精品解析：云南曲靖市麒麟区第七中学2025－2026学年数学八年级下学期数学期末试卷

云南省曲靖市麒麟区八年级下学期数学期末试卷 满分100分，考试时间120分钟 一、单选题（共15题，每小题2分，共30分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章的内角和大小为（ ） A. B. C. D. 4. 某校举行啦啦操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都为1.68米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级为（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 丙班 D. 无法确定 5. 给出下列命题： ①在中，如果两边长分别为6和8，那么第三条边长为10； ②在中，如果满足，那么； ③在中，如果，那么是直角三角形； ④在中，如果，那么是直角三角形． 其中假命题的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 6. 函数的自变量 的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A. 三个班级中，甲班分数的方差最小 B. 三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C. 丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D. 若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 8. 若顺次连接一个四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 一组对边相等 D. 一组邻边相等 9. 如图，小张要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点D，E，测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正比例函数y＝(2m－1)x的图象上两点A(－1，y1)，B(2，y2)，且有y1>y2，那么m的取值范围是( ) A. m< B. m> C. m<2 D. m>2 11. 如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A. 15 dm B. 17 dm C. 20 dm D. 25 dm 12. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 60 C. 72 D. 96 13. 如图，数轴上的点A所表示的数是（ ） A. B. C. D. 14. 一次函数与正比例函数在同一直角坐标系内的图像可能为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4题，每小题2分，共8分） 16. 一辆汽车油箱中现存油30升，若油从油箱中匀速流出，速度为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是 _______________ ． 17. A骑摩托车，B骑自行车，从同一地点出发，沿同一公路由甲地到乙地．行驶路程（）与行驶时间之间存在函数关系，图象如图所示． 给出下面的结论： ①甲、乙两地相距； ②B行驶了用了； ③B比晚出发； ④A行驶的平均速度为每小时． 则上述结论中，所有正确结论的序号是__________． 18. 如图，在中，是的平分线，过的中点M作的垂线，分别交，的延长线于点F，E，若，则的长为__________． 19. 一个圆柱形饮料罐底面周长为，高为．一只蚂蚁从底面圆周上的点处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______． 三、解答题 20. 计算：． 21. 某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图是该校八年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得． （1）求点之间的距离； （2）求四边形的面积． 22. 年月，“全民读书月”活动在全国深入开展．为营造“爱读书，读好书，善读书”的校园氛围，我校举办了“书香青春”的阅读知识竞赛，并从七、八年级所有学生的竞赛成绩中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用 表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，． 八年级20名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的阅读知识掌握得更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）我校七年级和八年级共有人参加此次阅读知识竞赛活动，请估计我校七、八年级参加此次竞赛成绩达到等级的学生共有多少人？ 23. 某校图书馆计划购买，两种书架，已知购买个种书架个书架需要元，购买个书架个书架需要元． （1）每个种书架、每个种书架的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买、两种书架共个，且种书架数量不少于种书架数量的．设购买种书架个，为使购买书架总费用（单位：元）最低，应购买种书架和种书架各多少个？购买书架的总费用最低为多少元？ 24. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与x轴交于点C． （1）求一次函数的解析式及点C的坐标； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 25. 如图，已知四边形为平行四边形，于点，于点．请你从下列三个选项：①；②；③中，选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形为菱形． （1）你选择的补充条件是________；（填序号） （2）根据你选择的补充条件，写出四边形为菱形的证明过程． 26. 第届数学教育大会（）会标如图所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图验证勾股定理：； 【知识迁移】（2）如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．请证明，，是勾股数； 根据中的结论，写出一组符合条件的勾股数___________； 【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由）． 27. （校园平面建模动点探究项目） 【项目背景】为美化校园环境，学校后勤部门对教学楼前矩形休闲区域进行规划建模． 在平面直角坐标系中， 轴、轴分别代表校园的东西向、南北向主干道，点、 分别在 轴、轴正半轴上，已知线段垂直于 轴， ， ， ，且．构成如图基础休闲区域． 【项目运动规则】为测试区域动线规划合理性，设置两个动态运动点：点从点出发，以的速度向终点匀速运动；点从 点同时出发，以的速度向终点匀速运动．两点同时开始运动，任意一点到达终点时，所有运动立即终止，设运动时间为 秒（）． 请结合项目场景，完成以下探究任务： （1）【基础建模：面积动态表示】运动秒后，请用含的代数式表示四边形的面积； （2）【参数求解：相等位置探究】在运动过程中，若，求此时运动时间的值； （3）【最值探究：周长最优规划】已知点是线段的中点，点是线段上的动点（始终在点左侧），且运动全过程中线段的长度恒为保持不变．请探究运动过程中四边形的周长最小值，直接写出结果即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省曲靖市麒麟区八年级下学期数学期末试卷 满分100分，考试时间120分钟 一、单选题（共15题，每小题2分，共30分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式；③分母不含根号 【详解】解：∵ = ，被开方数含分母，A不符合要求； ∵ 的被开方数含分母，B不符合要求； ∵ 满足最简二次根式的两个条件，C符合要求； ∵ 分母含根号，化简后为，原式不是最简二次根式，D不符合要求； 2. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义：一个变化的过程中，有两个变量，因变量随着自变量的变化而变化，对于每一个确定的自变量，都有唯一确定的因变量与之对应，进行判断即可． 【详解】解：对于C选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数； 对于A、B、D三个选项中的图象，在自变量x的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有多个交点，从而不能表示是的函数； 故选：C． 3. 学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章的内角和大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， 即正八边形徽章的内角和为． 4. 某校举行啦啦操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都为1.68米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级为（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 丙班 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查方差的意义，方差越小，数据的波动越小，身高越整齐，只需比较三个班身高数据的方差大小即可得出结论． 【详解】∵ ，，，且 ， ∴ ． ∵ 方差越小，数据的波动越小，身高越整齐， ∴ 参赛学生的身高比较整齐的班级是丙班． 5. 给出下列命题： ①在中，如果两边长分别为6和8，那么第三条边长为10； ②在中，如果满足，那么； ③在中，如果，那么是直角三角形； ④在中，如果，那么是直角三角形． 其中假命题的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理，勾股定理逆定理和三角形内角和定理，逐个判断四个命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：对命题①，∵中，未说明6和8均为直角边，当8为斜边时，第三边长为，不是10，∴①是假命题； 对命题②，∵在中，满足，根据勾股定理逆定理，直角是和的夹角，即，不是，∴②是假命题； 对命题③，∵，三角形内角和为，∴，是直角三角形，∴③是真命题； 对命题④，∵，设，，，则，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，∴④是真命题； 因此假命题是①②． 6. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为零的要求，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：函数的自变量应满足，解得， ∴自变量的取值范围是． 7. 如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A. 三个班级中，甲班分数的方差最小 B. 三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C. 丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D. 若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图的信息解答即可． 【详解】解：由题意可知： 三个班级中，甲班分数的方差最小，故选项A说法正确，不符合题意； 三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大，故选项B说法正确，不符合题意； 丙班的中位数比80分稍多，所以丙班得分低于80分的人数不可能多于得分高于80分的学生人数，故选项C说法错误，符合题意； 根据题意，得第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大， ∴若每班有42名学生，则三个班级的第11名中，最高的是丙班，故选项D说法正确，不符合题意． 8. 若顺次连接一个四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 一组对边相等 D. 一组邻边相等 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，由四边形EFGH是菱形，点E、F、G、H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，利用三角形中位线定理与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形． 【详解】解：如图， 根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点， ∴EF=FG=CH=EH， ∴EF是△ABD的中位线 ∴，即BD=2EF 同理可得，即AC=2FG ∴BD=AC ∴原四边形一定是对角线相等的四边形． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．注意掌握数形结合思想的应用．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 9. 如图，小张要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点D，E，测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意三角形中位线定理得到，据此求解即可． 【详解】解：点D，E分别是，的中点 ， 是的中位线 ， ． 10. 已知正比例函数y＝(2m－1)x的图象上两点A(－1，y1)，B(2，y2)，且有y1>y2，那么m的取值范围是( ) A. m< B. m> C. m<2 D. m>2 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了，一次函数的性质，k＞0，y随x的增大而增大，k＜0，y随x的增大而减小. 【详解】解：由题目可知，当 x1<x2 时，有 y1>y2 我们可以判断：k＜0， 即2m-1＜0， 即m<.即答案选A. 【点睛】本题考查了正比例函数，熟悉掌握相关性质是解题关键. 11. 如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A. 15 dm B. 17 dm C. 20 dm D. 25 dm 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求解出最短路程即可． 【详解】最短路径 故答案为：B． 【点睛】本题考查了利用勾股定理求最短路程的问题，掌握勾股定理是解题的关键． 12. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 60 C. 72 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，求出，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到，再根据菱形的面积进行计算即可． 【详解】解：菱形， ， ， ， ， ， 是的中点， 是斜边上的中线， ， ， ， 菱形的面积为． 13. 如图，数轴上的点A所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用勾股定理求出斜边长，再加上即可． 【详解】解：点A所表示的数是． 14. 一次函数与正比例函数在同一直角坐标系内的图像可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数图像经过的象限判断 、的符号，进而确定 ​ 的符号，再验证正比例函数图像是否与之匹配． 【详解】解：选项中，一次函数图像过一、二、四象限，，，则 ，正比例函数应过二、四象限，符合描述；  选项中，一次函数图像过一、三、四象限，，，则 ，正比例函数应过二、四象限，但图中正比例函数过一、三象限，不符合描述； 选项中，一次函数图像过一、三、四象限，，，则 ，正比例函数应过二、四象限，但图中正比例函数过一、三象限，不符合描述；  选项中，一次函数图像过一、二、三象限，，，则 ，正比例函数应过一、三象限，但图中正比例函数过二、四象限，不符合描述． 15. 如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，则，根据矩形的判定和性质、折叠的性质、中点的定义得到，设，在中，进一步利用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处． ∴， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得 即的长为． 二、填空题（共4题，每小题2分，共8分） 16. 一辆汽车油箱中现存油30升，若油从油箱中匀速流出，速度为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是 _______________ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查列函数关系式，根据“剩余油量现存油量流出油量”的等量关系列函数关系式即可． 【详解】解：根据题意得：油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是． 故答案为： 17. A骑摩托车，B骑自行车，从同一地点出发，沿同一公路由甲地到乙地．行驶路程（）与行驶时间之间存在函数关系，图象如图所示． 给出下面的结论： ①甲、乙两地相距； ②B行驶了用了； ③B比晚出发； ④A行驶的平均速度为每小时． 则上述结论中，所有正确结论的序号是__________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】观察函数图象，根据横纵坐标的含义及图象上的关键点坐标，结合路程、速度、时间的关系逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知，轴表示路程，最大值为， 甲、乙两地相距，故①正确； 由图象可知，的图象经过点和， 的速度为（）， 行驶所需时间为（），故②错误； 由图象可知，在时出发，在时出发， 比晚出发，故③错误； 由图象可知，的图象经过点和， 行驶路程为，用时（）， 的平均速度为（），故④正确． 综上所述，正确的结论是①④． 18. 如图，在中，是的平分线，过的中点M作的垂线，分别交，的延长线于点F，E，若，则的长为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】延长至点N，使，连接，设交于点G，推导出，得到，进而推导出，得到，证明，得到，则，即可解答． 【详解】解∶延长至点N，使，连接，设交于点G，如图 ∵M为中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵平分， ， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 一个圆柱形饮料罐底面周长为，高为．一只蚂蚁从底面圆周上的点处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】蚂蚁爬行的最短路径长度为圆柱侧面展开图对角线的长度． 【详解】解：该圆柱形饮料罐底面周长为，高为， 如下图，其侧面展开图长为，宽为， 由勾股定理得，其侧面展开图对角线长为， 蚂蚁爬行的最短路径长度为． 三、解答题 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解 ，，，， 将各项代入原式， 原式． 21. 某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图是该校八年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得． （1）求点之间的距离； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理的运用进行解答即可． （1）连接，根据勾股定理的运用，解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，再根据四边形的面积为：，进行解答，即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵，，， ∴， ∴，的距离为． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积为：． 22. 年月，“全民读书月”活动在全国深入开展．为营造“爱读书，读好书，善读书”的校园氛围，我校举办了“书香青春”的阅读知识竞赛，并从七、八年级所有学生的竞赛成绩中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，． 八年级20名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的阅读知识掌握得更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）我校七年级和八年级共有人参加此次阅读知识竞赛活动，请估计我校七、八年级参加此次竞赛成绩达到等级的学生共有多少人？ 【答案】（1）；； （2）见解析 （3）人 【解析】 【分析】（1）从扇形统计图中，读取信息，根据中位数和众数的确定方法求出的值，根据百分比的计算，求出； （2）利用中位数作决策即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可得，组的人数为：（人）；组的人数为：（人）； 由题意可得，组的人数为：（人）， ∴组的人数为：（人）； 把组的数据从小到大排列为：，，，，，， 七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第和个数据，且数据从小到排列后的第个数据是，第个数据是， ∴； ∵八年级名学生竞赛成绩中出现次数最多的是， ∴； ∵七年级组的人数为：（人）， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：该校七年级学生阅读知识竞赛的成绩较好， 理由：∵该校七、八年级学生阅读知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但七年级竞赛的成绩的中位数大于八年级竞赛的成绩的中位数， ∴该校七年级学生阅读知识竞赛的成绩较好． 【小问3详解】 解：由题意可得，七年级等级的人数为人； 把八年级名学生竞赛成绩从小到大排列可得满足等级的人数为人， ∴； 答：我校七、八年级参加此次竞赛成绩达到等级的学生共有人． 23. 某校图书馆计划购买，两种书架，已知购买个种书架个书架需要元，购买个书架个书架需要元． （1）每个种书架、每个种书架的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买、两种书架共个，且种书架数量不少于种书架数量的．设购买种书架个，为使购买书架总费用（单位：元）最低，应购买种书架和种书架各多少个？购买书架的总费用最低为多少元？ 【答案】（1）每个种书架、每个种书架的价格分别是元、元 （2）书架购买个，书架购买个，购买书架的总费用最低为元 【解析】 【分析】（1）设每个种书架价格为元，每个种书架价格为元，根据两种购买组合的总费用，列出二元一次方程组求解即可； （2）根据种书架数量不少于种书架数量的列不等式得到的取值范围，然后列出之间的一次函数关系式，讨论得出最值即可． 【小问1详解】 解：设每个 种书架的价格为元，每个 种书架的价格为元 ， 解得： ； 【小问2详解】 解：设购买种书架个，则购买种书架个， 则， 解得：； ∴，其中， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，取得最小值； 此时； 答：书架购买个，书架购买个，购买书架的总费用最低为元． 24. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与x轴交于点C． （1）求一次函数的解析式及点C的坐标； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）一次函数的解析式为，点C的坐标为 （2）或 （3）6 【解析】 【分析】（1）先把点，B的坐标代入反比例函数解析式，可得点A，B的坐标，再用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）找出反比例函数图象位于一次函数的图象的上方的部分，再确定这部分对应的取值范围即可； （3）利用，确定底和高后计算即可． 【小问1详解】 解：把点，代入反比例函数得：，， ∴， ∴点，， 把点，代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 解：由图象可得不等式的解集为或． 【小问3详解】 解：∵点，，， 则 ． 25. 如图，已知四边形为平行四边形，于点，于点．请你从下列三个选项：①；②；③中，选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形为菱形． （1）你选择的补充条件是________；（填序号） （2）根据你选择的补充条件，写出四边形为菱形的证明过程． 【答案】（1）①或说爱你 （2） 方案一：选① 证明：四边形是平行四边形， . 在和中，，，， ， ， ∴四边形为菱形. 方案二：选③， 证明：四边形是平行四边形， . 在和中，，，， ， ， ∴四边形为菱形. 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． （1）根据题意选择合适的条件即可； （2）根据补充的条件进行证明即可． 【小问1详解】 解：①或③ 【小问2详解】 略 26. 第届数学教育大会（）会标如图所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图验证勾股定理：； 【知识迁移】（2）如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．请证明，，是勾股数； 根据中的结论，写出一组符合条件的勾股数___________； 【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由）． 【答案】（）见解析；（）见解析；，，（答案不唯一）；（）这块菜园最少需要种植棵青菜． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、以弦图为背景的计算题，完全平方公式，等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）用两种方法求正方形面积即可求证； （）分别求出，，，则有，从而求证； 取，即可求解； （）由是正整数且，则要使勾股数最小则有，，得出最小勾股数为，，，又最短的边长为米，则直角三角形三边为米，米，米，所以这块菜园最少种植青菜（棵），从而求解． 【详解】解：（）∵正方形的面积为， 或 ， ∴； （）∵，，， ∴， ∴，，是勾股数； 取，， ∴，，， ∴勾股数为，，， 故答案为：，，（答案不唯一）； （）∵是正整数且， ∴要使勾股数最小则有，， ∴最小勾股数为，，， ∵最短的边长为米， ∴直角三角形三边为米，米，米， 则这块菜园最少种植青菜（棵）， 答：这块菜园最少需要种植棵青菜． 27. （校园平面建模动点探究项目） 【项目背景】为美化校园环境，学校后勤部门对教学楼前矩形休闲区域进行规划建模． 在平面直角坐标系中，轴、轴分别代表校园的东西向、南北向主干道，点、 分别在轴、轴正半轴上，已知线段垂直于轴， ， ， ，且．构成如图基础休闲区域． 【项目运动规则】为测试区域动线规划合理性，设置两个动态运动点：点从点出发，以的速度向终点匀速运动；点从 点同时出发，以的速度向终点匀速运动．两点同时开始运动，任意一点到达终点时，所有运动立即终止，设运动时间为 秒（）． 请结合项目场景，完成以下探究任务： （1）【基础建模：面积动态表示】运动秒后，请用含的代数式表示四边形的面积； （2）【参数求解：相等位置探究】在运动过程中，若，求此时运动时间的值； （3）【最值探究：周长最优规划】已知点是线段的中点，点是线段上的动点（始终在点左侧），且运动全过程中线段的长度恒为保持不变．请探究运动过程中四边形的周长最小值，直接写出结果即可． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据梯形面积公式求解即可； （2）分情况讨论四边形为平行四边形或梯形时满足条件的值； （3）在上取点使，过点作于点，作点关于的对称点，连接、，交点，当点，，共线时，设与轴交于点，即在时，此时四边形周长最小． 【小问1详解】 解：， ， ∵， ， 又， ， ， 四边形 的面积； 【小问2详解】 解：当四边形是平行四边形时， ， ， ，解得； 当四边形是等腰梯形时， ， 如图 ，过点，作， 于点，， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 解得， 综上所述：的值为或； 【小问3详解】 解：如图，在上取点，使， 过点作于点，作点关于的对称点，连接、，交于点， 轴， ， ， 点是线段中点， ， 点是线段中点， 过点作交于，如图， ∵， ， ∴同理是的中点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ， ， 四边形是矩形， ， ∵， ∴， ， ∴， ∵在中，， 四边形周长， 当最小时，四边形周长最小， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， 根据两点之间线段最短，当点，，共线时，设与轴交于点， ∴， 即在时，此时最小， 四边形周长最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $