天津市2025-2026学年八年级第二学期数学期末押题模拟练习卷

**基本信息** 本卷覆盖二次根式、勾股定理、函数等八年级核心知识，融合赵爽弦图（文化传承）、智能机器人测试（科技情境）等素材，通过基础题与综合题梯度设计，考查运算能力、几何直观与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|二次根式意义、勾股定理（赵爽弦图）、方差、函数性质|第8题以弦图考勾股定理，体现文化数学；第12题折叠多结论判断，考查空间观念| |填空题|6/18|二次根式运算、直角三角形性质、加权平均数、平行四边形坐标|第17题正方形综合题，融合中点与勾股定理，培养推理能力| |解答题|6/46|二次根式混合运算、统计分析、一次函数应用、几何折叠综合|第23题机器人运动图像，考查函数建模；第24题折叠与坐标结合，提升创新应用能力|

天津市2025-2026学年八年级第二学期数学期末押题模拟练习卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，两个较小正方形的面积分别为9，16，则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 7 D. 25 3. 某校甲、乙、丙、丁四位同学参加体育训练，近期进行了10次跳绳测试，四位同学跳绳测试的平均成绩都是每分钟174个，四位同学跳绳测试成绩的方差分别是，，，，则这10次跳绳测试中发挥最稳定的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4.在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. B. C. 3 D. 2 5. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 图象必经过第一、二、三象限 C. 图象与轴的交点坐标是 D. 当时， 6. 如图，若菱形的周长为16，则边的中点E到对角线的交点O的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7.反比例函数过点，则的值为（ ） A. 1 B. 6 C. D. 8. 如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为25，的长为7，则小正方形的边长为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 9. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 14 B. C. 7 D. 10. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接、则的度数为（ ） A. B. C. D. 11.如图，一次函数（，为常数，且）的图象与直线都经过点，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，矩形纸片，点为边上的动点，将沿折叠得到，连接．则下列结论：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为；③当时，．④当点运动到与重合时，的面积为，其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 计算的结果为___． 14.在中，，，，则的长为________． 15. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是9分，9分，8分、若将三项得分依次按比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分． 16. 如图，在平面直角坐标系中，若的顶点，则顶点D的坐标为_______． 17.如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，则的长为_________． 18. 如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是________； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为________． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 如图，在中，，E，F分别是边的中点，连接求证：． 21.为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），该校八年级数学兴趣小组随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题． （1）填空：a的值为______，图①中m的值为______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数、中位数和平均数． 22.已知一次函数（k，b为常数，）的图象经过点，． （1）求该一次函数的解析式； （2）求该一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标； （3）当时，求该一次函数的函数值y的取值范围． 23. 某公司科研人员对新型智能机器人进行测试，三个测试点甲、乙、丙三个地方依次分布在一条直线上，测试点乙距离甲处，测试点丙距离甲处．一款新型智能机器人某段时间内一直在甲，乙，丙三个测试点之间活动，从甲处匀速走到乙处，停留一段时间后继续匀速走到丙处，停留后，从丙处匀速返回甲处．该款新型智能机器人在这段时间内离测试点甲的距离随离开测试点甲的时间变化关系图象如下． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 机器人离开测试点甲的时间 5 10 19 32 机器人离测试点甲的距离 120 （2）当时，请直接写出机器人离测试点甲的距离关于时间的函数解析式；并写出相应的的取值范围； （3）当第一个智能机器人离开甲地时，第二个智能机器人也从甲地出发，速度与第一个机器人离开甲地时的速度相同，第二个智能机器人以这个速度直接到达丙地，途中与第一个机器人相遇，求两个机器人相遇时与甲地的距离是多少（直接写出结果即可）？ 24. 如图1，将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且． （1）填空：点B的坐标为______，直线的解析式为______； （2）若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上，点C的对应点为．设．若直线l与边相交于点Q，当折叠后四边形与的重叠部分为五边形时，与相交于点E． ①如图2，用含有t的式子表示点E的坐标，并直接写出t的取值范围； ②如图3，过点E作轴，与相交于点F，连接，，当最小时，直接写出此时点E的坐标和的值． 天津市2025-2026学年八年级第二学期数学期末押题模拟练习卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数为非负数时，二次根式有意义是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，即可求解． 【详解】解：根据题意得 ， 解得， 故选：B． 2. 如图，两个较小正方形的面积分别为9，16，则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 7 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据三个正方形的三条边组成一个直角三角形，得到字母A所代表的正方形的面积等于两个较小正方形的面积之和，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：三个正方形三条边组成一个直角三角形， 由勾股定理，得：字母A所代表的正方形的面积； 故选D． 3. 某校甲、乙、丙、丁四位同学参加体育训练，近期进行了10次跳绳测试，四位同学跳绳测试的平均成绩都是每分钟174个，四位同学跳绳测试成绩的方差分别是，，，，则这10次跳绳测试中发挥最稳定的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】比较方差的大小，根据方差的意义求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴丙的方差最小， 所以这四个人发挥最稳定的选手是丙， 故选：C． 4.在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的距离公式．根据平面直角坐标系中点到原点的距离公式，利用勾股定理直接计算即可． 【详解】解：点到原点的距离是 故选：A． 5. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 图象必经过第一、二、三象限 C. 图象与轴的交点坐标是 D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的性质以及图象上的点的坐标特征对各个选项进行判断即可． 本题考查一次函数的性质，熟知“当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大”是解题的关键． 【详解】解：A、函数中，故随的增大而增大，本选项正确． B、，，图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，本选项错误． C、令，得，图象与轴交点为，而非，本选项错误． D、时，随增大而增大，时，故时，本选项错误． 故选：A． 6. 如图，若菱形的周长为16，则边的中点E到对角线的交点O的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线． 由菱形的性质得到，O为边的中点，再根据三角形中位线作答即可． 【详解】解：∵菱形的周长为16，O为对角线的交点， ∴， O为边的中点， ∵E为边的中点， ∴为的中位线， ∴， 故选：B． 7.反比例函数过点，则的值为（ ） A. 1 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，将已知点的坐标代入反比例函数解析式，解方程即可求出k的值，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数过点， ∴将代入函数解析式， ∴， 得， 故选：B 8. 如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为25，的长为7，则小正方形的边长为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据全等三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 小正方形的边长为17， 故选：C． 9. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 14 B. C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，由正方形的面积得，，由勾股定理得，即可求解；能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， ； 故选：C． 10. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接、则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图；线段垂直平分线的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质与判定，根据菱形的性质得到，由等边对等角和三角形的内角和定理求出的度数，根据作图得到在的中垂线上，得到，等边对等角，得到的度数，利用角的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ． 由作图可知点E在线段的垂直平分线上， ∴， ， ． 故选：C． 11.如图，一次函数（，为常数，且）的图象与直线都经过点，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，会根据一次函数图象写出不等式的解集．观察图象，写出直线在直线的上方，所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与直线都经过点， 故当时，． 故选：D． 12. 如图，矩形纸片，点为边上的动点，将沿折叠得到，连接．则下列结论：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为；③当时，．④当点运动到与重合时，的面积为，其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，直角三角形的性质，正方形的证明，全等三角形的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键．当时，根据折叠的性质得到，，可判断①结论；当时，过点作于点，根据折叠的性质和含30度角的直角三角形求解，可判断②结论；当时，根据折叠的性质，得出、、三点共线，设，再利用勾股定理求解，可判断③结论；当点运动到与重合时，过点作于点，与交于点，根据折叠的性质，证明，设，利用勾股定理和三角形面积公式求解，可判断④结论． 【详解】解：矩形纸片， ，，， 当时，如图， 由折叠的性质可知，，，， ，此时点在上， ， 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形，①结论正确； 当时，如图，过点作于点， 由折叠的性质可知，，， ， ， ， 的面积，②结论错误； 当时，如图， 由折叠的性质可知，，，， ， 、、三点共线， 在中，， 设，则，， 在中，， ， 解得：，即，③结论正确； 当点运动到与重合时，如图，过点作于点，与交于点， 由折叠的性质可知，，， ，， 又， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， ， ， 的面积，④结论正确， 结论正确的有个， 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 计算的结果为___． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式计算后再加减即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 14.在中，，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式．根据所对的直角边等于斜边的一半求解，再利用勾股定理求解即可． 详解】解：，，， ， ∴． 故答案为：． 15. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是9分，9分，8分、若将三项得分依次按比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分． 【答案】8.7 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键．根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【详解】解：小明的最终比赛成绩为分． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，若的顶点，则顶点D的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，平行四边形对角线的中点坐标相同，则，据此求解即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，的顶点， ∴， ∴， ∴顶点D的坐标为， 故答案：． 17.如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】分别连接AC、CH、CF，CF交HE于点O，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，分别求得HO和OE的长后即可求得HE的长． 【详解】解：如图：分别连接AC、CH、CF，CF交HE于点O， ∵AC、CF分别是正方形ABCD和正方形CGFE的对角线， ∴∠ACD＝∠GCF＝45°， ∴∠ACF＝90°， 又∵H是AF的中点， ∴CH＝HF， ∵EC＝EF， ∴点H和点E都在线段CF的中垂线上， ∴HE是CF的中垂线， ∴点H和点O是线段AF和CF的中点， ∴OH＝AC， 在Rt△ACD和Rt△CEF中，AD＝DC＝1，CE＝EF＝3， ∴AC＝， ∴CF＝3， 又OE是等腰直角△CEF斜边上的高， ∴OE＝， ∴HE＝HO＋OE＝2． 故答案为：2． 18. 如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是________； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为________． 【答案】 ①. 10 ②. 1或 【解析】 【分析】本题考查一次函数解析式，三角形的面积，正确理解题意是解题的关键： （1）联立，求出，再求出，进而可求出面积； （2）求出，再得出的面积是，设，得出，即，求出或，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 所以， 令，则0， 解得， 所以， 所以的面积是； （2）因为点在直线上， 所以， 所以， 因为的面积是面积的， 所以的面积是， 设， 因为， 所以 ． 因为，即， 则或， 当时，解得，所以； 当时，解得，所以． 当时， 得出， 解得； 当时， 得出， 解得； 所以的值为1或， 故答案为：10；1或． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式、去括号，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的除法、乘方，再去括号，最后计算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在中，，E，F分别是边的中点，连接求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由平行四边形得出，结合，得出，因为直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，得出，证明边形是菱形，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵E，F分别是边的中点， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是菱形， ∴． 21.为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），该校八年级数学兴趣小组随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题． （1）填空：a的值为______，图①中m的值为______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数、中位数和平均数． 【答案】（1）50；26 （2）众数为，中位数为，平均数为 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，求中位数，平均数和众数，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用时间为的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，即a的值；再用时间为的人数除以参与调查的人数再乘以百分之一百即可求出m的值； （2）根据中位数，众数和平均数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：名， ∴这次一共调查了50名学生，即， ∴，即； 【小问2详解】 解：∵时长为的人数最多， ∴众数为； 把这50名学生每周参加科学教育的时间按照从低到高排列，中位数为第25个数据和第26个数据的平均数， ∵， ∴中位数为； 平均数为． 22.已知一次函数（k，b为常数，）的图象经过点，． （1）求该一次函数的解析式； （2）求该一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标； （3）当时，求该一次函数的函数值y的取值范围． 【答案】（1）； （2），； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法和步骤，以及一次函数性质． （1）将点A和点B的坐标代入，求出k和b的值，即可得出一次函数解析式； （2）分别求出当时x的值，以及当时x的值，即可得出一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标； （3）根据一次函数的性质得出该一次函数的函数值y随x的增大而减小，再求出当时，当时，时y的值，即可求出 y的取值范围． 【小问1详解】 解：点A，B在该一次函数的图象上， 解得 该一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，由， 解得； 当时，． 该一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为，； 【小问3详解】 解：， 该一次函数的函数值y随x的增大而减小． 当时，，当时，． 当时，该一次函数的函数值y的取值范围是． 23. 某公司科研人员对新型智能机器人进行测试，三个测试点甲、乙、丙三个地方依次分布在一条直线上，测试点乙距离甲处，测试点丙距离甲处．一款新型智能机器人某段时间内一直在甲，乙，丙三个测试点之间活动，从甲处匀速走到乙处，停留一段时间后继续匀速走到丙处，停留后，从丙处匀速返回甲处．该款新型智能机器人在这段时间内离测试点甲的距离随离开测试点甲的时间变化关系图象如下． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 机器人离开测试点甲的时间 5 10 19 32 机器人离测试点甲的距离 120 （2）当时，请直接写出机器人离测试点甲的距离关于时间的函数解析式；并写出相应的的取值范围； （3）当第一个智能机器人离开甲地时，第二个智能机器人也从甲地出发，速度与第一个机器人离开甲地时的速度相同，第二个智能机器人以这个速度直接到达丙地，途中与第一个机器人相遇，求两个机器人相遇时与甲地的距离是多少（直接写出结果即可）？ 【答案】（1）75，220，320 （2） （3）两机器人相遇时离甲地120米或300米 【解析】 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，一次函数的应用； （1）分别求解机器人在不同阶段的速度，再计算距离即可； （2）当时，结合（1）可得：，当时，，当时，速度为每秒米，进一步写出解析式即可； （3）求解，（） 当时，可得，当时，可得，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：， ∴当时，机器人离测试点甲的距离为（米）， ∵， ∴当时，机器人离测试点甲的距离为（米）， 结合题意可得：当时，机器人离测试点甲的距离为（米）， 填表如下： 机器人离开测试点甲的时间 5 10 19 32 机器人离测试点甲的距离 120 【小问2详解】解：当时，结合（1）可得：， 当时，， 当时，速度为每秒米， ∴， 综上： 【小问3详解】 解：∵当第一个智能机器人离开甲地时，第二个智能机器人也从甲地出发，速度与第一个机器人离开甲地时的速度相同， ∴，（） 当时， ， 解得：， 此时与甲地的距离为（米）， 当时， ∴， 解得：， 此时与甲地的距离为（米）， 综上：两机器人相遇时离甲地120米或300米. 24. 如图1，将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且． （1）填空：点B的坐标为______，直线的解析式为______； （2）若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上，点C的对应点为．设．若直线l与边相交于点Q，当折叠后四边形与的重叠部分为五边形时，与相交于点E． ①如图2，用含有t的式子表示点E的坐标，并直接写出t的取值范围； ②如图3，过点E作轴，与相交于点F，连接，，当最小时，直接写出此时点E的坐标和的值． 【答案】（1）； （2）①，；②最小，此时 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，折叠性质，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点C作于点H，根据特殊角计算出，根据平行四边形的性质可计算出点B的坐标，再由待定系数法可求直线的解析式； （2）①由直线轴且折叠后点O的对应点落在x轴正半轴上，得出一些线段相等和角相等的关系．根据四边形是平行四边形且，证明是等腰直角三角形，过点E作于点M，根据等腰直角三角形的性质可求点E的坐标；分别找出两种特殊情况：当与点A重合时，以及当与点B重合时，计算出这两种情况下t的值，从而确定t的取值范围； ②设与交于点，先求出，得到，再证明四边形是平行四边形和四边形是矩形，得到，，求出，最后利用勾股定理构造图形求出的最小值即可． 【小问1详解】 解：过点C作于点H， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为，将、代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：①∵过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， 如图，过点E作于点M， ∴， ∴， ∴， 当与点A重合时， 此时与的交点E与A重合，； 当与点B重合时， 此时与的交点E与B重合，， ∴t的取值范围为； ②设与交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵直线轴，，轴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 构造图形如下： 其中正方形，，，则，， ∴，， ∴， ∴当、、三点共线时最小，此时，则， ∴， 解得， ∴当时，最小，此时． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $