第07讲 有理数的混合运算（讲义，苏科版江苏专用）数学小升初衔接

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第07讲有理数的混合运算 启新温故 预习目标 知识回顾 1.明确有理数混合运算的运算顺序，分清运算级别。1，熟记有理数加、减、乘、除的运算法则与符号 2.能结合乘方、乘除、加减，尝试完成简单混合运规则。 算。 2.掌握有理数乘方的定义、读法及基础计算方法。 3.回顾小学四则混合运算顺序，做好知识衔接。 3.学会规范书写解题步骤，梳理预习中遇到的疑问。 新课一点通 新知导图 题型04有理数的混合运算-程序框图 题型01加减乘除混合运算 题型05有理数的混合运算-24点游戏 题型02含乘方的有理数的混合运算 有理数的混合运算 题型06有理数的混合运算-新定义 题型03有理数的混合运算与运算技巧 题型07有理数的混合运算的实际应用 预习精讲 ②想想 【思考1】在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”。 对于下面的计算： 运算顺序有是怎样的呢？ 【24点游戏】24点游戏的起源可以追溯到20世纪60年代的中国或美国，具体起源尚有争议。一种说 法是24点游戏由美籍华人孙士杰在20世纪60年代发明，旨在帮助孩子提升心算能力。另一种观点认为， 1/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 24点游戏是西方数学教育中“算术组合游戏”的变体，类似玩法在西方早已存在，并在20世纪80年代由 美国出版商商业化推广至全球。 游戏规则：24点游戏的规则非常简单：使用一副扑克牌（去掉两个王），随机取四张牌，牌上的数字通过 加、减、乘、除四则运算组合成24。玩家需要在规定时间内找出所有可能的运算组合，使得结果等于24。 24点游戏的历史影响：24点游戏因其教育意义和智力挑战性，逐渐风靡全球，并进入了中小学数学课本。 它不仅锻炼了玩家的数学运算能力，还促进了大脑的灵活性和逻辑思维能力。 【思考2】游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数 字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色（方块、红桃）扑克 牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数.请用如图抽取出的4张牌，写出符合规则的算式。 3 知识点01有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序：()先乘方，再乘除，最后加减；（②）同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 即学即练 1. (2026黑龙江绥化三模)计第：-m-05+[1+-2] 2. (25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中)计算题： ④24任： 居品训 (25-26七年级下·海南海口·阶段检测)有理数计算： 020x个(0号月 ②外2+-3×号+4-4. 2/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题珰速练 题型01加减速除混合运算 例1.(24-25七年级上江苏扬州阶段练习)计算： 0-59-(46+-34-十7：a}68-8-9列x×:④ 变式1.(24-25七年级上·江苏徐州阶段练习)下列运算正确的是() =-1B.-7-2x5=-9x5=-45C.3tx4=31=3D.1-13+1713)=-1 45 变式2.(24-25七年级上·江苏泰州阶段练习)计算： 54-(引-14+5-号@4兮r-2列：4-+12-17：080**号(10 变式3. (2025七年级上江苏·专题练习)计算： 2-12(-4到x； o}引2》-12×到 题型2、含乘方的有理数混合运算 例1.(2425七年级上四川绵阳期中)计算： 0-1-u2-o(+o8-(引 变式1.2425七年缓上山东福博期中)计第：0(3驴-（月号-6Q☒-r居2-(3别 变式2.(24-25七年级上湖南永州期中)计算. 0(-2x-3（48÷(-2；②-m-0-05列×[2-(3r]: 8)-+（+6-15*1-51 ④-2-2+2 变式3.（2425七年级上·江苏期中)计算： 00-+（+22（-（8)@-2-*5x1-(4州 3/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 e八-r-号 ④2号 题型3、有理数混合运算与运算技巧 例1.（24-25七年级上江苏常州阶段练习)计算题： (0(+36)-(-14)+(-16)； -3: (3)-11)-7+(-8)-(-6); (423-17-（-7)+-16)； ⑤-8x9x-125×: o(-48+子*-12×居 变式1.(24-25七年级上·江苏淮安阶段练习)简便计算： @3+号-12，--9-19--1 (3)9x(-991 8J 变式2.(24-25七年级上江苏无锡阶段练习)计算： (1)-9+12-3+8 2047-48-(-1.58到-1片 2 @2-列+2}98 变式3.(24-25七年级上江苏南通阶段练习)计算： -8+1-u6+2:aj:sg}0 ④25×+-3列×8x- 题型4有理数混合运算-程序掴图 例1.（24-25七年级上·江苏苏州期末)按如图所示的程序计算，当输入有理数m,n,满足 m-2|+n+1=0时，y的值为 y=m+mn 是 输入m,n m+n<0 输出y y=-m+mn 变式1，(24-25七年级上·江苏苏州期末)如图，是一个运算程序的示意图，若输入的x值为正整数，输 出的结果为556，则输入的x值是一 4/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 是 输入x 计算5x+1的值 >500 →喻出结果 否 变式2.(24-25七年级上江苏扬州期末)王军同学在自学了电脑编程后，设计了如图所示的程序，若他 输入的数是3，则输出的数为 绝对值 输入 -5 ×8 是 大于150 输出 ⑧】 变式3.(25-26七年级上河北石家庄阶段检测)如图为一个“鱼形”计算程序.输入x的值，由上面的一条 运算路线从左至右逐步进行运算得到m,由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n. 例：若输入x=2,则m=2×(-3)+(-2)=-8,n=(2-4)÷(-2)=1. (1)若得到m=10,求输入的x值及相应的值； (2)若输入x值后得到的m等于时，求x的值. 题型5、有理数混合运算-24点游戏 例1.(24-25七年级上·广东深圳期中)从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的 数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使 得运算结果为24或-24，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、 方块为红色)，A,J,Q,K分别代表1,11,12,13.比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7， 他运用下面的方法凑成了：7×3-(-3)÷7=24.如果抽到的是黑桃A,红桃2，黑桃2，梅花3，则列出 算式为 变式1.(24-25七年级上·四川成都期中)“24点”游戏规则：从一副扑克牌抽去大小王剩下1~13这52张 牌(A代表1)，J、Q、K分别代表11、12、13，任意抽取4张牌称为牌组，黑色代表正数，红色代表负数， 用加、减、乘、除、乘方把牌面上的数算成24，每张牌必须且只能用一次.如果抽到黑桃Q、红桃Q、梅 花3、方块A,请列出一个含有乘方运算的算式，将该牌面上的数字凑成24： 变式2.(24-25七年级上·广东佛山期中)24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是： 5/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算 结果为24.每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，其中”，◆表示正，，◆表示负，A,J,Q,K分 别代表1,11,12,13. 4 4 9 ◆ 中 中药 图1 图2 (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式： (2)在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式： 变式3.(25-26七年级上·浙江绍兴期末)学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和 兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法.两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是6，只要其余三个数能算出是4或144,18,30，-18，都可算出24， 如：6,7,8,9，可以列出8÷9-7)×6=24. 兴兴：有时滋到6不能用你的方法算出，可以尝试用6除以分也能得到24咳：如：1,3,4.6，可以 列出6÷(1-3÷4)=24. 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数2,3,5，请从1到10这些自然数中选一个，使四个数能算出24，要求列出算式，并简单 说一下你的思考过程。 (2)想一想，数字-1,4,5,6这四个数可以算出24吗？如果可以，请列出算式. 题型6有理数混合运算-新定义 例1.(24-25七年级上·江苏连云港·期末)定义一种对正整数的“F运算：①当n为奇数时， 6/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 下(m=3n+1:②当为偶数时，F(m=2 11 (其中k是使F(n)为奇数的正整数)，两种运算交替重复进行. 例如，取n=24,则： 24F@3F@ 10@ 5F 16@ FO F① 1 4- →1… 第1次 第2次第3次第4次 第5次 第6次 第7次 若n=13,则第2024次“F”运算的结果是 变式1.(24-25七年级上·江苏泰州阶段练习)通过多次举例验证，发现取一个自然数，若它是奇数，则 乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1.例如：取自然数5.经 过下面5步运算可得1，即：531→162→82→42→22→1.如果自然数m恰好经过7步运算 可得到1，则所有符合条件的m的值有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 变式2.(24-25七年级上江苏南通·阶段练习)设[x]表示不超过x的最大整数如[1.9]=1，计算下列各式的 值：[2.7]+-4.5)=一； 变式3.(24-25七年级上·江苏淮安期末)定义：对于“☆”运算，若a☆b=(-b☆-a,则称“☆”运算满足“反 换律”.例如：a×b=(-b)×-a,故乘法运算满足“反换律”. (1)下列运算满足“反换律”的是· (填序号)①加法，②减法，③除法. (2)规定“⊕”运算：a⊕b=a2+b2-3ab.①若a=1,b=-2,则a0b=; ②请你判断“⊕”运算是否满足“反换律”，并说明理由 题型乙、有理数混合运算的实际应用 例1.(24-25七年级上江苏南通期中)在电子工程中，数字电路使用的是二进制系统，而采用八进制编 码的数字也经常用于显示屏控制、芯片编程和未处理器设备中，现用二进制计数法表示正整数，例如： 3=2+1=1×2+1×2°.记作3=(112,12=8+4=1×23+1×22+0×2+0×2°，记作12=1100，八进制计 数法表示正整数，例如：83=64+16+3=1×82+2×8+3×8°，记作83=(123)。·则1011101)2等于八进制中 的数为() A.35 B.82 C.83 D.135 例3.(24-25七年级上·江苏淮安期末)阅读材料，解决问题： 7/16 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 参考数据 谷物、牛奶、牛肉、鸡蛋的蛋白质含量 材料1 食品种类 谷物 牛奶 牛肉 鸡蛋 每100g所含蛋白质(g 10 3 20 15 材料2 有研究认为，14~17周岁男性每天约需要摄入75g蛋白质， 问题解决 若一份早餐包含一个60g的鸡蛋、200g牛奶和100g谷物食品，则该份早餐中蛋白质总含量为g 问题1 某天中学生小强刚好通过谷物和牛肉共550g实现了75g蛋白质的摄入量，这天他摄入谷物和牛肉 问题2 各多少克？ 变式1.(24-25七年级上·浙江宁波期中)2024年欧洲杯在德国举行.某工厂设计了某款足球纪念品并进 行生产，原计划每天生产10000个该款足球纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有 出入，下表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个）： 星期 二 三 四 六 与计划量的差值 +43 -35 -50 +142 -82 +21 -29 ()根据记录的数据可知，本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少个？ (2)本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由 (3)若该款足球纪念品每个生成成本25元，并按每个30元出售，则该工厂本周的生产总利润是多少元？ 变式2.(24-25七年级上江苏徐州期中)【材料阅读】西汉前期民间流传着一则故事.大禹治水时，洛 阳西南洛宁县的洛河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，人称“洛书”.如图1，洛书上有三行 三列的纵横图，用实心点或空心点的个数表示数字，分别对应着1~9这9个数字，每行、列及两条对角线 上的三个数相加的结果相同.“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）又名九宫格， 是一种将9个数字（数字不重复使用)安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之 和都相等， 8/16 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【问题解决】(1)根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整；(2)如图3，是一个新的三 阶幻方，请根据图中给出的数据，将1,2,3,4,5这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方： 【拓展思考】(3)有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“O”.如图4，将 -12,-10,-8,-6,-4,-2,1,3,5,7,9,11这12个数字填入恰当的位置后（数字不重复使用），每个正方形4个顶 点“O”中的数的和都相等，求ax+by的值. b Y000000000 0 7 6 -8 6 8 -6 图1 图2 图3 图4 变式3. (24-25七年级上江苏盐城期末)根据以下素材，解决税收中的数学问题， 我国新的个人所得税“起征点” 个人所得税税率表（工资薪金所得适用） 是5000元，即月工资扣除各 级数 应纳税所得额 税率 项费用后超过5000元的部分( 0至3000元的部分 3% 这部分称为“应纳税所得额”) 素材1 需要缴纳税收， 2 超过3000元至12000元的部分 10% 应纳税所得额=月工资-专项 3 超过12000元至25000元的部分 20% 项目金额-5000 个人所得税税率表参考右 超过25000元至35000元的部分 25% 表 5 超过35000元至55000元的部分 30% 我国专项项目金额常见的由以下几个部分： 素材2 ①每个子女教育金额2000元；②一套住房贷款金额2000元； ③赡养每位老人金额2000元；④其它规定项目（各类保险、公益捐赠等） 某企业一技术专家的月工资是45000元，他有1个读初中的儿子、1个读小学的女儿、1套 素材3 住房的贷款和赡养2位老人，其它规定项目中各类保险3000元. 某员工扣除各项费用后的应纳税所得额为2400元，则该员 任务1 简单计算税额 工缴纳的税额为元. 9/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 任务2 计算个人税额 求该企业技术专家月缴纳的税额， 该技术专家在某月份参加公益捐赠活动后，实际收入40100 任务3 确定捐款金额 元，求该技术专家在该月份捐款的金额（不超过2000元） 基础固本提升 基础过关 一、单选题 1.(25-26七年级上浙江台州期末)下列计算正确的是（) A.（-2)°=6 B.3=0 D.-32-(-23=1 2.(25-26七年级上·河南周口·期末)定义新运算：a⊕b=a2-2b,则（-3)⊕4的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 (25-26七年级上·宁夏中卫期中)根据如图所示的程序，当输入x的值为1时，输出的y值为() 否 输入x 平方乘2减去4→结果大于0 是 输出y A.-2 B.3 C.4 D.8 4.(25-26六年级下·全国·课后作业)如图所示，把一块长方体钢坯熔铸成一个底面直径为12dm的圆锥形 钢件，这个钢件的高是()dm. (假锥的体积为r-专h,n双314) 4dm 3 dm 18.84dm 10/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.6 C.1.5 D.3 二、填空题 5.2526七年级上湖南衡用期中)计算-+(-3×(》 6.(25-26七年级上·湖南岳阳·期末)“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张， 根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次)，使得运算结果是24或-24.其中红色 代表负数，黑色代表正数.现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好 凑成24的算式： 7.(25-26六年级下，四川成都期中)在如图的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出 的结果为24，第二次输出的结果为12，，则第4次输出的结果为 x为偶数 输入x 输出 x为奇数 x+3 三、解答题 8.(25-26七年级上·重庆江北期末)计算： (0)-23÷8-14×(-22 (2)-112-116+34-16)×-48 9.(25-26七年级上·重庆期中)计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤。 0[-2-2列 ②-+12×3--184-12 10.(2026河北石家庄·模拟预测)图是一个计算程序. 11/16 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 32 4 6 (①)按照顺序计算并填写其中的“”，并在下面横线上列出综合算式： 综合算式： (仅列算式无需计算)： 1 (2)计算：-52-8÷×2. 4 能力提升 一、单选题 1.(25-26七年级上河北唐山期末)计算：（-1)4+(-2)°+(-3)2+(-4)=() A.-2 B.0 C.-20 D.-22 2.(25-26七年级上浙江嘉兴期末)下列4个式子中，计算结果最大的是() A.-4+8 B.(-2)×(-3)2 C.-42÷-2 D.-(2-42 3.(25-26七年级上湖北咸宁期末)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示 的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5.这 样下去第2026次输出的结果为() x为偶数 输入x 输出 x为奇数 x-3 A.-2 B.-1 C.-8 D.-4 二、填空题 42026眼龙江袋化二)计第：-+-2 5.（24-25七年级上·湖南期中)按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为 12/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 输入40 1002 是，输出 (2026陕西西安·二模)国际数学教育大会是全球数学教育水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一 届，1CME-14于2021年在中国上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办.大会标识中蕴含着 很多数学文化元素，以中国传统文化中《洛书》与《河图》为原本，并将其与体现我国早期哲学思想的八 卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深，大会标识右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八 进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0-7共8个基本数字.八进制数(3745)，换算成十 进制数是3×8+7×82+4×8+5×8°=2021表示ICME-14的举办年份.八进制数(202)，换算成十进制数是 ICmE-14 三、解答题 7.(25-26七年级下黑龙江大庆期中)计算： (( (2(-10)3+-4)2-(1-32）×2 8. (2026河北三模)老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一 人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： -2025-6+3÷3-3÷ 4 2 老师 佳佳 -2035 -2025-3x4 3×2 3 音音 吴吴 (1)接力中，计算错误的学生有 (2)请给出正确的计算过程. 13/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9.(22-23七年级下·河南焦作期中)为了求1+2+22+23+…+20的值， 令S=1+2+22+23+…+210.① 则2S=2+22+23+24+…+201.② ②-①，得S=2101-1,即1+2+22+23+…+2100=2101-1. 仿照以上解题过程，计算：1+3+32+33+34+3+…+32021. 10.(25-26七年级上·广东梅州期中)阅读材料，根据材料回答： 例1：（-2)×33=（-2)×(-2)×-2)×3×3×3 =[-2)×3]×[(-2)×3]x[(-2)×3] =[(-2)×3]=(-6)°=-216. 例2：86×0.1256=8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125 =(8×0.125)×8×0.125)×8×0.125)×(8×0.125)×8×0.125)×8×0.125) =(8×0.125)‘=1 (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）a”,b”=: (2)仿照上面材料或规律计算： : (3)根据(1) 的规律计第：04m(引得)。 挑战一刻 一、单选题 1.(25-26七年级上·重庆期中)下列各组数中，其值相等的是() A.42和24 B.-24和(-2)4 C.-23和(-3)2 D.(-3×22和-3×2 2.(25-26八年级下·四川自贡阶段检测)计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0,1，将一个十进 制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个2”数的和，依次写出1或0即可.如 19ao=16+2+1=1×24+0×2+0×22+1×2+1=100112为二进制下的5位数，则十进制数2004是二进制下 的() 14/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.10位数 B.11位数 C.12位数 D.13位数 3.(24-25七年级上四川达州阶段检测)如图是一个计算程序，若输入α的值为-1，则输出的结果b应 为() 输出b A.7 B.-5 C.1 D.5 4. (2026河北石家庄·二模)有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图)，打结处用去的彩带长15厘 米.做这样一个礼品盒至少要硬纸()cm 40厘米 10厘米 A.450π B.425π C.400π D.375π 二、填空题 5.(2026安徽淮北二模)计算：（-2)3÷8+(-1)= 6.(2026河南平顶山一模)统计数据显示，截至2026年4月20日，电影《飞驰人生3》的票房总收入约 为44亿元，如果该电影的平均票价是每张50元，那么售出的电影票大约张.（用科学记数法表示） 7.(2026河南周口一模)定义新运算：m☆n=m2-2mm,例如：2☆3=2-2×2×3=-8，则(-1刂☆4= 8.(25-26七年级上浙江丽水期末)有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的 数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24” 者获胜.现己抽出如图所示的四张牌(A表示1)，则可算“24”点的算式是 （写出一个即可) 15/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 9.(24-25七年级上·云南昆明阶段检测)计算： (1)-16+23+(-17)-（-7: ②-1+-182引+24-2。 10.(25-26九年级下，河北邯郸期中)如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进 行卡片上的运算，如按“4→A→B”进行运算，则所列算式为“(4-3)×(-4)”. A B C D -3 ×(-4) 平方 23 ()若按- →B→A→C”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； 6 ②若琪琪同学按}→D→C→8→A进行计算，请列出算式并写出运第过程和结果， 16/16 第07讲 有理数的混合运算 预习目标 知识回顾 1. 明确有理数混合运算的运算顺序，分清运算级别。 2. 能结合乘方、乘除、加减，尝试完成简单混合运算。 3. 学会规范书写解题步骤，梳理预习中遇到的疑问。 1. 熟记有理数加、减、乘、除的运算法则与符号规则。 2. 掌握有理数乘方的定义、读法及基础计算方法。 3. 回顾小学四则混合运算顺序，做好知识衔接。 新知导图 预习精讲 想一想 【思考1】在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”。 对于下面的计算：，运算顺序有是怎样的呢？ 【24点游戏】‌ 24点游戏 的起源可以追溯到20世纪60年代的 中国 或 美国 ，具体起源尚有争议‌。一种说法是24点游戏由美籍华人孙士杰 在20世纪60年代发明，旨在帮助孩子提升心算能力‌。另一种观点认为，24点游戏是西方数学教育中“算术组合游戏 ”的变体，类似玩法在西方早已存在，并在20世纪80年代由美国出版商 商业化推广至全球‌。 游戏规则：24点游戏的规则非常简单：使用一副扑克牌（去掉两个王），随机取四张牌，牌上的数字通过加、减、乘、除四则运算组合成24。玩家需要在规定时间内找出所有可能的运算组合，使得结果等于24。 24点游戏的历史影响：24点游戏因其教育意义和智力挑战性，逐渐风靡全球，并进入了中小学数学课本。它不仅锻炼了玩家的数学运算能力，还促进了大脑的灵活性和逻辑思维能力。‌ 【思考2】游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式。 知识点01 有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 1．（2026·黑龙江绥化·三模）计算：_______． 【答案】 【详解】解： ． 2．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解： ， ， ， ， ． 3．（25-26七年级下·海南海口·阶段检测）有理数计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）利用乘法分配律可简便计算得到结果； （2）按照先算绝对值和乘方，再算乘除，最后算加减的运算顺序计算即可， 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型速练 题型01 加减乘除混合运算 例1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)；(3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ； （4）解： ． 变式1．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意；C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意；故选：D． 变式2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： (1)；(2)；(3)；(4) 【答案】(1)9(2)0(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ； （4）解： ． 变式3．（2025七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)． (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型2、含乘方的有理数混合运算 例1．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）计算： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1．（24-25七年级上·山东淄博·期中）计算：(1)(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式2．（24-25七年级上·湖南永州·期中）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4)15 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ； （3）解： ． （4）解：原式 ． 变式3．（24-25七年级上·江苏·期中）计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ； （4）解：原式 ． 题型3、有理数混合运算与运算技巧 例1．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 变式1．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）简便计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 变式2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)8(2)(3)(4)(5)26(6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 变式3．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1)；(2)；(3)； (4)． (5)； 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．(5) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． （5）解：原式 ； 题型4、有理数混合运算--程序框图 例1．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）按如图所示的程序计算，当输入有理数m，n，满足时，y的值为 ． 【答案】 【详解】解：，，，解得：，， ，，故答案为：． 变式1．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，是一个运算程序的示意图，若输入的x值为正整数，输出的结果为556，则输入的x值是 ． 【答案】22或111/111或22 【详解】解：若一次输出结果为556，则，解得：，是正整数； 若第二次输出结果为556，则，解得，是正整数； 第三次输出结果为556，则，解得：，不是正整数； 综上所述，开始输入的x值是22或111故答案为：22或111． 变式2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）王军同学在自学了电脑编程后，设计了如图所示的程序，若他输入的数是3，则输出的数为 ． 【答案】 【详解】解：输入的数是3，，绝对值小于 输入，，绝对值大于则输出 故答案为：． 变式3．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）如图为一个“鱼形”计算程序．输入的值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到． 例：若输入，则． (1)若得到，求输入的值及相应的值； (2)若输入值后得到的等于时，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了列代数式与解一元一次方程的知识点，解题的关键点是根据计算程序的运算路线，正确列出和关于的代数式； （1）根据运算路线，列方程求出时，再求n的值即可； （2）根据运算路线，得到相应的一元一次方程，再计算即可； 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴当时，则，解得； （2）解：由题意，得，且． ，解得． 题型5、有理数混合运算--24点游戏 例1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ． 【答案】(答案不唯一) 【详解】解：由题意得：或或． 故答案为：或或． 变式1．（24-25七年级上·四川成都·期中）“24点”游戏规则：从一副扑克牌抽去大小王剩下1~13这52张牌（A代表1），J、Q、K分别代表11、12、13，任意抽取4张牌称为牌组，黑色代表正数，红色代表负数，用加、减、乘、除、乘方把牌面上的数算成24，每张牌必须且只能用一次．如果抽到黑桃Q、红桃Q、梅花3、方块A，请列出一个含有乘方运算的算式，将该牌面上的数字凑成24： ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意知，抽到的四张牌所代表的数分别为：12，，3，， 可得，故答案为：． 变式2．（24-25七年级上·广东佛山·期中）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【答案】（1），（答案不唯一）（2）（答案不唯一） 【详解】解：（1）由题意得：图1中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：，， 故答案为：，（答案不唯一）． （2）由题意得：图2中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：，故答案为：（答案不唯一）． 变式3．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【答案】(1) 所选数字为，算式： (2) 可以， 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，在理解有关规则的基础上灵活应用有理数的混合运算法则求解是解题关键； （1）根据运算结果为和已知给定的三个数，筛选出合适的数字； （2）根据已给数字有，按照题干所给方法进行判断即可． 【详解】（1）解：当选时， ∵， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 任选其一即可； （2）答：可以，． 题型6、有理数混合运算--新定义 例1．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行．例如，取，则： 若，则第次“”运算的结果是 ． 【答案】 【详解】解：当，则第1次“”运算的结果是：， 第2次“”运算的结果是：，第3次“”运算的结果是：， 第4次“”运算的结果是：，第5次“”运算的结果是：， 第6次“”运算的结果是：，第7次“”运算的结果是：， 第8次“”运算的结果是：，… 观察以上结果，从第4次开始，结果就只有两个数循环出现， 且当次数为奇数时，结果是4，次数为偶数时，结果是1， ∵而第次是偶数，∴最后结果是1．故答案为：1． 变式1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）通过多次举例验证，发现取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解： 逆运算 第步后的数为 ；第步后的数： ；第步后的数： ； 第步后的数： ；第步后的数： ；第步后的数： 或 ； 第步后的数： （舍去）或 或 （舍去） 或 ； 则原数为 或 或 或 ； 综上：所有符合条件的的值有4个．故选：B． 变式2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）设表示不超过x的最大整数如，计算下列各式的值： ； ． 【答案】 【详解】解：，则， 由题意得，，则，． 故答案为；． 变式3．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）定义：对于“☆”运算，若，则称“☆”运算满足“反换律”．例如：，故乘法运算满足“反换律”． (1)下列运算满足“反换律”的是______．（填序号） ①加法，②减法，③除法． (2)规定“”运算：．①若，，则______； ②请你判断“”运算是否满足“反换律”，并说明理由． 【答案】(1)②(2)①11；②满足，理由见解析 【详解】（1）解：与不一定相等，故①不满足“反换律”； ，故②满足“反换律”； 与不一定相等，故③不满足“反换律”； 满足“反换律”的是②．故答案为：②． （2）解：①当，时，；故答案为：11． ②满足，理由如下：，， ，“”运算满足“反换律”． 题型7、有理数混合运算的实际应用 例1．（24-25七年级上·江苏南通·期中）在电子工程中，数字电路使用的是二进制系统，而采用八进制编码的数字也经常用于显示屏控制、芯片编程和未处理器设备中．现用二进制计数法表示正整数，例如：．记作，，记作，八进制计数法表示正整数，例如：，记作．则等于八进制中的数为（  ） A．35 B．82 C．83 D．135 【答案】D 【详解】解：化为， 则，那么等于八进制中的数为135，故选：D． 例3．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）阅读材料，解决问题： 参考数据 材料1 谷物、牛奶、牛肉、鸡蛋的蛋白质含量 食品种类 谷物 牛奶 牛肉 鸡蛋 每所含蛋白质 10 3 20 15 材料2 有研究认为，周岁男性每天约需要摄入蛋白质． 问题解决 问题1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，则该份早餐中蛋白质总含量为__． 问题2 某天中学生小强刚好通过谷物和牛肉共实现了蛋白质的摄入量，这天他摄入谷物和牛肉各多少克？ 【答案】问题1：25；问题2：他摄入谷物，牛肉． 【详解】问题1：∴该份早餐中蛋白质总含量为； 问题2：设摄入谷物，则牛肉 由题意得，解得， 所以， 答：他摄入谷物，牛肉． 变式1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）2024年欧洲杯在德国举行．某工厂设计了某款足球纪念品并进行生产，原计划每天生产10000个该款足球纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入，下表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知，本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少个？ (2)本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由． (3)若该款足球纪念品每个生成成本25元，并按每个30元出售，则该工厂本周的生产总利润是多少元？ 【答案】(1)本周生产量最多的一天比最少的一天多生产224个 (2)是达到了计划数量，理由见解析 (3)该工厂本周的生产总利润是350050元 【详解】（1）解：（个） 答：本周生产量最多的一天比最少的一天多生产224个． （2）解：是达到了计划数量，理由： 因为所以达到了． （3）解：（元） 答：该工厂本周的生产总利润是350050元． 变式2．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】西汉前期民间流传着一则故事．大禹治水时，洛阳西南洛宁县的洛河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，人称“洛书”．如图1，洛书上有三行三列的纵横图，用实心点或空心点的个数表示数字，分别对应着这9个数字，每行、列及两条对角线上的三个数相加的结果相同．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． 【问题解决】（1）根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整；（2）如图3，是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将1，2，3，4，5这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方； 【拓展思考】（3）有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．如图4，将这12个数字填入恰当的位置后（数字不重复使用），每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都相等，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或111 【详解】解：（1）根据题意可知，每行、列和对角线上的数字之和都相等， ∴对角线上的数字之和为：，第一行第三列的数为：， 第一行第二列的数为：，第三行第一列的数为：， 第三行第二列数为：，第二行第一列数字为：，所以三阶幻方补充如图2； （2）根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：， 第一行第一列的数为：，第三行第一列的数为：， 第二行第二列的数为：，第二行第三列的数为：， 第三行第三列的数为：；补全的三阶幻方如图3所示； （3）根据题意，每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都为：， ∴，解得， 又∵，且数字不重复，∴或， 当时，∴； 当时，∴；综上，的值为或111． 变式3．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）根据以下素材，解决税收中的数学问题． 素材1 我国新的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资扣除各项费用后超过5000元的部分这部分称为“应纳税所得额”需要缴纳税收． 应纳税所得额=月工资专项项目金额 个人所得税税率表参考右表． 个人所得税税率表工资薪金所得适用 级数 应纳税所得额 税率 1 0至3000元的部分      2 超过3000元至12000元的部分      3 超过12000元至25000元的部分      4 超过25000元至35000元的部分     5 超过35000元至55000元的部分      素材2 我国专项项目金额常见的由以下几个部分： ①每个子女教育金额2000元；②一套住房贷款金额2000元； ③赡养每位老人金额2000元；④其它规定项目各类保险、公益捐赠等 素材3 某企业一技术专家的月工资是45000元，他有1个读初中的儿子、1个读小学的女儿、1套住房的贷款和赡养2位老人，其它规定项目中各类保险3000元． 任务1 简单计算税额 某员工扣除各项费用后的应纳税所得额为2400元，则该员工缴纳的税额为______元． 任务2 计算个人税额 求该企业技术专家月缴纳的税额． 任务3 确定捐款金额 该技术专家在某月份参加公益捐赠活动后，实际收入40100元，求该技术专家在该月份捐款的金额不超过2000元 【答案】任务1：72；任务2：该企业技术专家月缴纳的税额为4090元；任务3：该技术专家在该月份捐款的金额为1080元 【详解】解：（任务1）， 该员工缴纳的税额为元 故答案为：72； （任务2）∵该企业技术专家应纳税所得额为元， 该企业技术专家月缴纳的税额为 元 答：该企业技术专家月缴纳的税额为4090元； （任务3）设该技术专家在该月份捐款的金额为x元，根据题意得： ， 解得： 答：该技术专家在该月份捐款的金额为1080元． 基础过关 一、单选题 1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方运算及四则混合运算，需按照先乘方、再乘除、后加减的运算顺序逐一计算各选项，判断结果是否正确． 【详解】解：∵，∴A选项错误． ∵，∴B选项错误． ∵，∴C选项正确． ∵，∴D选项错误． 故选：C． 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）定义新运算：则 的值为 （      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，只需将对应数值代入给定的新运算公式进行计算即可． 【详解】解：∵定义新运算 ∴将，代入公式得 故选：A． 3．（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）根据如图所示的程序，当输入的值为1时，输出的值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先输入1，得到结果，再输入，得到结果，即可． 【详解】解：输入1，， 输入，， 所以输出的值为4． 4．（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，把一块长方体钢坯熔铸成一个底面直径为的圆锥形钢件，这个钢件的高是（   ）．（圆锥的体积为，取） A．2 B．6 C．1.5 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆锥的体积计算，有理数混合运算的应用，熟知圆锥的体积计算公式是解题的关键．根据长方体的体积与圆锥的体积相同进行求解即可 【详解】解：， 即这个钢件的高是． 故选：B． 二、填空题 5．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算_________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，按照先算乘方，再算乘法，最后算加法的顺序计算即可． 【详解】 ． 6．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握点游戏的规则是解题的关键． 根据点游戏的规则，利用给定的数字进行组合得到即可． 【详解】解：根据题意，可知四个数分别为， 通过观察可知， ． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（25-26六年级下·四川成都·期中）在如图的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为，，则第4次输出的结果为__________． 【答案】3 【分析】根据程序流程图计算即可得出结果． 【详解】解：若开始输入的值为48， 我们发现第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为． 三、解答题 8．（25-26七年级上·重庆江北·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数混合运算法则进行计算，先乘方，再乘除，最后加减； （2）根据有理数混合运算法则进行计算，有括号先算括号里面． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．（25-26七年级上·重庆·期中）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可； （2）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（2026·河北石家庄·模拟预测）图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算减法． 【详解】（1）解：；；综合算式： （2）解： ． 能力提升 一、单选题 1．（25-26七年级上·河北唐山·期末）计算：（     ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，先计算乘方，再计算加减即可． 【详解】解： ． 故选：A． 2．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）下列4个式子中，计算结果最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．计算每个选项的值并比较大小，即可作出判断． 【详解】解：A．， B．， C．， D．， ∵． ∴计算结果最大的是． 故选：C． 3．（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据程序框图计算出前个数，从而得出这列数除前个数外，每个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：当时，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为，…… 由上可知，从第五次开始，输出结果三次一循环，分别为：， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：D． 二、填空题 4．（2026·黑龙江绥化·二模）计算：________． 【答案】 【分析】根据有理数乘方法则、绝对值的性质、有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 5．（24-25七年级上·湖南·期中）按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 【答案】160 【分析】按照框图的计算顺序进行计算即可． 【详解】解：把40输入得： ， 把80输入得： ， ∴输出结果为：160． 6．（2026·陕西西安·二模）国际数学教育大会是全球数学教育水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，-14于2021年在中国上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中《洛书》与《河图》为原本，并将其与体现我国早期哲学思想的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深，大会标识右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数换算成十进制数是表示-14的举办年份．八进制数换算成十进制数是_________． 【答案】130 【详解】解：． 三、解答题 7．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算，再把除法转化为乘法，用； （2）先算中括号内为，再算，再把两个得数相加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．（2026·河北·三模）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： (1)接力中，计算错误的学生有________； (2)请给出正确的计算过程． 【答案】(1)佳佳，昊昊 (2)答案见解析 【分析】（1）根据有理数混合运算的法则进行计算即可，注意负数的乘方； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：，计算，除法没有分配律， 佳佳计算错误， 昊昊应先计算乘除，最后算加减，不能先计算， 昊昊计算错误， 计算错误的学生有：佳佳，昊昊； （2） ． 9．（22-23七年级下·河南焦作·期中）为了求的值， 令．① 则．② ②①，得，即． 仿照以上解题过程，计算：． 【答案】 【分析】仿照题干给定的方法，令，则，两式相减后，即可得出结果． 【详解】解：令，则， ∴， ∴， ∴，即． 10．（25-26七年级上·广东梅州·期中）阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料中的计算示例，总结同指数幂相乘的运算规律； （2）先将带分数转化为假分数，再运用（1）中的规律进行简便计算； （3） 先把小数化为分数，拆分指数使各幂的指数统一，再利用（1）的规律简化式子，最后完成有理数的乘法运算． 【详解】（1）解：由材料中的计算过程可得 （2）解： （3）解： 挑战一刻 一、单选题 1．（25-26七年级上·重庆·期中）下列各组数中，其值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据有理数乘方和乘法的运算法则，分别计算每个选项中两个式子的值，再比较是否相等即可． 【详解】解：，， ，该选项符合要求； ，， ，该选项不符合要求； ，， ，该选项不符合要求； ，， ，该选项不符合要求； 综上，答案选A． 2．（25-26八年级下·四川自贡·阶段检测）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的5位数，则十进制数是二进制下的(   ) A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 【答案】B 【分析】本题主要考查了十进制数与二进制数的转换，结合题意把十进制数转换成二进制数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴十进制数是二进制下的11位数， 3．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】根据流程图，列式计算即可． 【详解】解：． 4．（2026·河北石家庄·二模）有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用两个底面积加侧面积即可. 【详解】解：， ∴做这样一个礼品盒至少要硬纸. 二、填空题 5．（2026·安徽淮北·二模）计算：________． 【答案】0 【分析】按照先算乘方，再算除法，最后算加法的顺序计算即可． 【详解】解： ． 6．（2026·河南平顶山·一模）统计数据显示，截至年月日，电影《飞驰人生3》的票房总收入约为亿元，如果该电影的平均票价是每张元，那么售出的电影票大约______张．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】先将总票房统一单位为元，再根据售票张数等于总票房除以平均票价计算结果即可． 【详解】解：亿元 元 元， 售出电影票的张数：（张）． 7．（2026·河南周口·一模）定义新运算：，例如：☆，则_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 8．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解： 三、解答题 9．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $