第11讲 轴对称与坐标变换（7类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新八年级数学新教材北师大版

第11讲 轴对称与坐标变换 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求点关于x轴的对称点的坐标 题型2 求点关于y轴的对称点的坐标 题型3 求点关于某直线的对称点的坐标 题型4 利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题 题型5 坐标与图形变换--轴对称 题型6 轴对称的几何变换综合题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 轴对称、坐标变换、关于x轴对称、关于y轴对称、数形结合。 1. 经历图形坐标变化与轴对称之间关系的探索过程，掌握点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律。 2. 能在坐标系中，根据一个图形顶点坐标，写出其关于坐标轴对称的图形顶点坐标。 3. 能根据坐标变化，判断新图形与原图形的位置关系，并体会“数”与“形”之间的转换。 4. 经历观察、归纳、验证等数学活动，发展数形结合意识和空间观念。 学习重点：经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，明确图形坐标变化与图形轴对称之间的关系。 学习难点：由坐标的变化探索新旧图形之间的变化过程，发展形象思维能力和数形结合意识，实现“数”与“形”之间的自由转换。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 坐标系中的轴对称 （1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． （2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数． （3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． （4）点关于点的对称点是． （5）点关于的对称点是． （6）点关于的对称点是． （7）点关于一三象限的平分线的对称点为． （8）点关于二四象限的平分线的对称点为． 【易错提醒】 坐标系对称易错警示：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数(x,-y)；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变相反数(-x,y)；关于原点对称，横纵坐标均变相反数(-x,-y)。勿混淆对称规律。 即时即练1．点关于轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点关于对称轴对称时，坐标的变化规律问题．点关于轴对称点的坐标为，点关于轴对称点的坐标为，本题根据点关于轴、轴对称时，横纵坐标变化规律解答即可． 【详解】解：∵坐标系中点关于轴对称点的坐标特征是：横坐标不变，纵坐标变为其相反数， ∴点关于轴的对称点的坐标是． 故答案为： ． 2．若点与点关于y轴对称，则的值是 ． 【答案】1 【分析】根据两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，列式计算即可． 本题考查了点的对称，有理数的加法，根据对称点的坐标特点，规范计算即可． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴， 解得， 故， 故答案为：1． 3．已知：如图，三个点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的图形；写出各顶点坐标； (2)求的面积． (3)在x轴上找一点P，使得它到点A和点C的距离和最小（不要求写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 (2)5 (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，再根据各顶点在坐标系中的位置写出顶点坐标即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）作点关于轴的对称点,连接，交x轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：的面积为． （3）解：如图，作点关于轴的对称点,连接，交x轴于点P，连接， 则，此时点P到点A和点C的距离和最小，故点P即为所求作． 题型1 求点关于x轴的对称点的坐标 【例1】点关于x轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 【例2】在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟知关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题关键．根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求出、，进而可得答案． 【详解】解：点关于轴的对称点为， ，， ． 故答案为：． 【技巧归纳】 点关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标变为相反数，即P(a,b)→P'(a,-b)。如(2,-3)关于x轴对称得(2,3)。口诀：横不变，纵相反。注意原点对称是横纵都变号，不要混淆。应用于图形轴对称问题。 【变式1-1】在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、坐标系中的对称 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 直接利用关于轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：∵与点关于轴对称， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式1-2】若点在轴上，点与点关于轴对称，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，根据轴上的点横坐标为求出的值，即得点的坐标，再根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求出点的坐标，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标是， 故答案为：． 题型2 求点关于y轴的对称点的坐标 【例3】平面直角坐标系中，与点关于y轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标的特点，根据平面直角坐标系中任意一点，关于轴对称的点的坐标为，将的坐标代入从而得出答案． 【详解】解：根据关于轴、轴对称的点的坐标的特点， 点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 【例4】点，，若，关于轴对称，则 ， ；若，关于轴对称，则 ， ． 【答案】 2 5 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，关于轴、轴对称的点的坐标． （1）关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，依此即可求解． （2）关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，依此即可求解． 【详解】解：（1）若、关于轴对称，则，； 故答案为：2；5； （2）若、关于轴对称，则，． 故答案为：，． 【技巧归纳】 点关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标变为相反数，即P(a,b)→P'(-a,b)。如(-3,4)关于y轴对称得(3,4)。口诀：纵不变，横相反。关于坐标轴对称仅改变对应的坐标符号，与关于原点对称不同（都变）。 【变式2-1】已知点和关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了代数式求值，关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．利用关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，得出，，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】若点在x轴上，则点P关于y轴对称的点Q坐标是 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，根据点在x轴上求出，得，再求出点的坐标即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得，， ∴, ∵点P与点Q关于y轴对称， ∴点Q坐标是， 故答案为：． 题型3 求点关于某直线的对称点的坐标 【例5】点关于直线对称的点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了关于垂直坐标轴的直线对称的点坐标．设点关于直线对称的点为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设点关于直线对称的点为， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 【例6】点关于直线对称的点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】考查了平面直角坐标系中各种点对称的基本性质，解题的关键是对这些基本性质要有清晰的认识。根据题意，设出相关点的坐标，依据相关性质入手即可 【详解】解：当所求的点与点关于对称时，其对称点的坐标为 ∵， ∴对称点的坐标为， 故答案是：． 【技巧归纳】 关于直线y=x对称：交换横纵坐标，即(a,b)→(b,a)。关于直线y=-x对称：横纵坐标都变相反数并交换，即(a,b)→(-b,-a)。若直线平行坐标轴，可先平移再对称。注意对称点与已知点中点在该直线上，连线垂直。 【变式3-1】已知点和点B是坐标平面内的两个点，它们关于直线对称 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标与图形变化-对称，熟记对称的性质并列出方程求出点B的横坐标是解题的关键．根据轴对称的定义列式求出点B的横坐标，然后解答即可． 【详解】解：设点B的横坐标为x， ∵点与点B关于直线对称， ∴， 解得， ∵点A、B关于直线对称， ∴点A、B的纵坐标相等， ∴点． 故答案为． 【变式3-2】点关于第一象限角平分线的对称点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系；根据题意，关于第一象限角平分线的对称的两点坐标的关系，纵横坐标交换位置易得答案． 【详解】解：根据关于第一象限角平分线的对称的两点坐标的关系， 即点关于第一象限角平分线的对称点的坐标为； 可得答案为． 故答案为：． 题型4 利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题 【例7】坐标平面上点，点，点C在x轴上，则最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题坐标与轴对称，勾股定理，作点过于轴的对称点，连接，则：最小值即为的长，进行求解即可． 【详解】解：如图，作点过于轴的对称点，连接，则：，， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵， ∴； 故最小值为． 【例8】如图，平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，，，，点M，N是x轴，线段上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【知识点】坐标系中描点、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了轴对称－最短路线问题，过点P作于H，交x轴于点E，连接．则的最小值为的长， 根据，，推出． 【详解】解：过点P作于H，交x轴于点E，连接， 点M，N是x轴，线段上的动点， 的最小值为的长， ，， ． 故对答案为：4． 【技巧归纳】 将军饮马型：作某点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一点，与对称轴交点即为所求。最小值即为对称后两点间距离（用勾股计算）。若对称轴为x轴或y轴，直接变符号求对称点。注意区分轴对称与平移。 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，，，点C是y轴上一点，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】最短路径问题、坐标与图形变化——轴对称、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查最短路径问题，关键是根据轴对称的性质找到对称点，然后利用勾股定理进行求解即可．作于D，则，，，，得出，由勾股定理求出即可；由题意得出最小，作A关于y轴的对称点，连接交y轴于点C，点C即为使最小的点，作轴于E，由勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：作于D， 则，，，， ∴， ∴； 要使的周长最小，一定， 则最小， 作A关于y轴的对称点，连接交y轴于点C， 点C即为使最小的点， 作轴于E， 由对称的性质得： ，， ∴， 由勾股定理得：＝， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．取点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，由轴对称的性质可得，，，进而可得，可知当O，P，三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：如图，取点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，连接，，， 则可知，，， ∴， 即当O，P，三点共线时，的最小值为， ∵直线l垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴，， ∴在中，， 即的最小值为， 故答案为：． 题型5 坐标与图形变换--轴对称 【例9】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标 ； (2)求的面积； (3)x轴上找一点P，使三角形周长最小，x轴上画出P点位置． 【答案】(1)见解析， (2)5 (3)见解析 【知识点】最短路径问题、坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、网格中求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质找出对应点的位置，再顺次连接即可作图； （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）取点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求；由图知，点的坐标为； （2）解：的面积为； （3）解：如图，取点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 此时三角形周长最小， 则点P即为所求． 【例10】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）的坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的（点的对应点分别为）． (2)连接，直接写出的面积． (3)在（1）的条件下，在线段上找出点D，使得的面积是的面积的． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了轴对称的性质，网格中求三角形的面积． （1）分别作出关于轴对称的对应点，，，再顺次连结得到； （2）利用割补法求解即可； （3）根据三角形中线的意义，找出点D即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：的面积； （3）解：如图，点D即为所求作． 【技巧归纳】 图形关于x轴、y轴或直线y=±x对称时，找对应点坐标变化规律（横/纵变号或交换）。先求关键点对称坐标，再连接成图形。注意对称前后图形全等，对应点连线被对称轴垂直平分。坐标系中画图更直观。 【变式5-1】在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上. (1)画出关于轴对称的；并写出；；的坐标. (2)求的面积. (3)在轴上找出点，使的周长最小. 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)见解析 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了画轴对称图形、点坐标与轴对称变化等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）先根据根据点坐标关于轴对称的变换规律分别画出点，再顺次连接即可得； （2）利用割补法求解即可； （3）连接，交轴于点即为所求． 【详解】（1）解：由图可得， 与关于轴对称， ， 如图，即为所求． （2）解：的面积； （3）解：如图，点即为所求． 理由：由轴对称的性质得：， 的周长为， 当取最小值时，的周长最小， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值， 则与轴的交点即为所求． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，规定在网格内（包括边界）横、纵坐标都是整数的点称为格点，已知的三个顶点都是格点． (1)的顶点坐标分别是A______，B______，C______； (2)与关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是，则______； (3)点D是格点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点D坐标为______． 【答案】(1)；； (2) (3)或 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形 【分析】本题考查了写出平面直角坐标系中点的坐标、作图—轴对称变换、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据图形写出坐标即可得解； （2）根据轴对称的性质作出，再写出的坐标即可得解； （3）根据轴对称的性质画出图形，结合图形即可得解． 【详解】（1）解：由图可得：，，； （2）解：如图：即为所作， 由图可得：； （3）解：如图，点、即为所求， 所有符合条件的点D坐标为或． 题型6 轴对称的几何变换综合题 【例11】在平面直角坐标系中，点，，a，b满足，点C与点A关于y轴对称． (1)直接写出B，C两点的坐标； (2)如图，分别以，为直角边向右侧作等腰和等腰，求出D，E两点的坐标． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）根据题意，得，，再利用轴对称性质求解即可； （2）过点D作轴，过点E作轴，证明，求解即可； 【详解】（1）解：， ，， ，， 解得，， ∴点，． ∵点A，C关于y轴对称， ∴点． （2）解：过点D作轴，过点E作轴，如图． 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，． ∵点，， ，， ， ∴点； 同理可得点． 【例12】阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离．例如．如图1，，则．             【直接应用】 (1)已知 ，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值； (3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是多少？ 【答案】(1) (2)的最小值为 (3) 【知识点】已知两点坐标求两点距离、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题三角形综合题，考查了最短路径，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）由两点间的距离公式可求出答案； （2）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出的最小值． （3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）如图，作点B关于x轴对称的点C，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当A、P、C三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）∵把看成点到两点和的距离之和， ∴两点和的距离便是的最小值， ∴最小值为：． 【技巧归纳】 综合题结合折叠、旋转、最值等。先确定对称轴，找对应点坐标关系。利用轴对称性质：对应点连线被对称轴垂直平分，距离相等。设未知点坐标，列方程求解。注意多情况讨论（如对称轴位置不定）。数形结合。 【变式6-1】在平面直角坐标系中，已知长方形，其中点，点． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若点是轴上的动点，连接． ①如图1，当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）根据长方形的性质，结合坐标系，即可求解； （2）①先求出，再用三角形的面积公式得出，，即可得出结论； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合，连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则，根据①得出，则，设，则，得出，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵已知长方形，其中点，点． ∴ ∴，； （2）①，理由如下： 如图1，过点作于， 由平移知，轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴，即：； ②如图，∵四边形是长方形， ∴当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合， 连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则， ∵ 设 ∴ 由①可得 ∴ ∴即 解得： ∴ 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点、和， ，将线段平移到的位置． (1)求点的坐标； (2)点为轴正半轴上一动点，连接，． ①当点在线段上时，求证：； ②当时，求点的坐标，此时、和有何数量关系？请直接写出它们的关系，不需证明． 【答案】(1) (2)①证明：如图，作， 由平移的性质得：， ， ∴，． ∵， ∴． ②点的坐标为， 【分析】（1）由平方和算术平方根的非负性可求得，的值，即可求出点，的坐标，再根据平移的性质即可求得点的坐标； （2）①作，则，可得 ，，根据即可求证；②设点的坐标为，，则，分两种情况讨论：当点在线段上时，，求出点的值，不符合题意，舍去；当点在线段的延长线上时，，求出点的值，即可得出点的坐标；过点作，则，可得，，根据，即可得出结论． 【详解】（1）解∵， ∴，． ，． ，． ∴． 由平移的性质得：，， ， ． （2）解：①略 ②∵， ∴． 设点的坐标为， 当点在线段上时，即， 则， 解得， ∵， ∴此种情况不成立． 如图，当点在线段的延长线上时，即， 则， 解得， ． 此时，． 如图，过点作， ∵， ， ∴，． ∵， ∴． 一、单选题 1．点关于y轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面直角坐标系中点关于轴对称的坐标变化规律，纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，求解即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为， 又∵点的坐标为， ∴ 对称点的横坐标变为，纵坐标保持不变， ∴ 的坐标为． 2．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点与点关于轴对称，关于轴对称的点的横坐标相等， ∴. 3．已知平面内不同的两点，点，点，关于直线叙述一定正确的是（     ） A．直线轴 B．直线轴 C．直线轴 D．直线轴 【答案】B 【分析】根据两点坐标特征结合平行、垂直的定义判断即可，需注意重合不满足平行关系． 【详解】∵点，点是平面内不同的两点， ∴两点横坐标相等，纵坐标不相等， 可得直线上所有点的横坐标都为， ∴直线一定垂直于轴， 当时，直线与轴重合，不满足平行于轴，因此C不一定正确， 综上，一定正确的是B选项． 4．如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若图中点F的坐标为，其关于轴的对称点E坐标为，则值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据关于y轴对称的点的性质，得，求出n值代入计算即可． 【详解】解：∵关于y轴对称， ∴， 解得，， ∴． 5．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，经过2025次变换后所得的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知点A的坐标每4次变换为一个循环周期，然后根据轴对称的性质，分别写出前4次变换后的坐标，结合的余数确定最终坐标即可． 【详解】解：根据题意， 第1次变换（关于 轴对称）：纵坐标不变，横坐标互为相反数，得 ； 第2次变换（关于 轴对称）：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得 ； 第3次变换（关于 轴对称）：纵坐标不变，横坐标互为相反数，得 ； 第4次变换（关于 轴对称）：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得 ； 点的坐标每4次变换循环一次， ， 经过2025次变换后所得的点的坐标与第1次变换后的坐标相同，即为 ． 二、填空题 6．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为_____． 【答案】 【分析】关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为． 7．点与点关于y轴对称，则________． 【答案】1 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ． 8．如图，在平面直角坐标系中，与关于x轴对称，其中点A，B，C的对应点分别为点，，，若点在的边上，则点P在上的对应点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：∵与关于轴对称， 点在的边上， ∴点在上的对应点的坐标是． 9．如图，在平面直角坐标系中，的直角边，分别在x轴和y轴上，其中，E是上一点，将以为轴翻折，点A刚好落在y轴的点D处，则点E的坐标是______． 【答案】 【分析】先在中，由勾股定理得，根据翻折性质，，，算出．设，在中，由列方程，解得，得到点坐标． 【详解】解：在中，，， ∴， 由翻折性质得：，． ，在轴上， ，即． 设，则，， ∴． 在中， 即 解得， ∴点E的坐标为． 10．如图，在平面直角坐标系中，四边形关于轴对称，，，将四边形沿直线翻折后得到四边形，接着将四边形沿直线翻折后得到四边形，第三次将四边形沿直线翻折后得到四边形，第四次将四边形沿直线翻折后得到四边形 依此方式 （1）点的坐标是___________， （2）翻折2026次得到四边形，则点的坐标是___________ 【答案】 / 【分析】（1）根据轴对称的性质求出点和点的坐标，利用关于直线对称的点的坐标特征求出的坐标； （2）通过计算前几次变换后点的坐标，发现坐标变化的循环规律，根据规律求出的坐标； 【详解】（1）四边形关于轴对称，， ，， 过点作轴， 在中，，， ， ， 点的坐标为， 在中，，， ， ， 点的坐标为； 点与点关于直线对称， 点的坐标为； （2）由题意可知： 第一次翻折，点关于直线对称得到， 第二次翻折，点关于直线对称得到， 第三次翻折，点关于直线对称得到， 第四次翻折，点关于直线对称得到， 点的坐标每4次翻折为一个循环周期， ， 点的坐标与点的坐标相同， 点的坐标为． 三、解答题 11．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的，并写出的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)画图见解析； (2) 【分析】（1）分别作出点B，C关于y轴的对称点，，顺次连接A，，得到，根据点的位置即得的坐标； （2）根据割补法列式计算即可． 【详解】（1）解：如图，就是所求作的三角形； 点的坐标是； （2）解：的面积为． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)请画出关于轴对称的；并写出的坐标． (2)若点为轴上一点，连接，当最小时，请在图中画出点的位置． 【答案】(1)见详解； (2)见详解 【分析】本题考查轴对称作图，最短路径问题，熟练掌握轴对称作图是解题的关键； （1）根据轴对称的定义直接画图，写出坐标即可； （2）作点C关于轴的对称点，连接与交x轴交于一点，即为P点． 【详解】（1）解：如下图所示： ∴ （2）解：如下图：点P即为所求： 13．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，为边上的高． (1)请画出关于y轴的对称图形； (2)请填出下列线段的长度： ， ， ， ． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）利用轴对称的性质作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用勾股定理以及三角形的面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：，，， ∵， ∴． 14．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 的线路移动． (1) ________， ________，点B的坐标为__________； (2)当点P移动时，点P的坐标为_______________； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为 4 个单位长度时，点P移动的时间为________； (4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P的坐标． 【答案】(1)4， 6， (2) (3)2秒或6秒 (4)或 【分析】（1）先利用算术平方根的非负性与绝对值的非负性求出，再得到，即可求解． （2）求出点P移动的路程，再除以时间即可求解． （3）确定出当点P到x轴的距离为4个单位长度时的坐标，再利用路程除以速度即可求解． （4）求出边上的高为2时即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； （2）解：点P移动时，运动路程为个单位， ∵，， ∴点P在上，距离点C两个单位长度， ∴； （3）解：在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，则或， 当运动到时，时间为， 当运动到时，时间为， ∴点P移动的时间为或； （4）解：∵点B的坐标为， ∴， ∴当三角形的面积等于6时，边上的高为，，此时，点在上或上， ∴或． 15．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B是第一象限的点，且轴，点B到x轴的距离是4，过点B作x轴的平行线a，与y轴交于点C．动点P从点B出发，以2个单位长度/s的速度沿直线a向左移动，动点Q从原点O同时出发，以1个单位长度/s的速度沿x轴向右移动． (1)点B的坐标为________； (2)当时，点P的坐标为________，点Q的坐标为________； (3)当点P，Q满足轴时，求t的值． (4)当点P移动到y轴左侧，且四边形的面积为10时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) (4)点P的坐标为 【分析】本题考查了坐标与图形，一元一次方程的求解，解题的关键是理解平面直角坐标系，以及正确列出一元一次方程． （1）根据题意，直接求得点的坐标即可； （2）根据平移方式以及时间，求得坐标即可； （3）根据可得两点的横坐标相等，列出方程求解即可； （4）设移动时间为秒，根据四边形的面积为10，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点A的坐标为，点B是第一象限的点，且轴， 可得的横坐标为， 由点B到x轴的距离是4可得的纵坐标为， 则点的坐标为， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 当时，，则，可得， ，可得， 故答案为：，； （3）设经过t秒后，，此时两点的横坐标相等， 两点的横坐标分别为，， 则，解得； （4）解：设经过t秒后，四边形的面积为10， 由点P移动到y轴左侧可得，，此时， 则四边形的面积为， 解得， ，则点的坐标为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第11讲轴对称与坐标变换 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1求点关于x轴的对称点的坐标 题型2求点关于y轴的对称点的坐标 题型3求点关于某直线的对称点的坐标 题型4利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题 题型5坐标与图形变换-轴对称 题型6轴对称的几何变换综合题 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 01预习航标 关键词 学习目标导航 1.经历图形坐标变化与轴对称之间关系的探索过程，掌握点关于x轴、y轴对 称的坐标变化规律。 轴对称、坐标变换、关2.能在坐标系中，根据一个图形顶点坐标，写出其关于坐标轴对称的图形顶 于x轴对称、关于y轴点坐标。 对称、数形结合。 3.能根据坐标变化，判断新图形与原图形的位置关系，并体会"数”与“形” 之间的转换。 4.经历观察、归纳、验证等数学活动，发展数形结合意识和空间观念。 学习重点：经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，明确图形坐标变化与图形轴对称之 间的关系。 学习难点：由坐标的变化探索新旧图形之间的变化过程，发展形象思维能力和数形结合意识，实现“数” 与“形”之间的自由转换。 02 教材全解 ◇ 知1识1框|架 1/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 关于x轴y袖对称坐标记反 高频易错点 横坐标相同，纵坐标互为相反数 关于×轴对称 对称轴非坐标轴时距离计筒错误 x,y》关于x轴对称点为区，-y) 对称点坐标求法 坐标平面内点的对称 横坐标互为相反数，纵坐标相同 高频考点 关于y轴对称 利用对称性作圆 (仪，y)关于y轴对称点为(x,y) 对称与平移综合 横纵坐标都互为相反数 轴对称与 关于原点对称 确定关键点坐标 《仪y关于原点对称点为←×-y) 坐标变换 根据对称类型求对称点坐标 步灌 利用坐标变换作对称图形 关于轴对称的图形 纵坐标全部取相反数 依次连接对称点 坐标平面内图形的对称 关于y轴对称的图形 横坐标全部取相反数 对称键平行于x蚀时纵坐标等距 关于原点对称的图形 横纵坐标全部取相反数 对称轴平行于y袖时横坐标等距 轴对称图形在坐标系中 图形变换与坐标特征 对称轴为坐标轴时坐标互为相反数 知|识I精|讲 知识点01坐标系中的轴对称 (1)点P(a,b)关于x轴的对称点是P'(a,-b),即横坐标不变，纵坐标互为相反数. (2)点P(a,b)关于y轴的对称点是P'(-a,b),即纵坐标不变，横坐标互为相反数. 总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数。 (3)点P(a,b)关于坐标原点的对称点是P'(-a,-b),即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数. (4)点P(a,b)关于点g(m,n)的对称点是P'(2m-a,2n-b). (5)点P(a,b)关于x=m的对称点是P'(2m-a,b) (6)点P(a,b)关于y=n的对称点是P'(a,2n-b). (7)点(x,)关于一三象限的平分线的对称点为(y,x). (8)点(x,y)关于二四象限的平分线的对称点为(-y,-x). 【易错提醒】 坐标系对称易错警示：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数x,y);关于y轴对称，纵坐标不变 横坐标变相反数(-x,y);关于原点对称，横纵坐标均变相反数(-x,-y)。勿混淆对称规律。 即时即练1.点P(-2,3关于x轴的对称点的坐标是 2.若点P1+m,1-n)与点Q(-4,3)关于y轴对称，则m+n的值是一 3.已知：如图，ABC三个点的坐标分别为A(0,-2),B(2,-4),C(4,-1). 2/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6 4 3 2 6-54-3-2-10 (1)画出ABC关于y轴对称的图形△AB,C;写出△A,B,C各顶点坐标； (2)求ABC的面积. (3)在x轴上找一点P,使得它到点A和点C的距离和最小（不要求写作法，保留作图痕迹） 03 题型突破 题型1求点关于x轴的对称点的坐标 【例1】点P(4,-3)关于x轴对称的点P的坐标为 【例2】在平面直角坐标系中，点A26)关于x轴的对称点为A'(x,y),则x+y的值为」 【技巧归纳】 点关于x轴邮对称：横坐标不变，纵坐标变为相反数，即P(a,b)→P"(a,-b)。如(2，-3)关于x轴对称得(2,3)。口诀： 横不变，纵相反。注意原点对称是横纵都变号，不要混淆。应用于图形轴对称问题。 【变式1-1】在平面直角坐标系中，若点A-7,6)与点B(a,b)关于x轴对称，则a+b= 【变式1-2】若点P(2-m,3m+1在y轴上，点Q与点P关于x轴对称，则点Q的坐标是」 题型2求点关于y轴的对称点的坐标 【例3】平面直角坐标系中，与点M2,V3)关于y轴对称的点的坐标为 【例4】点A(x,-5),B(22),若A,B关于x轴对称，则x=」 一’2= ； 若A,B关 于y轴对称，则x=」 y2= 【技巧归纳】 点关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标变为相反数，即P(a,b)一→P"(-a,b)。如(-3,4)关于y轴对称得(3,4)。口诀： 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 纵不变，横相反。关于坐标轴对称仅改变对应的坐标符号，与关于原点对称不同（都变）。 【变式2-1】已知点A(x,3)和B(4,y)关于y轴对称，则x+y225的值为. 【变式2-2】若点P(2m+1,m+3)在x轴上，则点P关于y轴对称的点Q坐标是 题型3求点关于某直线的对称点的坐标 【例5】点P(2,-3)关于直线x=1对称的点的坐标是 【例6】点(3,4)关于直线y=2对称的点的坐标为 【技巧归纳】 关于直线y=x对称：交换横膨纵坐标，即(a,b)一→(b,a)。关于直线y=-x对称：横纵坐标都变相反数并交换，即(a,b) →(b,-)。若直线平行坐标轴，可先平移再对称。注意对物点与已知点中点在该直线上，连线垂直。 【变式3-1】已知点A(-2,3)和点B是坐标平面内的两个点，它们关于直线x=1对称一 【变式3-2】点(1,2)关于第一象限角平分线的对称点的坐标为 题型4利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题 【例7】坐标平面上点A3,2),点B(0,4),点C在x轴上，则AC+BC最小值为 【例8】如图，平面直角坐标系中，A,B,P三点的坐标分别为4,0)，(0,3)，(0，-2)，AB=PB,点M,N 是x轴，线段AB上的动点，则PM+MN的最小值为 【技巧归纳】 将军饮马型：作某点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一点，与对称轴交点即为所求。最小值即为对称后两 点间距离（用勾股计算）。若对称轴为x轴或y轴，直接变符号求对称点。注意区分轴邮对粉与平移。 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，A(3,3),B(1,0),点C是y轴上一点，连接4B,AC,BC,则 ABC周长的最小值为 4/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4(3,3) -1OB(1,0) 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系x0y中，已知A(5,0),B(0,4),过点B作y轴的垂线1，P为直线1上 动点，连接PO,PA,则PO+PA的最小值为 y个 题型5坐标与图形变换-轴对称 【例9】如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标为A(3,4),B(1,2),C(5,1. 5-4-3-2-10 (1)画出ABC关于y轴对称的△ABC,并写出点B的坐标-： (2)求ABC的面积： (3x轴上找一点P,使三角形PBC周长最小，x轴上画出P点位置 【例10】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系x0y,格点（网格 线的交点)A,B,C的坐标分别为(-2,3)，1,3)，(2,0). 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 O (1)画出ABC关于x轴对称的△A,B,C1(点A,B,C的对应点分别为A,B,C,)· (2)连接AB,直接写出△AB,C的面积。 (3)在(1)的条件下，在线段AC上找出点D,使得△AB,D的面积是△AB,C的面积的；. 【技巧归纳】 图形关于x轴、y轴或直线)=±x对称时，找对应点坐标变化规律（横/纵变号或交换）。先求关键点对称坐标， 再连接成图形。注意对称前后图形全等，对应点连线被对称轴垂直平分。坐标系中画图更直观。 【变式5-1】在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，ABC的顶 点在格点上 5 4 3 5-4-3-2-10 2345 2 =4 5 (1)画出ABC关于y轴对称的aA'B'C';并写出A;B;C的坐标. (2)求ABC的面积. (3)在y轴上找出点Q,使△QAC的周长最小. 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，规定在网格内（包括边界）横、纵坐标都是整数的点称为格点， 己知ABC的三个顶点都是格点， 6/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 2 -4-3-2-10 2 (I)ABC的顶点坐标分别是A一，B一，C; (2)ABC与△A'B'C'关于x轴对称，A,B,C的对应点分别是A,B,C,则C: (3)点D是格点，且以点A,B,C,D为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点D坐标为 题型6轴对称的几何变换综合题 【例11】在平面直角坐标系中，点A(a,0),B(0,b,a,b满足a+3+Vb-5=0,点C与点A关于y轴 对称. (I)直接写出B,C两点的坐标： (2)如图，分别以AB,BC为直角边向右侧作等腰RtABAD和等腰Rt△BCE,求出D,E两点的坐标. 【例12】阅读下列一段文字，回答问题 【材料阅读】平面内两点M(x,N(x:y2),则由勾股定理可得，这两点间的距离 MN=Vx-x)'+(y-2)2.例如.如图1，M(3,N1,-2,则Mw=V3-12+1+2=V3 图1 图2 7/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【直接应用】 (1)已知P(2,-3),Q(-1,3),求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点A(-1,-3),B(1,-1,P为x轴上任一点，求PA+PB的最小值： 3)利用上述两点间的距离公式，求代数式Vx2+(y-22+x-3)2+(y-1)2 的最小值是多少？ 【技巧归纳】 综合题结合折叠、旋转、最值等。先确定对称轴，找对应点坐标关系。利用轴对称性质：对应点连线被对称轴垂 直平分，距离相等。设未知点坐标，列方程求解。注意多情况讨论（如对称轴位置不定）。数形结合 【变式6-1】在平面直角坐标系中，已知长方形ACDB,其中点A(2,4),点D(6,-1). 图1 备用图 (1)填空：点B的坐标为 点C的坐标为 ； (2)若点P是y轴上的动点，连接PD ①如图1，当点P在y轴正半轴时，线段PD与线段AC相交于点E,用等式表示三角形PEC的面积与三角形 ECD的面积之间的关系，并说明理由； ②当PD将四边形ACDB分成面积相等的两部分时，求点P的坐标. 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(a,0)、B(b,0)和C(0,3),(a+1)2+b-4=0, 将线段AB平移到CD的位置 B 备用图 (1)求点D的坐标： (2)点P为y轴正半轴上一动点，连接PD,PB· ①当点P在线段OC上时，求证：∠DPB=∠PDC+LPBA: ®当So三Smc时，求点P的坐标，此比时∠DPB、∠PDC和∠PBA有何数量关系？谐直接写出它们鱼 关系，不需证明。 8/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 04 过关检测 一、单选题 1.点A3,2)关于y轴对称的点4的坐标是() A.(3,2) B.-3,2 C.(3,-2 D.-3,-2 2.在平面直角坐标系中，点A3,2)与点B(m,-2)关于x轴对称，则m的值为() A.-2 B.-3 C.2 D.3 3.己知平面内不同的两点，点A(a,b),点B(a,-b),关于直线AB叙述一定正确的是(） A.直线AB‖x轴 B.直线AB⊥x轴 C.直线AB∥y轴 D.直线AB⊥y轴 4.如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图，蝴蝶剪纸是一幅轴 对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若图中点F的坐标为，2)，其关于y轴的对称点E坐标为 (n-4,2),则1-n值为() A.-1 B.2 C.3 D.1 5.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是(m,n),经过 2025次变换后所得的点A的坐标是() VA 第1次 第2次 第3次 第4次 衣关于y 关于x 关于y 关于x 轴对称 轴对称 轴对称 轴对称 A.(-m,n B.(-m,-n) C.(m,-n) D.m.n 二、填空题 6.在平面直角坐标系x0y中，点P(3,-5)关于y轴对称的点的坐标为. 7.点A(m,2)与点B(3,n)关于y轴对称，则(m+n)226= 8,如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ABC关于x轴对称，其中点A,B,C的对应点分别为点A 9/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ，B,C,若点P3,2)在△ABC的边上，则点P在△ABC上的对应点p的坐标是 9.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的直角边OA,OB分别在x轴和y轴上，其中 A12,0),B(0,5列，0(0,0，E是0A上一点，将△ABE以BE为轴翻折，点A刚好落在y轴的点D处，则点 E的坐标是 D 10.如图，在平面直角坐标系x0y中，四边形0ABC关于x轴对称，LA0C=60°，∠ABC=90°，0A=2, 将四边形OABC沿直线y=x翻折后得到四边形OA,B,C1,接着将四边形OA,B,C,沿直线y=-x翻折后得到四 边形OA,BC2,第三次将四边形OA,B,C2沿直线y=X翻折后得到四边形OA,B,C,第四次将四边形OA,B,C3 沿直线y=-x翻折后得到四边形OA,B,C4… B B 依此方式 (1)点B,的坐标是 (2)翻折2026次得到四边形0A2026B2026C2026,则点A026的坐标是 三、解答题 11.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A0,5)、B(-3,2)、C(-1,). 10/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 YA B (I)画出△ABC关于y轴对称的△AB:C1,并写出B1的坐标： (2)求△ABC的面积， 12.如图，在平面直角坐标系中，已知A(-1,4),B(-4,2),C(-2,1. A C 0 (1)请画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1:并写出B1的坐标. (2)若点P为x轴上一点，连接BP,CP,当BP+CP最小时，请在图中画出点P的位置 13.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别为A(1,-,B(4,),C(2,2,CD为AB边 上的高. B (1)请画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1: (2)请填出下列线段的长度： AB=_,BC=_,AC=_,CD=_. 14.如图，在长方形0ABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(a,0),点C的坐标为(0，b), 11/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 且a,b满足√@-4+b-6=0,点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 0-C-B-A-0的线路移动， 备用图 (1)a= 点B的坐标为 (2)当点P移动4s时，点P的坐标为 (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，点P移动的时间为 (4)在移动过程中，当三角形PAB的面积等于6时，求点P的坐标 15.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(6,0)，点B是第一象限的点，且BA1x轴，点B 到x轴的距离是4，过点B作x轴的平行线a,与y轴交于点C.动点P从点B出发，以2个单位长度s的 速度沿直线α向左移动，动点Q从原点O同时出发，以1个单位长度s的速度沿x轴向右移动. P←B B 0>Q A (各用图) (1)点B的坐标为 (2)当1=3时，点P的坐标为 ,点Q的坐标为 (3)当点P,Q满足PQ∥y轴时，求t的值. (4)当点P移动到y轴左侧，且四边形POQC的面积为10时，求点P的坐标. 12/12