第06讲 有理数的乘方（讲义，苏科版江苏专用）数学小升初衔接

第06讲 有理数的乘方 预习目标 知识回顾 1. 理解乘方、底数、指数的含义，区分乘方与乘法的不同。 2. 初步掌握有理数乘方的符号规律，尝试简单乘方计算。 3. 分清-a^n与(-a)^n的区别，记录不懂的问题。 1. 回顾有理数分类，熟练判断数的正负。 2. 牢记有理数乘法法则，掌握多个数相乘的符号判定。 3. 回顾乘法运算意义，理解相同因数相乘的表达形式。 新知导图 预习精讲 想一想 【思考1】手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细|的面条。你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 【材料1】2025年初国家金融监督管理总局发布的数据显示，截至2024年末，我国保险业总资产35.9万亿元，净资产3.32万亿元。中国作为全球第二大保险市场，保费规模已突破5万亿元，但保险密度(人均保费)与发达国家仍存在差距。在赔付方面，2024年我国保险业原保险赔付支出2.3万亿元，其中财产险9810亿元、人身险1.32万亿元。 【材料2】宇宙直径有多大？宇宙有多少岁？ 最新的研究认为宇宙的直径为1560亿光年，甚至更大。目前可观测的宇宙年龄大约为138亿年。 35.9万亿元=35 9000 0000 0000元；3.32万亿元= 3 3200 0000 0000元；5万亿元=5 0000 0000 0000元； 1560亿光年= 1560 0000 0000光年；138亿年=138 0000 0000年。 【思考1】像上述两个材料中出现了一些大数，大家感觉它们的读和写是否比较麻烦，容易出错呢？ 大家有没有比较合适的方法来表示这些大数，使得这些大数易读，易写呢？ 知识点01 有理数的乘方 1. 有理数的乘方 乘方的概念：求相同因数的积的运算叫作乘方，相同因数叫作底数，相同因数的个数叫作指数，乘方运算的结果叫作幂。乘方运算本质上是乘法运算，它是同一个因数连乘的简便形式。 个相同的乘数相乘，记作，读作“的次方”；其中：叫做底数，叫做指数，叫做幂。 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ． 2．（2026·山东德州·二模）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由乘方的定义和乘法的意义，分别化简分子分母即可得到结果． 【详解】解：根据乘方的定义，个相乘可表示为；根据乘法的意义，个相加可表示为， ∴． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 【答案】 【分析】先根据已知乘方等式求出的值，再将代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得． 知识点02 整数指数幂 整数指数幂的符号规律： 1）正数的任何次幂都是正数；2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 3）0的任何正整数次幂都是0。 注意：①除0以外的任何数的“0次幂”结果为1；②乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有；③在运算时要看清楚底数和指数到底是谁；④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算。 4．（25-26九年级下·山东烟台·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】互为相反数的两个数和为0，由此逐项判断即可． 【详解】解：，故和互为相反数，A选项符合题意； ，故和不互为相反数，B选项不合题意； ，故和不互为相反数，C选项不合题意； ，故和不互为相反数，D选项不合题意． 5．（25-26七年级下·江苏·单元复习）______． 【答案】 【分析】本题考查了指数幂的运算，解决本题的关键是正确计算正负号． 根据指数运算法则和有理数乘法法则，分别计算各部分的符号和指数，再合并相乘． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知是一个正整数，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查了乘方运算，先结合是一个正整数，得出是一个奇数，根据负数的奇数次幂是负数，则，即可作答． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个偶数，是一个奇数， ∵负数的奇数次幂是负数， 即， 故答案为： 知识点03 科学计数法 科学记数法：把一个绝对值大于的数表示成的形式（其中，是正整数），这种记数法称为科学记数法，当a=1时，可简写成。 科学记数法还原的法则：将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 注意：将计数单位改写为具体的数，再根据科学计数法表示即可。如：1万=10000；1亿=100000000。 7．（2026·安徽安庆·一模）从2026年“节水中国行·安徽合肥”主题宣传活动中得知，2025年我国非常规水利用量已超过250亿立方米，其中250亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值. 【详解】解：250亿． 8．（2026·福建泉州·二模）近年来，我国以风电、太阳能发电为主的新能源发电装机规模达到亿千瓦，超过火电装机规模．用科学记数法，将数据表示为_______________． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：． 9．（2026·山西晋中·二模）2026年4月22日是第57个世界地球日，我国活动主题为“珍爱自然资源守护美丽中国”．希望我们每个人从点滴做起，如每人每年努力节约1度电，相当于节约0.4千克标准煤，由此估计，全国每年就节约14亿度电，相当于全国每年节约______千克标准煤（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】先算出14亿度电，相当于全国每年节约多少千克标准煤，再用科学记数法表示． 【详解】解：14亿=1400000000， （千克）． 题型速练 题型01 有理数乘方的概念 例1．（2024七年级上·江苏·专题练习）（1）将写成幂的形式是 ，底数是 ，指数是 ． （2）表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ；表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ． 【答案】 4 4个相乘 4 4个2相乘的相反数 2 4 【详解】（1 ），底数是，指数是4，故答案为：，，4； （2）表示的意义是4个相乘，底数是，指数是4； 表示的意义是4个2相乘的相反数，底数是2，指数是4， 故答案为：4个相乘，，4；4个2相乘的相反数，2，4． 变式1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）关于和，下列说法中正确的是（   ） A．它们的底数相同，指数也相同 B．它们的底数相同，但指数不相同 C．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同 D．它们的底数不同，但运算结果相同 【答案】D 【详解】解：的底数是5，指数是3，表示3个5的乘积的相反数，运算结果为， 的底数是，指数是3，表示3个的乘积，运算结果为， 故它们的底数不同，指数相同，所表示的意义不同，但运算结果相同， 所以，选项A、B、C说法错误，不符合题意，选项D说法正确，符合题意，故选：D． 变式2．（2024七年级上·江苏·专题练习）对于，下列说法正确的是（   ） A．底数是 B．指数是 C．幂为 D．表示个相加 【答案】C 【详解】解：的底数是，指数是，幂是9，表示个相乘．故选：C． 变式3．（24-25七年级上·河北唐山·期中）计算的结果是（   ） A．7a B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，故选：D． 题型2、有理数乘方的运算 例1．（24-25七年级上·江苏·课后作业）计算：(1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4)1 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 变式1．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）计算：（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：．故选：B． 变式2．（24-25七年级上·江苏常州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D．∵，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；故选：D． 变式3．（24-25七年级上·上海金山·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解：原式：，故答案为：． 题型3、乘方运算的符号规律 例1．（24-25七年级上·河南郑州·期末）当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【详解】解：当时，①，正确．②，正确． ③，故错误．④，则，故错误．故选：A． 变式1．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）下列各数中：负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】，负数有共2个，故选：B． 变式2．（24-25·安徽合肥·校考模拟预测）式子与的正确判断是（    ） A．当为偶数时，这两个式子互为相反数 B．这两个式子是相等的 C．当为奇数时，它们互为相反数 D．为偶数时它们相等 【答案】A 【详解】解：当为偶数时，，即此时这两个式子互为相反数， 当为奇数时，，即此时这两个式子相等．故选A． 变式3．（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴，，，0中，只有0是非负数．故选：A． 题型4、有理数乘方的逆运算（简算） 例1．（24-25七年级上·福建·期中）（1）计算下面两组算式：①与；    ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4） 【详解】解：（1）①，； ②，； （2）； （3），理由如下：； （4）． 变式1．（24-25七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【答案】B 【详解】解：＝1×8＝8故选：B． 变式2．（24-25七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【详解】解：原式．故选：B． 变式3．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵∴∴∴，故选：D． 题型5、偶次方的非负性的运用 例1．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知，则 ． 【答案】1 【详解】解：∵，∴，， ∴，，∴．故答案为：． 变式1．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）为有理数，下列说法中正确的是（　　） A．是正数 B．是正数 C．是负数 D．的值不小于 【答案】B 【详解】解：、当时，，此选项说法错误，不符合题意； 、∵，∴，即是正数，此选项说法正确，符合题意； 、当时，，此选项说法错误，不符合题意； 、∵，则，∴，的值不大于，此选项说法错误，不符合题意；故选：． 变式2．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴ ∴， ∴的最大值为：；故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵∴，，∴，， ∴故答案为：． 题型6、用科学记数法表示大于1的数 例1．（2025·江苏南京·一模）百年大计，教育为本．年，我国全年一般公共预算教育支出约为元．用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：．故选：C． 变式1．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）深圳图书馆北馆是深圳首批建设并完工的新时代重大文化设施，其建筑面积约万平方米，设计藏书量800万册．其中800万用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得800万，故选：C． 变式2．（2025·广东云浮·一模）人民日报等媒体2月28日消息，电影《哪吒之魔童闹海2》票房已破 140 亿，成为亚洲首部票房过百亿影片，带动了相关文旅产业和衍生品市场发展，其中140 亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：140 亿，故选：B． 变式3．（2026·新疆喀什·二模）2026年2月10日，从新疆日报获悉：自治区财政厅下达2026年农业产业发展相关资金1.3亿元，用于支持种业振兴、产业园建设、人才培育、农业对外合作交流等，将数据1.3亿用科学记数法表示为________． 【答案】 【详解】解：亿． 题型7、用科学记数法表示大于1的数（含计算） 例1．（24-25七年级上·山西·期中）献礼新中国成立周年的影片《我和我的祖国》，不仅彰显了中华民族的文化自信，也激发了观众强烈的爱国情怀与观影热情．据某网站统计，国庆期间，此部电影票房收入约亿元，平均每张票约元，估计观影人次约为（用科学记数法表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵22亿元= ，∴，故选：B. 变式1．（2024·河南漯河·二模）生物学指出：生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第n个营养级，，2，，5），要使获得50千焦的能量，那么需要．提供的能量用科学记数法表示约为（    ） A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 【答案】B 【详解】解：根据题意，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，∴，故选：B． 变式2．（2024七年级上·广东·专题练习）中国古代涌现包括“铸、钧、镒、铢”等在内的质量单位，而现代的质量单位有：吨（）、千克（）、克（）、毫克（）、微克（）等．其中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，，．故选：A． 变式3．（24-25九年级下·江苏·期中）我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为吨，则铝、锰元素总量的和约为（   ） A．8000000吨 B．160000000吨 C．16000000吨 D．80000000吨 【答案】C 【详解】铝、锰元素总量的和约是：吨．故选：C． 题型8、将用科学记数法表示的数变回原数 例1．（23-24七年级上·广东江门·期末）减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为（    ） A．312 B．31200 C．3120000 D．312000000 【答案】C 【详解】解：，故选：C． 变式1．（2023七年级下·江苏·专题练习）年河北首次突破四万亿元，其中石家庄年总量约为元，名义增速约，数据可以表示为(　　) A．亿 B．亿 C．亿 D．亿 【答案】C 【详解】解：亿．故选：C． 变式2．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）把用科学记数法表示的数写成原数： ． 【答案】 【详解】解：，故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：是19位数，那么n的值为 ． 【答案】18 【详解】解：∵是19位数，∴，故答案为：18． 题型9、有理数乘方的实际应用 例1．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图是草履虫的细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，根据此规律，请问一个草履虫8个小时后可分裂为（    ） A．16个 B．个 C．8个 D．个 【答案】B 【详解】解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即个细胞； 第2个30分钟分裂成4个，即个；…依此类推，第个30分钟分裂为个细胞； 经过小时即个30分钟分裂为个细胞；故选：B． 变式1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）珠穆朗玛峰高约为米，而一张纸的厚度约为毫米．假设这张纸能够无限次对折，若要使它的厚度超过珠穆朗玛峰高度，则这张纸对折的次数至少是（    ）（参考数据：） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】A 【详解】一张纸的厚度约为毫米，纸张对折次，纸张厚度为毫米， 珠穆朗玛峰高约为米，若要使它的厚度超过珠穆朗玛峰高度，则有， ，，， 至少对折次后，它的厚度超过珠穆朗玛峰高度．故选：A． 变式2．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）分形几何在大自然中随处可见．如图，从长度为1的线段开始，取走其中间三分之一达到第一阶段，然后从每一条余下的线段中再各取走其中间三分之一达到第二阶段，无限地重复这一过程，余下的无穷点集称做康托尔分形集，上图是其最初几个阶段，当达到第个阶段时，被取走的所有线段的长度之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意知：第一阶段时，余下的线段的长度为， 第二阶段时，余下的线段的长度为， 第三阶段时，余下的线段的长度为，…， ∴当达到第n个阶段时，余下的线段的长度为 ∴当达到第个阶段时，被取走的所有线段的长度之和为．故选：D． 变式3．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为64米的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是 米． 【答案】2 【详解】解：第一天截取后剩：米 第二天截取后剩：米…… ∴第五天截取后剩：米．故答案为：2． 题型10、有理数乘方的新定义问题 例1．（2025·山东枣庄·一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【答案】A 【详解】解：∵，∴ ∴．故选：A． 变式1．（24-25·广东·七年级校考期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则： 若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是______． 【答案】1 【详解】解：第一次：，第二次： ∵其中k是使为奇数的正整数，∴∴第二次运算：， 第三次：∵∴计算结果为 第五次：，第六次：，∵∴，计算结果为，…… 依次为与的循环，当计算次数为奇数时，结果为8；当计算次数为偶数时，结果为1， ∴第2020次“F运算”的结果是1．故答案为：1． 变式2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）我们称M为“美好数”，记，， ，…（其中n为正整数）． (1)计算：_______．(2)求的值．(3)猜想与的关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)互为相反数，理由见解析 【详解】（1）解：； （2）解：，， ； （3）解：与互为相反数，理由如下：， ，故与互为相反数． 变式3．（24-25七年级上·福建泉州·期中）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】(1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（    ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1；        B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C．                        D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 【答案】(1)1，(2)D(3)12 【详解】（1）解：由题意可得：；； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，，故正确； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，，故正确； C．，，且，则，故正确； D．1和的圈n次方都等于它本身，，或1，故错误；故选D； （3） ； 基础过关 一、单选题 1．（25-26七年级下·山西太原·期中）计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．2026 【答案】B 【分析】负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负． 【详解】∵是偶数，根据乘方运算规则，的偶次幂结果为， ∴． 故选：B． 2．（2026·湖南株洲·三模）被誉为大国重器的东风洲际弹道导弹，其最大射程约为14000公里（1公里米），若将此射程以米为单位用科学记数法表示，应为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】先将射程单位从公里换算为米，再根据科学记数法的定义表示结果，科学记数法形式为，满足，为整数． 【详解】解：∵1公里米， ∴14000公里米米． 将用科学记数法表示，可得米． 3．（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）已知，则的值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数的乘方运算，求代数式的值，解题的关键是掌握运算法则． 根据题意得出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（25-26七年级下·河北保定·期中）（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查乘法和乘方的意义，只需根据定义分别化简分子和分母，即可得到结果，选出正确选项． 【详解】解：根据乘法的意义，个相同加数相加，可得 根据乘方的意义，个相同因数相乘，可得 原式． 二、填空题 5．（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）_________． 【答案】 【分析】将各数化为的次方的形式，进而计算即可得出结果． 【详解】解：原式 ． 6．（2026·江西新余·二模）年开年以来，新余市以“拉满弓”的奋斗姿态，将招商引资作为推动高质量发展的重要任务，据统计，年月，新余市新签约项目个，签约金额亿元．签约金额亿元用科学记数法表示为________． 【答案】 元 【详解】解：亿元元元． 三、解答题 7．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则，是解题的关键． （1）先计算括号内的计算，再算乘方，接着进行乘法运算，最后进行加法运算； （2）先计算乘方和绝对值，再进行除法运算，最后进行加减运算． 【详解】（1）解： （2）解： 8．（25-26七年级上·湖南怀化·期末）已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于5，y是最大的负整数，求的值． 【答案】98 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值以及有理数相关知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据题意确定，，，，然后代入求值即可． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴原式． 9．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）在城区老旧小区改造中，为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含m，n的式子表示广场（阴影部分）的面积S； (2)若米，米，修建每平方米需费用200元，用科学记数法表示修建广场的总费用W的值． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，正确的列出代数式是解题的关键： （1）利用分割法，求出图形的面积即可； （2）把米，米代入（1）中代数式，求出总面积，再乘以单价，求出总费用，然后用科学记数法进行表示即可． 【详解】（1）解：； （2）当米，米， ， ∴（元）． 10．（25-26七年级上·河南周口·期末）阅读下列各式：，，，…，请据此解答下列问题： (1)验证：______；______． (2)通过上述验证，归纳得出：______，______． (3)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2)， (3) 【分析】本题考查有理数乘方的应用，正确掌握乘方的运算是解题的关键． （1）根据乘方的定义运算即可求解； （2）根据验证，归纳即可； （3）根据归纳的结论，应用计算即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：1，1； （2）通过（1）的验证可得，； ， 故答案为：，； （3）解： ． 能力提升 一、单选题 1．（2026·浙江金华·二模）金漪湖、金满湖、金澧湖，“三大湖”各具特色的玩法，让金东成为周边城市游客“微度假”的高频目的地。据统计，五一假期期间，全区全域旅游接待人次，同比增长，增速全市第一，数字用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：用科学记数法可表示为． 2．（2026·江苏连云港·二模）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．和3 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，先化简每个选项中的两个数，再判断是否符合定义即可． 【详解】解：∵ 相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数. 对各选项化简判断， 选项A： ，9和3不互为相反数，A错误； 选项B： ，，两个数相等，不互为相反数，B错误； 选项C： ，两个数相等，不互为相反数，C错误； 选项D： ，，3和只有符号不同，互为相反数，D正确． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）若，，且，那么的值是（   ） A．或 B．2或 C．2或8 D．或8 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方的含义，绝对值的含义，求解代数式的值，由和求出和的可能值，再根据条件筛选符合条件的组合，最后计算． 【详解】解：∵， ∴ 或； ∵， ∴ 或； 又∵ ， 当， 时，不符合题意； 当， 时， 成立， ∴； 当， 时， 不符合题意； 当， 时， 成立， ∴ ； ∴的值为2或8． 故选：C 4．（25-26八年级上·江西上饶·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则与积的乘方逆运算，将高次幂拆分为同指数幂，进行凑整计算是解题关键． 先把拆成，再把和合并为，最后算出结果． 【详解】解：原式 ， ． 故选：． 二、填空题 5．（2026·江苏宿迁·二模）光明网讯，2026年高校毕业生人数将达到1270万．在人社部4月28日举行的新闻发布会上表示，将着力拓渠道、扩容量、促匹配、提技能、兜底线、强导向，聚焦毕业生的求职需求，持续加强就业政策和服务高品质供给．其中数据1270万用科学记数法表示为_______． 【答案】 【分析】根据科学记数法的定义，将一个数表示为的形式，其中，为整数，先将1270万转化为整数形式，再根据科学记数法的定义确定和的值即可得到结果． 【详解】解：首先将1270万化为整数，可得 ， ∴ ． 6．（25-26七年级上·四川绵阳·期中）___________(结果用含m、n的式子表示)． 【答案】 【分析】本题考查乘方和乘法的定义，根据乘方和乘法的定义求解即可． 【详解】解：分子为个相乘，即；分母为个相加，即， 因此，原式可表示为， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·全国·期末）我们知道，3的正整数次幂：，，，，，，，，…，观察归纳，可得的个位数字是_______． 【答案】3 【分析】本题考查了根据乘方运算求解．观察3的正整数次幂的个位数字，发现其以3、9、7、1四个数字为一个循环周期．2025除以4的余数为1，故的个位数字与的个位数字相同，据此即可求解． 【详解】解：由题意得的个位数字按3、9、7、1顺序循环， ， 因此个位数字为3． 故答案为：3． 三、解答题 8．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)－2 (2)3 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． (1)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法转化为加法，再根据有理数的加法法则计算； (2)根据乘方的定义、绝对值的定义把算式中的各部分分别计算出来，可得：原式，再根据有理数的运算法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： (1)________；（写出结果） (2)________； (3)计算的值． 【答案】(1)900 (2) (3)1 【分析】本题考查乘方的定义的规律问题，熟知乘方的定义． （1）根据乘方的定义以及规律求解即可； （2）根据乘方的定义以及规律求解即可； （3）首先根据乘方的定义以及规律得出再根据乘方的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：900； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 10．（25-26六年级上·山东东营·期末）【背景知识】 数轴是初中数学的重要工具，能将数与形结合．若数轴上点A、B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离． 【综合运用】 如图①，在数轴上，点A、B表示的数分别为a、b，且满足． （1）则______，______，A、B两点之间的距离为______． （2）点P和点Q分别从点A、点B同时出发，都沿数轴负方向运动．点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒3个单位，设运动的时间为t（秒）．t秒后，点P对应的数是______，点Q对应的数是______（用含t的代数式表示）． 【延伸拓展】 （3）如图②，半径为2的圆从点A沿正方向在数轴上滚动． ①滚动一周后圆与数轴的接触点对应的数是______，滚动两周后圆与数轴的接触点对应的数是______； ②滚动n周后圆与数轴的接触点对应的数是多少？ 【答案】（1），12，16；（2）；；（3）①，；②． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，非负数的性质，数轴上的动点问题， （1）根据非负数的性质求出a、b的值，进而根据两点间的距离公式计算即可； （2）表示出、的值，进而根据点A、B表示的数作答即可； （3）①求出圆的周长，进而求出滚动后圆与数轴的接触点移动的距离，根据点A表示的数作答即可； ②求出滚动n周后圆与数轴的接触点移动的距离，根据点A表示的数作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴A、B两点之间的距离为． 故答案为：，12，16； （2）解：∵点P和点Q分别从点A、点B同时出发，点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒3个单位，设运动的时间为t（秒）， ∴、， ∵点A、B表示的数分别为、12，点P和点Q都沿数轴负方向运动， ∴点P对应的数是，点Q对应的数是． 故答案为：；； （3）解：①∵圆的半径为2， ∴圆的周长为， ∴滚动一周后圆与数轴的接触点移动了个单位，滚动两周后圆与数轴的接触点移动了个单位， ∵点A表示的数为， ∴滚动一周后圆与数轴的接触点对应的数是，滚动两周后圆与数轴的接触点对应的数是． 故答案为：，； ②滚动n周后圆与数轴的接触点移动了个单位， ∵点A表示的数为， ∴滚动n周后圆与数轴的接触点对应的数是． 挑战一刻 一、单选题 1．（2026·山西忻州·二模）据文旅部2026年4月7日公布的数据，2026年清明节假期3天，全国国内出游亿人次，国内出游总花费亿元，创历史新高．数据“亿元”用科学记数法表示为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】解：亿元． 2．（25-26九年级下·河南南阳·阶段检测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可根据乘法的意义计算，可根据乘方的定义计算，再相加即可得到结果． 【详解】解：． 3．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）若，，且，则的值等于（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先根据平方根和绝对值的性质，得到和的所有可能取值，再结合确定和异号，分情况计算的值即可． 【详解】解：∵，∴或， ∵，∴或， 又∵， ∴与异号， 分两种情况计算： ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； ∴的值为或． 4．（21-22七年级上·四川泸州·期末）比较这组数，0，，，，大小正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先化简每个给出的数，再将化简后的数按从大到小排序，即可得到正确选项． 【详解】解：，，，， 将所有数从大到小排序得：， 即． 故选：B． 二、填空题 5．（2026·内蒙古包头·二模）根据《内蒙古自治区能源发展“十五五”规划》，到“十五五”末，全区新能源本地消纳与外送电量合计将达到5200亿千瓦时，数据“5200亿”用科学记数法表示为_________． 【答案】 【详解】解：先将亿改写为原数，得亿， 根据科学记数法的定义，可得． 6．（25-26八年级上·河南信阳·期中）已知，则________． 【答案】17 【分析】本题考查的是乘方运算的含义，求解代数式的值，由已知条件 结合指数运算性质，求出的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵ ，且， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： 7．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）我们常用的数是十进制数，如，在电子计算机中用的二进制，如二进制中等于十进制的数6．八进制数字3752换算成十进制是_____． 【答案】2026 【分析】本题考查了有理数的乘方运算．将八进制数转换为十进制数，需将每一位数字乘以8的相应幂次（从右向左，幂次从0开始），然后求和，即可作答． 【详解】解：依题意，八进制数3752换算为十进制： ， 故答案为：2026． 三、解答题 8．（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）现有某种浓度的葡萄糖溶液，每瓶大约为滴，每滴葡萄糖溶液中大约有个葡萄糖分子，5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有多少个葡萄糖分子？（结果用科学记数法表示） 【答案】5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有个葡萄糖分子 【分析】每滴葡萄糖溶液中大约有个葡萄糖分子，每瓶大约为滴，5瓶这样的葡萄糖溶液中，这三个数相乘，结果用科学记数法表示． 【详解】解： 答：5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有个葡萄糖分子． 9．（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）已知：与互为相反数，与互为倒数，的立方是125，是最大的负整数．求：的值． 【答案】20 【分析】此题考查了代数式求值，相反数，倒数，立方以及负整数的定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 利用相反数，倒数，立方的性质以及负整数的定义求出，，x和y的值，然后代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：∵与互为相反数，与互为倒数，的立方是125，是最大的负整数， ∴， ∴， ∴ ． 10．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、有理数乘方的逆运算等知识点，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键． （1）根据阅读材料中的运算过程变形即可解答； （2）根据阅读材料，结合根据（1）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：，． （2）解：由（1）的结论可得：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 有理数的乘方 预习目标 知识回顾 1. 理解乘方、底数、指数的含义，区分乘方与乘法的不同。 2. 初步掌握有理数乘方的符号规律，尝试简单乘方计算。 3. 分清-a^n与(-a)^n的区别，记录不懂的问题。 1. 回顾有理数分类，熟练判断数的正负。 2. 牢记有理数乘法法则，掌握多个数相乘的符号判定。 3. 回顾乘法运算意义，理解相同因数相乘的表达形式。 新知导图 预习精讲 想一想 【思考1】手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细|的面条。你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 【材料1】2025年初国家金融监督管理总局发布的数据显示，截至2024年末，我国保险业总资产35.9万亿元，净资产3.32万亿元。中国作为全球第二大保险市场，保费规模已突破5万亿元，但保险密度(人均保费)与发达国家仍存在差距。在赔付方面，2024年我国保险业原保险赔付支出2.3万亿元，其中财产险9810亿元、人身险1.32万亿元。 【材料2】宇宙直径有多大？宇宙有多少岁？ 最新的研究认为宇宙的直径为1560亿光年，甚至更大。目前可观测的宇宙年龄大约为138亿年。 35.9万亿元=35 9000 0000 0000元；3.32万亿元= 3 3200 0000 0000元；5万亿元=5 0000 0000 0000元； 1560亿光年= 1560 0000 0000光年；138亿年=138 0000 0000年。 【思考1】像上述两个材料中出现了一些大数，大家感觉它们的读和写是否比较麻烦，容易出错呢？ 大家有没有比较合适的方法来表示这些大数，使得这些大数易读，易写呢？ 知识点01 有理数的乘方 1. 有理数的乘方 乘方的概念：求相同因数的积的运算叫作乘方，相同因数叫作底数，相同因数的个数叫作指数，乘方运算的结果叫作幂。乘方运算本质上是乘法运算，它是同一个因数连乘的简便形式。 个相同的乘数相乘，记作，读作“的次方”；其中：叫做底数，叫做指数，叫做幂。 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东德州·二模）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 知识点02 整数指数幂 整数指数幂的符号规律： 1）正数的任何次幂都是正数；2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 3）0的任何正整数次幂都是0。 注意：①除0以外的任何数的“0次幂”结果为1；②乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有；③在运算时要看清楚底数和指数到底是谁；④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算。 4．（25-26九年级下·山东烟台·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（25-26七年级下·江苏·单元复习）______． 6．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知是一个正整数，那么__________． 知识点03 科学计数法 科学记数法：把一个绝对值大于的数表示成的形式（其中，是正整数），这种记数法称为科学记数法，当a=1时，可简写成。 科学记数法还原的法则：将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 注意：将计数单位改写为具体的数，再根据科学计数法表示即可。如：1万=10000；1亿=100000000。 7．（2026·安徽安庆·一模）从2026年“节水中国行·安徽合肥”主题宣传活动中得知，2025年我国非常规水利用量已超过250亿立方米，其中250亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·福建泉州·二模）近年来，我国以风电、太阳能发电为主的新能源发电装机规模达到亿千瓦，超过火电装机规模．用科学记数法，将数据表示为_______________． 9．（2026·山西晋中·二模）2026年4月22日是第57个世界地球日，我国活动主题为“珍爱自然资源守护美丽中国”．希望我们每个人从点滴做起，如每人每年努力节约1度电，相当于节约0.4千克标准煤，由此估计，全国每年就节约14亿度电，相当于全国每年节约______千克标准煤（用科学记数法表示）． 题型速练 题型01 有理数乘方的概念 例1．（2024七年级上·江苏·专题练习）（1）将写成幂的形式是 ，底数是 ，指数是 ． （2）表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ；表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ． 变式1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）关于和，下列说法中正确的是（   ） A．它们的底数相同，指数也相同 B．它们的底数相同，但指数不相同 C．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同 D．它们的底数不同，但运算结果相同 变式2．（2024七年级上·江苏·专题练习）对于，下列说法正确的是（   ） A．底数是 B．指数是 C．幂为 D．表示个相加 变式3．（24-25七年级上·河北唐山·期中）计算的结果是（   ） A．7a B． C． D． 题型2、有理数乘方的运算 例1．（24-25七年级上·江苏·课后作业）计算：(1)；(2)；(3)；(4)． 变式1．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）计算：（  ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·江苏常州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 变式3．（24-25七年级上·上海金山·期中）计算： ． 题型3、乘方运算的符号规律 ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 变式1．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）下列各数中：负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（24-25·安徽合肥·校考模拟预测）式子与的正确判断是（    ） A．当为偶数时，这两个式子互为相反数 B．这两个式子是相等的 C．当为奇数时，它们互为相反数 D．为偶数时它们相等 变式3．（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型4、有理数乘方的逆运算（简算） 例1．（24-25七年级上·福建·期中）（1）计算下面两组算式：①与；    ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 变式1．（24-25七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 变式2．（24-25七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 变式3．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 题型5、偶次方的非负性的运用 例1．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知，则 ． 变式1．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）为有理数，下列说法中正确的是（　　） A．是正数 B．是正数 C．是负数 D．的值不小于 变式2．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 变式3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）若，则的值为 ． 题型6、用科学记数法表示大于1的数 例1．（2025·江苏南京·一模）百年大计，教育为本．年，我国全年一般公共预算教育支出约为元．用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）深圳图书馆北馆是深圳首批建设并完工的新时代重大文化设施，其建筑面积约万平方米，设计藏书量800万册．其中800万用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 变式2．（2025·广东云浮·一模）人民日报等媒体2月28日消息，电影《哪吒之魔童闹海2》票房已破 140 亿，成为亚洲首部票房过百亿影片，带动了相关文旅产业和衍生品市场发展，其中140 亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 变式3．（2026·新疆喀什·二模）2026年2月10日，从新疆日报获悉：自治区财政厅下达2026年农业产业发展相关资金1.3亿元，用于支持种业振兴、产业园建设、人才培育、农业对外合作交流等，将数据1.3亿用科学记数法表示为________． 题型7、用科学记数法表示大于1的数（含计算） 例1．（24-25七年级上·山西·期中）献礼新中国成立周年的影片《我和我的祖国》，不仅彰显了中华民族的文化自信，也激发了观众强烈的爱国情怀与观影热情．据某网站统计，国庆期间，此部电影票房收入约亿元，平均每张票约元，估计观影人次约为（用科学记数法表示）（    ） A． B． C． D． 变式1．（2024·河南漯河·二模）生物学指出：生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第n个营养级，，2，，5），要使获得50千焦的能量，那么需要．提供的能量用科学记数法表示约为（    ） A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 变式2．（2024七年级上·广东·专题练习）中国古代涌现包括“铸、钧、镒、铢”等在内的质量单位，而现代的质量单位有：吨（）、千克（）、克（）、毫克（）、微克（）等．其中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25九年级下·江苏·期中）我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为吨，则铝、锰元素总量的和约为（   ） A．8000000吨 B．160000000吨 C．16000000吨 D．80000000吨 题型8、将用科学记数法表示的数变回原数 例1．（23-24七年级上·广东江门·期末）减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为（    ） A．312 B．31200 C．3120000 D．312000000 变式1．（2023七年级下·江苏·专题练习）年河北首次突破四万亿元，其中石家庄年总量约为元，名义增速约，数据可以表示为(　　) A．亿 B．亿 C．亿 D．亿 变式2．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）把用科学记数法表示的数写成原数： ． 变式3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：是19位数，那么n的值为 ． 题型9、有理数乘方的实际应用 例1．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图是草履虫的细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，根据此规律，请问一个草履虫8个小时后可分裂为（    ） A．16个 B．个 C．8个 D．个 变式1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）珠穆朗玛峰高约为米，而一张纸的厚度约为毫米．假设这张纸能够无限次对折，若要使它的厚度超过珠穆朗玛峰高度，则这张纸对折的次数至少是（    ）（参考数据：） A．次 B．次 C．次 D．次 变式2．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）分形几何在大自然中随处可见．如图，从长度为1的线段开始，取走其中间三分之一达到第一阶段，然后从每一条余下的线段中再各取走其中间三分之一达到第二阶段，无限地重复这一过程，余下的无穷点集称做康托尔分形集，上图是其最初几个阶段，当达到第个阶段时，被取走的所有线段的长度之和为（    ） A． B． C． D． 变式3．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为64米的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是 米． 题型10、有理数乘方的新定义问题 例1．（2025·山东枣庄·一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 变式1．（24-25·广东·七年级校考期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则： 若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是______． 变式2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）我们称M为“美好数”，记，， ，…（其中n为正整数）． (1)计算：_______．(2)求的值．(3)猜想与的关系，并说明理由． 变式3．（24-25七年级上·福建泉州·期中）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】(1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（    ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1；        B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C．                        D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 基础过关 一、单选题 1．（25-26七年级下·山西太原·期中）计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．2026 2．（2026·湖南株洲·三模）被誉为大国重器的东风洲际弹道导弹，其最大射程约为14000公里（1公里米），若将此射程以米为单位用科学记数法表示，应为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）已知，则的值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 4．（25-26七年级下·河北保定·期中）（） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）_________． 6．（2026·江西新余·二模）年开年以来，新余市以“拉满弓”的奋斗姿态，将招商引资作为推动高质量发展的重要任务，据统计，年月，新余市新签约项目个，签约金额亿元．签约金额亿元用科学记数法表示为________． 三、解答题 7．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）计算： (1) (2) 8．（25-26七年级上·湖南怀化·期末）已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于5，y是最大的负整数，求的值． 9．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）在城区老旧小区改造中，为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含m，n的式子表示广场（阴影部分）的面积S； (2)若米，米，修建每平方米需费用200元，用科学记数法表示修建广场的总费用W的值． 10．（25-26七年级上·河南周口·期末）阅读下列各式：，，，…，请据此解答下列问题： (1)验证：______；______． (2)通过上述验证，归纳得出：______，______． (3)请应用上述性质计算：． 能力提升 一、单选题 1．（2026·浙江金华·二模）金漪湖、金满湖、金澧湖，“三大湖”各具特色的玩法，让金东成为周边城市游客“微度假”的高频目的地。据统计，五一假期期间，全区全域旅游接待人次，同比增长，增速全市第一，数字用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏连云港·二模）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．和3 B．和 C．和 D．和 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）若，，且，那么的值是（   ） A．或 B．2或 C．2或8 D．或8 4．（25-26八年级上·江西上饶·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2026·江苏宿迁·二模）光明网讯，2026年高校毕业生人数将达到1270万．在人社部4月28日举行的新闻发布会上表示，将着力拓渠道、扩容量、促匹配、提技能、兜底线、强导向，聚焦毕业生的求职需求，持续加强就业政策和服务高品质供给．其中数据1270万用科学记数法表示为_______． 6．（25-26七年级上·四川绵阳·期中）___________(结果用含m、n的式子表示)． 7．（25-26七年级上·全国·期末）我们知道，3的正整数次幂：，，，，，，，，…，观察归纳，可得的个位数字是_______． 三、解答题 8．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）计算： (1) (2) 9．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： (1)________；（写出结果） (2)________； (3)计算的值． 10．（25-26六年级上·山东东营·期末）【背景知识】 数轴是初中数学的重要工具，能将数与形结合．若数轴上点A、B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离． 【综合运用】 如图①，在数轴上，点A、B表示的数分别为a、b，且满足． （1）则______，______，A、B两点之间的距离为______． （2）点P和点Q分别从点A、点B同时出发，都沿数轴负方向运动．点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒3个单位，设运动的时间为t（秒）．t秒后，点P对应的数是______，点Q对应的数是______（用含t的代数式表示）． 【延伸拓展】 （3）如图②，半径为2的圆从点A沿正方向在数轴上滚动． ①滚动一周后圆与数轴的接触点对应的数是______，滚动两周后圆与数轴的接触点对应的数是______； ②滚动n周后圆与数轴的接触点对应的数是多少？ 挑战一刻 一、单选题 1．（2026·山西忻州·二模）据文旅部2026年4月7日公布的数据，2026年清明节假期3天，全国国内出游亿人次，国内出游总花费亿元，创历史新高．数据“亿元”用科学记数法表示为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（25-26九年级下·河南南阳·阶段检测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）若，，且，则的值等于（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（21-22七年级上·四川泸州·期末）比较这组数，0，，，，大小正确的为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2026·内蒙古包头·二模）根据《内蒙古自治区能源发展“十五五”规划》，到“十五五”末，全区新能源本地消纳与外送电量合计将达到5200亿千瓦时，数据“5200亿”用科学记数法表示为_________． 6．（25-26八年级上·河南信阳·期中）已知，则________． 7．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）我们常用的数是十进制数，如，在电子计算机中用的二进制，如二进制中等于十进制的数6．八进制数字3752换算成十进制是_____． 三、解答题 8．（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）现有某种浓度的葡萄糖溶液，每瓶大约为滴，每滴葡萄糖溶液中大约有个葡萄糖分子，5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有多少个葡萄糖分子？（结果用科学记数法表示） 9．（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）已知：与互为相反数，与互为倒数，的立方是125，是最大的负整数．求：的值． 10．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $