专题拓展：求简单函数值域的五大方法（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

专题拓展：求简单函数值域的五大方法 方法1：图象法、单调性求函数的值域 【例1】（1）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在单调递减，在单调递增， 故，又， 故，故的值域为. （2）函数f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（    ） A．－1，0 B．0，2 C．－1，2 D．，2 【答案】C 【详解】根据图象观察知， 【方法总结】 1.单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值（值域）. （1）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f（b），ymin＝f（a）. （2）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f（a），ymin＝f（b）. （3）若函数y＝f（x）有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大（小）值.函数的最大（小）值是整个值域范围内的最大（小）值. 2.图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合. （1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域. （2）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该函数的图象，从而利用图象求得函数的值域. 【变式1-1】已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由在上单调递增， 所以． 【变式1-2】给定函数，用表示中的较大者，记为，例如当时，，则的最小值为（ ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】B 【详解】令，可得，即，解得； 令，可得，即，解得或. 所以. 作出的图象如图所示： 由图象可得的最小值为0. 方法2：配方法求函数的值域 【例2】函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，解得，所以的定义域为， 令，当时，，所以， 则的值域是， 【方法总结】 配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围. 【变式3-1】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 方法3：换元法求函数的值域 【例3】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得，即的定义域为， 令，则，所以，且， 则原函数转化为， 因为与在上均为单调递减函数， 所以在上单调递减， 所以的最大值为，的最小值为， 所以的值域为，即原函数的值域为. 【方法总结】 换元法：该法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值（值域）. （1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围. （2）换元的作用有两个： ①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的. ②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理. 【变式3-1】函数的值域为（    ） A．[0,1） B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则， 可得， 且开口向上，对称轴为，可得在上单调递增， 可知当时，取到最小值2， 所以的值域为，即函数的值域为. 方法4：分离常数法求函数的值域 【例4】若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 因为，所以，所以， 所以，所以函数的值域为. 【方法总结】 分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成的形式， 第二步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求出的值域. 【变式4-1】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 由于函数，所以， 故. 方法5：判别式法求函数的值域 【例5】函数的值域是______． 【答案】 【详解】由题知函数的定义域为， 所以，将整理得， 所以，当时，； 当时，，解得， 所以，，即函数的值域是 【方法总结】 判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：.将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域.应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性.另外，此种形式还可使用分离常数法解法. 【变式5-1】函数的值域是______. 【答案】 【详解】， 令，所以，整理得 所以关于的方程有实数解， 当时，原式为，解得，满足； 当时，所以，整理得， 解得， 此时，且， ∴综上，函数的值域为， 故答案为： 一、单选题 1．已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由在上单调递增， 所以． 2．函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是（　　） A． B．2，5 C．1，2 D． 【答案】A 【详解】 解：∵y＝x2+1在（0，+∞）上单调递增，且y＞1， ∴在区间[1，2]上单调递减， ∴函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是 f（1），f（2）， 3．已知函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，则， 令，则， 则转化为， 开口向下，对称轴为， 所以的最大值为，最小值为， 所以的值域为. 故选：C 4．函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，， 令，由对勾函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值， 又因为， 因此在上的值域为， 故的值域为， 即函数在区间上的值域为. 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，得， 所以可以转化为． 因为二次函数在上单调递增， 当时，， 所以函数的值域为． 二、多选题 7．下列函数中，值域为R的是（    ） A． B．   C． D． 【答案】AC 【详解】和的值域都为R； 的值域为； 的值域为 ． 故选：AC． 8．下列函数中，值域不是的是（ ） A． B．（） C．（） D． 【答案】ABC 【详解】因为， 所以函数值域为，故A符合题意； 因为时，，故B符合题意； 因为时，函数的值域为集合， 不是区间，故C符合题意； 因为，所以函数的值域为，故D不符合题意. 9．已知函数与的图象如图所示，则（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】ACD 通过函数的变化趋势可判断D. 【详解】由图象知定义域为，是偶函数，在上单调递增，在上单调递减； 定义域为，是奇函数，在上单调递增，在上单调递增； 对于A，定义域为， 又因为，所以是奇函数，故A正确； 对于B，令，则， ，但，，，故B错误； 对于C，， 由图象知， 因为在上单调递增，所以， 又因为在上单调递减，所以， 即在上单调递减，故C正确； 对于D，记与轴交于点 ，与轴交于点， 由图可知，当从趋近于时，的函数值从0趋近于， 的函数值从一个定值趋近于， 所以的值从0趋近于， 即的值可以取到， 又为奇函数， 所以的值域为，故D正确. 三、填空题 10．函数 的值域为__________． 【答案】 【详解】由题意可得，即， 则，解得，故函数的定义域为． 因为，且， 当或时，取最小值0； 当时，取最大值9， 所以， 则，从而的值域为． 11．函数的最小值为____________. 【答案】 【详解】因为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 12．已知函数，，其中表示不超过的最大整数，例，．则函数的值域是___________． 【答案】 【详解】当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上; 图象如图所示: 函数的值域是. 四、解答题 13．求下列函数的值域： (1)； (2). 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以函数的值域为. （2）由，得， 由，得， 所以， 所以函数的值域为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题拓展：求简单函数值域的五大方法 方法1：图象法、单调性求函数的值域 【例1】（1）函数的值域为（    ） A． B． C． D． （2）函数f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（    ） A．－1，0 B．0，2 C．－1，2 D．，2 【方法总结】 1.单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值（值域）. （1）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f（b），ymin＝f（a）. （2）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f（a），ymin＝f（b）. （3）若函数y＝f（x）有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大（小）值.函数的最大（小）值是整个值域范围内的最大（小）值. 2.图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合. （1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域. （2）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该函数的图象，从而利用图象求得函数的值域. 【变式1-1】已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式1-2】给定函数，用表示中的较大者，记为，例如当时，，则的最小值为（ ） A． B．0 C．1 D．4 方法2：配方法求函数的值域 【例2】函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围. 【变式3-1】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 方法3：换元法求函数的值域 【例3】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 换元法：该法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值（值域）. （1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围. （2）换元的作用有两个： ①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的. ②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理. 【变式3-1】函数的值域为（    ） A．[0,1） B． C． D． 方法4：分离常数法求函数的值域 【例4】若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成的形式， 第二步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求出的值域. 【变式4-1】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 方法5：判别式法求函数的值域 【例5】函数的值域是______． 【方法总结】 判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：.将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域.应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性.另外，此种形式还可使用分离常数法解法. 【变式5-1】函数的值域是______. 一、单选题 1．已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 2．函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是（　　） A． B．2，5 C．1，2 D． 3．已知函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列函数中，值域为R的是（    ） A． B．   C． D． 8．下列函数中，值域不是的是（ ） A． B．（） C．（） D． 9．已知函数与的图象如图所示，则（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 三、填空题 10．函数 的值域为__________． 11．函数的最小值为____________. 12．已知函数，，其中表示不超过的最大整数，例，．则函数的值域是___________． 四、解答题 13．求下列函数的值域： (1)； (2). 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $