第4章因式分解 期末复习综合练习题 2025-2026学年浙教版七年级数学下册

**基本信息** 以因式分解定义为起点，通过“基础方法-进阶技巧-实际应用”三级逻辑架构，系统整合提公因式、公式法及整体设元、姬曼定理等方法，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题（选择1-3）|因式分解定义辨析、公式结构特征分析|从定义到公式适用条件的概念生成链| |公式应用|8题（选择4-6、填空8-12）|平方差/完全平方公式正向应用、因式分解与整式乘法互逆|公式推导过程与变形应用的逻辑关联| |方法拓展|4题（解答17-20）|整体思想、姬曼定理、因式分解求根法|从单一方法到跨情境综合技巧的迁移路径| |实际应用|2题（选择7、解答19）|几何面积验证、密码解码模型|数学模型构建与现实问题解决的应用逻辑|

2025-2026学年浙教版七年级数学下册《第4章因式分解》期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．若是整数，则下列选项的值一定为偶数的是（     ） A． B． C． D． 3．下列不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 5．若，，则的值为（   ） A．8 B．15 C．25 D．45 6．已知下列多项式：①；②；③；④．其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（） A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③ 7．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 江 爱 阴 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．我爱江阴 B．美丽江阴 C．我爱美丽 D．我爱丽江 二、填空题 8．因式分解：______． 9．若二次三项式分解因式为，则a的值为______． 10．如果，，那么_________． 11．计算______． 12．若，则的值为______． 13．已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 14．将个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义上述式子叫做阶行列式．若，则的值是__________． 三、解答题 15．分解因式： (1) (2) (3) (4) 16．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 18．阅读以下材料： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原， 得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：__________； (2)利用上述方法先因式分解：，再当时，求代数式的值． 19．从边长为4的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个）． A．B.C. (2)若，求的值； (3)计算： 20．在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ； 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：____________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 参考答案 1．D 【详解】解：选项A，是整式乘法运算，结果是和的形式，不属于因式分解； 选项B，，变形错误，不属于因式分解； 选项C，的结果不是整式乘积的形式，不属于因式分解； 选项D，，将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义． 2．D 【分析】根据整数分为奇数和偶数，结合奇偶数的运算性质，分情况讨论每个选项，即可得到一定为偶数的结果． 【详解】解：由于是整数，则分为奇数、为偶数两种情况讨论： 选项A、当是奇数时，取，则是奇数，因此A错误； 选项B、，当是偶数时，取，则是奇数，因此B错误； 选项C、当是偶数时，取，则是奇数，因此C错误； 选项D、，若是偶数，偶数乘任意整数结果为偶数，因此原式是偶数；若是奇数，奇数奇数偶数，奇数乘偶数结果为偶数，因此原式是偶数； 无论是奇数还是偶数，一定为偶数，因此D正确． 3．A 【分析】平方差公式分解因式要求多项式可化为两个平方项作差，即形如，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、，两项符号相同，无法写成两个平方项作差的形式，因此不能用平方差公式分解因式，符合题意； B、符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； D、 ，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意． 4．A 【分析】本题考查了幂的混合运算，利用负数的奇偶次幂的性质化简表达式，再提取公因式计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 5．B 【分析】本题考查提公因式因式分解和代数式整体代入求值，先对所求多项式因式分解，再代入已知条件计算即可． 【详解】解： 又， 代入得 因此原式的值为． 6．C 【分析】根据完全平方公式的结构，逐个判断多项式是否符合该结构，即可求解． 【详解】解：①不符合完全平方公式的结构，不能用完全平方公式进行因式分解； ②，符合完全平方公式结构，能用完全平方公式进行因式分解； ③的两个平方项符号相反，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式进行因式分解； ④，符合完全平方公式结构，能用完全平方公式进行因式分解； 综上，能用完全平方公式进行因式分解的是②④． 7．A 【分析】先对密文用提取公因式法和平方差公式因式分解，再对应密码表得到明文即可． 【详解】解：∵ ， ∵8对应明文“我”，对应明文“阴”，对应明文“爱”，对应明文“江”， ∴组合后明文可为“我爱江阴”． 8． 【详解】解：． 9． 【详解】解：， ∵， ∴， 对比等式两边对应项的系数可得． 故答案为：． 10．4 【详解】解：根据平方差公式，得，将，代入上式，得：， ∴． 11． 【详解】解： ． 12．10 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 13．11 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14． 【分析】本题主要考查了新定义，平方差公式和解一元一次方程，根据新定义得到方程，再根据完全平方公式，平方差公式去括号，然后合并同类项，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得 故答案为：． 15．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 16．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）提取公因式即可； （2）先变形，再提取公因式即可； （3）先变形，再提取公因式，再将括号内的同类项合并； （4）先提取公因式，再将括号内的同类项合并，合并后再提取公因式2即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据题干信息把代入求解即可； （2）根据题干信息把和分别代入得到关于m，n的二元一次方程组，进而求解即可． 【详解】（1）解：依题意，把代入得 解得：； （2）解：把和分别代入， 即 解得： 18．(1) (2) 因式分解结果为，当时，代数式的值为 【分析】（1）把看作整体，利用完全平方公式分解因式； （2）首先把看作整体，利用多项式乘多项式的法则把展开，再利用完全平方公式进行因式分解，把代入化简后的结果计算求值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时， 可得：原式． 19．(1)B (2)； (3)． 【分析】（1）通过图1和图2的面积相等，推导出平方差公式． （2）利用平方差公式将因式分解，再整体代入已知条件求解． （3）先利用平方差公式对每个括号内的式子因式分解，再通过约分计算最终结果． 【详解】（1）解：图1中剩余部分的面积为：， 图2中长方形的长为，宽为，面积为：， ∵图1与图2的面积相等， ∴． 故选：． （2）解：， ， ， ， ∴； （3）解： ． 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）设，则原式变形为，把展开，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：设， ∴ ； （2）解： ； （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $