2026-2027学年初升高数学衔接资料：21. 函数奇偶性和单调性综合讲义

第24课时函数奇偶性和单调性综合 【典型例题】 例1.若对于任意实数x,都有f(-x)=fx),且fx)在区间(-o,0]上是增函数，则() Af(-2)<f2 B.f-1)<f() c.f(-)<f2) D.f2)<f(-引 例2.若奇函数f8)在[1,3上为增函数且有最小值0，则它在[-3，-1]上() A是减函数，有最大值0 B.是减函数，有最小值0 C.是增函数，有最大值0 D.是增函数，有最小值0 例3.已知函数y=fx)是R上的偶函数，且f8在[0，+oo上是减函数，若f(a)≥f(-2), 则a的取值范围是() A.a≤-2 B.a22 C.a≤-2或a22 D.-2≤a≤2 例4.已知f8)是定义在R上的偶函数，且在区间(-∞，0)上是增函数。若f(-3)=0,则 堡<0的解集为 例5.已知奇函数f8)的定义域为[-2,2，且在区间[-2,0]内递减，求满足： f(1-m)+f(1-m习<0的实数m的取值范围。 例6.设f8)的图像关于原点对称，且在(0，+∞)上是增函数，f3)=0, 则xf(8<0的解集为 例7.己设函数f8)是定义在R上的奇函数，且在区间(-∞，0)上是减函数，实数a满足不等式 f3a2+a-3)<f3a2-2a),求实数a的取值范围. 例8.已知fx)是定义在R上的奇函数，且f8)= (1)求m,n的值； (2)用定义证明f8)在(-1,1)上为增函数： (3)若f8)≤号对xE(-青，专)恒成立，求a的取值范围 抽象函数的单调性和奇偶性 【典型例题】 例1.已知函数fx)对于任意xy∈R,总有f8)+fy)=f(x+y),且当x>0时，f8)<0 求证：f8)在R上是减函数； 例2.已知定义在区间0，+)上的函数f8满足f(完)=f(x)-f2),且当x>1时， f8)<0。 (1)求f(1)的值： (2)判断f8)的单调性； (3)若f3=-1,求f8)在[2,9]上的最小值。 例3.已知函数fx),当xyeR时恒有fk+y)=fx)+fy). ①求证：函数f8)是奇函数： ②若f(-3)=a,试用a表示f(24) 例4设函数y=f8)(x∈R且)对任意非零实数x1,x2,恒有fx)=f(x)+fk), (1)求证：f(1)=f-1)=0; (2)求证：y=fx)是偶函数； (3)已知y=fx)为(0，+o)上的增函数，求适合f8)+f(x-)≤0的x的取值范围. 参考答案 1.D2.C3D4☒-3<x<0或x>3}5.-1≤m<1 6.(-3,0)U(0,3)7.a>1 8.(1)m=0,n=0 (2)证明：任取-1<<<1，f-〔== 8升1x8+1) (+1件1) =ss=r在x +1升1 +1X81 因为-1<81<1，-1<82<1，所以-1<182<1，所以1-8182>0，又81<X2,所以 1-2<0,所以f)-fx)<0, 即fx)<fx).所以f8)在(-1,1)上单调递增， (3)由(2)知fx)在(-1,1)上单调递增， 所以fx)在-寺，]上的最大值为f()=品.依题意，号>品，所以>品. 抽象函数的单调性和奇偶性 1.令81<&2，：f8)+fy)=f(x+y),且fx=y是R上的奇函数， f&)-fx)=fx)+f-8)=f62x),:81<2,8281>0 :当x>0时，f8)<0,fk2x)<0,fk)-fx)<0, 即f)<f(&),所以y=fx是R上的减函数 2.(1)令81=82代入可得f(1)=0: (2)设x1>x2>0,则密>1，f(袋)<0，·fk)-f(x=f(空)<0 所以fx)在(0，+∞)上单调递减 (3):fx)在(0，+∞)上单调递减，·fx)在[2,9]上的最小值为f(9), f(号)=f(9)-f3),· f(9)=2f(3)=-2,fx)的最小值为-2 3.①函数f8)是奇函数；②f24)=-8a 4.1)由f)=fx)+fk2xx2≠0)，有f(1)=f1)+f1)=2f1), f)=0，而f1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1),a2f(-1)=0，即f(-1)=0. (2)对任意的x≠0，都有f(-x)=f-1)+fx)=fx),:fx为偶函数 (3)由f6)=fx)+f6x2≠0)，可得f8)+f(x)=f(x2-x), 由f8)+f(x-)≤0，而fx)为偶函数且f(1)=0,有f(x2-号x)≤f(1) k2-刻≤1 又：f8在(0，+∞)上是增函数， 2.x+0期符9≤x≤平Kt0. 8+号