精品解析：2026年青海西宁市第一中学"校二模"测试数学学科试卷

西宁市第一中学“校二模”测试数学学科试卷 第Ⅰ卷（选择题 共24分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在实数，，，中，有理数的个数是（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 单项式的次数为，系数是 B. 单项式和是同类项 C. 多项式是二次三项式 D. 多项式的项是，和 3. 把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的9倍 B. 扩大为原来的3倍 C. 不变 D. 缩小为原来的 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的内心 C. 三角形三条高的交点是三角形的重心 D. 直角三角形的外心在斜边上 5. 如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 某种商品每件的进价为元，售价为元，为了扩大销量商店准备打折销售，如果每件盈利，应打几折销售？设商店打折销售，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点落在第二象限内双曲线上，过两点分别作轴的垂线段，垂足为，连接，若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，，且，则，、正确结论的序号为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 第Ⅱ卷（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 的平方根是_______． 10. 用科学记数法表示亿是________． 11. 因式分解：________． 12. 不透明的袋中有除了颜色外其他都相同的一些球，其中红球12个和白球个，经过若干次试验，发现若从袋中任摸出一个球，恰是红球的概率为，则这个袋中白球大约有________个． 13. 如图，是圆O的弦，且，点C是弧中点，点D是优弧上的一点，，则圆心O到弦的距离等于_____． 14. 某几何体的三视图如图所示，根据图中数据可得，该几何体的侧面积为______． 15. 已知在平面直角坐标系中，点、、，以原点为位似中心，位似比为，则点的对应点的坐标为________． 16. 如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 17. 如图，在等腰中，，．在、上分别截取、，使，再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为__________． 18. 如图，在中，，，，点E，F分别为AB，AC上一个动点，连接EF，以EF为轴将折叠得到，使点D落在BC上，当为直角三角形时，BE的值为______． 三、解答题（本大题共9小题，第19题每小题5分，第20、22、24题每小题8分，第21、23、25题每小题10分，第26题12分，共76分．） 19. 计算、解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 20. 化简：，请从不等式组解集中选择一个合适的正整数解求值． 21. 为更好引导和促进旅游业恢复发展，深入推动大众旅游，文化和旅游部决定开展2023年“5·19中国旅游日”活动．青海省某旅行社为了解游客喜爱的旅游景区的情况，对“五一”假期期间的游客去向进行了随机抽样调查，并绘制如下不完整的统计图，请根据图1，图2中所给的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查的样本容量是________； （2）将图1中的条形统计图补充完整； （3）根据抽样调查结果，“五一”假期期间这四个景区共接待游客约19万人，请估计前往青海湖景区的游客约有多少万人； （4）因时间关系，甲、乙、丙三人决定从青海湖景区、茶卡湖景区中选择一个去游玩，请用列举法计算三人去同一个景区的概率． 22. 如图，在中，，是斜边的中点，是的中点．过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为，求的长． 23. 如图，反比例函数与一次函数的图像相交于和两点． （1）直接写出：点坐标________；反比例函数解析式________，直线的函数解析式________． （2）如图，直线与反比例函数交于另一点，若轴上有一点，使的面积为，求点的坐标． （3）请结合图像回答，时，的取值范围________． （4）在轴上有一点，若满足最小，则点的坐标为________．若满足最大，则点的坐标为________． 24. 如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，当时，函数有最小值，P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m． （1）求抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）N为线段上一点，若使得 ，求N点的坐标； （3）当P点的横坐标时，过P点作y轴的垂线，垂足为Q．问：是否存在P点，使 ？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． （新考向·渗透传统文化） 26. 我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： （1）请在图中括号内的数为______； （2）展开式共有______项，第19项系数为______； （3）根据上面的规律，写出的展开式：______； （4）利用上面的规律计算：； （5）假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市第一中学“校二模”测试数学学科试卷 第Ⅰ卷（选择题 共24分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在实数，，，中，有理数的个数是（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】解：是无限不循环小数，故是无理数； 是有限小数，属于有限小数，故是有理数； 是无限不循环小数，故是无理数； ，是整数，故是有理数． 综上，有理数共有个． 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 单项式的次数为，系数是 B. 单项式和是同类项 C. 多项式是二次三项式 D. 多项式的项是，和 【答案】B 【解析】 【分析】根据单项式的系数、次数，同类项，多项式的项、次数的定义，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A，单项式的系数为，次数为，选项说法错误； B，和所含字母相同，且相同字母的指数也相同，符合同类项定义，二者是同类项，选项说法正确； C，多项式的最高次项次数为，共项，该多项式是三次三项式，选项说法错误； D，多项式 的项是，和，选项说法错误． 3. 把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的9倍 B. 扩大为原来的3倍 C. 不变 D. 缩小为原来的 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化，正确掌握分式的计算法则是解题的关键． 将m和n都扩大3倍进行计算，与原分式比较即可． 【详解】解：由题意得，， ∴分式的值扩大为原来的3倍． 故选：B． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的内心 C. 三角形三条高的交点是三角形的重心 D. 直角三角形的外心在斜边上 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，选项A错误，不符合题意； 选项B：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，到三角形三边距离相等的点才是三角形的内心，所以B错误，不符合题意； 选项C：三角形三条高的交点是三角形的垂心，三角形三条中线的交点才是三角形的重心，所以C错误，不符合题意； 选项D：直角三角形的外心是其斜边的中点，因此直角三角形的外心在斜边上，所以D正确． 5. 如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设与分别相切于E、F、H，连接，可证明四边形是正方形，由，，，求得，，由，，求得，则，则，由，，求得，则，所以阴影部分扇形的圆心角为，再根据扇形的面积公式求解，即可解题． 【详解】解：设与分别相切于E、F、H，连接， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，，， ，， ，， ， ， ， ∵是的内切圆， 平分，平分， ，， ， ， 阴影部分扇形的圆心角为， ， 故选：D． 【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、勾股定理、三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 6. 某种商品每件的进价为元，售价为元，为了扩大销量商店准备打折销售，如果每件盈利，应打几折销售？设商店打折销售，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据利润等于售价减去进价，列出等式方程，即可． 【详解】设商店打折销售 ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据题意，列出等式方程． 7. 如图，点落在第二象限内双曲线上，过两点分别作轴的垂线段，垂足为，连接，若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出相关三角形面积之间的关系：S1+S阴影=S△BOD，S2+S阴影=S△AOC，再根据反比例函数中系数k的几何意义推出|k|=S△BOD+S△AOC，从而推出|k|=4，结合图象可得k=-4． 【详解】解：由题意可知S1+S阴影=S△BOD，S2+S阴影=S△AOC， ∵S△BOD=S△AOC=， ∴|k|=S△BOD+S△AOC=S1+S阴影+S2+S阴影=S1+S2+2S阴影=2+2=4， ∵函数图象经过第二象限， ∴k＜0， ∴k=-4， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征，应数形结合，将图形的性质与反比例函数的相关性质联系起来进行求解． 8. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，，且，则，、正确结论的序号为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，由抛物线经过可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断②，由时y取最大值可判断③，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断④． 【详解】解：∵抛物线经过，代入， 得：，故①正确， ∵， ∴抛物线开口向下， 点，，均在该二次函数图象上，且点到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小， ∴，故②错误， ∵ ∴， ∵ ∴， ∵抛物线的最大值为， ∴若m为任意实数，则 ， ∴，故③正确； ∵方程有两实数根为，， ∴抛物线与直线的交点的横坐标为，， 由抛物线对称性可得抛物线x轴另一交点坐标为， ∴抛物线与x轴交点坐标为，， ∵抛物线开口向下， ∴，，故④正确． 综上①③④正确， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 10. 用科学记数法表示亿是________． 【答案】 【解析】 【分析】对于绝对值较大的数，用科学记数法写成的形式，其中，是比原整数位数少的数，先将亿化为原数，再确定和的值． 【详解】解：亿． 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】两次运用平方差公式进行因式分解，分解至每个因式不可再分即可得到结果． 【详解】解：原式． 12. 不透明的袋中有除了颜色外其他都相同的一些球，其中红球12个和白球个，经过若干次试验，发现若从袋中任摸出一个球，恰是红球的概率为，则这个袋中白球大约有________个． 【答案】 【解析】 【分析】根据摸出红球的概率等于红球个数除以球的总个数，列出关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：根据题意可得：， 解得， 经检验是分式方程的解， ∴这个袋中白球大约有个． 13. 如图，是圆O的弦，且，点C是弧中点，点D是优弧上的一点，，则圆心O到弦的距离等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线． 连接，交于点E，则，根据垂径定理得出，进而得出，根据勾股定理可得，列出方程求出即可解答． 【详解】解：连接，交于点E， ∵， ∴， ∵点C是弧中点，， ∴， ∴，则， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：（负值舍去）， ∴圆心O到弦的距离等于， 故答案为：． 14. 某几何体的三视图如图所示，根据图中数据可得，该几何体的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三视图可得出该几何体为圆锥，再运用勾股定理求得母线l的长度，然后根据根据扇形面（其中l=母线，是圆锥的顶点到圆锥的底面圆周之间的距离）计算即可． 【详解】解：由题意可知，该几何体是圆锥，其中底面半径为2， 母线长为：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是几何体的三视图、圆锥的侧表面积公式等知识点，熟记圆锥的侧面积公式是解本题的关键． 15. 已知在平面直角坐标系中，点、、，以原点为位似中心，位似比为，则点的对应点的坐标为________． 【答案】或或或 【解析】 【分析】根据在平面直角坐标系中，位似变换以原点为位似中心时，相似比为，位似图形对应点的坐标的比等于或，进行计算． 【详解】解：点的坐标为，以原点为位似中心，位似比为， 当以原点为位似中心将缩小时，点的对应点的坐标为或，整理得或； 当以原点为位似中心将扩大时，点的对应点的坐标为或，整理得或． 16. 如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 【答案】##4.8 【解析】 【分析】通过四边形EFGH为矩形推出，因此△AEH与△ABC两个三角形相似，将AM视为△AEH的高，可得出，再将数据代入即可得出答案． 【详解】∵四边形EFGH是矩形， ∴， ∴， ∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高， ∴， ∴， ∵， 代入可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键． 17. 如图，在等腰中，，．在、上分别截取、，使，再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、等腰三角形的三线合一、利用三角形面积公式求线段长，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，交于点，连接，由题中作图过程可知，为的平分线，结合可得垂直平分，则，，即当点与点重合，点与点重合时，取最小值，最小值为的长，结合三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，连接 由题中作图过程可知，为的平分线， ，， 垂直平分， ，，， ，即当点与点重合，点与点重合时，取最小值，最小值为的长， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，，点E，F分别为AB，AC上一个动点，连接EF，以EF为轴将折叠得到，使点D落在BC上，当为直角三角形时，BE的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当时，设则利用平行线的性质，构建方程即可解决问题；如图2中，当，设，则根据，构建方程即可； 【详解】如图， ， ， ， ． 如图2中，当，设，则． ， ， ， 综上所述，满足条件的BE的值为或． 【点睛】本题考查翻折变换、锐角三角函数、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共9小题，第19题每小题5分，第20、22、24题每小题8分，第21、23、25题每小题10分，第26题12分，共76分．） 19. 计算、解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先分别计算每一项，再合并计算结果； （2）先展开方程整理为一元二次方程的一般形式，再用配方法求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 整理得， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，． 20. 化简：，请从不等式组解集中选择一个合适的正整数解求值． 【答案】化简结果为，当时，值为 【解析】 【分析】先对分式进行四则运算，并求出的取值范围，再解不等式组求出正整数解，选择合适的正整数代入即可求解． 【详解】解： ， 由题意得，分式有意义，则，，且， ∴且， ∵ 由①得：，解得：， 由②得：，解得：， ∴关于的不等式组的解集为， ∴的正整数解为：， ∴据题意，当时，原式． 21. 为更好引导和促进旅游业恢复发展，深入推动大众旅游，文化和旅游部决定开展2023年“5·19中国旅游日”活动．青海省某旅行社为了解游客喜爱的旅游景区的情况，对“五一”假期期间的游客去向进行了随机抽样调查，并绘制如下不完整的统计图，请根据图1，图2中所给的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查的样本容量是________； （2）将图1中的条形统计图补充完整； （3）根据抽样调查结果，“五一”假期期间这四个景区共接待游客约19万人，请估计前往青海湖景区的游客约有多少万人； （4）因时间关系，甲、乙、丙三人决定从青海湖景区、茶卡湖景区中选择一个去游玩，请用列举法计算三人去同一个景区的概率． 【答案】（1）200 （2）条形统计图补充为： （3）估计前往青海湖景区的游客约有6.65万人； （4） 【解析】 【分析】（1）用组的频数除以它所占的百分比得到样本容量； （2）先计算出组的人数，然后补全条形统计图； （3）用19万乘以样本中组人数所占的百分比即可； （4）画树状图展示所有8种等可能的结果，再找出三人去同一个景区的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：此次抽样调查的样本容量为； 【小问2详解】 解：组的人数为（人）， 【小问3详解】 解：（万）， 所以估计前往青海湖景区的游客约有6.65万人； 【小问4详解】 解：画树状图得： 共8种等可能情况，其中三人去同一个景区的有2种结果， 所以这三人去同一个景区的概率为． 22. 如图，在中，，是斜边的中点，是的中点．过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为，求的长． 【答案】（1） 证明：是的中点， ， ， ， ， ， ， 是中点， ， ， 四边形是平行四边形， 是直角三角形，点是斜边的中点， ， 平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查中位线的判定和性质，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定与性质得出，结合题意，菱形的判定方法即可求证； （2）根据菱形的性质可得的长，运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接与交于点， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 的长为． 23. 如图，反比例函数与一次函数的图像相交于和两点． （1）直接写出：点坐标________；反比例函数解析式________，直线的函数解析式________． （2）如图，直线与反比例函数交于另一点，若轴上有一点，使的面积为，求点的坐标． （3）请结合图像回答，时，的取值范围________． （4）在轴上有一点，若满足最小，则点的坐标为________．若满足最大，则点的坐标为________． 【答案】（1），， （2）或 （3）或 （4）， 【解析】 【分析】（1）根据点求出反比例函数表达式，从而确定点坐标，利用待定系数法求出一次函数表达式，设直线表达式，根据求出表达式，再根据一次函数和反比例函数交点求出点． （2）设点，对的面积进行分割，根据面积公式进行求解即可． （3）观察函数图象，即反比例函数图象在一次函数图象上方即可． （4）求出点关于轴对称点,当点、、三点共线时最小，，当、、三点共线时最大，最大值即为． 【小问1详解】 解：∵反比例函数与一次函数的图象相交于和两点， ∴点代入反比例函数中得， ， ∴， ∴． ∵点， ∴， ∴点， ∵直线表达式经过点和点， ∴代入得， 解得，， ∴直线表达式． 设直线表达式为经过点和点， ∴代入中得， 解得， ∴设直线表达式为， ∴， ∵反比例函数和一次函数交于点和点， ∴即， 解得， ∵点， ∴点横坐标，代入， 解得， ∴点． 【小问2详解】 解：由（1）知点，设点，如图， 观察图形可知， ∴， ∵，， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴点或． 【小问3详解】 反比例函数与一次函数的图像相交于点和点两点， 结合函数图象可知，当或时，． 【小问4详解】 解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，如图， ∵， ∴， ∴当点、、三点共线时最小，即满足最小， 设直线表达式为， ∵点，点代入表达式得， 解得，， ∴直线表达式， ∵点为直线和轴交点， ∴，即， 解得， ∴点． ∵， ∴当、、三点共线时，最大，即为， ∵， 当时，即，解得， ∴若满足最大，则点的坐标为． 24. 如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：过点作于点， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是的切线； （2）的半径为 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定与性质，三角函数，勾股定理，解题的关键是掌握切线的判定、三角函数的定义． （1）过点作于点，由，可得，根据是的切线，得到，由，可推出，结合，可得，证明，即可求解； （2）根据，，求出，进而求出、，由（1）可得，最后根据，求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的半径为． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，当时，函数有最小值，P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m． （1）求抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）N为线段上一点，若使得 ，求N点的坐标； （3）当P点的横坐标时，过P点作y轴的垂线，垂足为Q．问：是否存在P点，使 ？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）N点的坐标为； （3）点P的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式； （2）求出点C的坐标，可证明，则；过点N作轴于点H，则是等腰直角三角形，可推出，；根据，推出；由勾股定理得，则，进而求出，则，故； （3）分两种情况，P在第二象限和P在第三象限讨论，证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【小问1详解】 解：∵当时，函数有最小值， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线所对应的二次函数的表达式为 ， 将代入得 ， 解得， ∴抛物线所对应的二次函数的表达式为 ，即； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 如图所示，过点N作轴于点H，则是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图2， 在中，当时，当，解得或， ∴， ∴， ∵， ∴； 设，当点P在第二象限时， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 化简，得 ． 解得或（不符合题意，舍）， ∴， ∴P点坐标为； 当点P在第三象限时，同理可得，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的点P的坐标为或． （新考向·渗透传统文化） 26. 我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： （1）请在图中括号内的数为______； （2）展开式共有______项，第19项系数为______； （3）根据上面的规律，写出的展开式：______； （4）利用上面的规律计算：； （5）假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 【答案】（1） （2）； （3） （4） （5）四 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的延伸，数字的变化规律，罗列分析出规律是解答本题的关键． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）罗列后按照规律展开式中共有项, 当时，倒数第三项的系数是 ，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令 时代入展开式即可得到所求代数式的值； （5）将变形为展开后前项和是的倍数，所以 除结果的余数为，则有假如今天是星期五，那么再过 天是星期四． 【小问1详解】 解：图中括号内的数为， 故答案为：； 【小问2详解】 ，展开式有项； ，展开式有 项，倒数第三项系数为； ，展开式有 项，倒数第三项系数为 ； ，展开式有项，倒数第三项系数为； 展开式有项，倒数第三项系数为 ； ……； 以此类推，展开式中共有项, 当时，倒数第三项的系数 ； 展开式共有项，第项系数为 ； 故答案为：；； 【小问3详解】 根据图示， 故答案为：； 【小问4详解】 ∴当时，， ； 【小问5详解】 (、、、、是一列常数) , ， 刚好是的整数倍， ∴除结果的余数为， ∴假如今天是星期五，那么再过天是星期四. 故答案为：四． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $