七年级数学下学期期末模拟卷（新教材人教版七下全册：相交线与平行线+实数+平面直角坐标系+不等式（组）+二元一次方程组+数据收集整理与描述）

**基本信息** 立足七年级下学期六章核心知识，以幻方文化、新定义“横k倍直角距离”及长方体体积计算为载体，梯度设计考察抽象能力、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、坐标系、二元一次方程|第9题新定义“横2倍直角距离”考察创新应用| |填空题|6/18|立方根、命题、抽样调查|第14题幻方融合传统文化，第16题自定义运算考察符号意识| |解答题|8/72|不等式组、方程组、平移、统计|第21题长方体与球体积计算体现模型意识，第24题“内含解”新定义考察推理能力|

2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第七章 相交线与平行线、第八章 实数、第九章 平面直角坐标系、第十章 二元一次方程组、第十一章 不等式与不等式组、第十二章 数据的收集、整理与描述。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．实数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是算术平方根的概念，明确算术平方根的非负性是解题的关键．根据算术平方根“非负的平方根”这一定义，可知实数的算术平方根应为非负形式，进而确定的算术平方根． 【详解】解：算术平方根是非负数，且， 的算术平方根是． 故选：． 2．在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，据此求解即可． 【详解】∵点到y轴的距离等于其横坐标的绝对值， ∴距离为． 故选：A． 3．下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个未知数；②每个未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(即分母不含未知数)．解题时需依据这三个条件对每个选项逐一判断． 【详解】解：中，未知数项的次数为，不满足“未知数的项的次数都是1”的要求，不是二元一次方程； 是一个多项式，不是等式，不满足方程的定义，不是二元一次方程； 的分析含未知数，方程不属于整式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程； 含有两个未知数、，每个未知数的项的次数都是1，且是整式等式，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； 故选：D． 4．下列事件中，最适宜采用全面调查的是（    ） A．调查苏州河的水质情况 B．调查全国中学生对网络安全知识的了解程度 C．调查某品牌手机屏幕的使用寿命 D．对发射卫星的运载火箭零部件质量的检查 【答案】D 【分析】当调查事关重大，要求结果绝对准确，或调查范围小，不具有破坏性时选择全面调查，否则选择抽样调查，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A，调查苏州河水质，调查范围大，适合抽样调查，故该选项不符合题意； 选项B，调查全国中学生对网络安全知识的了解程度，调查对象数量多，范围大，适合抽样调查，故该选项不符合题意； 选项C，调查某品牌手机屏幕的使用寿命，调查具有破坏性，不适合全面调查，故该选项不符合题意； 选项D，运载火箭零部件质量直接影响发射安全，要求每个零部件都合格，必须对所有零部件检查，适合全面调查，故该选项符合题意． 5．下列命题是真命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两个锐角的和是钝角 C．如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 D．同旁内角互补 【答案】A 【分析】本题考查真命题的判断，平行线的性质和判定，同旁内角，锐角和钝角，掌握相关知识是解决问题的关键．需根据平行线的性质、锐角和钝角的概念、垂直的性质等知识逐一分析选项． 【详解】解： A、两直线平行，同位角相等，这是正确的，是真命题； B、 两个锐角的和可能是锐角或直角，不一定是钝角，原命题错误，是假命题； C、在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，原命题缺少“在同一平面内”，是假命题； D、同旁内角只有在两直线平行时才互补，原命题错误，是假命题． 故选：A． 6．下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根和算术平方根的概念，掌握平方根和算术平方根的概念是解题的关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：① ∵ ， ∴ ， 故此说法错误； ② ∵ ，且， ∴ ， 故此说法错误； ③ ∵ ， ∴ 4是16的一个平方根， 故此说法正确； ④ ∵ ，且是5的算术平方根， ∴此说法正确； ⑤ ∵ ，负数在实数范围内无平方根， ∴此说法错误； 综上，正确个数为2个． 故选：B． 7．若关于的不等式组的解集是，则在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据不等式组的解集是，可知，进而可得，，然后根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，即可获得答案． 【详解】解：， 解不等式①，可得， 由不等式②，可知， ∵该不等式组的解集为， ∴， ∴，， ∴， ∴点在第二象限． 8．如图，长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，与的差为1，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为x，宽为y，根据“与的差为1，小长方形的周长为14”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再利用图中阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得， 解得：，， ． 故选：A． 9．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，我们将称为点M与点N的“横k倍直角距离”，已知点，下列四个点中是点A的“横2倍直角距离”等于3的点为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的新定义问题，根据“横k倍直角距离”的定义把和选项中的点一一代入并计算出k值，进而即可得出答案． 【详解】解：．，，则，则，不是横2倍直角距离，故该选项不符合题意； ．，，则，则，不是横2倍直角距离，故该选项不符合题意； ．，，则，则，不是横2倍直角距离，故该选项不符合题意； ．，，则，则，是横2倍直角距离，故该选项符合题意； 故选：D． 10．设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（   ） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，方程组的定义，不等式组的解法，理解题意，通过不等式组分析确定和的可能值，是解题的关键． 设，，则a、b为整数，由方程组得到，，然后根据新定义可知，，从而得到，，进而得到关于b的一元一次不等式组，解得b的可能值，从而确定x和y的值，即可解答． 【详解】解：设，，则a、b为整数， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵a、b为整数， ∴， ∵， ∴，则， 又∵， ∴，即， 将代入得， 即 解得， ∴或2， 当时，，，， ∴； 当时，，，， ∴， ∴的值为3或． 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．8的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的定义即可直接求解． 【详解】解：因为， 所以8的立方根是2． 故答案为：2． 12．命题“如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等”的条件是： ． 【答案】一个三角形有两条边相等 【分析】本题考查命题与定理，掌握命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，是解决问题的关键． 根据命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，即可解决问题． 【详解】命题“如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等”的条件是：一个三角形有两条边相等． 故答案为：一个三角形有两条边相等． 13．某市环保部门为了解该市500家化工企业的废水排放达标情况，随机抽取了其中30家企业进行详细检测．这种调查方式是______．（填“普查”或“抽样调查”） 【答案】 抽样调查 【详解】解：由题意，这种调查方式是抽样调查. 14．幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为 ． x 1 y 5 【答案】20 【分析】本题考查了求代数式的值，二元一次方程的应用，通过幻方的性质，利用行、列和对角线的和相等建立方程，求解出和的值，再计算，正确求出和的值是解此题的关键． 【详解】解：∵幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等， ∴由第一行和主对角线之和相等得：， 化简得：， 解得：． 由第三列和第一行之和相等得：， 代入得：， 解得：． ∴， 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，按照箭头所示顺序运动，依次经过点和，则动点P第2026次运动到达的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题为平面直角坐标系下的规律探究题，解题的关键是注意探究动点的运动规律，又要注意动点的坐标的所在象限及符号．观察图形可知，点的横坐标运动规律是每运动四次向右平移4个单位，纵坐标是按照0，1，0，四个为一个循环的．，用2026除以4，然后根据商的情况确定运动后点的坐标即可． 【详解】解：∵第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到． ∴点的横坐标运动规律是每运动四次向右平移4个单位，纵坐标是按照0，1，0，四个为一个循环的． ， ∴动点第2026次运动时向右个单位，纵坐标为第二次移动后的点为0， ∵第一次是从开始运动， ， ∴点此时坐标为， 故答案为：． 16．我们定义： ，例如，若x，y为不同的整数，且满足，则的值是___________________． 【答案】 【分析】先根据新定义得到，即可求出，再由x，y为不同的整数，确定的值，即可求解． 【详解】解：由题意得，，即， ∴， ∵x，y为不同的整数， ∴或， 当时，或，不符合题意，舍去； 当时，或或或 ∴或 ∴的值是． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解不等式组并将解集在数轴上表示出来． 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，并在数轴上表示，即可得出不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 在数轴上表示不等式组的解集为： 所以不等式组的解集是． 18．（8分）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题关键是选择合适的消元方法解方程组． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得， 解得， 把代入②，得， ∴原方程组的解为； （2）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为． 19．（8分）如图，直线相交于点，垂足为点O． (1)若，求的度数； (2)若与的度数比为，则的度数是 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂直的定义以及邻补角和对顶角，掌握垂直的定义以及邻补角和对顶角的定义是解题关键． （1）由，得出，根据余角的定义作答即可； （2）直接利用垂直的定义得出，进而利用，得出的度数，进而得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ∴ ， 设，， 则， 解得：， 故， 则， 的度数为． 20．（8分）某校八年级学生参加“汉字听写大赛”，成绩分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，随机抽取部分学生的成绩统计如下表： 等级 优秀 良好 合格 不合格 人数 15 25 10 5 (1)求本次抽取的学生人数； (2)求“良好”等级的人数所占的百分比，精确到． 【答案】(1)55； (2)． 【分析】（1）根据样本容量等于各频数之和计算即可； （2）用“良好”等级的人数除以样本容量即可． 【详解】（1）解：总人数（人）． （2）解：“良好”等级的百分比． 21．（8分）如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 【答案】(1)长、宽、高分别为，， (2) 【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键． （1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可； （2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可． 【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，． （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为． 22．（10分）如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点P在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点P的对应点为，连接．若三角形的周长为m，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2)10 (3)1 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由平移的性质可得，，，，由两直线平行同位角相等可得的度数，由两直线平行内错角相等可得，然后根据即可得出的度数； （2）由平移的性质可得，结合可得，再利用三角形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积； （3）由平移的性质可得：，，依题意得，，即，进而可得，即，据此即可求出的长度． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：，，，， ， ， ， ； （2）解：由平移的性质可得：， ∵， ， 又， ； （3）解：由平移的性质可得：，， 的周长为， ， 又四边形的周长为， ， 即：， ， ， ， ， 即：的长度为1． 23．（12分）在平面直角坐标系中，点，点，且，．将线段平移得到线段，点A，B的对应点分别为点C，D． (1)当，且点C正好落在原点O时，判断线段平移的方向和距离； (2)已知点，，连接，． ①点P在直线上，连接，，请用代数式表示三角形的面积； ②以B，C为顶点向下画一个正方形．已知点，，且线段上的所有点（含端点）都在正方形的边上或内部．当x取什么值时m最大，并求出m的最大值（用含代数式表示）． 【答案】(1)线段向右平移2个单位长度 (2)①；②当时m最大，m的最大值为 【分析】本题考查直角坐标系中点的平移； （1）根据题意可得平移后对应点为，即可得到线段平移的方向和距离； （2）①根据平移可得平移到与平移到的左右距离和上下距离相等，据此列方程，即可解得，得到，，，，则轴，轴，，，根据平行线间距离相等可得，代入计算即可； ②由向右平移2个单位长度，再向上平移两个单位长度得到，结合图形可得当在上时m最大，得到，再根据求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵将线段平移得到线段，点A，B的对应点分别为点C，D，且点C正好落在原点O，即平移后对应点为， ∴线段向右平移2个单位长度； （2）解：①∵将线段平移得到线段，点，点的对应点分别为点，， ∴平移到与平移到的左右距离和上下距离相等； ∴， 解得， ∴，，，， ∴轴，轴，，， ∵，， ∴各点位置，大致如图： ∴， ∴； ②∵，， ∴向右平移2个单位长度，再向上平移两个单位长度得到， ∵线段上的所有点（含端点）都在正方形的边上或内部． ∴， 由图可以发现，当在上时m最大（纵坐标大）， ∴， 解得， ∴当时，最大，m的最大值为． 24．（12分）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)整数的最小值为2． 【分析】（1）解方程求得方程的解，根据定义判定求解即可； （2）解方程组求得方程组的解，根据定义建立不等式，求解即可； （3）根据定义求解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： 解方程，得． 解不等式，得， 又因为， 所以方程的解是不等式的“内含解”； （2）解：， 由，得， 又因为， 所以， 解得； （3）解：解方程，得． 因为， 所以． 解不等式， 得． 由“内含解”的定义，得， 解得， 所以整数的最小值为2． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第七章 相交线与平行线、第八章 实数、第九章 平面直角坐标系、第十章 二元一次方程组、第十一章 不等式与不等式组、第十二章 数据的收集、整理与描述。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．实数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 3．下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 4．下列事件中，最适宜采用全面调查的是（    ） A．调查苏州河的水质情况 B．调查全国中学生对网络安全知识的了解程度 C．调查某品牌手机屏幕的使用寿命 D．对发射卫星的运载火箭零部件质量的检查 5．下列命题是真命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两个锐角的和是钝角 C．如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 D．同旁内角互补 6．下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．若关于的不等式组的解集是，则在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．如图，长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，与的差为1，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 9．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，我们将称为点M与点N的“横k倍直角距离”，已知点，下列四个点中是点A的“横2倍直角距离”等于3的点为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 10．设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（   ） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．8的立方根是 ． 12．命题“如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等”的条件是： ． 13．某市环保部门为了解该市500家化工企业的废水排放达标情况，随机抽取了其中30家企业进行详细检测．这种调查方式是______．（填“普查”或“抽样调查”） 14．幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为 ． x 1 y 5 15．如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，按照箭头所示顺序运动，依次经过点和，则动点P第2026次运动到达的点的坐标为 ． 16．我们定义： ，例如，若x，y为不同的整数，且满足，则的值是___________________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解不等式组并将解集在数轴上表示出来． 18．（8分）解方程组： (1) (2) 19．（8分）如图，直线相交于点，垂足为点O． (1)若，求的度数； (2)若与的度数比为，则的度数是 20．（8分）某校八年级学生参加“汉字听写大赛”，成绩分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，随机抽取部分学生的成绩统计如下表： 等级 优秀 良好 合格 不合格 人数 15 25 10 5 (1)求本次抽取的学生人数； (2)求“良好”等级的人数所占的百分比，精确到． 21．（8分）如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 22．（10分）如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点P在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点P的对应点为，连接．若三角形的周长为m，四边形的周长为，请直接写出的长度． 23．（12分）在平面直角坐标系中，点，点，且，．将线段平移得到线段，点A，B的对应点分别为点C，D． (1)当，且点C正好落在原点O时，判断线段平移的方向和距离； (2)已知点，，连接，． ①点P在直线上，连接，，请用代数式表示三角形的面积； ②以B，C为顶点向下画一个正方形．已知点，，且线段上的所有点（含端点）都在正方形的边上或内部．当x取什么值时m最大，并求出m的最大值（用含代数式表示）． 24．（12分）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $