精品解析：河南周口市沈丘县第一高级中学2025-2026学年高二下学期期末测评数学试题

2025—2026学年度高二下学期期末 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程. 【详解】由题意可知，直线的斜率为， 又因为该直线在轴上的截距是，故直线的方程为. 故选：C. 2. 已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，即. 3. “”是“数列为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】必要性验证：若数列为等差数列，根据等差中项的性质：对任意，若，则， 令，可得，故必要性成立； 充分性验证：若仅满足，无法推出数列为等差数列， 例如构造数列：，此时，，满足，但该数列相邻项差值不恒定，不是等差数列，故充分性不成立， 因此该条件是数列为等差数列的必要不充分条件. 4. 已知抛物线C：（）的焦点为，直线： 与抛物线在第一象限的交点为．若，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】联立，得或（舍），则， 则，得， 则抛物线的方程为. 5. 用数字0，2，5，7组成没有重复数字的四位数，将这些四位数从小到大排列，则7052是（ ） A. 第15个数 B. 第12个数 C. 第13个数 D. 第14个数 【答案】D 【解析】 【分析】先计算千位小于7的无重复四位数总数，再计算千位为7时小于7052的数的个数，求和后加1即为答案. 【详解】当四位数千位为2时，剩余三位从0、5、7中全排列，排列数为个； 当四位数千位为5时，剩余三位从0、2、7中全排列，排列数为个. 当四位数千位为7时，小于的数字只有一个，故7052是第14个数字. 6. 已知定义在上的函数满足，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求导，分析函数的单调性，进而即可得到答案． 【详解】令，， 则， 又， 则，即在上单调递增， 所以，即，即． 7. 已知函数，若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过求导，将条件转化为导数在区间上有解，从而分离参数，构造函数，利用函数的单调性即可得到的取值范围． 【详解】由，则， 又在区间上存在单调递增区间， 则存在，使得，即，即成立， 令，，则， 所以在上单调递减，且， 所以要使在上有解，只需， 故的取值范围是． 8. 已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（ ）个 A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先根据双曲线的渐近线夹角的余弦值求出，得到， 分别按照，，讨论求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 设渐近线的倾斜角为，则， ，，，， 两条渐近线的夹角为，， ， ，，，， 椭圆，， 点、为椭圆的两个焦点，， 当时，以为直径的圆的方程为， 双曲线，将代入， 得到，解得， 联立，将代入， 得到，解得， 将代入，解得， 则有个点满足； 当时， 过的直线为 ，将 代入双曲线， 得到，解得，故有个点满足； 当时， 过的直线为 ，将 代入双曲线， 得到，解得，故有个点满足； 综上可知，使得为直角三角形的点有 个，故选项C正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为9 B. 若随机变量，则， C. 若随机变量，则 D. 已知，，，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】A选项，新数据的方差为，故A错误； B选项，因为，所以，故B正确； C选项，因为，所以，故C正确； D选项，由题意得， ，故D正确. 10. 已知圆O：，则下列说法正确的有（ ） A. 圆在点处的切线方程为 B. 直线与圆相切 C. 直线截圆所得的弦长为 D. 圆C： 与圆外离 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用切线过且和 垂直可得切线方程；对于B，比较直线到圆心距离与圆半径大小可判断选项正误；对于C，算出直线到圆心距离，再由弦长公式可判断选项正误；比较两圆圆心距与两圆半径和大小关系可判断选项正误. 【详解】对于A，易得在圆O上，且在A点处切线与 垂直.，则切线斜率为，切线方程为：，故A正确； 对于B，圆心到直线 的距离为，该距离小于圆O半径1，故直线 与圆O相交，故B错误； 对于C，直线到圆心距离为，则直线截圆O所得的弦长为：，故C错误； 对于D，两圆圆心距为，两圆半径和为，从而两圆外离，故D正确. 11. 已知函数存在极小值点，则（ ） A. B. 函数有唯一的极小值点 C. D. 函数有且只有3条斜率为4的切线 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AB选项，对求导，结合，分析单调性即可求解；对于C选项，根据，代入中讨论即可判断；对于D选项，对的导数进行求导分析，判断解的个数，即可判断. 【详解】对于选项AB，， 当时，， 而当时，设，则，当 时，当时， 因此，当时，取得最小值，则， 所以，当时，，即， 则， 所以在上单调递增，在上无极值， 当时，，在上单调递增， 注意到，因为，所以，则， ， 所以存在唯一的似的， 当且仅当时， ，单调递减；当时， ，单调递增， 所以为唯一的极小值点， 由可知，A选项错误，B选项正确. 对于选项C，，因此， 所以，， 因为，所以， 因此，故，C 选项正确. 对于选项D，当时，令， 设，，所以 令，所以， 在上单调递减；在上单调递增，， 且时，，时，， 所以在和上各有一个零点、， 此时，的两根为、， 当时，令，在上单调递增， 而当，时，，当时，， 所以，存在唯一的使得， 所以函数有且只有 3 条斜率为 4 的切线，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等比数列中，，，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】因为等比数列中，，， 所以，即， 所以， 所以. 13. 已知双曲线 （，）的右焦点为，直线与双曲线的渐近线相交于点，点在第二象限.直线与抛物线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件求出点坐标，再根据求出点坐标，代入抛物线方程化简即可求出双曲线离心率. 【详解】解：由题意知双曲线渐近线方程为， 因为直线与双曲线的渐近线相交于点，且点在第二象限，则点的横坐标为， 代入渐近线，得，即， 因为，则，设，则， 又，所以，解得，，所以， 将代入得，化简得， 因为，所以，则，解得， 又，所以，即双曲线的离心率为. 14. 如图，一个正方形被分割成四个相同的小正方形，现用蓝、绿两种颜色对小正方形的边进行染色，若要使每个小正方形都有2条蓝色边和2条绿色边，则不同的染色方法数为_____． 【答案】82 【解析】 【分析】分类讨论，结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理求值. 【详解】如图： 当边①②同色时，正方形A另外两边有1种方法染色， 当边①②不同色时，正方形A另外两边有2种方法染色，同理其他区域也一样， 则（1）①②③④四边同色，此时共有 种； （2）当①②③④只有三边同色，另一边与其不同色时，此时共有 种， （3）当①②③④每两个同色时， 若①③同色，②④同色，此时①②③④有种涂色方案，因为①②不同色， 所以正方形形A另外两边有2种方法染色，同理②③不同色，③④不同色，①④不同色， 所以正方形B、C、D的另外两边都有有2种方法染色，则有 种； 若①②同色，③④同色，则有 种； 若①④同色，②③同色，则有 种； 此时共有 种； 综上，共有 种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，函数在单调递增；当 时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分， 两种情况讨论求解即可； （2）令，求导，分， 两种情况，根据函数单调性与求解即可. 【小问1详解】 ． 当时，恒成立，故函数在单调递增； 当 时，令得． 故当时， ，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，函数在单调递增； 当 时，函数在上单调递减， 在上单调递增； 【小问2详解】 令，，， ，，． 令，， 而在恒成立，即在单调递增， 故当，即时，，在单调递增， 在恒成立； 当，即 时，当时，， 所以，存在，使得时，，时，， 所以在单调递减，在上单调递增， 故由可知，时，与在恒成立矛盾； 综上，实数的取值范围是． 16. 如图，在三棱柱中，平面 平面，，，，为棱上靠近点的三等分点，为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合勾股定理，由面面垂直的性质定理可证. （2）先切换顶点，再通过线面垂直求出棱锥的高，最后体积公式可得结果. （3）建立空间直角坐标系，求出平面法向量，法向量与直线向量夹角的余弦值绝对值为所成角的正弦值. 【小问1详解】 由条件得，所以， 因为平面 平面 ，平面 平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由平面， 平面， 所以，又因为， ， 平面， 所以平面，因为，所以平面， ，垂足为， 平面，所以， ，平面，所以 平面， ， ， 所以. 【小问3详解】 由（1）（2）可知， 两两垂直， 以为原点，分别以、、为轴建立空间直角坐标系， ，，，， ， 设平面的法向量，则：， 令 ，则，所以， 设直线MN与平面的所成角为，直线MN与平面的法向量所成的角为， 则 . 17. 某电影上映前6天的单日票房统计如下表： 上映第天 1 2 3 4 5 6 单日票房（单位：亿元） 0.9 1.2 1.3 1.5 1.3 1.6 （1）根据数据建立单日票房关于上映天数的经验回归方程，并预测第7天的票房收入（计算结果均保留一位小数）． （2）在某天放映结束后，随机抽取8名观众，发现其中有6人每月都会看一场电影，剩余2人每季都会看一场电影．现从这8人中随机抽取3人，记为抽取的3人中每月都会看一场电影的人数，求的分布列及数学期望． 参考数据：，参考公式：，． 【答案】（1）经验回归方程为 ，预测第7天票房约为1.7亿元； （2）X的分布列为： 1 2 3 数学期望（或2.25）. 【解析】 【分析】（1）先计算的样本均值，代入回归系数公式求得得到回归方程，再代入即可预测票房； （2）确定服从超几何分布，计算各取值对应的概率即得分布列，再计算数学期望即可. 【小问1详解】 依题意，样本均值：， . 则， ， 因此 ， ， 故经验回归方程为 . 当时， ，即预测第7天票房约为1.7亿元. 【小问2详解】 由题意，的所有可能取值为1，2，3，易得服从超几何分布.  则，， . 则的分布列为： 1 2 3 数学期望： . 18. 已知椭圆：（ ）的离心率为，短轴长为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，原点到直线的距离为. （ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值； （ⅱ）求的面积的最大值及此时直线的方程. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）的面积的最大值为1，直线的方程为或或或. 【解析】 【分析】（1）根据 、 、 之间的关系与离心率即可求解 （2）（i）利用坐标表示出、，根据韦达定理，将表示为、 之间的关系式，结合距离即可证明； （ii） 利用弦长公式，表示出三角形面积，讨论范围即可； 【小问1详解】 由题意知，， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）当斜率不为时，设直线的方程为， ，， 联立得，， ， 点到的距离，所以， ， 根据韦达定理代入得，， 当斜率为时，不妨设横坐标大于0，则此时、两点坐标为，或，， 所以， 综上，为定值. （ii）当斜率为时，， 当斜率不为时，， 所以， 因此， 则， 当且仅当，即时取等，所以的最大值为， 当 时，，当时，， 所以直线的方程为或或或. 19. 在数列中，已知，对任意的，的值取或的概率均为，记事件“”的概率为，的前项中0的个数为随机变量． （1）求，的值； （2）求的分布列； （3）记是的数学期望，证明：． 附：对任意随机变量，有． 【答案】（1） （2） 分布列如下： 1 2 3 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据为偶数时计算对应概率即可； （2）确定的可能取值，再分别计算每个取值对应的所有路径的概率和，进而求解分布列； （3）利用期望的线性性质表示，结合的递推关系，通过数学归纳法证明，进而完成证明. 【小问1详解】 表示的概率，从到共走步，要使， 需步中和 的步数相等，即为偶数. ，共走步，需1步、1步 ： ， ，共走步，需2步、2步 ： . 【小问2详解】 是前5项中0的个数，偶数项不可能为0， 仅可能为0，故的可能取值为 ； ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 【小问3详解】 设变量，，则， 由期望可加性得：， 对任意，，化简得：， 即， 整理得：①， 归纳证明： 若 ，则，成立； 假设时成立， 则时： ，归纳成立； 将代入式①， 得：，原等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度高二下学期期末 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“数列为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知抛物线C：（）的焦点为，直线： 与抛物线在第一象限的交点为．若，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 用数字0，2，5，7组成没有重复数字的四位数，将这些四位数从小到大排列，则7052是（ ） A. 第15个数 B. 第12个数 C. 第13个数 D. 第14个数 6. 已知定义在上的函数满足，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（ ）个 A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为9 B. 若随机变量，则， C. 若随机变量，则 D. 已知，，，则 10. 已知圆O：，则下列说法正确的有（ ） A. 圆在点处的切线方程为 B. 直线与圆相切 C. 直线截圆所得的弦长为 D. 圆C： 与圆外离 11. 已知函数存在极小值点，则（ ） A. B. 函数有唯一的极小值点 C. D. 函数有且只有3条斜率为4的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等比数列中，，，则 ________． 13. 已知双曲线 （，）的右焦点为，直线与双曲线的渐近线相交于点，点在第二象限.直线与抛物线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为________. 14. 如图，一个正方形被分割成四个相同的小正方形，现用蓝、绿两种颜色对小正方形的边进行染色，若要使每个小正方形都有2条蓝色边和2条绿色边，则不同的染色方法数为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，，求实数的取值范围． 16. 如图，在三棱柱中，平面 平面，，，，为棱上靠近点的三等分点，为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 某电影上映前6天的单日票房统计如下表： 上映第天 1 2 3 4 5 6 单日票房（单位：亿元） 0.9 1.2 1.3 1.5 1.3 1.6 （1）根据数据建立单日票房关于上映天数的经验回归方程，并预测第7天的票房收入（计算结果均保留一位小数）． （2）在某天放映结束后，随机抽取8名观众，发现其中有6人每月都会看一场电影，剩余2人每季都会看一场电影．现从这8人中随机抽取3人，记为抽取的3人中每月都会看一场电影的人数，求的分布列及数学期望． 参考数据：，参考公式：，． 18. 已知椭圆：（ ）的离心率为，短轴长为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，原点到直线的距离为. （ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值； （ⅱ）求的面积的最大值及此时直线的方程. 19. 在数列中，已知，对任意的，的值取或的概率均为，记事件“”的概率为，的前 项中0的个数为随机变量． （1）求，的值； （2）求的分布列； （3）记是的数学期望，证明：． 附：对任意随机变量，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $