1.4 第2课时 正方形的判定 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦正方形的判定，通过复习正方形定义及性质搭建学习支架，引导学生从平行四边形、矩形、菱形的判定条件出发，逐步探索并归纳正方形的判定方法，形成完整知识脉络。 其亮点在于以合作探究（如剪正方形活动）培养数学眼光，通过严谨证明过程发展推理思维，典例精析结合几何语言表达强化应用意识。学生能在动手与推理中深化理解，教师可借助清晰结构提升教学效率。

1.4 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定 1.探索并证明正方形的判定；(重、难点) 2.会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证和计算 . (难点) 学 习 目 标 1.正方形的定义是什么？ 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 2.正方形有哪些性质？ 定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理：正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 复 习 导 入 平行四边形 正方形 一组邻边相等 一个角是直角 几何语言描述： 在▱ABCD中，∵ ∠A=90°,AB=BC， ∴▱ABCD是正方形. A B C D 讲 授 新 课 (1)如图,将一张长方形纸对折两次,然后剪下 一个角,打开.怎样才能剪出一个正方形? (2)满足什么条件的矩形是正方形?满足什么 条件的菱形是正方形? 解:(1)只要确保剪口线与折痕成45°角即可剪出一个正方形. (2)有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形;有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形. 思考 你能证明以上结论吗？ 合 作 探 究 证一证 (1)如图,四边形ABCD是矩形,AB=BC. 求证:四边形ABCD是正方形; 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=90°,四边形ABCD是平行四边形. ∵AB=BC, ∴平行四边形ABCD是正方形(正方形的定义). 合 作 探 究 (2)如图,AC,BD是矩形ABCD的对角线,且AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是正方形; 证明: ∵四边形ABCD是矩形, ∴AC平分BD. ∵AC⊥BD, ∴AC垂直平分BD. ∴AB=AD. ∴矩形ABCD是正方形(一组邻边相等的矩形是正方形). 合 作 探 究 (3)如图,已知四边形ABCD是菱形,∠A=90°. 求证:四边形ABCD是正方形; 证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴四边形ABCD是平行四边形且AB=BC. ∵∠A=90°, ∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义). 合 作 探 究 (4)如图,已知菱形ABCD的对角线为AC,BD,AC=BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=BC,AD∥BC. ∵AB=BA,BD=AC,∴△ABD≌△BAC. ∴∠DAB=∠CBA. ∵AD∥BC,∴∠DAB+∠CBA=180°. ∴∠DAB=∠CBA=90°, ∴四边形ABCD是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形). 合 作 探 究 ☀归纳 (1)正方形判定定理1:有一组邻边　　　的矩形是正方形;  (2)正方形判定定理2:对角线互相　　　的矩形是正方形;  (3)正方形判定定理3:有一个角是　　　的菱形是正方形;  (4)正方形判定定理4:对角线　　 　的菱形是正方形.  相等 垂直 直角 相等 合 作 探 究 例1 已知:如图,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE, CF∥BE.求证:四边形BECF是正方形. 证明:∵BF∥CE,CF∥BE, ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=90°,∠DCB=90°. 典 例 精 析 又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB, ∴∠EBC=∠ABC=45°,∠ECB=∠DCB=45°. ∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC. ∴▱BECF是菱形(菱形的定义). 在△EBC中, ∵∠EBC=45°,∠ECB=45°, ∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=180°-245°=90°. ∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形). 典 例 精 析 ☀方法总结 判定正方形的基本思路 一个四边形既是矩形又是菱形,这个四边形就是正方形,所以判定正方形时,先证这个四边形是矩形(或菱形),再证其是菱形(或矩形). 新 知 小 结 例2 在正方形ABCD中，点E，F，M，N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么? 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CM=DN， ∴AN=BE=CF=DM. 分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可. 典 例 精 析 在△AEN，△BFE，△CMF，△DNM中， AE=BF=CM=DN, ∠A=∠B=∠C=∠D, AN=BE=CF=DM, ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM, ∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF, ∴四边形EFMN是菱形， ∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE）=180°－90°=90°. ∴四边形EFMN是正方形 . 典 例 精 析 例3 (教材做一做改编)任意画一个四边形,以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形. (1)任意画一个正方形,以四边的中点为顶点可以组成一个 　　　　形;  (2)以菱形各边的中点为顶点可以组成一个　　　　形;  (3)以矩形各边的中点为顶点可以组成一个　　　　形;  正方 矩 菱 典 例 精 析 (4)以平行四边形各边的中点为顶点可以组成一个          形;  (5)以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系?有怎样的关系? 平行四边 解:(5)新四边形的形状与原四边形的两条对角线有关.当原四边形的两条对角线互相垂直时,新四边形是矩形;当原四边形的两条对角线相等时,新四边形是菱形;当原四边形的两条对角线互相垂直且相等时,新四边形是正方形. 典 例 精 析 2.一个正方形的对角线长为 2 cm，则它的面积是 （ 　） A.2 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.8 cm2 A 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是 （　 ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 A 随 堂 检 测 3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形． AB=BC(答案不唯一) A B C D O 4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________________（只填写序号）． ②③或①④ 随 堂 检 测 5.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分ABC , P是BD上一点,过点P作PMAD , PNCD ,垂足分别为M，N. (1) 求证：ADB=CDB; (2) 若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形. C A B D P M N 证明：（1）∵AB = BC,BD平分∠ABC， ∴∠1=∠2. ∵BD=BD， ∴△ABD≌△CBD (SAS). ∴∠ADB=∠CDB. 1 2 随 堂 检 测 C A B D P M N （2）∵∠ADC=90°; 又∵PM⊥AD,PN⊥CD; ∴∠PMD=∠PND=90°. ∴四边形NPMD是矩形. ∴PM∥ND，PN∥MD. ∵∠ADB=∠CDB; ∴∠ADB=∠CDB=45°. ∴∠MPD=∠NPD=45°. ∴DM=PM,DN=PN. ∴矩形NPMD是正方形. 随 堂 检 测 5种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 课 堂 总 结 $