精品解析：2026年内蒙古自治区通辽市第三中学九年级中考考前测试数学试题

2025－2026学年九年级下学期中考三模 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下表是几种液体在标准大气压下的沸点，其中沸点最低的液体是（ ） 液体名称 液态氯 液态氢 液态氮 液态氦 沸点/ A. 液态氯 B. 液态氢 C. 液态氮 D. 液态氦 2. 呼和浩特盛乐国际机场是内蒙古首座双跑道机场，设计容量为万人次，建筑面积约为万平方米，其中数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，和中，，点E在线段上，交于点F，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知某水银体温计的水银柱长度与温度的关系为（，为常数），且在的标准量程内，水银柱长度随温度的增加而均匀增加．关系式中的（ ） A. 小于0 B. 等于0 C. 大于0 D. 以上都有可能 6. 已知点在轴的右侧，点到轴的距离为，且它到轴的距离是到轴距离的一半，则点的坐标是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 7. 如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（ ） A. 8 B. 3 C. 9 D. 4 8. 已知二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线．现有下列结论，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 为进一步推进“双减”政策的落实，提升学校课后服务水平，某校开设了选修课程．已知参加“科技类选修课程”的有人，参加“音体美选修课程”的人数比“科技类选修课程”的人数的2倍多18人，则参加“音体美选修课程”的人数用含的代数式表示为______人． 10. 中国古代杰出的数学家祖冲之、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是秦九韶的概率是________． 11. 如图，扶梯的坡度为，滑梯的坡度为．滑梯的高，设米，米，小安从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过的路程为________米．（结果保留根号） 12. 如图，将三角形纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕为．若的面积为，则________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解决下列问题： （1）计算：； （2）化简：． 14. 为吸引、鼓励广大学生增强学习人文知识、阅读人文经典的兴趣与积极性，提高学生的文化素养和审美能力，某中学以“观乎人文，化成天下”为主题开展了第一届文化知识大赛．本次大赛满分分，学生得分均为整数，在初赛中，甲、乙两组（每组人）学生成绩（单位：分）如下： 甲组：，，，，，，，，， 乙组：，，，，，，，，， 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 乙组 （1）________，________，________； （2）小安是甲、乙两组中的其中一员，小安说：“这次竞赛我得了分，在我们小组中属于中游略偏下！”观察上面表格判断，小安可能为________组的学生； （3）若从甲、乙两组中选择一个组参加决赛，应选择哪个组？请说明理由． 15. “文博热”的火爆让文创产品走进消费市场，某文创店准备购进A、B两款冰箱贴进行销售，进货价和销售价如下表： A款 B款 进货价/（元/个） 销售价/（元/个） （1）该文创店第一次用元购进A、B两款冰箱贴共个，求两款冰箱贴分别购进的个数； （2）第一次购进的两款冰箱贴售完后，该文创店计划最多用元再次购进A、B两款冰箱贴共个，该文创店应如何设计进货方案，才能使第二次所购A、B两款冰箱贴全部销售完后能获得最大销售利润？最大销售利润是多少元？ 16. 如图，四边形内接于，延长，相交于点，是上一点，交于点，且，． （1）若，，求的度数； （2）求证：； （3）若，，求的周长． 17. 某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆，均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，，，，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求所在抛物线的函数表达式； （2）现需要在钢缆，上安装一条平行于桥面的加固构件，该加固构件距地面米，请计算加固构件的长度； （3）如图，现要悬挂两条灯带，来增加夜景效果，，均与垂直，点，分别在，上，点，在上，点，到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 18. 如图，在矩形中，，． （1）如图，将矩形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； （2）如图，将沿翻折，若交于点，求的长； （3）如图，为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点，，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年九年级下学期中考三模 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下表是几种液体在标准大气压下的沸点，其中沸点最低的液体是（ ） 液体名称 液态氯 液态氢 液态氮 液态氦 沸点/ A. 液态氯 B. 液态氢 C. 液态氮 D. 液态氦 【答案】D 【解析】 【分析】利用“两个负数相比较，绝对值大的反而小”的规则，即可得出沸点最低的液体． 【详解】解：∵ 四种液体的沸点分别为，，，，且均为负数， ∴ 计算各数的绝对值得，，，，， ∵ ， ∴ ， ∴ 沸点最低的是液态氦． 2. 呼和浩特盛乐国际机场是内蒙古首座双跑道机场，设计容量为万人次，建筑面积约为万平方米，其中数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：2800万． 3. 如图，和中，，点E在线段上，交于点F，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，平行线的性质，角的和差，解题的关键是掌握以上性质． 由直角三角形的两个锐角互余，求出，由，得出，求出，即可求出的度数． 【详解】解：在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： 解得 数轴表示为： ． 5. 如图，已知某水银体温计的水银柱长度与温度的关系为（，为常数），且在的标准量程内，水银柱长度随温度的增加而均匀增加．关系式中的（ ） A. 小于0 B. 等于0 C. 大于0 D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．利用一次函数的增减性质即可判断的正负． 【详解】解：对于函数， ∵水银柱长度随温度的增加而均匀增加， ∴， 故选：C． 6. 已知点在轴的右侧，点到轴的距离为，且它到轴的距离是到轴距离的一半，则点的坐标是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点的坐标，掌握点到坐标轴的距离规律是解题关键，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，结合点在轴右侧，横坐标为正求解即可． 【详解】∵点到轴的距离为，且它到轴的距离是到轴距离的一半， ∴点到轴的距离是， ∵点在轴右侧， ∴点的横坐标为， ∵点到轴的距离为， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为或． 7. 如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（ ） A. 8 B. 3 C. 9 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出反比例函数的解析式是解题的关键； 利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度； ， 反比例函数解析式为， 当时，． 故选：D． 8. 已知二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线．现有下列结论，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象的开口方向和与轴交于负半轴，来判断出，再根据对称轴的得到求解A；根据对称轴来判断B，根据由图象可知，当时，，再结合来求解C；根据图象可知，当时，来求解D． 【详解】解：二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于负半轴， . 对称轴为直线，即， ， ，故A错误； ， ，故B错误； 由图象可知，当时，， ， ， 即，故C项错误； 由图象对称性可知，当时的函数值与时的函数值相等， 故由图象，时，与， ，故D项正确， 综上所述，正确的是D． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 为进一步推进“双减”政策的落实，提升学校课后服务水平，某校开设了选修课程．已知参加“科技类选修课程”的有人，参加“音体美选修课程”的人数比“科技类选修课程”的人数的2倍多18人，则参加“音体美选修课程”的人数用含的代数式表示为______人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，根据题意即可列出代数式． 【详解】解：∵参加“科技类选修课程”的有人，参加“音体美选修课程”的人数比“科技类选修课程”的人数的2倍多18人， ∴参加“音体美选修课程”的人数为人． 故答案为：． 10. 中国古代杰出的数学家祖冲之、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是秦九韶的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出所有等可能的结果数与符合条件的结果数，代入概率公式即可求解． 【详解】解：共有位中国古代数学家，秦九韶是其中1位，根据概率公式可得，从中任选一个，恰好是秦九韶的概率是． 11. 如图，扶梯的坡度为，滑梯的坡度为．滑梯的高，设米，米，小安从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过的路程为________米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据坡度和已知条件即可求出和，再根据勾股定理即可求出和，从而得出结论． 【详解】解：∵扶梯的坡度（与长度之比）为，米， ∴米， ∴米， ∵米，的坡度（与长度之比）为，米， ∴米， ∴米， ∴经过的路程米． 12. 如图，将三角形纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕为．若的面积为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，又根据三角形中线的性质得，进而可得 ，由于这两个三角形的高相同，进而可得． 本题考查了折叠的性质和三角形中线的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质可得， 又∵F点是边中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 又∵与高相同， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解决下列问题： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平方根、立方根、绝对值的性质计算，再计算有理数的加减法即可. （2）先根据平方差公式、提公因式法分解因式，再约分后计算整式的乘法即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 14. 为吸引、鼓励广大学生增强学习人文知识、阅读人文经典的兴趣与积极性，提高学生的文化素养和审美能力，某中学以“观乎人文，化成天下”为主题开展了第一届文化知识大赛．本次大赛满分分，学生得分均为整数，在初赛中，甲、乙两组（每组人）学生成绩（单位：分）如下： 甲组：，，，，，，，，， 乙组：，，，，，，，，， 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 乙组 （1）________，________，________； （2）小安是甲、乙两组中的其中一员，小安说：“这次竞赛我得了分，在我们小组中属于中游略偏下！”观察上面表格判断，小安可能为________组的学生； （3）若从甲、乙两组中选择一个组参加决赛，应选择哪个组？请说明理由． 【答案】（1），，； （2）乙； （3）选择乙组参加决赛，理由如下： 两组平均数相同，，，， 乙组的成绩比甲组稳定，故选择乙组参加决赛（答案不唯一）． 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的定义计算即可． （2）比较甲组和乙组成绩的平均数，根据小安所处的位置，即可得出答案. （3）比较甲组和乙组成绩的方差的大小，即可得出乙组的成绩比甲组稳定，继而得到答案. 【小问1详解】 解：甲组的平均数， ∵乙组的成绩的中位数为第个成绩的平均数， 乙组的成绩从小到大排列后，第个成绩均为， ∴乙组的成绩的中位数， ∵甲组学生成绩中，数据出现次数最多， 甲组成绩的众数； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：乙组的中位数是分，甲组的中位数是分， 小安得了分，在小组中属于中游略偏下， 小安应在乙组中，才能处于中游略偏下的位置； 故答案为：乙； 【小问3详解】 略． 15. “文博热”火爆让文创产品走进消费市场，某文创店准备购进A、B两款冰箱贴进行销售，进货价和销售价如下表： A款 B款 进货价/（元/个） 销售价/（元/个） （1）该文创店第一次用元购进A、B两款冰箱贴共个，求两款冰箱贴分别购进的个数； （2）第一次购进的两款冰箱贴售完后，该文创店计划最多用元再次购进A、B两款冰箱贴共个，该文创店应如何设计进货方案，才能使第二次所购A、B两款冰箱贴全部销售完后能获得最大销售利润？最大销售利润是多少元？ 【答案】（1）购进A款冰箱贴个，购进B款冰箱贴个 （2）应该购进A款冰箱贴个、B款冰箱贴个，才能获得最大利润，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设购进A款冰箱贴个，则购进B款冰箱贴个，根据总价为元列方程求解； （2）设第二次购进款冰箱贴个，则购进款冰箱贴个，获得的利润为元，根据题意表示出w，根据总价最高为元列不等式得到，然后利用一次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设购进A款冰箱贴个，则购进B款冰箱贴个， 根据题意，得， 解得， （个）， 答：购进A款冰箱贴个，购进B款冰箱贴个； 【小问2详解】 解：设第二次购进款冰箱贴个，则购进款冰箱贴个，获得的利润为元， 根据题意，得， 最多用元再次购进A、B两款冰箱贴共个， ， 解得， 的最小值为， ， 随的增大而减小， 则取时，最大利润为（元）， （个）． 答：应该购进A款冰箱贴个、B款冰箱贴个，才能获得最大利润，最大利润为元． 16. 如图，四边形内接于，延长，相交于点，是上一点，交于点，且，． （1）若，，求的度数； （2）求证：； （3）若，，求的周长． 【答案】（1） （2）证明：， ， 由（1），知， ， 即， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据弦相等，对应弧相等得到，根据同弧或等弧所对圆周角相等得到，再由三角形外角和的性质即可求解； （2）根据等边对等角得到，结合（1）得到，再根据同弧或等弧所对圆周角相等，角的等量代换得到，由此即可求解； （3）如图，过点作，垂足为，由垂径定理得到，根据内接四边形的性质得到，则，由勾股定理得到，再根据三角形的周长的计算，线段的等量代换得到的周长为线段的长，由此即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作，垂足为， ， ， ， ， 四边形内接于， ， ， ， 同理，可得， ， ， ， ， 解得． 的周长， 的周长为． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理，同弧或等弧所对圆周角相等，等边对等角等知识的综合，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 17. 某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆，均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，，，，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求所在抛物线的函数表达式； （2）现需要在钢缆，上安装一条平行于桥面的加固构件，该加固构件距地面米，请计算加固构件的长度； （3）如图，现要悬挂两条灯带，来增加夜景效果，，均与垂直，点，分别在，上，点，在上，点，到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由题意，可知所在抛物线的顶点坐标为，且过，设其表达式为，代入求解即可； （2）把代入函数解析式求解即可； （3）根据题意得把代入，得，然后确定即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，可知所在抛物线的顶点坐标为，且过， 设其表达式为． ． ． 所在抛物线函数表达式为； 【小问2详解】 解：把代入， ， ，（不合题意，舍去）， ， 加固构件的长度为； 【小问3详解】 解：点、到的距离均为， 把代入，得． 把代入，得， ， 这两条灯带的总长为． 18. 如图，在矩形中，，． （1）如图，将矩形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； （2）如图，将沿翻折，若交于点，求的长； （3）如图，为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点，，且，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【小问1详解】 解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在中， ， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在中，， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在中，， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $