专题强化 卫星变轨问题与双星模型及追及问题（举一反三讲义）2027年高考物理一轮复习举一反三系列

该高中物理高考复习教案聚焦卫星变轨、双星模型及追及问题三大核心考点，按考向拆解知识体系，通过必备知识回顾构建物理观念，结合典例精讲与变式训练深化科学思维，形成“考点梳理-方法指导-真题演练”的系统复习路径。 资料以我国航天成就为情境载体，如神舟对接、嫦娥探月等案例，渗透科学态度与责任。针对变轨问题设计“一个点、三条轨道”比较策略，双星模型提炼“三相等、一反比”规律，配合分层练习实现精准突破，助力学生高效构建解题模型，为教师把控复习节奏提供清晰教学框架。

专题强化：卫星变轨问题与双星模型及追及问题 目录 1 3 考点一 卫星变轨问题 3 考向1：卫星的发射、变轨、对接问题 4 考向2：卫星变轨物理量分析 5 考点二 天体中的追及相遇问题 7 考向1：相遇间隔时间问题 7 考向2：相遇次数问题 8 考点三 双星和多星问题 9 考向1：双星问题 10 考向2：多星问题 10 12 基础巩固练 12 综合提升练 17 核心考点 1.卫星变轨问题： 变轨原理：通过改变卫星速度（发动机点火加速或减速），使所需向心力改变，从而进入不同轨道。加速→离心→高轨道；减速→向心→低轨道。 关键比较：高轨道机械能大（势能增加量大于动能减少量），运行速度小（v=√(GM/r)）；低轨道机械能小，运行速度大。 变轨点物理量：在同一位置（变轨点），卫星受到的万有引力相同，因此加速度相同；但速度不同（加速后速度大）。 2.双星与多星模型： 双星模型：两颗星体绕它们连线上的同一点（质心）做匀速圆周运动。 核心特征：周期、角速度相等（T₁=T₂，ω₁=ω₂）；向心力大小相等（均由万有引力提供：Gm₁m₂/L²）；轨道半径与质量成反比（r₁/r₂=m₂/m₁）。 总质量公式：m₁+m₂=4π²L³/GT²。 三星及多星：常考等边三角形三星、直线排列三星等，核心仍是万有引力提供向心力，但需进行力的合成求合力。 3.卫星追及相遇问题： 核心思路：找两卫星（或行星）之间的角度差。 最近/最远条件： 最近：两者（角度差）Δθ=(ω₁－ω₂)t=2kπ（k=0,1,2...）。 最远：两者（角度差）Δθ=(ω₁－ω₂)t=(2k+1)π（k=0,1,2...）。 考情透析 1.题型与难度：以选择题为主，难度中档→较高。常作为天体运动部分的区分题出现，是高考的高频考点和难点。 2.命题规律： 常以我国航天成就（如“天和”核心舱与货运飞船对接、“嫦娥”系列卫星变轨）为背景，考查变轨过程的速度、加速度、机械能变化。 常与万有引力定律、圆周运动结合，作为综合题的一部分出现。 “双星模型”常以黑洞与伴星、脉冲星与白矮星等新奇情境出现，考查模型迁移能力。 “卫星追及”常以行星冲日、木星合月、星链碰撞风险等天文现象为背景命题。 3.考查方向：侧重变轨过程中速度、加速度、机械能的比较分析、双星模型的建立及轨道半径、质量比的关系推导、卫星追及问题中角速度差与时间关系的列式、双星系统总质量的估算。 素养对接 1.模型建构：将“卫星变轨”、“双星绕转”抽象为“圆周运动+离心/向心运动”和“两体圆周运动”的理想模型。 2.动态分析与推理：在卫星变轨问题中，能通过对发动机“加速”或“减速”这一动因，推理出后续轨道的变化、机械能的变化，培养因果逻辑链式推理能力。 3.数形结合与空间想象：在卫星追及问题中，能将运动轨迹和相对位置关系（角度差）转化为数学方程，培养几何分析和空间想象能力。 学习目标 1.知识目标： 能说出卫星变轨的原理（加速/减速对应的向心/离心运动）及变轨前后各物理量（速度、加速度、周期、机械能）的变化规律。 能写出双星模型的核心特征（周期、角速度相等，向心力相等，轨道半径与质量成反比）及总质量公式。 能写出卫星追及问题中最近和最远（第一次）的时间表达式。 2.能力目标： 变轨分析能力：能对卫星在变轨点进行“加速前/减速前”和“加速后/减速后”的速度比较，并能判断机械能的变化趋势。 模型建立能力：能正确建立双星或多星模型，确定每个星体做圆周运动的轨道半径，并正确列出其向心力方程。 追及建模能力：能将卫星追及问题转化为相对角速度的圆周运动问题，并正确列出最近/最远的方程。 综合运算能力：能通过双星模型的总质量公式推导线速度、周期等参数；能处理三星及多星系统中力的合成与分解。 备考建议 1.卫星变轨：围绕“一个点、三条轨道”做差异比较： “一个点”：变轨点（通常为椭圆轨道与圆轨道的切点）。 “三条轨道”：内圆轨道、外圆轨道、椭圆过渡轨道。 解题关键： 速度比较：椭圆轨道近地点>圆轨道速度（因为要离心）；椭圆轨道远地点<外圆轨道速度（因为要回到内圆需减速）。整理口诀：“内圆<近点，远点<外圆”。 加速度比较：同一点（距地心等距），万有引力相同，加速度相同。 周期比较：轨道的半长轴（或半径）越大，周期越长。 机械能比较：轨道越高（半径越大），机械能越大。 2.双星模型：抓住“三相等、一反比、一个总和”： 三相等：F向（大小）相等、T相等、ω相等。 一反比：轨道半径与质量成反比（r₁/r₂=m₂/m₁），即质量大的星体离质心近。 一个总和：总质量M=m₁+m₂=4π²L³/GT²。 易错点：误将双星之间的距离L当作轨道半径r，注意L=r₁+r₂。 3.卫星追及：核心是计算“角度差”。 考点一 卫星变轨问题 【必备知识回顾】 1．两类变轨 两类变轨 离心运动 近心运动 示意图 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 力学关系 G<m G>m 2.变轨过程分析 (1)速度：如图所示，设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。 (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同；同理，卫星在轨道Ⅱ和轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同。 (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k，可知T1＜T2＜T3。 (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1＜E2＜E3。 3.宇宙飞船与空间站的对接 宇宙飞船与空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体的追赶问题，本质仍然是卫星的变轨问题，要使宇宙飞船与空间站成功“对接”，必须让宇宙飞船在较低轨道上逐渐加速，通过做离心运动升高轨道，从而完成宇宙飞船与空间站的成功对接。 【重难模型精讲】 考向1：卫星的发射、变轨、对接问题 【典例1】（2026高三上·江西宜春·期末）2025年11月25日12时11分，神舟二十二号飞船成功发射，并和空间站天和核心舱对接。为了成功完成对接，下列方案可行的是（　　） A．神舟二十二号飞船先到空间站轨道上同方向运动，在合适位置加速 B．神舟二十二号飞船先到略高于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速 C．神舟二十二号飞船先到略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置减速 D．神舟二十二号飞船先到略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速 考向2：卫星变轨物理量分析 【典例2】（2026·湖南·一模）我国“嫦娥”探测器到达月球引力范围后先进入环月圆轨道Ⅰ，在点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，探测器在轨道Ⅰ上点运动的线速度大小为、加速度大小为、机械能为、运行周期为；在轨道Ⅱ上点运动的线速度大小为、加速度大小为、机械能为、运行周期为；则下列选项中关系均正确的是（） A．， B．， C．， D．， 【变式训练与拓展】 【变式1】（2026·湖南怀化·三模）如图所示，天问一号火星探测器被火星捕获，经过一系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星中心的连线单位时间扫过的面积。下列说法正确的是（） A．图中两阴影部分的面积相等 B．探测器在点的加速度小于在点的加速度 C．从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器的机械能变大 D．从“调相轨道”进入“停泊轨道”，在点需减速才能实现变轨 【变式2】（2026·天津南开·二模）2025年3月初，随嫦娥六号登月归来的四种饲草种子将进行解封试种。若嫦娥六号探测器在月球附近轨道上运行的示意图如图所示，嫦娥六号探测器先在圆轨道上做匀速圆周运动，运动到A点时变轨为椭圆轨道，B点是近月点。下列说法正确的是（　　） A．嫦娥六号探测器在椭圆轨道上运行的周期比在圆轨道上运行的周期短 B．嫦娥六号探测器在椭圆轨道上从B点运动到A点的过程中动能增大 C．嫦娥六号探测器要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A点加速 D．嫦娥六号探测器在椭圆轨道上运行时经过A点的加速度比在圆轨道上运行时经过A点的加速度大 【变式3】（多选）（2026·全国·单元测试）如图所示，宇宙飞船在轨道1上飞行，空间站和另外一颗卫星在轨道2上运行，三个物体均沿逆时针方向转动，则下列选项中正确的是（　　） A．若卫星欲与空间站对接，可以直接加速实现对接 B．若卫星欲与宇宙飞船对接，可以直接加速实现对接 C．若飞船要对空间站进行物资补给，可以直接加速实现对接 D．飞船从轨道1切换到轨道2后，加速度将变小 【方法规律】 变轨问题的注意事项 (1)航天器变轨时半径(半长轴)的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝判断。两个不同轨道的“切点”处线速度不相等，同一椭圆上近地点的线速度大于远地点的线速度。 (2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。 只考虑万有引力作用，不考虑其他阻力影响，航天器在同一轨道上运动时，机械能守恒。在椭圆轨道上运动时，从远地点到近地点，万有引力对航天器做正功，动能Ek增大，引力势能减小。 (3)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同。 考点二 天体中的追及相遇问题 【必备知识回顾】 1．天体“相遇”：指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，某时刻行星与地球最近，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同，如图甲，根据＝mω2r可知，地球公转的速度较快，从初始时刻到之后“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线。 2．解决天体“追及相遇”问题的两种方法 角度关系 相距最近 ω1t－ω2t＝n·2π，（n＝1，2，3，…），即两天体转过的角度之差等于2π的整数倍时再次相遇 相距最远 ω1t－ω2t＝（2n－1）π，（n＝1，2，3，…），即两天体转过的角度之差等于π的奇数倍时相距最远 圈数关系 相距最近 －＝n，（n＝1，2，3，…） 相距最远 －＝n－，（n＝1，2，3，…） 注意：如果两个天体绕中心天体的运行方向相反，则上面的各个对应关系应为“和的关系”。 【重难模型精讲】 考向1：相遇间隔时间问题 【典例3】（2026高三·全国·三轮复习）如图所示，A、B为地球的两颗卫星，卫星A在地面附近沿顺时针方向绕地球做匀速圆周运动，周期约为1.5h，卫星B绕地球做圆周运动的半径为4R（R为地球的半径），图示时刻两卫星分别与地心O点连线间的夹角为。下列说法正确的是（　　） A．卫星A做匀速圆周运动的线速度大于7.9km/s B．卫星B的运动周期约为12h C．若卫星B沿顺时针方向运动，则至少经过约两颗卫星相距最近 D．若卫星B沿逆时针方向运动，则至少经过约两颗卫星相距最远 考向2：相遇次数问题 【典例4】（多选）（2026·福建三明·二模）如图，绕地心O运动的倾斜圆轨道卫星a、b，其运动可视为匀速圆周运动，a、b的周期分别为地球自转周期的和。t0时刻，a、b恰好均经过地球赤道上P点的正上方，则（　　） A．a、b的轨道半径之比为 B．a、b的向心加速度大小之比为 C．从t0时刻到下一次a卫星经过P点正上方时，a恰好绕地心转5圈 D．从t0时刻到下一次b卫星经过P点正上方时，b恰好绕地心转5圈 【变式训练与拓展】 【变式4】（2026·河南郑州·模拟预测）若火星和地球近似在同一平面内绕太阳做匀速圆周运动，它们之间的万有引力大小随时间的变化关系如图所示。火星和地球之间的万有引力远小于太阳分别对火星和地球的万有引力，地球的公转周期为1年，。则图像中的时间最接近（） A．1.5年 B．1.8年 C．2.0年 D．2.2年 【变式5】（2026·江西南昌·三模）如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0。某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为（） A． B． C． D． 【变式6】（2026·安徽·模拟预测）如图所示，一太空碎片绕地球沿椭圆轨道运动，地球球心位于椭圆轨道的一个焦点上，近地点、远地点到地球球心的距离之比为。飞船绕地球做匀速圆周运动，周期为，其轨道与碎片的椭圆轨道在远地点相切，且两者在同一轨道平面内同向转动。初始时刻，碎片恰好在点，飞船在点。忽略其他天体的引力影响，当碎片与飞船第一次同时到达点时，飞船将面临碰撞危险，该最短时间间隔为（） A． B． C． D． 考点三 双星和多星问题 【必备知识回顾】 1．模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。 2．特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 ＝m1ωr1， ＝m2ωr2。 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。 ④两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。 ⑤双星的运动周期T＝2π。 ⑥双星的总质量m1＋m2＝。 3．多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星模型及规律如下表： 项目 图示 规律 常见的三 星模型 ＋＝ma向 ×cos30°×2＝ma向 常见的四 星模型 ×cos45°×2＋＝ma向 ×cos30°×2＋＝ma向 【重难模型精讲】 考向1：双星问题 【典例5】（2026·黑龙江辽宁·期末）如图所示，绕共同圆心做匀速圆周运动的两颗恒星A、B，各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，两颗恒星A、B的间距不变，角速度相等，称为双星系统。下列说法正确的是（　　） A．两颗恒星的线速度大小之比等于转动半径之比的倒数 B．两颗恒星的动能之比等于转动半径之比 C．两颗恒星的加速度大小之比等于质量之比 D．两颗恒星的轨道半径之比等于质量之比 考向2：多星问题 【典例6】（2026·山东日照·三模）如图所示，质量均为的四个星体均匀分布在同一个圆周上，它们均绕圆心做匀速圆周运动，轨道半径均为，引力常量为，忽略其他天体对四个星体的影响。则（） A．四个星体的向心力相同 B．每个星体的向心力大小为 C．每个星体运动的周期为 D．每个星体运动的线速度大小为 【变式训练与拓展】 【变式7】（2026·宁夏陕西·期末）2025年，我国深空探测器成功抵达某双小行星系统（由A、B两颗小行星组成）进行抵近考察。已知A、B两星均可视为质量分布均匀的球体，它们依靠相互间的万有引力，绕两者连线上的某一点O做匀速圆周运动，且两星之间的距离L保持不变。若测得A星的质量为B星质量的k倍，A星的半径为R，A星表面的重力加速度大小为g，引力常量为G。忽略其他天体的影响，下列关于该双星系统的说法正确的是（） A．A、B两星做圆周运动的轨道半径之比为 B．A、B两星做圆周运动的向心加速度大小之比为 C．A星的第一宇宙速度为 D．B星的质量为 【变式8】（多选）（2026·全国·期末）如图为两个黑洞A、B组成的双星系统，绕其连线上的O点做匀速圆周运动，若A的轨道半径大于B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，距离为L，其运动周期为T。则（） A．A的质量一定小于B的质量 B．A的线速度一定小于B的线速度 C．L一定，M越大，T越小 D．M一定，L越大，T越小 【变式9】（2026高三·全国·专题练习）太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G，则（　　） A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B．直线三星系统的运动周期为4πR C．三角形三星系统中星体间的距离为L＝R D．三角形三星系统的线速度大小为 【方法规律】 解决双星、多星问题，要注意： (1)根据双星或多星的运动特点及规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。 (2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。 (3)星体的角速度相等。 (4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。 基础巩固练 1．（2025·福建·模拟预测）如图所示，A、B两个恒星绕A、B连线上的O点做匀速圆周运动，形成一个稳定的双星系统。已知A、B两恒星的质量之比为，则A、B两恒星的动能之比为（） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃·模拟预测）如图所示的“三星”系统，三星A、B、C质量均为，位置连线构成等边三角形，三角形边长为，三星绕共同圆心做匀速圆周运动，不考虑其他星体影响，万有引力常量为，则（　　） A．A、B、C向心加速度相同 B．A受B的引力大小等于A的向心力大小 C．A受C引力大小等于A向心力大小的 D．A所需向心力大小为 3．（2026·重庆·一模）2025年2月28日，太阳系中出现了“七星连珠”天文现象。为了解此类现象的周期，天文爱好者利用人工智能来模拟探究地球系统的“三星连珠”（三星位于地球同侧且共线）。如图所示，卫星a、b绕地球做匀速圆周运动的周期分别为19.2h、18h，地球同步卫星的周期为24h（等于1d），则a、b和同步卫星出现“三星连珠”的周期为（三星轨道在同一平面内且环绕方向相同）（） A．6d B．8d C．12d D．20d 4．（2026·江苏盐城·模拟预测）近日，我国搭载天舟十号货运飞船的运载火箭成功发射，天舟十号与火箭成功分离后进入预定的圆周轨道。则分离后天舟十号（　　） A．速度大于 B．周期等于 C．处于平衡状态 D．处于失重状态 5．（2026·浙江·二模）北京时间2025年11月1日3时22分，神舟二十一号载人飞船成功与空间站天和核心舱（距离地面约400km）前向端口对接，整个对接过程历时约3.5小时，创造了神舟飞船与空间站交会对接的最快纪录。交接后形成的组合体在地球引力的作用下继续在原轨道做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．对接完成后，飞船的速度一定小于7.9km/s B．对接完成后，空间站由于质量变大，速度将变小 C．对接完成后，飞船所受合力比静止在地面上时小 D．对接过程中，先将飞船运送到空间站同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间站实现对接 6．（2026·天津和平·二模）我国于2025年4月成功将“云海三号”02卫星发射入轨。如图所示，椭圆为发射过程中卫星绕地球运动的轨迹，、分别是轨迹上的近地点和远地点，位于地球表面附近，、是椭圆短轴的两个端点，卫星在此轨道上的运行周期为。若卫星所受阻力不计，卫星在从经、运动到的过程中（　　） A．卫星从运动到所用时间为 B．卫星在点时的速度大于第一宇宙速度 C．卫星由运动到的过程中机械能逐渐变大 D．卫星在、两点处的加速度大小相同 7．（2026·贵州黔南·阶段检测）如图所示，甲、乙分别为常见的三星系统模型和四星系统模型。甲图中三颗质量均为的行星都绕边长为的等边三角形的中心做匀速圆周运动，周期为；乙图中三颗质量均为的行星都绕静止于边长为的等边三角形中心的中央星做匀速圆周运动，周期为，不考虑其他星系的影响。已知四星系统内中央星的质量，，则两个系统的周期之比（　　） A． B． C． D． 8．（2026·云南昭通·一模）如图所示，某理想化平面四星系统由四颗质量相等的星体组成，四颗星体对称分布在正方形的四个顶点上，绕正方形外接圆圆心做角速度相等的匀速圆周运动，系统稳定且无相对运动，忽略其他天体的引力作用。已知星体质量均为，正方形边长为，引力常量为。下列关于各星体做匀速圆周运动的物理量表述正确的是（　　） A．轨道半径为 B．向心力大小为 C．线速度大小为 D．周期为 9．（2026·江西吉安·模拟预测）在浩瀚深邃的夜空，我们看到的一颗颗耀眼的星星其实有复杂的结构，最明亮的天狼星就是由一颗蓝白色主序星（天狼A）和一颗白矮星（天狼B）组成的双星系统，它们相互绕转，平均相距20AU（1AU等于地球到太阳中心的距离，称为1个天文单位），公转周期为50年（1年是地球公转周期），其中天狼星A质量为太阳质量的2倍，根据以上信息可以求出天狼星B的质量是太阳质量的（）倍。 A．2.0 B．1.8 C．1.2 D．0.6 10．（2026·湖南邵阳·三模）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球半径为，地球表面重力加速度为。则该卫星轨道半径为（　　） A． B． C． D． 11．（多选）（2025·云南丽江·阶段检测）在无地面网络时，某手机可通过天通一号卫星系统进行通话。如图所示，天通一号目前由01、02、03共三颗地球静止卫星组网而成，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，静止卫星运行的周期为T，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．地球的质量为 B．三颗卫星运行的半径为 C．三颗卫星运行的线速度大小均为 D．若01星减速，一定会与正常运行的02星相撞 12．（多选）（2026·浙江宁波·二模）我国载人登月方案是先将着陆器送至近月面的圆形环月轨道，再发射载人飞船在环月轨道与着陆器交会对接，航天员进入着陆器后择机降落月面。已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.7倍，地球的第一宇宙速度为，。下列说法正确的是（　　） A．着陆器和飞船对接后总质量变大将自发进入更低轨道 B．着陆器与飞船对接时的绕月速率约为1.7km/s C．着陆器在环月轨道上的向心加速度约为地球表面重力加速度的0.17倍 D．若月球的平均密度变为原来的2倍，则近月卫星的周期将变为原来的0.5倍 13．（多选）（2026·安徽合肥·期中）2021年5月15日7时18分，“天问一号”探测器成功着陆于火星。假设“天问一号”发射后经过地火转移轨道被火星捕获，进入环火星圆轨道，经变轨调整后，从点进入着陆准备轨道，如图所示。已知“天问一号”火星探测器的火星着陆准备轨道为半长轴为，周期为的椭圆轨道，我国北斗导航系统的中圆地球轨道卫星轨道半径为，周期为，引力常量为。则下列判断正确的是（　　） A． B．由题目已知数据可以估算火星的质量和密度 C．“天问一号”在A点从环火星圆轨道进入着陆准备轨道时需要开启发动机向前喷气 D．火星质量和地球质量的比值 综合提升练 1．（2024·重庆·高考真题）在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体（图中未画出）质量为m（m<<M），若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则（） A．c的线速度大小为a的倍 B．c的向心加速度大小为b的一半 C．c在一个周期内的路程为2πr D．c的角速度大小为 2．（2023·浙江·高考真题）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”，已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表： 行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 则相邻两次“冲日”时间间隔约为（　　） A．火星365天 B．火星800天 C．天王星365天 D．天王星800天 3．（2025·四川·高考真题）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为（） A． B． C． D． 4．（2021·北京·高考真题）2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。“天问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距离火星表面2.8×102km、远火点距离火星表面5.9×105km，则“天问一号”（　　） A．在近火点的加速度比远火点的小 B．在近火点的运行速度比远火点的小 C．在近火点的机械能比远火点的小 D．在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动 5．（2021·天津·高考真题）2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器（　　） A．在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态 B．在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短 C．从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速 D．沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大 6．（2022·浙江·高考真题）“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（　　） A．发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间 B．从P点转移到Q点的时间小于6个月 C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 7．（2025·北京·高考真题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 8．（多选）（2023·重庆·高考真题）某卫星绕地心的运动视为匀速圆周运动，其周期为地球自转周期T的，运行的轨道与地球赤道不共面（如图）。时刻，卫星恰好经过地球赤道上P点正上方。地球的质量为M，半径为R，引力常量为G。则（　　） A．卫星距地面的高度为 B．卫星与位于P点处物体的向心加速度大小比值为 C．从时刻到下一次卫星经过P点正上方时，卫星绕地心转过的角度为 D．每次经最短时间实现卫星距P点最近到最远的行程，卫星绕地心转过的角度比地球的多 9．（2010·全国·高考真题）如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。 (1)求两星球做圆周运动的周期。 (2)在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化：卫星变轨问题与双星模型及追及问题 目录 1 3 考点一 卫星变轨问题 3 考向1：卫星的发射、变轨、对接问题 4 考向2：卫星变轨物理量分析 5 考点二 天体中的追及相遇问题 8 考向1：相遇间隔时间问题 8 考向2：相遇次数问题 9 考点三 双星和多星问题 12 考向1：双星问题 13 考向2：多星问题 14 18 基础巩固练 18 综合提升练 26 核心考点 1.卫星变轨问题： 变轨原理：通过改变卫星速度（发动机点火加速或减速），使所需向心力改变，从而进入不同轨道。加速→离心→高轨道；减速→向心→低轨道。 关键比较：高轨道机械能大（势能增加量大于动能减少量），运行速度小（v=√(GM/r)）；低轨道机械能小，运行速度大。 变轨点物理量：在同一位置（变轨点），卫星受到的万有引力相同，因此加速度相同；但速度不同（加速后速度大）。 2.双星与多星模型： 双星模型：两颗星体绕它们连线上的同一点（质心）做匀速圆周运动。 核心特征：周期、角速度相等（T₁=T₂，ω₁=ω₂）；向心力大小相等（均由万有引力提供：Gm₁m₂/L²）；轨道半径与质量成反比（r₁/r₂=m₂/m₁）。 总质量公式：m₁+m₂=4π²L³/GT²。 三星及多星：常考等边三角形三星、直线排列三星等，核心仍是万有引力提供向心力，但需进行力的合成求合力。 3.卫星追及相遇问题： 核心思路：找两卫星（或行星）之间的角度差。 最近/最远条件： 最近：两者（角度差）Δθ=(ω₁－ω₂)t=2kπ（k=0,1,2...）。 最远：两者（角度差）Δθ=(ω₁－ω₂)t=(2k+1)π（k=0,1,2...）。 考情透析 1.题型与难度：以选择题为主，难度中档→较高。常作为天体运动部分的区分题出现，是高考的高频考点和难点。 2.命题规律： 常以我国航天成就（如“天和”核心舱与货运飞船对接、“嫦娥”系列卫星变轨）为背景，考查变轨过程的速度、加速度、机械能变化。 常与万有引力定律、圆周运动结合，作为综合题的一部分出现。 “双星模型”常以黑洞与伴星、脉冲星与白矮星等新奇情境出现，考查模型迁移能力。 “卫星追及”常以行星冲日、木星合月、星链碰撞风险等天文现象为背景命题。 3.考查方向：侧重变轨过程中速度、加速度、机械能的比较分析、双星模型的建立及轨道半径、质量比的关系推导、卫星追及问题中角速度差与时间关系的列式、双星系统总质量的估算。 素养对接 1.模型建构：将“卫星变轨”、“双星绕转”抽象为“圆周运动+离心/向心运动”和“两体圆周运动”的理想模型。 2.动态分析与推理：在卫星变轨问题中，能通过对发动机“加速”或“减速”这一动因，推理出后续轨道的变化、机械能的变化，培养因果逻辑链式推理能力。 3.数形结合与空间想象：在卫星追及问题中，能将运动轨迹和相对位置关系（角度差）转化为数学方程，培养几何分析和空间想象能力。 学习目标 1.知识目标： 能说出卫星变轨的原理（加速/减速对应的向心/离心运动）及变轨前后各物理量（速度、加速度、周期、机械能）的变化规律。 能写出双星模型的核心特征（周期、角速度相等，向心力相等，轨道半径与质量成反比）及总质量公式。 能写出卫星追及问题中最近和最远（第一次）的时间表达式。 2.能力目标： 变轨分析能力：能对卫星在变轨点进行“加速前/减速前”和“加速后/减速后”的速度比较，并能判断机械能的变化趋势。 模型建立能力：能正确建立双星或多星模型，确定每个星体做圆周运动的轨道半径，并正确列出其向心力方程。 追及建模能力：能将卫星追及问题转化为相对角速度的圆周运动问题，并正确列出最近/最远的方程。 综合运算能力：能通过双星模型的总质量公式推导线速度、周期等参数；能处理三星及多星系统中力的合成与分解。 备考建议 1.卫星变轨：围绕“一个点、三条轨道”做差异比较： “一个点”：变轨点（通常为椭圆轨道与圆轨道的切点）。 “三条轨道”：内圆轨道、外圆轨道、椭圆过渡轨道。 解题关键： 速度比较：椭圆轨道近地点>圆轨道速度（因为要离心）；椭圆轨道远地点<外圆轨道速度（因为要回到内圆需减速）。整理口诀：“内圆<近点，远点<外圆”。 加速度比较：同一点（距地心等距），万有引力相同，加速度相同。 周期比较：轨道的半长轴（或半径）越大，周期越长。 机械能比较：轨道越高（半径越大），机械能越大。 2.双星模型：抓住“三相等、一反比、一个总和”： 三相等：F向（大小）相等、T相等、ω相等。 一反比：轨道半径与质量成反比（r₁/r₂=m₂/m₁），即质量大的星体离质心近。 一个总和：总质量M=m₁+m₂=4π²L³/GT²。 易错点：误将双星之间的距离L当作轨道半径r，注意L=r₁+r₂。 3.卫星追及：核心是计算“角度差”。 考点一 卫星变轨问题 【必备知识回顾】 1．两类变轨 两类变轨 离心运动 近心运动 示意图 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 力学关系 G<m G>m 2.变轨过程分析 (1)速度：如图所示，设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。 (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同；同理，卫星在轨道Ⅱ和轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同。 (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k，可知T1＜T2＜T3。 (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1＜E2＜E3。 3.宇宙飞船与空间站的对接 宇宙飞船与空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体的追赶问题，本质仍然是卫星的变轨问题，要使宇宙飞船与空间站成功“对接”，必须让宇宙飞船在较低轨道上逐渐加速，通过做离心运动升高轨道，从而完成宇宙飞船与空间站的成功对接。 【重难模型精讲】 考向1：卫星的发射、变轨、对接问题 【典例1】（2026高三上·江西宜春·期末）2025年11月25日12时11分，神舟二十二号飞船成功发射，并和空间站天和核心舱对接。为了成功完成对接，下列方案可行的是（　　） A．神舟二十二号飞船先到空间站轨道上同方向运动，在合适位置加速 B．神舟二十二号飞船先到略高于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速 C．神舟二十二号飞船先到略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置减速 D．神舟二十二号飞船先到略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速 【答案】D 【解析】A．飞船在空间站轨道上同方向运动时，若加速，飞船速度增大，飞船将进入更高的轨道，无法完成对接，故A错误。 B．飞船在略高于空间站轨道的圆轨道上运动时，若加速，飞船速度增大，飞船将进入更高的轨道，飞船与空间站轨道间距更大，无法完成对接，故B错误。 C．飞船在略低于空间站轨道的圆轨道上运动时，若减速，飞船速度减小，飞船将进入更低的轨道，飞船与空间站轨道间距更大，无法完成对接，故C错误。 D．飞船在略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，若在合适位置加速，飞船速度增大，飞船将进入更高的轨道，即飞船能够到达空间站轨道的圆轨道上，完成对接，故D正确。 故选D。 考向2：卫星变轨物理量分析 【典例2】（2026·湖南·一模）我国“嫦娥”探测器到达月球引力范围后先进入环月圆轨道Ⅰ，在点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，探测器在轨道Ⅰ上点运动的线速度大小为、加速度大小为、机械能为、运行周期为；在轨道Ⅱ上点运动的线速度大小为、加速度大小为、机械能为、运行周期为；则下列选项中关系均正确的是（） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】A．在点，探测器到月球中心的距离相等，根据万有引力提供加速度 解得 可知 探测器从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，需要减速做近心运动，所以，故A错误； B．由上分析知，根据开普勒第三定律 轨道Ⅰ的半径大于轨道Ⅱ的半长轴，所以，故B错误； CD．由上分析知、；轨道Ⅰ的半长轴大于轨道的半长轴，轨道越高，机械能越大，可知，故C正确，D错误。 故选C。 【变式训练与拓展】 【变式1】（2026·湖南怀化·三模）如图所示，天问一号火星探测器被火星捕获，经过一系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星中心的连线单位时间扫过的面积。下列说法正确的是（） A．图中两阴影部分的面积相等 B．探测器在点的加速度小于在点的加速度 C．从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器的机械能变大 D．从“调相轨道”进入“停泊轨道”，在点需减速才能实现变轨 【答案】D 【解析】A．因为探测器在“调相轨道”与“停泊轨道”两个不同的轨道上运动，根据开普勒第二定律可知，图中两阴影部分的面积不相等，A错误； B．根据 可得 则探测器在点的加速度大于在点的加速度，B错误； CD．从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器要在P点点火减速，做近心运动，则机械能变小，C错误，D正确。 故选D。 【变式2】（2026·天津南开·二模）2025年3月初，随嫦娥六号登月归来的四种饲草种子将进行解封试种。若嫦娥六号探测器在月球附近轨道上运行的示意图如图所示，嫦娥六号探测器先在圆轨道上做匀速圆周运动，运动到A点时变轨为椭圆轨道，B点是近月点。下列说法正确的是（　　） A．嫦娥六号探测器在椭圆轨道上运行的周期比在圆轨道上运行的周期短 B．嫦娥六号探测器在椭圆轨道上从B点运动到A点的过程中动能增大 C．嫦娥六号探测器要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A点加速 D．嫦娥六号探测器在椭圆轨道上运行时经过A点的加速度比在圆轨道上运行时经过A点的加速度大 【答案】A 【解析】A．根据开普勒第三定律，圆轨道的半径大于椭圆轨道的半长轴，所以嫦娥六号探测器在椭圆轨道上运行的周期比在圆轨道上运行的周期短，故A正确； B．嫦娥六号探测器在椭圆轨道上从点运动到点的过程中，万有引力做负功，动能减小，故B错误； C．嫦娥六号探测器从圆轨道进入椭圆轨道，做近心运动，需要的向心力小于万有引力，即，所以必须在点减速，故C错误； D．根据牛顿第二定律，解得，探测器在椭圆轨道上运行时经过点和在圆轨道上运行时经过点时，距离月球球心的距离相等，所以加速度大小相等，故D错误。 故选A。 【变式3】（多选）（2026·全国·单元测试）如图所示，宇宙飞船在轨道1上飞行，空间站和另外一颗卫星在轨道2上运行，三个物体均沿逆时针方向转动，则下列选项中正确的是（　　） A．若卫星欲与空间站对接，可以直接加速实现对接 B．若卫星欲与宇宙飞船对接，可以直接加速实现对接 C．若飞船要对空间站进行物资补给，可以直接加速实现对接 D．飞船从轨道1切换到轨道2后，加速度将变小 【答案】CD 【解析】AB．卫星加速后将脱离轨道2做离心运动，不可能沿虚线追上空间站，也不可能运动到轨道1与飞船对接，故AB错误； C．飞船加速后将脱离轨道1做离心运动，可以与空间站对接，故C正确； D．飞船从轨道1切换到轨道2后，半径变大，由可知加速度变小，故D正确。 故选CD。 【方法规律】 变轨问题的注意事项 (1)航天器变轨时半径(半长轴)的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝判断。两个不同轨道的“切点”处线速度不相等，同一椭圆上近地点的线速度大于远地点的线速度。 (2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。 只考虑万有引力作用，不考虑其他阻力影响，航天器在同一轨道上运动时，机械能守恒。在椭圆轨道上运动时，从远地点到近地点，万有引力对航天器做正功，动能Ek增大，引力势能减小。 (3)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同。 考点二 天体中的追及相遇问题 【必备知识回顾】 1．天体“相遇”：指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，某时刻行星与地球最近，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同，如图甲，根据＝mω2r可知，地球公转的速度较快，从初始时刻到之后“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线。 2．解决天体“追及相遇”问题的两种方法 角度关系 相距最近 ω1t－ω2t＝n·2π，（n＝1，2，3，…），即两天体转过的角度之差等于2π的整数倍时再次相遇 相距最远 ω1t－ω2t＝（2n－1）π，（n＝1，2，3，…），即两天体转过的角度之差等于π的奇数倍时相距最远 圈数关系 相距最近 －＝n，（n＝1，2，3，…） 相距最远 －＝n－，（n＝1，2，3，…） 注意：如果两个天体绕中心天体的运行方向相反，则上面的各个对应关系应为“和的关系”。 【重难模型精讲】 考向1：相遇间隔时间问题 【典例3】（2026高三·全国·三轮复习）如图所示，A、B为地球的两颗卫星，卫星A在地面附近沿顺时针方向绕地球做匀速圆周运动，周期约为1.5h，卫星B绕地球做圆周运动的半径为4R（R为地球的半径），图示时刻两卫星分别与地心O点连线间的夹角为。下列说法正确的是（　　） A．卫星A做匀速圆周运动的线速度大于7.9km/s B．卫星B的运动周期约为12h C．若卫星B沿顺时针方向运动，则至少经过约两颗卫星相距最近 D．若卫星B沿逆时针方向运动，则至少经过约两颗卫星相距最远 【答案】B 【解析】A．卫星A在地面附近沿顺时针方向绕地球做匀速圆周运动，其线速度大小近似等于第一宇宙速度，故A错误； B．由开普勒第三定律有 卫星A的周期约为1.5h，卫星B绕地球做圆周运动的半径为4R，代入数据可得卫星B的运动周期约为12h，故B正确； C．若卫星B沿顺时针方向运动，设约经过时间两颗卫星相距最近，由题意有 可得，故C错误； D．若卫星B沿逆时针方向运动，则至少经过时间两颗卫星相距最远，由题意有 可得，故D错误。 故选B。 考向2：相遇次数问题 【典例4】（多选）（2026·福建三明·二模）如图，绕地心O运动的倾斜圆轨道卫星a、b，其运动可视为匀速圆周运动，a、b的周期分别为地球自转周期的和。t0时刻，a、b恰好均经过地球赤道上P点的正上方，则（　　） A．a、b的轨道半径之比为 B．a、b的向心加速度大小之比为 C．从t0时刻到下一次a卫星经过P点正上方时，a恰好绕地心转5圈 D．从t0时刻到下一次b卫星经过P点正上方时，b恰好绕地心转5圈 【答案】BC 【解析】A．设地球自转周期为，由题意得， 根据开普勒第三定律 解得，A错误； B．万有引力提供向心力 可得 因此，B正确； C．设下一次a卫星经过P点正上方时，a卫星绕整圈，P点绕整圈。因为卫星运行轨道与地球赤道不公面，所以下一次a卫星经过P点正上方有两种情况。第一种是各自运行整数圈，可知 解得， 第二种是各自运行整数圈加半圈，则有 则m、n无解，综上可知从t0时刻到下一次a卫星经过P点正上方时，a恰好绕地心转5圈，C正确； D．同理，下一次b卫星经过P点正上方有两种情况。第一种是各自运行整数圈，可知 解得， 第二种是各自运行整数圈加半圈，则有 则， 综上可知从t0时刻到下一次b卫星经过P点正上方时，b恰好绕地心转2.5圈，D错误。 故选BC。 【变式训练与拓展】 【变式4】（2026·河南郑州·模拟预测）若火星和地球近似在同一平面内绕太阳做匀速圆周运动，它们之间的万有引力大小随时间的变化关系如图所示。火星和地球之间的万有引力远小于太阳分别对火星和地球的万有引力，地球的公转周期为1年，。则图像中的时间最接近（） A．1.5年 B．1.8年 C．2.0年 D．2.2年 【答案】D 【解析】万有引力公式为，最大时，火星与地球在太阳同侧、距离最近，，此时 最小时，二者在太阳异侧、距离最远，此时 两式相比得 开方整理得 根据开普勒第三定律可得 代入得 地球公转更快，当地球比火星多转一圈时，二者再次相距最近（对应图中两次最大的间隔），满足 整理得 故选D。 【变式5】（2026·江西南昌·三模）如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0。某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从此时刻到下一次A、B相距最远，转过的角度差为π，即 根据题意知 根据开普勒第三定律，有= 联立解得所经历的最短时间为 故选C。 【变式6】（2026·安徽·模拟预测）如图所示，一太空碎片绕地球沿椭圆轨道运动，地球球心位于椭圆轨道的一个焦点上，近地点、远地点到地球球心的距离之比为。飞船绕地球做匀速圆周运动，周期为，其轨道与碎片的椭圆轨道在远地点相切，且两者在同一轨道平面内同向转动。初始时刻，碎片恰好在点，飞船在点。忽略其他天体的引力影响，当碎片与飞船第一次同时到达点时，飞船将面临碰撞危险，该最短时间间隔为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设地球球心为，碎片在近地点和远地点到地球球心的距离分别为和，由题意知，设，则，碎片椭圆轨道的半长轴为，则有 飞船做匀速圆周运动的轨道半径为，设碎片的运动周期T'，根据开普勒第三定律有 联立解得T'= 初始时刻碎片在点，飞船在点，设经过最短时间两者第一次同时到达点，对飞船和碎片分别有，t=(mT' 其中和均为正整数，联立解得n= 由于和必须为正整数，当时，取得最小正整数解，将其代入飞船时间表达式解得 故选C。 考点三 双星和多星问题 【必备知识回顾】 1．模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。 2．特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 ＝m1ωr1， ＝m2ωr2。 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。 ④两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。 ⑤双星的运动周期T＝2π。 ⑥双星的总质量m1＋m2＝。 3．多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星模型及规律如下表： 项目 图示 规律 常见的三 星模型 ＋＝ma向 ×cos30°×2＝ma向 常见的四 星模型 ×cos45°×2＋＝ma向 ×cos30°×2＋＝ma向 【重难模型精讲】 考向1：双星问题 【典例5】（2026·黑龙江辽宁·期末）如图所示，绕共同圆心做匀速圆周运动的两颗恒星A、B，各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，两颗恒星A、B的间距不变，角速度相等，称为双星系统。下列说法正确的是（　　） A．两颗恒星的线速度大小之比等于转动半径之比的倒数 B．两颗恒星的动能之比等于转动半径之比 C．两颗恒星的加速度大小之比等于质量之比 D．两颗恒星的轨道半径之比等于质量之比 【答案】B 【解析】A．两颗恒星的角速度相等，由可知两颗恒星的线速度大小之比等于转动半径之比，故A错误； B．由 可得，即两颗恒星的动能之比等于转动半径之比，故B正确； C．由 解得，即两颗恒星的加速度大小之比等于质量之比的倒数，故C错误； D．由 解得，即两颗恒星的轨道半径之比等于质量之比的倒数，故D错误。 故选B。 考向2：多星问题 【典例6】（2026·山东日照·三模）如图所示，质量均为的四个星体均匀分布在同一个圆周上，它们均绕圆心做匀速圆周运动，轨道半径均为，引力常量为，忽略其他天体对四个星体的影响。则（） A．四个星体的向心力相同 B．每个星体的向心力大小为 C．每个星体运动的周期为 D．每个星体运动的线速度大小为 【答案】B 【解析】A．向心力是矢量，四个星体所在位置不同，向心力方向分别指向圆心，方向不同，所以向心力不同，故A错误； B．任意一个星体受其他三个星体的万有引力合力提供向心力，相邻星体距离为，对角星体距离为，合力大小，故B正确； C．根据向心力公式 解得周期，故C错误； D．根据向心力公式 解得线速度，故D错误。 故选B。 【变式训练与拓展】 【变式7】（2026·宁夏陕西·期末）2025年，我国深空探测器成功抵达某双小行星系统（由A、B两颗小行星组成）进行抵近考察。已知A、B两星均可视为质量分布均匀的球体，它们依靠相互间的万有引力，绕两者连线上的某一点O做匀速圆周运动，且两星之间的距离L保持不变。若测得A星的质量为B星质量的k倍，A星的半径为R，A星表面的重力加速度大小为g，引力常量为G。忽略其他天体的影响，下列关于该双星系统的说法正确的是（） A．A、B两星做圆周运动的轨道半径之比为 B．A、B两星做圆周运动的向心加速度大小之比为 C．A星的第一宇宙速度为 D．B星的质量为 【答案】D 【解析】A．在双星系统中，两星依靠相互间的万有引力提供向心力，并且它们的角速度和周期相同 所以根据 解得 即轨道半径与质量成反比 由 得，A错误； B．根据，可知向心加速度与半径成正比，应为，B错误； C．第一宇宙速度是指物体在天体表面附近绕其做匀速圆周运动的速度，所以对A星根据万有引力提供向心力有 在A星表面忽略自转影响时有 联立可得，所以A星的第一宇宙速度为，C错误； D．在A星表面由万有引力等于重力 所以A星质量为 已知，所以B星的质量为，D正确； 故选D。 【变式8】（多选）（2026·全国·期末）如图为两个黑洞A、B组成的双星系统，绕其连线上的O点做匀速圆周运动，若A的轨道半径大于B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，距离为L，其运动周期为T。则（） A．A的质量一定小于B的质量 B．A的线速度一定小于B的线速度 C．L一定，M越大，T越小 D．M一定，L越大，T越小 【答案】AC 【解析】A．黑洞绕同一圆心运动，则两者的角速度相等，设两个黑洞质量为和，轨道半径为和，角速度为，则由万有引力提供向心力可知 可得 由题意知，则，A正确； B．双星系统的角速度相同，又，根据，可知，B错误； CD．根据万有引力提供向心力有 且，，又，整理可得 由此可知，当L一定时，M越大，T越小，当总质量M一定时，L越大，T越大，C正确，D错误。 故选AC。 【变式9】（2026高三·全国·专题练习）太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G，则（　　） A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B．直线三星系统的运动周期为4πR C．三角形三星系统中星体间的距离为L＝R D．三角形三星系统的线速度大小为 【答案】B 【解析】A．因两种系统的运动周期相同,则直线三星系统中甲星和丙星角速度相同，又运动半径相同，由 甲星和丙星的线速度大小相等，方向不同，故A错误； B．万有引力提供向心力 得，故B正确； C．两种系统的运动周期相同，根据题意可得，三星系统中任意星体所受合力为 则 轨道半径r与边长L的关系为 解得，故C错误； D．三角形三星系统的线速度大小为 得，故D错误。 故选B。 【方法规律】 解决双星、多星问题，要注意： (1)根据双星或多星的运动特点及规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。 (2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。 (3)星体的角速度相等。 (4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。 基础巩固练 1．（2025·福建·模拟预测）如图所示，A、B两个恒星绕A、B连线上的O点做匀速圆周运动，形成一个稳定的双星系统。已知A、B两恒星的质量之比为，则A、B两恒星的动能之比为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双星运动中角速度相同，则由可知， 即 因此有。 故选C。 2．（2025·甘肃·模拟预测）如图所示的“三星”系统，三星A、B、C质量均为，位置连线构成等边三角形，三角形边长为，三星绕共同圆心做匀速圆周运动，不考虑其他星体影响，万有引力常量为，则（　　） A．A、B、C向心加速度相同 B．A受B的引力大小等于A的向心力大小 C．A受C引力大小等于A向心力大小的 D．A所需向心力大小为 【答案】D 【解析】A．A、B、C的向心加速度大小相等，但方向不同，故A错误； BCD．A受B的引力大小为 A受C的引力大小为 A受到B的引力和C的引力合力提供A所需的向心力，则有，故BC错误，D正确。 故选D。 3．（2026·重庆·一模）2025年2月28日，太阳系中出现了“七星连珠”天文现象。为了解此类现象的周期，天文爱好者利用人工智能来模拟探究地球系统的“三星连珠”（三星位于地球同侧且共线）。如图所示，卫星a、b绕地球做匀速圆周运动的周期分别为19.2h、18h，地球同步卫星的周期为24h（等于1d），则a、b和同步卫星出现“三星连珠”的周期为（三星轨道在同一平面内且环绕方向相同）（） A．6d B．8d C．12d D．20d 【答案】C 【解析】设内侧卫星（a或b）与同步卫星每次相距最近的周期为T，则有 可得 其中a的周期为19.2h，代入解得，a与同步卫星每隔4d相距最近 其中b的周期为18h，代入解得，b与同步卫星每隔3d相距最近 则“三星连珠”的最小周期为T1和T2的最小公倍数，即。 故选C。 4．（2026·江苏盐城·模拟预测）近日，我国搭载天舟十号货运飞船的运载火箭成功发射，天舟十号与火箭成功分离后进入预定的圆周轨道。则分离后天舟十号（　　） A．速度大于 B．周期等于 C．处于平衡状态 D．处于失重状态 【答案】D 【解析】A．第一宇宙速度是近地圆轨道的环绕速度，轨道越高速度越小，但近地轨道速度略小于，故A错误； B．地球同步卫星周期为，近地轨道周期约，故B错误； C．匀速圆周运动的物体所受合力提供向心力，不为零，不是平衡状态，故C错误； D．卫星在轨道上只受万有引力，处于完全失重状态，故D正确； 故选D。 5．（2026·浙江·二模）北京时间2025年11月1日3时22分，神舟二十一号载人飞船成功与空间站天和核心舱（距离地面约400km）前向端口对接，整个对接过程历时约3.5小时，创造了神舟飞船与空间站交会对接的最快纪录。交接后形成的组合体在地球引力的作用下继续在原轨道做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．对接完成后，飞船的速度一定小于7.9km/s B．对接完成后，空间站由于质量变大，速度将变小 C．对接完成后，飞船所受合力比静止在地面上时小 D．对接过程中，先将飞船运送到空间站同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间站实现对接 【答案】A 【解析】A．第一宇宙速度7.9km/s可以近似认为指近地卫星圆轨道的线速度，飞船做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有 解得 由于空间站轨道半径大于地球半径R，可知，飞船的速度一定小于第一宇宙速度7.9km/s，故A正确； B．对接后空间站质量变大，结合上述可知，空间站的速度大小为 该速度仅取决于地球质量和轨道半径，与自身质量无关，故速度大小不变，故B错误； C．飞船静止在地面时处于平衡状态，合力为零，在轨道上时合力为万有引力，大小为，可知，对接完成后，飞船所受合力比静止在地面上时大，故C错误； D．若飞船在同一轨道加速后速度增大，所需向心力增大，万有引力小于所需向心力，飞船将做离心运动进入更高轨道，无法直接追上空间站实现对接，故D错误。 故选A。 6．（2026·天津和平·二模）我国于2025年4月成功将“云海三号”02卫星发射入轨。如图所示，椭圆为发射过程中卫星绕地球运动的轨迹，、分别是轨迹上的近地点和远地点，位于地球表面附近，、是椭圆短轴的两个端点，卫星在此轨道上的运行周期为。若卫星所受阻力不计，卫星在从经、运动到的过程中（　　） A．卫星从运动到所用时间为 B．卫星在点时的速度大于第一宇宙速度 C．卫星由运动到的过程中机械能逐渐变大 D．卫星在、两点处的加速度大小相同 【答案】B 【解析】A．卫星在椭圆轨道上运动时近地点速度快，远地点速度慢。从A到C的过程，卫星处于近地点附近，平均速度较大；而从C到B的过程平均速度较小，故卫星从运动到所用时间小于，故A错误； B．第一宇宙速度是卫星绕地球做近地圆周运动的环绕速度，而卫星在A点（近地点）做椭圆运动，需要离心才能进入椭圆轨道，则速度大于第一宇宙速度，故B正确； C．由题知，卫星所受阻力不计，则卫星在同一轨道上运动机械能守恒，故C错误； D．根据牛顿第二定律有 解得 由于A点到地球球心的距离小于B点到地球球心的距离，故卫星在点的加速度大小大于卫星在B点的加速度大小，故D错误。 故选B。 7．（2026·贵州黔南·阶段检测）如图所示，甲、乙分别为常见的三星系统模型和四星系统模型。甲图中三颗质量均为的行星都绕边长为的等边三角形的中心做匀速圆周运动，周期为；乙图中三颗质量均为的行星都绕静止于边长为的等边三角形中心的中央星做匀速圆周运动，周期为，不考虑其他星系的影响。已知四星系统内中央星的质量，，则两个系统的周期之比（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设甲图中的某一行星受到其它两颗行星的万有引力大小分别为，如下图所示 由万有引力定律可得 行星的轨道半径为 由牛顿第二定律得 解得 设乙图中的某一行星受到其它三颗星的万有引力大小分别为、、，如上图所示 行星的轨道半径为 由万有引力定律可得， 由牛顿第二定律得 解得 已知 可得 故选D。 8．（2026·云南昭通·一模）如图所示，某理想化平面四星系统由四颗质量相等的星体组成，四颗星体对称分布在正方形的四个顶点上，绕正方形外接圆圆心做角速度相等的匀速圆周运动，系统稳定且无相对运动，忽略其他天体的引力作用。已知星体质量均为，正方形边长为，引力常量为。下列关于各星体做匀速圆周运动的物理量表述正确的是（　　） A．轨道半径为 B．向心力大小为 C．线速度大小为 D．周期为 【答案】D 【解析】A．由几何知识可得，解得星体的轨道半径，故A错误； B．每个星体均受到其他三个星体引力的作用，则向心力，故B错误； C．根据 结合上述结论 解得，故C错误； D．根据 结合上述结论， 解得星体做匀速圆周运动的周期，故D正确。 故选D。 9．（2026·江西吉安·模拟预测）在浩瀚深邃的夜空，我们看到的一颗颗耀眼的星星其实有复杂的结构，最明亮的天狼星就是由一颗蓝白色主序星（天狼A）和一颗白矮星（天狼B）组成的双星系统，它们相互绕转，平均相距20AU（1AU等于地球到太阳中心的距离，称为1个天文单位），公转周期为50年（1年是地球公转周期），其中天狼星A质量为太阳质量的2倍，根据以上信息可以求出天狼星B的质量是太阳质量的（）倍。 A．2.0 B．1.8 C．1.2 D．0.6 【答案】C 【解析】设主序星（天狼A）的质量和白矮星（天狼B）的质量，它们之间的距离为L，周期为T，彼此之间的万有引力提供向心力，则有 其中 解得，其中，年 对太阳与地球组成的系统，设太阳质量为，距离为r=1AU，周期为1年，则有 结合题意，解得 故选C。 10．（2026·湖南邵阳·三模）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球半径为，地球表面重力加速度为。则该卫星轨道半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设卫星转动的周期为，根据题意可得 可得 根据万有引力提供向心力 联立解得 故选C。 11．（多选）（2025·云南丽江·阶段检测）在无地面网络时，某手机可通过天通一号卫星系统进行通话。如图所示，天通一号目前由01、02、03共三颗地球静止卫星组网而成，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，静止卫星运行的周期为T，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．地球的质量为 B．三颗卫星运行的半径为 C．三颗卫星运行的线速度大小均为 D．若01星减速，一定会与正常运行的02星相撞 【答案】AB 【解析】A．在地球表面有 解得地球的质量为，故A正确； B．设静止卫星轨道半径为r，根据万有引力提供向心力可得 解得，故B正确； C．静止卫星线速度的大小为 根据上述结论可得，故C错误； D．若01星减速，其做圆周运动需要的向心力小于卫星受到的万有引力，因此其轨道半径减小，不可能与02星相撞，故D错误。 故选AB。 12．（多选）（2026·浙江宁波·二模）我国载人登月方案是先将着陆器送至近月面的圆形环月轨道，再发射载人飞船在环月轨道与着陆器交会对接，航天员进入着陆器后择机降落月面。已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.7倍，地球的第一宇宙速度为，。下列说法正确的是（　　） A．着陆器和飞船对接后总质量变大将自发进入更低轨道 B．着陆器与飞船对接时的绕月速率约为1.7km/s C．着陆器在环月轨道上的向心加速度约为地球表面重力加速度的0.17倍 D．若月球的平均密度变为原来的2倍，则近月卫星的周期将变为原来的0.5倍 【答案】BC 【解析】A．对接后万有引力提供向心力，有 等式中环绕天体质量可约去，得 对接后总质量改变但速度不变，着陆器不会自发进入更低轨道，进入低轨道需要主动减速，故A错误； B．近月轨道环绕速率等于月球第一宇宙速度，第一宇宙速度为 因此月球与地球第一宇宙速度比值为 代入，得，故B正确； C．近月轨道向心加速度近似等于月球表面重力加速度，由牛顿第二定律可知，星球表面重力加速度满足 可得 因此，故C正确； D．近月卫星由万有引力提供向心力，周期满足 代入，化简得 即，密度变为原来2倍时，周期变为原来的倍，不是0.5倍，故D错误。 故选BC。 13．（多选）（2026·安徽合肥·期中）2021年5月15日7时18分，“天问一号”探测器成功着陆于火星。假设“天问一号”发射后经过地火转移轨道被火星捕获，进入环火星圆轨道，经变轨调整后，从点进入着陆准备轨道，如图所示。已知“天问一号”火星探测器的火星着陆准备轨道为半长轴为，周期为的椭圆轨道，我国北斗导航系统的中圆地球轨道卫星轨道半径为，周期为，引力常量为。则下列判断正确的是（　　） A． B．由题目已知数据可以估算火星的质量和密度 C．“天问一号”在A点从环火星圆轨道进入着陆准备轨道时需要开启发动机向前喷气 D．火星质量和地球质量的比值 【答案】CD 【解析】A．由于我国北斗导航系统的中圆地球轨道卫星绕地球运动，而“天问一号”火星探测器在着陆准备轨道上运动时是绕火星运动，它们的中心天体不同，因此开普勒第三定律不适用，故A错误； B．由开普勒第三定律可知，若有一质量为，轨道半径为的绕火星做匀速圆周运动的卫星，其周期也为；设火星的质量为，有 可得 所以能估算火星质量，但由于火星半径未知，无法估算火星密度，故B错误； C．“天问一号”从环火星圆轨道进入着陆准备轨道时需要减速，所以开启发动机向前喷气，故C正确； D．北斗导航系统的中圆地球轨道卫星半径为，周期为，设地球质量为，有 可以估算地球质量 因此，火星质量和地球质量的比值，故D正确。 故选CD。 综合提升练 1．（2024·重庆·高考真题）在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体（图中未画出）质量为m（m<<M），若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则（） A．c的线速度大小为a的倍 B．c的向心加速度大小为b的一半 C．c在一个周期内的路程为2πr D．c的角速度大小为 【答案】A 【解析】D．a、b、c三个天体角速度相同，由于m<<M，则对a天体有 解得 故D错误； A．设c与a、b的连线与a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有 解得 α=30° 则c的轨道半径为 由v=ωr，可知c的线速度大小为a的倍，故A正确； B．由a=ω2r，可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误； C．c在一个周期内运动的路程为 故C错误。 故选A。 2．（2023·浙江·高考真题）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”，已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表： 行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 则相邻两次“冲日”时间间隔约为（　　） A．火星365天 B．火星800天 C．天王星365天 D．天王星800天 【答案】B 【解析】根据开普勒第三定律有 解得 设相邻两次“冲日”时间间隔为，则 解得 由表格中的数据可得 故选B。 3．（2025·四川·高考真题）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设卫星转动的周期为，根据题意可得 可得 根据万有引力提供向心力 可得 代入 可得 故选A。 4．（2021·北京·高考真题）2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。“天问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距离火星表面2.8×102km、远火点距离火星表面5.9×105km，则“天问一号”（　　） A．在近火点的加速度比远火点的小 B．在近火点的运行速度比远火点的小 C．在近火点的机械能比远火点的小 D．在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动 【答案】D 【解析】A．根据牛顿第二定律有 解得 故在近火点的加速度比远火点的大，故A错误； B．根据开普勒第二定律，可知在近火点的运行速度比远火点的大，故B错误； C．“天问一号”在同一轨道，只有引力做功，则机械能守恒，故C错误； D．“天问一号”在近火点做的是离心运动，若要变为绕火星的圆轨道，需要减速，故D正确。 故选D。 5．（2021·天津·高考真题）2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器（　　） A．在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态 B．在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短 C．从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速 D．沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大 【答案】D 【解析】A．天问一号探测器在椭圆轨道Ⅱ上做变速运动，受力不平衡，故A错误； B．根据开普勒第三定律可知，轨道Ⅰ的半径大于轨道Ⅱ的半长轴，故在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错误； C．天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，做近心运动，需要的向心力要小于提供的向心力，故要在P点点火减速，故C错误； D．在轨道Ⅰ向P飞近时，万有引力做正功，动能增大，故速度增大，故D正确。 故选D。 6．（2022·浙江·高考真题）“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（　　） A．发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间 B．从P点转移到Q点的时间小于6个月 C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 【答案】C 【解析】A．因发射的卫星要能变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2km/s与16.7km/s之间，故A错误； B．因P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期（1年共12个月），则从P点转移到Q点的时间为轨道周期的一半时间应大于6个月，故B错误； C．因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确； D．卫星从Q点变轨时，要加速增大速度，即在地火转移轨道Q点的速度小于火星轨道的速度，而由 可得 可知火星轨道速度小于地球轨道速度，因此可知卫星在Q点速度小于地球轨道速度，故D错误； 故选C。 7．（2025·北京·高考真题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 【答案】A 【解析】A．在轨道2上从A向B运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能定理，动能逐渐减小，A正确； B．探测器受到万有引力，由 解得 在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误； C．探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上机械能大于在轨道1上的机械能，C错误； D．探测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，得 解得 利用引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。 故选A。 8．（多选）（2023·重庆·高考真题）某卫星绕地心的运动视为匀速圆周运动，其周期为地球自转周期T的，运行的轨道与地球赤道不共面（如图）。时刻，卫星恰好经过地球赤道上P点正上方。地球的质量为M，半径为R，引力常量为G。则（　　） A．卫星距地面的高度为 B．卫星与位于P点处物体的向心加速度大小比值为 C．从时刻到下一次卫星经过P点正上方时，卫星绕地心转过的角度为 D．每次经最短时间实现卫星距P点最近到最远的行程，卫星绕地心转过的角度比地球的多 【答案】BCD 【解析】A．由题意，知卫星绕地球运转的周期为 设卫星的质量为，卫星距地面的高度为，有 联立，可求得 故A错误； B．卫星的向心加速度大小 位于P点处物体的向心加速度大小 可得 故B正确； C．从时刻到下一次卫星经过P点正上方时，设卫星转了m圈、P点转了n圈（m、n为正整数），则有 可得 ， 则卫星转过的角度为 故C正确； D．卫星距P点最近或最远时，一定都在赤道正上方。每次经最短时间实现卫星距P点最近到最远，需分两种情况讨论，第一种情况：卫星转了x圈再加半圈、P点转了y圈（x、y为正整数），则有 x、y无解，所以这种情况不可能；第二种情况：卫星转了x圈、P点转了y圈再加半圈，则有 可得 ， 则卫星绕地心转过的角度与地球转过的角度差为 故D正确。 故选BCD。 9．（2010·全国·高考真题）如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。 (1)求两星球做圆周运动的周期。 (2)在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数） 【答案】(1) ；(2)1.012 【解析】试题分析：(1)A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力大小相等，且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期，因此有： 联立解得： 对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得： 化简得： (2)将地月看成双星，由(1)得 将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得： 化简得： 所以两种周期的平方比值为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $