第13讲 函数的应用（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第13讲 函数的应用（一） 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 一次函数模型的应用 题型2 二次函数模型的应用 题型3 幂函数模型的应用 题型4 对勾函数模型的应用 题型5 分段函数模型的应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 函数模型 数学建模 1. 体会模型应用：通过实际情境，初步体会一次函数、二次函数、幂函数对勾函数以及分段函数等常见函数模型在现实生活中的广泛应用. 2. 掌握建模方法：感受运用函数概念建立模型的过程和方法，能够将简单的实际问题转化为熟悉的数学模型并加以解决，提升数学建模素养. 3. 认识多种表示：能从解析式、图象、表格等函数的多种表示形式中认识函数、理解函数并应用函数. 4. 提升核心素养：在分析实际问题、建立数学模型、求解并还原实际意义的过程中，培养学生的数学运算、数据分析及逻辑推理等核心素养. 学习重点：（1）利用已知模型解题：运用一次函数、二次函数、幂函数、对勾函数及分段函数等已知函数模型处理并解决实际问题. （2）分段函数的应用：理清变量间的对应关系，构建分段函数模型（如出租车计费、个税计算等）并解决实际问题. 学习难点：（1）实际问题向数学模型的转化：学生往往难以将复杂的现实问题抽象为简单的数学问题，厘清多变量之间的对应关系并建立合适的函数解析式. （2）函数模型的最值求解与检验：在建立函数模型解析式后，综合运用配方法、单调性基本不等式法等方法求解实际问题中的最值（如利润最大、用料最省），并确保取得最值时的自变量符合实际意义. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 常见函数模型 1、一次函数模型（线性函数模型）： （1）一般解析式为： （2）该模型求最值的方法：常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值． 2、二次函数模型： （1）一般解析式为： （2）该模型求最值的方法：在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答. 3、幂函数模型： （1）一般解析式为 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)， （2）在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数的图象、单调性、奇偶性等解题. 4、对勾函数模型： 解决“对勾”函数的实际应用问题时，需关注该函数的定义域、单调性、值域和图象等，一般通过变形，构造利用基本不等式的条件求最值. 5、分段函数模型： （1）一般解析式为：f（x）＝ （2）应用分段函数时的三个注意点： ① 分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏； ② 分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集； ③ 分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围，最后比较再下结论. 知识点02 解决实际问题的策略 1、解决实际应用问题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如图： 2、解决实际应用问题的注意事项 （1）函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型． （2）要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． （3）注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性． 题型1 一次函数模型的应用 【例1】（1）果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知函数关系式是， 由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是. 故； （2）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．    (1)求两种玩偶的进货价分别是多少？ (2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)冰墩墩的进货价为72元，雪容融的进货价为64元 (2)冰墩墩进货24个，雪容融进货16个；最大利润是992元 【详解】（1）设冰墩墩的进货价为x元，雪容融的进货价为y元． 得，解得， 所以冰墩墩的进货价为72元，雪容融的进货价为64元． （2）设冰墩墩进货a个，则雪容融进货个，利润为w元， 则， 因为，所以w随a增大而增大， 又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍， 即，解得， 所有当时，w最大，此时，， 答：冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，获得最大利润，最大利润为992元． 【方法总结】 利用一次函数模型解决实际问题： （1）待定系数法是求一次函数解析式的常用方法，有些可以根据题意直接列出一次等式即可得解析式； （2）当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数． 【变式1-1】某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元．该商店定制了两种优惠方案； 方案一：买一只茶壶赠送一只茶杯； 方案二：总价打9折． 某顾客欲购买茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只），若购买茶杯数为x只，付款总钱数为y元，分别建立两种优惠方案中y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯，两种方案中哪一种更省钱． 【答案】方案一：，；方案二：，，省钱情况见解析. 【详解】方案一：且， 方案二：且， 当，解得，此时方案二比方案一省钱； 当，解得，此时方案一、方案二的省钱情况一样； 当，解得，即，此时方案一比方案二省钱； 题型2 二次函数模型的应用 【例2】（1）用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长大于米），则菜地的面积最大值为________平方米．（答案用表示） 【答案】 【详解】设矩形菜园与墙壁所在直线平行的边的长度为米，则另外一边的长为米， 由且，可得. 设矩形菜园的面积为，则. 当且仅当时，等号成立， 故矩形菜园面积的最大值为平方米. 【方法总结】 二次函数模型的应用：三大高频模型及建模技巧： （1）利润最优化问题（“每每”模型） 核心公式：利润 = (单件售价 - 单件成本) × 销量 - 其他固定成本. 建模技巧：抓住“每涨/降1元，销量减/增N件”的规律，将销量表示为售价的一次函数，进而构建利润的二次函数. （2）几何面积最值问题 核心思路：利用周长、边长等几何条件消元，将面积表示成某一边长的二次函数. 常见模型：靠墙围矩形、栅栏围场地等.注意利用“墙长限制”等隐藏条件确定自变量的取值范围. （3）抛物线型实际问题 核心思路：建立合适的平面直角坐标系，利用待定系数法求解析式. 建系技巧：通常以抛物线的顶点、对称轴或底边中点为原点建立坐标系，使解析式形式最简. 【变式2-1】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨. (1)求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本 (2)若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少 【答案】(1)当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元 (2)当年产量为吨时，可获得最大利润万元 【详解】（1）因为， 所以当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元. （2）设该工厂年获得总利润为万元， 则. 因为在上是增函数， 所以当时，有最大值为. 故当年产量为吨时，可获得最大利润万元. 题型3 幂函数模型的应用 【例3】异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设初始状态为，则，， 又，，即 ， ，，，，． 【方法总结】 解决幂函数实际应用题的一般步骤： （1）识（识别模型）：判断题目中的变量关系是否符合“一个量随另一个量的幂次变化”的规律. （2）定（确定参数）：利用题目给出的已知数据，代入解析式，通过解指数方程或对数运算求出常数 的值. （3）算（求解问题）：将求得的完整解析式作为工具，代入题目要求的自变量或函数值，进行准确的数学运算. （4）答（还原结论）：将数学计算得出的结果，结合题目的实际背景转化为具有实际意义的文字答案，并注意单位. 【变式2-1】为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由题可知加密密钥为， 由已知可得，当时，， 所以，解得， 故，显然令，即， 解得，即． 题型4 对勾函数模型的应用 【例4】如图，安工大附中欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.房屋地面面积为，高度为3m.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为______元. 【答案】 【详解】设房屋的长为，则宽为，则总造价 ，当且仅当，即时取等号， 故当长等于，宽等于时，房屋的最低总造价为元. 【方法总结】 四步法解决对勾函数模型的应用问题： 1. 识（辨结构）：识别题目是否具备 ​ 的“一次+反比”结构，或通过换元转化为该形式. 2. 定（找拐点）：利用基本不等式 算出函数的拐点，利用当且仅当的条件明确单调性分界线. 3. 比（看区间）：对比自变量区间与拐点的位置：包含拐点 →最值在拐点处；不含拐点 → 函数单调，最值在端点处. 4. 验（查范围）：验证取得最值时的 x 是否在定义域内. 【变式4-1】如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为1000元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元．设长为（单位：）． (1)用表示的长度，并求的取值范围； (2)当的长为何值时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1)，；(2)当时，总造价最小为240000元. 【详解】（1）由题意可得：矩形的面积为，因此， 因为，所以． （2）由题意可得： ，（） 由基本不等式， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，总造价最小，最小值为240000元． 题型5 分段函数的应用 【例5】巴拿马运河起着连接美洲南北陆路通道的作用，是世界上最繁忙的运河之一，假设运河上的船只航行速度为（单位：海里/小时），船只的密集度为（单位：艘/海里），当运河上的船只密度为50艘/海里时，河道拥堵，此时航行速度为0；当船只密度不超过5艘/海里时，船只的速度为45海里/小时，数据统计表明：当时，船只的速度是船只密集度的一次函数． (1)当时，求函数的表达式； (2)当船只密度为多大时，单位时间内，通过的船只数量可以达到最大值，求出最大值．（取整） 【答案】(1)；(2)25艘/海里，最大值为625． 【详解】（1）由题意知时，海里/小时； 当时，设， 则，解得， 故； （2）由（1）可得， 当时，，此时； 当时，， 当时，取到最大值为625； 由于，故当船只密度为25艘/海里时，通过的船只数量可以达到最大值， 最大值为625． 【方法总结】 分段函数问题： （1）分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏（关键词：“段”）； （2）分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集（关键词：定义域）； （3）分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再下结论（关键词：值域）． 【变式5-1】随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为___________． 【答案】 【详解】由题意，水果每斤的平均价格为， 因为随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小， 所以函数在上单调递减， 所以，解得， 则的取值范围为. 一、单选题 1．某商场在国庆期间举办促销活动，规定：顾客购物总金额不超过400元，不享受折扣；若顾客的购物总金额超过400元，则超过400元部分分两档享受折扣优惠，折扣率如下表所示： 可享受折扣优惠的金额 折扣率 不超过400元部分 超过400元部分 若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为（    ） A．935元 B．1000元 C．1035元 D．1100元 【答案】C 【详解】当顾客的购物总金额超过400元不超过800元时， 享受折扣优惠的金额做多为元， 故该顾客购物总金额一定超过了800元，设为x元 ， 则 ，解得（元）， 则此顾客实际所付金额为元. 2．某产品的总成本（万元）与产量（台）之间的函数关系式是），若每台产品的售价为25万元，则生产者的最高利润是（   ） A．2950万元 B．3000万元 C．2940万元 D．2980万元 【答案】C 【详解】设生产者的利润为万元，则， 因为函数在区间上是增函数， 当时，利润最大，最大值为（万元）． 3．茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：℃）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（    ） A．1.5min B．2min C．3min D．4min 【答案】D 【详解】令，解得； 令，解得，不符合题意， 所以需要等待的时间为4min． 4．某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 【答案】D 【详解】依题意，设该款纪念品降价元，则销售单价为元，销售量为万件， 利润为，当时，取得最大值，即定价为55元时，利润最大. 5．2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【答案】B 【详解】由题意，设年平均增长率为，则， 所以，故年平均增长率为20%. 6．如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，矩形的面积为． 取的中点，连接，交于． 因为，所以，，则． 易知，则，则， 则AI＝，所以， 所以， 当时，取得最大值，且最大值为96，故内接矩形花园面积的最大值为． 二、多选题 7．某国超额累进税率分五档，年收入中不超过万元的部分，税率为，超过万元至万元的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万的部分，税率为，纳税所得额的计算公式为：纳税所得额年收入税率.若张某年收入在到之间徘徊，下列函数可能可以计算他的交税数额的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】当万元时，由题知， 当万元时，由题知， 当元时， 由题知， 综上所述，A、B、C正确，D错误， 故选：ABC. 8．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水量与时间的关系如图①②.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图③.则下列说法中一定正确的有（    ） A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点总蓄水量降低 D．4点到6点不进水不出水 【答案】AC 【详解】由①②两图知，进水速度是出水速度的， 所以由图③可知，0点到3点不出水，A正确； 3点到4点一个进水口进水，一个出水口出水，总蓄水量降低，B错误，C正确； 4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，D错误. 9．某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 【答案】BC 【详解】对A，当时，；当时，； 故，A错误； 对B，当时，，故当时，取到最大值； 当时，，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，B正确； 对C、D，不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 三、填空题 10．为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造.三年后，城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是________ 【答案】 【详解】设污水排放量平均每年降低的百分率为，则由题意可得， ，，得， 所以污水排放量平均每年降低的百分率为. 11．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元.若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为___________m. 【答案】 【详解】设正方形的边长为，则正方形的面积为， 四个相同的矩形即阴影部分的面积为， 四个空角的面积为， 设总造价为元，则， 即，即，解得， 故正方形周长的最大值为. 12．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：）成反比,每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站处建仓库,则和分别为4万元和9万元,为了能使两项费用之和最小,这家公司应该把仓库建在距离车站________千米处. 【答案】 【详解】解:由题知,设,, 由已知得,即, 即 两项费用之和为, 即,         当且仅当, 即时取等号, 所以这家公司应该把仓库建在距离车站千米处,才能使两项费用之和最小. 四、解答题 13．由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone16手机二月售价比一月每台降价500元，如果卖出相同数量的Iphone16手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元. (1)一月Iphone16手机每台售价为多少元? (2)为了提高利润，该店计划三月购进Iphone16s手机销售，已知Iphone16每台进价为3500元，Iphone16s每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案? (3)该店计划4月对Iphone16的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone16手机再返还顾客现金元，而Iphone16s按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，应取何值? 【答案】(1)一月Iphone14每台售价为4500元;(2)有5种进货方案；(3) 【详解】（1）解：设一月Iphone16手机的每台售价为元，则二月Iphone16手机的售价为元， 根据题意，可得，解得（元）， 即一月Iphone16手机每台售价为元. （2）解：设购进Iphone16手机为台，则购进的Iphone16手机为台， 根据题意，可得，解得， 因为，所以的取值为，共有种进货方案. （3）解：二月Iphone16手机每台售价为（元）， 设总获利元，则， 令，可得， 即当时，（2）中所有的方案获利相同. 14．一艘船上的某种液体漏到一片海域中，为了治污，根据环保部门的建议，现决定在该片海域中投放一种与污染液体发生化学反应的药剂，已知每投放个单位的药剂，它在海水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为（投放当天），其中若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当海水中药剂的浓度不低于6（克/升）时，它才能起到有效治污的作用． (1)若一次投放2个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？ (2)若第一次投放4个单位的药剂，6天后再投放（第二次投放）个单位的药剂，要使第二次投放后的5天（含投放当天）能够持续有效治污，试求的最小值． 【答案】(1)1天；(2)2 【详解】（1）解：因为，所以， ①当时，由，解得，所以此时； ②当时，由，解得，所以此时为空集； 综上可得，一次投放个单位的药剂，则有效治污时间为1天． （2）解：当时， 可得 ， 根据题意，可得对于恒成立， 因为，而，所以， 由， 当且仅当时，有最小值为， 令，解得，所以实数的最小值为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 函数的应用（一） 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 一次函数模型的应用 题型2 二次函数模型的应用 题型3 幂函数模型的应用 题型4 对勾函数模型的应用 题型5 分段函数模型的应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 函数模型 数学建模 1. 体会模型应用：通过实际情境，初步体会一次函数、二次函数、幂函数对勾函数以及分段函数等常见函数模型在现实生活中的广泛应用. 2. 掌握建模方法：感受运用函数概念建立模型的过程和方法，能够将简单的实际问题转化为熟悉的数学模型并加以解决，提升数学建模素养. 3. 认识多种表示：能从解析式、图象、表格等函数的多种表示形式中认识函数、理解函数并应用函数. 4. 提升核心素养：在分析实际问题、建立数学模型、求解并还原实际意义的过程中，培养学生的数学运算、数据分析及逻辑推理等核心素养. 学习重点：（1）利用已知模型解题：运用一次函数、二次函数、幂函数、对勾函数及分段函数等已知函数模型处理并解决实际问题. （2）分段函数的应用：理清变量间的对应关系，构建分段函数模型（如出租车计费、个税计算等）并解决实际问题. 学习难点：（1）实际问题向数学模型的转化：学生往往难以将复杂的现实问题抽象为简单的数学问题，厘清多变量之间的对应关系并建立合适的函数解析式. （2）函数模型的最值求解与检验：在建立函数模型解析式后，综合运用配方法、单调性基本不等式法等方法求解实际问题中的最值（如利润最大、用料最省），并确保取得最值时的自变量符合实际意义. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 常见函数模型 1、一次函数模型（线性函数模型）： （1）一般解析式为： （2）该模型求最值的方法：常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值． 2、二次函数模型： （1）一般解析式为： （2）该模型求最值的方法：在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答. 3、幂函数模型： （1）一般解析式为 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)， （2）在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数的图象、单调性、奇偶性等解题. 4、对勾函数模型： 解决“对勾”函数的实际应用问题时，需关注该函数的定义域、单调性、值域和图象等，一般通过变形，构造利用基本不等式的条件求最值. 5、分段函数模型： （1）一般解析式为：f（x）＝ （2）应用分段函数时的三个注意点： ① 分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏； ② 分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集； ③ 分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围，最后比较再下结论. 知识点02 解决实际问题的策略 1、解决实际应用问题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如图： 2、解决实际应用问题的注意事项 （1）函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型． （2）要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． （3）注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性． 题型1 一次函数模型的应用 【例1】（1）果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． （2）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．    (1)求两种玩偶的进货价分别是多少？ (2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【方法总结】 利用一次函数模型解决实际问题： （1）待定系数法是求一次函数解析式的常用方法，有些可以根据题意直接列出一次等式即可得解析式； （2）当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数． 【变式1-1】某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元．该商店定制了两种优惠方案； 方案一：买一只茶壶赠送一只茶杯； 方案二：总价打9折． 某顾客欲购买茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只），若购买茶杯数为x只，付款总钱数为y元，分别建立两种优惠方案中y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯，两种方案中哪一种更省钱． 题型2 二次函数模型的应用 【例2】（1）用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长大于米），则菜地的面积最大值为________平方米．（答案用表示） 【方法总结】 二次函数模型的应用：三大高频模型及建模技巧： （1）利润最优化问题（“每每”模型） 核心公式：利润 = (单件售价 - 单件成本) × 销量 - 其他固定成本. 建模技巧：抓住“每涨/降1元，销量减/增N件”的规律，将销量表示为售价的一次函数，进而构建利润的二次函数. （2）几何面积最值问题 核心思路：利用周长、边长等几何条件消元，将面积表示成某一边长的二次函数. 常见模型：靠墙围矩形、栅栏围场地等.注意利用“墙长限制”等隐藏条件确定自变量的取值范围. （3）抛物线型实际问题 核心思路：建立合适的平面直角坐标系，利用待定系数法求解析式. 建系技巧：通常以抛物线的顶点、对称轴或底边中点为原点建立坐标系，使解析式形式最简. 【变式2-1】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨. (1)求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本 (2)若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少 题型3 幂函数模型的应用 【例3】异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 解决幂函数实际应用题的一般步骤： （1）识（识别模型）：判断题目中的变量关系是否符合“一个量随另一个量的幂次变化”的规律. （2）定（确定参数）：利用题目给出的已知数据，代入解析式，通过解指数方程或对数运算求出常数 的值. （3）算（求解问题）：将求得的完整解析式作为工具，代入题目要求的自变量或函数值，进行准确的数学运算. （4）答（还原结论）：将数学计算得出的结果，结合题目的实际背景转化为具有实际意义的文字答案，并注意单位. 【变式2-1】为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 题型4 对勾函数模型的应用 【例4】如图，安工大附中欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.房屋地面面积为，高度为3m.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为______元. 【方法总结】 四步法解决对勾函数模型的应用问题： 1. 识（辨结构）：识别题目是否具备 ​ 的“一次+反比”结构，或通过换元转化为该形式. 2. 定（找拐点）：利用基本不等式 算出函数的拐点，利用当且仅当的条件明确单调性分界线. 3. 比（看区间）：对比自变量区间与拐点的位置：包含拐点 →最值在拐点处；不含拐点 → 函数单调，最值在端点处. 4. 验（查范围）：验证取得最值时的 x 是否在定义域内. 【变式4-1】如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为1000元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元．设长为（单位：）． (1)用表示的长度，并求的取值范围； (2)当的长为何值时，总造价最低？最低总造价是多少？ 题型5 分段函数的应用 【例5】巴拿马运河起着连接美洲南北陆路通道的作用，是世界上最繁忙的运河之一，假设运河上的船只航行速度为（单位：海里/小时），船只的密集度为（单位：艘/海里），当运河上的船只密度为50艘/海里时，河道拥堵，此时航行速度为0；当船只密度不超过5艘/海里时，船只的速度为45海里/小时，数据统计表明：当时，船只的速度是船只密集度的一次函数． (1)当时，求函数的表达式； (2)当船只密度为多大时，单位时间内，通过的船只数量可以达到最大值，求出最大值．（取整） 【方法总结】 分段函数问题： （1）分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏（关键词：“段”）； （2）分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集（关键词：定义域）； （3）分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再下结论（关键词：值域）． 【变式5-1】随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为___________． 一、单选题 1．某商场在国庆期间举办促销活动，规定：顾客购物总金额不超过400元，不享受折扣；若顾客的购物总金额超过400元，则超过400元部分分两档享受折扣优惠，折扣率如下表所示： 可享受折扣优惠的金额 折扣率 不超过400元部分 超过400元部分 若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为（    ） A．935元 B．1000元 C．1035元 D．1100元 2．某产品的总成本（万元）与产量（台）之间的函数关系式是），若每台产品的售价为25万元，则生产者的最高利润是（   ） A．2950万元 B．3000万元 C．2940万元 D．2980万元 3．茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：℃）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（    ） A．1.5min B．2min C．3min D．4min 4．某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 5．2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 6．如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．某国超额累进税率分五档，年收入中不超过万元的部分，税率为，超过万元至万元的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万的部分，税率为，纳税所得额的计算公式为：纳税所得额年收入税率.若张某年收入在到之间徘徊，下列函数可能可以计算他的交税数额的是（    ） A． B． C． D． 8．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水量与时间的关系如图①②.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图③.则下列说法中一定正确的有（    ） A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点总蓄水量降低 D．4点到6点不进水不出水 9．某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 三、填空题 10．为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造.三年后，城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是________ 11．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元.若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为___________m. 12．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：）成反比,每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站处建仓库,则和分别为4万元和9万元,为了能使两项费用之和最小,这家公司应该把仓库建在距离车站________千米处. 四、解答题 13．由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone16手机二月售价比一月每台降价500元，如果卖出相同数量的Iphone16手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元. (1)一月Iphone16手机每台售价为多少元? (2)为了提高利润，该店计划三月购进Iphone16s手机销售，已知Iphone16每台进价为3500元，Iphone16s每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案? (3)该店计划4月对Iphone16的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone16手机再返还顾客现金元，而Iphone16s按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，应取何值? 14．一艘船上的某种液体漏到一片海域中，为了治污，根据环保部门的建议，现决定在该片海域中投放一种与污染液体发生化学反应的药剂，已知每投放个单位的药剂，它在海水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为（投放当天），其中若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当海水中药剂的浓度不低于6（克/升）时，它才能起到有效治污的作用． (1)若一次投放2个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？ (2)若第一次投放4个单位的药剂，6天后再投放（第二次投放）个单位的药剂，要使第二次投放后的5天（含投放当天）能够持续有效治污，试求的最小值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $