不为定值，故B错误； 对于C，因为平面平面故平面 点到平面的距离等于点到平面的距离， 故，故C正确； 对于D，因为平面平面故平面 点到平面的距离等于点到平面的距离， 故，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，分别求出内切球､棱切球､外接球的半径，再根据体积公式，可知体积比为半径比的立方比，即可得解. 【详解】设正方体的棱长为，则其内切球､棱切球､外接球的半径分别为，即半径之比为， 又球的体积公式为（为球的半径）， 所以正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为. 故答案为： 13. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理角化边可得，再结合余弦定理可得，根据三角形面积公式即可求解. 【详解】解：因为，由正弦定理可得：，即， 又，所以， 由， 所以， 故答案为：. 14. 已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题可先根据向量垂直的性质求出的值，再根据投影向量的计算公式求出在上的投影向量的坐标. 【详解】已知，则. 因为，根据向量垂直的性质可知，即. 将代入上式可得，即，解得.  根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为. 将，，代入可得： .  故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. （1）设复数，求； （2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由为纯虚数，可得，从而得，再根据模公式求解即可； （2）化简得，再根据题意列出不等式组求解即可. 【小问1详解】 解：因为，则， 所以为纯虚数， 所以，解得. 所以， 因此. 【小问2详解】 解：因为， 则， 因为复数在复平面内对应点位于第一象限， 则，解得. 因此实数的取值范围是. 16. 如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合） （1）证明：为定值； （2）求的最小值，并求此时的，的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，从而由三点共线，可得答案； （2）结合（1）可得，化简后利用基本不等式可求得结果. 【小问1详解】 因为是边边上中线，，所以. 又是的中点，， 所以. 因为三点共线，所以且 所以，即为定值； 【小问2详解】 由（1） 所以 ， 当且仅当,即时，等号成立. 所以时，的最小值. 17. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若是的一条内角平分线，，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再通过三角函数的运算求出角；（2）根据三角形内角平分线性质以及三角形面积公式建立等式，结合余弦定理求出的值，进而得到三角形的周长. 【小问1详解】 由已知及正弦定理：， ， ， ，. 【小问2详解】 中，由， 可得：， 又平分，则， 所以， 整理得①． 又由余弦定理，可得，即， 则有②， 由①②解得：或（舍）， 所以的周长为. 18. 如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，． （1）求证平面； （2）求与所成角的余弦值； （3）若，求多面体的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接；证明，根据线面平行判定定理证明平面. （2）根据异面直线夹角定义证明为直线与所成角，解三角形求其余弦值即可. （3）求出四棱锥及三棱柱的体积，再利用割补法求出多面体的体积. 【小问1详解】 取的中点，连接， 由分别为的中点，得，， 而，且，则，且 ， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，，则为直线与所成角， 由平面，，得平面，而平面， 则，，， 直角梯形中，， 则， 在中，由可得， 在中，，， 在中，，， 所以与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 在棱柱中，取中点，连接，则， 由平面，平面，得，而， 平面，则平面，而，， 四棱锥的体积，由，得， 三棱柱体积， 所以多面体的体积为. 19. 已知，且，当时，定义平面坐标系为“仿射”坐标系，在“仿射”坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：，分别为轴，轴正方向上的单位向量，若，则记为，那么， （1）在“仿射”坐标系中，下列结论是否仍然成立： ①设，则； ②设，，若，则； （2）设，，证明：的充要条件是； （3）设，，若与的夹角为，求的值. 【答案】（1）①不成立，②成立； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据新定义，应用向量数量积的运算律求得判断①，由向量共线的基本定理有且，即可判断②； （2）应用向量数量积的运算律及向量垂直，结合充要条件的定义证明结论； （3）由题设，，应用向量数量积的运算律及夹角公式列方程求得，即可得. 【小问1详解】 由题设，则， ①且，则，当时，则不成立； ②由，又，则且，故，则； 故①不成立，②成立. 【小问2详解】 由，又，则， 所以，得证. 【小问3详解】 由题设，，则， ， ， 所以，则， 且，则，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$