陕西省西安中学2023-2024学年第二学期期中考试高一数学试题

西安中学2023-2024学年度第二学期期中考试 高一数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 一、单选题：本题共8小题，每小题3.5分，共28分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 2. 已知，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，则（　　） A. EF与GH互相平行 B. EF与GH异面 C. EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D. EF与GH的交点M一定在直线AC上 5. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 6. 在中，，，则为（ ） A. 直角三角形 B. 三边均不相等的三角形 C. 等边三角形 D. 等腰非等边三角形 7. 如图，四边形四点共圆，其中为直径，，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 如图所示，已知点O是的外接圆圆心，且，.若存在非零实数x，y，使得，且，则（ ）. A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知复数（i为虚数单位），则下列结论中正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 10. （多选）已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为锐角 11. 折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，点E在弧上.下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 的最小值为 12. 若圆锥侧面展开图是一个半径为2的半圆，则（ ） A. 该圆锥的母线与底面所成的角为 B. 该圆锥的体积为 C. 该圆锥的内切球的体积为 D. 该圆锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 向量，，若向量，的夹角为钝角，则x的取值范围为________ 14. 若复数满足，则复数的最大值为______. 15. 已知平面向量、、满足：，，则的最小值为___________． 16. 在中，内角的对边分别为，若，且，则面积的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 设虚数（a，，i是虚数单位），是实数. （1）求的值； （2）若，求的值. 18. 已知中，、、分别为角、、的对边，且满足． （1）求角； （2）若点为边上一点，满足，求的外接圆的面积． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为PB的中点，F为AC与BD的交点. （1）证明：平面PCD； （2）求四棱锥的体积. 20. 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝，(，)． （1）当cos＝时，求小路AC的长度； （2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度． 21. 的内角，，的对边分别是，，，已知． （1）求； （2）若是锐角三角形，，求周长的取值范围． 西安中学2023-2024学年度第二学期期中考试 高一数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 一、单选题：本题共8小题，每小题3.5分，共28分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、多选题：本题共4小题，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】BCD 【12题答案】 【答案】BD 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【17题答案】 【答案】（1）1 （2）0 【18题答案】 【答案】（1）；（2）. 【19题答案】 【答案】（1）证明：∵ 底面为正方形，对角线与交于点， ∴ 是的中点， 又∵ 为的中点， ∴ 在中，是中位线，可得 ， ∵ 平面，平面， 根据线面平行的判定定理，得 平面. （2） 【20题答案】 【答案】（1）；（2） 【21题答案】 【答案】（1） （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $