精品解析：2026年江苏南京市鼓楼区名校结合体中考考前模拟数学试题

2026届九年级中考模拟 数 学 试 题 2026.6 一、单选题（每小题2分，共12分） 1. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，一定能成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 垂线段最短 C. 等腰三角形“三线合一” D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 4. 验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度． A. 150 B. 200 C. 250 D. 300 5. 如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（ ） A. 4.5 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 6. 用 米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A. 方案 B. 方案 C. 方案 D. 都一样 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 计算：______；______． 8. 若式子有意义，则的取值范围是__________． 9. 计算的结果是__________． 10. 正八边形的一个外角的度数是_____． 11. 如图，在中，，，的角平分线交于点 ，交 的延长线于点 ，则 的长为______． 12. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则 _______． 13. 在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于两点，点在轴上，且，若 ，则_____． 15. 已知一次函数，将其图像绕轴上的点旋转 ，所得的图像经过，则 的值为__________． 16. 如图，正方形ABCD的边长为2，E为对角线AC上一点，且CE＝CB，点P为线段BE上一动点，且PF⊥CE于F，PG⊥BC于G，则PG+PF的值为 ___． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 化简：． 18. （1）解方程： ； （2）解不等式： 19. 如图，四边形 是平行四边形，点 ， 分别是，的中点，点 ， 在对角线上，且． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 20. 小明和小亮同学都特别喜欢唐代伟大的浪漫主义诗人李白的诗词，课间他们摘其5句诗词并用它们的编号分别制成5张卡片（卡片除编号外完全相同）玩数学游戏．五句诗词如下： 编号 诗句 A 日照香炉生紫烟 B 飞流直下三千尺 C 收入春风满洛城 D 遥看瀑布挂前川 E 谁家玉笛陪飞声 小明将这5张卡片背面朝上，洗匀放好．请你完成下列问题： （1）填空：小亮从5张卡片中随机抽取1张，恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率是____； （2）小亮从5张卡片中随机抽取2张，请用列表或画树状图的方法求出都为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率； （3）填空：小亮从5张卡片中随机抽取2张，两张恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中相邻句子的概率是_____． 21. 从2025年春季学期起，江苏省所有义务教育学校的课间时间延长到15分钟．某校为了解学生课间喜欢的体育活动，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“羽毛球”，B为“乒乓球”，C为“踢毽子”，D为“跳绳”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了 名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“跳绳”所对应的圆心角度数； （3）若全校共有1200名学生，请估计全校有多少名学生课间喜欢乒乓球． 22. 时刻保持网络畅通，通信塔是必不可少的，某移动公司在一处坡角为的坡地新安装了一架通信塔，如图1，某校实践活动小组对该坡地上的这架通信塔的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡 长16米，在地面点处测得通信塔的塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方78米的点处测得点的俯角为，求该通信塔的塔杆的高度．（结果精确到米）（参考数据：，，） 23. 如图，已知 和线段，用直尺和圆规作等腰三角形，使它的底角为，底角的平分线为．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 24. 如图，港口A在港口B的南偏西方向处，一艘渔船从港口A出发，以的速度沿着北偏东的方向前进，后，一艘快艇从B出发，以的速度沿着北偏西的方向前进．设快艇出发． （1）当渔船、快艇到各自出发地的距离相等时，可得方程 ； （2）当快艇出现在渔船的正北方时，求x的值．（参考数据：，，，） 25. 已知二次函数的图像经过点． （1）求m的值； （2）当时，求y的取值范围； （3）将该函数的图像沿着x轴向右平移得到一个新函数的图像，当时，新函数的最大值是12，请直接写出平移的距离． 26. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）若点在抛物线上，求t的值； （2）若点，在抛物线上， ①当时，求a的取值范围； ②若，且，直接写出a的取值范围． 27. 如图，对折矩形纸片，使与重合，折痕为；再一次对折纸片，使与重合，折痕为 ；把纸片展平，也为折痕；点P为线段上一点，再次沿折叠矩形纸片，使点A落在原矩形所在平面的点Q处． 问题解决： （1）如图1，若点Q在线段上，延长交于点W，求证： 为等边三角形； （2）如图2，若点Q在线段 上，求 的值； （3）矩形中，，，直线交的延长线于点K．若 ，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届九年级中考模拟 数 学 试 题 2026.6 一、单选题（每小题2分，共12分） 1. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 根据原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所确定n即可解答． 【详解】解：， 故选：D． 2. 下列各式中，一定能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别利用二次根式的性质化简判断即可． 【详解】解：A. ，选项正确，符合题意； B. ，选项错误，不符合题意； C. ，选项错误，不符合题意； D. 当时，原式，选项错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．需注意二次根式的双重非负性， ，． 3. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 垂线段最短 C. 等腰三角形“三线合一” D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC，BE＝CE， ∴AE⊥BC， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 4. 验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度． A. 150 B. 200 C. 250 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可． 【详解】解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了（度）， 故选：B 5. 如图，双曲线经过A、B两点，连接、 ，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（ ） A. 4.5 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A作 ，垂足为F，设，证明，有，根据E为的中点，可得 ，，进而有，，可得，，则有，问题随之得解． 【详解】如图，过点A作 ，垂足为F， 设，， ∵轴， ， ∴轴， ， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6. 用 米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A. 方案 B. 方案 C. 方案 D. 都一样 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用二次函数求图形面积的最大值，求弧的半径，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先分别算出各种方案中图形的面积，再比较大小求解． 【详解】解：设围成的图形的面积为， 方案一：设与墙相邻的边长为米，则另一边为米， 由题意得：， 当时，有最大值为； 方案二：如图： 设等腰三角形底边长为 ，高为， ∵为等腰三角形， ∴，， ∴，即，整理得：， ∵， ∴， 令，则， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当时，有最大值，最大值为； 方案三：设圆的半径为 米，则：， 解得：， ∴， ∵， 故选：C． 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 计算：______；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质，负整数指数幂，掌握以上知识点是解题的关键．根据绝对值的性质和负整数指数幂直接计算即可． 【详解】解： ，， 故答案为：，． 8. 若式子有意义，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0即可求解． 【详解】解：若式子有意义，则， 解得， 故答案为：． 9. 计算的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 正八边形的一个外角的度数是_____． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟记任何一个多边形的外角和都是 是解题的关键．利用多边形的外角和等于 即可得出答案． 【详解】解：任何一个多边形的外角和都是 ， 正八边形的每个外角的度数是：． 故答案为：． 11. 如图，在中，，，的角平分线交于点，交 的延长线于点 ，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等，利用平行四边形的性质及角平分线的定义可得，即得， ，进而即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ， ∵平分， ∴ ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形以及圆周角定理，根据圆内接四边形的对角互补，以及直径所对的圆周角为直角，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：35． 13. 在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】作△ABC的外接圆，求出当∠BAC＝90°时，BC是直径最长＝；当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，而∠BAC＞∠ABC，即可得出答案． 【详解】解：作△ABC的外接圆，如图所示： ∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4， 当∠BAC＝90°时，BC是直径最长， ∵∠C＝60°， ∴∠ABC＝30°， ∴BC＝2AC，AB＝AC＝4， ∴AC＝， ∴BC＝； 当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4， ∵∠BAC＞∠ABC， ∴BC长的取值范围是4＜BC≤； 故答案为4＜BC≤． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质；作出△ABC的外接圆进行推理计算是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于两点，点在轴上，且，若 ，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数与反比例函数交于两点，得出、两点关于原点对称，推出，过点作轴于点，由三线合一可得，从而得到，进而可求出的值． 【详解】解：过点作轴于点， 函数与反比例函数交于两点， 、两点关于原点对称， 即， ， ，轴 ， ， 即， ． 15. 已知一次函数，将其图像绕轴上的点旋转 ，所得的图像经过，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意得出旋转后的函数与y轴的交点，然后根据一次函数求得与轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论． 【详解】解：在一次函数中， 令，则 ， 即一次函数与轴交点为（0，5）． ∵旋转后所得的图象经过点 ， ∴旋转后的函数与y轴交点为， ∵一次函数的图象，绕轴上一点旋转180°， ∴（0，5）和关于点 对称， ∴． 故答案为1． 【点睛】此题考查的是一次函数与旋转问题，掌握旋转的性质和一次函数的性质是解题关键． 16. 如图，正方形ABCD的边长为2，E为对角线AC上一点，且CE＝CB，点P为线段BE上一动点，且PF⊥CE于F，PG⊥BC于G，则PG+PF的值为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接CP、BD交AC于M，由正方形的性质可得BM的长，然后再利用三角形的面积可得BM=PF+PG，进而即可解答． 【详解】解：如图：连接CP、BD交AC于M ∵四边形ABCD为正方形的边长为2 ∴BD⊥AC垂足为M，BM=MC，BD= ∴BD⊥AC，垂足为M，BM=MC ∵ ∴ ∵BC=CE ∴BM=PF+PG ∴PF+PG=． 故填． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识点，掌握应用面积法求解几何问题的方法是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，加减乘除混合运算，解题的关键是先对括号内的式子进行通分，再将除法转化为乘法进行约分计算． 先对括号内式子通分计算，再把除法运算转变为乘法运算，最后约分化简． 【详解】原式 18. （1）解方程： ； （2）解不等式： 【答案】（1），；（2） ． 【解析】 【分析】（1）可利用配方法解一元二次方程； （2）先求出每一个不等式的解集，再取它们的解集的公共部分即可得不等式组的解集． 本题主要考查了解一元二次方程和解不等式组，熟练掌握解一元二次方程的方法以及解不等式组的方法是解题的关键． 【详解】（1） ， ， ， ， ，， （2） 由①得：， 由②得： ， ∴原不等式的解集为： ． 19. 如图，四边形是平行四边形，点，分别是，的中点，点， 在对角线上，且． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明： 四边形是平行四边形， ，， ， 又点，分别是，的中点，， ∴，， ， 和中， ， ． （2） 解：， ，， 又，， ， ， 四边形为平行四边形， 连接 ， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ， 四边形为平行四边形， ， 又， ， 平行四边形为矩形． 【解析】 【分析】（1）结合平行四边形性质，利用“边角边”即可证明全等； （2）由全等三角形性质推出，，即可证，进而证得四边形为平行四边形， 再由即可证四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，解题关键是熟练掌握矩形的判定． 20. 小明和小亮同学都特别喜欢唐代伟大的浪漫主义诗人李白的诗词，课间他们摘其5句诗词并用它们的编号分别制成5张卡片（卡片除编号外完全相同）玩数学游戏．五句诗词如下： 编号 诗句 A 日照香炉生紫烟 B 飞流直下三千尺 C 收入春风满洛城 D 遥看瀑布挂前川 E 谁家玉笛陪飞声 小明将这5张卡片背面朝上，洗匀放好．请你完成下列问题： （1）填空：小亮从5张卡片中随机抽取1张，恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率是____； （2）小亮从5张卡片中随机抽取2张，请用列表或画树状图的方法求出都为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率； （3）填空：小亮从5张卡片中随机抽取2张，两张恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中相邻句子的概率是_____． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据概率的计算公式即可求解； （2）根据题意列出表格，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的计算公式即可求解； （3）结合（2）中的表格，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的计算公式即可求解； 【小问1详解】 解：小亮从5张卡片中随机抽取1张，共有5种等可能的结果，恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子有3种情况， 恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 由表格可知，共有20种等可能的结果，其中2张都为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的情况有6种， 都为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率． 答：都为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率为． 【小问3详解】 解：由（2）中的表格可知，共有20种等可能的结果，两张恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中相邻句子的情况共有4种， 都为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率． 故答案为：． 21. 从2025年春季学期起，江苏省所有义务教育学校的课间时间延长到15分钟．某校为了解学生课间喜欢的体育活动，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“羽毛球”，B为“乒乓球”，C为“踢毽子”，D为“跳绳”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了 名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“跳绳”所对应的圆心角度数； （3）若全校共有1200名学生，请估计全校有多少名学生课间喜欢乒乓球． 【答案】（1）50 （2） 补全条形统计图如图： （3）估计全校约有408名学生课间喜欢乒乓球． 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用A的总人数除以A所占比例即可求解； （2）用总人数减去A、C、D的人数即可得B的人数，据此即可补全条形统计图，再用 D所占百分比； （3）用样本估算总体即可． 【小问1详解】 解：这次被调查的学生人数为： （名）， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：喜欢乒乓球的学生人数为： （名）， “跳绳”所对应的圆心角度数为：； 【小问3详解】 解： （名）， 答：估计全校约有408名学生课间喜欢乒乓球． 22. 时刻保持网络畅通，通信塔是必不可少的，某移动公司在一处坡角为的坡地新安装了一架通信塔，如图1，某校实践活动小组对该坡地上的这架通信塔的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡 长16米，在地面点处测得通信塔的塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方78米的点处测得点的俯角为，求该通信塔的塔杆 的高度．（结果精确到米）（参考数据：，，） 【答案】该通信塔的塔杆 的高度约为56.3米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数是解题关键．延长 交于点 ，延长 交于点，由题意得：，，米， ，在中，求出的长，设 米，则（米），再分别求出、的长，然后根据列式求出的值即可． 【详解】解：如图，延长 交于点 ，延长 交于点， 由题意得：，，米， ， 在中，，米， （米）， 设 米，则（米）， 在中，， （米）， 在中，， （米）， ， ， 解得：， （米）， 该通信塔的塔杆 的高度约为56.3米． 23. 如图，已知 和线段，用直尺和圆规作等腰三角形，使它的底角为，底角的平分线为．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定，作，作平分，在射线上截取线段，使得 ，作交于点T，以D为圆心，为半径画弧，交于点B，连接，延长交于点C，即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 方法：作，作平分，在射线上截取线段，使得 ，作交于点T，以D为圆心，为半径画弧，交于点B，连接，延长交于点C，即为所求． 24. 如图，港口A在港口B的南偏西方向处，一艘渔船从港口A出发，以的速度沿着北偏东的方向前进，后，一艘快艇从B出发，以的速度沿着北偏西的方向前进．设快艇出发． （1）当渔船、快艇到各自出发地的距离相等时，可得方程 ； （2）当快艇出现在渔船的正北方时，求x的值．（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元一成方程、解直角三角形、一元一成方程的应用等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形、运用解直角三角形解决实际问题成为解题的关键． （1）先分别表示出渔船、快艇的路程，然后根据各自出发地的距离相等列出方程即可； （2）先根据题意作出辅助线、构造直角三角形可得，，．在 中解直角三角形可得，在中，解直角三角形可得，然后根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设快艇出发，则渔船从港口A出发后的路程为，后，一艘快艇从B出发的路程为， 所以当渔船、快艇到各自出发地的距离相等时，可得方程． 【小问2详解】 解：设快艇出现在渔船的正北方时，快艇和渔船所在地点分别是C，D，按照如图的方式构造相应辅助线． 由题意得，，． 在 中，， ， ． 在中，， ， ． 在中，， ， ． ，， ，解得． 25. 已知二次函数的图像经过点． （1）求m的值； （2）当时，求y的取值范围； （3）将该函数的图像沿着x轴向右平移得到一个新函数的图像，当时，新函数的最大值是12，请直接写出平移的距离． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值等知识点，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）将点代入求解即可； （2）依据题意，由（1）可得二次函数为，从而当时，y取最小值为，结合当时，；当时， ，然后判断即可解答； （3）依据题意，由二次函数为，从而可设向右平移后得到的新函数为，故新抛物线的对称轴是直线，进而分当时和当时两种情形解答即可． 【小问1详解】 解：由题意：将点代入可得： ，解得： ． 【小问2详解】 解：由（1）可得二次函数为， ∴当时，y取最小值为． 又∵当时，；当时， ， ∴当时，y的取值范围为． 【小问3详解】 解：由题意，∵二次函数为， ∴可设向右平移后得到的新函数为． ∴新抛物线的对称轴是直线， ①当时，即 ， 又∵若当时，，则或（不合题意，舍去）； 若当时，，则（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）， ∴． ②当时，即 ， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴当时，，则或，均不合题意，舍去． 综上，． 答：平移的距离为3． 26. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）若点在抛物线上，求t的值； （2）若点，在抛物线上， ①当时，求a的取值范围； ②若，且，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）1 （2）①或 ；② 【解析】 【分析】（1）把点代入，得 ，再由抛物线对称轴方程得解； （2）①由对称轴为 得 ，分和 两种情况，根据点和点与顶点的位置关系得不等式，求出的取值范围； ②由已知得，分别把，代入抛物线解析式，得，，两式相减得，再由得，再由，得，从而得，所以． 【小问1详解】 ∵ 点在抛物线上， ∴． ∴ ． ∴ ． 【小问2详解】 ①当时， ，所以． ∵ 点，在抛物线上， ∴ 当时，有． 得，得 ． 当 时，有． 得，得． 综上，的取值范围是或 ． ②∵且，则，在对称轴右侧，随着的增大而增大， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，关键是根据抛物线上的点与抛物线顶点的关系，结合图象求解． 27. 如图，对折矩形纸片，使与重合，折痕为；再一次对折纸片，使与重合，折痕为 ；把纸片展平，也为折痕；点P为线段上一点，再次沿折叠矩形纸片，使点A落在原矩形所在平面的点Q处． 问题解决： （1）如图1，若点Q在线段上，延长交于点W，求证： 为等边三角形； （2）如图2，若点Q在线段 上，求 的值； （3）矩形中，，，直线交的延长线于点K．若 ，求线段 的长． 【答案】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴ ， ∴ ， ∵ 由 折叠得到， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 由题意可知， ，， ∴ ， ∴ ， 又∵ ，即 ， ∴ ， ∴ 是等边三角形； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先证明 ，由折叠的性质得到 ，即有 ，易得 ，进一步可知 ，再证明垂直平分 ，可证明 ，可证明结论； （2）设交 于点R， ，则 ，首先解得 ，再证明 ， ，结合相似三角形的性质可得 ，然后根据正切的定义求解即可； （3）记直线 交边于点T，易知 ，进而可得；设 ，则 ， ， ， ，由折叠可知， ，在 中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设交 于点R，如下图， 可设 ，则 ， ∵ 由 折叠得到， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴ 的值为； 【小问3详解】 记直线 交边于点T， 由，可得 ， ∵ ， ∴， 设 ，则 ， ， 同（1）可得 ， 则 ， 由折叠可知， ， ∴在 中，， ∴， 解得（舍去），， ∴， ∴线段 的长为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $