第14讲 一次函数的图象（12类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新八年级数学新教材北师大版

第14讲 一次函数的图象 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 正比例函数的图象和性质 题型2 画正比例函数的图象 题型3 一次函数的图象和性质 题型4 比较一次函数值的大小 题型5 根据一次函数的性质判定经过的象限 题型6 利用一次函数增减性求值 题型7 根据一次函数增减性求参数 题型8 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型9 一次函数图象的平移问题 题型10 两个一次函数图象共存问题 题型11 一次函数中的规律探究问题 题型12 两个一次函数图象共存问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一次函数图象、直线、k、b、增减性、截距、数形结合。 1. 掌握用描点法画一次函数图象的步骤，知道一次函数的图象是一条直线。 2. 理解一次函数y = kx + b中，k 决定直线的倾斜方向和增减性，b决定直线与y轴的交点位置。 3. 掌握正比例函数 y = kx的图象是过原点的一条直线，能根据图象说出函数的性质。 4. 体会数形结合思想，能根据图象信息解决简单问题（如判断函数值的大小）。 学习重点：一次函数图象的画法，以及k和b对图象位置和形状的影响。 学习难点：理解k的几何意义（倾斜程度）和b的几何意义（纵截距），以及k与一次函数增减性的关系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 正比例函数的图象与性质 1） 一次函数图象是一条直线； 2）已知一点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，0），交x轴于点（0，0）； 4）过象限、增减性 y=kx 过原点（0,0）的一条直线 k值 大致图象 经过象限 经过第一、三象限 经过第二、四象限 增减性 随的增大而增大 随的增大而减小 5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低. 【易错提醒】 正比例函数y=kx图象性质易错警示：图象是过原点的直线。k>0过一三象限，y随x增大而增大；k<0过二四象限，y随x增大而减小。注意：|k|越大越陡，勿与一次函数截距混淆。 即时即练1.关于正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象经过第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．不论x取何值，总有 【答案】C 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，逐一分析四个选项的正误． 【详解】A、当时，， ∴正比例函数的图象必经过点，选项A不符合题意； B、∵， ∴正比例函数的图象经过第一、三象限，选项B不符合题意； C、∵， ∴随的增大而增大，选项C符合题意； D、当时，，且随的增大而增大， ∴当时，，选项D不符合题意． 故选：C． 知识点02 一次函数的图象与性质 1） 一次函数图象是一条直线； 2）已知两点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； 4）过象限、增减性 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 随的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 随的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低. 【易错提醒】 一次函数y=kx+b图象性质易错警示：k决定增减性(k>0增，k<0减）和倾斜度；b决定与y轴交点(0,b)。k相同则平行。注意象限判断需结合k,b符号，可画草图验证，勿死记。 即时即练1．已知点均在一次函数的图象上，点，则下列说法正确的是（    ） A．函数图象经过二、三、四象限 B．点在第二象限 C． D．与x轴的交点坐标为 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质直接判断A即可；将A、B代入解析式，求出m、n的值，得出点C的坐标即可判定B；根据m、n的值即可判断C；把代入函数解析式，求出与x轴的交点坐标即可判断D；掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项A错误，不符合题意； 把分别代入得： ，， ∴点C的坐标为， ∴点在第三象限，故B错误，不符合题意； ∵， ∴，故C正确，符合题意； 把代入得：， 解得：， ∴与x轴的交点坐标为，故D错误，不符合题意． 故选：C． 2．在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ； (3)将直线沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）根据平移的规律求得即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象如图： 令，解得，令，则， ∴直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是， 故答案为：4； （2）解：由图可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：； （3）解：将直线沿y轴平移3个单位长度得，即或． 题型1 正比例函数的图象和性质 【例1】关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（　　） A．点在这个图象上 B．函数值随自变量的增大而减小 C．当增加1时，增加2 D．图象经过一、三象限 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握正比例函数中k的几何意义及函数的增减性、图象所在象限等知识点． 根据正比例函数的性质，依次分析各选项；将点代入函数验证是否在图象上，依据k的符号判断增减性和所在象限，通过计算自变量变化时函数值的变化量判断选项正误． 【详解】选项把代入得所以点在这个图象上，A正确． 选项在正比例函数中，根据正比例函数性质，函数值y随自变量x的增大而增大，而非减小，B错误． 选项当x增加1时，设原来的x为对应的y为变化后的x为对应的y为则即y增加2，C正确． 选项因为所以正比例函数的图象经过第一、三象限，D正确． 故选：B． 【例2】已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．y随x的增大而减小 C．图象必经过点 D．图象经过第二、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象及性质，根据正比例函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、正比例函数的图象是一条直线，故本选项的结论错误； B、y随x的增大而增大，故本选项的说法错误； C、当时，， ∴图象必经过点，故本选项的说法正确； D、图象经过第一、三象限，故本选项的说法错误． 故选：C 【技巧归纳】 正比例函数y=kx图象过原点，k>0在一三象限且y随x增大而增大；k<0在二四且减小。|k|越大越陡。注意图象关于原点对称。求k可由一点坐标（非原点）代入。实际应用如速度一定时的路程时间图象。 【变式1-1】关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象必经过点 B．图象经过第一、三象限 C．随的增大而减小 D．不论取何值，总有 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，熟练掌握正比例函数图象和性质，是解题的关键．正比例函数，当直线经过一、三象限，随的增大而增大；当直线经过二、四象限，随的增大而减小．根据正比例函数的性质，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】解：A. 当时，，故图象经过点，而非，选项A错误； B. 正比例函数的图象经过的象限由的符号决定，因，图象经过第二、四象限，而非第一、三象限，选项B错误； C. 当时，随的增大而减小，正比例函数中，故随的增大而减小，选项C正确； D. 当时，，此时不满足；当时，，故选项D错误． 故选：C． 【变式1-2】关于正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．函数图象过点 B．函数图象经过第二、四象限 C．随的增大而增大 D．不论为何值，总有 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的一般形式，当时，图象经过第二、四象限，且随的增大而减小．通过代入点坐标验证选项，结合函数性质逐一排除错误选项即可． 【详解】A．当时，，图象不经过点，错误； B．因，函数图象经过第二、四象限，正确； C．因，随的增大而减小，错误； D．当时，，此时不小于0，错误． 故选：B． 题型2 画正比例函数的图象 【例3】已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)不在 【分析】（1）直接把点代入正比例函数，求出k的值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）把点的横坐标代入正比例函数的解析式求出y的值，进一步比较得出答案即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式； （2）解：当时，， 当时，， ∴经过点，，描点画出图象如下： （3）解：∵正比例函数的解析式为， ∴当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 【例4】已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式，并写出y的值随x值的变化情况； (2)用你认为最简单的方法，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 【答案】(1)，y的值随x值的增大而减小 (2)见解析 (3)点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上 【分析】（1）直接把点代入正比例函数，求出k的值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）把点、点横坐标代入正比例函数的解析式求出y的值，进一步比较得出答案即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式， ∵， ∴y的值随x值的增大而减小； （2）解：当时，， 当时，， ∴经过点，，描点画出图象如下： （3）解：∵正比例函数的解析式为， ∴当时，，当时，， ∴点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上． 【技巧归纳】 正比例函数y=kx图象是过原点的直线。只需再找一点（如x=1，y=k），连线即可。若k为分数，取x为分母倍数避免小数。注意标明坐标轴、原点及解析式。k>0上升，k<0下降。直线穿过象限与k符号一致。 【变式2-1】已知与之间成正比例关系，且图象经过点． (1)求与之间的函数解析式． (2)画出该函数的图象． (3)图像上有两点，，如果，则______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据题意设出函数解析式，把代入解析式，便可求出k的值，从而求出其解析式； （2）描点两点，连线即可求解； （3）根据正比例函数的性质判断即可． 【详解】（1）解∶∵与之间成正比例关系， ∴设函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：该函数的图象经过和原点， 该函数的图象如图所示． （3）解：， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数表达式； (2)判断点是否在这个函数图象上； (3)图象上的两点，如果，比较与的大小． 【答案】(1) (2)点A在图象上 (3)时， 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，涉及待定系数法求解析式，正比例函数的性质与系数的关系，熟练掌握正比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）利用待定系数法求解析式即可； （2）将点A的横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，即可判断点A是否在这个函数图象上； （3）根据正比例函数的增减性，即可比较，的大小． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴这个函数解析式为． （2）解：当时，， ∴点在这个函数图象上． （3）解：∵， ∴y随着x增大而减小， ∵图象上的两点，，且， ∴． 题型3 一次函数的图象和性质 【例5】对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图像不经过第三象限 B．点在直线上 C．图像与直线平行 D．若点，在该函数图像上，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的图像与性质，一次函数图像与系数的关系，根据一次函数图像的性质进行逐一分析解答即可． 【详解】解：A．∵，， ∴一次函数的图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故本选项正确，不符合题意； B．∵时，， ∴函数图像必经过点，故本选项正确，不符合题意； C．∵与的k均为， ∴的图像与直线平行，故本选项正确，不符合题意； D．∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵点，在该函数图像上，且， ∴，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 【例6】将一次函数的图象向下平移2个单位后，下列对得到的新图象描述正确的是（   ） A．y随x的增大而减小 B．图象与直线平行 C．点在函数图象上 D．图象经过第一、二、三象限 【答案】B 【分析】本题考查了函数的平移，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象的平移和性质是解题的关键．先根据“上加下减”求出新的函数解析式，再根据一次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移2个单位后，新的函数解析式为， A、因为，则y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； B、因为，所以图象与直线平行，故该选项符合题意；； C、当时，，因此点不在函数图象上，故该选项不符合题意； D、因为，，所以函数图象经过第一、三、四象限，故该选项不符合题意； 故选：B． 【技巧归纳】 一次函数y=kx+b图象是直线，k定倾斜方向（k>0增，k<0减），b定y轴截距。与x轴交点为(-b/k,0)。过定点（0,b）。|k|越大越陡。利用增减性比较函数值。平移变换：b改变上下。注意截距可为正负。 【变式3-1】对于函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图像经过点 B．的值随值的增大而增大 C．它的图像经过第一、二、四象限 D．它的图像与轴交点 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图像，对选项依次判断即可． 【详解】A、当时，，选项错误，不符合题意； B、，的值随值的增大而减小，选项错误，不符合题意； C、它的图像经过第一、二、四象限，选项正确，符合题意； D、当时，，解得，选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】对于函数，下列结论正确的是（ ） A．它的图象必经过 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．y的值随x值的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键． 【详解】解：当时，， ， 一次函数的图象不经过点，选项A不符合题意； B．，， 一次函数的图象经过第二、三、四象限，选项B不符合题意； C．， 的值随x值的增大而减小，选项C不符合题意； D．当时，， 解得：， 当时，，选项D符合题意． 故选： 题型4 比较一次函数值的大小 【例7】已知点，在直线上，则m，n的大小关系 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：∵中， ∴随的增大而减小， ∵点，在直线上， ∴， 故答案为：． 【例8】已知一次函数图像上有三个点则大小关系 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解决本题的关键 ． 由一次函数中，可判断该函数中y随x的增大而减小，由三个点的横坐标即可判断大小 ． 【详解】解：∵一次函数中， ∴该函数中y随x的增大而减小， ∵该函数图像上有三个点， 且， ∴． 故答案为： ． 【技巧归纳】 若k>0，x越大y越大；若k<0，x越大y越小。也可直接代入x值计算比较。已知函数值比较自变量：根据k符号解不等式。图象法：上方点函数值大。注意“一定大于”需考虑k符号或联立差值判断。 【变式4-1】已知点和点在一次函数的图象上，则 ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数函数值比较大小，解题的关键是熟知一次函数的增减性．根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为，且， ∴该一次函数的函数值y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】设点和点是直线上的两个点，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据可得，再根据一次函数图象的性质解答即可. 【详解】解：∵，   ∴， ∴一次函数的函数值随自变量的增大而减小. ∵, ∴. 故答案为：. 题型5 根据一次函数的性质判定经过的象限 【例9】一次函数的图象经过第 象限． 【答案】一、三、四 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，根据k、b的正负即可确定一次函数经过的象限． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故答案为：一、三、四． 【例10】当时，一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记一次函数图象在各象限的特征是解题的关键． 根据一次函数得图象与系数的关系即可解答本题． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三象限． ∴一次函数的图象与y轴交于负半轴． ∴该一次函数图象经过第一、三、四象限，即不经过第二象限． 故答案为：二． 【技巧归纳】 由k、b符号判定：k>0过一三象限，k<0过二四；b>0与y轴交于正半轴，b<0交负半轴。组合得：k>0,b>0过一二三；k>0,b<0过一三四；k<0,b>0过一二四；k<0,b<0过二三四。正比例过原点。结合图形记忆。 【变式5-1】在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象与性质即可得出答案，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一次函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 【变式5-2】正比例函数的图象经过原点和第一、三象限，则直线经过第 象限． 【答案】一，二，四 【分析】本题考查判断直线经过的象限，根据正比例函数的图象经过原点和第一、三象限，得到，再根据直线的解析式，判断直线经过的象限即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过原点和第一、三象限， ∴， ∴，， ∴直线过第一，二，四象限； 故答案为：一，二，四 题型6 利用一次函数增减性求值 【例11】已知函数，当时，y的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的增减性，利用增减性即可求出最大值． 【详解】一次函数中，，y随x增大而减小． 故当时，． 故答案为：． 【例12】已知，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，先求得当时，，再根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：当时，， ∵中，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 【技巧归纳】 根据k的符号判断增减：k>0，y随x增大而增大；k<0则减小。利用增减性可比较函数值大小，或确定取值范围。如已知函数值范围求自变量范围，先找端点对应x值，再结合增减性写出区间。注意端点是否取等。 【变式6-1】已知函数．当时，的取值范围是 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值，一次函数的增减性，先根据解析式可得y随x增大而减小，再分别求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， 在中，当时，，当时，， ∴当时，， 故答案为：． 【变式6-2】已知一次函数，当时，函数的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据时，随的增大而减小解答即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，取最大值，， 故答案为：． 题型7 根据一次函数增减性求参数 【例13】一次函数的函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，当一次函数（，为常数， ）中时，函数值随的增大而减小，本题中，据此列不等式求解的取值范围．本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数（）中的取值对函数增减性的影响是解题的关键． 【详解】解：∵ 一次函数的函数值随的增大而减小， ∴ ， 解得． 故答案为： ． 【例14】若一次函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，对一次函数，根据当时，随的增大而增大，得出，计算即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 【技巧归纳】 一次函数y=kx+b中，k决定增减性：k>0增，k<0减。若含参数，列不等式（如增大则k>0）。注意b不影响增减。若题目给出函数值随x增大而减小，则k<0。解出参数范围，注意k≠0。若还要求过象限，需结合b。 【变式7-1】一次函数图象上有两点、，当时，有，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．先根据当时，有可得随的增大而减小，则可得，再解不等式即可得． 【详解】解：∵一次函数图象上有两点、，当时，有， ∴对于这个一次函数，随的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式7-2】直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数增减性求参数，因为函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，故，解出m的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限， ∴ 解得， 故答案为： 题型8 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【例15】直线与x轴的交点坐标为 ．与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握，即可解题，根据一次函数的性质，与x轴的交点即纵坐标为0，与y轴的交点坐标即横坐标为0，代入即可得解． 【详解】解：根据题意得：当时，， 解得：， 当时，， 故答案为：；． 【例16】一次函数的图象与轴的交点坐标为 ，与轴的交点坐标为 ，与坐标轴围成的三角形的面积为 ． 【答案】 9 【分析】本题考查一次函数图象性质．分别令，可求与x轴和y轴交点，根据直角三角形的面积计算方法即可求得一次函数与坐标轴围成的三角形的面积． 【详解】解：当时，，解得， 一次函数图象与轴的交点坐标为． 当时，， 一次函数图象与轴的交点坐标为． 故一次函数与坐标轴围成的三角形面积为． 故答案为：，，9． 【技巧归纳】 与y轴交点：令x=0得(0,b)。与x轴交点：令y=0得(-b/k,0)。若k不存在（垂直x轴）不是一次函数。利用交点可求截距，求三角形面积（底乘高/2）。注意交点坐标符号由k、b决定。也可由已知交点求解析式。 【变式8-1】在平面直角坐标系中，直线与轴的交点坐标为 ，与两坐标轴围成的三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴交点问题，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题关键． 分别令，求出直线与轴的交点坐标，即可求解面积． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴与轴的交点坐标为， 当， ∴与轴的交点坐标为， ∴与两坐标轴围成的三角形的面积为：， 故答案为：，． 【变式8-2】如图，一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，令，则，令，则，可得，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当时，， ， 即， 当时，， 即， 由勾股定理得，， 故答案为：10． 题型9 一次函数图象的平移问题 【例17】在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向上平移2个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．根据平移的规律得到平移后直线的解析式为，然后把原点的坐标代入求值即可． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移2个单位后，得到， 把代入，得到：， 解得． 故答案为：． 【例18】直线向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系，根据平移规律直接得出结论即可． 【详解】解：直线向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是， 故答案为：． 【技巧归纳】 平移规律：上下平移，b变（上加下减）；左右平移，x变（左加右减）。如y=kx+b向左平移m得y=k(x+m)+b。注意一次函数左右平移时，斜率k不变，仅改变截距。也可直接看直线与y轴交点变化。口诀“左加右减，上加下减”。 【变式9-1】直线向下平移4个单位可得直线 ，再向左平移2个单位可得直线 【答案】 【分析】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解． 【详解】解：直线向下平移4个单位可得直线，再向左平移2个单位可得直线，即， 故答案为：， 【变式9-2】已知直线平行于直线，且在y轴上的截距为，那么该直线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查两条直线相交或平行问题，根据互相平行的直线的解析式的一次项系数的值相等确定出k，根据“在y轴上的截距为”计算求出b值，即可得解． 【详解】解：∵直线平行于直线， ∴． 又∵直线在y轴上的截距为， ∴， ∴这条直线的解析式是． 故答案为：． 题型10 两个一次函数图象共存问题 【例19】在平面直角坐标系中，一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点，据此求解即可． 【详解】解：∵中， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴函数图象与y轴的负半轴相交， ∴一次函数经过第一，三，四象限． 故选：C． 【例20】一次函数（a为常数，）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据一次函数的解析式判断其图象是解题的关键．根据一次函数的性质可得，一次函数经过点，据此逐项分析即可判断． 【详解】解：一次函数， 当时，， ∴一次函数经过点， 只有C符合题意 故选：C． 【技巧归纳】 分别分析各直线的k、b符号，判断它们是否可能同时出现在同一坐标系中。先根据假设确定一个的符号范围，再验证另一个是否矛盾。常通过排除法：如一条斜率正且截距负（过一三四），另一条斜率负且截距正（过一二四）可能共存。注意b=0时过原点。 【变式10-1】下列表示一次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象可能的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与正比例函数图象的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质以及正比例函数的图象与性质． 分别对每个选项中一次函数中的与正比例函数中的的符号进行判断是否一致即可． 【详解】解：A、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； B、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； C、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； D、由图象可得一次函数中，正比例函数中，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式10-2】若一次函数与，满足，且已知没有意义，则能大致表示这两个函数图象的是（  ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，一次函数的图象和性质，由没有意义可得，即可得直线与直线相交，再根据可知直线与轴的交点在直线与轴的交点上方，综合各选项即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵没有意义， ∴， ∴直线与直线相交， 又∵， ∴直线与轴的交点在直线与轴的交点上方， 综上各选项，只有选项符合题意， 故选：． 题型11 一次函数中的规律探究问题 【例21】如图，直线与轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点、，，…，与直线上的点，，，…，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查数字规律问题，解题的关键是根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出的长的规律，对于直线，令求出的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，同理求出，，，归纳总结即可得到的长． 【详解】解：对于直线，令，求出，即， 轴， 的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 轴， 的横坐标为， 将代入直线中得：，即， 与的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 同理，，， 则的长为． 故答案为：． 【例22】如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确找出规律是解题的关键．依据题意，观察横坐标变化规律，根据规律求解即可． 【详解】解：，点在直线上， ， 轴， 点的纵坐标为1， 点在直线上， ， ， ，即点的横坐标为， 同理可得，点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 点的横坐标为， 令， ， 点的横坐标为， 故答案为：． 【技巧归纳】 观察直线族中k或b按等差、等比变化，写出通项公式。如直线y=nx+n²，研究其过定点或交点规律。也可结合坐标变化，找横纵坐标关系。先算前几项，归纳一般式，再代入验证。注意系数中的n为参数，分类讨论。 【变式11-1】正方形，，按如图的方式放置，，，和点，，分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标变化规律，分别求出点的横坐标，可得点的横坐标为，即得点的横坐标为，进而即可求解，找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线，当时，， ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴点的横坐标为， 把代入，得， ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ， ∴点的横坐标为， 同理可得，， ∴点的横坐标为， , 点的横坐标为， 设，则， ∴②①，得, 即， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标是， 故答案为：． 【变式11-2】如图，已知直线，分别过轴上的点，作垂直于轴的直线交于点，将，四边形、四边形的面积依次记为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数解析式与坐标轴的几何规律题，掌握梯形的面积公式是解题的关键． 根据梯形的面积公式求解出的函数解析式即可． 【详解】解：当时，；当时，； 当时，； 当时，； 则， 由题意知得， 根据梯形的面积公式得，， ， 故我们可以得出， ∵当均成立， ∴成立， 故答案为：． 题型12 画一次函数的图象 【例23】在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)在图中画出该一次函数的图象． 【答案】(1)点的坐标为 (2)见解析 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质． （1）直接计算当时的值即可； （2）求出一次函数的图象与轴的交点，结合点连线即可． 【详解】（1）当时，， ∴点的坐标为； （2）当时，， 解得， 即一次函数的图象与轴交于， 该一次函数的图象如下： 【例24】如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与的图象交于第一象限某一点C． (1)请在平面直角坐标系内画出函数的图象； (2)若，求k的值； 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）根据一次函数，其图象是一条直线，画其图象时只需找两个点，再由两点确定一条直线可画出图象； （2）利用三角形面积公式求得的面积，进而求得，利用面积公式求得C的横坐标，代入即可求得纵坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象是一条直线， 当时，解得； 当时，解得， ∴直线与坐标轴的两个交点分别是和， 其图象如下： ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 把代入得，， ∴， 把C的坐标代入得，． 【技巧归纳】 一次函数图象是直线，用两点法：取x=0得(0,b)，取y=0得(-b/k,0)。若b=0，取(0,0)和(1,k)。连线并向两端延长，注意标明坐标轴、解析式。k决定倾斜方向，b决定上下位置。实际画图选刻度合适，使直线完整。 【变式12-1】已知一次函数． x 0 _______ y _______ 0 (1)请完成下列表格，并在如图所示平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (2)请根据函数图象直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)，2，见解析 (2) 【分析】（1）根据解析式，确定函数值，自变量的值即可； （2）根据函数的性质解答即可． 本题考查了求函数值，自变量的值，函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，得时，；当时，，解得，填表如下： ， 故答案为：，2． 画图象如下： （2）解：由， 当时，， 解得． 【变式12-2】画出函数的图象． … 0 1 … … 1 … (1)根据列表， ． (2)根据列表，在如图所示的平面直角坐标系中描点并连接． (3)点，，中，在函数图象上的点是 （填“”“”或“”）． (4)若点在函数的图象上，求出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)C (4)5 【分析】本题考查画一次函数图像，列表，描点，判断点是否在函数上： （1）将值代入求解即可得到答案； （2）根据表描点，连线即可得到答案； （3）将点代入求解，比较判断即可得到答案； （4）将点代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴ 故答案为： （2）解：描点并连接，画出图象如下： （3）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴点C在函数图象上，点A、B不在函数图象上， 故答案为：C （4）解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得：． 一、单选题 1．已知函数为，则（     ） A．时， B．的图象与该函数的图象没有交点 C．随的增大而增大 D．该函数因变量的取值范围为 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：、当时，，故该选项错误，不符合题意； 、联立方程，解得， ∵， ∴两图象存在交点，故该选项错误，不符合题意； 、由可得， 当，随的增大而增大，故该选项正确，符合题意； 、∵且， ∴，不符合，故该选项错误，不符合题意． 2．一次函数的图象上有两点 ，，与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】对于一次函数，当时，随的增大而减小，通过比较两点横坐标的大小，结合一次函数的性质即可得到与的大小关系． 【详解】解：在一次函数中，∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 3．对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．函数的图象不经过第三象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向右平移2个单位向下平移4个单位长度得的图象 D．函数值随自变量的增大而减小 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，函数图象与坐标轴交点的求法，函数图象平移的法则，逐个判断选项即可得到错误结论． 【详解】解：对于一次函数，可得，． A选项：，，函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，A结论正确． B选项：令，则，解得，函数图象与轴的交点坐标是，B结论正确． C选项：根据图象平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的原则，函数向右平移2个单位，向下平移4个单位后，解析式为，化简得，不是，C结论错误． D选项：，函数值随自变量的增大而减小，D结论正确． 4．当时，一次函数最小值为6，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【答案】B 【分析】根据一次函数的增减性，分一次项系数大于零、小于零、等于零三种情况讨论，计算出m，舍去不符合条件的解即可． 【详解】解：当，即时，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 代入得， 解得，符合条件； 当，即时，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值， 代入得， 解得，舍去； 当，即时，，不符合最小值为，舍去； 综上，． 5．下列选项中，表示一次函数与正比例函数（，为常数，且）图像的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合正比例函数图象和一次函数图象判断即可． 【详解】解：图中过原点直线为正比例函数，不过原点直线为一次函数， ①当时，正比例函数过第一、三象限， ∴，同号，同正时， 一次函数过第一、二、三象限，同负时过第二、三、四象限； ②当时，正比例函数过第二、四象限， ∴，异号，则过第一、三、四象限或第一、二、四象限， 结合图象可知，其中选项，选项， 所以选项正确． 二、填空题 6．若直线（是常数）的图像不经过第三象限，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据直线（是常数）的图像不经过第三象限，得到直线经过第一、二象限或第二、四象限或第一、二、四象限，则，，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：∵直线（是常数）的图像不经过第三象限， ∴直线经过第一、二象限或第二、四象限或第一、二、四象限， ∴， 解得． 7．已知一次函数（k是常数，），y随x的增大而减小，写出一个符合条件的k的值为________． 【答案】（答案不唯一，即可） 【分析】根据一次函数的增减性和一次项系数的关系即可确定的范围． 【详解】在中，随的增大而减小， ,的值可以是（答案不唯一，即可）． 8．已知点在一次函数（k为常数且）的图象上，则：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据一次函数图象的增减性，结合两点横坐标的大小关系，即可比较纵坐标的大小. 【详解】解：一次函数解析式为，， ， 随的增大而增大， 点在该函数图象上，且， ． 9．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，则的面积为___________． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点计算，当时，值为点纵坐标，同理，当时，值为点横坐标，从而求得，，计算的面积． 【详解】当时，， 当时，，， 则，， 的面积． 10．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点…过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据题意依次求出点的坐标，观察坐标数值与下标的关系以及点所在象限的变化规律，归纳出规律，进而求解． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为，即； 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即 ⋯⋯ 观察上述点的坐标变化规律可知，点的坐标以4为周期循环变化，且数值部分与2的幂次有关， 对于偶数点： 当为奇数时，点在第一象限，坐标为； 当为偶数时，点在第三象限，坐标为； ∵，且1013为奇数 ∴点符合中为奇数的情况，其中， ∴点的坐标为． 三、解答题 11．已知正比例函数的图像经过点，且点的横坐标为2． (1)求点的坐标； (2)已知点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点的横坐标代入解析式即可； （2）根据三角形的面积列方程求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴； （2）解：如图，设， 则有， 解得， ∴点的坐标为或． 12．已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为_______． (2)当的值为______时，函数图象与直线平行； (3)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是________； (4)当时，一次函数的最大值为4，求的值． 【答案】(1) (2)1 (3) (4)2或 【分析】（1）根据一次函数中，时，函数是正比例函数，可得答案． （2）根据一次函数图象平行时，的值相等列方程求解即可； （3）根据一次函数中，，时，函数的图象不经过第一象限，可得答案． （4）①根据一次函数中，时，y随x的增大而增大，则当时，最大值是4，②根据一次函数中，时，y随x的增大而减小，则当时，最大值是4，可得答案． 【详解】（1）解：∵函数（为常数）是正比例函数， ∴， 解得：； （2）解：∵一次函数与直线平行， ∴， 解得：； （3）解：∵函数图象不经过第一象限， ∴， 解得； （4）解：①当时，即时，y随x的增大而增大， ∴当时，最大值是4， ∴， 解得； ②当时，即时，y随x的增大而减小， ∴当时，最大值是4， ∴， 解得． 综上，m的值为2或． 13．如图，已知直线交轴于点，交y轴于点． (1)直接写出 ； (2)直线与轴，轴分别相交于点，，与直线相交于点，若，求的值； (3)点在直线上，若，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，学会数形结合的解题思路． （1）根据点在函数图象上，把点代入函数解析式，即可； （2）根据函数解析式，求出的面积，根据，等量代换，则，根据三角形的面积公式，求出点的横坐标，根据点在直线上，即可； （3）在线段上取点，过点作交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，根据全等三角形的判定和性质，则，，设，，根据点在函数上，求出，得到点的坐标；在的延长线上取点，使，过点作轴于点，交的延长线于点，根据全等三角形的判定和性质，可得，；设，，根据点在函数上，求出，得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵直线交轴于点， ∴ 解得：． （2）解：由（1）可得，直线的解析式为： ∴， ∵直线与轴，轴分别相交于点，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：在线段上取点，过点作交于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，． 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 在的延长线上取点，使，过点作轴于点，交的延长线于点， ， ∵，， ∴， ∴； 设， ∴， 直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． 综上，或． 14．为了画一次函数的图象，嘉嘉在列表过程中的两组对应值如下． x 3 y 2 (1)①将表格补充完整； ②在坐标系中描出以表格中x，y的值为坐标的两个点，并画出一次函数的图象； (2)若点，在一次函数的图象上，当时，______（填“”“”或“”）． 【答案】(1)解：①补全表格如下： x 1 3 y 2 ②画出一次函数的图象，如图所示： (2) 【分析】（1）①把表格数据代入进行计算，即可作答；②先结合表格数据，再描点，连线，即可画出一次函数的图象； （2）根据②的一次函数的图象，且结合进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：①当时，，当时，即，则， 补全表格略： ②略； （2）解：由（1）②的函数图像可知，y的值随着x的增大而减小， ∵点，在一次函数的图象上， ∴当时，． 15．如图，在正方形中，E为的中点，以A为原点，、所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，．点P从点A出发，沿运动，点P的速度是每秒2个单位长度，设点P运动的时间为t秒，的面积为S． (1)写出S关于t的函数解析式：当时，函数解析式为__________；当时，函数解析式为；当时，函数解析式为__________； (2)通过取点、画图、测量，得到了s与t的几组值，如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 S 0 m 4 n 4 2 0 请直接写出______， ______． (3)在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象： (4)当______时，． 【答案】(1)； (2)2；4 (3)见解析 (4)或 【分析】（1）根据三角形面积公式，写出函数解析式即可； （2）根据函数解析式，得出m、n的值即可； （3）根据表格中的数据先描点，再连线即可； （4）把分别代入和，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵在正方形中，， ∴， ∵E为的中点， ∴， 当时，点P在上，，则： ； 当时，点P在上，，则： ； （2）解：把代入得：，即； ∵时，函数解析式为， ∴时，，即； （3）解：函数图象，如图所示： （4）解：把代入得：，解得：； 把代入得：，解得：； 综上，当或时，． 16．如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①是_____三角形（按角分类）． ②点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ③在轴是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①直角；②或；③存在点，坐标为：． 【分析】（1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据勾股定理及其逆定理判断即可； ②根据求出长即可求解； ③分三种情况，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，， ∴． ∵当时，， ∴； （2）解：①∵，，点的坐标是， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴是直角三角形； ②∵， ∴， ∴， ∴或，即或； ③设D的坐标是 ∴，， 当时，，解得：； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：； 综上可知，点的坐标为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第14讲一次函数的图象 予内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02 教材全解建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1正比例函数的图象和性质 题型2画正比例函数的图象 题型3一次函数的图象和性质 题型4比较一次函数值的大小 题型5根据一次函数的性质判定经过的象限 题型6利用一次函数增减性求值 题型7根据一次函数增减性求参数 题型8一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型9一次函数图象的平移问题 题型10两个一次函数图象共存问题 题型11一次函数中的规律探究问题 题型12两个一次函数图象共存问题 04过关检测→练考点：强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.掌握用描点法画一次函数图象的步骤，知道一次函数的图象是一条直线。 一次函数图象、直线、 2.理解一次函数y=+b中，k决定直线的倾斜方向和增减性，b决定直 k、b、增减性、截距、 线与y轴的交点位置。 数形结合。 3.掌握正比例函数y=a的图象是过原点的一条直线，能根据图象说出函数 的性质。 4.体会数形结合思想，能根据图象信息解决简单问题（如判断函数值的大小）。 学习重点：一次函数图象的画法，以及k和b对图象位置和形状的影响。 学习难点：理解k的几何意义（倾斜程度）和b的几何意义（纵截距），以及k与一次函数增减性的 关系。 02 教材全解 1/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知1识|框|架 k与增减关系记反 交点坐标符号错误 高频易错点 一次函数的图象是一条直线 取两点连线 两点确定一条直线 平行条件K相等忽略 常用与坐标轴交点 图象所在象限判断 找x轴交点令y=O解x k,b符号与图象关系 高频考点 两点法 找y轴交点令x=0得y=b 画法 与坐标轴交点求法 描点连线 与x轴交点(-b/k,0) 次函数的图象 简易画法 取整数点方便描画 与y轴交点(0，b) 特殊点 k>0直线从左下到右上 k决定直线方向与增减 k<0直线从左上到右下 正比例函数过原点(0,0) b>0交点在y轴正半轴 k相等时直线平行 图象与系数k、b的关系 位置关系 b决定与y轴交点位置 b=0交点在原点 k不等时直线相交 b<0交点在y轴负半轴 k互为负倒数时直线垂直 Ik越大直线越陡 k决定倾斜程度 k越小直线越缓 知|识I精|讲 知识点01正比例函数的图象与性质 1)一次函数图象是一条直线： 2)己知一点可以作图，也可求出解析式； 3)交y轴于点(0,0)，交x轴于点(0,0)； 4)过象限、增减性 y=kx 过原点(0,0)的一条直线 k值 k>0 k<0 大致图象 经过象限 经过第一、三象限 经过第二、四象限 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 5)函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的(x、y),x的值是点 的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵 坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置 的高低 【易错提醒】 2/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 正比例函数y-图象性质易错警示：图象是过原点的直线。心0过一三象限，y随x增大而增大；<0过三 四象限，y随x增大而减小。注意：越大越陡，勿与一次函数截距混淆。 即时即练1关于正比例函数y=3x,下列结论正确的是() A.图象必经过点(3,1) B.图象经过第二、四象限 C.y随x的增大而增大 D.不论x取何值，总有y>0 知识点02一次函数的图像与性质 1)一次函数图象是一条直线； 2)已知两点可以作图，也可求出解析式： b 3)交y轴于点(0，b),交x轴于点(- 0) 4)过象限、增减性 b>0(过一、二象限) b<0(过三、四象限) b=0(过原点) k>0 (过一、三象限) y随x的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 k<0 (过二、四象限) 外 y随x的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 5)函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的(x、y),x的值是点 的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵 坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置 的高低 【易错提醒】 一次函数y=+b图象性质易错警示：k决定增减性（心0增，k<0减）和倾斜度；b决定与y轴交点(O,b)。k 相同则平行。注意象限判断需结合k,b符号，可画草图验证，勿死记。 即时即练1.已知点A1,m),B(2,)均在一次函数y=-2x+1的图象上，点C(m,n,则下列说法正确的是 () A.函数图象经过二、三、四象限 B.点C(m,n)在第二象限 3/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.m>n D.与x轴的交点坐标为(0,1) 2.在直角坐标系中画出一次函数y=2x-4的图象，并完成下列问题： 个 3 2 1 -5-4-3-2-10123415x -1 4 (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是-； (2)观察图象，当0≤x≤4时，y的取值范围是-： (3)将直线y=2x-4沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式. 03 题型突破 题型1正比例函数的图象和性质 【例1】关于正比例函数y=2x的图象，下列叙述错误的是() A.点(1,2)在这个图象上 B.函数值y随自变量x的增大而减小 C.当x增加1时，y增加2 D.图象经过一、三象限 1 【例2】已知正比例函数y=。x,下列结论正确的是() A.图象是一条射线 B.y随x的增大而减小 C.图象必经过点(2,1 D.图象经过第二、三、四象限 【技巧归纳】 正比例函数y=kx图象过原点，k>0在一三象限且y随x增大而增大；k<0在二四且减小。k越大越陡。注意图 象关于原点对称。求k可由一点坐标（非源点）代入。实际应用如速度一定时的略程时间图象。 【变式1-1】关于正比例函数y=-3x,下列结论正确的是（) A.图象必经过点(-1，-3) B.图象经过第一、三象限 C.y随x的增大而减小 D.不论x取何值，总有y<0 【变式1-2】关于正比例函数y=-3x,下列结论正确的是（) A.函数图象过点(1,3 B.函数图象经过第二、四象限 4/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.y随x的增大而增大 D.不论x为何值，总有y<0 题型2画正比例函数的图象 【例3】已知正比例函数y=kx的图象经过点(2，-4). (1)求这个函数的解析式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； 2 -54-3-2-1@12345x -2 =5 (3)判断点A4,-2),是否在这个函数的图象上。 【例4】已知正比例函数y=kx的图象经过点(2，-4. 5 3 3 Γ5-4-3-2-10 12345x 2 (1)求这个函数的解析式，并写出y的值随x值的变化情况； (2)用你认为最简单的方法，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点A4,-2),B-1.5,3是否在这个函数的图象上. 【技巧归纳】 正比例函数y=kx图像是过原点的直线。只需再找一点（如x=1,y=k),连线即可。若k为分数，取x为分母 倍数避免小数。注意标明坐标轴、原点及解析式。k>0上升，k<0下降。直线穿过象限与k符号一致。 【变式2-1】已知y与x之间成正比例关系，且图象经过点A(-2,6). 5/17 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6 6-54-3-2-10123456 (1)求y与x之间的函数解析式. (2)画出该函数的图象 (6)图像上有两点B(y),C(xy2),如果x1>2则y1y2 【变式2-2】已知正比例函数y=kx的图象经过点(2,6). (1)求这个函数表达式； (②)判断点A(-1,3)是否在这个函数图象上； (3)图象上的两点C(x1,),D(x2,y2)，如果x1>x2'比较y,与y2的大小. 题型3一次函数的图像和性质 【例5】对于一次函数y=-2x+6,下列说法不正确的是() A.图像不经过第三象限 B.点(2,2)在直线y=-2x+6上 C.图像与直线y=-2x平行 D.若点(-1，y),（2,y2)在该函数图像上，则乃<y2 【例6】将一次函数y=2x+1的图象向下平移2个单位后，下列对得到的新图象描述正确的是() A.y随x的增大而减小 B.图象与直线y=2x平行 C.点(-1，-1)在函数图象上 D.图象经过第一、二、三象限 【技巧归纳】 一次函数y=kx+b图象是直线，k定倾斜方向(k>0增，k<0减)，b定y轴截距。与x轴交点为(-b/k,0)。过定 点(O,b)。k越大越陡。利用增减性比较函数值。平移变换：b改变上下。注意截距可为正负。 【变式3-1】对于函数y=-2x+2,下列结论正确的是() A.它的图像经过点(1,2) B.y的值随x值的增大而增大 6/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.它的图像经过第一、二、四象限 D.它的图像与x轴交点(0,2) 【变式3-2】对于函数y=-3x-1,下列结论正确的是（) A.它的图象必经过(-1,4) B.它的图象经过第一、二、三象限 C.y的值随x值的增大而增大 D.当x>-时，y<0 3 题型4比较一次函数值的大小 【例7】已知点M(-1,m),N(2,n)在直线y=-x+2上，则m,n的大小关系 【例8】已知一次函数y=-2x+3图像上有三个点(2，)，3，y2),(-1,y)则，2,3大小关系 【技巧归纳】 若k>0,x越大y越大：若k<0,x越大y越小。也可直接代入x值计算比较。已知函数值比较自变量：根据k 符号解不等式。图象法：上方点函数值大。注意“一定大于”需考虑k符号或联立差值判断。 【变式4-1】已知点Am+1,)和点B(m-1,y)在一次函数y=(n2+1x+b的图象上，则y (填“>”，“=”或“<”) 【变式4-2】设点(-3，m)和点(2，n)是直线y=(k2-1)x+b(0<k<1)上的两个点，则m,n的大小关系 是 题型5根据一次函数的性质判定经过的像限 【例9】一次函数y=2x-1的图象经过第 象限. 【例10】当k>0时，一次函数y=c-k的图象不经过第 象限 【技巧归纳】 由k、b符号判定：k>0过一三象限，k<0过二四；b>0与y轴交于正半轴，b<0交负半轴。组合得：k心0，b>0 过一二三；k心0，b<0过一三四：k<0,b>0过一二四；k<0,b<0过二三四。正比例过原点。结合图形记忆。 【变式5-1】在平面直角坐标系中，一次函数y=2025x-2025的图象不经过第象限. 【变式5-2】正比例函数y=x的图象经过原点和第一、三象限，则直线y=-x+3经过第 象限 题型6利用一次函数增减性求值 【例11】己知函数y=-。x-4,当-3≤x≤3时，y的最大值是 【例12】己知y=-2x+1,若x>3,则y的取值范围是 【技巧归纳】 7/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 根据k的符号判断增减：k>0,y随x增大而增大；k<0则减小。利用增减性可比较函数值大小，或确定取值范 围。如已知函数值范围求自变量范围，先找端点叔对应x值，再结合增减性写出区间。注意端点是否取等。 【变式6-1】已知函数y=-x+2.当-1≤x≤1时，y的取值范围是 【变式6-2】已知一次函数y=-3x+1,当-1≤x≤5时，函数y的最大值是 题型7根据一次函数增减性求参数 【例13】一次函数y=(m-2)x+4的函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是 【例14】若一次函数y=(2-3m)x+2的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是 【技5归纳】 一次函数y=kx+b中，k决定增减性：k>0增，k<0减。若含参数，列不等式（如增大则k>0)。注意b不影响 增减。若题目给出函数值随x增大而减小，则k<0。解出参数范围，注意k≠0。若还要求过象限，需结合b。 【变式7-1】一次函数y=(3a-1)x+5图象上有两点A(x,)、B(x2y2),当x<x2时，有乃>y2,那么a的 取值范围是 【变式7-2】直线y=(3m-1x-m,函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，则m的取值范 围是 题型8一次函数图象与坐标轴的交点问题 【例15】直线y=2x+2与x轴的交点坐标为 与y轴的交点坐标为 【例16】一次函数y=2x-6的图象与x轴的交点坐标为】 与y轴的交点坐标为 与坐标轴 围成的三角形的面积为 【技巧归纳】 与y轴交点：令x=O得(0，b)。与x轴交点：令y=0得(b/k,0)。若k不存在（垂直x轴）不是一次函数。利用胶 点可求截距，求三角形面积（底乘高2）。注意交点坐标符号由k、b决定。也可由已知交点求解析式。 【变式8-1】在平面直角坐标系x0y中，直线y=2x-6与x轴的交点坐标为 与两坐标轴围成的三角 形的面积为， 【变式82】如图，一次函数y音+8的图象与x轴、y轴的交点分别为小、B,则B的长为 8/17 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A 题型9一次函数图象的平移问题 【例17】在平面直角坐标系中，若将一次函数y=3x+n的图象向上平移2个单位长度后，得到一个正比例 函数的图象，则的值为 【例18】直线y=-2x+2向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是 【技巧归纳】 平移规律：上下平移，b变（上加下减）；左右平移，x变（加右减）。如y=kx+b向左平移m得yk (x+m)+b。注意一次函数左右平移时，斜率k不变，仅改变截距。也可直接看直线与y轴交点变化。口诀“左加 右减，上加下减”。 【变式9-1】直线y=2x-3向下平移4个单位可得直线y= 再向左平移2个单位可得直线y=」 【变式9-2】己知直线y=x+b平行于直线y=-7x+4,且在y轴上的截距为-1，那么该直线的解析式 是 题型10两个一次函数图象共存问题 【例19】在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-3的图象大致是() 【例20】一次函数y=ax-a(a为常数，a≠0)的图象可能是() 【技巧归纳】 9/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 分别分析各直线的kb符号，判断它们是否可能同时出现在同一坐标系中。先根据假设确定一个的符号范围， 再验证另一个是否矛盾。常通过郴除法：如一条斜率正且截距负（过一三四），另一条斜率负且截距正（过一二 四)可能洪存。注意b0时过原点。 【变式10-1】下列表示一次函数y=x+b(k,b是常数，且kb≠0)的图象与正比例函数y=bx的图象可能 的是() 【变式10-2】若一次函数片=kx+b,与y2=k2x+b,满足b,<b2,且已知Vkk2没有意义，则能大致表示这 两个函数图象的是() 题型11一次函数中的规律探究问题 【例21】如图，直线y=x+2与y轴相交于点A,过点A作x轴的平行线交直线y=0.5x+1于点B,过点 B作y轴的平行线交直线y=x+2于点A,再过点A作x轴的平行线交直线y=0.5x+1于点B,过点B作y 轴的平行线交直线y=x+2于点A,,依此类推，得到直线y=x+2上的点A、A,A,.,与直线 y=0.5x+1上的点B,B,B,…,则A,B的长为 7y=x+2 B3 y=0.5x+1 B B 【例2】如图。已知直线a:J=,直线：y=宁和点P1,0,过点P作y轴的平行线交直线a于点 P,过点P作x轴的平行线交直线b于点B,过点B作y轴的平行线交直线a于点B,过点￡作x轴的平 行线交直线b于点P…按此作法进行下去，则点P的横坐标为一· 10/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Ps P P b 【技巧归纳】 观察直线族中k或b按等差、等比变化，写出通项公式。如直线ymx+?,研究其过定点或交点规律。也可结合 坐标变化，找横纵坐标关系。先算前几项，归纳一般式，再代入验证。注意系数中的为参数，分类讨论。 【变式11-1】正方形A,B,C0,AB,CC,A,B,C,C2…按如图的方式放置，A,A,A…和点C,C, C?…分别在直线y=x+2和x轴上，则点C223的横坐标是 YA A B A B B /0 C C2 C3 【变式11-2】如图，已知直线1：y=2x,分别过x轴上的点A(1,0)、A(2,0)、、A,(n,0),作垂直于x轴的 直线交1于点B、B2、、Bn,将△OA,B,四边形A,A,B,B、…、四边形A。-A.BB。1的面积依次记为 SS2、、Sn,则Sn= B3 B, B S , 5,P A42A 题型12画一次函数的图象 【例23】在平面直角坐标系中，一次函数y=-x-4的图象与y轴交于点A. 11/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y 4 -7-6-5-4-3-2-10 2 2 =4 5 (1)求点A的坐标； (2)在图中画出该一次函数的图象。 【例24】如图，在平面直角坐标系x0y中，函数y=3-x的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线 y=与y=3-x的图象交于第一象限某一点C. 3 3 5-4-3-2-101.234.5 -2 ..5 (1)请在平面直角坐标系内画出函数y=3-x的图象； (2)若SA0B=3 SAB0C,求k的值； 【技巧归纳】 一次函数图象是直线，用两点法：取x=0得(0，b),取y=0得(-b/k,0)。若b=0,取(0,0和(1，k)。连线并向两微延 长，注意标明坐标轴、解析式。k决定倾斜方向，b决定上下位置。实际画图选刻度合适，使直线完整。 【变式12-1】己知一次函数y=2x+2. 0 12/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 41 3 2 入 5432-19 234 -2 + 3 + -4 (1)请完成下列表格，并在如图所示平面直角坐标系中画出这个函数的图象： (2)请根据函数图象直接写出当y>-2时，x的取值范围. 【变式12-2】画出函数y=2x-1的图象. 2 4-3-2-10 1234x 0 (1)根据列表，a=-。 (2)根据列表，在如图所示的平面直角坐标系中描点并连接 (3)点A-3,-5,B(2,-3),C(3,5)中，在函数y=2x-1图象上的点是-（填“A"“B”或“C”)· (4)若点P(m,9)在函数y=2x-1的图象上，求出m的值. 04 过关检测 一、单选题 1.已知函数为y=x-10≤x≤10)，则() A.x=1时，y=2 13/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B.y=2x+1的图象与该函数的图象没有交点 C.y随x的增大而增大 D.该函数因变量y的取值范围为1≤y≤2 2.一次函数y=-5x+m的图象上有两点A(1,y)，B(3,,y1与y2的大小关系是（） A.y>y2 B.y<y2 C.y=y2 D.无法确定 3.对于一次函数y=一2x+4,下列结论错误的是（) A.函数的图象不经过第三象限 B.函数的图象与x轴的交点坐标是(2,0 C.函数的图象向右平移2个单位向下平移4个单位长度得y=-2x-4的图象 D.函数值随自变量的增大而减小 4.当2≤x≤5时，一次函数y=m+1x+m+1最小值为6，则实数m的值为() A.0 B.1 C.0或1 D.0或-1 5.下列选项中，表示一次函数y=mx十n与正比例函数y=mx(m,n为常数，且mn≠0)图像的是(） A B D 二、填空题 6.若直线y=(k+2)x+k+3(k是常数)的图像不经过第三象限，则k的取值范围为 7.已知一次函数y=x+2(k是常数，k≠0)，y随x的增大而减小，写出一个符合条件的k的值为 8.已知点(-山(2，)在一次函数y=x+1(k为常数且k≠0)的图象上，则：y1y2(填 “>%“=”或“<”） 2 9.如图，一次函数y=三x-2的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,则△OAB的面积为 3 10.如图，在平面直角坐标系中，函数y=x和y=-2x的图象分别为直线1,2过点（一1,0）作x轴的垂 线交12于点A1过点A1作y轴的垂线交1于点A2,过点A2作x轴的垂线交12于点A3,过点A3作y轴的垂线 14/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 交1于点A4:.依次进行下去，则点A2026的坐标是一 A 4> A: A 三、解答题 11.己知正比例函数y=2x的图像经过点A,且点A的横坐标为2. (1)求点A的坐标： (2)已知点P在x轴上，且S△4or=8,求点P的坐标. 12.已知一次函数y=（m+1)x-(2m+4)（m为常数) (1)当函数是正比例函数时，m的值为 (2)当m的值为时，函数图象与直线y=2x+1平行； (3)当函数图象不经过第一象限时，m的取值范围是 (4)当-2≤x≤4时，一次函数的最大值为4，求m的值. 13.如图，己知直线(：y=x+4交x轴于点A(6,0),交y轴于点B 备用图 (1)直接写出k=一 (2)直线l:y=nx-4与x轴，y轴分别相交于点D,E,与直线，相交于点C,若S4CD=S.oDE,求的值； (3)点M在直线AB上，若LBA0+LM0A=45°，求点M坐标. 14.为了画一次函数y=一2x+4的图象，嘉嘉在列表过程中的两组对应值如下. 3 y 2 15/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5 4 3 2 -5-4-3-2-101 -2 3 4 5 (1)①将表格补充完整； ②在坐标系中描出以表格中x,y的值为坐标的两个点，并画出一次函数y=一2x+4的图象； (2若点A(Xy),B(X2y2)在一次函数y=-2x+4的图象上，当x1>x2时，y1y2(填“>” “<”或“=”) x 1 3 2 -2 ②画出一次函数y=一2x+4的图象，如图所示： 2 54-3-2-1@1345 3 15.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，以A为原点，AB、AD所在直线为x轴、y轴，建立平面 直角坐标系，C(4,4).点P从点A出发，沿A→D→C→B运动，点P的速度是每秒2个单位长度，设 点P运动的时间为t秒，△APE的面积为S. 8 S不 C 6 OA) E B t -2-11 23456787 16/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)写出S关于t的函数解析式：当0<t≤2时，函数解析式为 当2<1≤4时，函数解析式为 S=4;当4<1<6时，函数解析式为 ； (2)通过取点、画图、测量，得到了s与t的几组值，如下表： t0<1<6 0 2 6 S 0 m 4 n 4 2 0 请直接写出m= 17= (3)在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象： (4)当t= 时，SAAPE=3, 16.如图，已知一次函数y=x+2与x轴相交于点A,与y轴交于点B: A (1)求出点A和点B的坐标. (2)若点C的坐标是(1,0)， ①△ABC是 三角形（按角分类）· ②点P是x轴上的点，若5。m一分c,请求出点p的坐标。 ③在x轴是否存在点D,使得△BCD是等腰三角形？如果存在，请直接写出点D的坐标，如果不存在，请 说明理由. 17/17