专题04 等腰三角形（3常考2易错6压轴52题）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

**基本信息** 以“3常考+2易错+6压轴”分层设计，覆盖等腰三角形性质判定、分类讨论、几何综合全维度，通过典型题提炼分类讨论、三线合一等核心方法，培养推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|15题|腰/底边分类计算、内角讨论、三线合一应用|从性质（边/角关系）到判定（等角对等边），构建概念-计算-证明链条| |综合突破|37题|双等腰综合、全等+辅助线、旋转折叠动态问题|以等边三角形为桥梁，融合几何变换与分类思想，实现从静态到动态的能力跃升|

专题04 等腰三角形（3常考2易错6压轴） 题型1 已知腰/底边长，求周长（分类讨论易错） 题型7等边三角形+全等综合（压轴） 题型2 已知一个内角，求剩余两角（角度分类易错） 题型8 等腰三角形+全等+辅助线（压轴） 题型3 三线合一基础计算（高频填空）（常考） 题型9旋转、折叠+等腰几何综合（压轴） 题型4等角对等边判定等腰三角形（简单证明常考） 题型10等腰三角形动点分类讨论（最难压轴） 题型5 等边三角形基础计算（常考） 题型11 等腰三角形中反证法与新定义（新考向） 题型6双等腰三角形证明与计算（必考压轴） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 已知腰/底边长，求周长（分类讨论常考）（共3小题） 1．如果等腰三角形一边长为5，另一边长为10，那么它的周长是（    ） A．26 B．25 C．20 D．20或25 2.（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是______． 3．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知是等腰三角形，若，那么的周长是______． 题型2 已知一个内角，求剩余两角（角度分类常考）（共3小题） 4．（25-26七年级下·上海·阶段检测）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为_____． 5．(24-25七下·上海崇明区·期末)等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 6．(24-25七下·上海外国语大学附属奉贤外国语学校·期末)在中，，点在的三边上运动，当成为等腰三角形时，顶角的度数是 ___． 题型3 三线合一基础计算（高频填空）（常考）（共3小题） 7．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）如图，在中，，在上截取，作的平分线与相交于点，连接．若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，于D，的周长为，那么______．    9．如图，已知中，，是的平分线，如果的周长为，的周长为，那么的长是______．    题型4等角对等边判定等腰三角形（简单证明常考）（共3小题） 10．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知分别平分和，经过点M的直线平行于，交分别于点D、E，，． 求的周长． 解：BM平分， _______． ， （_______）． _______． （_______）． 同理可得_______． 周长 _______． 11.（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点在线段上，点在线段延长线上，且，，求证：． 解：， （    ）， ， ． 即． （    ）， 在和中， ∵， （SSS）． （    ）， ， （    ）． 12．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图，已知，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 题型5 等边三角形基础计算（常考）（共4小题） 13．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，在中，，是边上的高，将绕点C按顺时针方向旋转，点B落到上的点处，得到，则的大小为（    ） A． B． C． D． 14．如图，中，，将沿射线的方向平移，得到．再将绕点逆时针旋转一定角度后，恰使点与点C重合，点的对应点是点，若，那么的大小为（    ）． A． B． C． D． 15.（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，等边三角形的边长为6，、分别为、边上的点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则___________． 16．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为__ ． 题型6双等腰三角形证明与计算（必考压轴）（共5小题） 17．（25-26七年级下·上海·阶段检测）在中，，点在边上，（如图）． (1)若在的边上，且，求的度数； (2)若，在的边上，是等腰三角形，求的度数；（简写主要解答过程即可） 18．（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知中，，，点为的中点．若两点分别从B、A两点同时出发，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，回答下列问题： (1)当为何值时，在的垂直平分线上； (2)当为何值时，； (3)经过______秒后，为等腰三角形，且的周长为． 19．（24-25七年级下·上海长宁·期末）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． (1)如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； (2)如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； (3)是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 20.在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上，∠BAD＝50°（如图1）． (1)若E在△ABC的AC边上，且∠ADE＝∠B，求∠EDC的度数； (2)若∠B＝30°，E在△ABC的AC边上，△ADE是等腰三角形，求∠EDC的度数；（简写主要解答过程即可）； (3)若AD将△ABC分割成的两个三角形中有一个是等腰三角形，求∠B的度数．（直接写出答案）． 21．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 题型7 等边三角形+全等综合（压轴）（共5小题） 22．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：． (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 23．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段检测）如图，中，，，点F是边上一点，且．点D是边上一点，连接，以为边作等边三角形，使点E在上侧，连接，． (1)直接写出与的数量关系______． (2)求的度数． (3)过点E作，交于点．求证：． 24．（24-25七年级下·上海金山·期末）某数学学习小组成员康康、小海、欢欢和乐乐等同学继续对课本等边三角形开展了深入探究． 问题回顾：课本中有例题，证明：有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形．如图．已知：在中，．需要对三个内角分别等于的各种情况进行讨论，其中和是类似的，故只要分两种情况讨论． ①当时，那么可以证明是等边三角形； ②当时，那么可以证明是等边三角形． （1）请写出情况①的证明过程； 问题探究： 于是，康康提出了一个问题：我们将上题中的条件“有一个内角等于”替换为“底边上的高和腰上的高对应相等”，如图2．即：已知：在中，，，，垂足分别为点、，且，求证：是等边三角形． （2）请写出证明过程； 问题拓展： 由此启发，该小组猜想：在等腰三角形中，如果以“一边(底边或腰)上的高”“一边(底边或腰)上的中线”或“一角(顶角或底角)的角平分线”中的两个条件，加以组合(也就是形成一组须同时满足的关系)，使它们对应相等，是否还能新构成一个能判定一个等腰三角形是等边三角形的条件？ 基于此，小组成员小海、欢欢、乐乐进行了探索，并分别提供了自己的已知、求证和图形． 小海 欢欢 乐乐 已知：在中，，中线中线．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线高．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线角平分线．求证：是等边三角形． （3）你认为________(填小海、欢欢、乐乐其中一个)的探究是正确的，并写出该证明过程． 25.已知ABC，COD均为等边三角形，点O是ABC内的一点，且∠AOB＝110°．∠COB＝α． （1）如图1，说明BOC≌ADC的理由； （2）如图2，当α＝150°时，试判断AOD的形状，并说明理由； （3）填空：当AOD为等腰三角形时，α的度数为 ．（请直接写出答案） 26.已知， 、均为等边三角形，点是内的点 （1）如图①，说明的理由；    （2）如图②，当点在线段上时，求的度数；    （3）当为等腰直角三角形时，________度（直接写出答案）. 题型8等腰三角形+全等+辅助线（压轴）（共10小题） 27．（25-26七年级下·上海·阶段检测）在中，，在的外部作等边三角形，为的中点，连接并延长交于点，连接． (1)如果，求的度数； (2)连接，交于点，如果是等腰三角形，求的度数．（直接写出度数） (3)在图中画出的平分线，交于点，交于点，连接．如果，求证：． 28．（24-25七年级下·上海宝山·期末）已知，分别以、为边作和，且，，，连接与，、分别是与的中点． (1)如图，若，则______； (2)如图，若，则______； (3)如图，若，试探究与的数量关系，并给予证明． 29．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图1，等边与等边的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接，，两线相交于点 (1)求的度数； (2)如图2，连接， ①求证：是的平分线； ②若，，求的长度． 30．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段检测）【问题背景】如图1，在探究手拉手全等模型时，小明发现了平分，他探究此问题的方法是“作”构造等边三角形解决问题． 【学以致用】 (1)如图2，等边三角形中，为边上一点，，交延长线于点． ①直接写出的度数； ②若，，求的长． (2)课后小明对手拉手模型进行了进一步的探究； ①和都是等边三角形，位置如图所示，此时平分的结论是否成立？______（填“成立”，“不成立”或“不能确定”）； ②求的值． 31．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）实践与探究 【提出问题】是等边三角形，点D在的延长线上，平分，点是边上一动点，连接，并以为边作，交射线于点，连接．猜想的形状． 兴趣小组的三位同学根据已知条件画出图形并分别度量和的长度，结果如下： 的长度 的长度 小明 2.6 2.6 小丽 3.4 3.4 小亮 4.1 4.1 根据以上数据，猜想：是___________三角形． 【解决问题】兴趣小组对上述猜想进行了证明，请你补全证明过程． 证明：如图，在边上截取，连接． 是___________三角形． 32．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图1，点D是的中点，，平分，点F在线段上，且． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点G，如果，． ⅰ）当时，求四边形的面积； ⅱ）延长至点P，使，连接，求的度数． 33．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，和是等腰三角形且，，垂足为． (1)试说明的理由 (2)猜想和的位置关系，并说明理由； (3)试说明：． 34.在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于点D． (1)如图1，过点C作 CF⊥AD于F，延长CF交AB于点E．连接DE． ①说明AE＝AC的理由； ②说明BE＝DE的理由； (2)如图2，过点B作直线BM⊥AD交AD延长线于M，交AC延长线于点N．说明CD＝CN的理由． 35.如图，已知在中，，AB＝AC，点D为边AC上的一点，点E为线段BD上一点． (1)如图（1），若，延长AE交BC于点F，BC边的高AG交BD于点H． ①若BD为的平分线，求证：． ②若BD为的中线，联结DF，求证：． (2)如图（2），若AE＝AD，过点B作，交AE延长线于点M，过点D作于Q，求证：AB＝BM＋QD． 36.如图1，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，且满足，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．    （1）小明发现，当点D是边BC的中点时，过点D作//，交AB于点F，通过构造全等三角形，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系：______； （2）如图2，当点D是线段BC上（除B、C外）任意一点时（其它条件不变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并说明理由； （3）当点D在线段BC的延长线上，且满足（其它条件不变）时，请画出图形，并直接写出△ABC与△BDE的面积之比． 题型9 旋转、折叠+等腰几何综合（压轴）（共6小题） 37．如图1，已知，是等边三角形，点为射线上任意一点（点与点不重合），连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结并延长交射线于点． （1）如图1，当时，________，猜想________； （2）如图2，当点为射线上任意一点时，猜想的度数，并说明理由； 38．（24-25七年级下·上海长宁·期末）根据三角形全等知识易证：中，①若，则；②若，则，有时恰当使用上述结论，可使解题过程更简化．数学实验课上，小颖、小亮位同学每人拿的一张画有“形状、大小完全相同的”的纸张，是的中线，他们进行如下操作： (1)如图1，小颖测量发现，那么边、有何数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，小亮在上取一点，将沿翻折后发现，点的对应点恰好在线段上，且平分，求 ． 39．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知：在等腰中，，．把绕点逆时针旋转得到，其中点，分别是点，的对应点． (1)如图，若，平分，求的度数； (2)在旋转过程中，若直线，相交于点， 如图，当点，在直线右侧时，若，求的度数； 设，请直接用含的式子表示； (3)如图，当时，在线段上取一点，连接，使得，请求出的度数． 40.如图1，△ABC中，，点O是△ABC内一点，且． (1)试说明：． (2)如图2，延长BO交边AC于点D，当△BCD满足BC=BD时： ①求∠BCD的大小． ②将△ABD沿BD翻折到△EBD，边BE交AC于点F，若，，请用含m的代数式表示AD的长．（直接写出结果，不用写说明理由） 41．如图，在中，，，垂足为点D． （1）试说明点D为的中点； （2）如果，将线段绕着点D顺时针旋转60°后，点A落在点E处，联结、，试说明//； （3）如果的度数为n，将线段绕着点D顺时针旋转（旋转角小于180°），点A落在点F处，联结线段，//，求直线与直线的夹角的度数（用含n的代数式表示）． 42．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接. (1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________； (2)求证：； (3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：； (4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________. 题型10等腰三角形动点分类讨论（最难压轴）（共6小题） 43．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为． (1)当点P在边上，且不与点、重合时，求证：； (2)直接写出的长（用含t的代数式表示）； (3)在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性） 44．如图，和都是边长为6cm的等边三角形，点E是边DA上的动点，点F是边DC上的动点． (1)如果点E从点D出发，以的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点C出发，以的速度沿边CD向点D方向运动．当点E到达点A时，两动点均停止运动．试判断运动过程中的大小是否会发生变化?如果不变，请求出其大小?如果改变，请说明理由． (2)如果点E从点D出发，以的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点D出发，以的速度沿边DC向点C方向运动，到达点C后立即以原速度沿原路返回．当点E到达点A时，两动点均停止运动．问当点E运动多少秒时? 35.在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系． (1)如图1，是周长为9的等边三角形，则的周长　　； (2)如图1，当点边上，且时，之间的数量关系是　 　；此时　 　； (3)点在边，且当时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明． 46.在等边三角形的两边、所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、移动时，之间的数量关系． (1)如图，当点在边、上，且时，试说明． (2)如图，当点在边、上，且时，还成立吗？ 答：　　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”． (3)如图，当点分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 47．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以___________；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中的面积是___________； （3）拓展提升：如图3，等边中，，点在上，且，动点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． ①当时，的长是___________． ②当点恰好落在射线上时，请直接写出的长． 48.（1）观察理解：如图 1，中，，直线过点，点在直线同侧， ，垂足分别为，由此可得：，所 以， 又 因为， 所以，所以，又因为，所以（   ）；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，，且，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中实线所围成的图形的面积_________； （3）类比探究：如图 3， 中，,，将斜边绕点逆时针旋转 90至，连接，则的面积=_________ . （4）拓展提升：如图4，等边中，cm，点在上，且cm，动点从点 沿射线以1cm/s速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转 120°得到线段，设点运动的时间为秒． ①当________秒时，OF∥ED； ②当________秒时，点恰好落在射线上． 题型11等腰三角形中反证法与新定义（新考向压轴）（共4小题） 49．（25-26七年级下·上海·期中）如图1，中，，，D、E分别在、上（D、E不与重合）、、交于点． (1)若，则与一定相等吗？若不一定，在图2中举出反例，并简单说明（不写作法，保留痕迹）． (2)如图3，若，则与一定相等吗？试用反证法给出证明． (3)若中有两角相等，中有两角相等，中有两角相等，直接写出度数、度数和度数之和． 50．（24-25七年级下·上海金山·期末）设平面上的三个点A、B、C．需确定点P的位置，使最小．当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A、B、C不共线时，分成两类；有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约1640年，法国数学家费马（PierredeFermat，1601﹣1665）提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点A、B、C不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，　　　为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点P，点P就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接，求证：． 51．（24-25七年级下·上海虹口·期末）费马是17世纪的法国数学家，他曾研究过一种特殊的点，它满足“在一个三角形所在平面上，到该三角形的三个顶点距离之和最短”，这样的点被称为“该三角形的费马点”． (1)如图，中，，，点D在线段上且线段，请判断：点D是否为的费马点，并说明理由． (2)现有真命题：在中，三个内角都小于，在其内部存在一点P，满足，则点P称为的费马点． 小明利用该真命题，尝试用尺规作费马点，他的作法如下： 如图，对一个所有内角都小于的，分别以线段为边向外侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点P．请完成证明： ①求证：； ②在线段上取点F使，连接， 求证：点P是的费马点． 52．（23-24七年级下·上海普陀·期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． $品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题04等腰三角形(3常考2易错6压轴) 题型归纳·内容导航 题型1已知腰/底边长，求周长（分类讨论易错） 题型7等边三角形+全等综合（压轴） 题型2已知一个内角，求剩余两角（角度分类易 题型8等腰三角形+全等+辅助线（压轴） 错) 题型3三线合一基础计算（高频填空）（常考） 题型9旋转、折叠+等腰几何综合（压轴) 题型4等角对等边判定等腰三角形（简单证明常考）！题型10等腰三角形动点分类讨论（最难压轴） 题型11等腰三角形中反证法与新定义（新考 题型5等边三角形基础计算（常考) 向) 题型6双等腰三角形证明与计算（必考压轴） 题型通关·靶向提分 题型1已知腰/底边长，求周长（分类过论常考）（共3小题） 1,如果等腰三角形一边长为5，另一边长为10，那么它的周长是() A.26 B.25 C.20 D.20或25 【答案】B 【详解】解：当腰长为5，底长为10时，5+5=10，不能组成三角形， 当底边长为5时，腰长为10,10-10<5<10+10，能组成三角形， 这个等腰三角形的周长为：5+10+10=25. 故选：B 2.（24-25七年级下·上海长宁·期末)已知一个等腰三角形的两边长分别为a,b,其中a,b满足 b-7+a2-6a+9=0,那么这个等腰三角形的周长是 【答案】17 【详解】解：b-7+a2-6a+9=0, ∴.b-7+(a-3)2=0, 1/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .b-7=0,a-3=0, ∴.b=7,a=3, 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时， ∴这个等腰三角形的周长=7+7+3=17； 当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时， 3+3=6<7, .不能组成三角形； 综上所述：这个等腰三角形的周长为17； 故答案为：17. 3.(24-25七年级下.上海闵行·期中)已知△ABC是等腰三角形，若AB=5cm,AC=3cm,那么△ABC的 周长是 cm 【答案】11或13 【详解】解：当AB为腰时，则该三角形的三边长分别为5cm,5cm,3cm, 5+3>5, 此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为3+5+5=13cm; 当AB为底时，则该三角形的三边长分别为5cm,3cm,3cm, 3+3>5, 此时能构成三角形， 该三角形的周长为3+3+5=11cm; 综上所述，△ABC的周长是11cm或13cm, 故答案为：11或13. 题型2已知一个内角，求剩余两角（角度分类常考）（共3小题） 4,（25-26七年级下·上海阶段检测)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为 【答案】60°或120° 【详解】解：①当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部， 由题意得，∠ABD=30°，∠ADB=90°， 2/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠A=180°-∠ABD-∠ADB=60°； B ②当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部， 此时∠ABD=30,∠ADB=90°， ∴∠BAC=∠ABD+∠ADB=120°， 所以它的顶角为60°或120°. D 、A 5.(24-25七下·上海崇明区·期末)等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的 顶角为 【答案】45°或135 【详解】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形， BD⊥AC,∠ABD=45°， ∴∠A=90°-∠ABD=45°， 即顶角的度数为45°. ②如图，等腰三角形为钝角三角形， 3/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B ~BD⊥AC,∠DBA=45°， ∴.∠BAD=90°-∠ABD=45°， ∠BAC=180°-∠BAD=135°. 故答案为：45°或135°. 6,(24-25七下.上海外国语大学附属奉贤外国语学校·期末)在△ABC中∠B=20°，∠A=110°，点P在 △ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形时，顶角的度数是· B 【答案】110°或50°或80° 【详解】 解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC,顶角为∠A=110°， ②：∠B=20°，∠A=110°， .∠C=180°-20°-110°=50°， 如图2，点P在BC上时，若AC=PC,顶角为∠C=50°， 如图3，若AC=AP,则顶角为∠CAP=180°-2∠C=180°-2×50°=80°， 综上所述，顶角为110°或50°或80°， 故答案为：110°或50°或80. B B B∠ 图1 图2 图2 题型3三线合一基础计算（高频填空）（常考）（共3小题） 7.(25-26七年级下·上海闵行·阶段检测)如图，在△ABC中，BC>BA,在BC上截取BD=BA,作 ∠ABC的平分线与AD相交于点P,连接PC,若△ABC的面积为4，则△BPC的面积为() 4/96 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.0.5 B.1 c.1.5 D.2 【答案】D 【详解】解：BD=BA,且BP平分∠ABD, BP为△ABD的中线，P为AD中点， .CP为△CAD的中线， .S.=5.A0 S.co=-.AcD S.BPC=S.BPD+S.CPD,S.ABC=S.ARD+S.ACD 1 1 .S.P+S.CPD=2 SABD+与SAn,即Sr= 2 2 S.c=4, 1 .8n=2×4=2. 8.如图，在△ABC中，AB=AC=13cm,AD⊥BC于D,△ABC的周长为32cm,那么BD= cm B D 【答案】3 【详解】解：~AB=AC=13cm,△ABC的周长为32cm, ..AB+AC+BC=32, 即BC=32-13-13=6(cm); AB=AC=13cm,AD⊥BC, .BD =BC =3cm 故答案为：3. 9,如图，已知△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线，如果△ABD的周长为I2,△ABC的周长为 16,那么AD的长是· 5/96 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】4 【详解】解：AB=AC,AD是∠BAC的平分线， .BD=CD, :△ABC的周长为16， AB+BD=1x16=8, :△ABD的周长为12， .AD=12-8=4, 故答案为：4. 题型4等角对等边判定等腰三角形（简单证明常考）（共3小题） 10.(24-25七年级下·上海闵行·期末)已知：如图，在△ABC中，已知BM、CM分别平分∠ABC和 ∠ACB,经过点M的直线DE平行于BC,交AB、AC分别于点D、E,AB=8,AC=6. B 求△ADE的周长， 解：BM平分∠ABC, :.∠CBM= DE∥BC, ∴.∠CBM=∠BMD(). ∴.∠BMD= .DB=DM 同理可得EC= △ADE周长=AD+DE+AE =AD+DM+ME+AE 6/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =AD+DB+EC+AE =AB+AC= 【答案】DBM;两直线平行，内错角相等；∠DBM;等角对等边；EM;14 【详解】解：BM平分∠ABC, .∠CBM=∠DBM, .·DE∥BC, ∴，∠CBM=∠BMD(两直线平行，内错角相等)， ∴.∠BMD=∠DBM. DB=DM(等角对等边)· 同理可得EC=EM. △ADE周长=AD+DE+AE =AD+DM+ME+AE =AD+DB+EC+AE =AB+AC=14. 11.(25-26七年级下.上海金山·期末)如图，在△ABC中，点D在线段BC上，点E在线段AD延长线上， 且EB=EC,∠ABE=∠ACE,求证：AD L BC. 解：EB=EC, ∴.∠EBC=∠ECB(), .·∠ABE=∠ACE .∠ABE-∠EBC=∠ACE-∠ECB. 即∠ABC=∠ACB. .AB=AC ( 在△ABE和△ACE中 7/96 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=AC EB=EC, AE=AE .△ABE≌△ACE(SSS)· ∴.∠BAD=∠CAD(), .AB=AC, .AD⊥BC(）. 【详解】解：EB=EC, ∴∠EBC=∠ECB(等边对等角)， :∠ABE=∠ACE, ∴.∠ABE-∠EBC=∠ACE-∠ECB. 即∠ABC=∠ACB. AB=AC(等角对等边)， 在△ABE和△ACE中， AB=AC EB=EC, AE=AE .△ABE≌△ACE(SSS). ∴.∠BAD=∠CAD(全等三角形的对应角相等)， AB=AC, .AD⊥BC(等腰三角形三线合一)· 12.(24-25七年级下.上海阶段检测)如图，已知AB‖CD,BC平分∠ABD,交AD于点E. 3 D (1)求证：△BCD是等腰三角形； (2)若AD⊥BD于点D,∠CDA=28°，求∠3的度数. 【详解】(1)证明：~BC平分∠ABD, .∠1=∠2， 8/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ..AB IlCD, ∠2=∠3， ∠1=∠3， ..BD=CD, ∴△BCD是等腰三角形； (2)解：AD⊥BD, ∠ADB=90°， ∠CDA=28°， ∠CDB=∠CDA+∠ADB=28°+90°=118°， AB CD, ∴.∠ABD+∠CDB=180°， ∠ABD=180°-118°=62°， BC平分∠ABD, A=∠2=1∠ABD=1X 29 ×62°=31°， 2 ×∠1=∠3， ∠3=31°. 题型5等边三角形基础计算（常考）（共4小题） 13.(23-24七年级下.上海浦东新阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的高，将 △ABC绕点C按顺时针方向旋转，点B落到AD上的点B,处，得到△AB,C,则∠BCB,的大小为() B B D A.45 B.60° C.75 D.55 【答案】B 【详解】解：连接BB, 9/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 B D :AB=AC,AD是BC边上的高， ∴AD是线段BC的垂直平分线， :.BB=CB, 由旋转的性质得BC=CB, :.BB=BC=CB, “△B,BC是等边三角形， .∠BCB,=60°， 故选：B 14.如图，△ABC中，∠B=60°，∠ACB=50°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△AB'C'.再将 △AB'C绕点A'逆时针旋转一定角度后，恰使点B与点C重合，点C'的对应点是点C”,若∠ACA'=10°， 那么∠CCC"的大小为()· B B' A.50° B.60° C.70° D.80° 【答案】B 【详解】解：将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△AB'C, ∠AB'C'=∠B=60°， 将△AB'C'绕点A'逆时针旋转一定角度后，恰使点B与点C重合，点C的对应点是点C", AC=A'B',∠ACC"=∠A'B'C'=60°， ·△A'B'C为等边三角形， .∠A'CB=60°， ∠CCC"=180°-∠A'CC"-∠A'CB'=60°； 10/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故选：B. 15.(24-25七年级下·上海崇明·期末)如图，等边三角形ABC的边长为6，D、E分别为AC、AB边上的 点，AD=AE=4,连接DE,将△ADE绕点D逆时针旋转得到△EDP,连接CP,则∠PCB= 【答案】30° 【详解】解：设DP交BC于F,如图所示： △ABC为等边三角形， ∴.∠BAC=∠ACB=60°，AC=6, AD=AE=4, △ADE为等边三角形，CD=6-4=2, ∠ADE=60°，DE=AD=4, ~△ADE绕点D逆时针旋转，得到△EDP, .∠EDP=60°，DP=DE=4, ∠PDC=60°， ∴△DCF为等边三角形， ∠3=60°，DF=CF=DC=2, ∴.PF=DP-DF=4-2=2, ..FC=FP, ∴.∠1=∠2， ∠3=∠1+∠2， 11/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠1=30°， 故答案为：30° 16.(24-25七年级下·上海静安，期末)如图，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8,BC=6,点D是 BC边上的一点，BD=2,点E是AB边上一个动点，连接DE,以DE为一边在右侧作等边△EFD,连接 CF,在点E运动过程中，线段CF的最小值为· B D 【答案】4 【详解】解：如图所示，以CD为边在BC上方作等边三角形CDM,连接ME,过点M作MP⊥BC于点 P,MN⊥AB于点N,如图所示： W D :△DEF和△CDM为等边三角形， ∴.DE=DF,DC=DM,∠EDF=∠CDM=60°， ∴∠EDF+∠FDM=∠FDM+∠MDC, 即∠EDM=∠FDC, .△MED≌△CFD(SAS), ∴.CF=ME, ∴当ME最小时，CF最小， 垂线段最短， 当点E与点N重合时，E最小，即CF最小，最小值为MN的长， 12/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BC=6,BD=2, ∴CD=4, MP⊥CD, :.CP=DP=1CD=2, BP=BC-PC=6-2=4, ~MP⊥BC,∠B=90°，即AB⊥BC, MP∥AB, 又MN⊥AB, ∴MN=BP=4(平行线间间距相等)， ∴.CF的最小值为4， 故答案为：4. 题型6双等腰三角形证明与计算（必考压轴）（共5小题） 17.(25-26七年级下·上海阶段检测)在△ABC中，∠B=∠C,点D在BC边上，∠BAD=50°（如图 1) B D B D D 图1 备用图 备用图 (1)若E在△ABC的AC边上，且LADE=∠B,求∠EDC的度数； (2)若∠B=30°，E在△ABC的AC边上，△ADE是等腰三角形，求LEDC的度数；（简写主要解答过程即 可) 【答案】(1)50° (2)10°，25°或40° 【详解】(1)解：∠ADC=∠B+∠BAD,，∠ADC=∠ADE+∠EDC, ∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD, ∠ADE=∠B,∠BAD=50°， ∠EDC=∠BAD=50°； (2)解：∠B=∠C,∠B=30°， ∠BAC=180°-30°-30°=120°， 13/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BAD=50°， ∴∠DAE=120°-50°=70°，∠ADC=∠BAD+∠B=80°， 分三种情况讨论： 如图，当EA=ED时， A E ∠EDA=∠EAD=70°， B .∠EDC=∠ADC-∠EDA=80°-70°=10°， 如图，当AE=AD时， D ∠4DE=2（180-70)=55°， ∠EDC=80°-55°=25°， 如图，当AD=ED时， ∠DEA=∠DAE=70°， D ∴∠ADE=180°-70°-70°=40°， ∠EDC=80°-40°=40°， 综上所述，∠EDC的度数为10°，25°或40°. 18.(25-26七年级下.上海·期末)如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm,BC=10cm,点D为AB的中 点，若P、Q两点分别从B、A两点同时出发，点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动.同 时，点Q在线段AC上以4cm/s的速度由点A向点C运动，设运动时间为t,回答下列问题： A B B 备用图 14/96 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)当t为何值时，C在PQ的垂直平分线上； (2)当t为何值时，△BPD≌△CQP: (3)经过 秒后，△CPQ为等腰三角形，且aCPQ的周长为18cm 【答案】(1)t=1 (2)t=2 (3)1或1.75或1.6 【详解】(1)解：在△ABC中，AB=AC=12cm,D是AB中点， 故BD=}4B=6cm,∠B=∠C, 21 由动点运动得：BP=2tcm,AQ=4tcm, 因此CP=(10-2)cm,CQ=(12-4t)cm, ~点C在PQ的垂直平分线上， ∴.CP=CQ,即10-2t=12-4t, 解得t=1; (2)解：~AB=AC=12cm, ∠B=∠C, 当△BPD≌ACOP且∠B=∠C, 「BD=CP …对应边满足 BP=CO 6=10-2t 即 2t=12-4t 两个方程同解得t=2, 当t=2时，△BPD≌△CQP; (3)解：~aCPQ为等腰三角形，且△CPQ的周长为18cm, ∴.P9=18-CP-CQ=18-(10-2t)-(12-4t)=6t-4(cm), 分三种情况讨论等腰三角形： 若CP=C0时，10-2t=12-4t, 解得t=1, 此时三边为8cm,8cm,2cm,符合三角形三边关系； 若CP=PQ时，10-2t=6t-4, 解得t=1.75, 15/96 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 此时三边为6.5cm,5cm,6.5cm,符合三角形三边关系； 若C9=PQ时，12-4t=6t-4, 解得t=1.6, 此时三边为5.6cm,6.8cm,5.6cm,符合三角形三边关系. 综上，经过1或1.75或1.6秒后，△CP2为等腰三角形，且△CP2的周长为18cm, 19.(24-25七年级下·上海长宁，期末)定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成 的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割 线”. 己知在△ABC中，AB=AC,点D在边AC上. D D B B 图1 图2 (1)如图1，如果BD=BC,求证：BD是△ABC的“等角分割线”； (2)如图2，如果BD⊥AC,且BD是△ABC的“等角分割线”，求LC的度数； (3)BD是△ABC的“等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点F.如果DF=DC,那么∠BAC的度数为 【详解】(1)证明：AB=AC, ∴.∠ABC=∠C, BD=BC, ∠BDC=∠C, .∠ABC=∠BDC, ·∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠BDC=∠A+∠ABD, ∴.∠ABD+∠DBC=∠A+∠ABD, ∠A=∠DBC, ∴BD是△ABC的"等角分割线”； (2)解：AB=AC, 16/96 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ABC=∠C, ∠A+∠ABC+∠C=180°， ∠A=180°-2∠C, BD⊥AC, ∠BDC=90°，∠BDA=90°， ·∠BDC=∠A+∠ABD,∠BDA=∠DBC+∠C, ∠ABD=2∠C-90°，∠DBC=90°-∠C, BD是△ABC的"等角分割线”， ①LA=∠ABD,180°-2∠C=2∠C-90°， 解得：∠C=67.5° ②∠A=∠DBC,180°-2∠C=90°-∠C, 解得：∠C=90°（舍去）， 综上：∠C=67.5°； (3)解：记∠BAC的平分线与BC交于点E, ①当∠DBC=∠BAC时， 4 D B AB=AC,AE平分∠BAC, AE⊥BC,∠BAE=∠CAE,BE=CE, 设∠BAE=∠CAE=x,则∠DBC=∠BAC=2x AE⊥BC,BE=CE, AE垂直平分BC, ∴FB=FC, ∴∠DBC=∠FCB=2x, 17/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠DFC=∠FBC+∠FCB=2x+2x=4x, DF DC, ∠DFC=∠DCF=4x, .∠ACE=∠DCF+∠FCB=4x+2x=6x, AE⊥BC, ∴.∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°， x+6x+90°=180°， 90° 解得：x= 7 ∠B4C=2x90°-180° 77 ②当∠ABD=∠BAC时， F E AE平分∠BAC, ∴∠BAE=∠CAE, 设∠BAE=∠CAE=x,则∠ABD=∠BAC=2x, .∠FDC=∠BAC+∠ABD=4x, :AB=AC,∠BAE=∠CAE,AF=AF, △ABF≌△ACF(SAS), ∠ACF=∠ABD=2x, DF=DC, ∴.∠DFC=∠DCF=2x, 在△DFC中，∠FDC+∠DFC+∠DCF=180°， .4x+2x+2x=180°， 解得：x=22.5°， 18/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠BAC=2×22.5°=45°， 综上：∠BAC的度数为45°或180 · 20.在△ABC中，∠B=∠C,点D在BC边上，∠BAD=50°（如图1）， B D D 图1 备用图 A D 备用图 (1)若E在△ABC的AC边上，且LADE=∠B,求LEDC的度数； (2)若∠B=30°，E在△4ABC的AC边上，△ADE是等腰三角形，求∠EDC的度数；（简写主要解答过程即 可)； (3)若AD将△ABC分割成的两个三角形中有一个是等腰三角形，求∠B的度数，（直接写出答案）， 【答案】(1)∠EDC的度数为50° (2)LEDC的度数为10°或40°或25° 包☑B的度数为0成()减（智· 【详解】(1)解：∠4ADC是△ABD的外角， ∴LADC=∠B+∠BAD, LADC=LADE+LEDC,且∠ADE=∠B,∠BAD=50°， ∴.∠EDC=∠BAD=50°. 即∠EDC的度数为50°； (2)解：∠B=∠C=30°， .∠BAC=180°.（∠B+∠C)=120° ∠BAD=50°， ∴LDAC=∠BAC-∠BAD=70°， ∠ADC是△ABD的外角， ∴.∠ADC=∠B+∠BAD=80°， ~△ADE是等腰三角形， 19/96 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 若AE=DE,则∠ADE=∠DAC=70°， ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=10°. 若AD=DE,则∠AED=∠DAC, ∴.∠ADE=180°-2∠DAC=40°， ∴.LEDC=∠ADC-∠ADE=40° AD,则∠ADE=∠AED=)I80°-∠DAC)=2×180°-701 ∴.∠EDC=∠ADC-∠ADE=25°. 即∠EDC的度数为10°或40°或25°； (3)解：若△ABD为等腰三角形，则只能AD=BD, ∴.∠B=∠BAD=50° 若△ACD为等腰三角形，则只能AD=CD或AC=DC, uB-C=4C4D=1-,BD-(9)减B=c-180BaD-(9) 3 3 3 ☑B的度数为50成<10)或 3 80) 21.(23-24七年级下.上海奉贤，期末)已知在△AOB中，OA=OB,∠A0B=120°，点C是平面内一点， 连接AC、BC、OC,OA=OC. B B 图1 备用图 备用图 (1)如图1，点O在△ABC的内部、 ①当∠AC0=20°，求∠OBC的度数： ②当CO平分∠ACB,判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果直线BC与直线AO相交于点D,如果△COD是以DO为腰的等腰三角形，求∠OCB的度数（直接 写出答案) 【答案】(1)①∠OBC=40°；②△ABC为等边三角形，见解析 (2)∠0CB的度数为20°或40°. 【详解】(1)解：①在△OAC中，OA=OC,∠AC0=20°， 20/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∴∠CAO=∠ACO=20°， ∴.∠A0C=180°-（∠CA0+∠ACO)=140°， 又.：∠AOB=120°， ∴.∠BOC=360°-（∠AOC+∠AOB)=100°， .OA=OB,OA=OC, ∴0B=0C, 在△BOC中，OB=OC,∠BOC=100°， ÷.∠0BC=∠0CB=1180°-∠B0C)=40°， ②△ABC为等边三角形，理由如下： 如图1所示： :C0O平分∠ACB, 图1 ∴.设∠OCA=∠OCB=ax,则∠ACB=2x, 在△OAC中，OA=OC, ∴.∠OAC=∠OCA=ax, 在△OBC中，OB=OC, ∠OBC=∠OCB=a, 在△OAB中，OA=OB,∠A0B=120°， <0a1=∠01B=5a80-ZA0B)=30, ∠CAB=∠OAB+∠OAC=30°+a,∠CBA=∠OBA+∠OBC=30°+x, 在△ABC中，∠ACB+∠CAB+∠CBA=180°， ∴.2a+30°++30°+a=180°， ∴.x=30° ∴.∠ACB=2a=60°，∠CAB=30°+=60°，∠CBA=30°+=60°， ∴△ABC为等边三角形； (2)解：∠OCB的度数为20°或40°，理由如下： 21/96 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :直线BC与直线AO相交于点D,且△COD是以DO为腰的等腰三角形， ∴.有以下两种情况： ①当直线BC与线段AO交于点D时，如图2①所示： O O A B 图1① 设∠OCB=B, :△COD是以DO为腰的等腰三角形，即DO=DC, .∠DOC=∠OCB=B, .∠A0B=120°， ∴.∠COB=∠DOC+∠AOB=B+120°， 在△OBC中，OB=OC, ∴.∠OBC=∠OCB=B, ,∠OCB+∠COB+∠OBC=180°， ∴.B+B+120°+B=180°， ∴.B=20°， 即∠OCB=B=20°， ②当直线BC与AO的延长线交于点D时，如图2②所示： A B 图2② 设∠OCB=0, .·∠AOB=120°， ∴.∠BOD=180°-∠AOB=60°， :△COD是以DO为腰的等腰三角形，即DO=DC, ∴.∠DOC=∠OCB=0, 22/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∴∠COB=∠DOC+∠BOD=0+60°， 在△OBC中，OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB=0, ,∠OBC+∠OCB+∠COB=180°， .0+0+0+60°=180°， .0=40°， ∴.∠OCB=0=40°， 综上所述：∠OCB的度数为20°或40°. 题型7等边三角形+全等综合（压轴）（共5小题） 22.(24-25七年级下.上海凇江·期末)已知：在△ACD中，P是CD的中点，B是边AD延长线上的一 点，BD=AC,连接BC、AP. D D (1) (2) (1)如图(1)，如果AP⊥CD,证明：BD=AD. (2)如图(2)，过点D作DEWAC,交AP的延长线于点E,连接BE,如果∠CAD=60°，证明： BC=2AP. 【详解】(1)证明：AP⊥CD,P是CD的中点， :AP是CD的垂直平分线， ..AC=AD, BD AC, ..BD=AD; (2)证明：：DE∥AC, ∴.∠CAP=∠DEP, .CP=DP,∠CPA=∠DPE, ∴.△CPA≌△DPE(AAS), AP=EP=AE,AC=DE, .BD=AC, 23/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ..BD=DE :DE∥AC, ∴∠BDE=∠CAD=60°， △BDE是等边三角形， .BD=BE,∠EBD=60°， BD =AC, ∴.AC=BE, :∠CAB=∠EBA=60°，AB=BA, ∴.△CAB≌△EBA(SAS), ..BC=AE, ∴.BC=2AP 23.(24-25七年级下·上海杨浦阶段检测)如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，点F是边AB上一 点，且AF=AC,点D是边AB上一点，连接CD,以CD为边作等边三角形CDE,使点E在CD上侧，连 接EF,EB 图1 图2 (1)直接写出CF与BF的数量关系 (2)求LDFE的度数. (3)过点E作EG⊥AB,交AB于点G,求证：2DG+EF=AB, 【详解】(1)解：CF=BF, 理由：∠ACB=90°，∠A=60°， ∴.∠B=30°， AF=AC, ∴.△ACF是等边三角形， ∴.∠AFC=60°， ∴∠FCB=∠AFC-∠B=30°， 24/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠B=∠BCF, ∴.CF=BF, 故答案为：CF=BF; (2)解：AF=AC,∠A=60°， .△ACF是等边三角形， AC=CF,∠AFC=∠ACF=60°， :△CDE是等边三角形， ∴.CD=CE,∠DCE=60, .∠ACD=∠FCE, ∴.△ACD≌△FCE(SAS), .∠CFE=∠A=60°， .∠DFE=∠AFC+∠CFE=120°； (3)证明：，△ACD≌△FCE, .AD=EF, .∠BFE=180°-∠DFE=60°=∠CFE, CF=BF=AF三)AB,EF=EF ∴.△BFE≌△CFE(SAS), ∴CE=BE, ∴.BE=ED, GE⊥DB, ∴.BD=2DG, ∴.2DG+EF=2DG+AD=AB, 即2DG+EF=AB. 24.(24-25七年级下·上海金山·期末)某数学学习小组成员康康、小海、欢欢和乐乐等同学继续对课本 18.3等边三角形开展了深入探究. 问题回顾：课本中有例题，证明：有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.如图1.已知：在 △ABC中，AB=AC,需要对三个内角分别等于60°的各种情况进行讨论，其中∠B=60和∠C=60°是类 似的，故只要分两种情况讨论. 25/96 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①当∠B=60时，那么可以证明△ABC是等边三角形； ②当LA=60时，那么可以证明△ABC是等边三角形. 图1 图2 备用图 (1)请写出情况①的证明过程； 问题探究： 于是，康康提出了一个问题：我们将上题中的条件“有一个内角等于60°”替换为“底边上的高和腰上的高对 应相等”，如图2.即：已知：在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为点D、E,且 AD=BE,求证：△ABC是等边三角形. (2)请写出证明过程； 问题拓展： 由此启发，该小组猜想：在等腰三角形中，如果以“一边（底边或腰）上的高”一边（底边或腰）上的中线”或“一 角（顶角或底角）的角平分线”中的两个条件，加以组合（也就是形成一组须同时满足的关系），使它们对应相 等，是否还能新构成一个能判定一个等腰三角形是等边三角形的条件？ 基于此，小组成员小海、欢欢、乐乐进行了探索，并分别提供了自己的已知、求证和图形. 小海 欢欢 乐乐 己知：在△ABC中， 已知：在△ABC中， 已知：在△ABC中， AB=AC,中线AD=中线 AB=AC,角平分线AD= AB=AC,角平分线BE= BE,求证：△ABC是等边 高BE,求证：△ABC是等 角平分线CF.求证： 三角形. 边三角形. △ABC是等边三角形， B (3)你认为 (填小海、欢欢、乐乐其中一个的探究是正确的，并写出该证明过程 【详解】(1)证明：在△ABC中，AB=AC 26/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠B=∠C LB=60° ∴∠C=60° .∠A=180-∠B-∠C=60° ∠A=∠C ..AB=BC ..AB=AC=BC :△ABC是等边三角形； (2)证明：AD⊥BC,BE⊥AC ∠ADC=∠BEC=90°， 又~LBCE=∠ACD,AD=BE, :△BCE≌△ACD(AAS) ..AC=BC .AB=AC ..AB=AC=BC “△ABC是等边三角形； (3)欢欢的探究是正确的，证明如下， AB=AC,AD是∠BAC的角平分线， AD⊥BC ~BE是AC边上的高， .∠ADC=∠BEC=90 又，∠BCE=∠ACD,AD=BE, △BCE≌△ACD(AAS) ..AC=BC .AB=AC ..AB=AC=BC △ABC是等边三角形； 小海：已知中线AD=BE,∠BCE=∠ACD,不能证明△BCE≌△ACD,则不能得出AC=BC,故不正确； 27/96 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 乐乐：角平分线BE=角平分线CF,不能证明△BCE≌△ACD,则不能得出AC=BC,故不正确； 故答案为：欢欢 25.己知△ABC,△COD均为等边三角形，点O是△ABC内的一点，且LAOB=110°.∠COB=a. (1)如图1，说明△BOC兰△ADC的理由； (2)如图2，当a=150时，试判断△AOD的形状，并说明理由； (3)填空：当△AOD为等腰三角形时，α的度数为·（请直接写出答案） 110 1109 50 图① 图② 【详解】解：(1)4ABC与△OCD为等边三角形， ∴BC=AC,OC=DC,∠ACB=∠OCD=60°， ∴.∠ACB-∠ACO=∠OCD-∠ACO, 即：∠OCB=∠DCA, 在△BOC与△ADC中， OC=DC ∠OCB=∠DCA, BC=AC .△BOC兰△ADC; (2)由(1)得：△BOC兰△ADC, .∠ADC=∠BOC=0=150°， ∠CDO=60°， ∠ADO=∠ADC-∠CDO=90°， ∴△AOD为直角三角形； (3)△4OD为等腰三角形，需要对其进行分类讨论， ①当AD=AO时，即：∠AOD=∠ADO, :△BOC兰△ADC, .∠ADC=∠BOC=, ∠CDO=60°， 28/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠ADO=∠AOD=-60°， ∠AOC=∠AOD+∠DOC=x-60°+60°=x, :∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°， ∴.110°+a+0=360°， =125°； ②当AD=DO时，即：∠OAD=∠AOD, :△BOC兰△ADC, .∠ADC=∠BOC=, ∠CD0=60°， .∠ADO=-60°， A∠A0D=20AD80°-∠AD0)=120° 5, ∠A0C=∠A0D+∠D0C=120°- 2x+60°=180°-1。 , ∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°， 110°+x+180°- 20=360°， 解得：x=140°； ③当AO=DO时，即：∠ADO=∠DAO, △BOC兰△ADC, .∠ADC=∠BOC=, ∠CD0=60°， .∠ADO=∠DAO=-60°， .∠AOD=180°-∠AD0-∠DA0=180°-2(x-60）=300°-2x, ∠A0C=∠AOD+∠D0C=300°-2ax+60°=360°-2x, :∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°， ∴.110°+x+360°-2ax=360°， 解得：=110° 故答案为：125°或140°或110°. 26.己知，△4BC、△AED均为等边三角形，点E是△ABC内的点 (1)如图①，说明BD=CE的理由： 29/96 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 图① (2)如图②，当点E在线段CD上时，求LCDB的度数； D 图② (3)当△DBE为等腰直角三角形时，∠ABD=】 度（直接写出答案）· 【详解】解：(1)~△4BC和△AED都是等边三角形（已知） ∴AC=AB,AE=AD,∠CAB=∠EAD=60°（等边三角形的性质）， ∠CAB-∠EAB=∠EAD-∠EAB(等式性质)，即∠CAE=∠BAD, 在△CAE和△BAD中， (AC=AB ∠CAE=∠BAD, AE=AD ·.△CAE=△BAD(SAS) :BD=CE(全等三角形对应边相等) (2)△4ED是等边三角形（己知）， ∠AED=∠ADE=60°（等边三角形的性质）， ·∠AEC+∠AED=180°（邻补角的意义） .∠AEC=120°（等式性质） 同理(1)得△CAE三△BAD(SAS) ·∠ADB=∠AEC=120°（全等三角形对应角相等） .∠CDB=∠ADB-∠ADE=60°（等式性质） (3)当△DBE为等腰直角三角形时，有三种情况： 30/96 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 I.当∠EDB=90°，DE=DB时，如图③-1： D 图③-1 LADE=60°， ∴.∠ADB=∠ADE+∠EDB=60°+90°=150°， 又AD=DE, ∴AD=BD, ∠DAB=L4BD=1180°-150°)： Ⅱ.当LBED=90°，BE=DB时，如图③-2： 图③-2 在△ABE和△ADB中： AE=AD AB=AB, EB-DB ∴.△ABE兰△ADB(SSS) ∴LABE=LABD, ÷∠ABD=1∠DBE=45°； 2 IⅢ.当∠EDB=90°，DE=DB时，如图③-3： 31/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C 图③-3 同I可得：∠ABE=15°， LEBD=45°， ∴LABD=30°. 综上所述：∠4BD=45°或30°或15° 故答案为45°或30°或15°. 题型8等腰三角形+全等+辅助线（压轴）（共10小题） 27.(25-26七年级下·上海·阶段检测)在△ABC中，AB=AC,在△ABC的外部作等边三角形△ACD,E 为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F,连接BD, D F 图1 图2 (1)如果∠BAC=100°，求∠BDF的度数： (2)连接AF，交BD于点P,如果△ABF是等腰三角形，求∠BPF的度数.（直接写出度数） (3)在图中画出∠ACB的平分线，交AB于点M,交EF于点N,连接BN,如果BN=DN,求证： MB=MN. 【详解】(1)解：~△ACD是等边三角形， .∠CAD=∠ADC=60°，AD=AC, E为AC的中点， 1 ∠ADE= 2 ∠ADC=30°， AB=AC, ∴AD=AB, ∴.∠ADB=∠ABD, 32/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BAC=100°， ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=160°， ∠ADB=∠ABD=180°-160 =10°， 2 ∠BDF=∠ADF-∠ADB=30°-10°=20°； (2)解：如图1， B F 图1 设∠ACB=∠ABC=a,则∠BAC=180°-2a, 由DF垂直平分AC得AF=CF, 则∠FAC=, ∠BAF=180°-3ax,∠AFB=2a, ~△ACD是等边三角形， AD=AC,∠CAD=60° AD=AB,∠BAD=180°-2+60°=240°-2ax ·∠ADB=∠ABD=x-30°， ∠BPF=∠ABP+∠BAP=150°-2x, ~△ABF是等腰三角形，分三种情况： 当AB=AF时，a=2,解得a=0,不成立； 当AB=BF时，180°-3a=2x,解得a=36°，此时∠BPF=150°-2×36°=78°； 当AF=BF时，180°-3x=a,解得u=45°，此时∠BPF=150°-2×45°=60°； (3)解：如图2，CM是∠ACB的平分线； D A B 图2 33/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 证明：连接AN, CM平分∠ACB, 设∠ACM=∠BCM=a, AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB=a+a=2a, ~△ACD是等边三角形，E为AC的中点， DN⊥AC, DN是AC的垂直平分线， ..NA=NC, .∠NAC=∠NCA=a, .∠DAN=60°+a, 在△ABN和△ADN中， AB=AD BN=DN AN=AN △ABN≌△ADN(SSS), .∠ABN=∠ADN=30°， ∴.∠BAN=∠DAN=60°+a, ∴.∠BAC=60°+2a, AB=AC, .∠ABC=ACB=2a, .在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°， .60°+2a+2a+2a=180°， 6a=120°， ∴a=20°， .∠ABC=2a=40°， .∠NBC=∠ABC-∠ABN=40°-30°=10°， ∴.∠NB=∠NBC+∠WCB=10°+20°=30°， ∠ABN=30°， ∠MNB=∠ABN, 34/96 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.MB=N. 28.(24-25七年级下·上海宝山·期末)己知△ABC,分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE,且 AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,连接DC与BE,G、F分别是DC与BE的中点， E B B 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠DAB=60°，则∠AFG= (2)如图2，若∠DAB=90°，则∠AFG=; (3)如图3，若∠DAB=,试探究LAFG与x的数量关系，并给予证明. 【详解】(1)解：连接AG, B 图1 ∠DAB=∠CAE, .∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC, ∴.∠DAC=∠BAE, 在△ADC和△ABE中， AD=AB ∠DAC=∠BAE, AC=AE △ADC≌△ABE(SAS), .DC=BE,∠ADC=∠ABE, ~G、F分别是DC与BE的中点， .DG=IDC,BF=-BE, 2 2 35/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :.DG=BF, 在△ADG和△ABF中， AD=AB ∠ADC=∠ABE, DG=BF △ADG≌△ABF(SAS), .AG=AF,∠DAG=∠BAF, ∴∠AGF=∠AFG,∠DAG-∠BAG=∠BAF-∠BAG, .∠DAB=∠GAF, ∠DAB=60°， ∴.∠GAF=60°， ,∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°， LAFG=60°， 故答案为：60°； (2)解：同(1)可证∠DAB=∠GAF,AG=AF, ∠DAB=90°， .∠GAF=90°， AG=AF, 4∠AFG=1180°-90)=450， 故答案为：45°； (3)解：同(1)可证∠DAB=∠GAF,AG=AF, ∠DAB=x, ∠GAF=x, AG=AF, 乙AFG三180°-gJ 29.（24-25七年级下·上海·阶段检测)如图1，等边△ABC与等边△ECD的顶点B,C,D三点在一条直线 上，连接AD,BE,两线相交于点F, 36/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图1 图2 (1)求∠BFD的度数； (2)如图2，连接FC, ①求证：FB是∠AFC的平分线； ②若AF=4,CF=2,求BF的长度 【详解】(1)解：：△ABC和△ECD都是等边三角形， ∴.BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=∠BAC=60°， ∴.∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE, :∠BCE=∠ACD. 在△BCE和△ACD中， BC=AC ∠BCE=∠ACD, CE=CD ∴.△BCE≌AACD(SAS), ∠ADC=∠BEC, :'∠AFB=∠EBC+∠ADC, ∴.∠AFB=∠EBC+∠BEC=∠DCE=60°， ,∠AFB+∠BFD=180°， ∴.∠BFD=120°； (2)①证明：过C作CG⊥BF于G,CH⊥AD于H, .∠BGC=∠AHC=90°， B .△BCE≌△ACD, .∠CAH=∠CBG, 37/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AC=BC, ·.△ACH≌ABCG(AAS), .'.CH=CG, .∠CFG=∠CFH=∠BFD, 由1)知∠AFB=60°，∠BFD=120°， ∴.∠BFC=60°=∠AFB, .FB是∠AFC的平分线： ②解：如图，在BF上截取FM=CF,连接CM, B 图2 因∠BFC=60°，则△CMF是等边三角形， ∴.∠FCM=60°，CM=CF, .'∠ACB=60°， ∴，∠ACF=∠BCM,(等量减等量，差相等) ∴.∠BCM=∠ACF, .'∠CBM=∠CAF,BC=AC, .∠BCM≌△ACF(ASA), .BM=AF, ∴.BF=BM+FM=AF+CF, AF=4,CF=2, ∴.BF=6. 30.(24-25七年级下.上海杨浦阶段检测)【问题背景】如图1，在探究手拉手全等模型时，小明发现了 MA平分∠EMD,他探究此问题的方法是“作MCI=60°"构造等边三角形解决问题. 38/96 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 【学以致用】 (1)如图2，等边三角形ABC中，D为边BC上一点，∠ABE=∠CAD,CF∥BE交AD延长线于点F, ①直接写出∠AEB的度数； ②若BE=10,AF=15,求AE的长 (2)课后小明对手拉手模型进行了进一步的探究； ①△ABD和△ACE都是等边三角形，位置如图所示，此时MA平分∠EMD的结论是否成立？（填 “成立”，“不成立”或“不能确定”)； ②求MB+MC+244的值. DM+EM 【答案】(1①120°；②5 (2)①成立；②1 【详解】(1)①：△ABC是等边三角形， ∴，AB=AC=BC,∠BAC=LACB=60°， ,·∠ABE=∠CAD, ∴.∠CAD+∠BAE=∠ABE+∠BAE=∠BAC=60°， ∴.∠AEB=120°， 故答案为：120°； ②如图，在AF上截取FH=FC,连接CH, ∠AEB=120°， H D 39/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴∠BED=60°， .BE CF, ∴.∠BED=∠F=60°， 又：FH=FC, ∴.△FCH是等边三角形， ∴.CF=CH=FH,∠FCH=∠FHC=60°， ∴.∠AHC=120°=∠AEB, 在△ABE和△CAH中， ∠ABE=∠CAD ∠AEB=∠AHC, AB=AC .∴△ABE兰△CAH(AAS),， .BE=AH=10,AE=CH, .FH=CH=AE=5; (2)①如图，过点A作AF⊥BE于F,AG⊥CD于G, D :△ABD,△ACE都是等边三角形， B ∴.AB=AD,AE=AC,∠DAB=∠EAC=60°， ∴.∠DAC=∠BAE, 在△ABE和△ADC中， AB=AD ∠BAE=∠DAC, AE=AC ∴.△ABE兰△ADC(SAS), .BE=CD,S.ACD=S.AB CD:AF-BEG 2 40/96 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AF =AG, 又：AF⊥BE,AG⊥CD, ∴.MA平分∠EMD, 故答案为：成立； ②如图，在EM上截取AM=M,在DM上截取MH=AM,连接AK,AH, D △ABE≌△ADC, .∠ADC=∠ABE, :∠ADC+∠BDC+∠ABD+∠DAB=180°，∠BDC+∠ABE+∠ABD+∠BMD=180°， ∠DMB=∠BAD=60°， .∠DME=120°， ∴，∠AMD=∠AME=60°， AM KM,MH AM, .∴△AKM和△AMH是等边三角形， AM=AK=M=AH=MH,∠MAK=∠EAC=60°，∠MAH=∠BAD=60°， .∠EAK=∠CAM,DAH=∠BAM, .△AEK≌△CAM(SAS),△DAH≌△BAM(SAS), ∴.EK=CM,DH=BM, MB+MC+2AM_MH+HM+EK+KM=DM+EM=1. DM+EM DM+EM DM+EM 31.(24-25七年级下.上海黄浦·期末)实践与探究 【提出问题】△ABC是等边三角形，点D在CB的延长线上，BE平分∠ABD,点M是BC边上一动点，连 接AM,并以AM为边作∠AMN=6O°，交射线BE于点N,连接AN,猜想△AMN的形状. 兴趣小组的三位同学根据已知条件画出图形并分别度量AM和MN的长度，结果如下： AM的长度(cm) MN的长度(cm) 小明 2.6 2.6 41/96 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 小丽 3.4 3.4 小亮 4.1 4.1 根据以上数据，猜想：△AMN是 三角形， 【解决问题】兴趣小组对上述猜想进行了证明，请你补全证明过程 E D B M 证明：如图，在CA边上截取CP=CM,连接PM, ∴.△APM≌△MBW △AMN是 三角形. 【详解】解：[提出问题] ~根据所测的数据得出AM=MM ∠AMN=60° △AMN是等边三角形； 故答案为：等边 [解决问题] 在CA边上截取CP=CM,连接PM, :△ABC是等边三角形， ∴∠C=∠ABC=60°，CB=CA, ∴.∠ABD=120° .CP =CM ..AC-CP=BC-CM ∴AP=BM. 42/96 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 'BE平分∠ABD E D B M ∴.∠WBM=120° ·.'∠C=60°，CP=CM ∴.∠CMP=∠CPM=60° .∠APM=180°-60°=120° ∴.∠APM=∠NBM :∠AMB=∠C+∠MAC=∠AMN+∠BMN ∴.∠BMN=∠PAM. 在△APM和△MBN中， ∠PAM=∠NMB AP=BM ∠APM=∠MBN .·.△APM≌△MBW .AM MN :.∠MAN=∠AMM .:∠AMN+∠ANM+NAM=180° .∠AMN=60°， ·.∠AMN=∠ANM=∠NAM=60° ∴.△AMN是等边三角形. 32.(24-25七年级下·上海闵行·期末)已知：如图1，点D是BC的中点，ABIICE,AD平分∠EAB,点F 在线段AE上，且AF=AB. 43/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F G D 图1 图2 (1)求证： EC=EF: (2)如图2，连接CA,交DF于点G,如果∠E=90°，CA=CB. ⅰ)当CE=2时，求四边形ABCE的面积； iⅱ)延长GD至点P,使PD=GD,连接AP,求P的度数. 【详解】(1)证明：延长AD,EC交于点L, E B ABICE, ∠1=∠L AD平分LEAB, ∠1=∠2， ∠2=∠L, ∴.EA=EL, 点D是BC的中点， ..CD=BD, ∠CDL=∠BDA, .△CDL≌△BDA(AAS) .DA=DL,CL=AB .AB=AF, .AF=CL, 44/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·△FAD≌△CLD(SAS), ..AF =CL, ..EL-CL=EA-FA, ..EC=EF (2)解：①过点C作QM⊥AB于点M,则∠CMB=90° M .CA=CB, ∴MA=MB, ×∠E=90°， ∴AE⊥CE, CE II AB,OM⊥AB ..AE=CM, CE ll AB, ∠E=90°， ∴.∠EAB=90°=∠CMB, EA∥CM, 同理可得：AM=CE=2, ..MB=AM=2, AF=AB=2+2=4, ,E℉=EC=2, .AE=2+4=6=CM, 格形ABC8= ec+Ax4E-2+406=18, ②连接PB,过点A作AN⊥PB交PB延长线于点N,则∠N=90° 45/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F G 6 D 8 5 19 ---NN AF=AB,∠FAD=∠BAD,AD=AD, △FAD≌△BAD(SAS), ∠6=∠5， CA=CB, ∠5=∠CAB, ∠6=∠5=∠CAB, ·DC=DB,∠CDG=∠BDP,DG=DP, △DGC≌△DPB(SAS), ∠3=∠4， ..AC PN, ∴.∠CAB=∠7，∠CAN=180°-∠N=90° ∠6=∠7， .∠EAB=90°， .∠8=∠9=90°-∠CAB, △AFG≌△ABN(ASA), .AG=AN,∠AGD=∠N=90°， AN⊥PN,AG⊥PG, AC PN, ∴.AN=PG, ..AG=PG, ∠GPA=∠GAP=45°. 33.(23-24七年级下·上海浦东新·期末)如图，△BAD和△CAE是等腰三角形且∠BAD=∠CAE=90°， 46/96 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AF⊥CB,垂足为F. C B F◇ D A (1)试说明∠ABF=∠ADC的理由 (2)猜想CF和CE的位置关系，并说明理由； (3)试说明：CD=2BF+DE 【详解】(1)证明：∠BAD=∠CAE=90, ∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°， ∠BAC=∠DAE, 在△BAC和△DAE中， AB=AD X∠BAC=∠DAE, AC=AE △BAC≌△DAE(SAS); ∴∠ABC=∠ADE, ·∠ABF=∠ADC; (2)解：LCAE=90°，AC=AE, LE=45, 由(1)知△BAC=△DAE, LBCA=∠E=45°， AF⊥BC, ∴∠CFA=90°， ∴.∠CAF=45°， ∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°； 又LE=45, ∠FAE+∠E=180°， AF∥CE, 47/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,AF⊥BC, ∴.CF⊥CE; (3)证明：延长BF到G,使得FG=FB, AF⊥BG, ∴∠AFG=∠AFB=90°， 在△AFB和△AFG中， BF=GF ∠AFB=∠AFG, AF=AF .△AFB≌△AFG(SAS), ∴AB=AG,∠ABF=∠G, △BAC≌△DAE, AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED, ∴AG=AD,∠ABF=∠CDA, ∴.∠CGA=∠CDA, ,∠GCA=∠DCA=45°， ∴在△CGA和△CDA中， ∠GCA=∠DCA ∠CGA=∠CDA, AG=AD △CGA≌△CDA(AAS), .CG=CD, .CG=CB+BE+FG=CB+2BF=DE+2BF, ∴CD=2BF+DE. B ◇ D E 48/96 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 34.在△ABC中，∠ACB=2LB,∠BAC的平分线AD交BC于点D. B D 图1 M 图2 (1)如图1，过点C作CF⊥AD于F,延长CF交AB于点E,连接DE, ①说明AE=AC的理由； ②说明BE=DE的理由； (2)如图2，过点B作直线BMLAD交AD延长线于M,交AC延长线于点N.说明CD=CN的理由， 【详解】(1)解：①AD平分LBAC, ∴LEAD=∠CAD, .CF⊥AD, ∴.LAFE=∠AFC=90°， 在△4EF和△ACF中， ∠EAD=∠CAD AD=AD ∠AFE=∠AFC ∴△AEF≌△ACF(ASA), AE=AC; ②由①可知，AE=AC, 在△AED和△ACD中， AE=AC ∠EAD=∠CAD, AD=AD ∴.△AED≌△ACD(SAS), ∴.∠AED=∠ACB, ∠ACB=2∠B, ∴∠AED=2∠B, 49/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又LAED=∠B+LEDB, ∴LB=LEDB, .BE=DE; (2)解：如图，连接DN, D M 图2 AD平分∠BAC, ∴LBAD=LCAD, .BM LAD, ∴.∠AMB=∠AN=90°， .AM=AM, ∴.△ABM兰△ANM, AB=AN, 在△ABD和△AND中， AB=AN ∠BAD=∠CAD, AD=AD ∴△ABD≌△AND(SAS), ∠ABD=∠AND, ,∠ACB=2∠ABC,即∠ACB=2∠ABD, ∴.∠ACB=2∠AND, 又，'∠ACB=∠CDN+∠AND, ∠CDN=∠AND, ..CD=CN. 35.如图，己知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D为边AC上的一点，点E为线段BD上一点. 50/96 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图(1)，若AE⊥BD,延长AE交BC于点F,BC边的高AG交BD于点H. A H E B G C 图(1) 为∠ABC的平分线，求证：A ②若BD为△ABC的中线，联结DF,求证：∠ADB=∠CDF. (2)如图(2)，若AE=AD,过点B作BM⊥AE,交AE延长线于点M,过点D作DQ⊥AM于Q,求 证：AB=BM十QD D E M 图(2) 【详解】(1)解：AB=AC,∠BAC=90°，AG是BC边上的高， AG=BG=CG=2BC，∠BGH=∠AGF=90, .∠GBH+∠BHG=90°， ,AE⊥BD,∴∠AEB=90°， .∠GAF+∠AHE=90°， :∠BHG=∠AHE, .∠GBH=∠GAF, ∠GAF=∠GBH 在△AGF和△BGH中， ∠AGF=∠BGH AG=BG ·.△AGF≌△BGH(AAS), :BH=AF, 51/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ~BE⊥AF,BE平分∠ABC, ∴∠BEA=∠BEF,∠ABE=∠FBE 在△ABE与△FBE中 ∠BEA=∠BEF BE=BE ∠ABE=∠FBE ·.△ABE≌△FBE(ASA) AE=EF=四 de-班 ②过点C作CN⊥AC交AF延长线于点N, D H E ∴.∠ACN=90°=∠BAD, AE⊥BD, ∠AEB=90°， .∠ABD+∠BAE=90°， .∠CAN+∠BAE=90°， ∠ABD=∠CAN, 「∠ABD=∠CAN 在△BAD和△ACN中， BA=AC ∠BAD=∠ACN .△BAD≌△ACN(ASA), ∠ADB=∠N,AD=CN, BD是△ABC中线， ∴AD=CD, 52/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.CD=CN, AB=AC,∠BAC=90°， ∴∠DCF=45 ∠ACN=90 .∠NCF=∠ACN-∠DCF=45 ∴.∠DCF=∠NCF, CD=CN 在△CDF和ACNF中， DCF=∠NCF CF =CF ·△CDF≌△CNF(SAS), ∴∠CDF=∠N .∠ADB=∠CDF (2)解：过点E作EP⊥AB于点P, A D 4 E M ∠APE=∠BPE=90°， DO⊥AM, .∠DQA=90° .∠DQA=∠APE=90°，∠2+∠3=90°， A+∠2=∠BAC=90°，∠1=∠3， I∠APE=∠DQA 在△APE和aDQH中， ∠1=∠3 AE=DA △APE≌△DOA(AAS), ∴4P=DQ,∠4=∠2， ∠4+∠AED+∠BEP=180°，∠2+∠AED+∠ADE=180°， ∴.∠BEP=∠ADE, 53/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AE=AD, ∠AED=∠ADE, ∴∠BEP=∠AED, ,'∠BE☑M=∠AED, ∴.∠BEP=∠BEM, ,BM⊥AM, ∴∠BME=90° ∴.∠BME=∠BPE, ∠BPE=∠BME 在△BPE和△BME中， ∠BEP=∠BEM BE=BE .△BPE≌△BME(AAS), ..BP=BM, AB=BP+AP, ∴AB=BM+QD. 36.如图1，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，且满足LADE=60°，DE交等边三角形外角平分线CE 所在直线于点E,试探究AD与DE的数量关系. B D 图1 图2 备用图 (1)小明发现，当点D是边BC的中点时，过点D作DF∥AC,交AB于点F,通过构造全等三角形，能 够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系： ； (2)如图2，当点D是线段BC上（除B、C外）任意一点时（其它条件不变），试猜想AD与DE之间的 数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC(其它条件不变)时，请画出图形，并直接写出 △ABC与△BDE的面积之比. 【详解】解：(1)△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC=BC,∠B=∠ACB=60°， 54/96 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :等边三角形外角平分线CE, ∴.∠ACE=60°， :点D是边BC的中点，DF∥AC, .△DBF是等边三角形，BD=DC,AD⊥BC, ∴.BF=BD=DC=DF=AF,∠BFD=60°， ∴.∠AFD=∠DCE=120°，∠FDA=30°， .∠ADE=60°，∠ADC=90°， .∠EDC=30°， ∴.∠EDC=∠FDA, ∴.△ADF兰△DEC, ∴.AD=DE, 故答案为AD=DE; (2)AD=DE,理由如下： 过点D作DF∥AC,交AB于点F,如图所示： D :△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC=BC,∠B=∠ACB=60°， ∴△BDF是等边三角形， .∠BFD=60°，BF=BD, ∴.AF=DC,∠AFD=120°， 等边三角形外角平分线CE, ∴.∠ACE=60°， ∴.∠DCE=120°， ∴.∠DCE=∠AFD, :∠ADE=60°， ∴.∠CDE+∠ABD=120°， 55/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·.'∠FAD+∠ABD=120°， ∴.∠FAD=LCDE, .∴.△ADF≌△DEC(ASA), ..AD=DE; (3)△ABC与△BDE的面积之比为1：4，由题意可作图： C △ABC是等边三角形， ∴.AB=AC=BC,∠B=∠ACB=∠BAC=60°， CD=BC, ∴.AC=CD=AB ∴.∠CAD=∠ADC=30°， .∠ADE=60°， ∴.∠BAD=∠CDE=90°， :CE平分LACD, ∴.∠ECD=∠DBA=60°， ∴.△BAD兰△CDE, .S.BAD =SCDE S.BAD=28.AC S.BD=28.CDE .S.BDE =4S.ABC ∴.△ABC与△BDE的面积之比为1：4 题型9旋转、折叠+等腰几何综合（压轴）（共6小题） 37.如图1，己知LABC=90,△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重 合)，连结AP,将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ,连结QE并延长交射线BC于点F. (1)如图1，当BP=BA时，∠EBF=°，猜想∠QFC= o; (2)如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并说明理由： 56/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B C E B 图1 图2 【详解】证明：(1)LABC=90°，△ABE是等边三角形， ∴.LABE=60°， ∴.∠EBF=30°； 猜想：∠QFC=60°； 理由如下：如图， B C 图1 :∠BAP=∠BAE-∠EAP=60°-∠EAP,∠EAQ=∠QAP-∠EAP=60°-∠EAP, .∠BAP=∠EAQ, AB=AE,AP=AQ, △ABP≌△AEQ(SAS), .∠AEQ=∠ABP=90°， .∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°， ·∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°： 故答案为：30；60； (2)结论：∠QFC=60°， 如图： E B F 图2 ∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP,∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP 57/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴∠BAP=∠EAQ 在△ABP和△AEQ中，AB=AE,∠BAP=∠EAO,AP=AQ △ABP≌△AEQ(SAS) .∠AEQ=∠ABP=90°. ∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30° .∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°； 38.(24-25七年级下·上海长宁，期末)根据三角形全等知识易证：△ABC中，①若AB=AC,则 ∠B=∠C；②若∠B=∠C,则AB=AC,有时恰当使用上述结论，可使解题过程更简化.数学实验课 上，小颖、小亮位同学每人拿的一张画有“形状、大小完全相同的△ABC”的纸张，AD是△ABC的中线，他 们进行如下操作： D D 图1 图2 (1)如图1，小颖测量发现AD⊥BC,那么边AB、AC有何数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，小亮在AD上取一点E,将△ABE沿BE翻折后发现，点A的对应点F恰好在线段CE上，且BF 平分∠ABC,求∠BAC= 【详解】(1)解：AB=AC,理由如下， AD是△ABC的中线， ..BD =CD, AD⊥BC, .∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ADB和Rt△ADC中， AD=AD ∠ADB=∠ADC=90°， DB=DC △ADB≌△ADC(SAS), ..AB=AC; (2)解：根据(1)的证明得到△ADB≌△ADC(SAS), 58/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴∠ABC=∠ACB,∠BAD=∠CAD,AB=AC, ∴∠BAC=2∠BAD 同理，EB=EC,∠EBC=∠ECB, …折叠， .∠ABE=∠FBE,∠BAE=∠BFE, 设∠ABE=∠FBE=x,则∠ABF=2x, BF平分∠ABC, ∠ABF=∠CBF=2x, ,∠EBC=∠FBE+∠CBF=3x=∠ECB, ∠EFB=∠ECB+∠CBF=3x+2x=5x=∠BAE, 在Rt△ABD中，∠ABD+∠BAD=90°， 4x+5x=90°， 解得，x=10°， .∠BAD=5x=50°， ∠BAC=100°， 故答案为：100°. 39.(24-25七年级下·上海长宁·期末)己知：在等腰△ABC中，AB=AC,AB>BC,把△ABC绕点C逆 时针旋转得到△DEC,其中点D,E分别是点A,B的对应点， 74 (图1) (图2) (图3) (1)如图1，若∠A=40°，CB平分∠ACD,求∠ACE的度数； (2)在△ABC旋转过程中，若直线BC,DE相交于点F, ①如图2，当点D,E在直线BC右侧时，若∠CFE=45°，求LACE的度数； ②设∠CFE=x(ax≠O),请直接用含x的式子表示LACE; (3)如图3，当∠BAD=∠BCD=12°时，在线段AD上取一点M,连接BM,使得△BAM≌△DCB,请求出 59/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠CDB的度数. 【详】(1)解：：AB=AC,∠A=40°， ∠4CB=∠ABC=180,40°=70， 2 :把△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC, ∴.∠ECD=∠ACB=70°， .CB平分∠ACD, .·.∠DCB=∠ACB=70°， ∴.∠ACE=360°-∠ACB-∠DCB-∠ECD=360°-70°-70°-70°=150°， ∴.∠ACE的度数是150°； (2)解：①设∠FCE=x°， .∠CFE=45, .∠CED=45°+x°， 把△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC, ∴.∠ABC=∠CED=45°+x°， AB=AC, ∴.∠ACB=∠ABC=45°+x°， .·.∠ACF=180°-∠ACB=135°-x°， ∴.∠ACE=∠ACF+∠FCE=(135°-x)+x°=135°， ②设∠FCE=B, .∠CFE=, .∠CED=x+B, :把△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC, ∠ABC=∠CED=x+B, .AB=AC, ∴∠ACB=∠ABC=x+B, ∴∠ACF=180°-∠ACB=180°-x-B, ∴.∠ACE=∠ACF+∠FCE=(180°-ax-B)+B=180°-a; 即∠ACE=180°-x; 60/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)解：△BAM≌△DCB, .BM=DB,∠ABM=∠BDC, ∴.∠BMD=∠BDM, ·.'∠BMD=∠BAD+∠MBA, .∠ADB=∠BCD+∠BDC, 设∠CDB=y°， .∠DAB=12°=∠BCD, ∴.∠ADB=∠BCD+∠BDC=12°+y°， ∴.∠ADC=∠ADB+∠CDB=12°+2y°， .CA=CD, ∠CAD=∠CDA=12°+2y°， ∴∠ACD=180°-∠CAD-∠CDA=180°-(12°+2y)-(12°+2y）)=156°-4y°， :∠CAD=12°+2y°，∠BAD=12°， ∴.∠CAB=∠CAD-∠BAD=2y°， AB=AC, ∠ACB=∠ABC=1809,2y°=90-y°， 2 :∠ACD=∠ACB+∠BCD, ∴.156°-4y°=90°-y°+12°， 解得y=18, .∠CDB=18°. 40.如图1，△ABC中，AB=AC,点O是△ABC内一点，且OA=OB=OC. A 9 C (1)试说明：∠BAC=2∠ABO. (2)如图2，延长BO交边AC于点D,当△BCD满足BC=BD时： 61/96 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B ①求BCD的大小. ②将△ABD沿BD翻折到△EBD,边BE交AC于点F,若AB=AC=5,CF=m,请用含m的代数式表 示AD的长，（直接写出结果，不用写说明理由） 【详解】(1)解：AB=AC,OA=OB=OC, :△AOB≌△AOC(SSS), .∠BAO=∠CAO=∠ABO, .∠BAC=2∠ABO. (2)解：①设LBA0=a,则∠BAC=2a, ∠ABC=∠ACB=90°-， .∠CBD=90°--x=90°-2ax, .BC=BD, ∠BDC=∠ACB=90°-x, 在△BCD中， 2(90°-)+90°-2x=180°，得u=22.5°， ∠BCD=67.5°. ②翻折， ∴.∠EBO=∠ABO=22.5°， ∴.∠ABE=∠BAC=45°， 62/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BFA=90°，BF=AF, AB=AC=5,CF=m, ..AF BF =5-m, 过D作DH⊥AB, d D :.DH=DF, 在Rt△4DH中，AD=V2DH, ..AD+DF=5-m, AD+2 2 AD=5-m, AD=(2-√2)(5-m)=10-5V5-2m+V2m. 41.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D. A B D B C B C (备用图1) (备用图2) (1)试说明点D为BC的中点； (2)如果∠BAC=60°，将线段AD绕着点D顺时针旋转60°后，点A落在点E处，联结CE、AE,试说明 CE//AB (3)如果∠BAC的度数为n,将线段AD绕着点D顺时针旋转（旋转角小于180），点A落在点F处， 联结线段FC,FCI∥AB,求直线DF与直线BC的夹角的度数（用含n的代数式表示）· 【详解】(1)解：~AB=AC, ∴△4BC是等腰三角形 63/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AD⊥BC(已知)， 点D为BC的中点. (等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合) (2)解： 夕 D ~AB=AC,∠BAC=60°（已知）， “△ABC是等边三角形 (有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形)， :∠B=∠ACB=60°（等边三角形的三内角等于60）. AD⊥BC(已知)， ∠CAD= -∠BAC (等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线互相重合)， ∴LCAD=30°（等式性质）. ~AD=DE,∠ADE=60°（旋转的意义）， :△ADE是等边三角形 (有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形)， ∴AD=AE(等边三角形的三边相等)， ∠DAE=60°（等边三角形的三内角等于60°）. ∠DAE-∠CAD=30°（等式性质）， 即∠CAE=30°， ∠CAD=∠CAE(等量代换). 在△ACD与△ACE中， 「AC=AC ∠CAD=∠CAE AD=AE 64/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.△ACD≌△ACE(SAS). “∠ACD=∠ACE(全等三角形的对应边相等)， :∠ACE=60°（等量代换）， ∴∠ACD+∠ACE=120°（等式性质）， 即∠DCE=120°， ∴∠B+∠DCE=180°（等式性质）， ∴.CE/1AB(同旁内角互补，两直线平行)· (3)解：AB=AC(已知)， ·∠ABC=∠ACB(等边对等角)， ,∠BAC=n(已知)， ∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（三角形的内角和等于180）， .∠ABC+∠ACB=180°-n(等式性质)， ∠18C=∠4CB=90-n(等式性质). AD⊥BC(已知)， “BD=CD(等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合)， ∠BAD=∠BAC(等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线互相重合)· 当∠BAC的度数为n,n有三种可能情况：n<90°，n>90°，n=90°. (i)当n<90°时： 延长AB、FD交于点G ~FC/IAB(已知)， .∠CBG=∠BCF(两直线平行，内错角相等)， ∠ABC+∠BCF=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∠BCF=90°+一n(等式性质)， .∠CBG=90°+二n(等量代换). 在△BDG与△CDF中， ∠DBG=∠DCF BD-CD ∠BDG=∠CDF 65/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.△BDG≌△CDF(ASA), DG=DF(全等三角形的对应边相等)， ∠G=∠F(全等三角形的对应角相等)， AD=DF(旋转的意义)， :DG=AD(等量代换)， ·∠BAD=∠G(等边对等角)， 1 2G=2”（等量代换)： .∠BAC=∠G+∠BDG (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)， ∠BDG=90°-n-n(等式性质)， 2 ,∠BDG=90°-n(等式性质). ~∠CDF=∠BDG(对顶角相等)， ∴∠CDF=90°-n(等量代换)， ∴直线DF与直线BC的夹角的度数是90°-n. A B D G (i)当n>90时： 延长FD交AB于点G. :FC/1AB(已知)， ∠CBG=∠BCF(两直线平行，内错角相等)· 在△BDG与△CDF中， 「∠DBG=∠DCF BD-CD ∠BDG=∠CDF 66/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.△BDG≌△CDF(ASA), DG=DF(全等三角形的对应边相等)， ∠B=∠DCF(全等三角形的对应角相等). AD=DF(旋转的意义)， :DG=AD(等量代换)， :∠DAG=∠AGD(等边对等角)， ∠AGD= ”(等量代换). '∠AGD=∠B+∠BDG (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)， ∠BDG=n-90°+n(等式性质)， ,∠BDG=n-90°（等式性质）. ~∠CDF=∠BDG(对顶角相等)， ∴∠CDF=90°-n(等量代换)， ∴直线DF与直线BC的夹角的度数是n-90° G (i)当n=90°时： n=90°（己知）， LACD=45°，∠DAC=45°（等式性质）， ∠ACD=∠DAC(等量代换)， :AD=CD(等边对等角)， AD=DF(旋转的意义)， “CD=DF(等量代换)， ∠CDF=90°， ∴.∠ADF=180° 67/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴不符合题意，舍去 D 综合上述，直线DF与直线BC的夹角的度数是90°-n或n-90°. 42.(24-25七年级下·上海松江·期末)如图1，在△ABC中，点D是BC边的中点，将△ABD沿直线AD翻 折，点B落在点E处（点E在直线BC上方），连接CE. D 图1 图2 备用图 (1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形： (2)求证：CE∥AD; (3)如图2，过点C作AB的平行线，交AE的延长线于点F.求证：FE=FC; (4)连接DF,当AD=DF时，如果△ABD是等腰三角形，那么B的度数为 【详解】(1)解：△CDE. ~点D是BC的中点， ..BD=CD 根据折叠的性质得BD=DE, ..CD=DE, ACDE是等腰三角形. 故答案为：△CDE; (2)证明：根据折叠的性质得∠ADB=∠ADE, CD=DE, 68/96 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠CED=∠DCE. '∠ADB+∠ADE+∠CDE=∠DCE+∠CED+∠CDE=18O°， ∠CED=∠ADE, AD∥CE; (3)证明：~CE∥AD, ·∠CAD=∠ACE,∠DAE=∠CEF, AB∥CF, ∠BAC=∠ACF, 即∠BAD+∠CAD=∠ACE+∠ECF, ∠BAD=∠ECF. 根据折叠的性质得LBAD=LDAE, ·∠CEF=∠ECF, ..EF CF; (4)解：如图，连接DF,交CE于点G, B 由DE=CD,EF=CF，根据等腰三角形的对称性可知DG,FG是△CDE,△CEF的高线， ∠EGF=90°. AD∥EC, .∠ADF=∠EGF=90°. AD DF, ∠DAF=∠AFD=45°. 当AB=AD时，∠B=∠ADB, .∠BAD=180°-2∠B=∠DAF=45°， 解得∠B=67.5°； 当AB=BD时，∠BAD=∠ADB, .∠BAD=∠DAF=∠ADB=45°， ∠B=90°； 69/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当BD=AD时，∠B=∠DAB, ∴∠B=∠BAD=∠DAF=45°， 此时∠ADB=180°-∠ABD-∠BAD=90°， 又∠ADF=90°，BD=CD,AD=DF, ∠BDF=∠ADB+∠ADF=180°，DF=DC, ∴点C、E、F重叠， ~点E在直线BC上方， ∠B=45°时，不符合题意. 综上所述，B的度数为67.5°或90°. 故答案为：67.5°或90°. 题型10等腰三角形动点分类讨论（最难压轴）（共6小题） 43.(24-25七年级下·上海静安·期末)如图，已知△ABC是等边三角形，BC=2cm,点P从点A出发， 沿射线AB以1cm/s的速度运动，过点P作PE∥BC交射线AC于点E,同时点Q从点C出发沿BC的延 长线以lcm/s的速度运动，连接BE、EQ,设点P的运动时间为t(s), OD (1)当点P在边AB上，且不与点A、B重合时，求证：△BPE≌△ECQ; (2)直接写出CE的长（用含t的代数式表示）； (3)在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的 等腰三角形的个数.（请写出所有的可能性） 【详解】(1)证明：△ABC是等边三角形， ∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC, .∠EC9=180°-60°=120°， PE‖BC, ∴∠APE=∠ABC=60°，∠AEP=∠ACB=60°， ∴△APE是等边三角形，∠BPE=180°-60°=120°， ..AP=AE PE, 70/96 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴PB=AB-AP=AC-AE=EC, 根据点的运动过程可知，AP=CQ, .PE=CO, 在△BPE和△ECQ中， BP=EC ∠BPE=∠ECO, PE=CO .△BPE≌△ECQ (2)解：根据题意可知，点P从点A到点B所需时间为t=2=2S), 当0<t<2时，CE=2-t, 当t>2时，CE=t-2, 答：当0<t<2时，CE的长为2-t;当t>2时，CE的长为t-2. (3)解：当t=1时，如图3-1，有5个等腰三角形：△APE、△ABC、△BPE、△ECQ、△BEQ, 当t=4时，如图3-2，有4个等腰三角形：△APE、△ABC、△BCE、△BEQ, 答：当t=1时，等腰三角形有5个；当t=4时，等腰三角形有4个. 图3-1 图3-2 44.如图，△ABD和△CBD都是边长为6cm的等边三角形，点E是边DA上的动点，点F是边DC上的动 点. D A B (1)如果点E从点D出发，以lcm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点C出发，以1cm/s的速度沿 边CD向点D方向运动.当点E到达点A时，两动点均停止运动.试判断运动过程中∠EBF的大小是否会 发生变化？如果不变，请求出其大小？如果改变，请说明理由. 71/96 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点D出发，以2cm/s的速度沿 边DC向点C方向运动，到达点C后立即以原速度沿原路返回.当点E到达点A时，两动点均停止运 动，问当点E运动多少秒时∠EBF=60°？ 【答案】(1)60° (2)当点E运动2秒或6秒时，∠EBF=60° 【详解】(1)解：运动过程中∠EBF的大小不会发生变化，为定值60°，理由如下： 由题意可得，BD=BC=AD=CD=6,∠BDA=LC=∠CBD=60°，DE=DF, 在△BDE和△BCF中， BD=BC ∠BDE=∠C, DE-DF ∴△BDE=△BCF(SAS), ∠DBE=∠CBF, ∴.LEBF=∠DBE+∠DBF=∠DBF+∠CBE=∠CBD=6O°； (2)解：当LEBF=60时，∠EBF=∠CBD=60°， ∴.LDBE+∠DBF=∠DBF+∠CBE, ∴LDBE=LCBF, 在△BDE和△BCF中， ∠BDE=∠C BD=BC ∠DBE=∠CBF ∴.△BDE兰△BCF(ASA), DE=CF, 设点E的运动时间为t秒，则DE=t,DF=2t,CF=6-2t, 当0s3时，6-2t,解得仁2， 当3<s6时，仁26，解得t=6, 综上，当点E运动2秒或6秒时，∠EBF=60°. 35.在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为△ABC外一点，且∠MDN=60°， ∠BDC=I20°，BD=DC,探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系 及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系， 72/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A A M M B D 图1 图2 (1)如图1，△ABC是周长为9的等边三角形，则△AMN的周长Q=_; (2)如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时 0- (3)点M、N在边AB、AC,且当DM≠DN时，猜想(2)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证 明. 【详解】(1)解：如图1，延长AC至E,使CE=BM,连接DE, M ,BD=CD,且∠BDC=120°， C D E 图1 ∴.∠DBC=∠DCB=30°， 又：△ABC是等边三角形， ∴.∠MBD=∠NCD=90°， 在△MBD与△ECD中， BM=CE ∠MBD=∠ECD, BD=CD ∴.△MBD≌△ECD(SAS). '.DM=DE,∠BDM=∠CDE, .∠EDN=∠BDC-∠MDN=6O°， 在△MDN与△EDN中， 73/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DM=DE ∠MDN=∠EDN, DN=DN .AMDN≌AEDN(SAS), ..MIN NE NC+BM, :△AMN的周Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NC+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC=2AB, 等边△ABC的周长L=3AB=9, AB=3, 0=6, 故答案为：6； (2)解：如图，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN,此时-？， M ,BD=CD,且∠BDC=120°， B 0 图1 ∴.∠DBC=∠DCB=30°， 又，△ABC是等边三角形， ∴.∠MBD=∠NCD=90°， 在AMBD与△ECD中， BM=CE ∠MBD=∠ECD, BD=CD .△MBD≌△ECD(SAS), ∴.DM=DE,∠BDM=∠CDE, .∴.∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°， 在△MDN与△EDN中， 74/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DM=DE ∠MDN=∠EDN, DN=DN .AMDN≌AEDN(SAS), ..MIN NE NC+BM, :△AMN的周Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NC+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC=2AB, 等边△ABC的周长L=3AB, L3’ 故答案为：BM+NC=MN, 2 (3)解：猜想：(2)中的结论仍然成立， 证明：如图2，延长AC至E,使CE=BM,连接DE, M ,BD=CD,且∠BDC=120°， B D E 图2 ∴∠DBC=∠DCB=30°， 又：△ABC是等边三角形， ∴.∠MBD=∠NCD=90°， 在△MBD与△ECD中， BM=CE ∠MBD=∠ECD, BD=CD .△MBD≌△ECD(SAS). .DM=DE,∠BDM=∠CDE. ∴.∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°. 在△MDN与△EDN中， 75/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DM=DE ∠MDN=∠EDN, DN=DN .AMDN≌AEDN(SAS), .MIN NE NC+BM, :△AMN的周长 Q=AM+AN+MIN=AM+AN+(NC+BM)=(AM+BM)+(AN +NC)=AB+AC=2AB, 等边△ABC的周长L=3AB, 9_2 46.在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,P为△ABC外一点，且 ∠MPN=60°，∠BPC=120°，BP=CP,探究：当点M、N分别在直线AB、AC移动时， BM、NC、MN之间的数量关系. M P M P 图① 图② 图③ (1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM=PW时，试说明MN=BM+CN. (2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN=BM+CN还成立吗？ 答：， (请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或”一定不成立”). (3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM、NC、MN之间的数量关系， 【详解】(1)证明：：△ABC为等边三角形， .∠ABC=∠ACB=60°， :∠BPC=120°，BP=CP, ÷∠PBC=∠PCB=×180°-120)=30°， 2 ∴∠PBM=∠PCN=90°， 在Rt△PBM和Rt△PCN中， 76/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (PB=PC PM=PN' :.RtPBM≌Rt△PCN(HL), .∠BPM=∠CPN=30°， :∠MPN=60°，PM=PN, ∴△PMN为等边三角形， ∴.PM=PN=MN, 在Rt△PBM中，∠BPM=30°， G.BM=PM 同理可得，CN-PW, .BM+CN=MN (2)解：一定成立， 理由如下：如图，延长AC至H,使CH=BM,连接PH, M 由(1)可知：∠PBM=∠PCN=90°， .∠PCH=90°， .∴∠PBM=∠PCH, 在△PBM和△PCH中， BM=CH ∠PBM=∠PCH, PB=PC ∴△PBM≌△PCH(SAS), '.PM=PH,∠BPM=∠CPH, ∠BPM+∠CPN=60°， ∴.∠CPN+∠CPH=60°， 77/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠MPN=∠HPN, 在△MPN和△HPN中， PM=PH ∠MPN=∠HPN, PN=PN ∴.aMPN≌△HPN(SAS), ∴.MN=HN=BM+CN, 故答案为：一定成立； (3)解：如图，在AC上截取CK=BM,连接PK, N A B C M 在△PBM和△PCK中， (PB=PC ∠PBM=∠PCK=90°， BM=CK ∴.△PBM≌△PCK(SAS), .·.PM=PK,∠BPM=∠CPK, ∠BPM+∠BPN=60°， ∴.∠CPK+∠BPN=60°， .∠KPN=60°， ∴.∠MPN=∠KPN, 在△MPN和△KPN中， (PM=PK ∠MPN=∠KPN, PN=PN 78/96 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :.aMPN≌aKPN(SAS), ∴.MN=N, .KN=NC-CK=NC-BM ∴.MN=NC-BM, 47.(24-25七年级下.上海黄浦期末)(1)观察理解：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直 线I过点C,点A,B在直线1同侧，BD⊥1，AE⊥1，垂足分别为D,E,由此可得： ∠AEC=∠CDB=90°，所以∠CAE+LACE=90°，又因为∠ACB=90°，所以∠BCD+∠ACE=90°，所以 ∠CAE=∠BCD,又因为AC=BC,所以△AEC≌△CDB ；(请填写全等判定的方法) A A B h\ C 图1 图2 图3 (2)理解应用：如图2，AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD,且BC=CD,利用(1)中的结论，请按照图 中所标的数据计算图中△ABC的面积是 (3)拓展提升：如图3，等边△EBC中，EC=8cm,点O在BC上，且OC=5cm,动点P在射线EC 上，连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF. ①当OF∥ED时，OP的长是」 ②当点F恰好落在射线EB上时，请直接写出EP的长. 【答案】(1)AAS;(2)8;(3)①5cm;②11cm 【详解】(1)解：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线I过点C,点A,B在直线I同侧， BD⊥1，AE⊥1，垂足分别为D,E,由此可得：∠AEC=∠CDB=90°，所以∠CAE+∠ACE=90°，又因 为∠ACB=90°，所以∠BCD+∠ACE=90°，所以∠CAE=∠BCD,又因为AC=BC,所以 △AEC≌△CDB(AAS), 故答案为：AAS; (2)解：由(1)同理可证，△AEF≌△BAG(AAS),△CBG≌△DCH(AAS), .EF=AG,GC=DH, EF=5,DH=3, .AG=5,GC=3, 79/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ..AC=AG+GC=8, BG=2, 44BC的面积是)4C,BG=X2x8=8, 21 故答案为：8 (3)①如图，当OF∥ED时， 则∠FOC=∠PC0, 等边△EBC中，EC=8cm,且OC=5cm, ∠BEC=∠ECB=∠CBE=60°， ∴∠FOC=∠PC0=60°， ∠FOP=120°， .∠P0C=60°， .∠OPC=60°， .△POC是等边三角形， ∴.OP=OC=5cm, A E D 故答案为：5cm. ②如图所示，当点F恰好落在射线EB上时， 等边△EBC中，EC=8cm,且OC=5cm, ∠BEC=∠ECB=∠CBE=60°，BC=EC=8cm,BO=BC-OC=3cm, .∠FBO=∠OCP=120°， ∠FOP=120°， ∴.∠FOB+∠POC=60°， 又∠ECB=60°， ∠OPC+∠POC=60°， .∠FOB=∠OPC, 80/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B C P D 又F0=OP, ·△FOB≌AOPC(AAS), ..PC=OB=3cm, ..EP EC+PC =11cm 48.(1)观察理解：如图1，△4BC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线1过点C,点A,B在直线1同侧， BD⊥1，AE⊥1，垂足分别为D,E,由此可得：∠AEC=∠CDB=90°，所以∠CAE+∠ACE=90°，又因 为∠ACB=90°，所以∠BCD+∠ACE=90°，所以∠CAE=∠BCD,又因为AC=BC,所以 △AEC三△CDB();(请填写全等判定的方法) 夕 C D 图1 (2)理解应用：如图2，AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD,且BC=CD,利用(1)中的结论，请按照图 中所标的数据计算图中实线所围成的图形的面积S=； E D 6 4 ⊙ C H 图2 (3)类比探究：如图3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB', 连接B'C,则△4B'C的面积= 81/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图3 B (4)拓展提升：如图4，等边△EBC中，EC=BC=3cm,点O在BC上，且OC=2cm,动点P从点E沿 射线EC以1cm/s速度运动，连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF,设点P运动的时 间为t秒. ①当t= 秒时，OFIED; ②当t= 秒时，点F恰好落在射线EB上. A A A B B B O E P D E D E 图4 【答案】 (1)AAS (2)50 (3)8 (4)①1，②4 【详解】(1)在△AEC和△CDB中， 「∠AEC=∠CDB ∠CAE=∠BCD, AC=BC △AEC≌△CDB(AAS), 故答案为：AAS; (2)AE=AB,∠EAB=90°，BC=CD,∠BCD=90°， 由(1)得：△EFA兰△AGB,△BGC兰△CHD, 82/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ..AG=EF=6,AF=BG=3,CG=DH=4,CH=BG=3, 即FH=FA+AG+GC+CH=16, S=S格形8FHD-2S△Ar-2S△cD, 即8专4+6x16-2X6x3-284x3=80-8-12=50 (3)如图3，过B作BE⊥AC于E,即∠AEB'=90°， 图3 B 由旋转得：AB=AB, ∠BAB=90°， ∠EAB'+∠EAB=90°， 又：∠BCA=90°=∠B+∠EAB, ∠EAB=∠B, 结合∠AEB=90°=∠ACB,AB=AB, ∴.△AEB兰△BCA, ..AC=B'E =4, S,心=AC×BE=x4x4=8: 1 2 2 (4)①根据旋转的性质可知∠POF=120°， .OF∥ED, ∴.∠OPD+∠POF=180°， LOPD=60°， 在等边△BEC中，∠E=60°=∠BCE, ∴.△POC是等边三角形， ∴.OC=PC=2, 83/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EC=3, EP=EC-PC=3-2=1, e1÷1=1(s), 故答案为：1； ②如图， B E C D 在等边△BEC中，∠E=60°=∠BCE=LEBC, 根据旋转可知LPOF=120°，PO=FO, ∠F0B+LP0C=180°-120°=60°， :∠POC+∠CPO=LBCE=60°， ∴LCPO=LFOB, ∠FBO=180°-∠EBC=180°-∠BCE=∠OCP=120°， ∴.△BFO兰△COP, .PC=BO, 0C=2,BC=3, ∴B0=BC-0C=3-2=1, ∴PE=PC+BC=1+3=4, 此时仁4÷1=4(s), 故答案为：4， 题型11等腰三角形中反证法与新定义（新考向压轴）（共4小题） 49.(25-26七年级下.上海·期中)如图1，△ABC中，AB=AC,∠ABC=∠ACB,D、E分别在AC、 AB上(D、E不与A重合)、BD、CE交于点O. 84/96 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 图3 备用图 (1)若BD=CE,则BE与CD一定相等吗？若不一定，在图2中举出反例，并简单说明（不写作法，保留痕 迹) (2)如图3，若0D=OE,则BO与OC一定相等吗？试用反证法给出证明. (3)若△BCE中有两角相等，△COD中有两角相等，△BCD中有两角相等，直接写出∠ABC度数、∠BEC度 数和∠BDC度数之和. 【详解】(1)解：若BD=CE,则BE与CD不一定相等，如图： 当点E在AB上某个位置时，以B为圆心，CE为半径画弧与AC产生两个交点，这两个交点即为点D,此 时BE=CD,但BE≠CD, 故若BD=CE,则BE与CD不一定相等； (2)解：若0D=OE,则BO与OC一定相等， 证明：假设OB≠OC,这里不妨设OB>OC, ∠OCB>∠OBC, ∠ABC=∠ACB, .∠ABC-∠OBC>∠ACB-∠OCB, ∴.∠EBF>∠DCO, 在OB上截取OF=OC,连接EF, 85/96 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B OD=OE,∠EOF=∠DOC .△EOF≌△DOC(SAS) ∠EFO=∠DCO, ∠EBF>∠EFO, 与∠EFO>∠EBF(三角形的一个外角大于任何一个与之不相邻的内角)矛盾， 故假设不成立， ..0B=OC; 若假设OB<OC时，同理与三角形的外角性质矛盾， ..0B=OC (3)解：①当∠BEC=∠BCE,∠BDC=∠BCD,∠COD=∠CDO时， E D ∠ABC=∠ACB ∴.∠ABC=∠BDC=∠BCD=∠COD 设∠ABC=∠BDC=∠BCD=∠COD=y,∠OCD=x 则在△COD中，由三角形内角和定理可得x+2y=180° .∠BCE=∠ACB-∠OCD=y-x=∠BEC, 在△BEC中，由三角形内角和定理可得y+2(y-x)=180°， 〔180° x+2y=180° Γ7 D+20-y)=180,解得540， y= 7 86/96 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷∠ABC+∠BEC+∠BDC=540°+540180）， 540°1440° 7 7 7 7； ②当∠BEC=∠BCE,∠BDC=∠BCD,∠DOC=∠DCO时， E B ,∠ABC=∠ACB ·∠ABC=∠BDC=∠BCD 设∠DOC=∠DCO=x,∠BCE=∠BEC=y ·∠ABC=∠BDC=∠BCD=x+y 2x+x+y=180° 在△DOC和△BEC中，由三角形内角和定理可得 x+y+2y=180° x=459 解得 y=45o’ 此时∠ABC=x+y=90°=∠ABC,不符合题意； ③当∠BEC=∠BCE,∠BDC=∠BCD,∠ODC=∠OCD时，此时O,B,E重合，不符合题意； ④当∠CBE=∠CEB,∠BDC=∠BCD,∠CDO=∠COD时， D B Y∠ABC=∠ACB, .∠ABC=∠ACB=∠BEC=∠CDO=∠COD, 设∠DCO=x,∠ABC=∠ACB=∠BEC=∠CDO=∠COD=y 则在△CD0中，由三角形内角和定理得x+2y=180°，则x=180°-2y 在△BDC,△CBE中，由三角形内角和定理可得∠DBC=∠BCE=180°-2y ∠DBC=∠BCE=x, 87/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠DOC=∠DBC+∠BCE=2x, y=2x, x+2y=180° y=2x x=36 解得 y=72° ∠ABC+∠BEC+∠BDC=72°+72°+72°=216°； ⑤当∠CBE=∠CEB,∠BDC=∠BCD,∠DOC=∠DCO时， D ·∠ABC=∠ACB, ·∠ABC=∠ACB=∠BEC=∠CDO,设∠ABC=∠ACB=∠BEC=∠CDO=y,△DOC=∠DCO=x 则在△DC0中，由三角形内角和定理可得2x+y=180°， 在△BEC,△BDC中，由三角形内角和定理可得LOBC=LOCB ∠OBC+∠OCB=∠DOC=x, ∴∠OBC=∠OCB= , 在aBCD中，由三角形内角和定理可得2x+2y=180°， 2x+y=180° x+2y=180 .1 360° 7 解得 540° y= 7 ∠ABC+∠BEC+∠BDC=540°+540°+540°=1620°】 7 7 7 7: ⑥当∠CBE=∠CEB,∠BDC=∠BCD,∠ODC=∠OCD时，此时O,B,E重合，不符合题意； ⑦当∠CBE=∠CEB,∠CBD=∠CDB,∠ODC=∠OCD时， 88/96 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B C ∠ABC=∠ACB, ∴.∠ABC=∠ACB=∠CEB, 设∠ODC=∠OCD=∠CBD=x,∠BCE=y :∠DOC=∠OBC+∠OCB=x+y,∠ACB=∠ABC=∠BEC=x+y 在△DC0中，由三角形内角和定理可得x+y+x+x=180° 在△CBE中，由三角形内角和定理可得y+(x+y)+(y+x)=180°， x+y+x+x=180° y+(x+y)+(y+x)=180° 360° X= 7 解得 180° y= 1 ∠ABC+∠BEC+∠BDC=360°+180 7+7 ×2+360°-1440° 7 7； ⑧当∠BEC=∠CBE,∠CBD=∠CDB,∠DOC=∠DCO时， D 设∠CBD=∠CDB=x,∠DOC=∠DCO=y,则aCDO中，由三角形内角和定理可得x+2y=180°， .∠BCE=∠DOC-∠CBD=y-x ∠ABC=∠ACB=180°-∠CBD-∠CDB=180°-2x, .∠CEB=∠CBE=180°-2x, 89/96 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在△CBE中，由三角形内角和定理可得180°-2x+180°-2x+y-x=180° x+2y=180 180°-2x+180°-2x+y-x=180° 5409 北三 解得 11 720° y= 11 ∠ABC+∠BBC+∠BDC=180°-2x540K2+540°=2340 11 11 11 ⑨∠BEC=∠CBE,∠CBD=∠CDB,∠COD=∠CDO时，此时B,O,E三点重合，不符合题意， 综上：∠ABC度数、∠BEC度数和∠BDC度数之和为2340° 11 14”段216或162 7 50.(24-25七年级下.上海金山期末)设平面上的三个点A、B、C.需确定点P的位置，使 PA+PB+PC最小，当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点，当点A、B、C不共线时，分成两 类；△ABC有一个内角大于或等于120°和△ABC的三个内角均小于120°，约1640年，法国数学家费马 (PierredeFermat,1601-1665)提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学 家托里拆利首次证明. 图1 图2 下面来探究当点A、B、C不共线时的情况： (1)如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=120°时， 为所求费马点， (2)如图2，已知：在△ABC中，最大角∠BAC<120°时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如 下：分别以△ABC的边AB、BC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形BCE,此时CD和AE交于一点 P,点P就是所求的费马点， ①请找出图中与AE相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接BP,求证：∠APB=∠BPC=∠CPA=120°. 【详解】(1)解：将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A'B'C,连接A4 90/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B 图1 ∴AC=A'C, △AA'C是等边三角形， .∠CAA=60°， ∠BAC=120°， ∠BAC+∠CAA'=180°， 点B,A,A三点共线， AB+AA=AB最短， ∴点A为所求费马点； 故答案为：A; (2)①解：AE=CD, 理由：△ABD与△BCE是等边三角形， AB=BD,BC=BE,∠ABD=∠CBE=6O°， .∠ABE=∠DBC, .△ABE≌△DBC(SAS), ..AE=CD; ②证明：设AE与BC交于G, D 图2 E :△ABE≌△DBC, .∠DCB=∠AEB, 91/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,∠CGP=∠BGE, ∴∠CPG=∠EBG=60°， ·∠APD=∠CPG=60°，∠APC=120°， 在DC上截取PP'=AP, △AP'P是等边三角形， ∠AP'P=∠PAP=60°，AP'=AP, .∠DAP'=∠BAP, AD=AB, .△ADP'≌△ABP(SAS), ∠AP'D=∠APB=180°-60°=120°， .∠BPC=360°-120°-120°=120°， .∠APB=∠BPC=∠CPA=120°， 51.（24-25七年级下·上海虹口·期末)费马是17世纪的法国数学家，他曾研究过一种特殊的点，它满足 “在一个三角形所在平面上，到该三角形的三个顶点距离之和最短”，这样的点被称为“该三角形的费马 点”. (1)如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC,点D在线段BC上且线段BD>DC,请判断：点D是否为 △ABC的费马点，并说明理由. (2)现有真命题：在△ABC中，三个内角都小于120°，在其内部存在一点P,满足 ∠APB=∠APC=∠BPC=120°，则点P称为△ABC的费马点， 小明利用该真命题，尝试用尺规作费马点，他的作法如下： 如图，对一个所有内角都小于120°的△ABC,分别以线段AB、AC为边向外侧作等边三角形ABD和等边三角 形ACE,连接CD、BE交于点P,请完成证明： ①求证：∠ADC=∠ABE; ②在线段DP上取点F使PF=BP,连接BF, 求证：点P是△ABC的费马点， 92/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)结论：点D不是△ABC的费马点， 理由：如图，作AE⊥BC于点E,连接AD, ..BE=CE. .BD>DC, E、D不重合 在△ADE中，∠ADE<∠AED=90°， :.AD>AE, ∴点E到各顶点的距离之和=BC+AE<BC+DA=点D到各顶点的距离之和， ∴点D不是△ABC的费马点； (2)①证明：~△ABD和△ABE都为等边三角形， .∠DAB=∠CAE=60°，AD=AB,AC=AE, ·∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE, △ABE≌△ADC(SAS), ∠ADC=∠ABE; ②证明：如图，连接AP, 由①知LABD=∠ADB=60°，∠ADP=∠ABP, D ∴.∠BPC=∠PDB+∠PBD=∠ADB-∠ADP+∠ABD+∠ABP=60°-∠ADP+60°+∠ABP=120°， 93/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠BPD=180°-∠BPC=60°， 又PF=PB, ∴△PBF为等边三角形， ∴BF=BP,∠BFP=∠FBP=∠DBA=6O°， ∴，∠FBP-∠FBA=∠DBA-∠FBA,即∠DBF=∠FBP, ·△DFB≌△ABP(SAS), .∠APB=∠DFB=180°-∠BFP=120°」 由∠APB+∠APC+∠BPC=360°，得∠APC=120°， ∴点P是△ABC的费马点 52.(23-24七年级下.上海普陀期末)小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡 点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论.小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法 研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质，让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或 有关的填空， 【阅读定义】如图1，△ABC内有一点P,满足∠PAB=∠PBC=∠PCA,那么点P称为△ABC的“布洛卡 点”，其中∠PAB、∠PBC、∠PCA被称为“布洛卡角”，如图2，当∠QAC=∠QCB=∠QBA时，点Q也是 △ABC的“布洛卡点”.一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”. B B C B 图1 图2 图3 图4 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有_个，“布洛卡角”的度数为度； 问题2：在等腰三角形ABC中，已知AB=AC,点M是△ABC的一个“布洛卡点”，∠MAC是“布洛卡 角” (1)∠AMB与△ABC的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说 理. (2)当∠BAC=90°（如图4所示），BM=5时，求点C到直线AM的距离 【答案】间题1：1,30：问题2：(1)∠AMB=2∠ABC,2) 94/96 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：问题1： 由题意知三角形中有两个“布洛卡点”， 等边三角形每个角为60°， ∴两个“布洛卡点”重合为一个，且每个角为30°， 故答案为：1,30. 问题2：(1)∠AMB=2∠ABC,理由如下： B AB=AC, ∠ABC=∠ACB, M是△ABC的“布洛卡点”，∠MAC是“布洛卡角”， .∠MAC=∠ABM, .∠MAC+∠BAM=∠ABM+∠BAM, 即∠BAC=∠ABM+∠BAM, ,∠I80°-∠ABC-∠ACB=∠BAC,∠ABM+∠BAM=180°-∠AMB, ·∠ABC+∠ACB=∠AMB, :∠ABC=∠ACB, ∠AMB=2∠ABC, (2)过C点作CD⊥AM与D,如图， M D 则∠ADC=90°， ,∠BAC=90°，AB=AC, .∠ABC=∠ACB=45°， ∠MAC=∠MCB=∠ABM, 95/96 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠AMB=180°-∠ABM-∠BAM =180°-∠MAC-∠BAM=180°-∠BAC=90°， /BMC=180°-∠MBC-∠MCB =180°-∠MBC-ABM =180°-∠ABC =135°， ∴∠ADC=∠BMA=45°，∠CMD=∠MCD=45°， ..MD=CD, 在△ADC和△BMA中， ∠ADC=∠BMA ∠CAD=∠ABM, AC=BA △ADC≌△BMA(AAS), ..AD=BM,CD=AM, ∴AD=2CD, ∴.BM=2CD, BM=5, CD=5 -2 96/96