小升初数学考前易错小题狂做：应用题分类精练（十大类）-2026年小升初数学考前重难考点突破（江苏专用）

**基本信息** 聚焦小升初数学应用题十大类易错点，通过中国空间站、地铁S1线等真实情境设计梯度问题，强化解题能力与核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |应用题|60题|分数与百分数、立体/平面图形、比和比例、分段计费等十大类|结合科技情境（如第3题空间站人数计算）、生活优化（如第33题春游购票方案）、规律探究（如第57题图形瓷砖规律），体现分层与实际应用|

2026小升初数学考前易错小题狂做：应用题分类精练（十大类） 考点目录 一、超级经典考点：分数与百分数应用题——钥匙就是先单位”1“， 1 二、立体图形（长方体、正方体、圆柱体），图形变换是难点，可以尝试示意图。 7 三、平面图形类：分清周长与面积，巧割补，妙平移，灵活求面积。 12 四、经典题型：比、比例和分数的融合 19 五、分段计费问题：学会分段，准确计算。 22 六、方案优化类：分类计算再比较，有时不足可凑数。 28 七、和差倍与归总类。 32 八、工程类：学会总量看作“1”，按人列式或按工作方式列式两大法宝。 34 九、行程类：时间、速度与路程，步步 39 十、探索规律类：核心是先写成相同的形式，再找出规律。 43 一、超级经典考点：分数与百分数应用题——钥匙就是先单位”1“， 1．李叔叔要把一车货物从A城运到B城。经过1.5小时行驶了全程的75%，此时正好到达距A、B两城的中点30千米处。A、B两城相距多少千米？ 【答案】120千米 【思路引导】根据题意，把全程看作单位“1”，则30千米占全程的（75%），用除法计算，即可求出A、B两城相距多少千米。 【详解】30÷（75%） ＝30÷（0.75－0.5） ＝30÷0.25 ＝120（千米） 答：A、B两城相距120千米。 2．元旦学校准备购买88本同样的笔记本做奖品，笔记本原价每本10元，下面三家商场采取了不同促销方法，学校选哪个商场购买比较便宜？写出计算过程。 苏宁广场：打八五折出售 百盛商场：买四送一 大东方百货：每满100元返还现金20元。 【答案】百盛商场 【思路引导】苏宁广场：打八五折出售，先根据“单价×数量＝总价”求出原价购买88本笔记本需花的钱数，再乘85%即是在苏宁广场购买笔记本实际所需的钱数； 百盛商场：把“买四送一”看作一组，先用除法求出88本里有几组，再求出实际需买笔记本的本数；然后根据“单价×数量＝总价”，求出在百盛商场购买笔记本实际所需的钱数； 大东方百货：每满100元返还现金20元，先根据“单价×数量＝总价”求出原价购买88本笔记本需花的钱数，再用除法求出总价里有几个100元，就减去几个20元，即可求出在大东方百货购买笔记本实际所需的钱数； 最后比较三家商场购买88本笔记本实际所需的钱数，得出在哪家商场购买比较便宜。 【详解】苏宁广场： 10×88×85% ＝880×0.85 ＝748（元） 百盛商场： 一组：4＋1＝5（本） 88÷5＝17（组）……3（本） 实际需买的本数： 4×17＋3 ＝68＋3 ＝71（本） 实际需付：10×71＝710（元） 大东方百货： 10×88＝880（元） 880÷100＝8（个）……80（元） 880－20×8 ＝880－160 ＝720（元） 710＜720＜748 答：学校选百盛商场购买比较便宜。 【点睛】根据三家商场不同的优惠方案分别求出每家商场购买笔记本需要的钱数，再比较即可。 3．中国空间站建设凝聚了许多科研工作者的心血与汗水，火箭研发中心、飞船研发中心、材料研发中心都有许多科研工作者。其中火箭研发中心有160人，关于这三个研发中心的科研工作者人数还有以下的信息，请选择合适的信息解答问题。 ①火箭研发中心的人数是总人数的； ②飞船研发中心、火箭研发中心两个中心的人数比是3∶4； ③材料研发中心人数比飞船研发中心人数多； ④材料研发中心人数比总人数的40%多8人。 请选择合适信息，计算材料研发中心有科技工作者多少人？ 【答案】①④，200人。 【思路引导】选择①④，用火箭研发中心的人数除以火箭研发中心的人数占总人数的分率，得出总人数，再乘40%，最后加8人，即可得材料研发中心有科技工作者的人数。 【详解】①④ 160÷×40%＋8 ＝480×40%＋8 ＝192＋8 ＝200（人） 答：材料研发中心有科技工作者200人。 【点睛】本题主要考查了比的应用，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算；已知一个数，求它的百分之几是多少，用乘法计算。 4．小明是一个小统计迷，某天他统计了学校六（1）班和六（2）班的人数后，回去跟妈妈交流，给了妈妈这样几条信息： ①这两个班的人数正好相等； ②六（1）班的女生人数比六（2）班的女生人数少10%； ③六（1）班的男生人数与六（2）班全班人数的比是11∶20； ④六（2）班有女生20人。请你帮小明妈妈计算出： （1）六（1）班女生有多少人？ （2）六（2）班男生有多少人？ 【答案】（1）18人； （2）20人 【思路引导】（1）六（1）班的女生人数＝六（2）班的女生人数×（1－10%），已知六（2）班有女生20人，代入数值解答即可。 （2）设六（1）班的男生人数为11x人，则六（2）班全班人数为20x人，列出方程即可。 【详解】（1）20×（1－10%） ＝20×0.9 ＝18（人） 答：六（1）班女生有18人。 （2）由题（1）可知六（1）班的女生人数比六（2）班的女生人数少20－18＝2（人），又因为两个班人数相等，所以六（1）班的男生人数比六（2）班的男生人数多2人，设六（1）班的男生人数为11x人，则六（2）班全班人数为20x人，据此列方程如下： 20x－20＋2＝11x 9x＝18 x＝2 2×20－20 ＝40－20 ＝20（人） 答：六（2）班男生有20人。 【点睛】找出题目中的数量关系，是解答此题的关键。 5．一套童装在甲、乙两个商场的原价均为280元。“六一”期间，甲商场“每满100元减25元”，乙商场按八折优惠。如果从价格这一方面考虑，那么应去哪个商场购买这套童装？ 【答案】乙商场 【思路引导】甲商场“每满100元减25元”，其中280元里有2个100元，所以要减2×25＝50（元）；乙商场按八折优惠，就是用原价乘80%；分别求出现价比较即可。 【详解】甲商场：280÷100＝2（个）……80（元） 280－2×25 ＝280－50 ＝230（元） 乙商场：280×80%＝224（元） 230＞224 答：如果从价格这一方面考虑，那么应去乙商场购买这套童装。 6．春节赏灯承载着“燃灯照岁”的传统寓意，迎新春某公园户外要放一个大型的长方体花灯，四位叔叔正在制作，你能根据他们的谈话，解决下面的问题吗？ 甲：这个长方体的棱长总和是52米。 乙：如果高增加2米，就变成了一个正方体。 丙：是呀，这时表面积比原来增加40平方米。 丁：长方体花灯上面装饰了红、绿、黄三种颜色的小彩灯，红灯的数量占总数的，绿灯是黄灯的，红灯比绿灯多买了100个。 (1)如果给这个花灯的侧面贴一圈彩布，贴彩布的面积至少是多少平方米？ (2)三种颜色的小彩灯一共有多少个？ 【答案】(1)60平方米 (2)1400个 【思路引导】（1）长方体花灯的高增加2米就变成了一个正方体，则正方体花灯的棱长总和是（52＋2×4＝60）米。正方体12条棱长度相等，这个正方体花灯的棱长是（60÷12＝5）米。原来长方体花灯的长是5米，宽是5米，高是（5－2＝3）米。长方体侧面积＝底面周长×高，把数据代入计算即可。 （2）红灯的数量占总数的，黄灯和绿灯的个数和占总数的（1－＝）。绿灯是黄灯的，绿灯个数和黄灯个数比是3∶7，黄灯和绿灯的个数和有（3＋7＝10）份，绿灯个数占黄灯和绿灯的个数和的。绿灯个数占彩灯总个数的（×＝）。红灯个数比绿灯个数多占总数的（－）。红灯比绿灯多买了100个，根据对应量÷对应分率＝单位“1”，用100除以（－），即可算出三种颜色的小彩灯一共有多少个。 【详解】（1）52＋2×4 ＝52＋8 ＝60（米） 60÷12＝5（米） 5－2＝3（米） 5×4×3 ＝20×3 ＝60（平方米） 答：贴彩布的面积至少是60平方米。 （2）1－＝ × ＝× ＝ 100÷（－） ＝100÷（－） ＝100÷ ＝100×14 ＝1400（个） 答：三种颜色的小彩灯一共有1400个。 【点睛】解答此题的关键是把绿灯是黄灯的转化成绿灯个数和黄灯个数比是3∶7，再求出绿灯占总数的几分之几。 7．某学校原来有学生1960人，其中女生人数比男生人数少4%。开学转走了一批男生，这时女生人数比男生人数少，开学转走了男生多少人？ 【答案】10人 【思路引导】其中女生人数比男生人数少4%，把男生人数看作单位“1”，女生人数是男生人数的1－4%，用总人数1960除以对应的分率，可求出男生人数。再用总数减去男生人数得女生人数。转走了一批男生，这时女生人数比男生人数少，是把现在的男生人数看作“1”，女生人数是现在的男生人数的1－，因为转走的是男生，所以女生人数没有变化，用女生人数除以现在对应的分率，可求出现在的男生人数。最后与原有男生人数进行比较，可知转走了男生多少人。 【详解】原来的男生人数： （人） 女生人数：1960－1000＝960（人） 现在的男生人数： （人） 转走男生：1000－990＝10（人） 答：开学转走了男生10人 【点睛】先找准单位“1”的量，利用量除以对应的分率求出单位“1”的量，抓住关键点是女生人数不变。 二、立体图形（长方体、正方体、圆柱体），图形变换是难点，可以尝试示意图。 8．有一个密封的长方体容器，长12厘米，宽10厘米，高8厘米，里面水深3厘米，如果以这个容器的左面为底放在桌上，这时水深多少厘米？ 【答案】4.5厘米 【思路引导】已知长方体容器长12厘米、宽10厘米、水深3厘米，根据“长方体体积＝长×宽×高”计算出水的体积； 以这个容器的左面为底放在桌上，容器的左面是宽与高组成的面，则底面长10厘米、宽8厘米，根据“长方形面积＝长×宽”求出底面积； 水的体积是固定的，用水的体积除以新的底面积，即可得到此时水的深度。据此解答。 【详解】12×10×3 ＝120×3 ＝360（立方厘米） 10×8＝80（平方厘米） 360÷80＝4.5（厘米） 答：这时水深4.5厘米。 【点睛】 需识别出水的体积保持不变，再确定以左面为底时的底面积（宽×高），最后用体积除以新底面积求出水深。 9．在一个长20厘米，宽15厘米长方体的容器中，浸没着一块长方体铁块（横着放置），水的高度是9厘米。如果把铁块竖直放置（铁块底面与容器底面完全接触），铁块会有10厘米高的部分露出水面，这时容器中水的高度是7厘米。这个铁块的体积是多少？现在再把铁块向上提起5厘米，此时水深多少厘米？ 【答案】1020立方厘米；6厘米 【思路引导】长方体的体积＝长×宽×高＝底面积×高。 根据题意，当铁块横着放置时，水的体积与铁块的体积之和等于容器的底面积乘水的高度（9厘米）；当铁块竖直放置时，水的体积与铁块浸入水中部分的体积之和等于容器的底面积乘新的水位高度（7厘米）； 铁块的总高度等于露出水面的10厘米加上浸入水中的7厘米，即17厘米； 设铁块的底面积为平方厘米，则铁块的体积是（10＋7）立方厘米；根据水的体积不变可列出方程，求出铁块的底面积，进而计算出铁块的体积，再把的值代入方程的一边计算出水的体积； 现在把铁块向上提起5厘米，那么铁块浸入水中的高度变为7－5＝2厘米；用容器的底面积乘2，求出此时铁块浸入水中的体积，加上水的体积，即是此时浸入水中铁块的体积与水的体积之和，再除以容器的底面积，求出此时水的深度。 【详解】解：设铁块的底面积为平方厘米。 铁块体积：（立方厘米） 水的体积： （立方厘米） 铁块向上提起5厘米后，铁块浸入水中部分的体积： （立方厘米） 提起后水和浸入水中部分的铁块体积之和： （立方厘米） 提起后水深： （厘米） 答：这个铁块的体积是1020立方厘米。再把铁块向上提起5厘米，此时水深6厘米。 【点睛】通过比较铁块横放和竖放时水位变化的关系，根据水的体积不变，列出方程，求出铁块的体积以及水的体积；当提起铁块后，铁块浸入水中部分减少，排开水量减少，分析提起铁块后容器内的水位变化。 10．陈爷爷家的老屋要翻建，从老屋上拆下一根圆柱形的木料（如图）。 （1）这根木料的侧面有一层斑驳的红漆，原来刷红漆的部分有多少平方厘米？ （2）现在要把这根木料加工成方木（横截面为正方形），这根方木的体积最大是多少立方厘米？合多少立方分米？ 【答案】（1）17584平方厘米；（2）78400立方厘米；78.4立方分米 【思路引导】（1）刷红漆部分的面积就是圆柱的侧面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此计算即可解答； （2）根据题意，把圆柱形木材加工成最大的方木，方木底面正方形的对角线等于圆的直径，把这个正方形看作完全相同的两个三角形，每个三角形的底等于直径，高等于半径，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，求出方木的底面积，然后根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。 【详解】（1）3.14×28×200 ＝87.92×200 ＝17584（平方厘米） 答：原来刷红漆的部分有17584平方厘米。 （2）28×（28÷2）÷2×2×200 ＝28×14÷2×2×200 ＝392÷2×2×200 ＝196×2×200 ＝392×200 ＝78400（立方厘米） 78400立方厘米＝78.4立方分米 答：这根方木的体积最大是78400立方厘米，合78.4立方分米。 【点睛】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是明白：方木底面正方形的对角线等于圆的直径，把这个正方形看作完全相同的两个三角形。 11．一个圆柱的侧面展开后是一个正方形。若将这个圆柱的高减少2厘米，则表面积比原来减少62.8平方厘米。原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】2464.9立方厘米 【思路引导】如下图：如果圆柱的高减少2厘米，表面积就比原来减少62.8平方厘米，那么表面积减少的是高为2厘米的圆柱的侧面积；圆柱侧面积＝底面周长×高，则底面周长＝圆柱侧面积÷高，用62.3平方厘米除以2计算出底面周长。 又知：圆的底面周长＝2×π×底面半径，进而代入数据计算出圆柱的底面半径。 由题意知：圆柱的侧面展开后是一个正方形，所以圆柱的底面周长和高相等。利用圆柱的体积＝底面积×高，计算出圆柱的体积即可。 【详解】圆柱的底面周长（也是原来圆柱的高）：62.8÷2＝31.4（厘米） 圆柱的底面半径：31.4÷2÷3.14 ＝15.7÷3.14 ＝5（厘米） 圆柱的底面积： ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 圆柱的体积：78.5×31.4＝2464.9（立方厘米） 答：原来圆柱的体积是2464.9立方厘米。 【点睛】圆柱的侧面展开图是一个正方形，说明这个圆柱的底面周长和高相等。 12．一个圆柱杯内装有水，水面高是2.5厘米，杯内的底面积为72平方厘米，放进棱长是6厘米正方体铁块，铁块没有被水完全淹没，那么这时水面的高度是多少厘米？ 【答案】5厘米 【思路引导】由题意知，原来杯中的水可以看成是底面积为72平方厘米、高为2.5厘米的圆柱体，现在放入棱长6厘米的正方体的铁块后，水面没有淹没，这时可以将水看作是底面积为72－6×6＝36（平方厘米）的圆柱体，由于水的体积没有变，所以可求得水的体积后再除以36即是后来水面的高度。 【详解】72×2.5÷（72－6×6） ＝180÷（72－36） ＝180÷36 ＝5（厘米） 答：这时水面的高度是5厘米。 【点睛】解决本题的关键是理解水的体积没有变，变的是底面积，求出水的体积，再除以后来的底面积，就是水面的高度。 13．用一根长48厘米的铁丝做一个长方体框架，使它的高为8厘米，长和宽的比是1∶1。如果把它的侧面糊上纸，那么至少需要多少平方厘米的纸？ 【答案】64平方厘米 【思路引导】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的长、宽之和＝棱长总和÷4－高，求出长与宽之和，再按比例分配求出长、宽；求长方体的侧面糊纸的面积，就是求长方体的前后面和左右面共4个面的面积之和，因长、宽相等，所以这4个面的面积相等，面积之和是“长（或宽）×高×4”，代入数据计算即可。 【详解】长与宽之和： 48÷4－8 ＝12－8 ＝4（厘米） 长或宽：4×＝2（厘米） 长方体的侧面积： 2×8×4 ＝16×4 ＝64（平方厘米） 答：至少需要64平方厘米的纸。 【点睛】掌握长方体的特征，灵活运用棱长总和公式、表面积公式，以及利用按比例分配的方法求出长方体的长、宽是解题的关键。 14．一圆柱形杯子，从里面量底面半径6厘米。现装入半杯水，并放入一个高9厘米的圆锥形铅锤。铅锤完全浸没在水中，容器中的水上升了0.5厘米。铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】18.84平方厘米 【思路引导】根据题意可知，把圆锥形铅锤放入圆柱形容器中，上升部分水的体积就等于这个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出这个圆锥的体积，再根据圆锥的体积公式：V＝Sh，那么S＝Vh，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×62×0.5÷9 ＝3.14×36×0.5×3÷9 ＝56.52×3÷9 ＝169.56÷9 ＝18.84（平方厘米） 答：铅锤的底面积是18.84平方厘米。 【点睛】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 三、平面图形类：分清周长与面积，巧割补，妙平移，灵活求面积。 15． (1)图1是一个直角三角形，两条直角边分别长6分米和3分米。这个直角三角形的面积是( )平方分米。 (2)在直角三角形中画一个正方形（如图2），这个正方形的面积是( )平方分米。 (3)图3中正方形的对角线将原来的直角三角形分成了两个小三角形。其中一个小三角形的底就是6分米，另一个小三角形的底是( )分米，它们的高都是正方形的( )。两个小三角形的面积之和正好是大直角三角形的面积，由此我们可以列出一个等式：( )×正方形的边长÷2＋( )×正方形的边长÷2＝6×3÷2.利用这个关系式可以求出正方形的边长是( )分米。 (4)图中有两个正方形，大正方形的边长是6分米。尝试借助上面的研究过程和相关结果计算阴影部分的面积。 【答案】(1)9 (2)4 (3) 3 边长 6 3 2 (4)16平方分米 【思路引导】（1）根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据即可求出三角形面积。 （2）（3）先做第（3）题：把大三角形分成两个小三角形，底分别6分米、3分米，高都是正方形边长；设正方形边长为x分米，根据两个小三角形面积相加＝大三角形面积列方程，解出边长后代入第（2）题求正方形面积。 （4）如图：利用前面求出的小正方形边长，求出阴影正方形边长，再求面积。 【详解】（1）6×3÷2 ＝18÷2 ＝9（平方分米） （2）2×2＝4（平方分米） （3）解：设正方形的边长为x分米。 6x÷2＋3x÷2＝9 3x＋1.5x＝9 4.5x＝9 4.5x÷4.5＝9÷4.5 x＝2 图3中正方形的对角线将原来的直角三角形分成了两个小三角形。其中一个小三角形的底就是6分米，另一个小三角形的底是3分米，它们的高都是正方形的边长。两个小三角形的面积之和正好是大直角三角形的面积，由此我们可以列出一个等式：6×正方形的边长÷2＋3×正方形的边长÷2＝6×3÷2.利用这个关系式可以求出正方形的边长是2分米。 （4）如图： 阴影边长：6－2＝4（分米） 阴影面积：4×4＝16（平方分米） 答：阴影部分的面积是16平方分米。 16．边长是3厘米的等边三角形ABC沿一条直线无滑动翻滚30次。求A点经过的总路程。 【答案】125.6厘米 【思路引导】等边三角形每一个内角为60°，如图： 翻滚3次为一个周期。第1、2次翻滚时，A点是绕旋转中心转动，翻滚一次经过的路程是圆心角为60°×2，半径为3厘米的扇形的弧长，第3次旋转，A点是旋转中心，没有移动，所以每个周期内A点经过的是2个圆心角为60°×2，半径为3厘米的弧长，即一个周期内A点的路程为：圆周长××2，看30次里边有几个3就有几个周期，用周期数×一个周期内A点的路程＝总路程。 【详解】一个周期内A点经过路程： 2×3.14×3××2 ＝2×3.14×3××2 ＝2×3.14×3××2 ＝12.56（厘米） 周期数：30÷3＝10（个） 12.56×10＝125.6（厘米） 答：A点经过的总路程是125.6厘米。 17．如图，剪两个边长都是10厘米的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形，两个正方形不重叠部分的面积一共是多少平方厘米？ 【答案】150平方厘米 【思路引导】先过O点分别向正方形的边作垂线，画图如下：    因为是正方形，所以OA＝OB，又因为重叠部分是由两个边长都是10厘米的正方形重叠而成，所以三角形AOC和三角形OBD形状大小完全相同，可以将三角形OBD割补到三角形AOC的位置。因此重叠部分就是每个正方形面积的，用两个正方形的面积和减去每个正方形被重叠的面积即可。 【详解】由分析可得： 10×10×2－10×10××2 ＝100×2－100××2 ＝200－25×2 ＝200－50 ＝150（平方厘米） 答：两个正方形不重叠部分的面积一共是150平方厘米。 【点睛】本题考查的是重叠问题，从正方形中心向对边作垂线是解题的关键。 18．改革开放后，农民有了多条致富路，李大叔在镇村党委和政府的关心下，开展了特种鱼类养殖。刚开始，李大叔挖了一个近似的正方形鱼塘，鱼塘边长约为60米，一年后，为了增加特种鱼的养殖数量，李大叔打算扩建鱼塘，扩建后仍然是正方形，如果要把正方形鱼塘的每条边都增加，扩建后鱼塘的面积比原来增加了百分之几？ 【答案】56.25% 【思路引导】把正方形鱼塘的每条边都增加，即把原来四边形的边长看做单位“1”，现在是原来的1＋；据此根据正方形面积公式，计算出扩建后鱼塘的面积和原来鱼塘的面积，再进一步得解。 【详解】扩建后的边长： ＝75（米） 原来的面积：60×60＝3600（平方米） 现在的面积：75×75＝5625（平方米） 扩建后鱼塘的面积比原来增加了：（5625－3600）÷3600 ＝2025÷3600 ＝0.5625 ＝56.25% 答：扩建后鱼塘的面积比原来增加了56.25%。 【点睛】求出扩建后的边长是解题关键。求增加了百分之几用增加的量除以原来的量即可。 19．如图，梯形ABCD中阴影部分的面积是8平方厘米，且A0∶0C＝l∶2，梯形ABCD的面积是多少？ 【答案】36平方厘米 【思路引导】因为AO∶OC＝l∶2，则BO∶DO＝1∶2，再根据等高不等底的三角形的面积比，就等于其对应底的比，于是可得平方厘米，平方厘米，平方厘米，然后将四个三角形的面积加在一起即可得解。 【详解】据分析可知：（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 16＋8＋4＋8＝36（平方厘米） 答：梯形ABCD的面积是36平方厘米。 【点睛】此题重点考查了三角形的性质，三角形的面积与底的比例关系的实际应用解题方法。 20．如图，大正方形的面积是64平方厘米，③号三角形的面积是24平方厘米，涂色的小正方形面积是多少平方厘米？ 【答案】1平方厘米 【思路引导】正方形的面积是64平方厘米，则正方形的边长是8厘米，正方形面积的一半是32平方厘米，则涂色的小正方形面积＋①号三角形的面积＋②号三角形的面积＋③号三角形的面积＝32，设小正方形的边长是x厘米，①号三角形的面积＝x×（8－x）÷2，②号三角形的面积＝x×（8－x）÷2，涂色小正方形的面积＝x×x＝x2，则①号三角形的面积＋②号三角形的面积＋小正方形面积＝大正方形面积的一半－③号三角形的面积，据此列方程并求解，再根据正方形的面积计算公式计算即可求出小正方形的面积。 【详解】正方形的面积是64平方厘米，因为8×8＝64，所以正方形的边长是8厘米， 解：设涂色小正方形的边长是x厘米。 ①号三角形的面积：x×（8－x）÷2， ②号三角形的面积：x×（8－x）÷2， 涂色小正方形的面积：x×x＝x2， x×（8－x）÷2＋x×（8－x）÷2＋x2＝64÷2－24 x×（8－x）÷2×2＋x2＝32－24 8x－x2＋x2＝8 8x＝8 x＝8÷8 x＝1 1×1＝1（平方厘米） 答：涂色的小正方形面积是1平方厘米。 21．同学们，“观察一猜想一验证一结论一应用”是我们常用的数学探究方法。梁希同学在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？梁希同学想出了两种不同的方法（如下图）。 从中可以得到：。观察这个等式的特征，回答问题： （1）猜想：是不是任意两个数都具有这样的规律呢？（    ）（填“是”或“不是”） （2）请举2个例子验证： ①（    ）×（    ）   ②____________________________ （3）如果用和分别表示两个数，这样的规律可以表示为：_______________________ （4）计算下图中圆环的面积，尝试应用上面得到的规律进行简算。（单位：厘米） 【答案】（1）是 （2）10＋6；10－6 82－32＝（8＋3）×（8－3） 92－32＝（9＋3）×（9－3） （3）a2－b2＝（a＋b）×（a－b） （4）23.55平方厘米 【思路引导】（1）猜想任意两个数都具有这样的规律。 （2）根据题意得出规律是：两个数的平方差等于这两个数的和与两个数的差的乘积，据此写出102－62的等式以及列举算式。 （3）用字母表示规律，可以把两个数分别用两个字母表示，然后利用对应的规律解答即可。 （4）根据圆环的面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），化为π×（大圆半径＋小圆半径）×（大圆半径－小圆半径），据此求出圆环的面积，据此解答。 【详解】（1）是不是任意两个数都具有这样的规律呢？是。 （2）102－62＝（10＋6）×（10－6） 82－32＝（8＋3）×（8－3） 92－32＝（9＋3）×（9－3）（答案不唯一） （3）如果a和b分别表示两个数（a＞b），这样的规律可以表示为： a2－b2＝（a＋b）×（a－b） （4）3.14×（4.252－3.252） ＝3.14×（4.25＋3.25）×（4.25－3.25） ＝3.14×7.5×1 ＝23.55×1 ＝23.55（平方厘米） 答：圆环的面积是23.55平方厘米。 四、经典题型：比、比例和分数的融合 22．一个长方形花圃，按1∶300的比例尺画在图纸上，图纸上长方形周长是18厘米，长与宽的比是5∶4。这个花圃的实际面积是多少平方米？ 【答案】180平方米 【思路引导】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，用周长除以2算出一组长与宽的和；用和除以总份数，算出每份的数量再乘长和宽的份数，算出长和宽的图上距离；再根据比例尺的意义，用图上距离乘300算出实际距离，最后根据长方形的面积＝长×宽计算。 【详解】18÷2÷（5＋4） ＝18÷2÷9 ＝1（厘米） 1×5×300＝1500（厘米） 1500厘米＝15米 1×4×300＝1200（厘米） 1200厘米＝12米 15×12＝180（平方米） 答：这个花圃的实际面积是180平方米。 23．六年级学生报名参加数学兴趣小组，参加的同学是六年级总人数的，后来有20人参与，这时参加的同学与未参加的人数的比是3∶4。六年级一共有多少人？ 【答案】210人 【思路引导】把要求的总人数看作单位“1”，增加20人后，参加人数是总人数的，则增加人数对应的总人数的（－），求单位“1”，根据对应量÷对应分率＝单位“1”，用除法解答。 【详解】20÷（－） ＝20÷（－） ＝20÷（－） ＝20÷ ＝20× ＝210（人） 答：六年级一共有210人。 24．六年级三个班的同学共植树550棵，六年级一班植树棵数占总棵数的，六年级二班和六年级三班植树棵数的比是3∶2，六年级三个班各植树多少棵？ 【答案】165棵；231棵；154棵 【思路引导】把三个班植树总棵数看作单位“1”，六年级一班植树棵数占总棵数的，根据分数乘法的意义，用550×即可得出六年级一班植树棵数，计算可得165棵；用550－165可得六年级二班和六年级三班共植树的棵数，对应（3＋2）份，用除法求出每一份后，用每一份的棵数乘3得六年级二班植树棵数；用每一份的棵数乘2得六年级三班植树棵数。 【详解】550×＝165（棵） 550－165＝385（棵） 385÷（3＋2） ＝385÷5 ＝77（棵） 77×3＝231（棵） 77×2＝154（棵） 答：六年级一班植树165棵，六年级二班植树231棵，六年级三班植树154棵。 25．棋牌室里有三堆围棋子，每堆都有90枚。第一堆中的黑子与第三堆中的白子同样多，第二堆中黑子的枚数是白子的5倍。这三堆围棋子中共有多少枚黑子？白子占棋子总数的几分之几？ 【答案】165枚； 【思路引导】由题意知：每堆都有90枚，则第三堆的白子＋第三堆的黑子＝90枚；第一堆中的黑子与第三堆中的白子同样多，即第一堆黑子＝第三堆的白子，所以第一堆黑子＋第三堆的黑子＝90枚； 由题意知：第二堆中黑子的枚数是白子的5倍，将第二堆中白子的枚数看作1份，则第二堆中黑子的枚数是5份，第二堆围棋子的数量是90枚，根据按比分配计算出第二堆黑子的数量，再加上其它两堆黑子的数量即可； 每堆有90枚，则三堆一共（90×3）枚，减去黑子的数量得到白子的数量，再根据求一个数占另一个数的几分之几，用除法，列式计算即可。 【详解】 ＝90＋75 ＝165（枚） （90×3－165）÷（90×3） ＝（270－165）÷270 ＝105÷270 答：这三堆围棋子中共有165枚黑子，白子占棋子总数。 【点睛】根据“每堆都有90枚”和“第一堆中的黑子与第三堆中的白子同样多”，得到：第一堆黑子＋第三堆的黑子＝90枚是解题的关键。 26．小明是一个小统计迷，某天他统计了学校六一班和六二班的人数后，回去跟妈妈交流，给了妈妈这样几条信息：①这两个班的人数正好相等；②六一班的女生人数比六二班的女生人数少10%；③六一班的男生人数与六二班全班人数的比是11∶20；④六二班有女生20人。请你帮小明妈妈计算出： （1）六一班女生有多少人？     （2）六二班男生有多少人？ 【答案】（1）18人 （2）20人 【思路引导】（1）根据“六一班女生人数＝六二班女生人数×（1－10%）”且六二班女生人数已知，可计算六二班女生人数； （2）由信息①和信息③可知六一班男生人数与六一班全班人数的比也是11∶20，即六一班男生人数是六一班全班人数的，所以六一班女生人数是六一班全班人数的； 根据“六一班全班人数×＝六一班女生人数”可求六一班全班人数，从而可得六二班全班人数； 最后根据“六二班全班人数－六二班女生人数＝六二班男生人数”计算即可。 【详解】（1）20×（1－10%） ＝20×0.9 ＝18（人） 答：六一班有女生18人。 （2）18÷（1－） ＝18÷ ＝18× ＝40（人） 40－20＝20（人） 答：六二班男生有20人。 【点睛】本题主要考察百分数和比的应用，其中先根据信息②和信息④计算出六一班女生人数是本题的关键点。 27．盒子里有一些黑棋子和白棋子，白棋子和黑棋子的比是2∶3，如果从盒子中取出6枚黑棋子，盒子里白棋子和黑棋子的比变成5∶6，盒子里原有多少枚黑棋子？ 【答案】30枚 【思路引导】根据原来白棋子和黑棋子的比是2∶3，假设盒子里原来白棋子有2x枚，黑棋子有3x枚，取出6枚黑棋子后，白棋子数量不变，黑棋子变为（3x－6）枚，这时盒子里白棋子和黑棋子的比变成5∶6，据此可列出比例式，解比例即可求出盒子里原有多少枚黑棋子。 【详解】解：设盒子里原来白棋子有2x枚，黑棋子有3x枚， 2x∶（3x－6）＝5∶6 5×（3x－6）＝2x×6 15x－30＝12x 15x－12x＝30 3x＝30 x＝30÷3 x＝10 3×10＝30（枚） 答：盒子里原有30枚黑棋子。 【点睛】此题通过题目中的数量关系，巧设未知数，列出比例式，结合比的应用，解决问题。 五、分段计费问题：学会分段，准确计算。 28．南宁市居民用电按阶梯收费，收费标准如下表。 类别 户月用电量/千瓦时 电价标准/（元/千瓦时） 一档 不超过260 0.53 二档 260－370的部分 ？ 三档 370以上的部分 0.83 小丽家上月用电量为320千瓦时，缴纳电费172.6元。第二档的收费标准是每千瓦时多少元？ 【答案】0.58元 【思路引导】320＜370，小丽家用电量在第二档。先用小丽家上月用电量－第一档电量，求出超出部分的电量；再用第一档的电价标准×260，求出第一档的电费的钱数，再用小丽家上月缴纳电费－第一档的电费，求出超出部分的电费；再用超出部分的电费÷超出部分的电量，即可求出第二档的收费标准。 【详解】370＞320，小丽家用电在第二档。 （172.6－0.53×260）÷（320－260） ＝（172.6－137.8）÷60 ＝34.8÷60 ＝0.58（元） 答：第二档的收费标准是每千瓦时0.58元。 29．某市出租车按下表的方法计费（不足1千米按1千米计算）。 行驶路程 收费标准 3千米及以内 10元 超过3千米的部分 每千米2.5元 (1)小芳和爸爸、妈妈三人坐一辆出租车看望奶奶，出租车行驶了a千米。 如果a≤3，需要付( )元。 (2)如果a＝7.8，需要付多少元？下面符合题中数量关系的是图（    ）。 A． B． C． D． (3)小芳和爸爸、妈妈三人从家出发坐一辆出租车看望外婆，一共付车费40元。小芳家到外婆家最多相距多少千米？ 【答案】(1)10 (2)D (3)15千米 【思路引导】（1）因为出租车行驶路程a≤3千米时，收费标准是固定的 10 元，所以需要付 10 元。 （2）不足1千米按1千米算，把7.8千米看作8千米，需要付的钱数＝3千米以内的收费10元＋超过3千米的收费，8千米超过3千米的千米数为8－3＝5千米，用5×2.5列式求出超过3千米的收费，再加上10元就是a＝7.8时，需要付的费用，据此可知图中应有1段表示10元，5小段表示2.5元，据此逐项判断。 （3）40元＞10元，所以乘坐出租车的路程超过了3千米，用一共付的40元减去3千米以内的收费10元，求出超过千米的费用，再除以2.5求出超过3千米多少千米，再加上3千米就是小芳家到外婆家最多相距多少千米。 【详解】（1）由分析可知，如果a≤3，需要付10元。 （2）7.8千米看作8千米： 10＋（8－3）×2.5 ＝10＋5×2.5 ＝10＋12.5 ＝22.5（元） A．图中表示的是先有10元，后面有8个 2.5元，不符合先收了3千米内的10元，再收超过3千米部分（5千米）的费用； B．图表示有8个2.5元，即超过3千米8千米，这与先收了3千米内的10元，再收超过3千米部分（5千米）的费用不符合，所以该选项错误； C．表示先收了3千米以内的10元，又收了超过3千米1千米的钱，不符合题中的数量关系； D．图中表示的是先有10元，后面有5个2.5元，符合先收了3千米内的10元，再收超过3千米部分（5千米）的费用。 故答案为：D （3）（40－10）÷2.5＋3 ＝30÷2.5＋3 ＝12＋3 ＝15（千米） 答：小芳家到外婆家最多相距15千米。 30．我国是一个水资源严重短缺的国家，节约用水是每个人都应该养成的好习惯。为鼓励居民合理用水，常州规定居民用水收费标准如表①。 表① 用水量 收费方式 备注 不超过15立方米 基本价 每户以3人为计算标准。如果每户人口超过3人的，每增加1人，月用水量增加5立方米。 超过15立方米 未超过的部分仍按基本价，超过的部分按调节价收费 表② 月份 用水量/立方米 水费/元 四 15 56.55 五 17 65.93 王宇家共有3口人，今年四、五月的用水量和水费如表②。 （1）常州居民用水水费的基本价是（    ）元/立方米，调节价是（    ）元/立方米。 （2）王宇家六月份的用水量是20立方米，六月份的水费是多少元？ 【答案】 （1）3.77；4.69 （2）80元 【思路引导】（1）四月份是15立方米，水费是基本价，用四月份水费除以15，可得基本价；五月份的水费减四月份的水费的差，就是超过15立方米的部分，再除以17减15的差可得调节价。 （2）用20减15得到超过15立方米的用水量，再乘调节价，最后加56.55即可。 【详解】（1）（元/立方米） （元/立方米） 常州居民用水水费的基本价是3.77元/立方米，调节价是4.69元/立方米。 （2） （元） 答：六月份的水费是80元。 31．“锡澄轨道交通S1线”（简称“地铁S1线”）是无锡市第五条建成运营的城市轨道交通线路，于2024年1月31日开通运营，主体运营于江阴市境内，其路线图与票价如图所示。 地铁S1线票价 路程 票价 5千米以内 2元 超过5千米至15千米 每5千米加收1元（不足5千米按5千米计价） 超过15千米至29千米 每7千米加收1元（不足7千米按7千米计价） 超过29千米 每9千米加收1元（不足9千米按9千米计价） 江阴市全日制学校学生按单程票价五折优惠 （1）王老师乘坐地铁S1线从江阴外滩站上车，到江阴高铁站下车，应付多少元？ （2）江阴市某小学六年级的王成同学乘坐地铁S1线从堰桥站出发前往目的地，他一共付了2元，请计算说明他是在哪一站下车的。 【答案】（1）3元；（2）青阳站 【思路引导】（1）从江阴外滩站上车，到江阴高铁站下车一共经历4个路程，将4个路程相加是8千米；再确定路程在超过5千米至15千米之间，每5千米加收1元，即超过5千米的部分是3千米，不足5千米，票价为1元。 （2）江阴市全日制学校学生按单程票价五折优惠，也就是现价是原价的50%，现价是2元，除法得出原价的是4元。根据题意4元＝2元＋1元＋1元，即按照地铁S1线票价规则可知，王成最多乘坐15千米的里程。然后分情况讨论找出里程。 【详解】（1）3.1＋1.7＋1.7＋1.5＝8（千米） 8－5＝3（千米） 2＋1＝3（元） 答：王老师乘坐地铁S1线从江阴外滩站上车，到江阴高铁站下车，应付3元。 （2）2÷50%＝2×2＝4（元） 4＝2＋1＋1 5＋5＋5＝15（千米） 从堰桥站上车到青阳站下车的里程为：3.8＋3.5＋3.6＝10.9（千米） 从堰桥站上车到峭岐站下车的里程为：10.9＋5.6＝16.5（千米） 10.9＜15＜16.5，即他是在青阳站下车。 答：他是在青阳站下车。 32．神舟十八号载人飞船入轨后，于北京时间2024年4月26日3时32分，成功对接于空间站天和核心舱径向端口。这是一个激动人心的时刻，6名宇航员在太空中举行了一次特别的“会师”，他们决定用一张合影来纪念这一历史性事件。某照相馆为宇航员们提供了一个特别的服务套餐，包括冲洗胶片和照片打印。套餐的基础费用是15元，这个费用包括了冲洗胶片和提供2张照片。如果宇航员们需要额外加印照片，照相馆每加印一张照片收取的费用是基础费用的。如果想要每位宇航员都得到一张照片，一共要支付多少钱？ 【答案】27元 【思路引导】有6名宇航员，每人都得到一张照片，一共需要6张。拍照要付15元同时送2张照片，所以还需要加印4张照片。“照相馆每加印一张照片收取的费用是基础费用的”，基础费用是单位“1”，单位“1”已知，用分数乘法计算出加印一张照片的费用，进而计算出加印4张照片的费用，再加上基础费用就是一共要支付的钱数，据此解答即可。 【详解】宇航员有6人，基础费用已包含2张照片，所以还需加印4张。 加印费用：15××4＝3×4＝12（元） 总费用：15＋12＝27（元） 答：一共要支付27元。 六、方案优化类：分类计算再比较，有时不足可凑数。 33．光明实验小学老师27人和学生205人去植物园春游。购票方法如下： 单人票：成人每人40元，学生每人20元。 团体票：（30人以上包括30人）按成人票价打八折。 根据上面提供的资料，设计一种最省钱的购票方案，并计算出总费用。 【答案】27名老师和3名学生购买团体票，剩下的学生购买学生票最省钱；最少要花5000元 【思路引导】八折就是原价的80%，分别计算不同的购票方式的花费金额，选择总价最低的即可。 【详解】单人票：成人每人40元，学生每人20元： 27×40＋205×20 ＝1080＋4100 ＝5180（元） 团体票：（30人以上包括30人）按成人票价打八折。 （27＋205）×40×80% ＝232×40×80% ＝9280×0.8 ＝7424（元） 27名老师和3名学生购买团体票，剩下的学生购买学生票： 30×40×80%＋（205－3）×20 ＝30×40×80%＋202×20 ＝1200×0.8＋202×20 ＝960＋4040 ＝5000（元） 5000＜5180＜7424 答：27名老师和3名学生购买团体票，剩下的学生购买学生票最省钱，最少要花5000元。 34．学校组织了30个学生去公园游玩，由6位老师带领。该公园规定：每人凭票进园，儿童票、成人票一律每张30元，购票40张以上（包含40张）可以优惠20%。购票时老师付给售票员1000元，你认为够了吗？请通过计算说明你的观点。 【答案】购买40张票，享受优惠价1000元够了 【思路引导】由题意知：每人凭票进园，所以要买：30＋6＝36（张）票；方案一：每人一张票，按30元一张购买，计算总价钱；方案二：因为40张可以优惠20%，所以可以多买：40－36＝4（张），计算优惠后的总价格。通过计算，比较1000元够不够即可。 【详解】方案一：每人一张30元 30＋6＝36（张） 36×30＝1080（元） 方案二：多买4张，购买40张 40×30×（ 1~20%） ＝1200×80% ＝1200×0.8 ＝960（元） 960＜1000 答：购票时老师付给售票员1000元，钱够了。 35．同学们去爱国主义教育基地参加一日野营活动，基地有三种规格的帐篷，出租价格如下。 3人帐篷 5人帐篷 7人帐篷 150元/天 200元/天 210元/天 六（1）班43名同学，租帐篷至少要付多少元？ 【答案】1400元 【思路引导】先根据“单价＝总价÷数量”分别计算出租三种规格的帐篷每人需要的钱数，要使租帐篷最省钱，则应尽量租最便宜的一种帐篷，并且使每个帐篷都住满，没有空床；因此用总人数除以最便宜的一种帐篷可住的人数，再根据计算出的结果进行解答即可。 【详解】150÷3＝50（元） 200÷5＝40（元） 210÷7＝30（元） 30＜40＜50 即租7人帐篷较便宜。 43＝5×7＋1×3＋1×5 所以租7人帐篷5个，租5人帐篷1个，租3人帐篷1个便宜。 210×5＋150＋200 ＝1050＋150＋200 ＝1200＋200 ＝1400（元） 答：租帐篷至少要付1400元。 【点睛】本题考查了优化问题，要注意尽量使每个帐篷都住满。 36．希望小学六年级有120名师生去参观自然博物馆，某运输公司有两种车辆可供选择： （1）限坐40人的大客车，每人票价5元，如满座票价可以打八折。 （2）限坐10人的面包车，每人票价6元，如满座票价可按75%优惠。 请问哪种租车方案最省钱，并算出总租金。 【答案】第一种方案最省钱；480元 【思路引导】算出两种方案下需要花费的钱数，找出最省钱的方案即可。 （1）选择3辆40人的大客车，120人刚好可以满座。用总人数120人乘票价5元，再乘八折，求出这种方案下，需要花费多少元； （2）选择12辆10人的面包车，120人刚好可以满座。用120人乘票价6元，再乘75%，求出这种方案下，需要花费多少元。 【详解】方案一：120×5×80%＝480（元） 方案二：120×6×75%＝540（元） 480＜540 答：选择第一种方案最省钱，此时总租金是480元。 【点睛】本题考查了折扣问题，几折就是原价的百分之几十。 37．小明在家学做小厨师，下面是他必做的一些事情和做每件事情所需的时间。 怎样安排才能在最短的时间内吃上饭菜？用你喜欢的方式表达。 【答案】小明先淘米，再用电饭锅煮饭，在煮饭的同时，洗菜，切菜，和炒菜。 【思路引导】小明先淘米，用时4.5分钟；接着，用电饭锅煮饭，在煮饭的同时，洗菜，切菜，和炒菜三件事，不过炒菜炒了20－4.5－5＝10.5（分钟）后饭熟了，小明继续炒菜1.5分钟，菜熟了；据此解答即可。 【详解】小明先淘米，接着，用电饭锅煮饭，在煮饭的同时，洗菜，切菜，和炒菜三件事，不过炒菜炒了20－4.5－5＝10.5（分钟）后饭熟了，小明继续炒菜1.5分钟，菜熟了。 2.5＋20＋（4.5＋5＋12－20） ＝2.5＋20＋1.5 ＝24（分钟） 答：小明先淘米，再用电饭锅煮饭，在煮饭的同时，洗菜，切菜，和炒菜。 【点睛】本题属于合理安排时间问题，要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答。 38．王老师给本班的36名学生每人购买一份礼包，每份礼包中有一支钢笔、一本笔记本和一个文具盒。甲、乙两个商场里，这三种文具的标价相同（如图），其中笔记本和文具盒没有优惠，钢笔都有优惠，但优惠的方式不同。甲商场：买10支免费赠送2支同样的钢笔。乙商场：购买钢笔满200元，返还现金40元。 （1）王老师购买笔记本和文具盒一共要用多少元？ （2）如果你是王老师，将去（    ）商场购买钢笔。购买钢笔需付多少元？ 【答案】（1）900元；（2）甲；240 【思路引导】（1）由于笔记本和文具盒没有优惠，即每样需要购买36份，即一个笔记本和一个文具盒需要付款：13＋12＝25元，用人数乘一份的价钱即可求出一共需要多少元。 （2）甲商场：买10支免费赠送2支，即36里面有3个10，相当于可以免费赠送6支，正好足够，即计算出30支的价格，8×30＝240（元）；用36乘钢笔的单价求出乙商场没优惠的价格，即36×8＝288（元），由于满200元返40元，即只需要花288－40＝248（元），由此即可比较。 【详解】（1）36×（13＋12） ＝36×25 ＝900（元） 答：王老师购买笔记本和文具盒一共要用900元。 （2）甲商场：36÷10＝3（组）……6（支） 3×2＝6（支） 3×10×8 ＝30×8 ＝240（元） 乙：36×8＝288（元） 288－40＝248（元） 248＞240 答：将去甲商场购买钢笔，购买钢笔需付240元。 【点睛】本题主要考查经济问题，主要是注意甲、乙两个商店的优惠方法。 七、和差倍与归总类。 39．王大叔把一块长方形菜地分成两部分，分别种黄瓜和番茄（如图）。种黄瓜的面积比种番茄的面积少180平方米，黄瓜和番茄各种了多少平方米？    【答案】黄瓜210平方米，番茄390平方米 【思路引导】长方形的面积＝长×宽，据此用30乘20求出这块菜地的面积。设种番茄的面积是x平方米，种黄瓜的面积比种番茄的面积少180平方米，则种黄瓜的面积是（x－180）平方米，根据种黄瓜的面积＋种番茄的面积＝这块菜地的总面积，列方程即可解答。 【详解】解：设种番茄的面积是x平方米，则种黄瓜的面积是（x－180）平方米。 x－180＋x＝30×20 2x－180＝600 2x＝600＋180 2x＝780 x＝780÷2 x＝390 黄瓜：390－180＝210（平方米） 答：黄瓜种了210平方米，番茄种了390平方米。 【点睛】本题考查了长方形的面积、和差问题的应用。列方程解含有两个未知数的问题时，设其中的一个未知数是x，用含有x的式子表示另一个未知数，再根据等量关系即可列出方程。 40．有三堆围棋子，每堆75枚。第一堆中白子是黑子的1.5倍，第二堆的黑子与第三堆的白子同样多。这三堆棋子中一共有多少枚黑子？ 【答案】105枚 【思路引导】根据第一堆中白子是黑子的1.5倍可知，第一堆黑子数量的（1＋1.5）倍有75枚；根据第二堆的黑子与第三堆的白子同样多，可知第二堆的白子与第三堆的黑子同样多，即这两堆的黑子数刚好是一堆棋子的数量，据此解答。 【详解】75÷（1＋1.5）＋75 ＝75÷2.5＋75 ＝30＋75 ＝105（枚） 答：这三堆棋子中一共有105枚黑子。 【点睛】本题主要考查了和倍问题。根据已知数量关系推出后两堆内黑子和白子数量相同，刚好是一堆棋子的数量是解题的关键。 41．刘大伯家将3680平方米的菜地分成四块分别种辣椒、黄瓜、茄子和西红柿。已知辣椒地的面积是800平方米，黄瓜地的面积比西红柿多120平方米，茄子地的面积比西红柿少150平方米。黄瓜、茄子和西红柿菜地的面积各是多少平方米？ 【答案】黄瓜地的面积是1090平方米，茄子地的面积是820平方米，西红柿地的面积是970平方米 【思路引导】用3680减去辣椒地的面积就是黄瓜、茄子和西红柿的面积和，用黄瓜、茄子和西红柿的面积和减去黄瓜地的面积比西红柿多的120平方米，再加上茄子地的面积比西红柿少的150平方米，就相当于3块西红柿地的面积，再除以3就是1块西红柿地的面积，进一步求出黄瓜地和茄子地的面积。 【详解】3680﹣800＝2880（平方米） （2880﹣120＋150）÷3 ＝2910÷3 ＝970（平方米） 970＋120＝1090（平方米） 970﹣150＝820（平方米） 答：黄瓜地的面积是1090平方米，茄子地的面积是820平方米，西红柿地的面积是970平方米。 【点睛】解决此题的关键是求出西红柿地的面积。 42．在2个同样的大盒和5个同样的小盒里装满球正好是100个，每个大盒比每个小盒多装8个，每个大盒和小盒各装多少个？ 【答案】大盒：20个；小盒12个 【详解】（100－8×2）÷（2＋5）＝12（个） 12＋8＝20（个） 答：大盒装20个，小盒装12个。 43．王师傅加工一批零件，如果每天加工120个。20天可以完成任务；如果想15天完成任务，每天需要多加工多少个零件？ 【答案】40个 【思路引导】根据工作总量＝工作效率×工作时间求出这批零件的数量，根据工作效率＝工作总量÷工作时间求出实际每天加工零件的数量，再减去120个即为每天需要多加工的零件数量。 【详解】120×20÷15－120 ＝160－120 ＝40（个） 答：每天需要多加工40个零件。 【点睛】解题的关键是明确工作总量、工作效率、工作时间的关键。 44．学校买了一些皮球，装在6个纸箱里，每个纸箱装得同样多。体育老师从每个纸箱里拿出30个皮球后，6个纸箱里剩下的皮球相当于原来2个纸箱里的皮球数，原来每个纸箱里装多少个皮球？ 【答案】45个 【思路引导】每个纸箱装得同样多。体育老师从每个纸箱里拿出30个皮球后，则剩下的皮球相当于原来2个纸箱里的皮球数，也就是说，拿走了（6－2）箱的皮球，从而求出每箱有多少个皮球。 【详解】30×6÷（6－2） ＝180÷4 ＝45（个） 答：原来每个纸箱里装45个皮球。 【点睛】此题考查的是一般复合应用题，解答此题关键是明白拿走球是原来4箱的皮球，进而求解。 八、工程类：学会总量看作“1”，按人列式或按工作方式列式两大法宝。 45．加工一批零件，王师傅先做6小时，李师傅再做12小时可完成，王师傅先做8小时，李师傅再做8小时也可完成。现在李师傅先做3小时，剩下的两人合做，还需要多少小时？ 【答案】7小时 【思路引导】根据题意可知，王师傅做（8－6）小时相当李师傅做（12－8）小时，进而可得王师傅单独完成需要12÷（12－8）×（8－6）＋6＝12（小时）；同理可得李师傅单独完成需要的时间，将工作量当作单位“1”，进而可得王师傅与李师傅的工作效率；求出李师傅先做3小时后剩下的工作量，再除以王师傅与李师傅的工作效率和，即可得出答案。 【详解】王师傅单独完成需要： 12÷（12－8）×（8－6）＋6 ＝12÷4×2＋6 ＝3×2＋6 ＝6＋6 ＝12（小时） 李师傅单独完成需要： 8÷（8－6）×（12－8）＋8 ＝8÷2×4＋8 ＝4×4＋8 ＝16＋8 ＝24（小时） 王师傅工作效率：1÷12＝ 李师傅的工作效率：1÷24＝ （1－×3）÷（+） ＝（1－）÷（＋） ＝÷ ＝×8 ＝7（小时） 答：剩下的两人合做，还需要7小时。 【点睛】本题主要考查了较复杂的工程问题，关键是学会将时间条件转化，才能求出两人的工作效率。 46．王师傅计划用若干小时加工一批零件。如果按计划加工120个后，工作效率提高25%，就可以提前40分钟完工；如果一开始工作效率就提高，可以提前1小时完工。王师傅原计划每小时加工多少个零件？ 【答案】270个 【思路引导】从开始提高，那么工作效率是原来的1＋＝，工作时间与工作效率成反比例，工作时间是原来的，工作时间提高了，它对应的时间是1小时，由此求出原来用的时间； 如果全部加工完，效率提高25%后是原来的，那么所用的时间为原来时间的；前120个零件按原效率工作提前40分钟，即小时，剩下零件需要的时间看作单位“1”，小时是原来的1－，由此求出剩下零件用的时间，进而求出前120个零件用的时间；然后用120除以这个时间就是原来的效率，进而可以求出全部的零件数。 【详解】1＋＝ 1÷（1－） ＝1÷ ＝1×6 ＝6（小时） 1＋25%＝ ÷（1－） ＝÷ ＝×5 ＝（小时） 120÷（6－） ＝120÷ ＝120× ＝45（个） 45×6＝270（个） 答：这批零件有270个。 【点睛】解决本题先根据第一次效率提高求出原来完成全部工作量需要的时间；再由120个零件后，再将效率提高25%，提高时间40分钟即小时，求出120个零件用的时间，再求出原来每小时加工的零件数，进而求出工作总量。 47．甲乙两厂生产某一规格的上衣和长裤，甲厂每月用16天生产上衣，14天生产长裤，正好配成448套；乙厂每月用12天生产上衣，18天生产长裤，正好配成720套。现在两厂合并，每月最多可生产多少套？ 【答案】1296套 【思路引导】由题意可知，甲厂生产长裤比上衣快，乙厂生产上衣比长裤快，且乙厂效率更高。那么让甲厂专门生产长裤，运用工作总量÷工作时间＝工作效率，工作效率×工作时间＝工作总量，求出甲厂30天生产裤子的条数。乙厂要生产同样的上衣配成套，先求出乙厂生产上衣的效率，再根据工作总量÷工作效率＝工作时间，求出乙厂生产上衣的天数。已知乙厂30天一共生产720套服装，用720除以30求出乙厂生产一套服装所用的时间，据此进一步求出乙厂剩下的时间生产服装的套数，然后和两厂共同生产的套数相加即可得到总套数。 【详解】448÷14＝32（条） 32×30＝960（条） 720÷12＝60（件） 960÷60＝16（天） 720÷30×（30－16） ＝24×14 ＝336（套） 960＋336＝1296（套） 答：每月最多可生产1296套。 【点睛】本题考查了工程问题。掌握并熟练运用工作效率、工作时间、工作总量之间的关系是解题的关键。 48．单独完成一项工程，甲需要12天，乙需要15天，现在两人合作，中途甲休息3天，乙休息若干天，一共用12天完成。乙休息了几天？ 【答案】天 【思路引导】将这项工程的工作量当做单位“1”，甲队独做12天完成，乙队独做15天完成，则甲、乙的工作效率分别为、，两人合作，中间甲休息了3天，甲的工作量为；用单位“1”减去甲干的工作量就是乙干的工作量，求出乙实际干的天数，再用12减去就是乙休息的时间。 【详解】甲的工作量为： 乙的工作量：； 乙实际工作时间：（天） 则乙休息了：（天） 答：乙休息了天。 【点睛】本题考查了工程问题．先求出乙实际干的天数，进一步求出休息的天数，运用“工作总量÷工作效率＝工作时间”进行计算即可。 49．一件工程，甲独做要12小时完成，乙独做要18小时完成，如果先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，两人如此交替工作，那么完成任务共用了几小时？ 【答案】小时 【思路引导】将这个过程看成单位“1”，再根据工作效率＝工作总量÷工作时间分别得出甲的工作效率为，乙的工作效率是。根据题意可以将甲乙交替工作看成一个周期，完成这项工作需要个周期，即甲乙交替完成7个完整的周期也就是14个小时就是完成了这项工程的，剩下的就是甲完成的，根据工作时间＝工作总量÷工作效率得出需要小时，再加上前面的14个小时就是完成这项任务的时间。 【详解】 （小时） （小时） 答：完成任务共用了小时。 50．市政改造工程要对一段2240米的关河路进行修建，如果每天修320米，就能在原定的时间内完成，但因天气炎热，开始两天一共只修了440米，以后每天应修多少米才能按时完成任务？ 【答案】360米 【思路引导】根据题意，先用关河路的长度除以计划每天修的长度，求出计划修完的时间，即计划7天修完，开始两天一共只修了440米，则用总长度减去已经修的长度，求出剩下未修的长度，原计划需要7天，已经修了2天，则需要5天修1800米，用除法即可得出每天修的米数。 【详解】2240÷320＝7（天） 2240－440＝1800（米） 1800÷（7－2） ＝1800÷5 ＝360（米） 答：以后每天应修360米才能按时完成任务。 九、行程类：时间、速度与路程，步步 51．甲、乙、丙三辆汽车同时从A地出发去B地。甲、乙两车的速度分别为每小时66千米和每小时50千米。有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的4小时、5小时、8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。 【答案】26千米/小时 【思路引导】假设卡车的速度是x千米/小时，由题意知卡车在4小时时与甲车相遇，此时卡车行驶的路程和甲车行驶的路程等于卡车一开始距离A地的距离；卡车在5小时时与乙车相遇，此时卡车行驶的路程和乙车行驶的路程等于卡车一开始距离A地的距离；根据这个等量关系列方程求出卡车的速度以及卡车一开始距离A地的距离，再根据：卡车在8小时时与丙车相遇，此时卡车行驶的路程和丙车行驶的路程等于卡车一开始距离A地的距离，计算出丙车的速度即可。 【详解】解：设卡车速度x千米/小时。 卡车一开始距离A地： ＝80×4 ＝320（千米） 丙车的速度： ＝40－14 ＝26（千米/时） 答：丙车的速度是26千米每小时。 【点睛】相向而行同时出发，相遇时，则两车的速度和×时间＝两车一开始相距的距离。 52．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，相遇时甲、乙所行的路程比是3∶2。相遇后，甲车速度不变，乙车每小时比相遇前多走10千米，结果两车同时到达对方出发地。已知甲车从A地到B地一共用了5小时，求A、B两地相距多少千米？ 【答案】60千米 【思路引导】相遇时甲、乙两车所行驶的路程比是3∶2，相遇后，两车同时到达对方的出发站，说明相遇后甲、乙两车所行驶的路程比2∶3，路程比＝速度比，甲车速度没变，将甲车速度看作单位“1”，相遇前乙车速度是甲车速度的，相遇后乙车速度是甲车速度的，乙车相遇前后的速度差占甲车速度的，乙车相遇前后的速度差÷对应分率＝甲车速度，甲车速度×总时间＝总路程，据此即可求出A、B两地距离。 【详解】 （千米） 12×5＝60（千米） 答：A、B两地相距60千米。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，通过甲车速度不变，确定相遇前后乙车速度的对应分率，求出甲车速度，进行求出总路程。 53．A、B两地相距10千米，甲从A地出发步行45分钟后，乙骑自行车也从A地出发，最后甲乙两人同时到达B地。甲开始步行的速度为每分钟104米，途中某时刻后减速为每分钟84米，乙骑自行车的速度始终是每分钟210米，但途中休息5分钟，问：甲出发后多少时间开始减速的？ 【答案】90分钟 【思路引导】由题可设甲出发x分钟后开始减速，由减速前行驶的路程＋减速后行驶的路程＝A、B两地相距的10千米，列出方程即可求解。 【详解】解：设甲出发x分钟后开始减速。 10km＝10000m 104x＋84×（10000÷210＋5＋45－x）＝10000 104x＋84×（＋50－x）＝10000 104x＋4000＋4200－84x＝10000 20x＋8200＝10000 20x＝1800 x＝90 答：甲出发后90分钟开始减速。 【点睛】本题主要考查行程应用题，解题的关键是得到等量关系，本题易错点是单位的换算。 54．客车和货车同时从相距560千米的甲、乙两地相向开出，4小时后两车还未相遇，且相距60千米。客车每小时行70千米，货车每小时行多少千米？ 【答案】55千米 【思路引导】设货车每小时行x千米；根据路程＝速度×时间，客车每小时行70千米，4小时行驶70×4千米；货车每小时行驶x千米，4小时行驶4x千米，客车行驶的路程＋货车行驶的路程＋60千米＝甲、乙两地的距离，列方程：70×4＋4x＋60＝560，解方程，即可解答。 【详解】解：设货车每小时行驶x千米。 70×4＋4x＋60＝560 280＋4x＋60＝560 4x＋340＝560 4x＋340－340＝560－340 4x＝220 4x÷4＝220÷4 x＝55 答：货车每小时行驶55千米。 55．一列客车与一列货车分别从甲、乙两站同时相对开出，3小时后，客车行了全程的还多42千米，货车行了全程的，已知客车和货车速度比是6∶5。 （1）甲乙两地相距多少千米？ （2）这时两车还相距多少千米？ 【答案】（1）336千米；（2）28千米。 【思路引导】（1）时间＝路程÷速度，时间相同，路程和速度成正比例关系，速度比是6∶5，则已行路程比也是6∶5；据此设全程为x千米，即可得解。 （2）分别计算出客车和货车已行的路程，用总路程减去已行路程就是两车相距路程。 【详解】（1）解：设甲乙两地相距x千米， 答：甲乙两地相距336千米。 （2）客车已行：×336＋42 ＝126＋42 ＝168（千米） 货车已行：×336＝140（千米） 两车还相距：336－168－140＝28（千米） 答：这时两车还相距28千米。 【点睛】考查路程、时间、速度的关系，以及利用正比例关系解决实际问题的能力。 56．甲、乙两车从A、B两地相向而行，相遇时，甲车过了中点40千米。乙车行的路程是甲车所行路程的。A、B两地相距多少千米？ 【答案】720千米 【思路引导】已知甲车过了中点40千米，说明甲比乙多行了2个40千米；已知乙车行的路是甲车所行路程的，即乙车行的路程占了4份，甲车所行路程占了5份，由此可得：总路程占了（4＋5）份，所以甲车比乙车多行驶了（）对应长度是2个40千米，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，据此解答。 【详解】（40×2）÷（） ＝80÷ ＝80×9 ＝720（千米） 答：A、B两地相距720千米。 十、探索规律类：核心是先写成相同的形式，再找出规律。 57．下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形。 (1)仔细观察，请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数。 (2)按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），请算出20个图形中黑瓷砖的块数是多少？ (3)第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？ 【答案】(1) (2)210块 (3)（2＋n）×（n＋1）÷2；1596块 【思路引导】由图可知，第一个图形有3块白瓷砖，1块黑瓷砖；第二个图形有6块白瓷砖，3块黑瓷砖；第三个图形有10块白瓷砖，6块黑瓷砖。 （1）第一个图形共4块瓷砖，第二个图形共9块瓷砖，第三个图形共16块瓷砖，找出瓷砖的总块数的规律，用含有n的式子表示。 （2）将n＝20代入式子1＋2＋3＋…＋n计算即可。根据公式：（第一个数＋最后一个数）×这组数的个数÷2，代入数据计算即可。 （3）第一个图形白瓷砖比黑瓷砖多2块，第二个图形白瓷砖比黑瓷砖多3块，第三个图形白瓷砖比黑瓷砖多4块，……，第n个图形白瓷砖比黑瓷砖多（n＋1）块。 由第（2）问可知，第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），据此计算。 【详解】（1）第一个图形共4块瓷砖，4＝＝ 第二个图形共9块瓷砖，9＝＝ 第三个图形共16块瓷砖，16＝＝ 第n个图形瓷砖总块数： （2）1＋2＋3＋…＋20 ＝（1＋20）×20÷2 ＝21×20÷2 ＝210（块） 答：第20个图形中黑瓷砖的块数是210块。 （3）由分析可知，第n个图形白瓷砖比黑瓷砖多（n＋1）块，第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），所以第n个图形中白瓷砖的块数可以表示为1＋2＋3＋…＋n＋（n＋1）＝（1＋n＋1）×（n＋1）÷2＝（2＋n）×（n＋1）÷2。 当n＝55时， （2＋55）×（55＋1）÷2 ＝57×56÷2 ＝3192÷2 ＝1596（块） 答：第55个图形中共有1596块白瓷砖。 58．当当在计算“12＋1×3×2＋32、22＋2×5×2＋52、42＋4×6×2＋62 …”这样的算式时，她用“数形结合”的方法来探索：用算式中的数分别构造两个正方形和两个长方形。她发现“这四个图形的面积相加正好是大正方形的面积”（如图所示）。    由此得出： 图①：12＋1×3×2＋32＝42 图②：22＋2×5×2＋52＝72 图③：42＋4×6×2＋62＝102 （1）根据当当发现的规律填空： 32＋3×5×2＋52＝（    ）。 162＋16×19×2＋192＝（    ）。 （2）你能根据当当发现的规律，把如图这个正方形分成四块，并用算式表示出来吗？ （    ）＝92 【答案】（1）82，352 （2）22＋2×7×2＋72 图见详解 【思路引导】根据题意，用算式中的数分别构造两个正方形和两个长方形。这四个图形的面积相加正好是大正方形的面积，由此可知： 图①：12＋1×3×2＋32＝（1＋3）2＝42 图②：22＋2×5×2＋52＝（2＋5）2＝72 图③：42＋4×6×2＋62＝（4＋6）2＝102 也就是说a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，据此规律解答即可。 【详解】（1）根据当当发现的规律填空： 32＋3×5×2＋52＝（3＋5）2＝82 162＋16×19×2＋192＝（16＋19）2＝352 （2）你能根据当当发现的规律，把如图这个正方形分成四块，用算式表示出来如下： 22＋2×7×2＋72＝92； 图如下：    【点睛】本题考查了数与形的组合知识，结合题意分析解答即可。 59．80个圆片按一定的规律排列：○○●●●○○○●●●○……其中○共有多少个？ 【答案】41个 【思路引导】通过对该图形的观察，发现，除了一开始的两个白色圆片外，后面的图形都是6个圆片一组，并且中间3个黑色圆片和3个白色圆片，如此重复，顺序为3个黑色圆片在3个白色圆片之前； 求80个圆片中有多少个白色圆片，可以先用80减去2，即把一开始的两个白色圆片先去除掉，再用求出的差除以6，得出剩下的圆片总共可以分成几组，用求出的组数乘每组中白色圆片的数量3，即为按规律排列的圆片中有多少白色圆片，最后加上一开始的2个白色圆片，即为总共有多少白色圆片。 【详解】由分析可得： （80－2）÷6×3＋2 ＝78÷6×3＋2 ＝13×3＋2 ＝39＋2 ＝41（个） 答：80个圆片中○共有41个。 60．观察下面图与算式的规律并解决问题。              （     ＝     ） （1）根据前三幅图与算式的规律，写出第四幅图下面的等式。 （2）根据以上观察，（    ）。 【答案】（1）62－52＝6＋5 （2）2n＋1 【思路引导】（1）第一幅图形算式为：22－12＝2＋1；第二幅图形算式为：32－22＝3＋2；第三幅图形算式为：42－32＝4＋3；由此可得：两个相邻数的平方差等于这两个数的和，且第几幅图，减数就是几的平方，由此写出第四幅图形的算式； （2）再根据规律算出（n＋1）2－n2的结果即可。 【详解】（1）第一幅图形算式为：22－12＝2＋1； 第二幅图形算式为：32－22＝3＋2； 第三幅图形算式为：42－32＝4＋3 …… 第四幅图形算式为：62－52＝6＋5 （2）（n＋1）2－n2 ＝n＋1＋n ＝2n＋1 （n＋1）2－n2＝＝2n＋1 【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解答本题的关键。 试卷第2页，共50页 试卷第26页，共47页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026小升初数学考前易错小题狂做：应用题分类精练（十大类） 考点目录 一、超级经典考点：分数与百分数应用题——钥匙就是先单位”1“， 1 二、立体图形（长方体、正方体、圆柱体），图形变换是难点，可以尝试示意图。 2 三、平面图形类：分清周长与面积，巧割补，妙平移，灵活求面积。 3 四、经典题型：比、比例和分数的融合 5 五、分段计费问题：学会分段，准确计算。 5 六、方案优化类：分类计算再比较，有时不足可凑数。 8 七、和差倍与归总类。 9 八、工程类：学会总量看作“1”，按人列式或按工作方式列式两大法宝。 9 九、行程类：时间、速度与路程，步步 10 十、探索规律类：核心是先写成相同的形式，再找出规律。 11 一、超级经典考点：分数与百分数应用题——钥匙就是先单位”1“， 1．李叔叔要把一车货物从A城运到B城。经过1.5小时行驶了全程的75%，此时正好到达距A、B两城的中点30千米处。A、B两城相距多少千米？ 2．元旦学校准备购买88本同样的笔记本做奖品，笔记本原价每本10元，下面三家商场采取了不同促销方法，学校选哪个商场购买比较便宜？写出计算过程。 苏宁广场：打八五折出售 百盛商场：买四送一 大东方百货：每满100元返还现金20元。 3．中国空间站建设凝聚了许多科研工作者的心血与汗水，火箭研发中心、飞船研发中心、材料研发中心都有许多科研工作者。其中火箭研发中心有160人，关于这三个研发中心的科研工作者人数还有以下的信息，请选择合适的信息解答问题。 ①火箭研发中心的人数是总人数的； ②飞船研发中心、火箭研发中心两个中心的人数比是3∶4； ③材料研发中心人数比飞船研发中心人数多； ④材料研发中心人数比总人数的40%多8人。 请选择合适信息，计算材料研发中心有科技工作者多少人？ 4．小明是一个小统计迷，某天他统计了学校六（1）班和六（2）班的人数后，回去跟妈妈交流，给了妈妈这样几条信息： ①这两个班的人数正好相等； ②六（1）班的女生人数比六（2）班的女生人数少10%； ③六（1）班的男生人数与六（2）班全班人数的比是11∶20； ④六（2）班有女生20人。请你帮小明妈妈计算出： （1）六（1）班女生有多少人？ （2）六（2）班男生有多少人？ 5．一套童装在甲、乙两个商场的原价均为280元。“六一”期间，甲商场“每满100元减25元”，乙商场按八折优惠。如果从价格这一方面考虑，那么应去哪个商场购买这套童装？ 6．春节赏灯承载着“燃灯照岁”的传统寓意，迎新春某公园户外要放一个大型的长方体花灯，四位叔叔正在制作，你能根据他们的谈话，解决下面的问题吗？ 甲：这个长方体的棱长总和是52米。 乙：如果高增加2米，就变成了一个正方体。 丙：是呀，这时表面积比原来增加40平方米。 丁：长方体花灯上面装饰了红、绿、黄三种颜色的小彩灯，红灯的数量占总数的，绿灯是黄灯的，红灯比绿灯多买了100个。 (1)如果给这个花灯的侧面贴一圈彩布，贴彩布的面积至少是多少平方米？ (2)三种颜色的小彩灯一共有多少个？ 7．某学校原来有学生1960人，其中女生人数比男生人数少4%。开学转走了一批男生，这时女生人数比男生人数少，开学转走了男生多少人？ 二、立体图形（长方体、正方体、圆柱体），图形变换是难点，可以尝试示意图。 8．有一个密封的长方体容器，长12厘米，宽10厘米，高8厘米，里面水深3厘米，如果以这个容器的左面为底放在桌上，这时水深多少厘米？ 9．在一个长20厘米，宽15厘米长方体的容器中，浸没着一块长方体铁块（横着放置），水的高度是9厘米。如果把铁块竖直放置（铁块底面与容器底面完全接触），铁块会有10厘米高的部分露出水面，这时容器中水的高度是7厘米。这个铁块的体积是多少？现在再把铁块向上提起5厘米，此时水深多少厘米？ 10．陈爷爷家的老屋要翻建，从老屋上拆下一根圆柱形的木料（如图）。 （1）这根木料的侧面有一层斑驳的红漆，原来刷红漆的部分有多少平方厘米？ （2）现在要把这根木料加工成方木（横截面为正方形），这根方木的体积最大是多少立方厘米？合多少立方分米？ 11．一个圆柱的侧面展开后是一个正方形。若将这个圆柱的高减少2厘米，则表面积比原来减少62.8平方厘米。原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 12．一个圆柱杯内装有水，水面高是2.5厘米，杯内的底面积为72平方厘米，放进棱长是6厘米正方体铁块，铁块没有被水完全淹没，那么这时水面的高度是多少厘米？ 13．用一根长48厘米的铁丝做一个长方体框架，使它的高为8厘米，长和宽的比是1∶1。如果把它的侧面糊上纸，那么至少需要多少平方厘米的纸？ 14．一圆柱形杯子，从里面量底面半径6厘米。现装入半杯水，并放入一个高9厘米的圆锥形铅锤。铅锤完全浸没在水中，容器中的水上升了0.5厘米。铅锤的底面积是多少平方厘米？ 三、平面图形类：分清周长与面积，巧割补，妙平移，灵活求面积。 15． (1)图1是一个直角三角形，两条直角边分别长6分米和3分米。这个直角三角形的面积是( )平方分米。 (2)在直角三角形中画一个正方形（如图2），这个正方形的面积是( )平方分米。 (3)图3中正方形的对角线将原来的直角三角形分成了两个小三角形。其中一个小三角形的底就是6分米，另一个小三角形的底是( )分米，它们的高都是正方形的( )。两个小三角形的面积之和正好是大直角三角形的面积，由此我们可以列出一个等式：( )×正方形的边长÷2＋( )×正方形的边长÷2＝6×3÷2.利用这个关系式可以求出正方形的边长是( )分米。 (4)图中有两个正方形，大正方形的边长是6分米。尝试借助上面的研究过程和相关结果计算阴影部分的面积。 16．边长是3厘米的等边三角形ABC沿一条直线无滑动翻滚30次。求A点经过的总路程。 17．如图，剪两个边长都是10厘米的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形，两个正方形不重叠部分的面积一共是多少平方厘米？ 18．改革开放后，农民有了多条致富路，李大叔在镇村党委和政府的关心下，开展了特种鱼类养殖。刚开始，李大叔挖了一个近似的正方形鱼塘，鱼塘边长约为60米，一年后，为了增加特种鱼的养殖数量，李大叔打算扩建鱼塘，扩建后仍然是正方形，如果要把正方形鱼塘的每条边都增加，扩建后鱼塘的面积比原来增加了百分之几？ 19．如图，梯形ABCD中阴影部分的面积是8平方厘米，且A0∶0C＝l∶2，梯形ABCD的面积是多少？ 20．如图，大正方形的面积是64平方厘米，③号三角形的面积是24平方厘米，涂色的小正方形面积是多少平方厘米？ 21．同学们，“观察一猜想一验证一结论一应用”是我们常用的数学探究方法。梁希同学在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？梁希同学想出了两种不同的方法（如下图）。 从中可以得到：。观察这个等式的特征，回答问题： （1）猜想：是不是任意两个数都具有这样的规律呢？（    ）（填“是”或“不是”） （2）请举2个例子验证： ①（    ）×（    ）   ②____________________________ （3）如果用和分别表示两个数，这样的规律可以表示为：_______________________ （4）计算下图中圆环的面积，尝试应用上面得到的规律进行简算。（单位：厘米） 四、经典题型：比、比例和分数的融合 22．一个长方形花圃，按1∶300的比例尺画在图纸上，图纸上长方形周长是18厘米，长与宽的比是5∶4。这个花圃的实际面积是多少平方米？ 23．六年级学生报名参加数学兴趣小组，参加的同学是六年级总人数的，后来有20人参与，这时参加的同学与未参加的人数的比是3∶4。六年级一共有多少人？ 24．六年级三个班的同学共植树550棵，六年级一班植树棵数占总棵数的，六年级二班和六年级三班植树棵数的比是3∶2，六年级三个班各植树多少棵？ 25．棋牌室里有三堆围棋子，每堆都有90枚。第一堆中的黑子与第三堆中的白子同样多，第二堆中黑子的枚数是白子的5倍。这三堆围棋子中共有多少枚黑子？白子占棋子总数的几分之几？ 26．小明是一个小统计迷，某天他统计了学校六一班和六二班的人数后，回去跟妈妈交流，给了妈妈这样几条信息：①这两个班的人数正好相等；②六一班的女生人数比六二班的女生人数少10%；③六一班的男生人数与六二班全班人数的比是11∶20；④六二班有女生20人。请你帮小明妈妈计算出： （1）六一班女生有多少人？     （2）六二班男生有多少人？ 27．盒子里有一些黑棋子和白棋子，白棋子和黑棋子的比是2∶3，如果从盒子中取出6枚黑棋子，盒子里白棋子和黑棋子的比变成5∶6，盒子里原有多少枚黑棋子？ 五、分段计费问题：学会分段，准确计算。 28．南宁市居民用电按阶梯收费，收费标准如下表。 类别 户月用电量/千瓦时 电价标准/（元/千瓦时） 一档 不超过260 0.53 二档 260－370的部分 ？ 三档 370以上的部分 0.83 小丽家上月用电量为320千瓦时，缴纳电费172.6元。第二档的收费标准是每千瓦时多少元？ 29．某市出租车按下表的方法计费（不足1千米按1千米计算）。 行驶路程 收费标准 3千米及以内 10元 超过3千米的部分 每千米2.5元 (1)小芳和爸爸、妈妈三人坐一辆出租车看望奶奶，出租车行驶了a千米。 如果a≤3，需要付( )元。 (2)如果a＝7.8，需要付多少元？下面符合题中数量关系的是图（    ）。 A． B． C． D． (3)小芳和爸爸、妈妈三人从家出发坐一辆出租车看望外婆，一共付车费40元。小芳家到外婆家最多相距多少千米？ 30．我国是一个水资源严重短缺的国家，节约用水是每个人都应该养成的好习惯。为鼓励居民合理用水，常州规定居民用水收费标准如表①。 表① 用水量 收费方式 备注 不超过15立方米 基本价 每户以3人为计算标准。如果每户人口超过3人的，每增加1人，月用水量增加5立方米。 超过15立方米 未超过的部分仍按基本价，超过的部分按调节价收费 表② 月份 用水量/立方米 水费/元 四 15 56.55 五 17 65.93 王宇家共有3口人，今年四、五月的用水量和水费如表②。 （1）常州居民用水水费的基本价是（    ）元/立方米，调节价是（    ）元/立方米。 （2）王宇家六月份的用水量是20立方米，六月份的水费是多少元？ 31．“锡澄轨道交通S1线”（简称“地铁S1线”）是无锡市第五条建成运营的城市轨道交通线路，于2024年1月31日开通运营，主体运营于江阴市境内，其路线图与票价如图所示。 地铁S1线票价 路程 票价 5千米以内 2元 超过5千米至15千米 每5千米加收1元（不足5千米按5千米计价） 超过15千米至29千米 每7千米加收1元（不足7千米按7千米计价） 超过29千米 每9千米加收1元（不足9千米按9千米计价） 江阴市全日制学校学生按单程票价五折优惠 （1）王老师乘坐地铁S1线从江阴外滩站上车，到江阴高铁站下车，应付多少元？ （2）江阴市某小学六年级的王成同学乘坐地铁S1线从堰桥站出发前往目的地，他一共付了2元，请计算说明他是在哪一站下车的。 32．神舟十八号载人飞船入轨后，于北京时间2024年4月26日3时32分，成功对接于空间站天和核心舱径向端口。这是一个激动人心的时刻，6名宇航员在太空中举行了一次特别的“会师”，他们决定用一张合影来纪念这一历史性事件。某照相馆为宇航员们提供了一个特别的服务套餐，包括冲洗胶片和照片打印。套餐的基础费用是15元，这个费用包括了冲洗胶片和提供2张照片。如果宇航员们需要额外加印照片，照相馆每加印一张照片收取的费用是基础费用的。如果想要每位宇航员都得到一张照片，一共要支付多少钱？ 六、方案优化类：分类计算再比较，有时不足可凑数。 33．光明实验小学老师27人和学生205人去植物园春游。购票方法如下： 单人票：成人每人40元，学生每人20元。 团体票：（30人以上包括30人）按成人票价打八折。 根据上面提供的资料，设计一种最省钱的购票方案，并计算出总费用。 34．学校组织了30个学生去公园游玩，由6位老师带领。该公园规定：每人凭票进园，儿童票、成人票一律每张30元，购票40张以上（包含40张）可以优惠20%。购票时老师付给售票员1000元，你认为够了吗？请通过计算说明你的观点。 1~235．同学们去爱国主义教育基地参加一日野营活动，基地有三种规格的帐篷，出租价格如下。 3人帐篷 5人帐篷 7人帐篷 150元/天 200元/天 210元/天 六（1）班43名同学，租帐篷至少要付多少元？ 36．希望小学六年级有120名师生去参观自然博物馆，某运输公司有两种车辆可供选择： （1）限坐40人的大客车，每人票价5元，如满座票价可以打八折。 （2）限坐10人的面包车，每人票价6元，如满座票价可按75%优惠。 请问哪种租车方案最省钱，并算出总租金。 37．小明在家学做小厨师，下面是他必做的一些事情和做每件事情所需的时间。 怎样安排才能在最短的时间内吃上饭菜？用你喜欢的方式表达。 38．王老师给本班的36名学生每人购买一份礼包，每份礼包中有一支钢笔、一本笔记本和一个文具盒。甲、乙两个商场里，这三种文具的标价相同（如图），其中笔记本和文具盒没有优惠，钢笔都有优惠，但优惠的方式不同。甲商场：买10支免费赠送2支同样的钢笔。乙商场：购买钢笔满200元，返还现金40元。 （1）王老师购买笔记本和文具盒一共要用多少元？ （2）如果你是王老师，将去（    ）商场购买钢笔。购买钢笔需付多少元？ 七、和差倍与归总类。 39．王大叔把一块长方形菜地分成两部分，分别种黄瓜和番茄（如图）。种黄瓜的面积比种番茄的面积少180平方米，黄瓜和番茄各种了多少平方米？    40．有三堆围棋子，每堆75枚。第一堆中白子是黑子的1.5倍，第二堆的黑子与第三堆的白子同样多。这三堆棋子中一共有多少枚黑子？ 41．刘大伯家将3680平方米的菜地分成四块分别种辣椒、黄瓜、茄子和西红柿。已知辣椒地的面积是800平方米，黄瓜地的面积比西红柿多120平方米，茄子地的面积比西红柿少150平方米。黄瓜、茄子和西红柿菜地的面积各是多少平方米？ 42．在2个同样的大盒和5个同样的小盒里装满球正好是100个，每个大盒比每个小盒多装8个，每个大盒和小盒各装多少个？ 43．王师傅加工一批零件，如果每天加工120个。20天可以完成任务；如果想15天完成任务，每天需要多加工多少个零件？ 44．学校买了一些皮球，装在6个纸箱里，每个纸箱装得同样多。体育老师从每个纸箱里拿出30个皮球后，6个纸箱里剩下的皮球相当于原来2个纸箱里的皮球数，原来每个纸箱里装多少个皮球？ 八、工程类：学会总量看作“1”，按人列式或按工作方式列式两大法宝。 45．加工一批零件，王师傅先做6小时，李师傅再做12小时可完成，王师傅先做8小时，李师傅再做8小时也可完成。现在李师傅先做3小时，剩下的两人合做，还需要多少小时？ 46．王师傅计划用若干小时加工一批零件。如果按计划加工120个后，工作效率提高25%，就可以提前40分钟完工；如果一开始工作效率就提高，可以提前1小时完工。王师傅原计划每小时加工多少个零件？ 47．甲乙两厂生产某一规格的上衣和长裤，甲厂每月用16天生产上衣，14天生产长裤，正好配成448套；乙厂每月用12天生产上衣，18天生产长裤，正好配成720套。现在两厂合并，每月最多可生产多少套？ 48．单独完成一项工程，甲需要12天，乙需要15天，现在两人合作，中途甲休息3天，乙休息若干天，一共用12天完成。乙休息了几天？ 49．一件工程，甲独做要12小时完成，乙独做要18小时完成，如果先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，两人如此交替工作，那么完成任务共用了几小时？ 50．市政改造工程要对一段2240米的关河路进行修建，如果每天修320米，就能在原定的时间内完成，但因天气炎热，开始两天一共只修了440米，以后每天应修多少米才能按时完成任务？ 九、行程类：时间、速度与路程，步步 51．甲、乙、丙三辆汽车同时从A地出发去B地。甲、乙两车的速度分别为每小时66千米和每小时50千米。有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的4小时、5小时、8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。 52．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，相遇时甲、乙所行的路程比是3∶2。相遇后，甲车速度不变，乙车每小时比相遇前多走10千米，结果两车同时到达对方出发地。已知甲车从A地到B地一共用了5小时，求A、B两地相距多少千米？ 53．A、B两地相距10千米，甲从A地出发步行45分钟后，乙骑自行车也从A地出发，最后甲乙两人同时到达B地。甲开始步行的速度为每分钟104米，途中某时刻后减速为每分钟84米，乙骑自行车的速度始终是每分钟210米，但途中休息5分钟，问：甲出发后多少时间开始减速的？ 54．客车和货车同时从相距560千米的甲、乙两地相向开出，4小时后两车还未相遇，且相距60千米。客车每小时行70千米，货车每小时行多少千米？ 55．一列客车与一列货车分别从甲、乙两站同时相对开出，3小时后，客车行了全程的还多42千米，货车行了全程的，已知客车和货车速度比是6∶5。 （1）甲乙两地相距多少千米？ （2）这时两车还相距多少千米？ 56．甲、乙两车从A、B两地相向而行，相遇时，甲车过了中点40千米。乙车行的路程是甲车所行路程的。A、B两地相距多少千米？ 十、探索规律类：核心是先写成相同的形式，再找出规律。 57．下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形。 (1)仔细观察，请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数。 (2)按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），请算出20个图形中黑瓷砖的块数是多少？ (3)第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？ 58．当当在计算“12＋1×3×2＋32、22＋2×5×2＋52、42＋4×6×2＋62 …”这样的算式时，她用“数形结合”的方法来探索：用算式中的数分别构造两个正方形和两个长方形。她发现“这四个图形的面积相加正好是大正方形的面积”（如图所示）。    由此得出： 图①：12＋1×3×2＋32＝42 图②：22＋2×5×2＋52＝72 图③：42＋4×6×2＋62＝102 （1）根据当当发现的规律填空： 32＋3×5×2＋52＝（    ）。 162＋16×19×2＋192＝（    ）。 （2）你能根据当当发现的规律，把如图这个正方形分成四块，并用算式表示出来吗？ （    ）＝92 59．80个圆片按一定的规律排列：○○●●●○○○●●●○……其中○共有多少个？ 60．观察下面图与算式的规律并解决问题。              （     ＝     ） （1）根据前三幅图与算式的规律，写出第四幅图下面的等式。 （2）根据以上观察，（    ）。 试卷第2页，共50页 试卷第18页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $