2026年内蒙古自治区北京一零一中呼和浩特分校初中学业水平考试数学试题

**基本信息** 2026年呼和浩特中考三模数学卷，以跳长绳方案设计、健身器材采购等真实情境为载体，通过几何旋转探究等综合题，考查抽象能力、模型意识与推理能力，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|几何体视图、轴对称、分式方程等|结合国产软件图标考轴对称，体现文化自信| |填空题|4/12|科学记数法、坐标平移、二次函数最值等|正方形翻折结合三等分点，考查空间观念| |解答题|6/64|统计图表、圆的切线证明、二次函数应用等|跳长绳方案构建抛物线模型，培养应用意识；四边形旋转探究，发展推理能力|

2026年呼和浩特初中学业水平考试第三次模拟试卷 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示的几何体，其主视图为(     ) A. B. C. D. 2.下列国产软件图标属于轴对称图形的是(     ) A. B. C. 米可智能 D. 通义千问 3.下列计算正确的是(     ) A. B. C. D. 4.，两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每天多搬吨，型机器人搬运吨所用的时间与型机器人搬运吨所用的时间相等，两种机器人每天分别搬运多少化工原料？设型机器人每天搬运吨化工原料，根据题意列方程得(     ) A. B. C. D. 5.如图，点、、、在上，点、在直径同侧，若，，则的大小为(     ) A. B. C. D. 6.学校组织了一次趣味跳高比赛，规则是：跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．比赛中，甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是(     ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7.如图是盐城博物馆展出的战国时期的青铜剑，青铜剑被放置在一个弧形剑架上．如图所示，剑架的弧形部分可看作一段圆弧，所在圆的圆心为点，弦的长为，过点作，垂足为点，且，则的长为(     ) A. B. C. D. 8.在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，平行于轴，点，的横坐标都是，，点在上，且其横坐标为，若反比例函数的图象经过点，，则的值是  (     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.某新型冠状病毒的直径大约为米，这个数据用科学记数法可表示为           ． 10.将点向上平移个单位到点，且点在轴上，那么点坐标为           ． 11.已知二次函数，当为常数时，二次函数的最大值与最小值的差为，则的取值范围为           ． 12.如图，正方形的边长为，在边上取一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，点的对应点在正方形的内部，延长交边于点，作，垂足为点若点是的三等分点，则的长是           ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算与化简 计算：化简： 14.本小题7分 某商场去年月的销售总额共计万元，这个月的月销售额统计图如图所示统计信息不全，该商场家电部各月销售额占商场当月销售额的百分比的折线统计图如图所示． 请根据以上信息，补全条形统计图． 该商场家电部月份的月销售额的中位数是          万元． 该商场家电部下设，，，，五个卖区，如图所示的扇形统计图表示月份家电部各卖区销售额占月份家电部销售额的百分比情况． 卖区月份销售额在图扇形统计图中所占的圆心角的度数是          ； 根据各卖区的销售信息，请你为该商场的家电部提一条合理化建议． 15.本小题分 随着“健康生活年”三年行动的实施，全民健康意识逐步提升．某健身房要采购、两种型号的健身器材以满足会员的健身需求．据了解，型健身器材的单价比型健身器材的单价低元，用元购买型健身器材的数量和用元购买型健身器材的数量相同． 求、两种型号健身器材的单价各是多少元； 该健身房计划购买、两种型号的健身器材共台，且型健身器材的购买数量不超过型健身器材购买数量的倍，购买型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 16.本小题12分 如图，是的直径，为上一点，为外一点，，且，连接． 求证：与相切； 若，，求的长． 17.本小题分 根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材：某校将组织跳长绳比赛，要求如下：每班男、女生组各需要报名跳绳同学；每班另选名摇绳同学；跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图． 素材：某班进行赛前训练，发现：如图，在跳长绳时，绳子摇至最高处的形状可以近似地看作抛物线．甲、乙两名同学负责摇绳，当绳子摇至最高处时，最高点距离地面，摇绳位置之间的水平距离为，且摇绳位置，到地面的距离均为以地面上的点为坐标原点，线段所在直线为轴，线段所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．观察跳绳同学的姿态如图，当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． 问题解决 任务一确定长绳形状根据素材，求出图中长绳摇至最高处时抛物线对应的函数表达式． 任务二探究站位碰绳问题 该班男生组选取名代表身高见下表，若该班体育委员决定：以长绳的最高点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时人与人之间保持的间距．当长绳摇至最高处时，同学们正屈膝落地，长绳会触碰到最右侧的同学吗？为什么？ 身高 人数 (3) 任务三拟定位置方案该班女生组挑选出身高都为的名女生参加跳绳．跳绳时，同样采用一路纵队的方式安排选手位置，但人与人之间保持的间距．当名女生正屈膝落地时，若要保证跳绳正常进行绳子超过头顶，请求出左边第一位同学离点的水平距离的取值范围． 18.本小题分综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为          ． 【拓展探究】 如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图进行证明． 【解决问题】 如图，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年呼和浩特初中学业水平考试第三次模拟试卷 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示的几何体，其主视图为(     ) A. B. C. D. 2.下列国产软件图标属于轴对称图形的是(     ) A. B. C. 米可智能 D. 通义千问 3.下列计算正确的是(     ) A. B. C. D. 4.，两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每天多搬吨，型机器人搬运吨所用的时间与型机器人搬运吨所用的时间相等，两种机器人每天分别搬运多少化工原料？设型机器人每天搬运吨化工原料，根据题意列方程得(     ) A. B. C. D. 5.如图，点、、、在上，点、在直径同侧，若，，则的大小为(     ) A. B. C. D. 6.学校组织了一次趣味跳高比赛，规则是：跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．比赛中，甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是(     ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7.如图是盐城博物馆展出的战国时期的青铜剑，青铜剑被放置在一个弧形剑架上．如图所示，剑架的弧形部分可看作一段圆弧，所在圆的圆心为点，弦的长为，过点作，垂足为点，且，则的长为(     ) A. B. C. D. 8.在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，平行于轴，点，的横坐标都是，，点在上，且其横坐标为，若反比例函数的图象经过点，，则的值是  (     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.某新型冠状病毒的直径大约为米，这个数据用科学记数法可表示为           ． 10.将点向上平移个单位到点，且点在轴上，那么点坐标为           ． 11.已知二次函数，当为常数时，二次函数的最大值与最小值的差为，则的取值范围为           ． 12.如图，正方形的边长为，在边上取一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，点的对应点在正方形的内部，延长交边于点，作，垂足为点若点是的三等分点，则的长是           ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算与化简 计算：化简： 14.本小题7分 某商场去年月的销售总额共计万元，这个月的月销售额统计图如图所示统计信息不全，该商场家电部各月销售额占商场当月销售额的百分比的折线统计图如图所示． 请根据以上信息，补全条形统计图． 该商场家电部月份的月销售额的中位数是          万元． 该商场家电部下设，，，，五个卖区，如图所示的扇形统计图表示月份家电部各卖区销售额占月份家电部销售额的百分比情况． 卖区月份销售额在图扇形统计图中所占的圆心角的度数是          ； 根据各卖区的销售信息，请你为该商场的家电部提一条合理化建议． 15.本小题分 随着“健康生活年”三年行动的实施，全民健康意识逐步提升．某健身房要采购、两种型号的健身器材以满足会员的健身需求．据了解，型健身器材的单价比型健身器材的单价低元，用元购买型健身器材的数量和用元购买型健身器材的数量相同． 求、两种型号健身器材的单价各是多少元； 该健身房计划购买、两种型号的健身器材共台，且型健身器材的购买数量不超过型健身器材购买数量的倍，购买型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 16.本小题12分 如图，是的直径，为上一点，为外一点，，且，连接． 求证：与相切； 若，，求的长． 17.本小题分 根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材：某校将组织跳长绳比赛，要求如下：每班男、女生组各需要报名跳绳同学；每班另选名摇绳同学；跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图． 素材：某班进行赛前训练，发现：如图，在跳长绳时，绳子摇至最高处的形状可以近似地看作抛物线．甲、乙两名同学负责摇绳，当绳子摇至最高处时，最高点距离地面，摇绳位置之间的水平距离为，且摇绳位置，到地面的距离均为以地面上的点为坐标原点，线段所在直线为轴，线段所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．观察跳绳同学的姿态如图，当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． 问题解决 任务一确定长绳形状根据素材，求出图中长绳摇至最高处时抛物线对应的函数表达式． 任务二探究站位碰绳问题 该班男生组选取名代表身高见下表，若该班体育委员决定：以长绳的最高点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时人与人之间保持的间距．当长绳摇至最高处时，同学们正屈膝落地，长绳会触碰到最右侧的同学吗？为什么？ 身高 人数 (3) 任务三拟定位置方案该班女生组挑选出身高都为的名女生参加跳绳．跳绳时，同样采用一路纵队的方式安排选手位置，但人与人之间保持的间距．当名女生正屈膝落地时，若要保证跳绳正常进行绳子超过头顶，请求出左边第一位同学离点的水平距离的取值范围． 18.本小题分综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为          ． 【拓展探究】 如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图进行证明． 【解决问题】 如图，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $null 11 2026年呼和浩特初中学业水平考试第三次模拟试卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9._______________ 10. ___________ 11. ___________ 12. ___________ 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 14.（7分） 15．（10分） 16．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.（13分） 17.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年呼和浩特初中学业水平考试第三次模拟试卷 数 学 学 科 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示的几何体，其主视图为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 本题主要考查常见几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握主视图是从物体正面看到的图形． 【详解】解：从正面看到的是两个长方形，上面一个小的，下面一个大的， 故选：． 2.下列国产软件图标属于轴对称图形的是(     ) A. B. C. 米可智能 D. 通义千问 【答案】C  【解析】解：、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意． 3.下列计算正确的是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  合并同类项时，同类项系数相加，字母和指数不变，，选项错误． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，选项错误． 幂的乘方，底数不变，指数相乘，，选项计算正确． 同底数幂相除，底数不变，指数相减，，选项错误． 4.，两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每天多搬吨，型机器人搬运吨所用的时间与型机器人搬运吨所用的时间相等，两种机器人每天分别搬运多少化工原料？设型机器人每天搬运吨化工原料，根据题意列方程得(     ) A. B. C. D. 【答案】A  解：设型机器人每天搬运吨，则型机器人每天搬运吨， 两者所用时间相等， 列方程得． 故选：． 5.如图，点、、、在上，点、在直径同侧，若，，则的大小为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  解：， ， ， ， ． 6.学校组织了一次趣味跳高比赛，规则是：跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．比赛中，甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是(     ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A  【详解】解：设同学的身高为，跳跃高度为， 获胜者是跳跃高度与自己身高的比值最大的同学， 即求的最大值， 设，则， 可视作过原点的正比例函数中的值， 值越大，的图象越陡， 观察图象可知，甲点与原点的连线最陡， 甲同学的值最大， 甲同学获胜． 7.如图是盐城博物馆展出的战国时期的青铜剑，青铜剑被放置在一个弧形剑架上．如图所示，剑架的弧形部分可看作一段圆弧，所在圆的圆心为点，弦的长为，过点作，垂足为点，且，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  解：弦的长为，过点作，垂足为点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ． 8.在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，平行于轴，点，的横坐标都是，，点在上，且其横坐标为，若反比例函数的图象经过点，，则的值是  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  解：点在轴正半轴上，轴，点，的横坐标都是，且，点在上，且横坐标为， 设，则， 反比例函数的图象经过点，， ，解得， ， ． 故选：． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.某新型冠状病毒的直径大约为米，这个数据用科学记数法可表示为          ． 【答案】  解：， 故答案为：． 10.将点向上平移个单位到点，且点在轴上，那么点坐标为          ． 【答案】  【详解】解：将点向上平移个单位到点， ， 点在轴上， ， ， 点坐标为． 故答案为： 11.已知二次函数，当为常数时，二次函数的最大值与最小值的差为，则的取值范围为          ． 【答案】  【详解】解： 二次函数开口向上，对称轴为直线，二次函数的最小值为， 对称轴左侧随增大而减小，对称轴右侧随增大而增大 当时在范围内，随增大而减小 时取得最大值， 时取得最小值， 由题意得 整理得， 解得与矛盾，此种情况舍去 在的情况下，已求得最小值为，根据题意可得最大值必须为 函数在区间上的最大值为两端点函数值的较大者， 因此，需要满足， 解此不等式得 结合本情况的前提， 综上，的取值范围为 12.如图，正方形的边长为，在边上取一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，点的对应点在正方形的内部，延长交边于点，作，垂足为点若点是的三等分点，则的长是          ． 【答案】  解：连接， 正方形边长为，是三等分点且， ，． 由折叠知，，， ． 又， ， ． 设，则，．  在中，由勾股定理： ， 代入得：， 解得， 即． 在中，． 的面积． 又， 代入得： ， 解得． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算与化简 计算： 化简： (1)解： ..........................................................3分 ；........................................................5分 (2)解： ........................................................3分 ．........................................................5分 14.本小题分 某商场去年月的销售总额共计万元，这个月的月销售额统计图如图所示统计信息不全，该商场家电部各月销售额占商场当月销售额的百分比的折线统计图如图所示． 请根据以上信息，补全条形统计图． 该商场家电部月份的月销售额的中位数是          万元． 该商场家电部下设，，，，五个卖区，如图所示的扇形统计图表示月份家电部各卖区销售额占月份家电部销售额的百分比情况． 卖区月份销售额在图扇形统计图中所占的圆心角的度数是          ； 根据各卖区的销售信息，请你为该商场的家电部提一条合理化建议． 【答案】(1)补全条形统计图如图： .................................1分 (2).................................3分 (3)解：①18°；；.................................5分 ②D区销售额占比最低，可通过优化产品结构、开展主题促销活动提升销量（答案不唯一，合理即可）.................................7分 15.本小题分 随着“健康生活年”三年行动的实施，全民健康意识逐步提升．某健身房要采购、两种型号的健身器材以满足会员的健身需求．据了解，型健身器材的单价比型健身器材的单价低元，用元购买型健身器材的数量和用元购买型健身器材的数量相同． 求、两种型号健身器材的单价各是多少元； 该健身房计划购买、两种型号的健身器材共台，且型健身器材的购买数量不超过型健身器材购买数量的倍，购买型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ (1)解：设A型健身器材单价为x元，则B型健身器材单价为元． 由题意得：.................................2分 解得： 经检验，是原方程的解．.................................3分 ∴（元）.................................4分 ∴A型健身器材单价是2000元，B型健身器材单价是2400元；.................................5分 (2)设购买A型健身器材m台，则购买B型健身器材台． 根据题意得：.................................7分 解得： 设采购费用为y元， 根据题意得： ．.................................8分 ∵， ∴y随m的增大而减小． ∴当时，y有最小值，.................................9分 最小为：（元）．.................................10分 16.本小题分 如图，是的直径，为上一点，为外一点，，且，连接． 求证：与相切； 若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ​​​​​​​ ， ，.................................2分 ， ，， ，.................................3分 在和中， ，.................................4分 ， ， 与相切；.................................5分 (2)解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分，.................................6分 ，，， ，.................................7分 ， ，.................................8分 ，.................................10分 是的直径， ，， ．.................................12分 17.本小题分 根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材：某校将组织跳长绳比赛，要求如下：每班男、女生组各需要报名跳绳同学；每班另选名摇绳同学；跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图． 素材：某班进行赛前训练，发现：如图，在跳长绳时，绳子摇至最高处的形状可以近似地看作抛物线．甲、乙两名同学负责摇绳，当绳子摇至最高处时，最高点距离地面，摇绳位置之间的水平距离为，且摇绳位置，到地面的距离均为以地面上的点为坐标原点，线段所在直线为轴，线段所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．观察跳绳同学的姿态如图，当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． 问题解决 任务一确定长绳形状根据素材，求出图中长绳摇至最高处时抛物线对应的函数表达式． 任务二探究站位碰绳问题 该班男生组选取名代表身高见下表，若该班体育委员决定：以长绳的最高点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时人与人之间保持的间距．当长绳摇至最高处时，同学们正屈膝落地，长绳会触碰到最右侧的同学吗？为什么？ 身高 人数 任务三拟定位置方案该班女生组挑选出身高都为的名女生参加跳绳．跳绳时，同样采用一路纵队的方式安排选手位置，但人与人之间保持的间距．当名女生正屈膝落地时，若要保证跳绳正常进行绳子超过头顶，请求出左边第一位同学离点的水平距离的取值范围． (1)解：由题意知，点，，在抛物线上，点C为最高点， ∴抛物线顶点的坐标为．.................................2分 设抛物线对应的函数表达式为． 将代入，得，.................................3分 解得．.................................4分 ∴长绳摇至最高处时抛物线对应的函数表达式为；.................................5分 (2)不会，.................................6分 理由如下： 由（1）知，抛物线对应的函数表达式为，对称轴为直线． 由题意知，最右侧的同学身高为，且所站位置在直角坐标系中，对应的横坐标为．.................................7分 将代入中得：，.................................8分 当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． 即为， ∵， ∴当绳子在最高点时，同学们正屈膝落地，长绳不会触碰到最右侧的同学；...................9分 (3)当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地， 由（2）知，身高为的同学，此时头顶到地面的高度是， 令，则， 解得：，．.................................10分 由题意知，左边第一位同学离点O的水平距离d， ∴右边第一位同学离点O的水平距离为， ∵要保证跳绳正常进行（绳子超过头顶）， ∴， 解得：， ∴左边第一位同学离点的水平距离的取值范围为：．................12分 18.本小题分综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为          ． 【拓展探究】 如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图进行证明． 【解决问题】 如图，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． (1) ................................2分 (2)解：仍然成立， 理由如下， 由图可知，，， ， ，.................................5分 由图可知，由旋转可得：， ， ， ， ， ， ；..................................7分 (3)解：当时，四边形是正方形，...........................8分 如图，当点在线段上时，连接、， 四边形和四边形为正方形， ，， ， ，.................................10分 ， ，， ， ；................................11分 如图，当点在线段延长线上时，连接、， 四边形和四边形为正方形， ，， ， ，..............................12分 ， ，， ， ； 综上所述，的长为或．...........................13分 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $