精品解析：2025年青海省西宁市第十四中学中考数学二模试卷

2025年青海省西宁市十四中中考数学二模试卷 一、填空题：本题共10小题，每小题2分，共24分． 1. 的倒数是__；=__． 2. 分解因式：______；不等式组的解集是______． 3. 据青海省湿地保护管理中心和世界自然基金会公布的调查数据表明，我省湿地总面积的最新数据为公顷，居世界第一，该数据用科学记数法表示为______公顷． 4. 方程 的解为 ___________． 5. 如图，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8米，与水塔相距32米，则水塔的高度为______米． 6. 如图，中，，平分交于点D，，，则点D到的距离为 _____ ． 7. 若点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2），则（a+b）2014=__． 8. 如图，、切于点、，点是上一点，且，则______度． 9. 从，，，…，这个自然数中任取一个数，则它是的倍数的概率是________． 10. 如图，已知∠C＝∠D，∠CAB＝∠DBA，AD交BC于点O，请写出图中一组相等的线段________（填一组即可）． 11. 如图所示，在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点______． 12. 一组按照规律排列的式子：，，其中第个式子是______，第个式子是______为正整数 二、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 13. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是（　　） A. 15° B. 45° C. 60° D. 75° 15. （2014青海）如图，点分别是双曲线同一支图象上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，垂足分别是，，，得到三个三角形、、．设它们的面积分别为、、，则它们的大小关系是（　　） A. B. C. D. 16. 如图，∠1=∠2，∠3=30°，则∠4等于（　　） A. 120° B. 130° C. 145° D. 150° 17. 如图是一个几何体的三视图，根据图纸标注的数据，求得这个几何体的侧面积是（ ） A. B. C. D. 18. 某商场4月份的利润是28万元，预计6月份的利润将达到40万元．设每月利润的平均增长率为x，则根据题意所列方程正确的是(　 　) A. 28(1＋x)2＝40 B. 28(1＋x)2＝40－28 C. 28(1＋2x)＝40 D. 28(1＋x2)＝40 19. 如图所示的计算程序中，与之间的函数关系所对应的图象（ ） A. B. C. D. 三、计算题：本大题共2小题，共14分． 20. 计算： 21. 先化简，再求值：，其中，． 四、解答题：本题共6小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22. 如图，在中，点在边上，点在的延长线上，且．求证：． 23. 如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD， ∠AOD=∠APC． （1）求证：AP是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径是4，AP=4，求图中阴影部分的面积． 24. 阅读对一个人的成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生．某中学为了解学生阅读课外书籍的情况．决定围绕“在艺术类、科技类、动漫类、小说类、其它类课外书籍中，你最喜欢的课外书籍是哪一类？（只写一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分同学进行问卷调查，并将调查问卷适当整理后绘制成如图1所示的条形统计图和如图2所示的扇形统计图． （1）请你将条形统计图和扇形统计图补充完整； （2）若该校共有1600名学生，请你估计这1600人中喜欢动漫类书籍的约有多少人？ （3）小东从图书馆借回2本动漫书和3本科技书放进一个空书包里准备回家阅读，那么他从书包里任取2本，恰好都是科技类图书的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程） 25. 穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． （1）求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ （2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？ 26. 请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题． （1）如图（1），将角尺放在正方形上，使角尺的直角顶点与正方形的顶点重合，角尺的一边交于点，另一边交的延长线于点．求证：． （2）如图（2），移动角尺，使角尺的顶点始终在正方形的对角线上，其余条件不变，请你思考后直接回答和的数量关系：______（用“＝”或“≠”填空）． （3）运用（1）、（2）解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图（3），将（2）中的“正方形”改成“矩形”，使角尺的一边经过点（即点、重合），其余条件不变，若，，求的值． 27. 如图，抛物线的顶点为，与x轴交于A、B两点，且，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求的面积； （3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年青海省西宁市十四中中考数学二模试卷 一、填空题：本题共10小题，每小题2分，共24分． 1. 的倒数是__；=__． 【答案】 ①. ﹣4 ②. 3 【解析】 【详解】解：的倒数是－4；=3．故答案为－4，3． 2. 分解因式：______；不等式组的解集是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查因式分解，解一元一次不等式组，掌握算理是解决问题的关键．首先提公因式，再用平方差公式因式分解即可；先解出每个不等式的解集，再找到解集的公共部分即可． 【详解】解：； ， 不等式的解集为， 不等式的解集为， 不等组的解集为． 故答案为，． 3. 据青海省湿地保护管理中心和世界自然基金会公布的调查数据表明，我省湿地总面积的最新数据为公顷，居世界第一，该数据用科学记数法表示为______公顷． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 4. 方程 的解为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，检验即可． 【详解】解：， ∴， 解得：； 经检验：是原方程的解； 故答案为：． 5. 如图，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8米，与水塔相距32米，则水塔的高度为______米． 【答案】10 【解析】 【分析】由已知可得BC∥DE，因此△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质可求得水塔的高度． 【详解】解：∵BC⊥AD，ED⊥AD， ∴BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴， 即， ∴DE=10，即水塔的高度是10米． 故答案为10． 【点睛】本题考查了考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据相似三角形得出比例式． 6. 如图，中，，平分交于点D，，，则点D到的距离为 _____ ． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及角平分线的性质，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．过点D作于点E，由勾股定理得，再由角平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵，，， ∴，， ∵平分， ∴， 即点D到的距离为3， 故答案为：3． 7. 若点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2），则（a+b）2014=__． 【答案】1 【解析】 【分析】根据轴对称的性质，点M和点N的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可以求得a、b的值，从而可得a+b的值. 【详解】解：∵点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2）， ∴b=-3，a=2， ∴a+b=-1， ∴（a+b）2014=（-1）2014=1． 故答案为1. 【点睛】本题考查了轴对称的性质和幂的运算，解题的关键是先求得a、b的值. 8. 如图，、切于点、，点是上一点，且，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用了切线的概念，圆周角定理，掌握四边形的内角和为度是解题的关键． 连接，，根据圆周角定理和四边形内角和定理求解． 【详解】解：连接，． 、切于点、，则， 由圆周角定理知，， ， ． 故答案为：50． 9. 从，，，…，这个自然数中任取一个数，则它是的倍数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．本题先找出4的倍数只有4和8这两个数，然后用2除以10即可． 【详解】解：∵1，2，3，…，10这10个自然数中只有4和8是4的倍数， 因此从1,2,3,…,10这10个自然数中任取一个数,则它是4的倍数的概率是 故答案为 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= 10. 如图，已知∠C＝∠D，∠CAB＝∠DBA，AD交BC于点O，请写出图中一组相等的线段________（填一组即可）． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】先证，根据全等三角形对应边相等的性质可得，即可解题． 【详解】解：在和中， ， ， ， 故答案为：(答案不唯一)． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键． 11. 如图所示，在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用坐标表示位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．根据“帅”和“马”的坐标，建立平面直角坐标系，由此即可得． 【详解】解：如图，由“帅”位于点，“马”位于点，建立平面直角坐标系如下（每一格表示1个单位长度）： 则“兵”位于点， 故答案为：． 12. 一组按照规律排列的式子：，，其中第个式子是______，第个式子是______为正整数 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查单项式规律探索，乘方运算，掌握相关知识是解决问题的关键．观察所给代数式发现，分子的底数都是，而指数是从开始的奇数；分母是底数从开始的自然数的平方． 【详解】解：，，其因此第个式子是，第个式子是． 故答案为，． 二、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 13. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握各知识点的运算法则．结合选项分别进行合并同类项、幂的乘方和积的乘方等运算，然后选择正确选项． 【详解】解：A、不是同类项不能合并，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选D． 14. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是（　　） A. 15° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出∠BOD=60°，则∠AOD=∠DOB-∠AOB，从而可得答案． 【详解】解：根据旋转的性质可知∠BOD=60°， ∵∠AOB =15°， ∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=45°． 故选B． 【点睛】本题考查旋转的性质，掌握①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等是解题的关键． 15. （2014青海）如图，点分别是双曲线同一支图象上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，垂足分别是，，，得到三个三角形、、．设它们的面积分别为、、，则它们的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即．．根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即可判断． 【详解】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即， ∴． 故选：C． 16. 如图，∠1=∠2，∠3=30°，则∠4等于（　　） A. 120° B. 130° C. 145° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】由∠1=∠2，利用同位角相等两直线平行得到a与b平行，再由两直线平行同位角相等得到∠3=∠5，求出∠5的度数，即可求出∠4的度数． 【详解】解：∵∠1=∠2， ∴a∥b， ∴∠5=∠3=30°， ∴∠4=180°﹣∠5，=150°， 故选D 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 17. 如图是一个几何体的三视图，根据图纸标注的数据，求得这个几何体的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图，几何体侧面积的计算，解题的关键是根据三视图想象出该几何体的形状，由三视图可知，该几何体是一个圆锥，根据圆锥的侧面积公式求解． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是一个圆锥，且底面圆的半径是，母线长是， 底面的周长是， 侧面积为：， 故选B． 18. 某商场4月份的利润是28万元，预计6月份的利润将达到40万元．设每月利润的平均增长率为x，则根据题意所列方程正确的是(　 　) A. 28(1＋x)2＝40 B. 28(1＋x)2＝40－28 C. 28(1＋2x)＝40 D. 28(1＋x2)＝40 【答案】A 【解析】 【详解】设利润每月平均增长率为，根据等量关系“四月份的利润×（1+x）2=六月份的利润”列出方程. 故选A. 19. 如图所示的计算程序中，与之间的函数关系所对应的图象（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象，利用程序框图列出函数关系式、以及函数的图象等知识点，解题的关键是首先根据框图写出正确的解析式．先根据程序框图列出正确的函数关系式，然后再根据函数关系式来判断其图象是哪一个． 【详解】解：根据程序框图可得，化简，得， 的图象与轴的交点为，与轴的交点为． 故选：． 三、计算题：本大题共2小题，共14分． 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：原式 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化；先根据分式的混合运算进行计算，然后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 四、解答题：本题共6小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22. 如图，在中，点在边上，点在的延长线上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，利用平行四边形的性质证明即可求证，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】略 23. 如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD， ∠AOD=∠APC． （1）求证：AP是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径是4，AP=4，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明:连结OP,∵PD⊥BE,如图. ∴∠OCD=90°， ∴∠ODC+∠COD=90°， ∵OD=OP， ∴∠ODC=∠OPC， ∵∠COD=∠APC， ∴∠OPC+∠APC=90°， ∴∠APO=90°,即AP⊥PO， ∵P在⊙O上,∴AP是⊙O的切线. （2） 【解析】 【分析】（1）连接OP，证明OP⊥AP,利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质证明即可；（2）根据扇形POD面积减去△OPD的面积即为阴影部分的面积，求出相关数据代入计算. 【详解】（1）略 （2）在Rt△APO中，tan∠AOP=， ∴∠AOP=60°，∴∠OPC=30°， ∴OC=2，∴PC= ， ∴PD=， ∵OD=OP，OB⊥PD， ∴∠POB=∠COD=60°， ∴∠POD=120°， ∴阴影部分面积为： . 【点睛】此题主要考查切线的判定及不规则图形面积的求法，应用切线的判定定理证出OP⊥AP是证明圆的切线的关键. 24. 阅读对一个人的成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生．某中学为了解学生阅读课外书籍的情况．决定围绕“在艺术类、科技类、动漫类、小说类、其它类课外书籍中，你最喜欢的课外书籍是哪一类？（只写一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分同学进行问卷调查，并将调查问卷适当整理后绘制成如图1所示的条形统计图和如图2所示的扇形统计图． （1）请你将条形统计图和扇形统计图补充完整； （2）若该校共有1600名学生，请你估计这1600人中喜欢动漫类书籍的约有多少人？ （3）小东从图书馆借回2本动漫书和3本科技书放进一个空书包里准备回家阅读，那么他从书包里任取2本，恰好都是科技类图书的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程） 【答案】（1） 补全图形如下： （2）384人 （3） 解：根据题意画出树状图，如图所示： ∴恰好都是科技类图书的概率为：． 【解析】 【分析】（1）先求出抽样的总人数，然后求出科技类、小说类的人数，求出动漫类和其他类人数所占的百分比，再补全条形统计图即可； （2）用总人数1600乘以喜欢动漫类书籍的人数的百分比，即可求出全校喜欢动漫类书籍的人数； （3）先画出树状图，然后根据概率公式求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵抽样人数为， ∴科技类的人数为， 小说类的人数为， 动漫的百分比为， 其他类的百分比为； 【小问2详解】 解： （人）， 全校喜欢动漫类书籍的人数约为384． 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，用树状图或列表法求概率，解题的关键是数形结合，画出树状图或列出表格． 25. 穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． （1）求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ （2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？ 【答案】（1）甲乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米；（2）能比原来少用10天． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可；（2）设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，分别计算出施工进度改进前和改进后完成任务还需的天数，再作差即可. 试题解析： （1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米， 由题意得， 解得. 答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米； （2）设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，则 a=（1957－57）÷（5+4.5）=200（天）， b=（1957－57）÷（5+4.5+0.2+0.3）=190（天）， 则a－b=10（天）． 答：能比原来少用10天． 点睛：本题关键在于设出两个未知数，找出等量关系列方程组求解. 26. 请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题． （1）如图（1），将角尺放在正方形上，使角尺的直角顶点与正方形的顶点重合，角尺的一边交于点，另一边交的延长线于点．求证：． （2）如图（2），移动角尺，使角尺的顶点始终在正方形的对角线上，其余条件不变，请你思考后直接回答和的数量关系：______（用“＝”或“≠”填空）． （3）运用（1）、（2）解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图（3），将（2）中的“正方形”改成“矩形”，使角尺的一边经过点（即点、重合），其余条件不变，若，，求的值． 【答案】（1）证明：∵，， ∴． 又，， ∴≌（ASA）． ∴． （2）= （3） 【解析】 【分析】（1）证明△EAG≌△ECF即可得出结论； （2）过点E作EP⊥AB于点P，作EQ⊥BC于点Q，由（1）同理证出△EPG≌△EQF得出结论； （3）过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，由（2）得出经验，证得结论则需要通过由平行线得出比例式和两三角形相似得出比例式来解决． 【详解】（1）略 （2）EF=EG，理由如下： 如图， 过点作于点，作于点， 则，， ∴． 又， ∴≌． ∴． （3）如图，过点作于点，作于点， 则，，， ∴． ∴． 又，， ∴． ∴∽． ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和应用，相似三角形的判定和应用，解题的关键是能从第（1）问的解答中获得解决后两问的经验． 27. 如图，抛物线的顶点为，与x轴交于A、B两点，且，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求的面积； （3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）12 （3）能，点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）设函数的解析式为，将代入求出a值即可； （2）令，求出点B坐标，进而求出，，利用三角形面积公式即可求解； （3）过点P作轴于点E，交于点F，设，则，F ，利用即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点为， 设函数的解析式为， 又函数图象经过点， ， 解得， ， 即抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：函数的图象与y轴交于点C， ， ， 令，得， 解得，， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点P作轴于点E，交于点F，设，则， 设直线的解析式为， ，， ， 解得， 直线的解析式为， 点F的坐标为． ， ， 当时，有最大值，最大值为， 时，， 能在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使的面积最大，此时点P的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式、求平面直角坐标系内三角形面积等，解题的关键是用含x的式子表示出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $